เลข... ใช้ดีถูกใจอย่าลืมอุดหนุนฉบับตีพมิ พ์เป็นเล่มด้วยนะครับ * เนื้อหาตามหลักสูตรใหม่ครบทุกบทเรียน ม.4-5-6 * โจทย์แบบฝึกหัดเตรียมความพร้อมกว่า 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยครบทัง้ 14 ฉบับ (2541-2548) * พร้อมเฉลยคําตอบ วิธคี ดิ และเรือ่ งที่น่ารู้อกี มากมาย.. เหมาะสําหรับเตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6 สอบโควตารับตรง และสอบเข้ามหาวิทยาลัย Release 2.2 เซต ตรรกศาสตร์/การให้เหตุผล ระบบจํานวนจริง/ทฤษฎีจํานวน เรขาคณิตวิเคราะห์ ความสัมพันธ์/ฟังก์ชัน กําหนดการเชิงเส้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม เมตริกซ์ เวกเตอร์ จํานวนเชิงซ้อน ทฤษฎีกราฟ ลําดับ/อนุกรม ลิมิต/ความต่อเนื่อง อนุพันธ์/การอินทิเกรต สถิติ ความน่าจะเป็น คณิต มงคลพิทักษ์สุข http://math.reads.it วศ.บ. ไฟฟ้า จุฬาฯ (เกียรตินิยม) [email protected] 2 Math E-Book Release 2.2 เรียบเรียงโดย คณิต มงคลพิทักษ์สุข เผยแพร่ทางอินเตอร์เน็ต ที่เว็บไซต์ http://math.reads.it และไทยแวร์ดอตคอม Release 2.0 13 ตุลาคม 2548 Release 2.1 28 ธันวาคม 2548 Release 2.2 14 มิถุนายน 2549 ตีพิมพ์ครั้งแรก (จาก Release 2.0) ธันวาคม 2548 ในชื่อ “คณิตศาสตร์ O-NET & A-NET” โดยสํานักพิมพ์ SCIENCE CENTER (ธรรมบัณฑิต) ราคาปก 159 บาท ธรรมบัณฑิต 3/1 ถนนอัษฎางค์ ริมคลองหลอด สนามหลวง เขตพระนคร กทม. 10200 ธนาณัติสั่งจ่าย ป.ณ.หน้าพระลาน ในนาม ผู้จัดการ โทร. 0-2225-7160, 0-2221-5884 โรงแรม รัตนโกสินทร์ แม่ธรณี ตรอกสาเก ฉบับตีพิมพ์มีจําหน่ายแล้วที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ร้านซีเอ็ด ร้านขายแบบเรียนทั่วไป และ ถนนราชดําเนิน สงวนลิขสิทธิต์ ามกฎหมาย ห้ามลอกเลียนไม่ว่าส่วนหนึ่งส่วนใดของหนังสือ เว้นแต่ได้รับอนุญาต วัดบูรณศิริ 7-Eleven ร้านธรรมบัณฑิต ถนนอัษฎางค์ ไปกระทรวงมหาดไทย คลองหลอด แผงหนังสือ สนามหลวงเดิม สนามหลวง กระทรวง ยุติธรรม คณิตศาสตร O-NET / A-NET 3 ¤íÒªÕé樧 ภายในหนังสือเล่มนี้ประกอบด้วย เนือ้ หาคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรการศึกษาขั้น พื้นฐาน พ.ศ.2544 ช่วงชัน้ ที่ 4 (หรือ ม.4 – ม.6) ครบทุกหัวข้อ (ซึ่งพยายามเขียนให้กระชับ ที่สุด) และ โจทย์แบบฝึกหัด ที่เรียงลําดับจากง่ายไปยาก พร้อมทั้งเนื้อหาและเทคนิคการ คํานวณที่ควรทําความเข้าใจเพิ่มเติม เนื้อหาบางบทเรียนสามารถเริ่มทําความเข้าใจได้ทันที แต่ บางบทเรียนก็จําเป็นต้องใช้พนื้ ฐานความรู้จากบทเรียนอื่นประกอบด้วย ดังนั้นเพื่อป้องกันการ สับสนผู้อ่านควรศึกษาเรียงตามหัวข้อดังนี้ ตรรกศาสตร์ เซต ความน่าจะเป็น พื้นฐาน ระบบจํานวนจริง ฟังก์ชัน เพิ่มเติม สถิติ เมตริกซ์ ทฤษฎีกราฟ เรขาคณิตวิเคราะห์ เวกเตอร์ กําหนดการเชิงเส้น จํานวนเชิงซ้อน ตรีโกณมิติ ลิมิต+ความต่อเนื่อง เอกซ์โพ.+ลอการิทึม อนุพันธ์+อินทิเกรต ลําดับ+อนุกรม นอกจากนีใ้ นตอนท้ายยังมี ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ ครบทั้ง 14 ฉบับ (ต.ค.41 ถึง มี.ค.48) และวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (2532 ถึง 2548, เฉพาะข้อที่เป็น คณิตศาสตร์) เพื่อใช้สําหรับฝึกฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย (O-NET / A-NET) อีกด้วย ในท้ายบทเรียนและท้ายข้อสอบมี เฉลยคําตอบและวิธีคดิ กํากับไว้ทั้งหมดแล้ว โดย เฉลยวิธีคิดในหนังสือเล่มนี้เป็นเพียงการสรุปความคิดรวบยอดของข้อนัน้ ๆ ไม่ได้แสดงวิธีทํา อย่างละเอียดทุกขั้นตอน ทั้งนี้เป็นความตั้งใจที่จะเน้นให้ผอู้ ่านได้ลองคิดและเกิดความเข้าใจไป พร้อมๆ กัน เพื่อให้ทําข้อสอบได้รวดเร็วขึ้น เชื่อว่าหากผู้อา่ นได้ให้เวลาทําความเข้าใจเนือ้ หา อย่างถี่ถ้วน และฝึกทําโจทย์แบบฝึกหัดไปทีละขั้นๆ พร้อมกับตรวจเฉลยทุกข้อ ก็จะติดตาม บทเรียนจนจบได้อย่างลุล่วง สิ่งที่ต้องการแนะนําในที่นี้คอื หากมีข้อสงสัยให้รีบถามจากผู้รู้ ไม่ ควรปล่อยให้ตดิ ค้างอยู่ :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 4 แนวโจทย์ข้อสอบเข้าฯ ในปัจจุบัน โจทย์ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยปัจจุบันนี้เปลี่ยนแนวไป ทําให้หลายคนบ่นว่ายากขึ้นมาก ส่วนตัวผู้เขียนว่าเป็นข้อสอบที่ดีเพราะเริ่มเน้นความเข้าใจในเนื้อหา ในนิยามหลักๆ ของบทเรียน ลักษณะข้อสอบแบบนี้อันที่จริงไม่ถือว่ายาก แต่ค่อนไปในทางลึกซึ้งมากกว่า คนที่จะทําข้อสอบแบบนี้ ได้ถูก จะต้องรู้ลึกและแม่นจริง สูตรลัดกลายเป็นสิ่งไร้ค่า และการขยันเรียนที่โรงเรียนโดยตลอด พร้อมกับทําความเข้าใจในแบบฝึกหัดเพิ่มเติมด้วยตนเอง จะได้ผลดีมากกว่าการกวดวิชา เรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้ได้ผลดี (1) ปัญหาแรกของคนที่บอกว่าตัวเองเรียนไม่รู้เรื่องเลย ทําโจทย์ไม่เป็นเลย อยู่ที่เรียนผิดวิธี ครับ ถ้าไม่เข้าใจบทเรียนให้ลองถามตัวเองว่าเกิดจากเหตุใดต่อไปนี้ (ก) ไม่ตั้งใจเรียน กรณีนี้ไม่มีวิธีแก้วิธีใดดีไปกว่าการบังคับตัวเองให้ตั้งใจเรียน :] (ข) ถ้าตั้งใจแล้วแต่ไม่เข้าใจ แปลว่าผู้สอนอาจจะถ่ายทอดได้ไม่ดี แบบนี้คงต้องย้ายไปเรียนกับคนที่ สอนแล้วเข้าใจ (เข้าใจกับสนุก หรือเข้าใจกับมีสูตรลัดเยอะ เป็นคนละเรื่องกันนะครับ!) (2) ทีนี้พอเข้าใจบทเรียนแล้ว การที่จะทําได้ดีไม่ดี อยู่ที่การฝึกฝนอีกอย่างหนึ่งด้วย (ถ้านั่ง ฟังอย่างเดียวแต่ไม่ได้ลงมือฝึกด้วยตัวเองเลย ก็คงคล้ายกับเรียนว่ายน้ําทางทีวีนั่นแหละครับ) ยิ่งทํา โจทย์เยอะและแปลก จะยิ่งได้เปรียบ เพราะความแม่นยําลึกซึ้งในวิชานั้นสอนกันไม่ได้ อีกสิ่งหนึ่งที่ควรปรับปรุงคือ แทนที่จะจําวิธีแก้โจทย์เป็นรูปแบบตายตัว อยากให้ “มอง คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ” คือฝึกมองให้กว้างว่าแต่ละเรื่องที่เรารู้นั้น เอาไปเป็นเครื่องมือช่วย แก้ปัญหาจุดไหนของเรื่องไหนได้บ้าง ต้องบอกได้ว่าทําไมโจทย์ข้อนี้ถึงควรทําด้วยวิธีนี้ หรือรู้จักมองว่า เนื้อหาบทไหนเชื่อมโยงถึงกันได้บ้าง (ซึ่งในหนังสือเล่มนี้ได้แทรกคําอธิบายถึงความเกี่ยวโยงไว้ให้บ้าง แล้ว) การฝึกแบบนี้น่าจะทําข้อสอบได้ดีขึ้นครับ.. นับตั้งแต่เริ่มลงมือพิมพ์จนวันนี้ (ตุลาคม 2548) ใช้เวลาถึง 2 ปี และหนังสือเล่มนีค้ งจะยังไม่ สําเร็จด้วยดีถ้าขาดบุคคลเหล่านี้ หากหนังสือเล่มนี้มีส่วนดีประการใด ก็เป็นเพราะบุคคลทัง้ หมดนีค้ รับ.. - อาจารย์ทุกท่านโดยเฉพาะอาจารย์คณิตศาสตร์ ที่ได้ให้วิชาความรู้กับผม ขอขอบพระคุณ อ.ชัยศักดิ์ และ อ.จงดี (สาธิตปทุมวัน) เป็นพิเศษครับ ทั้งสองท่านเป็นต้นแบบที่ดีในการสอน - ป๊า ม้า ยังคงเข้าใจและยอมเรื่อยมา บอยกับน้องยุ ช่วยพิมพ์เฉลยอย่างขยันขันแข็ง - ผู้เขียนหนังสือเรียนและคู่มือต่างๆ ผู้ออกข้อสอบเข้าฯ รวมทั้งเว็บไซต์ของ สกอ. - อ.สมพล (กวงเจ็ก) และ อ.พนม สนพ. Science Center ที่ให้โอกาสนําเสนอผลงาน - ชง สําหรับความคิดริเริ่มพิมพ์ชีท และกล้า สําหรับความคิดเรื่องข้อสอบพื้นฐานวิศวะ - น้องภัค น้องหนึ่ง น้องโอ๊ต น้องเคน สําหรับข้อสอบทั้งสองวิชา รวมไปถึงน้องๆ ทั้งหลาย ที่เคยเป็นศิษย์กันมา ตั้งแต่ใช้ชีทลายมือเขียนมาจนกระทั่งพิมพ์เสร็จ (ขึ้นหลักร้อยแล้ว แต่ยังจําได้ ทุกคนครับ) โดยเฉพาะแอน, เนย์, เภา, ตูน เป็นน้องกลุ่มแรกที่ได้ใช้หนังสือเล่มนี้ ให้คําแนะนํา และ ช่วยตรวจแก้ข้อสอบด้วย - ความร้ายกาจของ “เจ๊ชุดดํา” แห่งฟู้ดเซ็นเตอร์ชั้น 3 ที่ทําให้เกิดความคิดว่า คนเราควร ทํางานในหน้าทีข่ องตัวเองให้ดีที่สุด แล้วผมก็เดินกลับบ้านมาเริ่มพิมพ์หนังสือเมื่อสองปีที่แล้ว! - Thaiware.com, se-ed.net, f0nt.com ... สามเว็บไทยใจดี มีข้อสงสัย คําแนะนํา หรือพบข้อบกพร่อง กรุณาติดต่อผู้เขียนที่ [email protected] และสอบถามปัญหาต่างๆ ได้ที่เว็บบอร์ดใน http://math.reads.it ยินดีตอบทุกปัญหาครับ :] ขอบคุณที่ให้ความสนใจครับ คณิต มงคลพิทักษ์สุข Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 5 ÊÒÃa¡ÒÃeÃÕ¹ÃÙ (e¹×éoËÒ·ÕèãªÊoº O-NET / A-NET) ตั้งแต่ปีการศึกษา 2549 เป็นต้นไป การสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัยจะเปลี่ยนระบบ เป็นแอดมิสชัน่ ส์ (Central University Admissions System) ซึ่งแบ่งคะแนนสอบออกเป็น 4 ส่วน [10%] 1. GPAX รวมทุกวิชาในระดับ ม.ปลาย 2. GPA เฉพาะวิชาหลัก 4-5 วิชา ต่างๆ กันไปแล้วแต่คณะที่เลือก [20%] 3. O-NET (Ordinary National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [35%-40%] เป็นข้อสอบบังคับ นักเรียนทุกสาขาจะต้องสอบ มี 5 วิชาได้แก่ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสังคมศึกษา (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง) ... ซึ่ง นักเรียนแต่ละคนสอบ O-NET ได้เพียงปีเดียว หลังจบ ม.6 4. A-NET (Advanced National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [30%-35%] เป็นข้อสอบฉบับเพิ่มเติม มีรายวิชาต่างกันไปตามสาขาที่สอบ (ไม่เกิน 3 วิชา และอาจมี วิชาความถนัดของแต่ละสาขาด้วย เช่น วิศวะฯ สถาปัตย์ ครู ศิลปะ ดนตรี สุขศึกษา) ข้อสอบจะ ครอบคลุมเนื้อหากว้างและลึกกว่า O-NET (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง ยกเว้น วิทยาศาสตร์ 3 ชั่วโมง) โดยคณิตศาสตร์จะใช้สอบสําหรับนักเรียนที่เลือกสาขาคํานวณเท่านั้น ... นักเรียนแต่ละคนสอบ A-NET ได้ 3 ปี หมายเหตุ (1) O-NET และ A-NET มีการจัดสอบปีละ 1 ครั้ง ปลายเดือนกุมภาพันธ์ (2) ทุกวิชาจะมีข้อสอบส่วนอัตนัย เป็นแบบเติมคําตอบสั้นๆ (Short Answer) ด้วย (3) ชื่อวิชาต่างจากระบบเดิม คือคณิตศาสตร์ 1 (O-NET) จะง่ายกว่าคณิตศาสตร์ 2 (A-NET) ค่าน้ําหนักของวิชาคณิตศาสตร์ในการสอบแต่ละสาขา - สาขาบริหารธุรกิจ พาณิชย์ บัญชี เศรษฐศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 20% สาขาวิศวกรรมศาสตร์ และสาขาเกษตร | GPA 4% | O-NET 8% | A-NET 10% สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ เทคโนโลยี สิ่งแวดล้อม | GPA 5% | O-NET 7% | A-NET 10% สาขาวิทยาศาสตร์สุขภาพ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 10% สาขาสังคมศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 20% สาขาการจัดการ การท่องเที่ยว | GPA 5% | O-NET 14% สาขาสถาปัตยกรรมศาสตร์ | GPA 5% | O-NET 8% สาขาครุศาสตร์ ศึกษาศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 8% สาขาวิทยาศาสตร์สาธารณสุข พลศึกษา การกีฬา | GPA 4% | O-NET 7% สาขาศิลปกรรม วิจิตรศิลป์ ประยุกต์ศิลป์ | GPA ไม่ใช้คณิตศาสตร์ | O-NET 7% สาขามนุษยศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 7-10% | A-NET ไม่แน่นอน รายละเอียดเพิ่มเติม อยู่ในเว็บไซต์ของ สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ (NIETS) http://www.ntthailand.com Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 6 หัวข้อคณิตศาสตร์พื้นฐาน (สําหรับข้อสอบ O-NET) บทที่ บทที่ บทที่ บทที่ บทที่ บทที่ บทที่ บทที่ บทที่ 1 เซต (ทั้งหมด) 2 ระบบจํานวนจริง (ทัง้ หมดยกเว้นหัวข้อ 2.2 และ 2.5) 3 ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหัวข้อ 3.5) 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 5.2 และ 5.5) 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เฉพาะเกริ่นนํา และหัวข้อ 7.9) 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (เฉพาะหัวข้อ 8.1) 13 ลําดับและอนุกรม (เฉพาะหัวข้อ 13.1 และ 13.4 ที่ไม่เกี่ยวกับอนันต์) 16 ความน่าจะเป็น (เฉพาะหัวข้อ 16.1 และ 16.6) 17 สถิติ (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 17.5 และ 17.6 และสมบัติต่างๆ) หัวข้อคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (สําหรับข้อสอบ A-NET) คือทุกหัวข้อในหนังสือเล่มนี้ รวมทั้งหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่อยู่ในหนังสือเรียน ได้แก่ บทที่ 2 การหารสังเคราะห์ บทที่ 13 อนุกรมแบบอื่นๆ ที่ไม่ใช่เลขคณิตและเรขาคณิต บทที่ 16 การนับในกรณีอื่นๆ (หัวข้อ 16.4) บทที่ 17 สูตรลดทอนในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 7 ÊÒúa เรื่อง หน้า บทที่ 1 เซต 11 1.1 สับเซตและเพาเวอร์เซต 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต 1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง 12 15 21 31 2.1 สมบัติของจํานวนจริง 2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบ 2.3 อสมการ 2.4 ค่าสัมบูรณ์ 2.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น 32 36 39 44 48 เรื่องแถม ถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร 58 บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 59 3.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง 3.2 สัจนิรันดร์ 3.3 การอ้างเหตุผล 3.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ 3.5 การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย 60 63 65 67 69 เรื่องแถม มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล 82 บทที่ 4 เรขาคณิตวิเคราะห์ 83 4.1 เบื้องต้น : จุด 4.2 เบื้องต้น : เส้นตรง 4.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ 4.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม 4.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี 4.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา 84 86 92 94 96 99 102 บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 119 5.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ 5.2 โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์ 5.3 กราฟของความสัมพันธ์ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 120 121 124 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 8 เรื่อง หน้า 5.4 ลักษณะของฟังก์ชัน 5.5 ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน 127 131 เรื่องแถม หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog 146 บทที่ 6 กําหนดการเชิงเส้น 147 บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 157 7.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย 7.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม 7.3 สมการตรีโกณมิติ 7.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 7.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุม 7.6 ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ 7.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 7.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 7.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูง 158 160 162 165 166 169 171 172 173 บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม 187 8.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง 8.2 การแก้สมการที่เป็นเอกซ์โพเนนเชียล 8.3 ฟังก์ชันลอการิทึม และกฎของลอการิทึม 8.4 การแก้สมการที่เป็นลอการิทึม 187 191 192 195 เรื่องแถม จําเป็นต้องตรวจคําตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง 204 บทที่ 9 เมตริกซ์ 205 9.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์ 9.2 ดีเทอร์มินันต์ 9.3 อินเวอร์สการคูณ 9.4 การดําเนินการตามแถว 9.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น 206 208 211 215 216 บทที่ 10 เวกเตอร์ 227 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ 10.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 10.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิต 10.4 เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 10.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 10.6 เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ 10.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 228 230 231 233 235 237 240 เรื่องแถม สิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณิตศาสตร์ 250 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 9 เรื่อง หน้า บทที่ 11 จํานวนเชิงซ้อน 251 11.1 การคํานวณเบื้องต้น 11.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ 11.3 รูปเชิงขั้ว 11.4 สมการพหุนาม 252 254 256 259 เรื่องแถม ใช้จาํ นวนเชิงซ้อนช่วยคํานวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 268 บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟ 269 12.1 ส่วนประกอบของกราฟ 12.2 กราฟออยเลอร์ 12.3 วิถีที่สั้นที่สุด และต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม 270 272 274 279 13.1 ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต 13.2 ลิมิตของลําดับอนันต์ 13.3 อนุกรมและซิกม่า 13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ 280 282 284 285 บทที่ 14 ลิมิตและความต่อเนื่อง 295 14.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 14.2 ลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด 14.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 296 298 300 เรื่องแถม การคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล 306 บทที่ 15 อนุพันธ์และการอินทิเกรต 307 15.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 15.2 สูตรในการหาอนุพันธ์ 15.3 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด 15.4 สูตรในการอินทิเกรต 15.5 อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้ง 307 309 312 317 319 เรื่องแถม เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร 332 บทที่ 16 ความน่าจะเป็น 333 16.1 หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ 16.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยน 16.3 วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม 16.4 การนับในกรณีอื่นๆ 16.5 ทฤษฎีบททวินาม 16.6 ความน่าจะเป็น 333 335 337 339 341 345 เรื่องแถม เรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชัน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 358 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 10 เรื่อง หน้า บทที่ 17 สถิติ 359 17.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล 17.2 ค่ากลางของข้อมูล 17.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 17.4 ค่าการกระจายของข้อมูล 17.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ 17.6 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 360 363 374 378 383 388 ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 (14 ฉบับ) ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ ฉบับที่ c d e f g h i j k l n o p q | | | | | | | | | | | | | | ตุลาคม 2541 มีนาคม 2542 ตุลาคม 2542 มีนาคม 2543 ตุลาคม 2543 มีนาคม 2544 ตุลาคม 2544 มีนาคม 2545 ตุลาคม 2545 มีนาคม 2546 ตุลาคม 2546 มีนาคม 2547 ตุลาคม 2547 มีนาคม 2548 403 408 417 426 435 444 453 462 471 481 492 502 512 523 532 สถิติคะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 541 ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (17 ปี) (เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์) ชุดที่ 1 | รวมปี 2532 ถึงปี 2541 ชุดที่ 2 | รวมตุลาคม 2541 ถึงมีนาคม 2548 542 573 โจทย์ทดสอบ : เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย ชุดที่ 1 (มี 2 ส่วน, 70 ข้อ) ชุดที่ 2 (35 ข้อ) 588 606 ภาคผนวก : Math E-Book ฉบับเข้มข้น ดรรชนี Math E-Book Release 2.2 616 657 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 11 { s,e,t } º··Õè 1 e«µ “กลุ่มของสิ่งต่างๆ” ในวิชาคณิตศาสตร์จะ เรียกว่า เซต (Set) เช่น เซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, เซต ของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, เซต ของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, ฯลฯ สิ่งที่อยู่ ภายในแต่ละเซต เรียกว่า สมาชิก (Element หรือ Member) นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยวงเล็บ ปีกกา ดังนี้ { } เช่น ให้ A แทนเซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, B แทนเซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสอง แล้วมีค่าน้อยกว่า 7, C แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, D แทนเซตของจํานวน เฉพาะบวกที่น้อยกว่า 7, และ E แทนเซตของจํานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 3 ถึง 33 จะได้ว่า A = { อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ } การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma) B = {−2, −1, 0, 1, 2} หรือ B = {0, 1, −1, 2, −2} การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน C = {2, 3, 5} D = {2, 3, 5} จะกล่าวได้ว่า C = D สมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา ( 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 ) E = {4, 5, 6, 7, ..., 32} หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมายจุด “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 12 เซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจํากัด (Finite Set) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n (A) เช่นในตัวอย่างข้างต้น n (A) = 7 , n (B) = 5 , n (C) = 3 , n (E) = 29 นอกจากนั้น เซตจํากัดที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย จะเรียกว่า เซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ นั่นคือ n (∅) = 0 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S e«µµo仹ÕÁé ¨Õ Òí ¹Ç¹ÊÁÒªi¡e·Òã´ {∅, 0, 1, {2, 3},(4, 5)} ¤íÒµoº¤×o 5 µaÇ ä´æ¡ e«µÇÒ§, eÅ¢ 0, eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ùoa¹´aº (4,5) ¹a蹤×oe«µ¹aºe»¹ 1 ¤Ùoa¹´aº¹aºe»¹ 1 {(1, 2),(2, 1), {1, 2}, {2, 1}} เซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ เรียกว่า เซต อนันต์ (Infinite Set) เช่น F แทนเซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 2, G แทนเซตของจํานวนใดๆ ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 F = {1, 0, −1, −2, −3, ...