……โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ เป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์อีกทั้งการวิเคราะห์ฟังก์ชัน Show …………… Dr = { x | (x, y) ε r } เช่น r = {(–1, 1), (–2, 2), (–3, 3)} จะได้ ให้นักเรียน ม.4 ยกตัวอย่างความสัมพันธ์พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ โดยตอบลงใน ให้ความเห็น (ใส่ความเห็น)
สรุปเนื้อหาที่สำคัญ“ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน” คือบทแรกของคณิตศาสตร์ ม. 4 เทอม 2 เป็นบทสำคัญที่จำเป็นจะต้องนำไปใช้เป็นพื้นฐานเพื่อประยุกต์สู่เนื้อหาในบทต่อไปที่จะมีความเข้มข้นขึ้น กล่าวคือใช้ในเรื่อง “ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม” นับว่าบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 เรื่องความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน มีความสำคัญอย่างยิ่งที่น้องๆจะต้องทำความเข้าใจเนื้อหาโดยละเอียด และอัดพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือกับการทำข้อสอบที่มีความหลากหลาย และโจทย์ที่ประยุกต์หลายบทเข้าไว้ด้วยกัน เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจ โดยมีความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน เป็นส่วนหนึ่งของชุดความรู้สำคัญที่จำเป็นต้องนำไปประยุกต์ได้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS ต่อไป ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ น้องๆอย่าทิ้งบทนี้ หมั่นทบทวนเนื้อหา และไม่ลืมที่จะเก็บเนื้อหาสาระสำคัญต่างๆด้วยนะครับ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน มีหน่วยย่อย ดังนี้
ความสัมพันธ์ความสัมพันธ์ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความคล้ายกับความสัมพันธ์ในชีวิตจริงที่เราคุ้นเคย คือเป็นการแสดงความเกี่ยวข้องกันของสองสิ่ง ซึ่งในทางคณิศาสตร์เรียกว่า คู่อันดับ ซึ่งมีนิยามดังนี้ คู่อันดับ คือ การนำสิ่ง สองสิ่ง มาเขียนคู่กัน โดยคำนึงถึงลำดับด้วย ซึ่งเขียนได้ดังนี้ คู่อันดับ a, b เขียนแทนด้วย (a, b) โดยเรียก a ว่า สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ และเรียก b ว่า สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ เช่น
การเท่ากันของคู่อันดับ หมายถึง (x1, y1) = (x2, y2) ก็ต่อเมื่อ x1 = y1 และ x2 = y2 หรือก็คือ ตัวหน้า = ตัวหน้า, ตัวหลัง = ตัวหลัง เมื่อรู้จักคู่อันดับแล้ว ความสัมพันธ์ มีนิยามดังต่อไปนี้ ความสัมพันธ์ คือ เซตที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นคู่อันดับ โดยที่คู่อันดับแต่ละคู่ เกิดจากการจับคู่กันของสมาชิกจากเซตสองเซต เช่น
ตัวอย่างโจทย์ – จงหาค่า x,y เมื่อ (x + 1, 2y) = (-5, 11) เฉลย ผลคูณคาร์ทีเชียน เป็นการกระทำกันระหว่างเซต 2 เซต โดยผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย A×B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนอยู่ในรูปแบบดังนี้ A×B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B} ***ข้อสังเกต “ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A,B ทุกอันต้องเป็นสับเซตของ A×B”*** ตัวอย่างโจทย์ – จงหาผลคูณคาร์ทีระหว่างเซตต่อไปนี้ {a, b} และ {a, b, c} เฉลย สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A
ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B} ความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไข คือ เซตของคู่อันดับ โดยที่สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับ สัมพันธ์กับสมาชิกตัวหลัง ในรูปแบบเดียวกันในทุก ๆ คู่อันดับ เช่น
ความสัมพันธ์จาก A ไป B แบบ “เมืองหลวง – ประเทศ” คือ {(โตเกียว, ญี่ปุ่น), (กรุงเทพ, ไทย), (จาการ์ต้า, อินโดนีเซีย), (ปักกิ่ง, จีน), (โซล, เกาหลี)} หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ว่า {(a, b) ∈ A×B | a เป็นเมืองหลวงของ b}
ความสัมพันธ์จาก A ไป A แบบ “บวกกันได้ 10” คือ {(1, 9), (3, 7), (5, 5), (7, 3), (9, 1)} หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ว่า {(a, b) ∈ A×A | a + b = 10} กราฟของความสัมพันธ์ หากความสัมพันธ์ เป็นความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขแล้ว เราสามารถเขียนความสัมพันธ์โดยใช้กราฟได้ โดยการนำคู่อันดับต่างๆ ของความสัมพันธ์ไปวาดลงบนกราฟ เช่น ให้ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} จะวาดกราฟได้ดังนี้ ในกรณี r เป็นความสัมพันธ์ของจำนวนจริง มักจะวาดกราฟได้เป็นเส้น เช่น r = {(x, y) ∈ R×R | y = 3x} จะวาดกราฟได้ดังนี้ เคล็ดลับการพิจารณากราฟ พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ได้ดังนี้