} , n (F) หาค่าไม่ได้ G เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แต่เขียนแบบบอก เงื่อนไขได้ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข } คือ G = { x | 0 < x < 1} อ่านว่า เซตของ x (สมาชิก) โดยที่ 0 < x < 1 (เงื่อนไข) ¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä´æ¡ ¤Ùoa¹´aº (1,2), ¤Ù oa¹´aº (2,1), æÅae«µ {1,2} (¤Ùoa¹´aº 1-2 ¡aº 2-1 ¶×oÇÒµÒ§¡a¹ æµe«µ 1-2 ¡aºe«µ 2-1 ¶×oÇÒeËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁ µo§¹aº«éÒí ¹a¤Ãaº) e«µ¢o§ª×oè ¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹Õé e»¹e«µ¨íÒ¡a´ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤íÒµoº¤×o e«µ¨íÒ¡a´¤Ãaº ¶Ö§æÁ¨íҹǹÊÁÒªi¡¨a´ÙÇÒ ÁÒ¡¢¹Ò´ä˹ 浡çäÁÁÒ¡¶Ö§o¹a¹µ¹a.. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 ∈ B , 3 ∈ C , 0.5 ∈ G สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C , 0 ∉ G ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต นั่นคือ สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก U เช่น ถ้า U = {−2, −1, 0, 0.5, 7} และ H = { x | x > 0 } จะได้ว่า H = {0, 0.5, 7} แต่ถ้าเปลี่ยนเป็น U = เซตของจํานวนเต็ม จะได้ว่า H = {0, 1, 2, 3, ...} การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขควรระบุเอกภพสัมพัทธ์กํากับด้วย แต่ถ้าไม่ได้ระบุไว้ โดยทั่วไปให้ถือว่า U เป็นเซตของจํานวนจริงใดๆ ( R ) เช่น H = { x | x > 0 } มีความหมายเดียวกับ H = { x ∈ R | x > 0 } U 1.1 สับเซต และเพาเวอร์เซต สับเซต (Subset) คือเซตย่อย จะกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A ได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัว ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A ด้วย (และ B จะไม่เป็นสับเซตของ A หากว่ามีสมาชิกบางตัวของ เซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊂ A และ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊄ A ตัวอย่างเช่น A จะมีเซต B ที่ทาํ ให้ B ⊂ = {m, p, r, w} A ได้ถึง 16 แบบ ดังนี้ ∅ {m} {p} {r} {w} {m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} S ¢oÊa§e¡µ! S {p, w} {r, w} {p, r, w} {m, p, r, w} Math E-Book Release 2.2 »Ãao¤ {a, b} ⊂ A ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇÒ a ∈ A æÅa b ∈ A (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 13 ข้อควรทราบ 1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ∅ ⊂ A 2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A ⊂ A 3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น 2 n แบบ ... (เช่นในตัวอย่างข้างต้น 2 4 = 16 ) 4. บางตําราใช้สัญลักษณ์ ⊂ แทนการเป็น สับเซตแท้ (Proper Subset) ซึ่งจะมีเพียง 2 n − 1 แบบ เท่านั้น (คือนับเฉพาะเซตที่เล็กกว่าเท่านั้น ไม่นับตัวมันเอง) และใช้สัญลักษณ์ ⊆ แทนการเป็นสับ เซตใดๆ (นั่นคือ A ⊆ A แต่ A ⊄ A ) ... แต่ในเล่มนี้จะรวบใช้เครื่องหมาย ⊂ แทนการเป็นสับ เซตใดๆ ทุกแบบ รวมถึงตัวมันเองด้วย เพาเวอร์เซต (Power Set) คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้ เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A) S ¢oÊa§e¡µ! S ดังนั้น ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก 2 n ตัว เช่นในตัวอย่าง A = {m, p, r, w} »Ãao¤ {a, b} ∈ P(A) ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇÒ {a, b} ⊂ A จะได้ P (A) = { ∅, {m}, {p}, {r}, {w}, {m, p}, {m, r}, ..., {m, p, r, w} } ¹a蹤×o a ∈ A æÅa b ∈ A เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่ (กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ 16 หัวข้อ 16.3) มีของ n ชิ้น หยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ไม่ซ้ํากันทัง้ สิ้น n! ⎛n⎞ ⎜r ⎟ = (n −r)! ⋅ r ! ⎝ ⎠ ชุด โดยที่ x ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ x เช่นถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตที่หยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัว 7 อยู่ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 7 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 35 แบบ ⎝ ⎠ 4!⋅ 3! 1⋅2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 1⋅2 ⋅ 3 • ตัวอยาง ใหเขียนสับเซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเซตของ ก. A = {a} ตอบ มีสับเซต 2 = 2 แบบ ไดแก ∅ และ {a} ดังนั้น P (A) = {∅, {a}} ข. B = {a, b} ตอบ มีสับเซต 2 = 4 แบบ ไดแก ∅ , {a} , {b} และ {a, b} ดังนั้น P (B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} ค. C = {2, 3, 5} ตอบ มีสับเซต 2 = 8 แบบ ไดแก ∅ , {2} , {3} , {5} , {2, 3} , {2, 5} , {3, 5} และ {2, 3, 5} ดังนั้น P (C) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} ง. D = ∅ ตอบ มีสับเซต 2 = 1 แบบ ไดแก ∅ ดังนั้น P (D) = {∅} 1 2 3 0 Math E-Book Release 2.2 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¹o§æ Áa¡¨aÊaºÊ¹ÃaËÇÒ§ ∅ ¡aº {∅} ÇÒµÒ§¡a¹oÂÒ§äà ... ∅ (e«µÇÒ§) e»ÃÕºeÊÁ×o¹¡Åo§e»ÅÒæ äÁ ÁÕoaäÃoÂÙã¹¹aé¹eÅ (¨íҹǹÊÁÒªi¡e·Ò¡aº 0) ¨ae¢Õ¹ÊaÅa¡É³e»¹ { } ¡çä´ æµ¶Ò¶ÒÁÇÒ¡Åo§ãºË¹Ö觫Öè§ÁÕ¡Åo§e»ÅÒoÕ¡ ãºoÂ٢ҧ㹠¹aºe»¹¡Åo§ÇÒ§e»ÅÒËÃ×oäÁ ¤íÒµoº¡ç¤×oäÁe»ÅÒæÅÇãªäËÁ¤Ãaº ¡çeËÁ×o¹¡a¹¡aº e«µ¢o§e«µÇÒ§ {∅} «Öè§äÁä´e»¹e«µÇÒ§oÕ¡µoä»æÅÇ ... ËÃ×o¶ÒµoºÊaé¹æ ¡ç¤×o n(∅) = 0 æµ n({∅}) = 1 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 14 ตัวอยาง กําหนด E = {∅, {0}, {∅}} ใหหา P(E) ตอบ {∅, {∅}, {{0}}, {{∅}}, {∅, {0}}, {∅, {∅}}, {{0}, {∅}}, {∅, {0}, {∅}}} • ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1, 3, 5, 7} และ ก. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P (A) ตอบ คําวา X ∈ P (A) ก็คือ X ⊂ A ดังนั้น มีเซต X ทีเ่ ปนไปไดทั้งหมด 2 = 16 แบบ หากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลว จะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้ • B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา 4 ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + ⎜ 4 ⎟ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ แบบ ข. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P (A) และ n (X) < 2 ตอบ คําวา X ∈ P (A) ก็คือ X ⊂ A ซึ่งมี 16 แบบ (ดังขอ ก.) แตขอนี้ตองการ n (X) < 2 เทานั้น หากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลวจึงจะทราบวิธีคํานวณ ดังนี้ ⎛⎜ 04 ⎞⎟ + ⎛⎜ 14 ⎞⎟ + ⎛⎜ 24 ⎞⎟ = 1 + 4 + 6 = 11 แบบ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (แตถายังไมไดศกึ ษา ก็คงตองเขียนนับเอาโดยตรง) ค. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ⊂ Y และ Y ⊂ B ตอบ ตองการ A ⊂ Y ก็แปลวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองอยูใน Y ครบทุกตัว ... และ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y ⊂ B แลว) ... การที่ 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เปรียบเสมือนการหาสับเซต ทุกแบบของ {2, 4, 6} นัน่ เอง จึงตอบวา 2 = 8 แบบ 3 แบบฝึกหัด 1.1 (1) กําหนด A, B เป็นเซตที่มีลักษณะ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (1.1) {x} ⊂ B (1.2) {y} ⊄ A (2) ให้ A = {{∅}, a, b, {a}, {a, b}} (2.1) {∅} ∈ A (2.2) {∅} ⊂ A A ⊂ B และ A ≠ B (1.3) (1.4) ถ้า x ∈ A และ แล้ว {A} ⊂ {B} {A} ≠ {B} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (2.3) {{a}, b} ⊂ A (2.4) {a, b} ∈ A และ (3) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (3.1) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (3.2) ถ้า A ∈ B และ B ∈ C แล้ว A ∈ C (3.3) ถ้า A ⊄ B และ B ⊄ C แล้ว A ⊄ C Math E-Book Release 2.2 y ∈B (คณิต มงคลพิทักษสุข) {a, b} ⊄ A คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 15 (4) ให้ A เป็นเซตใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (4.1) { x | x = A } = {A} (4.2) { x | x ∈ A } = A (4.3) (4.4) { x | {x} ⊂ A } = {A} { x | {x} ⊂ ∅ } = ∅ (5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (5.1) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สับเซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.2) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สับเซตแท้ของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.3) ถ้า n (A) = 5 แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.4) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 ตัว (6) ถ้า A มีสับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชิกกี่ตัว และในจํานวน 511 เซตนั้น สับเซตที่มีสมาชิกเพียง 5 ตัวมีกี่เซต (7) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (7.1) ∅ ∈ ∅ (7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.3) ∅ ∈ {∅} (7.4) ∅ ⊂ {∅} (8) ถ้า ∅ ∈ P (∅) ∅ ⊂ P (∅) {∅} ∈ P (∅) {∅} ⊂ P (∅) A = {∅, a, {b}, {a, b}} (8.1) (8.2) (8.3) (8.4) (8.5) (9) ถ้า (7.5) (7.6) (7.7) (7.8) แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (8.6) a ∈ P (A) {∅} ∈ P (A) (8.7) {a} ∈ P (A) ∅ ⊂ P (A) (8.8) {b} ∈ P (A) {∅} ⊂ P (A) (8.9) {{b}} ∈ P (A) {∅, a, {b}} ∈ P (A) (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ ∅ ∈ P (A) A = {∅, 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}} (9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P (A) (9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P (A) P (A) แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P (A) (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P (A) (10) [Ent’39] ให้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แล้วจงหา n (X) และ เมื่อกําหนด X = { A ∈ P (S) | 1 ∈ A และ 7 ∉ A } และ Y = { A ∈ X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 } n (Y) 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะของเซตชัดเจนขึ้น การเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมให้เอกภพสัมพัทธ์ U เป็นกรอบ สี่เหลี่ยม ซึ่งภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทน ขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ โดยจะเขียนให้มีบริเวณที่เซต สองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพ Math E-Book Release 2.2 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¤ÇèaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æºº ·aèÇä» ¤×oãËÁÕÊÁÒªi¡ÃÇÁ¡a¹¡o¹ (eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æÅǨҡ¹aé¹eÁ×èo·ÃÒº ÇÒªié¹Êǹã´äÁÁÕÊÁÒªi¡ ¤o¢մËÃ×oæÃe§Ò ·ié§ä».. ·íÒ溺¹Õéoo¡Òʼi´¨a¹oÂŧ¤Ãaº.. (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 16 U U U A A B A A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน สมมติว่า B B A และ B มีสมาชิกร่วมกัน U A = {0, 1, 2, 3, 4} B = {1, 3, 5, 7, 9} A C = {2, 3, 5, 7, 11} A เป็นสับเซตของ B 1 9 B 2 3 57 11 C 04 จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้ การดําเนินการเกี่ยวกับเซต เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม 1. ยูเนียน (Union : ∪ ) ... เซต A ∪ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมด U U U A A B A B B ยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B 2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ B บางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น AB (คือ ละเครื่องหมายอินเตอร์เซคชันไว้) U U U A A B A B B อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็น A 3. คอมพลีเมนต์ (Complement : ' ) เซต A' คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน A บางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น A c หรือ A U A 4. ผลต่าง (Difference หรือ Relative Complement : − ) B − A คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... หรือ B − A = B ∩ A' จะเรียก B − A ว่า “คอมพลีเมนต์ของ B เมื่อเทียบกับ A” ก็ได้ U U U A A ข้อสังเกต โดยทั่วไป B A n (B − A) ≠ n (B) − n (A) B B แต่ n (B − A) = n (B) − n (A ∩ B) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 17 สมบัติที่เกี่ยวกับการดําเนินการของเซต • การแจกแจง A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) • คอมพลีเมนต์ และเพาเวอร์เซต (A ∪ B) ' = A '∩ B ' A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A ∩ B) ' = A '∪ B ' A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B) หมายเหตุ ในภาษาอังกฤษบางครั้งอ่าน A ∪B ว่า A cup B และอ่าน A ∩B ว่า A cap B ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา (ในขอ ก. และ ข. จําเปนตองใชความเขาใจเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู ดวย) ก. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ∩ Y ≠ ∅ และ Y ⊂ B ตอบ วิธีคดิ ตางจากตัวอยางที่แลว ( A ⊂ Y ⊂ B ) เล็กนอย ... ขอนี้ตองการ A ∩ Y ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองมีอยูใน Y (มีกีต่ ัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Y = ∅ ) การอยูกี่ตัวก็ได แตไมอยูเลยไมได ก็คือการหาสับเซตทุกแบบของ {1, 3, 5, 7} ทีไ่ มใชเซตวาง นั่นเอง ใน ขั้นตอนนี้จึงได 2 − 1 = 15 แบบ ... อีกเงื่อนไขคือ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง บางตัวของ 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y ⊂ B แลว) ... ขัน้ นี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 8 แบบ ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กัน ทั้งสิ้น 15 × 8 = 120 แบบ • 4 3 ข. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ และ Z ⊂ A ตอบ วิธีคดิ เหมือนขอ ก. ... นัน่ คือ ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3 ตองมีอยูใน Z (มีกี่ตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Z = ∅ ) ที่สาํ คัญคือ สมาชิก 2 หามอยูใน Z เพราะจะ ขัดแยงกับอีกเงื่อนไข ( Z ⊂ A ) ... ในขั้นตอนนี้จึงได 2 − 1 = 3 แบบ ... อีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A แปลวา 5, 7 จะอยูใน Z กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง บางตัวของ 1, 3 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Z ⊂ A แลว) ... ขัน้ นี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 4 แบบ ... คําตอบขอนีต้ อ งนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขัน้ ตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น 3 × 4 = 12 แบบ 2 2 ค. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ และ Z ⊂ A ตอบ ขอนี้งายทีส่ ุด เนื่องจาก ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 2, 3 หามมีอยูใน Z เลยแมแตตัวเดียว เมื่อประกอบกับอีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A จึงไดวา สมาชิก 5, 7 เทานัน้ ที่จะอยูใน Z (กี่ ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เพราะแม Z = ∅ ก็ยังทําใหเงือ่ นไข Z ⊂ A เปนจริงอยูดี) ... จึงไดคาํ ตอบ เปน 2 = 4 แบบ 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 18 ตัวอยาง ถา C = {∅, {∅}, 0, {{∅}, 0}, {∅, {0}}, {{∅, {0}}}} ใหหาคาของ ก. n (P (C)) ตอบ เนื่องจาก n (C) = 6 ดังนั้น n (P (C)) = 2 = 64 • 6 ข. n (P (C) − C) ไมไดคิดจาก 64 − 6 = 58 ... เพราะโดยทั่วไปสมาชิกของ C นัน้ ไมไดอยูใน P (C) ทั้งหมด การจะคิด n (P (C) − C) ตองดูวา สมาชิกของ C นั้นอยูใ น P (C) กี่ตัว เริ่มพิจารณาเรียงไปทีละตัว เริ่มจาก ∅ “อยู” (เพราะ ∅ เปนสับเซตของทุกเซต นอกจากนั้น การเขียนเพาเวอรเซตใหเปนระเบียบยังมักจะเริ่มดวย ∅ ) ... ตอมา {∅} ก็ “อยู” อยูในขั้นตอนที่หยิบ สมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เซตวางที่ปรากฏในนี้เปนสมาชิกตัวแรกสุดใน C ) หรือกลาววา “อยู” เพราะ ∅ ∈ C ... ตอมา 0 อันนี้ “ไมอยู” เพราะไมใชเซต สิ่งที่อยูใ นเพาเวอรเซตใดๆ ได ตองเปนเซต!... ตอมา {{∅}, 0} อันนี้ “อยู” มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปสองตัว (ในที่นี้เปนตัวสองกับตัวสาม) หรือ กลาววา “อยู” เพราะ {∅} ∈ C และ 0 ∈ C ... ตอมา {∅, {0}} อันนี้ “ไมอยู” เพราะ {0} ∉ C ... และสุดทาย {{∅, {0}}} อันนี้ก็ “อยู” เพราะวา {∅, {0}} ∈ C มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไป หนึ่งตัว (เปนตัวที่หา) นั่นเอง สรุปแลว สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) 4 ตัว ดังนั้น n (P (C) − C) = 64 − 4 = 60 ตอบ n (P (C) − C) ค. n (C − P (C)) ตอบ n (C − P (C)) ก็ไมไดคดิ จาก 6 − 64 ... แตตองดูวา สมาชิกของ P (C) นัน้ อยูใ น C กี่ตัว ซึ่งมี วิธีคิดเชนเดียวกับขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n (C ∩ P (C)) = 4 ... ดังนั้น จึงทําให n (C − P (C)) = 6 − 4 = 2 หากดูแผนภาพประกอบจะเขาใจยิ่งขึ้น เราทราบวา (ขอ ก.) n (C) = 6 และ n (P (C)) = 64 จากนั้นนับในขอ ข. วา n (C ∩ P (C)) = 4 จึงได (ข.) n (C − P (C)) = 2 และ (ค.) n (P (C) − C) = 60 ง. n [(P (C) − C) ∪ (C − P (C))] ตอบ จากขอ ข. กับ ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดคําตอบเปน (นํามาบวกกันไดทันที เพราะสองสวนนีไ้ มไดซอนทับกัน) 2 4 C 60 P(C) 60 + 2 = 62 แบบฝึกหัด 1.2 (11) กําหนดให้ A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} ก. C'∪ B' B ∩ C = {2, 3, 5} A ∩ C = {0, 3, 5} แล้ว ข้อใดผิด ข. B ∩ C ' = {1} ค. A ∩ C ' = {1} A ∩ B ' = {0} (12) ให้เขียนเซต A ∩ B = {1, 3, 5} แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อกําหนดให้ เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม U = { x ∈ I | 1 < x < 10 } Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ง. B ∩ A ' = {2, 4} คณิตศาสตร O-NET / A-NET B = {x | x เซต 19 หาร 3 ลงตัว } และ C = {x | x < 5} (13) [Ent’38] ถ้า A = {0, 1} และ B = {0, {1}, {0, 1}} แล้ว (13.1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด A ∈ P (B) (13.2) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด {1} ∈ P (A) ∩ P (B) (13.3) ค่าของ n (P (A ∪ B)) − n (P (A ∩ B)) เป็นเท่าใด (14) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (14.1) ∅ ' = U (14.2) U ' = ∅ (14.3) A ⊂ (A ∪ B) (14.4) B ⊂ (A ∪ B) (14.5) (A ∩ B) ⊂ A (14.6) (A ∩ B) ⊂ B (14.7) A ∩ A ' = ∅ (14.8) A ∪ A ' = U (14.9) A − U = ∅ และ U − A = A ' (14.10) A − ∅ = A และ ∅ − A = ∅ (14.11) A − A = ∅ (14.12) A − B = A ∩ B ' (15) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (15.1) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A) ⊂ P (B) (15.2) ถ้า A ∪ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.3) ถ้า A ∩ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.4) ถ้า A − B = ∅ และ B − C = B แล้ว A ' ∪ C ' = U (15.5) ถ้า A − B = ∅ และ B − C ≠ ∅ แล้ว A − C ≠ ∅ (16) สําหรับเซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (16.1) A ∩ B ≠ A ∪ B (16.5) ถ้า (16.6) ถ้า (16.2) A − B ≠ B − A (16.7) ถ้า (16.3) A ∩ B = A − B ' (16.8) ถ้า (16.4) (A ∪ B) ' = B '− A (17) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด (17.1) A − (A ∩ B) (17.2) (A − B) ∪ B (17.3) (A − B) ∩ B (17.4) A ∩ (A − B) (17.5) A ∪ (A − B) x ∉ A x ∈ A x ∉ A x ∈ A A −B = A อย่างน้อย 3 กรณี Math E-Book Release 2.2 x ∉ A ∪B x ∉ A '∩B' x ∈ A '∩B' x ∈ (A ' ∪ B ') ' (17.6) (A ∪ B) − B (17.7) (A ∩ B) − B (17.8) A − (A − B) (17.9) (A − B) ∩ (B − A ') (18) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ (18.1) ถ้า A ∪ C = B ∪ C แล้ว A = B (18.2) ถ้า A ∩ C = B ∩ C แล้ว A = B (18.3) ถ้า A − C = B − C แล้ว A = B (18.4) ถ้า A ' = B ' แล้ว A = B (19) ให้บอกเงื่อนไขที่ทําให้ แล้ว แล้ว แล้ว แล้ว (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 20 (20) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด (20.1) [Ent’21] (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B) (20.2) [A ∩ (A '∪ B)] ∪ [B ∩ (B '∪ A ')] (20.3) ([(A − B) ∪ (B − A)] − A ') ∪ ( A '− [(A − B) ∪ (B − A)]) (20.4) [(A ∪ B) '∩ (B − C ')] ∪ ([(D − E) ∩ (C '− E ')] ∪ (A − E ')) ' (21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (21.1) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A '∩ B ∩ C) ∪ (B '∪ C ') = U (21.2) (A ∩ B ∩ C ∩ D ') ∪ (A '∩ C) ∪ (B '∩ C) ∪ (C ∩ D) = (21.3) P (A ∩ B) ⊂ P (A ∪ B) (21.4) P (A − B) ∩ P (B − A) = {∅} (21.5) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B) C (22) ให้ A = {0, 1, 2, 3} , B = {{0}, 1, 2, {3}} และ C = {0, {1}, {2}, 3} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (22.1) P (A) ∩ P (B) ∩ P (C ') = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} (22.2) P (A) ∩ P (B ') ∩ P (C) = {∅, {0}, {3}, {0, 3}} (22.3) P (A ') ∩ P (B) ∩ P (C) = {∅, {0}} (22.4) P (A) ∩ P (B ') ∩ P (C ') = {∅} (23) ถ้า n (U) = 35 , n (A) = 22 , n (B) = 18 ให้หาว่า n (A '∩ B ') จะมีค่ามากที่สุดได้เท่าใด (24) ถ้า n (A) = a , n (B) = b , n (C) = c , n (D) = d n (A ∩ B) = b , n (B ∩ C) = c , n (C ∩ D) = d ให้หา n (A ∩ B ∩ C ∩ D) (25) ให้ C ⊂ A, A, B, C และ เป็นเซตซึ่ง n (A ∪ B ∪ C ∪ D) P (C) = {∅, {a}, {c}, C} , n (P (A)) = 8 , n (P (B)) = 16 , C ⊂ B , {b, d, e} ⊂ A ∪ B ก. ค. แล้ว และ b ∈ A ∩B ' d ∈ (A ∪ B ') ' ข. ง. b ∉ (A ' ∪ B ') ' (26) เมื่อ A = {∅, 1, {1}} และ A ∩ B ' (26.1) n [ P (A) ∩ P (B) ] = 8 (26.2) {1} ∈ P (A ∩ B) = ∅ ข้อใดผิด e ∈ (C ∪ B ') ' {b, e} ⊂ (A '∪ B) ' แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (26.3) P (A − B) = {∅} (26.4) P (B − A) = {∅} (27) [Ent’36] ถ้า A = {∅, {∅}, 0, {0}, {1}, {0, 1}} แล้ว จงหาจํานวนสมาชิกของเซต [ P (A) − A ] ∪ [ A − P (A) ] (28) มีเซต A ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้กี่แบบ (28.1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5} (28.2) A ∪ B = {1, 2, 3, ..., 15} และ B = {2, 4, 6, 8, 10} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (29) กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ จะมีเซต X ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่แบบ (29.1) B ⊂ X ⊂ A (29.2) X ⊂ A และ B ∩ X ≠ ∅ B ⊂ A (30) ถ้า (30.1) (30.2) โดย เซต 21 B = {1, 2, 3} n (A) = 10 , n (B) = 4 แล้ว n (C) ให้หาค่า ในแต่ละข้อต่อไปนี้ C = {S |B ⊂ S ⊂ A} C = {S ⊂ A | S ∩B ≠ ∅} (31) กําหนด A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2} C = {1, 2, 3} ให้หาจํานวนเซต X ซึ่ง X ⊂ A และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (31.1) B ∩ C ' ⊂ X (31.3) B ∩ D ⊂ (31.4) B ∩ D ⊄ (31.2) B ∩ C ' ⊄ X (32) ถ้า และ C = {1, 7} ที่เป็นไปได้กี่แบบที่ตรงตามเงื่อนไข (B '− C) ⊂ D D X X U = {1, 2, 3, 4, ..., 8} A = U − {1} มีเซต D = {0, 2, 3} (33) กําหนดให้ B = {2, 4, 6} U = { x ∈ I | −2 < x < 6 } 2 A = {k | k ∈ U } จํานวนสมาชิกของเซต และ B = { เมื่อ ⊂ A I = เซตของจํานวนเต็ม k |k ∈ U} C = {x | A ∩B ⊂ x และ x ⊂ A ∪B} เป็นเท่าใด (34) ให้ A = {a, b, c, d, f} และ B = {a, c, d, e} เซต X ซึ่ง X ⊂ A ∪ B และ A ∩ B ∩ X ≠ ∅ มีกี่เซต (35) ให้ A = {1, 3, 5, 7, 9} และ Sk = { B ⊂ A | n (B) = ให้หาค่า n (S) เมื่อ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 (36) กําหนดเซต A, B เป็นสับเซตของ U หาก n (U) = n (A ∩ B ') = 32 แล้วค่าของ n (A '∩ B ') เป็นเท่าใด k} 100 , n (A ') = 40 , n (B) = 55 , 1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณส่วนประกอบต่างๆ และมีสูตรในการหาจํานวนสมาชิกในเซตเพิ่มเติมดังนี้ • ·íÒ¤ÇÒÁe¢Ò㨴ÇÂÃÙ»ÀÒ¾¡ç´Õ¹a¤Ãaº.. สําหรับ 2 เซต n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = + - สําหรับ 3 เซต n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) − n (A ∩ B) − n (A ∩ C) − n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) = + - - + - + คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 22 • ตัวอยาง จากการสอบถามนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีจํานวน 30 คน พบวามีนกั เรียนชอบเรียนวิชา คณิตศาสตร 12 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 15 คน โดยชอบทัง้ สองวิชาอยู 5 คน ถามวามีนักเรียนใน หองนี้ที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชาอยูก ี่คน วิธีคิด จะสังเกตไดวา U คือนักเรียนในหองนี้ และมีเซตอยูสองเซต คือ ชอบเรียนคณิตศาสตร กับชอบ เรียนภาษาอังกฤษ (ซึ่งมีบางคนชอบทั้งสองวิชา แสดงวาสองเซตนีม้ ีสวนซอนทับกัน) U ก ข ค Math Eng ง วิธีที่ 1 “ชอบทั้งสองวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง ข เปน 5 “ชอบเรียนคณิตศาสตร 12 คน” จะได ชอง ก เปน 12-5=7 “ชอบเรียนภาษาอังกฤษ 15 คน” จะได ชอง ค เปน 15-5=10 ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา คือชอง ง นั้น สามารถคํานวณไดดังนี้ 30-5-7-10 = 8 คน ... ตอบ วิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n (M) = 12 , n (E) = 15 , และ n (M ∩ E) = 5 … ดังนั้น เราหา n (M ∪ E) ไดตามสูตร n (M ∪ E) = 12 + 15 − 5 = 22 ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา เทากับ 30 − 22 = 8 คน ... ตอบ • ตัวอยาง ในการสอบของนักเรียนชั้นหนึ่ง พบวามีผูสอบผานวิชาคณิตศาสตร 37 คน วิชาสังคมศึกษา 48 คน วิชาภาษาไทย 45 คน โดยมีผูที่สอบผานทั้งวิชาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ทั้งสังคมศึกษาและ ภาษาไทย 13 คน ทั้งคณิตศาสตรและภาษาไทย 7 คน และมีผทู ี่สอบผานทั้งสามวิชาเพียง 5 คน ถามวาที่ กลาวมานี้มีนักเรียนอยูทั้งหมดจํานวนเทาใด วิธีคิด มีเซตอยูสามเซต คือ สอบผานคณิตศาสตร สอบผานสังคมศึกษา และสอบผานภาษาไทย (ซึ่งมี ผูสอบผานหลายวิชา แสดงวาสามเซตนีม้ ีสวนซอนทับกัน) โจทยไมไดกลาวถึงผูสอบไมผาน ดังนั้นอาจไม ตองเขียนกรอบสี่เหลี่ยมแทน U ก็ได (คือไมมีชอง ซ) Social วิธีที่ 1 “ผานทั้งสามวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง จ เปน 5 Math พิจารณาการสอบผานสองวิชา จะได ชอง ข เปน 15-5=10, ก ข ค ชอง ฉ เปน 13-5=8, ชอง ง เปน 7-5=2 จ ง ฉ พิจารณาการสอบผานหนึ่งวิชา จะได ชอง ก 37-10-5-2=20, ชอง ค 48-10-5-8=25, และชอง ช 45-2-5-8=30 ช Thai ดังนัน้ จํานวนคนรวมทุกชอง 5+10+8+2+20+25+30 = 100 คน ตอบ วิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n (M) = 37 , n (S) = 48 , n (T) = 45 n (M ∩ S) = 15 , n (S ∩ T) = 13 , n (M ∩ T) = 7 และ n (M ∩ S ∩ T) = 5 … ดังนั้น เราหา n (M ∪ S ∪ T) ไดจาก n (M ∪ S ∪ T) = 37 +48 + 45−15−13 −7 +5 ดังนั้น จํานวนนักเรียนทั้งหมดในชั้น (ที่กลาวถึง) เทากับ 100 คน ... ตอบ = 100 ถึงแม้การคิดด้วยสูตร (วิธีที่สอง) ทําให้คํานวณได้รวดเร็ว แต่โจทย์บางข้อก็เหมาะกับวิธีแรก (แยก ชิ้นส่วน) เท่านั้น ดังเช่นโจทย์ส่วนใหญ่ในแบบฝึกหัดต่อไป Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 23 แบบฝึกหัด 1.3 (37) นักเรียน 80 คน เป็นนักกีฬา 35 คน เป็นนักดนตรี 27 คน และไม่ได้เป็นทั้งนักกีฬาและนัก ดนตรี 32 คน ถามว่ามีนักเรียนที่ไม่ได้เป็นนักกีฬา หรือ ไม่ได้เป็นนักดนตรี อยู่กี่คน (38) [Ent’33] จากการสํารวจนักเรียนห้องหนึ่ง พบว่ามี 20 คนที่เรียนฝรั่งเศสหรือคณิตศาสตร์ (โดยที่หากเรียนฝรั่งเศสแล้วต้องไม่เรียนคณิตศาสตร์) มี 17 คนที่ไม่เรียนคณิตศาสตร์ และมี 15 คนที่ไม่เรียนฝรั่งเศส แล้วมีกี่คนที่ไม่เรียนทั้งสองวิชานี้เลย (39) [Ent’34] จากการสอบถามผู้ดื่มกาแฟ 20 คน พบว่าจํานวนผู้ใส่ครีม น้อยกว่าสองเท่าของผู้ใส่ น้ําตาลอยู่ 7 คน และจํานวนผู้ที่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาล เท่ากับจํานวนผู้ที่ไม่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาล ดังนั้นมีผู้ที่ใส่ครีมทั้งหมดกี่คน (40) พนักงานบริษัท 34 คน ถูกสํารวจเกี่ยวกับการสวมนาฬิกา แว่นตา และแหวน ปรากฏว่าสวม แว่นอย่างเดียว 5 คน จํานวนคนสวมนาฬิกามากกว่าจํานวนคนสวมแว่นตาอยู่ 1 คน จํานวนคนไม่ สวมนาฬิกาเป็น 3 เท่าของจํานวนคนสวมแหวน นอกจากนั้น คนสวมแหวนทุกคนสวมแว่น แต่คน สวมนาฬิกาไม่มีคนใดสวมแว่น จะมีคนสวมนาฬิกากี่คน (41) [Ent’26] นักเรียนคนหนึ่งไปพักผ่อนที่พัทยา ตลอดช่วงเวลานั้นเขาสังเกตได้ว่ามีฝนตก 7 วัน ในช่วงเช้าหรือเย็น โดยถ้าวันใดฝนตกช่วงเช้าแล้วจะไม่ตกในช่วงเย็น, มี 6 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเช้า และมี 5 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเย็น ถามว่านักเรียนคนนี้ไปพักผ่อนที่พัทยากี่วัน (42) จากการสํารวจสายตาและสุขภาพฟันของนักเรียน 160 คน ซึ่งมีนักเรียนชายอยู่ 100 คน (นักเรียนชายสายตาไม่ดี 30 คน และฟันผุ 35 คน) พบว่ามีนักเรียนที่สายตาดีและฟันไม่ผุอยู่ 80 คน (เป็นชาย 55 คน) และมีนักเรียนที่สายตาไม่ดีทั้งหมด 50 คน ฟันผุทั้งหมด 60 คน ถามว่ามี นักเรียนที่สายตาดี หรือ ฟันไม่ผุ รวมทั้งหมดกี่คน (43) ในจํานวนนักเรียน 35 คนซึ่งเป็นหญิง 11 คน ถ้าพบว่าชอบเล่นบาสเกตบอลกับฟุตบอลอย่าง น้อยคนละอย่าง โดยมีนักเรียนชาย 16 คนชอบบาสเกตบอล นักเรียนหญิง 7 คนชอบฟุตบอล นักเรียนชอบบาสเกตบอลทั้งหมด 23 คน ฟุตบอล 21 คน ถามว่านักเรียนชายที่ชอบทั้งสองอย่างมีกี่ คน (44) โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 600 คน หญิง 500 คน ในจํานวนนี้มีนักเรียนที่มาจาก ต่างจังหวัดรวม 300 คน เป็นผู้ชาย 200 คน และมีนักกีฬารวม 50 คน เป็นผู้ชาย 30 คน โดยมี นักกีฬาที่มาจากต่างจังหวัด 25 คน เป็นชาย 15 คน ถามว่านักเรียนชายที่ไม่ได้มาจากต่างจังหวัด และไม่ได้เป็นนักกีฬาด้วย มีกี่คน (45) เซตของจํานวนเต็มเซตหนึ่ง หากนํา 3 หรือ 4 ไปหารจะปรากฏว่า 4 หารลงตัวอย่างเดียว 6 จํานวน, 3 หารลงตัวทั้งหมด 8 จํานวน ซึ่งเป็นจํานวนคู่ 3 จํานวน, ทั้ง 3 และ 4 หารลงตัว มี 2 จํานวน, และ 4 หารไม่ลงตัว 18 จํานวน ซึ่งเป็นจํานวนคู่ 4 จํานวน ถามว่าจํานวนสมาชิกของเซตนี้ เป็นเท่าใด, จํานวนคู่ในเซตนี้มีกี่จํานวน, และมีจํานวนที่ 3 หรือ 4 หารไม่ลงตัวกี่จํานวน (46) [Ent’31] จากการสํารวจความนิยมของผู้ไปเที่ยวสวนสัตว์ 100 คน พบว่า 50 คนชอบช้าง, 35 คนชอบลิง, 25 คนชอบหมี, 32 คนชอบแต่ช้าง, 20 คนชอบหมีแต่ไม่ชอบลิง, 10 คนชอบช้างและลิง แต่ไม่ชอบหมี, ให้หาจํานวนคนที่ไม่ชอบสัตว์ทั้งสามชนิดนี้เลย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 24 (47) [Ent’38] จากการสํารวจผู้ฟังเพลง 180 คน พบว่ามีผู้ชอบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทย เดิม 92 คน และลูกทุ่ง 125 คน โดยแบ่งเป็น ผู้ชอบเพลงไทยสากลและไทยเดิม 52 คน เพลงไทย สากลและลูกทุ่ง 43 คน เพลงไทยเดิมและลูกทุ่ง 57 คน และทุกคนจะชอบฟังเพลงอย่างน้อยหนึ่งใน สามประเภท จงหาจํานวนผู้ที่ชอบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว (48) [Ent’39] ในการสํารวจความนิยมของคน 100 คน ที่มีต่อนาย U ก, ข, ค โดยทีท่ ุกคนต้องแสดงความนิยมให้อย่างน้อย 1 คน ปรากฏ ว่านาย ก ได้รับคะแนนนิยมมากกว่านาย ข อยู่ 6 คะแนน และเขียน ก แผนภาพได้ดังรูป ต่อไปนี้ข้อใดผิด ก. นาย ข ได้คะแนนนิยมน้อยที่สุด ข. ผลรวมของคะแนนทั้งสามคน เป็น 199 ค. ผู้ที่ลงคะแนนให้ นาย ก เท่านั้น มี 10 คน ง. ผลรวมของคะแนนที่ลงให้คนใดคนหนึ่งเพียงคนเดียว เท่ากับ 24 ข 20 22 23 11 9 ค (49) ในบรรดานักกีฬา 100 คนซึ่งเป็นชาย 60 คน พบว่ามีนักบาสเกตบอล 35 คน เป็นชาย 20 คน, มีนักเทนนิส 28 คน เป็นชาย 15 คน, มีนักวอลเลย์บอล 40 คน เป็นชาย 22 คน, เป็นทั้งนัก บาสเกตบอลและเทนนิส 14 คน เป็นชาย 6 คน, เป็นทั้งนักเทนนิสและวอลเลย์บอล 16 คน เป็น ชาย 10 คน, เป็นทั้งนักบาสเกตบอลและวอลเลย์บอล 20 คน เป็นชาย 11 คน, และมีนักกีฬาที่ไม่ได้ เล่นกีฬาสามประเภทนี้เลย 12 คน เป็นชาย 8 คน ให้หาว่านักกีฬาที่เล่นครบทั้งสามประเภทมีผู้ชาย มากกว่าผู้หญิงกี่คน (50) จํานวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 100 มีกี่จํานวนที่หาร 2 และ 3 และ 5 ไม่ลงตัว เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1) ข้อ (1.1) และ (1.4) ถูก (2) ข้อ (2.1) และ (2.3) ถูก (3) ข้อ (3.1) ถูก (4) ข้อ (4.3) ผิด (5) ข้อ (5.1) และ (5.4) ถูก (6) 9 ตัว, 126 เซต (7) ข้อ (7.1) และ (7.7) ผิด (8) ข้อ (8.6), (8.8), (8.10) ผิด (9) ข้อ (9.3) ผิด (10) 32, 6 (11) ข. (12) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (13) ผิด, ผิด, 16-2 (14) ถูกทุกข้อ (15) ข้อ (15.3) และ (15.5) ผิด (16) ข้อ (16.3),(16.4),(16.6) ถูก (17.1) A − B (17.2) A ∪ B (17.3) ∅ (17.4) A − B (17.5) A (17.6) A − B (17.7) ∅ (17.8) A ∩ B (17.9) ∅ (18) ข้อ (18.4) ถูก (19) A = ∅ หรือ B = ∅ หรือ A ∩ B = ∅ (20.1) A ∪ B (20.2) B (20.3) B ' (20.4) (A ∩ E) ' (21) ถูกทุกข้อ (22) ข้อ (22.3) ผิด (23) 13 (24) d, a (25) ง. (26) ข้อ (26.4) ผิด (27) 61+3 (28.1) 8 (28.2) 32 Math E-Book Release 2.2 (29.1) 16 (29.2) (8 − 1)× 16 (30.1) 64 (30.2) (16 − 1)× 64 (31.1) 16 (31.2) 16 (31.3) 8 (31.4) 24 (32) 16 (33) 4 (34) 56 (35) 31 (36) 13 (37) 66 (38) 6 (39) 11 (40) 13 (41) 9 (42) 130 (43) 6 (44) 385 (45) 26, 12, 24 (46) 13 (47) 20 (48) ค. (49) 22-13 (50) 26 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 25 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1.1) ถูก เพราะ ถ้า x ∈ A แสดงว่า x ∈ B ด้วย ดังรูป A (1.2) ผิด เพราะโจทย์บอกแค่ x เพียง y ∈ B , ยังไม่ชัดเจนว่า B y ∈ A หรือไม่ (อาจจะอยู่หรือไม่อยู่) (1.3) ผิด ถ้า {A} ⊂ {B} แสดงว่า A ∈ {B} ซึ่ง ผิด เพราะ {B} มีสมาชิกตัวเดียวคือ B (1.4) ถูก เพราะ A ≠ B (โจทย์กําหนด) ดังนั้น {A} ≠ {B} แน่นอน (2.1) ถูก (ในโจทย์นั้น A มีสมาชิกอยู่ 5 ตัว และ {∅} เป็นสมาชิกอยู่ในลําดับแรกสุด) (2.2) ผิด เพราะ {∅} ⊂ A แปลว่า ∅ ∈ A ซึ่งไม่ จริง (2.3) ถูก เพราะ {{a}, b} ⊂ A แปลว่า {a} ∈ A และ b ∈ A ซึ่งจริง (2.4) {a, b} ∈ A ถูก (เป็นสมาชิกอยู่ในลําดับ สุดท้ายในโจทย์) แต่ {a, b} ⊄ A นัน้ ผิด เพราะว่า a ∈ A และ b ∈ A ด้วย แสดงว่า {a, b} เป็นสับเซตของ A แน่ๆ ดังนั้นตอบ ผิด (3.1) ถูก (ข้อนีเ้ ป็นกฎที่ควรทราบ) (3.2) ผิด เช่น B = {A}, C = {B} ดังนั้น C = {{A}} ... จึงได้วา่ A ∉ C (3.3) ผิด เช่น A ⊂ C (A อยู่ใน C) แต่ B อยู่นอก A กับ C ดังรูป A (7.1) ผิด เพราะเซตว่างตัวขวาต้องไม่มีสมาชิก → แต่ถ้าเป็นแบบข้อ (7.3) จะถูก (7.2) ถูก เพราะว่าเซตว่างตัวขวามีซับเซต 20 = 1 แบบ คือ ∅ (ตัวมันเอง) หรืออาจบอกว่าเพราะ “ ∅ (ตัวซ้าย) จะเป็นสับเซต ของเซตใดๆ ทุกเซต” ก็ได้ (7.4) ถูก เหตุผลเดียวกับข้อ (7.2) นั่นคือ รูปแบบ ∅ ⊂ , จะถูกเสมอ → ดังนั้น (7.6) ก็ถก ู เช่นกัน (7.5) ถูก เพราะ ∅ ∈ P(∅) แปลว่า ∅ ⊂ ∅ (จะ เหมือนกับโจทย์ขอ้ 7.2) (7.7) ผิด เพราะ {∅} ∈ P(∅) แปลว่า {∅} ⊂ ∅ และแปลว่า ∅ ∈ ∅ (จะเหมือนกับโจทย์ขอ้ 7.1) (7.8) ถูก เพราะ {∅} ⊂ P(∅) แปลว่า ∅ ∈ P(∅) และแปลว่า ∅ ⊂ ∅ ถูก (จะเหมือนกับโจทย์ข้อ 7.2) (8.1) ∅ ∈ P(A) แปลว่า ∅ ⊂ A → ถูกเสมอ ไม่ ว่า A เป็นเซตใดๆ ก็ตาม (รูปแบบ ∅ ⊂ , ) (8.2) {∅} ∈ P(A) แปลว่า {∅} ⊂ A และแปลว่า ∅ ∈ A → ถูก (เพราะในโจทย์ มี ∅ อยู่ใน A ด้วย) (8.3) ∅ ⊂ P(A) ถูกทันทีเลย! เพราะเป็นรูปแบบ B C (4.1) และ (4.2) ถูก (เป็นไปตามนิยามของการเขียนเงือ่ นไขเซต) (4.3) ผิด เพราะ {x} ⊂ A คือ x ∈ A จึงต้อง ได้ผลเหมือนข้อ (4.2) (4.4) ถูก เพราะ {x} ⊂ ∅ คือ x ∈ ∅ ซึ่งพบว่า ไม่มี x ใดๆ ตรงตามนี้ ดังนั้นเซตในข้อนี้จงึ เป็นเซต ว่าง (5.1) ถูก คํานวณจาก 25 = 32 ... แต่ (5.2) ผิด เพราะต้องเหลือ 31 แบบ (25 − 1) (5.3) ผิด เพราะ P(A) จะมีเพียง 1 แบบเท่านัน้ แต่ภายใน P(A) มีสมาชิกอยู่ 32 ตัว... (5.4) จึงถูก (6) จาก 2n = 512 จึงได้ n = 9 ตัว และสับเซตทีด่ ึงสมาชิกมา 5 ตัวจาก 9 ตัว มีอยู่ 9! = 126 เซต (แบบ) และแปลได้วา่ ∅ ∈ A และ a ∈ A และ {b} ∈ A ซึ่งพบว่าเป็นจริงทั้งหมด (8.6) เป็นไปไม่ได้ทสี่ มาชิกของ P(A) ไม่ได้เป็นเซต → ข้อนี้จงึ ผิด (8.7) {a} ∈ P(A) แปลว่า {a} ⊂ A แปลว่า a ∈ A → ถูก (8.8) {b} ∈ P(A) แปลว่า {b} ⊂ A แปลว่า b ∈ A → ผิด (8.9) ถูก วิธคี ิดเดียวกับข้อ (8.8) นั่นคือ {b} ∈ A เป็นจริง (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P(A) แปลว่า ∅ ∈ P(A) จริง, a ∈ P(A) ไม่จริง, {b} ∈ P(A) ไม่จริง ดังนั้น ข้อนีผ้ ิด ∅ ⊂ , (8.4) {∅} ⊂ P(A) แปลว่า ∅ ∈ P(A) ตรงกับ โจทย์ขอ้ (8.1) ซึ่งถูก (8.5) ถูก เพราะ {∅, a, {b}} ∈ P(A) แปลว่า {∅, a, {b}} ⊂ A 5! 4! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P(A) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ A เซต 26 แปลว่า แปลว่า ∅ ∈ A และ {1} ∈ A และ {1, 2} ∈ A เป็นจริงทัง้ หมด ดังนัน้ ข้อนี้ถูก (9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P(A) แปลว่า ∅ ∈ P(A) → ∅ ⊂ A และ {1} ∈ P(A) → {1} ⊂ A → 1 ∈ A (13.1) A ∈ P(B) คือ A ⊂ B ดังนั้น ผิด (เพราะ 1 ∉ B ) ซึ่ง (13.2) จาก P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) ิ = P({0}) = {∅, {0}} ดังนั้น ข้อนี้ก็ผด (เพราะ {1} ∉ P(A) ∩ P(B) ) (13.3) A ∪ B = {0, 1, {1}, {0, 1}} จะได้ และ {1, 2} ∈ P(A) → {1, 2} ⊂ A → 1 ∈ A, 2 ∈ A ซึ่งพบว่าเป็นจริงทุกอย่าง ดังนัน้ ข้อนี้ถูก (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P(A) แปลว่า {{1}, {2}, {3}} ⊂ A และแปลว่า {1} ∈ A, {2} ∈ A, {3} ∈ A ซึ่งผิด (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P(A) แปลว่า n(P(A ∪ B)) = 24 = 16 A ∩ B = {0} จะได้ n(P(A ∩ B)) = 21 = 2 ดังนัน้ ตอบ 16 − 2 = 14 (14.1) และ (14.2) ถูก เพราะ U กับ ∅ เป็น ส่วนเติมเต็ม (complement) ของกันและกัน (14.3) ถึง (14.6) ถูกทั้งหมด พิจารณาจาก แผนภาพจะง่ายที่สดุ (14.7) และ (14.11) A − A = ∅ ถูก {1} ∈ P(A), {2} ∈ P(A), {3} ∈ P(A) ก็คือ {1} ⊂ A, {2} ⊂ A, {3} ⊂ A หรือแปลอีกที (14.8) ถึง (14.10) ถูก ... (14.12) ถูก (ต้อง รู้!) 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A ซึ่งถูก (10) สําหรับการหา n(X) แปลว่า “ให้หาว่ามีเซต (15.1) ถูก (เป็นสิ่งที่ควรทราบ) (15.2) ถูก A ∪ B = ∅ แสดงว่าต้องไม่มีเซตใดมี A ที่เป็นไปได้กี่แบบตามเงือ ่ นไขนี”้ สมาชิกอยู่เลย (ก) A ∈ P(S) (แปลว่า A ⊂ S ) กับ (ข) 1 ∈ A และ 7 ∉ A (แปลว่าใน A ต้องมี 1 (15.3) ผิด ถ้า A กับ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน ก็ สามารถทําให้ A ∩ B = ∅ ได้ หรือเมือ่ A กับ B และต้องไม่มี 7) แสดงว่า มีเฉพาะ 2, 3, 4, 5, 6 เท่านั้นที่เลือกได้ ว่า เป็นเซตว่าง เพียงเซตใดเซตหนึ่งก็ได้ (15.4) A − B = ∅ แสดงว่า A ⊂ B จะอยูห่ รือไม่อยู่ใน A ... ก็เปรียบเสมือนการหา จํานวนสับเซตแบบต่างๆ ของ {2, 3, 4, 5, 6} ..ฉะนั้น B − C = B แสดงว่า B กับ C แยกจากกัน (B ∩ C = ∅) ดังรูป n(X) = 25 = 32 A ส่วน n(Y) ให้หาว่ามี A เป็นไปได้กี่แบบ ซึ่ง A ∈ x และผลบวกไม่เกิน 6 C B วิธีคดิ ต้องนับเอาโดยตรงเท่านัน้ ได้แก่ ดังนัน้ A ' ∪ C ' = (A ∩ C) ' = ∅ ' = U ถูก {1} {1, 2} {1, 3} {1, 4} {1, 5} และ {1, 2, 3} (เพราะ A กับ C ก็แยกจากกัน) พบว่ามี A ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ..ฉะนั้น n(Y) = 6 (15.5) A − B = ∅ แปลว่า A ⊂ B (11) จาก A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C จะทําให้ทราบว่า B − C ≠ ∅ แปลว่า B ⊄ C A ∩ B ∩ C = {3, 5} จากนัน ้ วาดแผนภาพ A − C ≠ ∅ แปลว่า A ⊄ C B จาก A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} ดังนัน้ เปลี่ยนโจทย์กลายเป็น 1 4 แสดงว่าใน A กับ C ส่วนที่ " A ⊂ B และ B ⊄ C 35 A A เหลือไม่มีสมาชิกใดเลย และ แล้ว A ⊄ C " อันนี้เท็จ 0 2 C 4 ∈ B ดังนัน ้ เช่น รูปนี้ A ⊂ C ได้ B ก. A − B = {0} ถูก C (16.1) ผิด เช่นถ้า A = B จะได้ ข. B − C = {1} ผิด ..ต้องได้ {1, 4} A ∩ B = A ∪ B = A = B ด้วย (16.2) ผิด เช่นถ้า A = B จะได้ ค. A − C = {1} ถูก A −B = B−A = ∅ ง. B − A = {2, 4} ถูก (16.3) ถูกเสมอ มาจากกฎ (12) U = {1, 2, 3, ..., 10} → B = {3, 6, 9} และ A − B ' = A ∩ (B ') ' = A ∩ B C = {1, 2, 3, 4, 5} ต้องการหาเซต C ' ∪ B ' ก็คอ ื (16.4) B '− A = B '∩ A ' = (B ∪ A) ' ถูก (C ∩ B) ' ซึ่งเราได้ C ∩ B = {3} ดังนัน ้ ตอบ (16.5) ผิด x อาจมาจากใน B ก็ได้ {1, 2, 4, 5, 6, 7, ..., 10} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 27 (16.6) A ' ∩ B ' = (A ∪ B) ' ถ้า x ∈ A แล้ว x ∉ (A ∪ B) ' ..ถูก (16.7) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∈ (A ∪ B) ' ..ผิด ( x อาจอยู่ใน B ได้) (16.8) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∈ A ∩ B ..ผิด ( x อาจอยู่เพียงใน A โดยไม่อยู่ใน B ) (17) ใช้การมองจากแผนภาพจะง่ายทีส่ ุด (แผนภาพจะต้องเป็นแบบทั่วไป คือมีส่วนซ้อนทับกัน) (20.4) มีถึง 5 เซต จึงต้องใช้การแจกแจงช่วยคิด (วาดแผนภาพไม่ได้) ก้อนซ้ายได้ A '∩ B '∩B∩C = ∅ U ก ข A (17.1) A−B ค B ∅ ก้อนกลางได้ D ∩ E ' ∩ C '∩ E = ∅ ∅ ก้อนขวาได้ A ∩ E รวมกันได้ ∅ ∪ (∅ ∪ (A ∩ E)) ' = (A ∩ E) ' (21.1) จากโจทย์ ดึง B ∩ C ออกจากสองวงเล็บ แรก = [(A ∪ A ' ) ∩ B ∩ C] ∪ (B ∩ C) ' U ง A−B A∩B A − (A ∩ B) ⇒ กข เซต = (B ∩ C) ∪ (B ∩ C) ' = U – B−A ข=ก ⇒ C = C ∩ [(A ∩ B ∩ D ') ∪ A '∪ B '∪ D] (21.2) จากโจทย์ ดึง ตอบ (17.2) (A − B) ∪ B ⇒ ก ∪ ขค = กขค ⇒ ตอบ A ∪ B (17.3) (A − B) ∩ B ⇒ ก ∩ ขค = ∅ ข้ออืน่ ๆ ก็สามารถคิดด้วยวิธีเดียวกัน ได้คําตอบดังนี้ (17.4) A ∩ (A − B) = A − B (17.5) A ∪ (A − B) = A (17.6) (A ∪ B) − B = A − B (17.7) (A ∩ B) − B = ∅ (17.8) A − (A − B) = A ∩ B (17.9) เนื่องจาก B − A ' = B ∩ A ดังนัน้ (A − B) ∩ (B − A ') ⇒ ก ∩ ข = ∅ (18.1) ผิด เช่นหาก C = U แล้ว A กับ B ไม่ จําเป็นต้องเท่ากัน (18.2) ผิด เช่นหาก C = ∅ (18.3) ผิด เช่นหาก C = U (18.4) ถูก (19) B = ∅ หรือ A ∩ B = ∅ (แยกกันอยู่) หรือ A = ∅ (20) ถ้ามีเพียง 2 เซต สามารถใช้วิธที ดเอาจาก แผนภาพเซตเหมือนข้อ (17) (20.1) ก ∪ ค ∪ ข = กขค = A ∪ B (20.2) (กข ∩ ขคง) ∪ (ขค ∩ กคง) =ข ∪ ค= B (20.3) (กค – คง) ∪ (คง – กค) = ก ∪ ง = B' ถูก ออกจากทุกวงเล็บ จัดรูป A, B, D ตัวหลังใหม่ = C ∩ [ (A ∩ B ∩ D ') ∪ (A ∩ B ∩ D ') ' ] = C U ถูก (21.3) ถูกเสมอ เพราะ (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) และมีกฎอยูว่ ่า ถ้า , ⊂ + แล้ว P(,) ⊂ P(+) (21.4) A − B กับ B − A ไม่มีสมาชิกร่วมกัน ดังนัน้ ภายในเซต P(A − B) กับเซต P(B − A) จะมี สมาชิกที่เหมือนกันเพียงตัวเดียวคือ ∅ → ข้อนี้ถูก (21.5) ถ้า A ⊂ B จะได้ว่า P(A) ⊂ P(B) ดังนัน้ P(A) ∪ P(B) = P(B) ...... (1) และถ้า A ⊂ B จะได้ A ∪ B = B ด้วย ดังนั้น P(A ∪ B) = P(B) ..... (2) ดังนัน ้ (1)=(2) ถูก (22) ใช้หลักว่า P(,) ∩ P(Δ) ∩ P(Ο) = P(, ∩ Δ ∩ Ο) ** ใช้ได้เฉพาะเครื่องหมาย ∩ (22.1) A ∩ B ∩ C ' = {1, 2} ถูก (22.2) A ∩ B '∩ C = {0, 3} ถูก (22.3) A '∩ B ∩ C = ∅ ข้อนี้ผดิ ที่ถูกต้องเป็น P(A '∩ B ∩ C) = {∅} (22.4) A ∩ B '∩ C ' = ∅ ถูก (23) n (A '∩ B ') = n(A ∪ B) ' มีคา่ มากสุด ก็คอื n(A ∪ B) มีค่าน้อยสุด ..