ตัวอย่างโจทย์ – กราฟต่อไปนี้ผ่านจุด (0, 1) หรือไม่
ตัวอย่างโจทย์ – จงหาจุดตัดแกน x และ y ของกราฟต่อไปนี้
โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r โดเมนของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Dr Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Rr Rr = {y | (x, y) ∈ r} เช่น r = {(1, 3), (2, 8), (3, 10), (3, -5), (4, 19), (8, 3), (100, -5), (-9, 22)} r = {(โตเกียว, ญี่ปุ่น), (กรุงเทพ, ไทย), (เบอร์ลิน, เยอรมันนี), (แคนเบอร์ร่า, ออสเตรเลีย), (โซล, เกาหลี), …} ฟังก์ชันฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์รูปแบบหนึ่งที่สมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กับ สมาชิกในเรนจ์ของความสัมพันธ์ เพียงตัวเดียวเท่านั้น เช่น {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)} เป็นฟังก์ชัน ข้อสังเกตฟังก์ชันอย่างเร็วๆ
การนิยามฟังก์ชัน ถ้า f เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) ∈ f จะได้ว่า y เป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย f(x) หรือ y = f(x) เรียก f(x) = (ค่าในเทอมของ x) ว่า นิยามของฟังก์ชัน ดังเช่น ถ้า f เป็นฟังก์ชันของ x แล้ว เราสามารถหาค่า f(k) ได้โดย นิยามของฟังก์ชัน คือ f(x) = x2 + 1 f(5) คือ สมมุติ x = 5 หาค่า x2 + 1 f(-1) คือ สมมุติ x = -1 หาค่า x2 + 1 f(a + b) คือ สมมุติ x = a + b หาค่า x2 + 1 รูปแบบต่างๆของฟังก์ชัน มีดังต่อไปนี้ ฟังก์ชันจาก A ไป B f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f:A→B หมายความว่า ทุกสมาชิกใน A ต้องมีคู่กับสมาชิกใน B ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย f:A onto→ B หมายความว่า ทุกสมาชิกใน A และ B ต้องมีคู่ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f:A 1-1→ B หมายความว่า ทุกสมาชิกใน A ต้องมีคู่กับสมาชิกใน B และคู่ไม่ซ้ำ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B และ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B แล้ว f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย f:A 1-1 onto→ B ตัวอย่างโจทย์ ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5}
ฟังก์ชันผกผันหรือฟังก์ชันอินเวอร์ส
ให้ f เป็นฟังก์ชันใด ๆ อินเวอร์สของฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วย f⁻¹ ฟังก์ชัน y = 3x + 7 จะเขียนได้ว่า f = {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 7)} f⁻¹ = {(2, 1), (4, 2), (8, 3), (7, 4)} ข้อสังเกต
การดำเนินการของฟังก์ชันให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมน และเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง จะมีวิธีการดำเนินการระหว่างฟังก์ชันดังนี้ วิธีการดำเนินการระหว่างฟังก์ชัน ตัวอย่างโจทย์ ให้ (x) = 2x + 3 และ g(x) = x² – 1 จงหา (f – g)(2) เฉลย คุยกันท้ายบทจะเห็นได้ว่าความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน เป็นพื้นฐานส่วนสำคัญในการต่อยอดไปในบทถัดไปก็คือ “ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม” ซึ่งในบทถัดไปฟังก์ชันเหล่านี้จะมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นไปอีก ในคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 จะมีความเชื่อมโยงจากบท “ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน” อยู่ตลอด และควรให้ความสำคัญกับการเรียนเพื่อความเข้าใจสูงสุด ในเนื้อหาบทเรียนต่างๆ ฝึกทำโจทย์บ่อยๆ และใช้เวลาว่างบนหน้าเว็บไซต์ของ Panya Society ฝึกทำโจทย์ที่พี่แทรกไว้ พร้อมคำนวณตามไปด้วย เพื่อให้ได้ประโยชน์จากการทบทวนความรู้…อย่าแอบดูเฉลยนะ! พี่หวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 ไปตลอดทั้งเทอม และขอให้น้องๆประสบความสำเร็จในการเรียนเทอมนี้ ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน5 Videos สรุปเนื้อหาที่สำคัญฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม
ทำความรู้จัก พี่นอต (ดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์)เรียนสนุก ทำโจทย์คล่อง สอบให้ติด โดยพี่นอต: คอร์สแนะนำ :SHARE: |