จะเกิดขึน ้ เมื่อ B ⊂ A ทําให้ n(A ∪ B) = n(A) = 22 ดังนัน้ n(A ∪ B) ' = 35 − 22 = 13 (24) n(A) = a , n(B) = b แต่ n(A ∩ B) = b แสดงว่า B อยู่ใน A ทั้งหมด ( B ⊂ A ) และเช่นเดียวกันจะพบว่า D ⊂ C ⊂ B ⊂ A ดังนัน้ n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = n(D) = d และ n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) = a Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (25) จาก P(C) เซต 28 ในโจทย์ จะได้ C = {a, c} n(P(A)) = 8 คือ n(A) = 3 n(P(B)) = 16 คือ n(B) = 4 และจาก C ⊂ A และ C ⊂ B จะได้วา่ A = {a, c, ,} และ B = {a, c, Δ, Ο} จาก {b, d, e} ⊂ A ∪ B โดย b ∈ A ∩ B ' จะได้ว่า A = {a, c, b} และ B = {a, c, d, e} ก. d ∈ A '∩ B (อยู่ใน B และไม่อยู่ใน A ) ถูก ข. e ∈ C '∩ B → ถูก ค. b ∉ A ∩ B → ถูก ง. {b, e} ⊂ A ∩ B ' ผิด เพราะ A ∩ B ' = A − B = {b} (26) A ∩ B ' = A − B = ∅ แสดงว่า A ⊂ B (คือ A ∩ B = A ) (26.1) n[P(A ∩ B)] = n[P(A)] = 23 = 8 ถูก (26.2) {1} ∈ P(A ∩ B) คือ {1} ⊂ A ∩ B คือ 1 ∈ A ∩ B ถูก (26.3) P(A − B) = P(∅) = {∅} ถูก (26.4) ผิด เพราะ B − A ≠ ∅ ก็เป็นไปได้ (27) สมาชิกที่ในส่วนที่ซอ้ นกันได้แก่ ∅, {∅}, {0} ดังนัน้ ได้ (26 − 3) + (6 − 3) = 61 + 3 = 64 (28.1) A = {2, 4, สับเซตของ{1,3,5} } จึงมี 23 = 8 แบบ (28.2) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, สับเซต ของ{2,4,6,8,10} } จึงมี 25 = 32 แบบ (29.1) X = {1, 2, 3, สับเซตของ{4,5,6,7} } จึงมี 24 = 16 แบบ (29.2) X = { สับเซตของ{1,2,3}ที่ไม่ใช่ ∅ , สับ เซตใดๆของ{4,5,6,7} } ... (23 − 1)(24) = 112 แบบ (30.1) n(C) = จํานวนแบบของ S = 26 = 64 (30.2) n(C) = จํานวนแบบของ S = (24 − 1)(26) = 960 (31.1) {0} ⊂ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} มี 24 = 16 แบบ (31.2) {0} ⊄ X และ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} วิธีทงั้ หมด ลบข้อ 31.1 → 25 − 24 = 16 แบบ (31.3) {0, 2} ⊂ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} มี 23 = 8 แบบ (31.4) {0, 2} ⊄ X และ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} วิธีทงั้ หมด ลบข้อ 31.3 → 25 − 23 = 24 แบบ (32) {3, 5, 8} ⊂ D ⊂ {2, 3, 4, ..., 8} มี 24 = 16 แบบ (33) U = {−2, −1, 0, 1, 2, ..., 6} A = {0, 1, 4} → B = {0, 1, 2} เกินจากนีจ้ ะไม่อยู่ใน ดังนั้น U {0, 1} ⊂ X ⊂ {0, 1, 2, 4} → n(C) = 22 = 4 (34) x ⊂ {a, b, c, d, e, f} และ {a, c, d} ∩ X ≠ ∅ แสดงว่า สับเซตของ{a,c,d}ที่ไม่ใช่ ∅ , สับเซตใดๆ ของ{b,e,f} } → (23 − 1)(23) = 56 แบบ (35) เนื่องจาก n(A) = 5 และ S1 = {B | B ⊂ A, n(B) = 1} , S2 = {B | B ⊂ A, n(B) = 2} , ... ไปจนถึง S5 = {B | B ⊂ A, n(B) = 5} จะได้วา่ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 = เซตของสับเซต ของ A ทุกแบบ ยกเว้น ∅ (n(B)=0) ดังนัน้ n(S) = 25 − 1 = 31 (36) จากแผนภาพ U X = { n(A ∩ B ') = n(A − B) = 32 = ก ข ค 32 55 ก ง n(B) = ข+ค = 55 A B ต้องการหา n(A '∩ B ') คือ n(A ∪ B) ' = ง หาได้จาก n(U) = 100 = ก+ข+ค+ง ดังนัน้ ง = 100 − 32 − 55 = 13 (หมายเหตุ .. n(A ') = 40 ไม่ได้ใช้) (37) นักกีฬา 35 คน U → ก+ข = 35 ก ข ค นักดนตรี 27 คน ง → ข+ค = 27 นักกีฬา นักดนตรี ไม่เป็นเลย 32 คน → ง = 32 รวมกันสามสมการจะได้ ก+2ข+ค+ง = 94 แต่มีนักเรียนรวม 80 คน (ก+ข+ค+ง) ∴ ลบกันเหลือ ข = 14 คน โจทย์ถาม ก+ค+ง = 80 − 14 = 66 คน (หมายเหตุ .. n(A '∪ B ') = n(A ∩ B) ' = ก+ค+ง) (38) เซตในข้อนี้แยกจาก กัน เพราะเรียนฝรั่งเศสแล้ว ก ข ค ต้องไม่เรียนคณิตศาสตร์ ฝรั่งเศส คณิต U 20=ก+ข, 17=ก+ค, 15=ข+ค รวมกันจะได้ 2(ก+ข+ค)=20+17+15 → ก+ข+ค=26 ดังนัน้ ค = 26 − 20 = 6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (39) โจทย์บอกว่า ก+ข+ค+ง=20 ก+ข=2(ข+ค)-7 และ ข = ง เซต 29 (43) ก+ข=16 ....(1) ฉ+ช=7 จะได้ ข+ค=21-7=14 ....(2) ก ข ค ชาย สองสมการบวกกั น จะได้ ง 24 ก ข ค ก+2ข+ค=16+14=30 ครีม น้ําตาล หญิง จ ฉ ช แต่ ก+ข+ค=24 ดังนัน้ 11 ดังนัน้ จากสมการแรกสุดจะได้ ก+2ข+ค=20 .....(1) ข=30-24= 6 คน บาส ฟุตบอล สมการทีส่ องจัดรูปได้ ข-ก+2ค=7 .....(2) (44) ก+ข=200 U (1)x2 - (2); 3ก+3ข=33 ดังนัน้ ก+ข=11 ง ชาย และ ข+ค=30 600 ก ข ค (40) คนสวมแหวนทุกคน รวม ก+2ข+ค=230 จ ฉ ช สวมแว่น แต่คนที่สวม ซ หญิง แว่น นาฬิกา แต่ ข=15 แหวน 500 ตจว. นั ก กี ฬ า นาฬิกาไม่มีคนใดสวมแว่น ข ดังนัน้ ก+ข+ค=215 ก ค ง จะวาดแผนภาพได้ดังนี้ ∴ ง = 600 − 215 = 385 คน U (แหวนเป็นสับเซตของแว่น, (ข้อสังเกต ข้อ 43 และ 44 ไม่ได้คํานวณในส่วนที่ นาฬิกากับแว่นแยกกัน) เป็นผูห้ ญิงเลย, ถ้าต้องคิดจะใช้วธิ ีเหมือนข้อ 42) โจทย์บอกว่า ก+ข+ค+ง=34 .....(1) ข=5 .....(2) (45) โจทย์ข้อนีใ้ ห้คิด ค=ก+ข+1 .....(3) และ ก+ข+ง=3ก .....(4) ง คู่ เอาเองว่า จํานวนคี่ที่ ก ข ค แทนค่า (2), (3) ในสมการ (1) และ (4) จะได้ 4 หารลงตัวนัน้ ไม่มี! จ ก+5+(ก+5+1)+ง=34 และ ก+5+ง=3ก ซ คี่ (นั่นคือ ฉ,ช = 0 ) แก้ระบบสมการได้ ก=7, ง=9 3ลงตัว 4ลงตัว โจทย์ถาม ค = ก+ข+1 = 7+5+1 = 13 คน ค = 6 , ก+ข+จ = 8 โดย ก+ข = 3 → จ = 5 .. (41) ฝนตกเช้าจะไม่ตก ข = 2 , ก+ง = 4 และ จ+ซ = 18 − 4 = 14 .. เย็น แสดงว่าเซตแยกกัน ก ข ค จํ านวนสมาชิกของเซตนี้ = (ก+ง)+ข+ค+(จ+ซ) ก+ข=7, ข+ค=6, ก+ค=5 = 4 + 2 + 6 + 14 = 26 ตกเช้า ตกเย็น U บวกกันทั้งสามสมการได้ จํานวนคู่ = (ก+ง)+ข+ค = 4 + 2 + 6 = 12 2(ก+ข+ค)=18 ..ดังนัน้ ก+ข+ค = 9 วัน จํานวนที่ 3 หรือ 4 หารไม่ลงตัว = ทุกตัวยกเว้น ข (42) ข้อนี้วาดรูปแบ่ง U = 26 − 2 = 24 จํานวน ชายหญิงได้ดังนี้ ง ชาย 100 (46) ข้อนี้มี 3 เซต คือ ชอบช้าง, ชอบลิง, ชอบหมี ก ข ค (หรือจะแบ่งเป็นชาย จ ฉ ช ซ หญิง โจทย์ถาม n(A ∪ B ∪ C) ' = 100 − n(A ∪ B ∪ C) กับหญิง คนละรูปกัน 60 โดยการสังเกตให้ดี ใช้ ตาดี ฟั น ไม่ ผ ุ ก็ได้ แต่คิดไม่สะดวก) U ข้อมูลแค่ 3 ตัว คิดวิธี ลิง 32 เดียวกับขัอ (36) ดังรูป 35 ก ข ค จ ฉ ช ก็จะทราบว่า ช้าง ง ซ 30 = ชาย U หญิง ค+ง → ช+ซ = 50 − 30 = 20 35 = ก+ง → จ+ซ = 60 − 35 = 25 55 = ข → ฉ = 80 − 55 = 25 รวม 3 สมการเข้าด้วยกัน จะได้ ก+ข+ค+2ง=120 และ จ+ฉ+ช+2ซ=70 แต่เนือ่ งจาก ก+ข+ค+ง=100 ดังนั้น ง=20 และ ก+ข+ค=80 และเนือ่ งจาก จ+ฉ+ช+ซ=60 ดังนัน้ ซ=10 และ จ+ฉ+ช=50 คําตอบคือ 80 + 50 = 130 คน (หมายเหตุ ..จะวาดแผนภาพเป็นเซตของคนทีส่ ายตา ไม่ดี, หรือเซตของคนที่ฟนั ผุ ก็ได้) n(A ∪ B ∪ C) = 32 + 35 + 20 = 87 20 ดังนัน้ ตอบ 13 A (47) ข้อนี้ตรงตามสูตร ไทย ? z n(A ∪ B ∪ C) =180 สากล y x =95+92+125-52-43-57+x ∴ x = 20 คน ∴ y = n(A ∩ C) − 20 =43-20=23 z = n(A ∩ B) − 20 =52-20=32 ผู้ชอบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว มี 95 − 20 − 23 − 30 = 20 คน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) หมี B ไทย เดิม C ลูกทุ่ง คณิตศาสตร O-NET / A-NET 30 (48) สมการแรก ข ก 20 x y x+y+20+23+22+11+9=100 และสมการที่สอง 22 23 11 (x+20+23+22)=(y+20+23+11)+6 9 ค แก้ระบบสมการ ได้ x = 5, y = 10 ∴ นาย ก ได้ 70 คะแนน, นาย ข 64 คะแนน, นาย ค 65 คะแนน ก. ถูก ข. 70 + 64 + 65 = 199 ถูก ค. ผิด ต้องเป็น 5 คน ง. 5 + 10 + 9 = 24 ถูก (49) ข้อนี้มีสามเซต (บาสเกตบอล, เทนนิส, วอลเลย์บอล) และยังแบ่งชายหญิง จึงจําเป็นต้องแยก วาดคนละภาพกัน (50) ให้ เซต U = {0, 1, 2, ..., 100} หารด้วย 2 ลงตัว } B = { x | x หารด้วย 3 ลงตัว } C = { x | x หารด้วย 5 ลงตัว } ต้องการหาค่า n(A '∩ B '∩ C ') ก็คือ n(A ∪ B ∪ C) ' ..หาโดย n(U) − n(A ∪ B ∪ C) ซึ่ง n(A ∪ B ∪ C) จะต้องคํานวณตามสูตร A = {x|x n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C)) −n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) ** ทุกๆ ชิน้ ส่วน อย่าลืมนับเลข 0 ด้วย ** ... n(A) → หาร 2 ลงตัว มี 51 จํานวน n(B) → หาร 3 ลงตัว มี 34 จํานวน n(C) → หาร 5 ลงตัว มี 21 จํานวน y x n(A ∩ B) → หาร 2 และ 3 ลงตัว คือหาร 6 ลงตัว มี 17 จํานวน ... n(A ∩ C) → หาร 2 และ 5 ลงตัว 4 8 คือหาร 10 ลงตัว มี 11 จํานวน ... n(B ∩ C) → หญิง ชาย หาร 3 และ 5 ลงตัว คือหาร 15 ลงตัว มี 7 จํานวน ถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่าข้อมูลที่ให้มาตรงตามสูตรพอดี ... n(A ∩ B ∩ C) → หาร 2 และ 3 และ 5 ลงตัว ชาย n(A ∪ B ∪ C) = 60 − 8 คือหาร 30 ลงตัว มี 4 จํานวน =20+15+22-6-10-11+x ... ดังนั้น x=22 คน ดังนัน้ n(A ∪ B ∪ C) = 51 + 34 + 21 − 17 − 11 หญิง (แต่ละเลขได้จาก จํานวนทัง้ หมดลบด้วยผู้ชาย) −7 + 4 = 75 40-4 = 15+13+18-8-6-9+y ... ดังนัน้ y=13 คน และเนือ่ งจาก n(U) = 101 จึงได้ สรุปว่า ต่างกันอยู่ 22 − 13 = 9 คน n(A '∩ B '∩ C ') = 101 − 75 = 26 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¨Ò¡¢o (50) ËÒ¡o¨·Âe»ÅÕè¹ä»e»¹ A ¤×oe«µ¢o§¨íҹǹ·ÕèËÒà 6 ŧµaÇ æÅa B ¤×oe«µ¢o§¨íҹǹ·ÕèËÒà 8 ŧµaÇ æÅÇ A ∩ B ¨ae»¹e«µ¢o§¨íҹǹ溺㴤Ãaº.. ËÅÒ¤¹µoºÇÒ ËÒ÷aé§ 6 æÅa 8 ŧµaÇ ¡çæ»ÅÇÒËÒà 48 ŧµaÇ ... äÁ㪹a¤Ãaº! ... eoÒ 6 ¡aº 8 ÁÒ¤Ù³¡a¹¹aé¹¼i´! ¨aµo§ãª ¤.Ã.¹. ¤×o ËÒà 24 ŧµaÇ ¨Ö§¨a¶Ù¡ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 31 a Re +l º··Õè 2 Ãaºº¨íҹǹ¨Ãi§ จํานวนที่มนุษย์คิดขึ้นใช้ครั้งแรกเป็นจํานวนที่ใช้ นับสิ่งของต่างๆ เรียกว่า จํานวนธรรมชาติ (Natural Number) หรือ จํานวนนับ (Counting Number) ได้แก่ 1,2,3,4,... ซึ่งสัญลักษณ์แทนเซตของจํานวนนับ คือ N = {1,2, 3, 4, ...} หากนําจํานวนนับเหล่านี้มาบวกหรือคูณกัน ผลลัพธ์ย่อมเป็นจํานวนนับเสมอ เรียกว่า “เซต ของจํานวนนับมี สมบัติปิด สําหรับการบวกและการคูณ” (คําว่า สมบัติปิด หมายความว่า เมื่อนํา สมาชิกใดๆ ในเซตมาดําเนินการแล้ว ผลที่ได้ยังคงเป็นสมาชิกของเซตนั้นอยู่) แต่หากนําจํานวนนับ บางจํานวนมาลบหรือหารกันจะมีปัญหาขัดข้องเนื่องจากผลที่ได้ไม่เป็นจํานวนนับ ด้วยเหตุนี้จํานวนลบ จํานวนศูนย์ รวมทั้งจํานวน เศษส่วน (Fraction) จึงถูกคิดขึ้นมาใช้ จํานวนนับ จํานวนศูนย์ และจํานวนเต็มลบ เรียกรวมกันว่า จํานวนเต็ม (Integer) I = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} จํานวนเต็ม และเศษส่วนของจํานวนเต็ม เรียกรวมกันว่า จํานวนตรรกยะ (Rational Number) Q = { a/b | a, b ∈ I และ b ≠ 0 } ดังนั้น เซตจํานวนนับเป็นสับเซตจํานวนเต็ม และเซตจํานวนเต็มเป็นสับเซตจํานวนตรรกยะ ข้อควรทราบ 1. จํานวนตรรกยะที่เป็นเศษส่วนของจํานวนเต็ม จะเขียนเป็นทศนิยมซ้ําได้เสมอ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 32 และจํานวนที่เขียนเป็นทศนิยมไม่ซ้ํา จะเรียกว่า จํานวนอตรรกยะ (Irrational Number) Q' เช่น 2 = 1.4142... , 3 = 1.7321... , π ≈ 3.1416... 2. S e¾ièÁeµiÁ! S 1. ÃÒ¡·ÕèÊo§¢o§¨íҹǹeµçÁ (·Õè¶o´¤Òoo¡ÁÒe»¹¨íҹǹ eµçÁäÁä´) ¨ae»¹¨íҹǹoµÃáÂaeÊÁo 2. ¤Ò e «Öè§e»¹¤Ò¤§·Õè·èeÕ ¡ÕèÂÇ¡aºÅo¡ÒÃi·ÖÁ (º··Õè 8) ¡çe»¹¨íҹǹoµÃáÂaeª¹¡a¹ (ÁÕ¤Ò»ÃaÁÒ³ 2.718..) มีสมบัติปิดสําหรับการบวกและการคูณ I และ Q มีสมบัติปิดสําหรับการบวก, ลบ, และคูณ ..แต่ Q' ไม่มีสมบัติปิดเลย N C จํานวนทั้งหมดที่กล่าวมานี้ เรียกรวมกันว่า จํานวนจริง (Real Number : R ) ซึ่งมีแผนผังความ สัมพันธ์ดังที่แสดงไว้ Im R เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องจํานวนเชิงซ้อน มีจํานวนอีกหนึ่งประเภทที่ไม่ใช่จํานวนจริง เนื่องจากไม่ สามารถจัดลําดับค่ามากน้อยร่วมกับจํานวนจริงบนเส้นจํานวน ได้ คือรากที่สองของจํานวนลบ เช่น −2 เรียกว่า จํานวน จินตภาพ (Imaginary Number) เมื่อรวมกันกับเซตจํานวนจริงแล้วเรียกว่า จํานวนเชิงซ้อน (Complex Number : C ) ซึ่งจะได้ศึกษาในบทที่ 11 Q Q' I I- I0 Q−I I+ หรือ N 2.1 สมบัติของจํานวนจริง นอกจากสมบัติปิดซึ่งได้รู้จักแล้ว ระบบจํานวนจริงยังมีสมบัติอีกหลายลักษณะที่ควรทราบ เนื่องจากเป็นพื้นฐานที่จําเป็นสําหรับวิชาคณิตศาสตร์ (ส่วนใหญ่จะเคยพบมาแล้วในระดับ ม.ต้น) สมบัติของการเท่ากัน [1] สมบัติการสะท้อน (Reflexive Property) [2] สมบัติการสมมาตร (Symmetric Property) [3] สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property) [4] สมบัติการบวกและคูณด้วยจํานวนที่เท่ากัน a = a a = b ↔ b = a a = b ∧ b = c → a = c a = b → a+c = b+c a = b → ac = bc สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณ [1] “เอกลักษณ์ (Identity)” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวนจริง a ใดก็ตามแล้วได้ผลลัพธ์เป็น จํานวน a เดิม ... ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง คือ 0 และเอกลักษณ์การคูณใน ระบบจํานวนจริง คือ 1 [2] “อินเวอร์ส (Inverse) ของ a” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น เอกลักษณ์ ... ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกของจํานวนจริง a คือ –a และเอกลักษณ์การคูณของจํานวน จริง a คือ 1/a หรือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a − 1 a, b ∈ R → a + b ∈ R [3] สมบัติปิด (Closure Property) a, b ∈ R → a ⋅ b ∈ R [4] สมบัติการสลับที่ (Commutative Property) a+b = b+a ab = ba Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 33 [5] สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative Property) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a (b c) = (a b) c = a b c [6] สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c [7] สมบัติสําหรับเซตของจํานวนจริงบวก ( R ) เพิ่มเติมได้แก่ สมบัติปิดของการบวก สมบัติปิดของ การคูณ และสมบัติที่ว่า “ถ้าจํานวนจริง a ≠ 0 แล้ว a ∈ R+ หรือ −a ∈ R+ เสมอ” + ทฤษฎีบทเพิ่มเติมที่ควรทราบ (พิสูจน์ได้จากสมบัติที่กล่าวแล้วข้างต้น) [1] กฎการตัดออกสําหรับการบวกและการคูณ a+c = b+c → a = b a⋅c = b⋅c → a = b [2] การคูณด้วยศูนย์ และจํานวนลบ เมื่อ c≠0 (−1)a = −a 0a = a0 = 0 (−a) b = a (−b) = −a b (−a)(−b) = a b * [3] ผลคูณเท่ากับศูนย์ [4] บทนิยามของการลบและการหาร ab = 0 → a =0 [8] การบวกและการคูณเศษส่วน [9] อินเวอร์สการคูณของเศษส่วน [10] เศษส่วนซ้อน หรือ b=0 a − b = a + (−b) a ÷ b = a b−1 [5] การแจกแจงสําหรับการลบ [6] อินเวอร์สการคูณไม่เป็นศูนย์เสมอ [7] การคูณทั้งเศษและส่วน − (−a) = a เมื่อ b≠0 (ไม่นิยาม a (b − c) = a b − a c a − 1 ≠ 0 เมื่อ a ≠ 0 a ac = b bc a d ac + bd + = b c bc a d ad ⋅ = b c bc −1 ⎛a⎞ = b ⎜ ⎟ a ⎝b⎠ ab a = c bc a ac = bc b หมายเหตุ 1. ข้อ [7] ถึง [10] ตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ 2. อาจนิยามการหารด้วยการคูณ คือ a ÷ b = c ↔ a = b c ก็ได้ แต่ต้องกํากับว่าเป็นจริงเมื่อ b ≠ 0 เท่านั้น (การหารด้วย 0 ในที่นี้จะไม่นิยาม) • ตัวอยาง เซตตอไปนีม้ ีลกั ษณะตรงตามขอใด (ใน A, B, C, D) บาง A. มีสมบัตปิ ดการบวก B. มีสมบัติปด การคูณ C. เปนสับเซตของเซตจํานวนตรรกยะ Q D. เปนสับเซตของเซตจํานวนเต็ม I ก. เซตของจํานวนนับ N ตอบ A ถูก เพราะไมวาจะยกจํานวนนับจํานวนใดมาบวกกัน ผลลัพธก็ยังคงเปนจํานวนนับ B ถูก เพราะไมวาจะยกจํานวนนับจํานวนใดมาคูณกัน ผลลัพธกย็ ังคงเปนจํานวนนับ C ถูก เพราะจํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ D ถูก เพราะจํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม Math E-Book Release 2.2 0−1 ) (คณิต มงคลพิทักษสุข) ab ad = cd bc คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 34 ข. เซตของจํานวนอตรรกยะ ตอบ A ผิด เพราะมีจํานวนอตรรกยะบางจํานวน ที่บวกกันแลวกลายเปนจํานวนตรรกยะ เชน 2 บวก กับ − 2 แลวได 0 B ผิด เพราะมีจาํ นวนอตรรกยะบางจํานวน ที่คณู กันแลวกลายเปนจํานวนตรรกยะ เชน 2 ⋅ 2 = 2 C ผิดอยางแนนอน เพราะเซตของจํานวนตรรกยะและอตรรกยะ เปนคอมพลีเมนตกัน D ผิดเชนกัน เพราะไมใชวาจํานวนอตรรกยะทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม (ที่จริงไมมีเลยสักตัว) ค. { x | x < 0 } ตอบ A ถูก จํานวนลบหรือจํานวนศูนย เมื่อนํามาบวกกันยอมยังเปนจํานวนลบหรือศูนย B ผิด เพราะจํานวนลบคูณกันยอมไดผลลัพธเปนจํานวนบวก C และ D ผิด เพราะจํานวนลบบางจํานวนไมใชจํานวนตรรกยะ (และจํานวนเต็ม) เชน − 2 ง. {1.414, 22/7} ตอบ A และ B ผิด เพราะเมื่อหยิบจํานวนจากเซตนี้มาบวก (หรือคูณ) กัน ผลลัพธไมอยูใ นเซตนี้ C ถูก เพราะเลขทศนิยม และเศษสวนของจํานวนเต็ม เปนจํานวนตรรกยะเสมอ ( 22/7 ≠ π ) D ผิดแนนอน เพราะสมาชิกในเซตนี้ไมใชจํานวนเต็ม จ. {−1, 0, 1} ตอบ A ผิด เพราะเมื่อหยิบบางจํานวนมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดไมอยูในเซตนี้ เชน 1 + 1 = 2 B ถูก เพราะไมวาจะหยิบจํานวนใดมาคูณกัน ผลลัพธที่ไดก็ยังอยูในเซตนี้เสมอ C และ D ถูก เพราะสมาชิกทุกตัวเปนจํานวนเต็ม (จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ) ฉ. { 10 x | x ∈ I } ตอบ { 10 x | x ∈ I } = {0, ±10, ±20, ±30, ...} เขียนแจกแจงสมาชิกเพือ่ ใหพิจารณางาย A และ B ถูก เพราะไมวาจะหยิบจํานวนใดในเซตนี้มาบวก (หรือคูณ) กัน ผลลัพธที่ไดยังอยูในเซตนี้ C และ D ถูก เพราะสมาชิกทุกตัวเปนจํานวนเต็ม (จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ) แบบฝึกหัด 2.1 (1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (1.1) 0.343443444... เป็นจํานวนตรรกยะ (1.2) 0.112112112... เป็นจํานวนอตรรกยะ (1.3) ถ้า a 2 เป็นจํานวนคู่ แล้ว a ต้องเป็นจํานวนคู่ (1.4) ถ้า a 2 เป็นจํานวนคี่ แล้ว a ต้องเป็นจํานวนคี่ (2) ถ้า a, b, c ∈ R แล้ว ข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด (2.1) ถ้า a b = a แล้ว b = 1 (2.2) ถ้า a b = 0 แล้ว a = 0 และ b = 0 (2.3) เมื่อ b ≠ 0 ถ้า a = c แล้ว a = c b (2.4) เมื่อ b, c ≠ 0 ถ้า b a a = b c แล้ว b = c Math E-Book Release 2.2 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S o¨·Âã¹Ãٻ溺¢o¤ÇÒÁ¶Ù¡ËÃ×o¼i´¹aé¹ ÊǹÁÒ¡ ¶ÒoÒ¹¢o¤ÇÒÁe¾Õ§e¼i¹æ ¨a´ÙeËÁ×o¹ÇÒ¶Ù¡ æµ·èÕ ¨Ãi§ºÒ§¢o¤ÇÒÁ¡ç¼i´.. ¡Òõoºo¨·ÂÅa¡É³a¹Õé¤ÇþÂÒÂÒÁ¡¡Ã³Õ·èÕ ¼i´¢Öé¹ÁÒÊa¡ 1 ¡Ã³Õ ¶ÒËÒä´¡çæÊ´§ÇÒ¢o¤ÇÒÁ ¹aé¹¼i´ (¡ÒáµaÇoÂÒ§¨íҹǹ oÂÒÅ×Á·´Êoº ¨íҹǹµi´Åº ¨íҹǹµi´ÃÙ· æÅa¨íҹǹ·È¹iÂÁ·Õè äÁ¶Ö§ 1 ´ÇÂ) ... 浶ÒËÒÂa§ä§¡çËÒäÁä´ ¢o¤ÇÒÁ ¹a鹡çÁoÕ o¡Òʨa¶Ù¡ÊÙ§ (¶Ò¨aºo¡ÇÒ¶Ù¡ªaÇÃæ ¤§ µo§ãªÇi¸¾Õ iÊÙ¨¹ «Ö觺ҧ¢o¡çÂÒ¡¹a¤Ãaº..) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 35 (3) เซตในข้อใดมีสมบัติปิดของการบวก และการคูณ ก. เซตของจํานวนเต็มลบทั้งหมด ข. เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่ไม่ใช่ 2 ค. เซตของจํานวนตรรกยะที่ไม่ใช่จํานวนเต็ม ง. เซตของจํานวนเต็มที่หารด้วย 4 ลงตัว (4) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (4.1) เซตของจํานวนจริง มีสมบัติปิดของการลบ (4.2) เซตของจํานวนจริง มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการลบ (4.3) เซตของจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มีสมบัติปิดของการหาร (4.4) เซตของจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการหาร (5) เมื่อกําหนดเซต A = { x ∈ N | x ∈ Q } และ B = N − A แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (5.1) A มีสมบัติปิดการคูณ แต่ B ไม่มีสมบัติปิดการคูณ (5.2) A ไม่มีสมบัติปิดการบวก และ B ไม่มีสมบัติปิดการบวก (6) เซต A ในข้อใดทําให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง “ถ้า x ∈ A แล้ว จะมี y ∈ A ซึ่ง x y = 1 และ ก. เซตของจํานวนเต็มที่ไม่ใช่ 0 ค. เซตของจํานวนอตรรกยะ (7) ให้หาอินเวอร์สการคูณของ เอกลักษณ์การคูณของ 1 6+ 5 xy ∈ A” ข. เซตของจํานวนจริง ง. เซตของจํานวนตรรกยะที่ไม่ใช่ 0 และ * a b c 6+ 5 (8) กําหนดตารางการดําเนินทวิภาคดังขวามือ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. (a ∗ b) ∗ a = c ข. (b ∗ c) ∗ b = a ง. (c ∗ a) ∗ (b ∗ a) = b ค. (a ∗ b) ∗ (c ∗ b) = b a a b c b b c a (9) การดําเนินการ ∗ สําหรับจํานวนจริง ในข้อใดไม่มีสมบัติการสลับที่ ก. x ∗ y = 3 x y + (x + y) ข. x ∗ y = 2 (x + y) − 3 x y 3 1 ค. x ∗ y = ง. x ∗ y = 2 x y + 1 − xy (10) [Ent’24] กําหนด x+y x−y a ∗ b = 3ab + (a + b) แล้ว x ∗ (y ∗ z) = (z ∗ y) ∗ x (11) ถ้า A เป็นเซตของจํานวนนับคี่ และกําหนดตัวดําเนินการ ⊕ กับ a + b และ a ⊗ b = a b แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกหรือผิดบ้าง a ⊕b = 2 ⊗ หรือไม่ บนเซต A ดังนี้ 2 (11.1) เซต A มีสมบัติปิด และมีสมบัติการสลับที่ ภายใต้การดําเนินการ ⊕ (11.2) เซต A ไม่มีสมบัติปิด แต่มีสมบัติการสลับที่ ภายใต้การดําเนินการ ⊗ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) c c a b คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 36 2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบ พหุนามตัวแปรเดียว ที่มี x เป็นตัวแปร จะอยู่ในรูป anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 โดยที่ a เป็นค่าคงที่ (สัมประสิทธิ์) และ n เป็นจํานวนนับ นิยมใช้สัญลักษณ์แทนพหุนามว่า p (x) นอกจากนั้น สัญลักษณ์ p (c) หมายถึงการแทนค่า x ด้วยจํานวน c เช่น p (x) = 4x3 − x2 − 2x + 6 จะได้ว่า p (−1) = 4 (−1)3 − (−1)2 − 2 (−1) + 6 = 3 การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 จะต้องแยกตัว ประกอบให้สมการอยู่ในรูปผลคูณเท่ากับศูนย์ โดยมีเทคนิคต่างๆ ที่ศึกษาผ่านมา ได้แก่ กําลังสอง สมบูรณ์ ผลต่างของกําลังสอง ผลบวกและผลต่างของกําลังสาม เป็นต้น แต่สําหรับสมการที่มีดีกรี มากกว่าสอง ทฤษฎีบทต่อไปนีจ้ ะช่วยให้การแยกตัวประกอบสะดวกขึ้น ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem) กล่าวว่า “ถ้าหาร p(x) ด้วย x – c แล้ว จะเหลือเศษเท่ากับ p(c)” และหากการหารนี้เหลือเศษ 0 พอดี (หารลงตัว) จะกล่าวว่า x – c เป็นตัวประกอบของ p(x) นั่นคือ “พหุนาม p(x) จะมี x – c เป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็ตอ่ เมื่อ p(c) = 0” เรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานําทฤษฎีบททั้งสองมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ p(x) ได้ โดยการสุ่มหาค่า c ที่ทํา ให้ p(c) = 0 พอดี เพื่อให้ได้ตัวประกอบ x – c ... แล้วนํา x – c ที่ได้ไปหารออกจาก p(x) เพื่อ ลดทอนกําลัง n ลง ทําซ้ําจนแยกตัวประกอบได้ครบ ยังมีอีกทฤษฎีที่ทําให้เลือกค่า c ได้รวดเร็ว นั่นคือ ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ ซึ่งกล่าวว่า “ถ้า x – (k/m) เป็นตัวประกอบของ p(x) แล้ว.. k เป็นตัวประกอบของ a0 และ m เป็นตัวประกอบของ an ” (โดยเศษส่วน k/m เป็นเศษส่วนอย่างต่ําเท่านั้น) สรุปวิธีการหาตัวประกอบ x – c ของ p(x) เมื่อ c เป็นจํานวนตรรกยะ คือนําค่า k มาจาก ตัวประกอบของ a0 และนําค่า m มาจากตัวประกอบของ an ... ค่า c ที่เป็นไปได้จะอยู่ในบรรดา เศษส่วน k/m เหล่านี้เท่านั้น (อย่าลืมคิดทั้งจํานวนบวกและจํานวนลบ) ดูตัวอย่างวิธีคํานวณได้ใน เรื่องการหารสังเคราะห์ หมายเหตุ หากจํานวน c ไม่ใช่จํานวนตรรกยะ เช่น x2 − 2 = (x − 2)(x + 2) จะใช้ทฤษฎีนี้ไม่ได้ 3 2 ตัวอยาง 2x − x + 6x − 1 หารดวย x − 2 เหลือเศษเทาใด ตอบ ใชทฤษฎีเศษ จะไดวาเศษจากการหาร 2x − x + 6x − 1 ดวย x − 2 ก็คือ 2(2) − (2) − 6(2) + 1 = −7 ... (สามารถตรวจคําตอบไดโดยการตั้งหารยาว หรือหารสังเคราะห) • 3 3 2 2 3 2 ตัวอยาง 2x − x + 6x − 1 หารดวย x + 1 เหลือเศษเทาใด ตอบ ใชทฤษฎีเศษ จะไดวาเศษจากการหาร 2x − x + 6x − 1 ดวย x + 1 ก็คือ 2(−1) − (−1) − 6(−1) + 1 = 4 ... (สามารถตรวจคําตอบไดโดยการตั้งหารยาว หรือหารสังเคราะห) • 3 3 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 37 ตัวอยาง ฟงกชนั พหุนามดีกรีสอง p (x) ฟงกชันหนึ่ง พบวาเมื่อหารดวย x แลวเหลือเศษ 3 , เมื่อ หารดวย x − 1 เหลือเศษ 12 , และเมื่อหารดวย x − 2 จะเหลือเศษ 25 ก. ฟงกชัน p (x) นี้หารดวย x − 3 เหลือเศษเทาใด วิธีคิด การจะทราบคําตอบขอนี้ จะตองหาใหไดกอนวา p (x) คืออะไร โดยทั่วไปพหุนามดีกรีสอง ตองมีลักษณะเปน Ax + Bx + C ซึ่งจะเห็นวา มีสัมประสิทธิ์ 3 ตัว เราจึงใชคําใบที่โจทยใหมา 3 อยาง ในการสรางระบบสมการเพือ่ หาสัมประสิทธิ์ 3 ตัวนี้ “หารดวย x แลวเหลือเศษ 3 ” แปลวา p (0) = 3 หรือ A(0) + B(0) + C = 3 “หารดวย x − 1 แลวเหลือเศษ 12 ” แปลวา p (1) = 12 หรือ A(1) + B(1) + C = 12 “หารดวย x − 2 แลวเหลือเศษ 25 ” แปลวา p (2) = 25 หรือ A(2) + B(2) + C = 25 แกสามสมการรวมกัน ไดผลเปน A = 2 , B = 7 , C = 3 ... ดังนัน้ p (x) = 2x + 7x + 3 ดังนั้น p (x) นี้หารดวย x − 3 จะเหลือเศษ 2(3) + 7(3) + 3 = 42 • 2 2 2 2 2 2 ข. ฟงกชัน p (x) นี้หารดวย x − c ลงตัว เมื่อ c เทากับเทาใด ตอบ p (x) หารดวย x − c ลงตัว ... แปลวา มี x − c เปนตัวประกอบหนึ่งนั่นเอง และเนื่องจาก p (x) = 2x + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) จึงไดคําตอบวา p (x) นี้จะหารดวย x − c ลงตัว เมื่อ c = −1/2 หรือ c = −3 หรืออาจกลาววา p (c) = 0 (หารลงตัวคือไมมีเศษ) ดังนั้น 2c + 7c + 3 = (2c + 1)(c + 3) = 0 จะได c = −1/2 หรือ c = −3 เชนเดียวกัน 2 2 ค. ฟงกชัน p (x) นี้หารดวย x − c เหลือเศษ 7 เมื่อ c เทากับเทาใด ตอบ p (x) หารดวย x − c เหลือเศษ 7 ... แปลวา p (c) = 7 ดังนั้น 2c + 7c + 3 = 7 แกสมการได 2c + 7c − 4 = (2c − 1)(c + 4) = 0 จึงไดคําตอบวา c = 1/2 หรือ c = −4 หรืออาจกลาววา “ p (x) หารดวย x − c เหลือเศษ 7 ” คือ “ p (x) − 7 หารดวย x − c ลงตัว” (ยกตัวอยางเชน 38 หารดวย 5 เหลือเศษ 3 แสดงวา 38 − 3 ยอมหารดวย 5 ลงตัว) ดังนั้น p (x) − 7 = 2x + 7x − 4 = (2x − 1)(x + 4) ได c = 1/2 หรือ c = −4 เชนกัน 2 2 2 เทคนิคการหารพหุนาม ด้วยวิธีหารสังเคราะห์ (Synthetic Division) วิธีหาผลหารของพหุนาม ที่เคยได้ศึกษาผ่านมาแล้วคือการตั้งหารยาว สามารถใช้หารพหุ นามได้ทุกกรณี (หารด้วยดีกรีเท่าใดก็ได้) ... แต่ในกรณี “การหารพหุนามด้วย x – c (ดีกรีหนึ่ง)” เราสามารถทําได้รวดเร็วยิ่งขึ้นโดยการหารสังเคราะห์ ในที่นี้สมมติว่า จะหาผลของการหาร x4 − 3x3 + 4x2 + x − 6 ด้วย x − 2 1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นตัวตั้ง (ในที่นี้คือ 1, −3, 4, 1, −6 ) เรียงกันในบรรทัด โดยใส่ค่า c จากตัวหาร (ในที่นี้คือ 2) ลงในช่องด้านหน้าสุด และเว้นบรรทัดไว้ในลักษณะดังนี้ 2 1 −3 4 1 −6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 38 2. เริ่มขั้นตอนการหารโดยนําตัวเลขในหลักแรกสุด (ในที่นี้คือ 1) ลงมาเขียนด้านล่างตรงบรรทัดของ ผลลัพธ์ ... จากนั้นใช้ตัวหาร (คือ 2) คูณผลลัพธ์นี้ ไปใส่ไว้ใต้หลักถัดไป 2 1 ↓ −3 2 2/ 4 1 −6 1 3. พิจารณาที่หลักถัดไป ให้บวกเลขเข้าด้วยกัน ( −3 + 2 = −1 ) นําไปใส่ไว้บรรทัดล่าง แล้วใช้ตัวหาร (คือ 2) คูณผลลัพธ์นี้ ไปใส่ไว้ใต้หลักถัดไปอีก ... ทําซ้ําเรื่อยๆ จนครบทุกหลัก 2 1 −3 4 1 2 −2 4 1 −1 2 −6 + 10 5 4 4. ในบรรทัดผลลัพธ์ที่ได้ ตัวเลขในหลักสุดท้ายคือ เศษ และตัวเลขที่เหลือด้านหน้าคือสัมประสิทธิ์ ของผลหาร (ดีกรีลดลงไปหนึ่งเสมอ) ... ในที่นี้ผลหารก็คือ x3 − x2 + 2x + 5 เศษ 4 3 ตัวอยาง ใหหาเศษจากการหาร 2x − 7x + 6 ดวย x + 1 วิธีคิด หากไมตอ งการใชทฤษฎีเศษ −1 2 0 −7 −2 2 ก็สามารถใชวิธีตั้งหารสังเคราะห ไดผลดังนี้ 2 −2 −5 แสดงวา ผลหารเปน 2x − 2x − 5 และเหลือเศษ 11 หมายเหตุ พจนใดหายไป เมือ่ ตัง้ หารสังเคราะหตองใส สัมประสิทธิ์เปน 0 ดวย (เชนในโจทยขอนี้ไมมีพจน x ) มิฉะนั้นผลหารที่ไดจะไมถูกตอง • 2 6 5 11 2 3 2 ตัวอยาง ใหแยกตัวประกอบพหุนาม 3x − 7x + 4 วิธีคิด เนื่องจากตัวประกอบของ 4 (สัมประสิทธิต์ ัวสุดทาย) ไดแก ±1, ±2, ±4 และตัวประกอบของ 3 (สัมประสิทธิ์ตัวแรกสุด) ไดแก ±1, ±3 จากทฤษฎีตัวประกอบจํานวนตรรกยะ จะไดวาจํานวนทีน่ าจะเปนคําตอบ ไดแก ±1, ± 2, ± 4, ± 1/3, ± 2/3, ± 4/3 ... 1 3 จากนั้นทดลองนําจํานวนเหลานีม้ าหารสังเคราะหทีละจํานวน หากพบวาตัวใดทําใหเศษเปน 0 ตัวนั้นก็จะเปนคําตอบ ... 2 3 ซึ่งจากการหารสังเคราะหในตัวอยางดานขวานี้ ทําใหทราบวา • 3 3x3 − 7x2 + 4 = (x − 1)(x − 2)(3x + 2) หมายเหตุ ลําดับของตัวหารไมจําเปนตองเหมือนกับในตัวอยาง (เชนอาจจะใช 2 −7 0 4 3 −4 −4 −4 −4 6 4 2 0 0 กอนก็ได) แบบฝึกหัด 2.2 (12) ถ้าหาร 4x3 − 21x2 + 26x − 17 ด้วย x − 4 แล้วเหลือเศษ a และหาร 3x3 + 13x2 + 11x + 5 ด้วย x + 3 แล้วเหลือเศษ b แล้วให้หาค่าของ b – a (13) ถ้า x−1 หาร x2 + 2a และ x +2 หาร x+ a แล้วเหลือเศษเท่ากัน ค่า a เป็นเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (14) ถ้าหาร เป็นเท่าใด (15) ถ้า ค่า a+b x4 − x3 + 3x2 − x − 1 x −2 ระบบจํานวนจริง 39 2x3 + x2 + 75x + a และ x3 − ax2 + เป็นตัวประกอบร่วมของ ด้วย a x + 2b 4 x −5 กับ แล้วเหลือเศษเท่ากัน ค่า a 1 2 x + x −b a แล้ว เป็นเท่าใด (16) ถ้า x2 − 2x − 3 เป็นตัวประกอบของ x4 + ax3 + bx2 + 3x + 4 และ x2 + x − 2 เป็นตัวประกอบของ x3 + 10x2 + cx + d แล้ว a + b + c + d มีค่าเท่าใด (17) ให้หา ห.ร.ม. ของพหุนาม (18) ให้หา ค.ร.น. ของพหุนาม x3 − 7x + 6 , 3x3 − 7x2 + 4 x3 − 2x2 − 5x + 6 และ และ x4 − 3x3 + 6x − 4 x3 + x2 − 10x + 8 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¶ÒËÒÃÊa§e¤ÃÒaË´ÇÂeÅ¢eÈÉÊǹ eª¹ 2/3 æÅǾºÇÒãªä´ (eÈÉ e»¹ÈÙ¹Â) æÊ´§ÇÒ µaÇ»Ãa¡oº·Õèä´¤×o x-2/3 ¹a¤Ãaº ... oÂÒe¾iè§ e¢Õ¹ 3x-2 ¨¹¡ÇÒ¨a´Ö§ 3 ¨Ò¡Ç§eÅçºo×è¹ÁÒ¤Ù³¡o¹ ¹a¤Ãaº! (19) แยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 3x6 − 2x5 − 64x4 + 96x3 − 27x2 + 98x + 40 (20) ให้หาเซตคําตอบของสมการ x2 + a2b2 + 2abx − b2 = 0 (20.1) เมื่อ a เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง (20.2) เมื่อ b เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง (20.3) เมื่อ a เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนจริง (20.4) เมื่อ b เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนจริง 2.3 อสมการ สมบัติของการไม่เท่ากัน [1] บทนิยามของการมากกว่าและน้อยกว่า a < b ↔ b − a ∈ R+ a > b ↔ a − b ∈ R+ a > b ∧ b > c → a > c [2] สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property) [3] สมบัตกิ ารบวกและคูณด้วยจํานวนที่เท่ากัน a > b → a+c > b+c c>0 a > b → ac < bc , c b+c → a > b [4] กฎการตัดออกสําหรับการบวกและการคูณ [5] สมบัติไตรวิภาค (Trichotomy Property) ถ้า a, b ∈ R แล้ว a [6] บทนิยามของการไม่มากกว่าและไม่น้อยกว่า a > b → ac > bc , = b ac > bc → a > b , c>0 ac > bc → a < b , c b ↔ a a < b หรือ a > b อย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่มากกว่า b (น้อยกว่าหรือเท่ากับ) ไม่น้อยกว่า b (มากกว่าหรือเท่ากับ) [7] การเปรียบเทียบสองด้าน a (21.2) ถ้า a < b และ n ∈ N แล้ว an < bn (21.3) ถ้า a > 0 , b > 0 และ a ≠ b แล้ว (21.4) ถ้า (22) ถ้า a < b < c (22.1) (22.2) (23) ถ้า a ≠ b แล้ว a+b > ab 2 b a 1 1 + 2 > + a b a2 b แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด และ 3 < y < 6 x2 − y −6 < x < −2 (24.1) (24.2) และ a+b a < < b 2 a+b+c < c a < 3 −7 < x < 5 (23.1) (24) ถ้า a > 0, b > 0 b > c > d และ 2 < y < 3 xy (22.3) a3 < b3 < c3 (22.4) ab < bc แล้ว ค่าต่อไปนี้อยู่ในช่วงใด (23.2) xy2 แล้ว ค่าต่อไปนี้อยู่ในช่วงใด (24.3) x/ y x−y (25) ต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้มีเส้นรอบรูป 20 ซม. และความสูงไม่เกิน 5 ซม. ความ ยาวฐานควรเป็นเช่นไร (26) ถ้า A และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 4 < 3x − 2 < 13 และ 11 − x < 4x + 1 < 2x + 7 ตามลําดับแล้ว ในเซต A ∩ B ' จะมีจาํ นวนเต็มเป็นเท่าใดบ้าง (27) ถ้า m และ n คือจํานวนเต็มที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ที่เป็นคําตอบของอสมการ x2 + 6x + 7 < 0 แล้ว m − n เป็นเท่าใด (28) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด ก. ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของ ข. ค่าสัมบูรณ์ของผลบวกของคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของ 20 − 3x − 2x2 > 0 2 3x + 7x − 30 < 0 (29) ถ้า m คือผลบวกจํานวนเต็ม ที่เป็นคําตอบของ 21 + 5x − 6x2 > 0 และ n คือผลบวกจํานวนเต็ม ที่ไม่เป็นคําตอบของ 3x2 − 1 > 1 + x − 3x2 แล้วให้หา คือ คือ 13 7 m+n (30) กําหนด a และ b เป็นจํานวนเต็มที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ซึ่งไม่เป็นคําตอบของอสมการ 2x2 + 4x − 5 > 0 ตามลําดับ แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (30.2) {a + b} ⊂ {a, b} (30.1) {ab} ⊂ {a, b} (31) ถ้าพหุนาม x3 + a2x − a − 2 หารด้วย ค่า a เป็นเท่าใดได้บ้าง x−1 แล้วเหลือเศษมากกว่า 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 44 (32) จงหา (32.1) เซตคําตอบของอสมการ x (x − 1)(x − 2) < 0 (x + 1)(x − 2) (32.2) เซต (A '∩ B ') ' เมื่อ A เป็นเซตคําตอบของ เป็นเซตคําตอบของ (x + 4)(x − 3)(x + 2)3 > 0 {x | (32.3) ผลบวกค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเต็มใน (33) ให้หาเซตคําตอบของ (x + 2)(x − 3)(x − 1)4 < 0 และ B (x + 4)(x + 1)(x − 2)3 > 0}' x (x − 5)2 x3 − x2 − 4x + 4 > 0 (34) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของ x3 + 2x2 < 5x + 6 และ ผลบวกของจํานวนเต็มใน A ∩ B เป็นเท่าใด B = (−5, ∞) แล้ว (35) ให้หาเซตคําตอบของอสมการต่อไปนี้ (35.1) 1 < 2 x−1 (35.2) [Ent’29] 3x − 1 4 > x −2 (36) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของ 2 x+1 2x − 5 > 0 x+2 และ B เป็นเซตคําตอบของ ให้หาผลบวกของจํานวนเต็มที่มากที่สุดกับจํานวนเต็มที่น้อยที่สุด ในเซต (37) [Ent’38] ให้ S เป็นเซตคําตอบของ ค่าของ a2 + 1 x−1 > 2 x +2 2x − 1 < 1 x+5 แล้ว B ∩ A' และ a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S แล้ว เป็นเท่าใด (38) ให้หาขอบเขตบนน้อยสุดของแต่ละเซตที่กําหนดให้ (38.1) { x | x2 < 7 } (38.3) (38.4) (38.2) { 1, 5, 7, 9 } ∪ [6, ∞) (39) ถ้า a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ และ b เป็นขอบเขตล่างมากสุดของ A = {x | x = B = {x | x = (−2, 6] ∪ [3, 8) { x = 2n | n ∈ I } n , n ∈ I+ } n+1 1 , n ∈ I− } n แล้ว ให้หาค่า a+b (40) ให้หาผลบวกของค่าขอบเขตบนน้อยสุด และค่าขอบเขตล่างมากสุด ของเซตคําตอบของ อสมการ 2x2 − 5x + 2 < 5 2.4 ค่าสัมบูรณ์ “ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value หรือ Modulus) ของจํานวนจริง a” ใช้สัญลักษณ์ว่า a ค่าสัมบูรณ์มีความหมายเชิงเรขาคณิต คือ a เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุด 0 และ a − b เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุดที่แทน b ดังนั้น นิยามของค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริงเป็นดังนี้ ⎧ a a = ⎨ ⎩−a Math E-Book Release 2.2 ,a > 0 ,a < 0 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 45 จากสิ่งเหล่านี้ ทําให้สรุปทฤษฎีได้หลายอย่าง เช่น [1] ค่าสัมบูรณ์ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ a > 0 เสมอ a = −a [2] ค่าสัมบูรณ์ไม่คํานึงถึงเครื่องหมายลบ ab = a b [3] ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการคูณ a b [4] ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการหาร a2 [5] ยกกําลังด้วยเลขคู่ไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ [6] ค่าสัมบูรณ์กระจายไม่ได้ สําหรับการบวกลบ * [7] รากที่ n ของกําลัง n n = a b = a 2 a−b = b−a an = a โดย b ≠ 0 = a2 a+b < a + b a−b > ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ วิธีคิด จาก 3 − x = 1 จะได 3 − x = 1 หรือ 3 − x = −1 ... แปลวา x = 2 หรือ x = 4 ... ดังนั้น คําตอบคือ {2, −2, 4, −4} 3− x a − b ⎧⎪ a , n = จํานวนคู่ an = ⎨ ⎪⎩ a , n = จํานวนคี่ ทฤษฎีที่ช่วยแก้สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์แบบง่าย (คือมีค่าสัมบูรณ์เดียว และอีกข้างของสมการเป็นค่าคงที่) * [1] สมการ x = b มีความหมายเดียวกับสมการ x2 = b2 (ยกกําลังสองทั้งสองข้างได้) และยังสรุปได้ว่า “ x = b หรือ x = −b ” ด้วย (วิธีนี้สะดวกกว่าการยกกําลังสอง) * [2] อสมการ x < b ความหมายเดียวกับ −b < x < b อสมการ x < b ความหมายเดียวกับ −b < x < b อสมการ x > b ความหมายเดียวกับ “ x < −b หรือ x > b ” อสมการ x > b ความหมายเดียวกับ “ x < −b หรือ x > b ” -b • n = 1 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ตัวอยาง ใหหาชวงคําตอบของอสมการ 3 − x < 1 วิธีคิด จาก 3 − x < 1 จะได ... −1 < 3 − x < 1 ... นํา 3 ลบทั้งสามสวนของสมการ −4 < − x < −2 … นําลบคูณทั้งสมการ 2 < x < 4 … ดังนั้น คําตอบคือ [−4, −2] ∪ [2, 4] • b ÊÁ¡Ò÷Õèo¡Õ ¢Ò§Ë¹Ö觵i´µaÇæ»Ã eª¹ x + 2 = x ·íÒ溺¹Õéä´.. x + 2 = x ËÃ×o x + 2 = − x eËÁ×o¹Çi¸ÂÕ ¡¡íÒÅa§Êo§·aé§Êo§¢Ò§ æÅÇÂÒ ÁÒź¡a¹ (¼ÅµÒ§¡íÒÅa§Êo§) «Ö觨aµo§µÃǨ ¤íÒµoºeÊÁo¹a¤Ãaº e¾ÃÒa¤íÒµoºã´·Õè·íÒãË ¤ÒÊaÁºÙóµi´Åº ¨aãªäÁä´.. 浶Òe»¹oÊÁ¡Òà eª¹ x + 2 < x äÁ¤Ç÷íÒ溺¹Õé! −x < x + 2 < x e¾ÃÒaµÃǨ¤íÒµoº ÅíÒºÒ¡ ... ¤ÇÃãªÇi¸Õ桪ǧÂoµÒÁ·Õè¨a o¸iºÒÂã¹ËaÇ¢o¶a´ä»¤Ãaº.. เทคนิคการหาคําตอบของสมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ใดๆ 1. กําหนดจุดที่ทําให้ค่าสัมบูรณ์แต่ละพจน์เป็นศูนย์ ลงบนเส้นจํานวนให้ครบทุกจุดเรียงตามค่าน้อยไป มาก เช่นสมการ 2x + 1 − x − 2 = x + 3 ... มีค่าสัมบูรณ์อยู่ 2 พจน์ ก็กําหนดจุดบนเส้นจํานวน 2 จุด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 46 เส้นจํานวนที่ได้จะถูกแบ่งเป็นช่วงย่อยๆ ซึ่งใช้เป็นเงื่อนไขของค่า x เช่นในตัวอย่างนี้จะมีช่วง x < −1/2 , −1/2 < x < 2 , และ x > 2 (สังเกต : เครื่องหมาย “เท่ากับ” จะอยู่รวมกับ “มากกว่า” ตามนิยามของการถอดค่าสัมบูรณ์) -1/2 2 2. ในแต่ละช่วงย่อย สมการจะถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ทิ้งได้ โดยให้ทดลองแทนจํานวนใดๆ ที่อยู่ ในช่วงนั้นลงไปในค่าสัมบูรณ์ หากภายในค่าสัมบูรณ์ติดลบเมื่อถอดค่าสัมบูรณ์ออกแล้วจะต้องใส่ลบ เพิ่มให้ แต่ถ้าภายในเป็นบวกแล้วก็ถอดค่าสัมบูรณ์ออกได้เลยไม่ต้องแก้ไขอะไร ... ดังตัวอย่างนี้มี 3 ช่วง จะได้สมการ 3 แบบคือ x>2 -1/2 < x < 2 x < -1/2 -1/2 2 (-2x - 1) − (-x + 2) = x + 3 (2x + 1) − (-x + 2) = x + 3 (2x + 1) − (x − 2) = x + 3 −x−3 = x+3 3x − 1 = x + 3 x+3 = x+3 x = 2 0 = 0 x = −3 3. ตรวจสอบคําตอบที่ได้ของแต่ละช่วง ให้ใช้คําตอบเฉพาะที่อยู่ในช่วงนั้นจริงๆ (อินเตอร์เซคกับ เงื่อนไข) แล้วจึงรวมผลที่ได้จากแต่ละช่วงย่อยเข้าด้วยกัน (ยูเนียน) เป็นคําตอบที่แท้จริงของสมการ (สังเกต : หากแก้สมการแล้วได้ผลเป็น 0 = 0 หรือประโยคอื่นๆ ที่เป็นจริงเสมอ เช่น 3 > 0 แสดงว่าช่วงย่อยนั้นเป็นคําตอบได้ทั้งหมด แต่ถ้าแก้สมการแล้วได้ผลเป็นประโยคที่เป็นเท็จ เช่น 1 = 0 หรือ 3 < 0 แสดงว่าช่วงย่อยนั้นไม่มีค่าใดเป็นคําตอบเลย) x>2 -1/2 < x < 2 x < -1/2 -1/2 x = −3 2 ∅ ตัวอย่างนี้คําตอบที่ได้คือ x ∈ {−3} ∪ [2, ∞) แบบฝึกหัด 2.4 (41) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (41.1) ถ้า n ∈ I+ และ n (41.2) ถ้า a, b > 0 แล้ว > 1 จะได้ n an = a a−b = a − b (42) ให้หาค่าของจํานวนจริง m ที่น้อยที่สุดที่ทําให้ (42.1) 4x + 0.5 < m เมื่อ −3 < 2x − 1 < (43) ถ้า (42.2) x −2 +5 < m x (42.3) x2 − 25 < m x−1 < 5 และ เมื่อ เมื่อ 0.5 x ∈ (2, 6) x+5 < 6 y −2 < 4 แล้ว x+y มีค่าอยู่ในช่วงใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) x > 2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 47 (44) ให้หาคําตอบของสมการต่อไปนี้ (44.1) x2 − 6 x + 8 = 0 (44.2) x − 1 + x + 1 = 2 (44.3) [Ent’30] x − 4 + x − 3 = 1 (45) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของสมการ 2 + 3x = 2 + 3 x และ B เป็นเซตคําตอบของสมการ 2 + 3x = 2 + 3x แล้วให้หาเซต 8 (x + 2)2 − 14 (x + 2) + 3 = 0 (46) ให้หาผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ (47) ถ้า A = { x ∈ I | x2 + 3x + 3 = 2x + 3 } แล้ว ให้หาค่า a2 + b2 และ B = {x ∈ I | 5 − 3x = 2} x+2 เมื่อ a, b เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดและขอบเขตล่างมากสุดของ 2 x )x = x 3 ( (48) ให้หาคําตอบทั้งหมดของสมการ (49) ให้หาคําตอบของอสมการต่อไปนี้ (49.1) 2x − 1 < 3x + 2 (49.2) 3 < x −2 < 6 (49.3) x + 1 > 0 x (49.4) (49.5) และ และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ A = {x ∈ R | x < 3 < x x−1 − 2 x x −1 < 2 x2 − x − 2 < 0 x+2 + x < 4 2 (50) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของอสมการ (51) ถ้า B ∩ A' x < x−7 4x + 5 2 < 5} แล้วให้หาเซต (A ∩ B) ' แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (51.1) ถ้า a, b ∈ A แล้ว (a + b)/2 ∈ A (51.2) ถ้า a, b เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด และขอบเขตล่างค่ามากสุดของ A แล้ว a+b ∈ A (52) ถ้า A = { x ∈ R | x2 − 2 < 14 } แล้ว มีจํานวนเต็มใน A ∩B' และ B = {x ∈ R | 1 − 1 > 0} x กี่จํานวน (53) ให้หาค่า a, b, c ที่เป็นจํานวนนับที่น้อยที่สุด ที่ทําให้ (53.1) −4 < x < 1 เป็นคําตอบของอสมการ ax + b < (53.2) x < −10 หรือ x > 8 เป็นคําตอบของอสมการ c ax + b > c (54) ให้หาคําตอบของอสมการต่อไปนี้ (54.1) 3x + 2 < 4x + 1 (54.2) [Ent’41] x −2 < 2 x+1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) A ∪B คณิตศาสตร O-NET / A-NET (54.3) (54.4) (54.5) ระบบจํานวนจริง 48 x − 7 < 5 < 5x − 25 x −1 + x −3 < x −5 x2 − 5x − 4 > 1 x2 + x − 2 * (55) ให้หาคําตอบของอสมการ x −3 < x −2 (56) ให้หาค่า x ที่ทําให้ (56.1) (1 − x )(1 + x) เป็นจํานวนจริงบวก (56.2) (1 − x )(1 + x) เป็นจํานวนจริงลบ 2.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น * ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงจํานวนเต็มเท่านั้น สมบัติของจํานวนเต็มกับการหาร [1] บทนิยามของการหารจํานวนเต็มลงตัว สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “m หารด้วย n ลงตัว” คือ n m เรียก m ว่า ตัวตั้ง (Dividend) และเรียก n ว่า ตัวหาร (Divisor) สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า n m ก็ต่อเมื่อ m = n q และ q ∈ I [1.1] สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c [1.2] ตัวหารที่ลงตัวย่อมน้อยกว่า ถ้า a b แล้ว a < b เสมอ [1.3] การหารผลรวมเชิงเส้นลงตัว ถ้า a b และ a c แล้ว a (bx + cy) “ผลรวมเชิงเส้น (Linear Combination) ของ b กับ c” คือจํานวนในรูป bx + cy ซึ่ง x, y ∈ I S Êi觷Õè¤Ç÷ÃÒº! S 1. ¶Ò a b æÅa a c æÅÇ a (b ± c) 3. ¶Ò a b æÅÇ a bn 2. ¶Ò a b æÅÇ a (b ⋅ c) 4. ¶Ò an b æÅÇ a b * »Ãao¤´Ò¹º¹¹Õé¶Ù¡·u¡¢o 浶ҡÅaº´Ò¹»Ãao¤eËÅÒ¹Õé¨a¼i´¹a¤Ãaº! »Ãao¤´Ò¹ÅÒ§¹Õé¼i´·u¡¢o! 3. ¶Ò a bn æÅÇ a b 1. ¶Ò a (b ± c) æÅÇ a b æÅa a c 2. ¶Ò a (b ⋅ c) æÅÇ a b 4. ¶Ò a b æÅÇ an b [2] บทนิยามของการหารจํานวนเต็มใดๆ สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า m = n q + r และ q ∈ I , 0 < r < n มีจํานวนเต็ม q, r ชุดเดียวเท่านั้น เรียก q ว่า ผลหาร (Quotient) และ r คือ เศษ (Remainder) [3] บทนิยามของ จํานวนเฉพาะ (Prime Numbers) “จํานวนเฉพาะ p คือจํานวนเต็มที่ไม่ใช่ 0, 1, −1 และมีจํานวนเต็มที่ไปหาร p ลงตัวเพียงแค่ 1, −1, p, −p เท่านั้น” เช่น ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ... ... จํานวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่จํานวนเฉพาะและไม่ใช่ 0, 1, −1 จัดเป็น จํานวนประกอบ (Composite Numbers) [3.1] หลักการมีตัวประกอบชุดเดียว “ทุกจํานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเขียนในรูปผลคูณของจํานวนเฉพาะบวก ได้แบบเดียว” Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 49 [3.2] จํานวนเฉพาะกับการหารลงตัว ถ้า p mn แล้ว p m หรือ p n [4] บทนิยามของ จํานวนคู่ (Even Numbers) และ จํานวนคี่ (Odd Numbers) “จํานวนคู่ คือจํานวนที่เขียนได้ในรูป 2 n เมื่อ n ∈ I ” “จํานวนคี่ คือจํานวนที่เขียนได้ในรูป 2 n + 1 เมื่อ n ∈ I ” [5] บทนิยามของ ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม. : the Greatest Common Divisor : GCD) และตัว คูณร่วมน้อย (ค.ร.น. : the Least Common Multiple : LCM) “ d เป็น ห.ร.ม. ของ a กับ b ก็เมื่อ d a และ d b และถ้ามี n a และ n b แล้ว n d ” สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ห.ร.ม. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ (a, b) “ c เป็น ค.ร.น. ของ a กับ b ก็เมื่อ a c และ b c และถ้ามี a n และ b n แล้ว c n ” สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ค.ร.น. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ [a, b] [5.1] ห.ร.ม. คูณกับ ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ [5.2] ห.ร.ม. ของผลหาร ถ้า (a, b) = d แล้ว (a/d, b/d) = 1 [5.3] ขั้นตอนวิธีการหา ห.ร.ม. ของยุคลิด การหา ห.ร.ม. ของ a กับ b จะเริ่มโดยเขียน a กับ b ในรูปการหาร แล้วนําเศษที่ได้ไป b = r1q 2 + r2 r1 = r2q 3 + r3 r2 = r3q 4 + r4 ... หารต่อๆ ไป คือ a = b q 1 + r1 ทําไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหารลงตัว (เศษเป็น 0) จะได้ว่า ห.ร.ม. เท่ากับ เศษตัวสุดท้าย ( rk ) เช่น ต้องการหาค่า ห.ร.ม. ของ 138 กับ 182 จะมีขั้นตอนการหาดังนี้ (182) = (138) 1 + (44) (138) = (44) 3 + (6) (44) = (6) 7 + (2) (6) = (2) 3 ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 2 (เพราะ 2 คือเศษตัวสุดท้าย ที่ทําให้การหารนั้นลงตัว) หมายเหตุ ถ้า (m, n) = 1 จะเรียก m และ n เป็น จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Relative Primes) (โดยที่ m และ n ไม่จําเป็นต้องเป็นจํานวนเฉพาะ) การหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มมากกว่าสองจํานวน สามารถหาจากสองจํานวน ใดก็ได้ แล้วนําผลที่ได้ไปหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ร่วมกับจํานวนที่เหลือต่อไป แบบฝึกหัด 2.5 (57) เศษของการหาร (19)3(288)2 ด้วย 5 เป็นเท่าใด (58) ให้หา ห.ร.ม. ของ 252 กับ 34 และเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้น เมื่อ x, y เป็นจํานวนเต็ม d = 252 x + 34 y (59) ให้หา ห.ร.ม. ของ –504 กับ –38 และเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นด้วย (60) ถ้า ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ x กับ 128 เป็น 16 และ 384 แล้วค่า x เป็นเท่าใด (61) [Ent’37] ให้ x, y เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ x < y ถ้า จํานวนเฉพาะที่หาร x ลงตัวมี 3 จํานวน แล้ว x, y มีค่าเท่าใด (x, y) = 9 , [x, y] = 28215 (62) [Ent’38] ให้ x, y เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ 80 < x < 200 และ x = p q เมื่อ p, q เป็นจํานวนเฉพาะซึ่งไม่เท่ากัน ถ้า x, y เป็นจํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ และมี ค.ร.น. เป็น 15015 แล้วค่า y เป็นเท่าใดได้บ้าง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) และ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 50 เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1) ผิดทุกข้อ (2) ข้อ (2.3) ถูก นอกนั้นผิด (3) ง. (4) ข้อ (4.1) และ (4.3) ถูก (5) ถูกทุกข้อ (6) ง. (7) 6 + 5 และ 1 (8) ค. (9) ง. (10) เท่ากัน (11.1) ผิด (11.2) ถูก (12) 1 (13) –3 (14) –81 (15) 4+3 (16) –155/9 (17) (x − 1)(x − 2) (18) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x + 4) (19) (x − 2)(x − 4)(x + 5)(3x + 1)(x + 1) (20.1) {b, −b} (20.2) {0} (20.3) {0, −2b} (20.4) {−a − 1, −a + 1} (21) ข้อ (21.1) และ (21.2) ผิด (22) ข้อ (22.4) ผิด นอกนั้นถูก (23.1) (−6, 46) (23.2) (−252, 180) (24.1) (−18, −4) (24.2) (−9, −4) (24.3) (−3, −2/3) 2 (25) อยู่ในช่วง [7.5, 10) ซม. (26) 2, 4 (27) 2 (28) ถูกทุกข้อ (29) (−1 + 0 + 1 + 2) + (0) (30) ถูกทุกข้อ (31) a ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) (32.1) (−∞, −1) ∪ (0, 1) (32.2) [−4, ∞) − {1} (32.3) 11 (33) [−2, 1] ∪ [2, ∞) (34) –5 (35.1) (−∞, −1) ∪ (1/3, 1) (35.2) (2, 8] (36) 0 (37) 5 (38.1) 7 (38.2) ไม่มี (38.3) 8 (38.4) ไม่มี (39) 0 (40) 5/2 (41) ผิดทุกข้อ (42.1) 3.5 (42.2) 17/3 (42.3) 96 (43) [0, 12) (44.1) 2, −2, 4, −4 (44.2) [−1, 1] (44.3) [3, 4] (45) [−2/3, 0) (46) –8 (47) 90 (48) 1, 6 (49.1) (−1/5, ∞) (49.2) (−4, −1) ∪ (5, 8) (49.3) (−1, 2) − {0} (49.4) (−1, 3) ∪ [ 3 + 21 , ∞) 2 (49.5) (−∞, −2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, ∞) (50) (2, ∞) (51) ถูกทุกข้อ (52) 7 (53.1) 2, 3, 5 (53.2) 1, 1, 9 (54.1) (−∞, −3/7) ∪ (1, ∞) (54.2) (−∞, −4) ∪ (0, ∞) (54.3) (2, 4) ∪ (6, 12) (54.4) (−1, 3) (54.5) (−∞, −1] ∪ [−1/ 3, 3] − {1, −2} (55) (−∞, −1/2) ∪ (5/2, ∞) (56.1) (−∞, −1) ∪ (−1, 1) (56.2) (1, ∞) (57) 1 (58) 2 = (252)(5) + (34)(−37) (59) 2 = (−504)(−4) + (−38)(53) (60) 48 (61) 495, 513 (62) 105, 165 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1.1) ผิด ทศนิยมไม่ซ้ํา เป็นจํานวนอตรรกยะ (1.2) ผิด ทศนิยมซ้ํา เป็นจํานวนตรรกยะ (1.3) ผิด เช่น a = 2 (1.4) ผิด เช่น a = 3 (2.1) ผิด เช่น a=0 แล้ว b จะเป็นเท่าใดก็ได้ (2.2) ผิด ต้องเป็น a=0 หรือ b=0 (ไม่จําเป็นต้อง เป็น 0 พร้อมกันทั้งคู)่ (2.3) ถูก (ตามกฎการคูณเข้าทั้งสองข้าง เอา b คูณ จะได้ a = c ) (2.4) ผิด เช่น a=0 แล้ว b กับ c ไม่จําเป็นต้อง เท่ากัน (3) ก. มีการบวก แต่ไม่มีการคูณ (เพราะ ลบคูณลบ ได้บวก) ข. ไม่มีการบวก (เช่น 3 + 5 = 8 → 8 ไม่อยู่ใน เซตนี้) และไม่มกี ารคูณ (เช่น 3 ⋅ 5 = 15 ) ค. ไม่มีการบวกและคูณเลย (เช่น และ 3 4 ⋅ = 1) 4 3 3 −3 +( ) = 0 4 4 ง. ถูก (เพราะ บวกกันแล้วย่อมยังหาร 4 ลงตัว, คูณกันก็ยงั หาร 4 ลงตัว) (4.1) ถูก (จํานวนจริงลบกัน ย่อมเป็นจํานวนจริง) (4.2) ผิด เพราะ (a − b) − c ≠ a − (b − c) (4.3) ถูก (นําจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มาหารกัน ย่อม เป็นจํานวนจริง) ... (แต่ถ้ารวม 0 ด้วย ข้อนีจ้ ะผิด เพราะส่วนเป็น 0 นัน้ ไม่นิยาม) (4.4) ผิด เพราะ [ a ] ÷ c ≠ a ÷ [b ] b c (5) A = {x | x เป็นจํานวนนับ และ x เป็น จํานวนตรรกยะ } = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...} หรือ มองว่า A เป็นเซตของจํานวนนับยกกําลังสองก็ได้.. B = N - A = { จํานวนนับอืน ่ ๆ ที่ไม่อยู่ใน A} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 51 (5.1) A มีสมบัตปิ ิดการคูณ เพราะจํานวนนับ2 คูณกัน ย่อมยังเป็นจํานวนนับ2 B ไม่มีสมบัติปด ิ การคูณ เช่น 2 × 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดังนัน ้ ข้อนีถ้ ูก (5.2) A ไม่มีสมบัติปิดการบวก เช่น (14) เศษ 1+ 1 = 2 → 2∉ A B ไม่มีสมบัติปดิ การบวก เช่น 2 + 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดังนัน ้ ข้อนี้ถกู (6) ก. ไม่จริง เช่น ถ้า x = 2 จะไม่มี y ที่เป็น จํานวนเต็ม ที่ xy = 1 ข. ไม่จริง เช่น ถ้า x = 0 จะไม่มี y ที่เป็นจํานวน จริง ที่ xy = 1 ค. ไม่จริง เพราะถ้า xy = 1 นั้น xy ∉ A แน่นอน ( 1 ไม่ใช่จํานวนอตรรกยะ) ง. จริง ไม่วา่ x เป็นจํานวนตรรกยะใด y จะเป็น จํานวนตรรกยะเสมอ (x, y ≠ 0) (7) อินเวอร์สการคูณของ a คือ 1/a ... ดังนัน้ 1 อินเวอร์สการคูณของ คือ 6 + 5 6+ 5 เอกลักษณ์การคูณของจํานวนจริงใดๆ คือ 1 เสมอ (8) ก. (a ∗ b) ∗ a = b ∗ a = b → ผิด ข. (b ∗ c) ∗ b = a ∗ b = b → ผิด ค. (a ∗ b) ∗ (c ∗ b) = b ∗ a = b → ถูก ง. (c ∗ a) ∗ (b ∗ a) = c ∗ b = a → ผิด (9) ตอบ ง. เพราะ x − y ≠ y − x (10) จะมองแค่วา่ a * b มีสมบัติการสลับทีก่ ็ได้ หรือคิดจาก x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (3yz + y + z) = 3x(3yz + y + z) + x + 3yz + y + z และ (z ∗ y) ∗ x = (3zy + z + y) ∗ x = 3(3zy + z + y)x + 3zy + z + y + x ก็ได้ ... คําตอบข้อนี้คอื “เท่ากัน” (11.1) A ไม่มีสมบัติปิดภายใต้ ⊕ เช่น 5+7 = 6 แต่ 6 ∉ A )แต่มีสมบัติการสลับที่ 2 เพราะ (11.2) 3×3 2 a+b b+a = 2 2 เสมอ) ... ดังนั้นข้อนี้ผิด ระบบจํานวนจริง (5)4 − (5)3 + 3(5)2 − (5) − 1 = 2(5)3 + (5)2 + 75(5) + a ... ดังนัน้ a = −81 (15) เป็นตัวประกอบ แสดงว่า หารแล้วเหลือเศษ 0 a (2)3 − a(2)2 + (2) + 2b = 0 .... (1) 4 1 2 (2) + (2) − b = 0 a .... (2) แก้ระบบสมการ ได้ a = 4, b = 3 → a + b (16) จาก (x2 − 2x − 3) = (x − 3)(x + 1) แสดงว่า จะได้ = 7 ⎧(3)4 + a(3)3 + b(3)2 + 3(3) + 4 = 0 ⎨( 1)4 a( 1)3 b( 1)2 3( 1) 4 0 ⎩− + − + − + − + = a = −19 −37 ,b = 9 9 และจาก (x2 + x − 2) = (x + 2)(x − 1) แสดงว่า ⎧(−2)3 + 10(−2)2 + c(−2) + d = 0 ⎨ 3 2 ⎩(1) + 10(1) + c(1) + d = 0 จะได้ c = 7, d = −18 ดังนัน้ a + b + c + d = −155 9 (17) แยกตัวประกอบแต่ละพหุนามก่อน (โดยการหารสังเคราะห์) จะได้ (x3 − 7x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x + 3) และ (3x3 − 7x2 + 4) = (x − 1)(x − 2)(3x + 2) และ (x − 3x + 6x − 4) = (x − 1)(x − 2)(x − 2)(x + ดังนัน้ ห.ร.ม. = (x − 1)(x − 2) = x2 − 3x + 2 (18) แยกตัวประกอบแต่ละพหุนามก่อน จะได้ (x3 − 2x2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2) และ (x3 + x2 − 10x + 8) = (x − 1)(x − 2)(x + 4) ค.ร.น. = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x + 4) 4 3 = x5 − 17x3 + 12x2 + 52x − 48 (19) (3x + 1)(x − 2)(x − 4)(x + 5)(x2 + 1) (20.1) a = 0 → x2 − b2 = 0 → (x − b)(x + b) = 0 → {−b, b} (20.2) (20.3) 2 b = 0 → x2 = 0 → {0} a = 1 → x2 + b2 + 2bx − b2 = 0 → x + 2bx = 0 → x(x + 2b) = 0 → {0, −2b} (20.4) b = 1 → x2 + a2 + 2ax − 1 = 0 ไม่มีสมบัติปิดภายใต้ ⊗ เช่น → (x + a)2 − 1 = 0 → (x + a − 1)(x + a + 1) = 0 = 4.5 แต่ 4.5 ∉ A และ A มีสมบัติการ → {−a + 1, −a − 1} A สลับที่ เพราะ ab ba = 2 2 เสมอ ... ดังนัน้ ถูก (12) a = 4(4)3 − 21(4)2 + 26(4) − 17 = 7 และ b = 3(−3)3 + 13(−3)2 + 11(−3) + 5 = 8 ดังนัน้ b − a = 8 − 7 = 1 (13) เศษ (1)2 + 2a = (−2) + a ดังนัน้ a = −3 (21.1) ผิด เช่น c > b > a และ c > d แบบนี้ก็ยังได้ (−)(−)(+) > 0 อยู่ (21.2) ผิด เช่น −2 < 1 แต่ (−2)2 < 12 (21.3) ถูก ... พิสจู น์ จาก (a + b) / 2 > → a + b > 2 ab 2 2 2 → a + 2ab + b > 4ab 2 → a − 2ab + b > 0 → (a − b)2 > 0 (เป็นจริงเสมอ เมื่อ Math E-Book Release 2.2 ab a ≠ b) (คณิต มงคลพิทักษสุข) 2) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (21.4) ถูก ... พิสจู น์ จาก → b3 + a3 > ab(b + a) b3 + a3 b+a > ab a2b2 → (b + a)(b2 − ab + a2) > ab(b + a) → b2 − 2ab + a2 > 0 → (b − a)2 > 0 y 2 h +x h x จึงต้องใช้สูตร −b ± b − 4ac 2a หรืออาจจัดกําลังสองสมบูรณ์ก็ได้ ดังนี้ (x + 3 − 2)(x + 3 + + - −3 − 2 ∴m−n = 2 (2x − 5)(x + 4) < 0 (28) ก. + ผลบวกที่ตอ้ งการคือ h2 + x2 0 < h 0 2 100 − h h = 5− 20 20 15 h2 0 → (x + 1)2 − > 0 → 2 2 3.5)(x + 1 + + 3.5) > 0 - −1 − 3.5 เนื่องจาก 3.5 ≈ 1.8 ดังนัน้ ก. {0} ⊂ {0, −2} ถูก ข. {−2} ⊂ {0, −2} ถูก Math E-Book Release 2.2 5 > 0 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) + −1 + 3.5 a = 0, b = −2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (31) −x2 + 8x x2 − 8x > 0 → (a − 3)(a + 2) > 0 + - −2 + 3 ดังนัน้ a ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) (32.1) - + - + - + -1 0 ตอบ (−∞, −1) ∪ (0, 1) + (32.2) A B - 1 2 2 - + - + + -2 1 -4 -2 - 1 3 3 + - + - + - + -1 [−4, ∞) − {1} รวมแล้วจึงตอบเพียง (2, 8] (36) A ; 2x − 5 > 0 ผลบวกค่าสมบูรณ์ตามต้องการคือ (x − 1)(x − 2)(x + 2) > 0 + -2 - 1 + 2 ตอบ [−2, 1] ∪ [2, ∞) (34) x3 + 2x2 − 5x − 6 < 0 - + B = (−5, ∞) ∴A∩B คือ -5 -3 -1 - -3 -1 2 + 2 ดังนัน้ ตอบ −4 − 3 − 1 + 0 + 1 + 2 = −5 (35.1) ห้ามคูณไขว้เพราะตัวส่วนอาจติดลบ แล้ว เครื่องหมายจะผิด ควรทําดังนี้ 1 − 2 < 0 x − 1 3x − 1 3x − 1 − 2x + 2 (x + 1) → < 0 → < 0 (x − 1)(3x − 1) (x − 1)(3x − 1) - + -1 1/3 + 1 5/2 + - คือ + [−2, 5/2) ผลบวกที่ตอ้ งการคือ 2 + (−2) = 0 (37) x − 1 − 2 > 0 → x − 1 − 2x − 4 x +2 x+2 −x − 5 x+5 → > 0 → < 0 x+2 x +2 + + - 2x − 1 2x − 1 − x − 5 −1< 0 → < 0 x+5 x+5 x−6 → < 0 x+5 -5 6 → (x − 2)(x + 1)(x + 3) < 0 A คือ -2 B; ∴B∩ A' = B − A | −3 | + | −2 | + | 0 | + | 1 | + | 5 | = 11 - + ก็ได้ + - + - + - + 2 2 8 x−2 x+2 -4 -1 0 2 5 5 (33) 0 แต่ในโจทย์มี x + 1 จึงต้องเพิ่มเงือ่ นไขว่า x + 1 > 0 → x > −1 และนอกจากนั้น 4 > 0 ด้วย → x > 2 (A '∩ B ') ' = A ∪ B = [−4, 1) ∪ (1, ∞) หรือตอบในรูป (32.3) ระบบจํานวนจริง 53 −5 - −2 > 0 + ดังนัน้ a = −2 → a2 + 1 = 5 (38.1) ได้ x ∈ (− 7, 7) ตอบ 7 (38.2) ไม่มีขอบเขตบน (38.3) ตอบ 8 (38.4) {..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, ...} ไม่มีขอบเขตบน (39) A = { 1 , 2 , 3 , ...} จะได้ a = 1 2 3 4 1 1 B = {−1, − , − , ...} 2 3 จะได้ b = −1 ดังนัน้ a + b = 1 − 1 = 0 (40) ยกกําลังสองได้เพราะเป็นบวกทั้งสองข้าง → 2x2 − 5x + 2 < 5 → 2x2 − 5x − 3 < 0 → (2x + 1)(x − 3) < 0 + - + ตอบ (−∞, −1) ∪ ( 1 , 1) -1/2 3 3 (35.2) การยกกําลังสองทั้งสองข้าง ข้อนีท้ ําได้ 2 แต่อย่าลืมเช็คเงือ่ นไขของรู้ท ว่า 2x − 5x + 2 > 0 เพราะขวามือเป็นบวกเสมอ และซ้ายมือนัน้ โจทย์บอก → (2x − 1)(x − 2) > 0 ว่ามากกว่าหรือเท่ากับขวามือ จึงเป็นบวกเสมอด้วย + + (แต่ถ้าโจทย์เป็นเครื่องหมาย < จะห้ามยกกําลัง) 1/2 2 16 4 4 1 > >0 → − ดั ง นั น ้ คํ า ตอบคื อ 2 2 x +1 x+1 (x − 2) (x − 2) 4x + 4 − x2 + 4x − 4 >0 → → (x − 2)2(x + 1) -1/2 1/2 ผลบวกที่ตอ้ งการคือ Math E-Book Release 2.2 2 1 5 3 + (− ) = 2 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (41.1) ผิด n (45) เซต ⎧ a , n = จํานวนคู่ an = ⎨ ⎩ a , n = จํานวนคี่ (41.2) ผิด เช่น a = 0, b = −1 จะได้ |a − b| = 1 , |a| − |b| = −1 (42.1) −3 < 2x − 1 < 0.5 → −2 < 2x → −1 < x < 0.75 ก. เมื่อ < 1.5 1 2 < < 1→ 3 x 2 1 2 17 −1 < − < − → 5 < − + 6 < x 3 x 3 x−2 2 2 +5 = 1− +5 = − +6 แสดงว่า x x x 17 ในช่วง (5, ) 3 x −2 17 ∴| + 5| < x 3 (42.3) เซต -1 1 x > 1 จะได้ x − 1 + x + 1 = 2 → 2x = 2 → x = 1 → {1} ∴ ค. ข. 3 4 x < 3 จะได้ −x + 4 − x + 3 = 1 → −2x = − 6 → x = 3 → ∅ ก. เมื่อ B; แบ่งช่วงย่อยดังนี้ ก. ข. -2/3 ก. เมื่อ x < −2/ 3 จะได้ −2 + 3x = 2 + 3x → −2 = 2 → ∅ ข. เมื่อ x > −2/3 จะได้ 2 + 3x = 2 + 3x → 0 = 0 → [−2/ 3, ∞) ∴ B = [−2/ 3, ∞) ดังนัน้ ตอบ (46) B ∩ A ' = B − A = [− 2 3 < x < 4 จะได้ −x + 4 + x − 3 = 1 → 1 = 1 → [3, 4) ข. เมื่อ 8 x + 2 − 14 x + 2 + 3 = 0 → (2 x + 2 − 3)(4 x + 2 − 1) = 0 → x +2 = 3 2 → x ∈ {−2 + หรือ 1 4 3 3 1 1 , −2 − , − 2 + , − 2 − } 2 2 4 4 ผลบวกคําตอบคือ −8 (47) ** เนือ่ งจากทัง้ สองข้างเป็นบวกเสมอ จึง สามารถยกกําลังสองทั้งสองข้างได้ A; ยกกําลังสอง 2 ข้างแล้วย้ายมาลบกัน ∴ (x2 + 3x + 3)2 − (2x + 3)2 = 0 → x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0 ∴ A = {0, −1, −2, −3} ต่อมาคิด B; |5 − 3x| = |2x + 4| ยกกําลังสอง 2 ข้างแล้วย้ายมาลบกันเหมือนเดิม (5 − 3x)2 − (2x + 4)2 = 0 → (5 − 3x − 2x − 4)(5 − 3x + 2x + 4) = 0 → (1 − 5x)(9 − x) = 0 → ∴ B = {9} (โจทย์บอกให้เป็นจํานวนเต็มเท่านั้น) จะได้ A ∪ B = {0, −1, −2, −3, 9} → a = 9, b = −3 → a2 + b2 = 90 x > 4 จะได้ x − 4 + x − 3 = 1 → 2x = 8 → x = 4 → {4} ค. เมื่อ ∴ ตอบ 2 , 0) 3 (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = 0 → ค. เมื่อ ก. จะได้ (x2 + 3x + 3 − 2x − 3)(x2 + 3x + 3 + 2x + 3) = 0 → −1 < x < 1 จะได้ −x + 1 + x + 1 = 2 → 2 = 2 → [−1, 1) ข. เมื่อ ตอบ [−1, 1] (44.3) ข้อนี้แบ่งช่วงย่อยดังนี้ −2/ 3 < x < 0 อยู่ (43) −5 < x − 1 < 5 → −4 < x < 6 และ −4 < y − 2 < 4 → −2 < y < 6 ดังนัน้ −6 < x + y < 12 → ∴ |x + y| ∈ [0, 12) (44.1) |x|2 − 6|x| + 8 = 0 → (|x | − 4)(| x | − 2) = 0 → |x | = 2 หรือ 4 ตอบ {2, −2, 4, −4} (44.2) ข้อนี้แบ่งช่วงย่อยดังนี้ x < −1 จะได้ −x + 1 − x − 1 = 2 → −2x = 2 → x = − 1 → ∅ 0 จะได้ ∴ A = [0, ∞) → ∴ | x2 − 25 | < 96 ก. เมื่อ -2/3 x > 0 จะได้ 2 + 3x = 2 + 3x → 0 = 0 → [0, ∞) → 0 < x2 < 121 → −25 < x2 − 25 < 96 ข. x < −2/ 3 ค. ข. ค. เมื่อ −6 < x + 5 < 6 → −11 < x < 1 ค. แบ่งช่วงย่อยดังนี้ ก. 2 + 3x = 2 − 3x → 6x = 0 → x = 0 → ∅ 2 < x < 6 → ก. A; −2 − 3x = 2 − 3x → −2 = 2 → ∅ ข. เมื่อ ∴ −4 < 4x < 3 → −3.5 < 4x + 0.5 < 3.5 → | 4x + 0.5 | < 3.5 (42.2) ระบบจํานวนจริง 54 [3, 4] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 55 (48) ถอดค่าสัมบูรณ์ได้ 2 กรณีคอื x < 0 กับ (49.4) แยกช่วงย่อย ก. เมือ่ x < 1 จะได้ 3 3 x > 0 แต่พบว่า x < 0 ไม่ได้ เพราะขวามือจะติด −1 x +1 → (−1, 1) = x3 1 2 x = 3 → 2 ข. มองว่าฐานของเลขยกกําลัง x = 1 ก็ได้ เพราะ 1 ยกกําลังอะไรก็ได้ 1 เท่ากัน ∴ ตอบ {1, 6} (หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้ควรจะใช้เรือ่ ง log ช่วยคิด) (49.1) แยกช่วงย่อยเหมือนข้อ 44, 45 ก็ได้ ก. เมื่อ x < 1/2 จะได้ แล้วเขียนเส้นจํานวน โดยคิดว่า 21 ≈ 4 กว่าๆ จะได้ [ 3 − 21 , 3) ∪ [ 3 + 21 , ∞) อินเตอร์เซคกับ −2x + 1 < 3x + 2 → −1 < 5x → x > − 1/5 → (−1/5, 1/2) ข. เมื่อ x > 1/2 2 จะได้ 2x − 1 < 3x + 2 → −3 < x → x > − 3 → [1/2, ∞) ตอบ (−1/5, ∞) (49.2) นอกค่าสัมบูรณ์เป็นตัวเลข จึงแก้แบบนี้ได้ −6 < x − 2 < −3 หรือ 3 < x − 2 < 6 ∴ −4 < x < −1 5 < x < 8 ตอบ (−4, −1) ∪ (5, 8) (49.3) จาก x + 1 > 0 แยกช่วงย่อยคิด ∴ |x| ก. เมื่อ x < 0 1 x2 − 1 > 0 → > 0 x x (x − 1)(x + 1) > 0 เขียนเส้นจํานวนได้เป็น x ข. เมื่อ x >0 นําไปอินเตอร์เซคเงื่อนไขได้ จะได้ เงื่อนไขช่วง ได้เป็น ∴ ตอบ (−1, 3) ∪ [ 2 [1, 3) ∪ [ 3 + 21 , ∞) 2 3 + 21 , ∞) 2 x < 0 −x −x 1 จะได้ 3 3 0 x Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET B; แยกช่วงย่อย ก. เมือ่ x < 7 จะได้ 7 7 x < −x + 7 → 2x < 7 → x < → (−∞, ) 2 2 x > 7 จะได้ x < x − 7 → 0 < −7 → ∅ ข. เมื่อ ดังนัน้ 7 B = (−∞, ) 2 A ∩ B = (−∞, 2] ... ตอบ (A ∩ B) ' = (2, ∞) (51) คิดทีละซีก คือ 2x < |4x + 5| และ |4x + 5| < 10 จาก 2x < |4x + 5| ใช้วิธีแยกช่วงย่อย ก. เมื่อ x < −5/ 4 จะได้ 2x < − 4x − 5 → 6x < − 5 → x < − 5/6 อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไขช่วงแล้วได้ ข. เมื่อ x > −5/4 จะได้ (−∞, −5/ 4) 2x < 4x + 5 → −5 < 2x → x > − 5/2 อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไขช่วงแล้วได้ [−5/ 4, ∞) ดังนัน้ ซีกแรกได้คําตอบรวมกันเป็น x ∈ R ต่อมา จาก |4x + 5| < 10 จะได้ −10 < 4x + 5 < 10 → −15 < 4x < 5 −15/ 4 < x < 5/4 ดังนัน้ สองซีกอินเตอร์เซคได้เป็น (51.1) ถูกเสมอ เพราะ ( a + b ∈ A เสมอ) 2 (51.2) (52) A A = [− 15 5 , ] 4 4 เป็นช่วงต่อเนือ่ ง 5 15 10 + (− ) = − ∈A 4 4 4 ถูก A ; − 14 < x2 − 2 < 14 −12 < x2 < 16 ∴− 4 < x < 4 0 < x2 < 16 → A = (−4, 4) คือ 1 1− x x−1 B; −1> 0 → > 0 → < 0 x x x เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น B = (0, 1) ∴ A ∩ B ' = A − B = (−4, 0] ∪ [1, 4) คําตอบคือ มีจาํ นวนเต็มอยู่ 7 จํานวน (53.1) เทคนิคการคิดคือ นํา −4 + 1 = − 3 ลบออกทุกส่วนของอสมการ 2 2 เพื่อให้ตวั เลขทางซ้ายและทางขวาเป็นเลขเดียวกัน จะได้ −4 + 3 < x + 3 < 1 + 3 → 2 2 2 5 3 5 − < x+ < → − 5 < 2x + 3 < 5 2 2 2 → | 2x + 3 | < 5 ระบบจํานวนจริง 56 นั่นคือ (53.2) คิดเช่นเดียวกับข้อทีแ่ ล้ว คือ นํา −10 + 8 = −1 ลบออก 2 หรือ x + 1 > 9 → | x + 1 | > 9 นั่นคือ a = 1, b = 1, c = 9 (54.1) เนื่องจากเป็นบวกทั้งสองข้าง ไม่จาํ เป็นต้อง ใช้วิธีแยกช่วงย่อย แต่สามารถยกกําลังสองได้เลย ดังนี้ จะได้ x + 1 < −9 (3x + 2)2 < (4x + 1)2 → (3x + 2)2 − (4x + 1)2 < 0 → (3x + 2 − 4x − 1)(3x + 2 + 4x + 1) < 0 → (−x + 1)(7x + 3) < 0 → (x − 1)(7x + 3) > 0 เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น (−∞, − 3) ∪ (1, ∞) 7 (54.2) เนื่องจากตัวส่วนมีค่าสัมบูรณ์จึงเป็นบวก เสมอ สามารถคูณย้ายไปไว้ทางขวาได้ทันที และ จากนั้นยังสามารถยกกําลังสองได้ (เหมือนข้อที่แล้ว) (x − 2)2 < (2x + 2)2 → (x − 2)2 − (2x + 2)2 < 0 → (x − 2 − 2x − 2)(x − 2 + 2x + 2) < 0 → (−x − 4)(3x) < 0 → 3(x + 4)(x) > 0 เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น (−∞, −4) ∪ (0, ∞) (54.3) คิดทีละซีก คือ |x − 7| < 5 และ |5x − 25| > 5 ก. จาก |x − 7| < 5 จะได้ −5 < x − 7 < 5 นั่นคือ 2 < x < 12 ข. จาก |5x − 25| > 5 จะได้ 5x − 25 > 5 หรือ 5x − 25 < −5 นั่นคือ x > 6 หรือ x < 4 นํา ก. อินเตอร์เซค ข. ได้คําตอบ (2, 4) ∪ (6, 12) (54.4) แยกช่วงย่อยเป็น 4 ช่วง ก. เมื่อ x < 1 จะได้ −x + 1 − x + 3 < −x + 5 → −1 < x → (−1, 1) 1 < x < 3 จะได้ x − 1 − x + 3 < −x + 5 → x < 3 → [1, 3) ข. เมื่อ ค. เมื่อ 3< x < 5 ง. เมื่อ x >5 จะได้ x − 1 + x − 3 < −x + 5 → x < 3 → ∅ จะได้ x − 1 + x − 3 < x − 5 → x < −1 → ∅ รวมกันทุกช่วงย่อยแล้วได้คาํ ตอบ (−1, 3) (54.5) ถ้าแยกกรณีจะยาก เรามองเห็นว่าทางขวา เป็นตัวเลข จึงควรคิดแบบนี้ x2 − 5x − 4 x2 − 5x − 4 > 1 หรือ < −1 2 2 ∴ x +x−2 x +x−2 a = 2, b = 3, c = 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 57 x2 − 5x − 4 > 1 จะได้ x2 + x − 2 x2 − 5x − 4 − x2 − x + 2 >0 → x2 + x − 2 (−6x − 2) (3x + 1) >0 → 5/2 อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไขได้ช่วงเดิม =28(-4)+(-38)(-3) ... สุดท้ายแทน (ก) ลงไป สรุปรวมข้อนี้คาํ ตอบคือ (−∞, − 1/2) ∪ (5/2, ∞) 2 =(-504+(-38)(-14))(-4)+(-38)(-3) ตอบ 2 = (-504)(-4) + (-38)(53) (56.1) ก. เมื่อ x < 0 จะได้ 2 (60) x ⋅ 128 = 16 ⋅ 384 → x = 48 (1 + x)(1 + x) > 0 → (x + 1) > 0 (61) ห.ร.ม. คือ 9 = 3 × 3 ซึ่งเป็นจริงเสมอยกเว้นที่ x = −1 ค.ร.น. คือ 28,215 = 3 × 3 × 5 × 11 × 57 (จะเขียนเส้นจํานวนเพื่อหาคําตอบก็ได้) ทั้ง x และ y ต้องหาร 9 ลงตัว ดังนั้น ดังนัน้ คําตอบของช่วงนีค้ ือ (−∞, −1) ∪ (−1, 0) x = 3 × 3 × 5 × 11 = 495 ข. เมื่อ x > 0 จะได้ ก. จาก (1 − x)(1 + x) > 0 → (x − 1)(x + 1) < 0 เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น (−1, 1) และนําไปรวมกับเงื่อนไขช่วง ได้เป็น [0, 1) สรุปรวมข้อนีต้ อบว่า (−∞, −1) ∪ (−1, 1) (56.2) คิดวิธีเดียวกันกับข้อที่แล้วก็ได้ หรือจะใช้ คําตอบเดิมมาคิดก็จะรู้ว่า คําตอบคือ (1, ∞) (จุด x = −1 และ 1 เราไม่นํามาตอบ เพราะเป็นจุดทีท่ าํ ให้ (1 − |x|)(1 + x) เป็นศูนย์) y = 3 × 3 × 57 = 513 (62) จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ แสดงว่า ห.ร.ม. ∴ x y = 1 ⋅ 15,015 = 3 × 5 × 7 × 11 × 13 = 1 x มีตัวประกอบ 2 ตัว และ 80 < x < 200 ดังนัน้ x = 13 × 7 หรือ x = 13 × 11 เท่านั้น ก็จะได้ y = 3 × 5 × 11 = 165 หรือ y = 3 × 5 × 7 = 105 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ระบบจํานวนจริง 58 eÃ×èo§æ¶Á ถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร.. (1) 5 14 . 00 00 (1) สมมติว่า จะถอดรากที่สองของ 514 เริ่มต้น ให้แบ่งตัวเลขในจํานวน 514 ออกเป็นกลุ่มๆ ทีละ 2 ตัว โดยวัดจาก จุดทศนิยมมาทางซ้าย ได้แก่ 14 และ 5 (หลักหน่วยอยู่กับสิบ หลักร้อยอยู่กับพัน หลักหมื่นอยู่กับแสน ไปเรื่อยๆ) และวัดทศนิยมไปทางขวากลุ่มละ 2 ตัวเช่นกัน (โจทย์ข้อนี้ไม่มีทศนิยมจึงใส่ 00 และ 00 ไปเรื่อยๆ) (2) 2 (3) (2) หาจํานวนนับที่คูณตัวเองแล้วได้ใกล้เคียงกลุ่มแรก (คือ 5) ที่สุด 2 (แต่ไม่เกิน 5) นั่นคือ 2 คูณ 2 ... ก็ใส่ 2 ไว้ที่ช่องตัวหาร กับช่องผลลัพธ์ (3) จาก 2 คูณ 2 ได้ 4 ... ใส่ผลคูณคือ 4 ไว้ใต้เลข 5 แล้วนํามาลบกัน เหลือ 1 (4) 2 (4) นําผลลัพธ์ที่ได้ในขณะนี้ (บรรทัดบนสุด) คือ 2 มาคูณสองกลายเป็น 4 ใส่ไว้ที่ช่องตัวหารด้านหน้า ... แล้วดึงเลขกลุ่มถัดไปลงมา (คือ 14) กลายเป็น 114 (5) ต่อมาให้หาค่า x ซึ่งทําให้ 4x คูณ x ได้ใกล้เคียง 114 ที่สุด (แต่ไม่เกิน 114) ... เช่น 41 คูณ 1 ได้ 41, 42 คูณ 2 ได้ 84, 43 คูณ 3 ได้ 129 (เกิน) ดังนั้น ต้องใช้ 42 คูณ 2 ... ใส่ 2 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 4) และใส่ 2 ไว้ช่อง ผลลัพธ์ด้วย จากนั้น 42 คูณ 2 ได้ 84 เอาไปตั้งลบออกจาก 114 (เหลือ 30) (6) ทําเช่นเดียวกับข้อ (4) และ (5) ไปเรื่อยๆ คือ เอาผลลัพธ์ในขณะนี้ (22) มาคูณสองกลายเป็น 44 ใส่ไว้ช่องตัวหาร และดึงกลุ่มถัดไป (คือ 00) ลงมาต่อท้าย 30 กลายเป็น 3000 (7) หาค่า x ซึ่งทําให้ 44x คูณ x ได้ใกล้เคียง 3000 ที่สุด (แต่ไม่เกิน 3000) ... พบว่า ต้องใช้ 446 คูณ 6 ใส่ 6 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 44) และใส่ 6 ไว้ช่องผลลัพธ์ จากนั้น 446 คูณ 6 ได้ 2676 เอาไปตั้งลบออกจาก 3000 (เหลือ 324) 4 (5) (6) 2 5 14 . 00 00 4 1 14 2 2 . 5 14 . 00 00 4 42 1 14 84 30 2 2 . 5 14 . 00 00 4 42 1 14 84 44 30 00 2 (7) 2 2 . 6 5 14 . 00 00 4 42 1 14 84 446 30 00 26 76 3 24 2 (8) 2 2 . 6 7 5 14 . 00 00 4 42 1 14 84 446 30 00 26 76 4527 3 24 00 3 16 89 .... .... 2 ข้อสังเกต จํานวนหลักของคําตอบ จะเท่ากับจํานวนกลุ่มที่แบ่งในโจทย์ เช่น 514 แบ่งได้ 2 กลุ่ม คือ 5,14 ดังนั้นคําตอบจะมี 2 หลัก (ไม่รวมทศนิยม) หรือถ้าเป็น 903601 แบ่งได้ 3 กลุ่ม คือ 90,36,01 คําตอบก็จะมี 3 หลัก... อ่านแล้วทดลองถอดรากที่สองเองดูสิครับ อย่างเช่น หารากที่สองของ 225, รากที่สองของ 3000, รากที่สองของ 214.7 ตรวจสอบคําตอบกับเครื่องคํานวณ ถ้าตรงกันแสดงว่ารู้หลักในการคิดแล้ว :] Math E-Book Release 2.2 2 5 14 . 00 00 4 1 2 (8) เอาผลลัพธ์ในขณะนี้ (226) มาคูณสองเป็น 452 ใส่ไว้ช่องตัวหาร และดึงกลุ่มถัดไป (คือ 00) ลงมาต่อท้าย 324 กลายเป็น 32400 หาค่า x ซึ่งทําให้ 452x คูณ x ได้ใกล้เคียง 32400 ที่สุด (แต่ไม่เกิน 32400) ... พบว่า ต้องใช้ 4527 คูณ 7 ... ใส่ 7 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 452) และใส่ 7 ไว้ ช่องผลลัพธ์ จากนั้น 4527 คูณ 7 ได้ 31689 เอาไปตั้งลบออกจาก 32400 ... ทําไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้คําตอบที่มีจาํ นวนทศนิยมเท่าที่ต้องการ สรุปว่า รากที่สองของ 514 มีค่าประมาณ 22.67... 2 5 14 . 00 00 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 59 lgc ~ ∧ → º··Õè 3 µÃáÈÒʵà ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นวิชาเกี่ยวกับการใช้ เหตุผลเพื่อวิเคราะห์ค่าความจริง (จริงหรือเท็จ) ของ ประโยคต่างๆ ความเข้าใจในตรรกศาสตร์เบื้องต้นจะ ช่วยให้ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างมีเหตุผล ประโยคทุกประโยคที่มี ค่าความจริง (Truth Value) เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง เราจะเรียกว่า ประพจน์ (Proposition หรือ Statement) ดังนั้นประพจน์อาจเป็นประโยคบอกเล่า, ประโยคปฏิเสธ เช่น “เมื่อวานฝนตกที่บางกะปิ”, “1 มากกว่า 2”, “เก่งไม่ใช่คนร้าย” เหล่านี้ถือเป็น ประพจน์ เพราะสามารถให้ค่าความจริงกํากับว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้ แต่ประโยคคําถาม ประโยคคําสั่ง ขอร้อง ประโยคแสดงความปรารถนา ประโยคอุทาน เหล่านี้ไม่ใช่ประพจน์เพราะไม่สามารถให้ค่าความจริงได้ เช่น “กรุณางดใช้เสียง”, “ใครเป็นคนทําแก้ว แตก”, “อยากไปเที่ยวหัวหินจังเลย” หรือ “โอ้โห วิเศษไปเลยจอร์จ” S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S »Ãao¤·Õè´ÙeËÁ×o¹e»¹»Ãa¾¨¹ ºÒ§¤Ãa駡çäÁe»¹»Ãa¾¨¹ ... eª¹ 1. ÊÁÈÃÕÊÇ·ÕèÊu´ã¹«o eÃ×èo§¤ÇÒÁÊǹaé¹e»¹eªi§¨iµÇiÊa äÁÊÒÁÒö¿¹¸§ä´ÇÒ¨Ãi§ËÃ×oe·ç¨ ¨Ö§äÁe»¹»Ãa¾¨¹! 2. e¢Ò¡íÒÅa§¡i¹¢ÒÇ oa¹¹Õé¡çäÁe»¹»Ãa¾¨¹ e¾ÃÒaäÁä´e¨Òa¨§ÇÒ e¢Ò ËÁÒ¶֧ã¤Ã ´a§¹aé¹oÒ¨¨a¨Ãi§ËÃ×oe·ç¨¡çä´ äÁ湪´a (eÃÕ¡»Ãao¤·Õèµi´µaÇæ»Ã溺¹ÕéÇÒ »Ãao¤e»´ ¨aä´ÈÖ¡ÉÒã¹ËaÇ¢o 3.4 ¤Ãaº..) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประพจน์ต่างๆ เป็นตัวอักษรเล็ก เช่น p, q, r โดยแต่ละประพจน์จะมีค่า ความจริงที่เป็นไปได้ 2 แบบเท่านั้น คือเป็น จริง (True; T) หรือเป็น เท็จ (False; F) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 60 3.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง ในชีวิตประจําวันรวมทั้งในวิชาคณิตศาสตร์ เรามักพบการเชื่อมประโยค (ประพจน์) ด้วย ตัวเชื่อม (Connectives)... และ (and), หรือ (or), ถ้า-แล้ว (if-then), ก็ต่อเมื่อ (if and only if) และยังพบการเติมคําว่า ไม่ (not) ด้วย... ซึ่งการเชื่อมแต่ละแบบ ส่งผลต่อค่าความจริงดังตาราง เครื่องหมาย ~ เรียกว่า นิเสธ (Negation) ใช้เพื่อกลับค่าความจริงให้เป็นตรงข้าม p q p และ q (p ∧ q ) p หรือ q (p ∨ q ) T T T T ถ้า p แล้ว q (p → q ) p ก็ต่อเมื่อ q (p ↔ q ) ไม่ p (~p ) T T F T F F T F F F F T F T F T F F F T F T T T การเชื่อมด้วย และ มีกรณีเดียวที่เป็นจริง คือ T ∧ T การเชื่อมด้วย หรือ มีกรณีเดียวที่เป็นเท็จ คือ F ∨ F การเชื่อมด้วย ถ้า-แล้ว มีกรณีเดียวที่เป็นเท็จ คือ T → F ส่วนการเชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ ถ้าค่าความจริงเหมือนกันจะให้ผลเป็นจริง ต่างกันจะให้ผลเป็นเท็จ ข้อสังเกต ตัวเชื่อมทั้งสี่นี้ มีเพียง ถ้า-แล้ว ที่ไม่สามารถสลับที่ประพจน์ได้ ตารางที่แสดงค่าที่เป็นไปได้ครบทุกแบบดังนี้ เรียกว่า ตารางค่าความจริง (Truth Table) จํานวนแบบที่เกิดขึ้นเท่ากับ 2n เมื่อ n คือจํานวนประพจน์ ... เช่น ถ้ามี 1 ประพจน์จะเป็นไปได้ 2 แบบ, ถ้ามี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ (ดังตารางนี้), ถ้ามี 3 ประพจน์จะเป็นไปได้ 8 แบบ รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ที่ให้ค่าความจริงตรงกันทุกๆ กรณี จะกล่าวว่ารูปแบบทั้ง สอง สมมูลกัน (Equivalent) (แปลว่า สามารถใช้แทนกันได้) สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงการสมมูลกัน คือ ≡ (ขีดสามขีด) รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ที่ควรทราบได้แก่ • การแจกแจง • การเติมนิเสธ • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) การเปลี่ยนตัวเชื่อม p→q ≡ ~p ∨ q p↔q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ ~q→~p ~ (p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~ (p ∨ q) ≡ ~p ∧~q ~ (p → q) ≡ p∧~q ~ (p ↔ q) ≡ ~p ↔ q สิ่งที่ควรทราบ ตัวเชื่อม และ มีสมบัติคล้ายอินเตอร์เซคชันของเซต ตัวเชื่อม หรือ มีสมบัติคล้ายยูเนียนของเซต และ นิเสธ มีสมบัติคล้ายคอมพลีเมนต์ของเซต Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ≡ p↔~q คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 61 แบบฝึกหัด 3.1 (1) ให้เติมค่าความจริงหรือประพจน์ที่เหมาะสม ลงในช่องว่าง เมื่อ p เป็นประพจน์ใดๆ T ∧p ≡ T∨p ≡ T →p ≡ T ↔p ≡ F∧p ≡ F∨p ≡ F→p ≡ F↔p ≡ p∧p ≡ p∨p ≡ p→T ≡ p↔p ≡ p →F ≡ p ↔~p p→p ≡ p ∧ ~p ≡ p ∨ ~p ≡ p →~p ≡ ≡ (2) กําหนดให้ p, r เป็นจริง และ q เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ (2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) (2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [(q ↔ s) ∧ r] (2.3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → (p ∧ ~ q) (2.4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~ s (2.5) [(q → p) ∧ r] ↔ ~ (~ r) (2.6) [(p ∧ q) → ~ r] → [(~ p ∨ q) ↔ r] (2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔ [(p → q) ∧ (~ q → r)] (2.8) [(p ∧ q) ∧ ~ r] ∧ [(r ∨ ~ s) ∧ (~ p ∨ ~ q)] (2.9) [p → (q ∧ r)] ∧ [(q → p) ∨ r] (2.10) [q → (p ∨ r)] → [p → (q ∧ ~ r)] (2.11) [(~ p → ~ q) ∧ (~ r → ~ s)] ∨ [(~ p → r) ∧ (s → ~ q)] (3) จงหาค่าความจริงของรูปแบบประพจน์ต่อไปนี้ (3.1) (p ∨ ~ q) → (p → q) เมื่อ q เป็นจริง เมื่อ p เป็นเท็จ (3.2) (p ∨ ~ q) → (p → q) (3.3) (~ r ∧ p) ∨ (~ (r ∨ s) ∧ (r ∨ ~ q)) เมื่อ p, q เป็นจริง และ r, s เป็นเท็จ เมื่อ p, r, r → q เป็นจริง (3.4) (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) เมื่อ p → q เป็นเท็จ, q ∨ r เป็นจริง (3.5) (~ q ∧ (p ∨ r)) → (~ r) เมื่อ q → n เป็นเท็จ (3.6) n → [(m ∨ q) → ~ s] เมื่อ p → q เป็นเท็จ, q ∨ r เป็นจริง (3.7) (p ∨ r) ∧ q เมื่อ (p → q) ∧ (r ∨ s) เป็นจริง, q ∨ s เป็นเท็จ (3.8) (q ∨ p) → (r ∧ s) เมื่อ (p ∨ r) → (q ∨ s) เป็นเท็จ, p → q เป็นจริง (3.9) [Ent’25] r → s เมื่อ (p ∧ ~ r) → (p → q) เป็นเท็จ (3.10) (p ∨ r) → ~ q (3.11) p, q, r เมื่อ (p ∧ q) → (p → r) เป็นเท็จ (3.12) r เมื่อ p ∧ (p ↔ ~ r) ∧ (q → r) เป็นจริง (3.13) ((p ∧ ~ q) → ~ p) → (p → q) (3.14) ⎣⎡[p ∨ ~ (r ∧ s)] ∧ ~ p⎤⎦ → (~ r ∨ ~ s) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 62 (4) กําหนดให้ [(p → q) ∧ (p ∨ r)] → (s → r) เป็นเท็จ ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) เป็นเท็จ ข. [(~ p ∧ q) → (~ q ∧ r)] → (~ r ∧ s) เป็นจริง (5) ถ้า [(p ↔ q) → (r ∨ ~ s)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงพิจารณาว่ารูปแบบประพจน์ในข้อใดมีค่า ความจริงเหมือนกับ [(~ p ∧ r) → (q ∨ ~ s)] บ้าง ข. r ↔ (p ∧ ~ q) ค. (s → r) ∨ (p → q) ก. ~ (p ∧ s) → ~ r (6) ถ้า p สมมูลกับ q และ r ไม่สมมูลกับ s พิจารณาข้อความใดถูกหรือผิดบ้าง ก. [(p ↔ ~ q) ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [(~ p ∧ q) ∨ (~ r ∨ ~ s)] เป็นเท็จ ข. [(p ∨ r) ∧ (q ∨ s)] → [(p ∨ ~ q) ↔ (r → ~ s)] เป็นจริง (7) จงหานิเสธของ ก. (p → ~ q) ∧ (~ r → s) ข. (p ∧ ~ q) → ~ r (8) กําหนดประพจน์ “ถ้าเดชาขยันและทําการบ้านสม่ําเสมอแล้วเขาจะสอบผ่าน” เป็นเท็จ แล้วข้อใด เป็นจริง ก. เดชาขยันแต่ไม่ทําการบ้านสม่ําเสมอ ข. เดชาไม่ขยันแต่ทําการบ้านสม่ําเสมอ ค. ถ้าเดชาสอบไม่ผ่านแสดงว่าเขาไม่ทําการบ้านสม่ําเสมอ ง. เดชาขยันก็ต่อเมื่อเขาสอบไม่ผ่าน (9) ข้อใดไม่สมมูลกัน ก. p ∨ q กับ ~ (~ p ∧ ~ q) ค. ~ p → (q → p) กับ ~ q → p ข. ง. กับ ~ q → ~ p กับ (~ p → q) ∧ (q → ~ p) ~ (p ∧ ~ q) ~p ↔ q (10) รูปแบบประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกับข้อใด (10.1) p ↔ q ข. (~ q → ~ p) ∧ (~ q ∨ p) ก. (p → q) ∧ (q ∧ ~ p) ง. (p ∧ ~ q) ∧ (~ p → ~ q) ค. (p ∧ ~ q) ∧ (q → p) (10.2) ⎣⎡[((q ∧ ~ t) ∧ p) ∨ ((q ∧ ~ t) ∧ ~ p)] ∨ ~ q⎦⎤ → r ข. (t ∧ q) ∨ p ก. q ∧ ~ t ∧ p ง. (t ∧ q) ∨ r ค. t ∧ q ∧ r จ. (t ∧ r) ∨ p (10.3) [(q ∨ r) ∧ (p ∧ s) ∧ (q ∨ ~ r)] ∨ [(q ∨ ~ r) ∧ (p ∧ ~ s) ∧ (q ∨ r)] ข. p ∨ q ก. p ∧ q ง. p ↔ q ค. p → q (11) ข้อความใดสมมูลกับ “ถ้า a < 0 และ b < 0 แล้ว ก. ถ้า a > 0 หรือ b > 0 แล้ว ab < 0 ข. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้ว ab > 0 ค. ถ้า ab < 0 แล้ว a > 0 หรือ b > 0 ง. ถ้า ab > 0 แล้ว a < 0 และ b < 0 Math E-Book Release 2.2 ab > 0 ” (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 63 (12) ข้อความในข้อใดสมมูลกันบ้าง ก. ถ้า a เป็นจํานวนเต็ม แล้ว a เป็นจํานวนคู่ หรือ a เป็นจํานวนคี่ ข. ถ้า a ไม่เป็นจํานวนคู่ และ a ไม่เป็นจํานวนคี่ แล้ว a ไม่เป็นจํานวนเต็ม ค. a ไม่เป็นจํานวนเต็ม หรือ a เป็นจํานวนคู่ หรือ a เป็นจํานวนคี่ (13) ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ~ (p ∧ ~ r) ∨ ~ q สมมูลกับ q → (r ∨ ~ p) ข. p → (q → r) สมมูลกับ q → (p → r) ค. (p ∧ q) → r สมมูลกับ (p → ~ q) ∨ (p → r) (14) กําหนดค่าความจริงของตัวเชื่อม ∗ ดังตาราง (14.1) (p ∗ p) ∗ (q ∗ q) สมมูลกับข้อใด ก. p ∧ q ข. p ∨ q ง. p ↔ q ค. p → q (14.2) [Ent’34] p ∗ q สมมูลกับข้อใด ก. ~ (~ p → q) ข. ~ p → q ง. q → ~ p ค. ~ (q → ~ p) p q p ∗q T T F T F F F T F F F T (15) กําหนดให้ p ∗ q ≡ ~ (p ∨ q) ถามว่าอัตราส่วนจํานวนกรณีที่ กรณีที่เป็นเท็จ เป็นเท่าใด p ∗ (q ∗ r) เป็นจริง ต่อจํานวน 3.2 สัจนิรันดร์ หากรูปแบบของประพจน์ใดให้ค่าความจริงเป็นจริงเสมอทุกๆ กรณี (สร้างตารางค่าความจริง แล้วพบว่าเป็นจริงทุกแบบ) เราเรียกรูปแบบนั้นว่าเป็น สัจนิรันดร์ (Tautology) • ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรนั ดรหรือไม ก. (r ∨ p) → (p → r) ข. (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) วิธีคิด เขียนตารางแสดงคาความจริงของ p กับ r ใหครบทุกกรณีที่เปนไปได (4 กรณี) p r r ∨ p p → r (r ∨ p) → (p → r) p r r ∨ ~ p p → r (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) T T F F T F T F T T T F T F T T T F T T T T F F T F T F T F T T T F T T T T T T เราพบวา ขอ ก. เกิดกรณีที่เปนเท็จไดดวย จึงไมเปนสัจนิรันดร แตขอ ข. ผลเปนจริงทุกกรณี จึงเปนสัจนิรันดร การตรวจสอบรูปแบบประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ นอกจากจะใช้วิธีเขียนตารางค่าความ จริงให้ครบทุกกรณีแล้ว โดยทั่วไปนิยมใช้ “วิธีพยายามทําให้เป็นเท็จ” คือถ้าหากรณีที่ทําให้รูปแบบนั้น เป็นเท็จไม่ได้เลย รูปแบบนั้นก็จะเป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าทําเป็นเท็จได้แม้เพียงกรณีเดียว รูปแบบนั้น ย่อมไม่ใช่สัจนิรันดร์ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 64 โดยเฉพาะเมื่อมีประพจน์ย่อยมากๆ (เช่น p, q, r, s, ...) การเขียนตารางให้ครบทุกกรณี จะทําได้ไม่สะดวก ควรใช้วิธีพยายามทําให้เป็นเท็จ • ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรนั ดรหรือไม ก. (r ∨ p) → (p → r) วิธีคิด ก. ใชวิธีพยายามทําใหเปนเท็จ ข. (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) (r ∨ p) → (p → r) T F F T T F ตัวเชื่อมหลักคือ “ถา-แลว” จะเปนเท็จได แสดงวาวงเล็บหนาตองเปนจริง และวงเล็บหลังตองเปนเท็จ เทานั้น ... วงเล็บหลังเปนเท็จแสดงวา p ตองเปนจริง และ r ตองเปนเท็จ ... นําคาความจริงของ p และ r ไปใสในวงเล็บหนา ไดคาเปนจริงตามที่ตองการพอดี ... แสดงวาตอนนี้เราทําใหผลเปนเท็จได สําเร็จ (คือเปนเท็จเมื่อ p เปนจริง, r เปนเท็จ) ขอนี้จึงไมเปนสัจนิรันดร ข. ตัวเชื่อมหลักคือ “ก็ตอเมื่อ” จะเปนเท็จได 2 แบบ คือ T ↔ F กับ F ↔ T ... การคิดดวยวิธีนี้ คอนขางยุงยาก เราควรเลี่ยงไปใชวิธีในตัวอยางถัดไป คือดูความสมมูลระหวางกอนหนาและหลัง ... หากตัวเชื่อมหลักเป็น “หรือ”, “ถ้า-แล้ว” สามารถตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ได้โดย พยายามทําให้เป็นเท็จ ดังกล่าวไปแล้ว แต่หากตัวเชื่อมหลักเป็น “ก็ต่อเมื่อ” ควรตรวจสอบการเป็น สัจนิรันดร์โดยหลักการต่อไปนี้ “ , ↔ + เป็นสัจนิรันดร์ เมื่อ , ≡ + เท่านั้น” (และถ้า , ≡ + ก็จะได้ว่า , ↔ + ไม่เป็นสัจนิรันดร์) ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรนั ดรหรือไม (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) วิธีคิด เนื่องจากตัวเชื่อมหลักเปน “ก็ตอเมื่อ” จึงตรวจสอบวาซายกับขวาสมมูลกันหรือไม พบวา วงเล็บขวาคือ p → r ≡ ~ p ∨ r ≡ วงเล็บซาย ... ดังนัน้ เปนสัจนิรันดร • แบบฝึกหัด 3.2 (16) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (16.1) (p ∧ q) → [(p ∨ q) → r] (16.2) (p ∨ q) → [(p ∧ q) → r] (16.3) [Ent’29] [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) (16.4) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∧ q) → r] (16.5) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] (16.6) [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∧ q)] → (r ∨ s) (16.7) [Ent’29] ⎡⎣[(p ∧ q) → r ] ∧ (p → q)⎤⎦ → (p → r) (17) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (17.1) [Ent’23] ~ (p → ~ q) ↔ (p ∧ q) (17.2) [(~ p ∧ q) ∨ p] ↔ (p ∧ q) (17.3) [(p ∨ q) ∧ ~ p] ↔ (~ p ∧ q) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 65 (17.4) (p ↔ q) ↔ [(q ∨ ~ p) ∧ (p ∨ ~ q)] (17.5) [(p ∧ q) → (p ∨ q)] ↔ [(~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q)] (17.6) [p → (q ∧ r)] ↔ [(p → q) ∧ (p → r)] (17.7) [Ent’29] [p → (q → r)] ↔ [(p → q) → r] (17.8) [Ent’29] [p ↔ (q ↔ r)] ↔ [(p ↔ q) ↔ r] (18) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (18.1) [(p ∨ r) → (q ∨ r)] ∨ (p ∨ q) (18.2) [(~ p ∧ q) → ~ p] ∨ (p → q) (19) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (19.1) นิเสธของ (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) (19.2) นิเสธของ [p ∧ (q ∨ ~ q)] ↔ [~ p ∨ (q ∧ ~ q)] (19.3) นิเสธของ ~ (p ↔ q) ∧ (~ p ↔ ~ q) (20) เมื่อ p, q, r เป็นประพจน์ใดๆ ถามว่าประพจน์ในข้อใดเป็นจริงบ้าง ก. (p → q) → (~ p ∧ ~ q) ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) → (~ (p ∧ q) ∧ ~ r) ง. ((p → r) ∧ (q → r)) ↔ ((p ∧ q) → r) จ. ((p → q) ∨ (p → r)) ↔ (p → (q ∧ r)) (21) ตัวเชื่อมในกรอบสี่เหลี่ยม ที่ทําให้ คืออะไร [(p → ~ q) ∧ (p → ~ r)] [p → ~ (q ∨ r)] เป็นสัจนิรันดร์ 3.3 การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผล คือการกล่าวว่าถ้ามีเหตุเป็นข้อความ p1, p2 , p3 , ..., pn ชุดหนึ่ง แล้ว สามารถสรุปผลเป็นข้อความ q อันหนึ่งได้ การอ้างเหตุผลมีทั้งแบบที่ สมเหตุสมผล (valid) และ ไม่ สมเหตุสมผล (invalid) ซึ่งเราสามารถตรวจสอบความสมเหตุสมผลได้โดยหลายวิธี คือ 1. ตรวจสอบสัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผล ก็เมื่อ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) → q เป็นสัจนิรันดร์ หรือกล่าวว่า จะไม่สมเหตุสมผลเพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือเมื่อ “เหตุเป็นจริงทุกข้อแต่ผลเป็นเท็จ” 2. เทียบกับรูปแบบที่พบบ่อย การอ้างเหตุผลทุกรูปแบบต่อไปนี้ สมเหตุสมผล (1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → q p ผล ~ q q ผล ข้อนี้เป็นรูปแบบมาตรฐาน เพราะ ~ p (3) เหตุ ผล p→q q→r p∨r ผล (คณิต มงคลพิทักษสุข) p→q r→s p→r p → q ≡~q→~p Math E-Book Release 2.2 (4) เหตุ q∨ s คณิตศาสตร O-NET / A-NET (5) เหตุ ผล p∧q p เชื่อมด้วย “และ” สามารถแยกเป็นประพจน์ เดี่ยวได้ ตรรกศาสตร 66 (6) เหตุ ผล p p∨q สามารถเติมประพจน์ใดๆ ได้ แต่ต้องเชื่อมด้วย“หรือ” S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¶ÒµÃǨÊoº¡ÒÃoÒ§e˵u¼Å´ÇÂÇi¸Õ·èÊÕ o§ ¤×oe·Õº¡aº Ãٻ溺 æÅa¾ºÇҼŷÕèä´ÁÒ¨Ò¡Ãٻ溺eËÅÒ¹ÕéäÁµÃ§¡aº·Õè ãËÁÒã¹o¨·Â oÂÒe¾iè§ÊÃu»ÇÒäÁÊÁe˵uÊÁ¼Å¹a¤Ãaº! ... ¨aµo§Ëa¹¡Åaºä»ãªÇi¸ÕæáµÃǨÊoº¡o¹¨Ö§ÊÃu»ä´ (e¾ÃÒa oÒ¨¨aÊÁe˵uÊÁ¼Å¡çä´) แบบฝึกหัด 3.3 (22) [Ent’39] การอ้างเหตุผลดังต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ (22.1) เหตุ 1. p → q (22.2) เหตุ p → (r ∨ s) 2. q → s ผล ~ p ∨ (r ∨ s) 3. ~ s ผล ~ p (23) การอ้างเหตุผลดังต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ (23.1) เหตุ 1. ถ้า x เป็นจํานวนคู่แล้ว 2 | x 2. ถ้า x เป็นจํานวนคู่และ 2 | x แล้ว x เป็นจํานวนเต็ม 3. ไม่จริงที่วา่ “x เป็นจํานวนเฉพาะและ x เป็นจํานวนเต็ม” 4. x เป็นจํานวนคู่ ผล x เป็นจํานวนเฉพาะ (23.2) เหตุ 1. ถ้า a เป็นจํานวนตรรกยะแล้ว a ไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ 2. a2 = 2 หรือ a2 = −1 3. ถ้า a2 = 2 แล้ว a เป็นจํานวนอตรรกยะ 4. a2 ≠ −1 ผล a เป็นจํานวนตรรกยะ (24) จงเติมข้อความที่ทําให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล (24.1) เหตุ 1. p → (q → r) (24.2) เหตุ 1. ~ p → q 2. ~ s ∨ p 2. q → ~ r 3. q 3. ผล ผล p (25) จงเติมข้อความที่ทําให้การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล เหตุ 1. ถ้าฉันขยัน ฉันจะไม่ตกคณิตศาสตร์ 2. ฉันตกคณิตศาสตร์ ผล (26) กําหนดเหตุให้ดังนี้ เหตุ 1. ถ้าฉันขยันแล้วฉันจะสอบได้ 2. ถ้าฉันไม่ขยันแล้วพ่อแม่จะเสียใจ 3. ถ้าฉันเรียนในมหาวิทยาลัยแล้วพ่อแม่จะไม่เสียใจ 4. ฉันสอบไม่ได้ ให้หาว่าผลในข้อใดทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ผล ตรรกศาสตร 67 ก. ฉันไม่ได้เรียนในมหาวิทยาลัย หรือฉันขยัน ข. ฉันเรียนในมหาวิทยาลัย และฉันขยัน ค. พ่อแม่ฉันไม่เสียใจ และฉันไม่ได้เรียนในมหาวิทยาลัย ง. ฉันขยัน แต่ฉันสอบไม่ได้ 3.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ประโยค “x มากกว่า 2” (หรือ “เขาไม่ใช่คนร้าย”) ไม่ใช่ประพจน์ เนื่องจากยังไม่ทราบแน่ ชัดว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ค่าความจริงขึ้นอยู่กับว่า x เป็นจํานวนใด (หรือ “เขา” เป็น ใคร) เช่น ถ้า x เป็น 3 ประโยคนี้จะเป็นจริง แต่ถ้า x เป็น 2 ประโยคนี้จะเป็นเท็จ เราเรียก “ประโยคที่ยังคงติดค่าตัวแปร และเมื่อแทนค่าตัวแปรแล้วจึงกลายเป็นประพจน์” ว่า ประโยคเปิด (Open Sentence) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยคเปิดใดๆ (ที่ติดค่าตัวแปร x) ได้แก่ P (x), Q (x), R (x) ฯลฯ ซึ่ง ประโยคเปิดเหล่านี้สามารถใช้ตัวเชื่อมได้เช่นเดียวกับประพจน์ p, q, r ทั่วๆ ไป ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) คือข้อความที่ใช้บ่งบอกความมากน้อยของค่าตัวแปร x มี 2 แบบได้แก่ สําหรับ x ทุกตัว (For All x; ∀x ) และ สําหรับ x บางตัว (For Some x; ∃x ) ซึ่งตัวบ่งปริมาณทั้งสองนี้เมื่อใช้ร่วมกับเอกภพสัมพัทธ์แล้ว จะทําให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ (คือมีค่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ) ได้ เช่น ให้ P (x) แทนประโยคเปิด “x มากกว่า 2” จะได้ว่า ∀x [P (x)] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกตัว... x มากกว่า 2” และ ∃x [P (x)] แทนประโยค “สําหรับ x บางตัว... x มากกว่า 2” ซึ่งถ้า U = {1,2,3} ก็จะพบว่า ∀x [P (x)] เป็นเท็จ, ∃x [P (x)] เป็นจริง แต่ถ้า U = {3,4} แล้วจะพบว่า ∀x [P (x)] เป็นจริง, ∃x [P (x)] เป็นจริง หมายเหตุ 1. หากไม่มีการระบุเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตจํานวนจริง R 2. สามารถแจกแจงตัวบ่งปริมาณได้เพียงสองรูปแบบนี้เท่านั้น ∀x [P (x) ∧ Q (x)] ≡ ∀x [P (x)] ∧ ∀x [Q (x)] ∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃x [Q (x)] ประโยคเปิดที่มีสองตัวแปร เมื่อใช้ตัวบ่งปริมาณก็จะมีสองตัวเช่นกัน และการอ่านต้อง คํานึงถึงลําดับก่อนหลัง ดังตัวอย่างนี้ ให้ P (x) แทน “x มากกว่า 2” และ Q (x, y) แทน “x+y เป็นจํานวนเฉพาะ” จะได้ว่า ∀x∃y [P (x) ∧ Q (x, y)] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัวที่ทาํ ให้... x มากกว่า 2 และ x+y เป็นจํานวนเฉพาะ” ส่วน ∃y∀x [P (x) ∧ Q (x, y)] นั้น แทนประโยค “สําหรับ y บางตัว จะมี x ทุกตัวที่ทําให้... x มากกว่า 2 และ x+y เป็นจํานวนเฉพาะ” ซึ่งสองประโยคนี้คนละความหมายกัน ไม่สามารถใช้แทนกันได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 68 การหานิเสธของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ นอกจากจะใส่นิเสธที่ประโยคเปิด (ภายใน เครื่องหมายวงเล็บ) แล้ว ยังต้องเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ จาก ∀ เป็น ∃ และจาก ∃ เป็น ∀ ด้วย เช่น นิเสธของ ∀x∃y [P (x) → Q (x, y)] คือ ∃x∀y [P (x) ∧ ~ Q (x, y)] แบบฝึกหัด 3.4 (27) ให้ ข้อใดเป็นจริง ∀x [x เป็นจํานวนเต็ม และ x2 > 0] ∃x [x3 > x2 และ x < x2 ] ∀x [ ถ้า x เป็นจํานวนเต็มบวก แล้ว x เป็นจํานวนเฉพาะ ] ∃x [x เป็นจํานวนเฉพาะ และ x เป็นจํานวนคี่ ] U = {−2, −1, 0, 1, 2} ก. ข. ค. ง. (28) กําหนด P (x) แทน “x เป็นจํานวนอตรรกยะ”, Q (x) แทน “x เป็นจํานวนตรรกยะ” ข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. ∀x [P (x) → Q ( 2)] ข. ∃x [Q (x) → P (0.5)] ง. ∃x [Q (x) ∧ ~ P (22/7)] ค. ∀x [P (x) ∨ ~ Q (π)] (29) กําหนดประโยคเปิด P (x) , Q (x) ดังนี้ P (x) = x > x2 , Q (x) = ตัวหารร่วมที่มากที่สุดของ 3 กับ x เป็น 1 ข้อความใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ∀x [P (x)] เป็นจริง เมื่อ U เป็นช่วงเปิด (0, 1) ข. ∀x [Q (x)] เป็นเท็จ เมื่อ U = {2, 3, −5, 8} (30) จงหาค่าความจริงของ x เป็นจํานวนเฉพาะ หรือ ∃x (x3+5x − 1 < 4) ∧ ∀x ( x2− 1 < 0 → x > −2) (31) ให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจํานวนนับ N ถามว่าประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นอย่างไร 2 [∃x (x2− 1 เป็นจํานวนนับ ) ∧ ∀x (x + 1 > 0)] → ∀x ⎜⎛ < 0 ⎟⎞ ⎝x (32) จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น U = {−1, 0, 1} (32.1) ∃x (x2 ≠ 1) → ∀x (x2 ≠ 1) (32.2) ∃x (x + 1 > 0) ∧ ∃x (x2 ≠ 1) (32.3) ∃x (x + 1 > 0 ∧ x2 ≠ 1) (32.4) ∀x (x2 > 0) ∨ ∀x (x = 0) (32.5) ∀x (x2 > 0 ∨ x = 0) (33) จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น U = {−1, 0, 1} (33.1) ∃x∃y (x2+ y > 2) (33.2) ∃x∀y (x2+ y > 2) (33.3) ∀x∃y (x2+ y > 2) (33.4) ∀x∀y (x2+ y > 2) Math E-Book Release 2.2 ⎠ S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S 溺½¡Ëa´¢o 32.2 ¡aº 32.3 Çi¸¤Õ i´äÁeËÁ×o¹¡a¹¹a¤Ãaº e¾ÃÒa ËÒÁ¡Ãa¨Ò some e¢Òä»ã¹ æÅa ã¹¢o 32.2 eÃÒ¤i´¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§æ¡«Ò·չ֧ ¢ÇÒ·Õ¹Ö§ æÅǤoÂeoÒÁÒeª×èoÁ¡a¹´Ç æÅa æµã¹¢o 32.3 eÃÒµo§¤i´ã¹Ç§eÅçºÃÇ´e´ÕÂÇ ËÁÒ¶֧ÇÒ ¤Ò x ·Õèãªã¹Ç§eÅ纷a§é ˹ÒæÅaËÅa§ µo§e»¹µaÇe´ÕÂÇ¡a¹... æÅa¢o 32.4 ¡aº 32.5 ¡ç¤i´äÁeËÁ×o¹¡a¹ e¾ÃÒaËÒÁ¡Ãa¨Ò all e¢Òä»ã¹ ËÃ×o ÊÃu»Êi觷Õè¡Ãa¨ÒÂä´oÕ¡¤Ãa駹֧¹a¤Ãaº all ¤Ù¡aº æÅa, some ¤Ù¡aº ËÃ×o (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 69 (34) [Ent’21] จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์ (34.1) ∀x∀y (x2− y = y2− x) (34.2) ∀x∃y (x2− y = y2− x) (34.3) ∃x∀y (x2− y = y2− x) (34.4) ∃x∃y (x2− y = y2− x) (34.5) ∃x∀y (x2− y ≠ y2− x) (35) จงหาค่าความจริงของ (35.1) ∃x∀y (x − y ≠ y − x) (35.2) ∀x∃y (x + y = 0) เมื่อ เมื่อ = {−1, 0, 1} U = {−2, 0, 2} U = {−2, 2} (36) ประพจน์ ∀x∃y (xy = 1) ↔ ∃x∀y (xy = y) เป็นจริง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเท่าใด ก. จํานวนเต็ม ข. จํานวนเต็มบวก ค. จํานวนจริง ง. จํานวนจริงบวก (37) ให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตจํานวนจริงบวก ก. ∀x∀y [x + y > xy] ค. ∃x∀y [x < y] R+ ข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง ข. ∃x∃y [x + y < 0] ง. ∀x∃y [y > x] (38) จงหานิเสธของ (38.1) ∀x [P (x) → ~ Q (x)] (38.2) ∀x [P (x) → (Q (x) → R (x))] (38.3) ~ ⎡⎣∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)]⎤⎦ (38.4) ∃x∃y [(x + y = 5) → (x − y = 1)] (38.5) ∃x∃y [x > 0 ∧ y ≠ 0 ∧ xy < 0] (38.6) [Ent’39] ∃x∀y (xy > 0 → x < 0 ∨ y < 0) (38.7) ∃x∃y [(P (y) ∧ ~ R (x)) → (~ Q (x) ∨ ~ P (y))] (38.8) ∀x∃y∀z (x + y > z และ xy < z) (39) ข้อความใดถูกหรือผิดบ้าง ก. นิเสธของ ∀x [x + 5 = 0] ∧ ∃y [22 < π] คือ y ข. [Ent’38] นิเสธของ ∃x [x < 6] → ∀x [x > 8] ∃x [x + 5 ≠ 0] ∨ ∀y [ คือ 22 > π] y ∀x [x > 6] ∧ ∃x [x < 8] 3.5 การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย การให้เหตุผล (Reasoning) เป็นการกระทําเพื่อหาข้อสรุปหรือข้อสนับสนุนความเชื่อ ซึ่งถือ เป็นอีกกระบวนการที่สําคัญในทางตรรกศาสตร์ การให้เหตุผลมีอยู่ 2 ลักษณะ ได้แก่ การให้เหตุผล แบบอุปนัย และแบบนิรนัย การให้เหตุผลแบบอุปนัย (ย่อย → ใหญ่) การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เป็นการใช้ความจริงจากส่วนย่อยนําไป สรุปความจริงของส่วนรวม หรือกล่าวว่า เป็นการสรุปผลทั่วไปซึ่งมาจากการสังเกตหรือการทดลองใน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 70 กรณีย่อยๆ หลายครั้ง ... เช่น เราสังเกตเห็นว่าในทุกเช้าพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ดังนั้นเรา จึงสรุปแบบขยายผลว่าพระอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออกเสมอ, เราสังเกตเห็นว่าลายนิ้วมือของหนึ่ง พันคนมีลักษณะต่างกัน จึงสรุปเอาแบบขยายผลว่า คนทุกคนบนโลกมีลายนิ้วมือไม่เหมือนกันเลย, เพื่อนบ้านทุกคนล้วนบอกว่าหมอคนนี้รักษาดีมาก เมื่อสมชายไม่สบายจึงไปหาหมอคนนี้ เพราะสรุป เอาแบบอุปนัยว่าตนเองจะได้รับการรักษาให้หายดีเช่นกัน • ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย ในคณิตศาสตร 1. ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} เมือ่ สังเกตลักษณะของสมาชิกทั้งหาตัว พบวาเกิดจาก การบวกทีละ 2 เราจึงสรุปผลวา สมาชิกตัวที่เหลือที่ละไวคือ 12, 14, 16, ... (จํานวนนับคู) 2. จาก 1 = 1 , 1 + 3 = 4 , 1 + 3 + 5 = 9 , 1 + 3 + 5 + 7 = 16 , 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 เราจึงสรุปไดวา จํานวนนับคี่ n จํานวนแรก มีผลบวกเทากับ n 2 3. ลําดับ 1, 3, 7, 15, 31, ... สังเกตไดวา ผลตางของแตละพจนติดกัน เปน ดังนั้นพจนถัดไปของลําดับคือ 63 (เพราะผลตางเทากับ 32 ) 4. จาก 11 × 11 = 121 , 111 × 111 = 12321 , จึงสรุปไดวา 11111 × 11111 = 123454321 1111 × 1111 = 1234321 2, 4, 8, 16 … 5. เมือ่ ยกตัวอยางจํานวนนับที่หารดวย 3 ลงตัว เชน 12 , 51 , 96 , 117 , 258 , 543 , 2930 , 5022 , 7839 … พบวาผลบวกของเลขโดดเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว จึงสรุปวาถาผลบวกของเลขโดดเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวแลว จํานวนนับนัน้ จะหารดวย 3 ลงตัว ข้อควรระวังในการให้เหตุผลแบบอุปนัยคือ ข้อสรุปที่ได้ไม่จําเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นการสรุปผลเกินขอบเขตที่เราพิจารณาออกไป สิ่งที่มีผลต่อความน่าเชื่อถือ ได้แก่ 1. จํานวนข้อมูลที่มีเพียงพอหรือไม่ ... (ไม่ควรพิจารณาข้อมูลปริมาณน้อยๆ แล้วสรุปทันที) เช่น – สุ่มหยิบลูกบอลได้สีแดงติดกัน 4 ครั้ง จึงสรุปเอาว่าบอลทุกลูกมีสีแดง ซึ่งอาจผิดก็ได้ – สมมติฐาน (n+ 1)2 > 2(n − 1) สําหรับจํานวนนับ n ใดๆ พบว่าเมื่อแทน n = 1, 2, 3, 4 จะได้ 4 > 1, 9 > 2, 16 > 4, 25 > 8 ซึ่งล้วนเป็นจริง แต่ที่แท้สมมติฐานนี้จะเป็นเท็จ เมื่อแทน n = 7, 8, 9, ... เป็นต้นไป – สมมติฐาน n2 − n + 5 เป็นจํานวนเฉพาะ สําหรับจํานวนนับ n ใดๆ พบว่าเมื่อแทน n = 1, 2, 3, 4 จะได้ n2 − n + 5 = 5, 7, 11, 17 ซึ่งเป็นจํานวนเฉพาะจริงๆ แต่เมื่อแทน n = 5 จะได้ n2 − n + 5 = 25 ซึ่งไม่ใช่จํานวนเฉพาะ 2. ข้อมูลที่ใช้นั้นเป็นตัวแทนที่ดีแล้วหรือไม่ ... (อาจมีข้อมูลที่ไม่ตรงกับข้อสรุปอยู่ แต่นึกไม่ ถึง) เช่น สุ่มถามคน 100 คนในบริเวณสยามสแควร์ พบว่าอายุไม่เกิน 22 ปีถึง 70 คน จึงสรุปเอา ว่าในกรุงเทพฯ มีประชากรวัยรุ่นจํานวนมากกว่าวัยทํางานอยู่เท่าตัว ซึ่งอาจเป็นข้อสรุปที่ผิด 3. ข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนเกินไปหรือไม่ ... (บางเรื่องสรุปได้ยาก โดยเฉพาะที่ เกี่ยวกับความนึกคิดของมนุษย์ เช่น ความเชื่อ ความพึงพอใจ มักจะขึ้นกับเหตุผลต่างๆ กัน) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 71 การให้เหตุผลแบบนิรนัย (ใหญ่ → ย่อย) การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) เป็นการใช้ความจริงที่เป็นที่ยอมรับ โดยทั่วไป เพื่อนําไปสู่ข้อสรุปย่อยใดๆ ... เช่น เป็นความจริงที่ว่าจํานวนที่หารด้วย 2 ลงตัวเป็น จํานวนคู่ และ 10 นั้นหารด้วย 2 ลงตัว เราจึงสรุปว่า 10 เป็นจํานวนคู่ • ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัย 1. เหตุ (1) นักเรียนทุกคนตองทําการบาน ... (2) สุดาเปนนักเรียน ผล สุดาตองทําการบาน 2. เหตุ (1) นกเทานั้นที่บินได ... (2) คนบินไมได ผล คนไมใชนก * 3. เหตุ (1) สัตวปกทุกตัวบินได ... (2) แมวบางตัวเปนสัตวปก ผล แมวบางตัวบินได * ข้อสรุปนี้เป็นข้อสรุปที่ สมเหตุสมผล (valid) แม้ว่าผลจะขัดแย้งกับความจริง ในโลกก็ตาม ข้อควรระวังในการให้เหตุผล แบบนิรนัยคือ ในบางครั้งเมื่อเราใช้ความ รู้สึกเพียงผิวเผินตัดสิน อาจจะคิดว่าการ อ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล ทั้งที่จริงๆ แล้วไม่ใช่ ... ยกตัวอย่างเช่น S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¹o§ºÒ§¤¹oҨʧÊaÂÇÒ æÁǨaºi¹ä´ä´oÂÒ§äÃ.. ¡ÒÃãËe˵u¼Å溺¹iùa¹aé¹eÃÒ¡ÅÒÇã¹Ãٻ溺¢o§ ¡ÒÃoÒ§e˵u¼Å (eËÁ×o¹ËaÇ¢o 3.3) «Ö觤Ç÷íÒ¤ÇÒÁe¢Òã¨ÇÒ ¡ÒÃÊÁe˵uÊÁ¼Å¹aé¹ äÁä´æ»ÅÇҼŨae»¹¨Ãi§·a¹·Õ¹a¤Ãaº æµæ»ÅÇÒ eÁ×èoã´·Õèe˵u·u¡¢o e¡i´e»¹¨Ãi§¢Öé¹ÁÒ ¼Å¨Ö§¨ae»¹¨Ãi§µÒÁ´Ç ... eÇÅÒeÃÒµÃǨÊoºÇÒ¡ÒÃãËe˵u¼Å¹ÕéÊÁe˵uÊÁ¼ÅËÃ×oäÁ ãËeÃÒÂÖ´¨Ò¡e˵u·èãÕ ËÁÒe·Ò¹aé¹ ËÒÁeoÒ¤ÇÒÁ¨Ãi§ã¹oš仵a´Êi¹¹a¤Ãaº! 1. เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) ยุงบินได้ ผล ยุงเป็นนก (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมีสิ่งอื่นที่ไม่ใช่นก แต่บินได้) 2. เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) คนไม่ใช่นก ผล คนบินไม่ได้ (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมีสิ่งอื่นที่ไม่ใช่นก แต่บินได้) 3. เหตุ (1) นักเรียนบางคนเป็นนักกีฬา ... (2) นักกีฬาบางคนแข็งแรง ผล นักเรียนบางคนแข็งแรง (ไม่สมเหตุสมผล เพราะนักกีฬาที่แข็งแรงอาจไม่ใช่นักเรียนก็ได้) การตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลแบบนิรนัย สามารถทําได้อย่างรอบคอบ โดยใช้แผนภาพของเซต (แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์) ช่วยในการคิด นก นก สิ่งที่บินได้ ไม่มีนกตัวใดบินได้ (หรือ นกทุกตัวบินไม่ได้) นก สิ่งที่บินได้ นกบางตัวบินได้ (หรือ นกบางตัวบินไม่ได้) หากในข้อความมีการระบุถึงสมาชิกของเซต (เช่น สมชายบินได้) จะเขียนเป็น จุด อยู่ภายในบริเวณเซตนั้น สิ่งที่บินได้ นกทุกตัวบินได้ สมชาย ถ้าพบว่าแผนภาพเป็นไปตามที่สรุป ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น จะถือว่า สมเหตุสมผล แต่ถ้าเป็นแบบอื่นได้ด้วย จะถือว่า ไม่สมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) สิ่งที่บินได้ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 72 ดังนั้นในการตรวจสอบ เราจะต้องพยายามทําให้เหตุเป็นจริงทุกข้อแต่ผลสรุปเป็นเท็จ (ถ้าทําได้ ก็ แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล ถ้าทําไม่ได้แสดงว่าสมเหตุสมผล) ตัวอย่างเช่น 1. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา (2) สมศักดิ์เป็นนักเรียนชาย ผล สมศักดิ์ลงแข่งกีฬา ... สมเหตุสมผล ผู้ลงแข่งกีฬา นร.ชาย สมศักดิ์ 2. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา (2) สมศรีไม่ได้เป็นนักเรียนชาย ผล สมศรีไม่ได้ลงแข่งกีฬา ... ไม่สมเหตุสมผล (เป็นไปได้ 2 แบบ) 3. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา (2) สมเสร็จลงแข่งกีฬา ผล สมเสร็จเป็นนักเรียนชาย ... ไม่สมเหตุสมผล สมศรี สมศรี ผู้ลงแข่งกีฬา นร.ชาย สมเสร็จ 4. เหตุ (1) นักเรียนชายบางคนลงแข่งกีฬา (2) สมศักดิ์เป็นนักเรียนชาย ผล สมศักดิ์ลงแข่งกีฬา ... ไม่สมเหตุสมผล สมเสร็จ สมศักดิ์ สมศักดิ์ นร.ชาย ผู้ลงแข่งกีฬา หมายเหตุ บางตําราเขียนแผนภาพในรูปทั่วไป ดังรูปด้านล่างนี้ และใช้การแรเงาเพื่อบ่งบอก ว่าชิ้นส่วนนั้นไม่มีสมาชิกเลย A B B A ผู้ลงแข่งกีฬา นร.ชาย C 2 เซต เช่น 3 เซต นก สิ่งที่บินได้ ไม่มีนกตัวใดบินได้ หากมีประโยคว่า “เพนกวินเป็นนก” จะต้องจุดแทน “เพนกวิน” ลงในช่อง “นก” ทางซ้ายเท่านั้น เนื่องจากช่องกลางถูกแรเงาทึบไปแล้ว * แต่บางตําราก็ใช้การแรเงาเพื่อบ่งบอกว่าชิ้นส่วนนั้นต้องมีสมาชิกอยู่! แบบฝึกหัด 3.5 (40) ให้บอกค่าของ a ที่ปรากฏในลําดับต่อไปนี้ (40.1) −1, −3, −5, −7, a (40.2) 2, 7, 12, 17, a (40.3) 1, −2, 3, −4, a (40.4) 3, 6, 12, 24, a (40.9) [พื้นฐานวิศวะ มี.ค.47] (40.5) (40.6) 3, 1, −1, −3, a (40.7) (40.8) 1, 4, 9, 16, a 1 2 3 4 , , , ,a 2 3 4 5 3, 3 3, 3 3 3 , 3 3 3 3 , a 125, 726, a, 40328, 362889 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 73 (41) ให้หาสมการ 2 สมการ ต่อจากรูปแบบที่กําหนดให้ โดยอาศัยการให้เหตุผลแบบอุปนัย (และคํานวณหรือใช้เครื่องคํานวณ เพื่อตรวจสอบคําตอบที่ได้) (41.1) (41.2) (41.3) (41.4) 37 × 3 = 111 37 × 6 = 222 37 × 9 = 333 9 × 9 = 81 9 × 99 = 891 9 × 999 = 8991 1 × 9 = 11 − 2 12 × 9 = 111 − 3 123 × 9 = 1111 − 4 9 × 9 + 7 = 88 9 × 98 + 6 = 888 9 × 987 + 5 = 8888 (41.5) (41.6) (41.7) (41.8) 11 × 11 = 121 11 × 12 = 132 11 × 13 = 143 1089 × 1 = 1089 1089 × 2 = 2178 1089 × 3 = 3267 2 (3) = 3 (3 − 1) 2 (3) + 2 (9) = 3 (9 − 1) 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) = 3 (27 − 1) 3 × 4 = 2 (1 + 2 + 3) 4 × 5 = 2 (1 + 2 + 3 + 4) 5 × 6 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) (42) ให้ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ โดยอาศัยการให้เหตุผลแบบนิรนัย ประกอบกับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ (42.1) เหตุ – คนบางคนว่ายน้าํ ได้ – สมชายเป็นคน ผล สมชายว่ายน้ําได้ (42.2) เหตุ – คนบางคนว่ายน้าํ ได้ – สมชายเป็นคน ผล สมชายว่ายน้ําไม่ได้ (42.3) เหตุ – ไม่มีเด็กดีคนใดคุยในเวลาเรียน – นักเรียนห้องนี้ทุกคนเป็นเด็กดี ผล ไม่มีนักเรียนคนใดในห้องนี้คุยในเวลาเรียน (42.4) เหตุ – นักเรียนบางคนทําการบ้านไม่เสร็จ – นักเรียนบางคนชอบเล่นฟุตบอล ผล นักเรียนที่เล่นฟุตบอลบางคนทําการบ้านไม่เสร็จ (42.5) เหตุ – วันนี้ฉันเงินหมด – ไม่มีใครที่เงินหมดแล้วโดยสารรถเมล์ได้ ผล วันนี้ฉันไม่สามารถโดยสารรถเมล์ได้ (42.6) เหตุ – ไม่มีสัตว์น้ําตัวใดบินได้ – นกแก้วเป็นสัตว์น้ํา ผล นกแก้วบินไม่ได้ (42.12) เหตุ – ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่มีสองตา – กุ้งไม่ได้เป็นปลา ผล กุ้งมีสองตา (42.7) เหตุ – คนที่มีความสุขทุกคนยิ้มแย้ม – ฉันยิ้มแย้ม ผล ฉันมีความสุข (42.13) เหตุ – ไม่มีช่างคนใดที่ขยัน – สมนึกเป็นช่าง ผล สมนึกไม่ขยัน (42.8) เหตุ – นักเรียนทุกคนสวมแว่นตา – ผู้ร้ายบางคนสวมแว่นตา ผล นักเรียนบางคนเป็นผู้ร้าย (42.14) เหตุ – ไม่มีช่างคนใดที่ขยัน – สมนึกไม่ขยัน ผล สมนึกเป็นช่าง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 74 (42.9) เหตุ – ไม่มีนางแบบคนใดเป็นผู้ชาย (42.15) เหตุ – สัตว์ทุกตัวต้องหายใจ – พระเอกหนังทุกคนเป็นผู้ชาย – สุนัขทุกตัวต้องหายใจ ผล ไม่มีนางแบบคนใดเป็นพระเอกหนัง ผล สุนัขทุกตัวเป็นสัตว์ (42.10) เหตุ – สิ่งมีชีวิตทุกชนิดต้องกินอาหาร (42.16) เหตุ – แอปเปิ้ลไม่มีพิษ – สัตว์ทุกตัวเป็นสิ่งมีชีวิต – องุ่นไม่มีพิษ ผล คนทุกคนต้องกินอาหาร ผล ผลไม้ที่ทานได้ไม่มีพิษ (42.11) เหตุ – ครูบางคนชอบดื่มกาแฟ – ผู้ชายทั้งหมดชอบดื่มกาแฟ ผล ครูบางคนเป็นผู้ชาย (42.17) เหตุ – นกทุกตัวมีปีก – สัตว์ที่มีปีกบางตัวบินได้ – เพนกวินเป็นนก ผล เพนกวินบินได้ เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (40.1) –9 (40.2) 22 (40.3) 5 (21) → หรือ ↔ (40.4) 48 (40.5) –5 หรือ 3 (22) สมเหตุสมผลทัง้ สองข้อ T|p|p|T (40.6) 5/6 (40.7) 25 (23) ไม่สมเหตุสมผลทั้งสองข้อ p | T | T |~ p | T |~ p (24.1) s → r (24.2) r (40.8) 3 3 3 3 3 (40.9) 5047 p |~ p | T | F (25) ฉันไม่ขยัน (26) ก. (41.1) 37 × 12 = 444 , 37 × 15 = 555 (2) ข้อ 2.6 ถึง 2.10 เท็จ (27) ข. (28) ก. (41.2) 9 × 9999 = 89991 , นอกนั้นจริง (29) ก. ถูก ข. ผิด 9 × 99999 = 899991 (3) ข้อ 3.5, 3.7, 3.9, (30) จริง (31) เท็จ (41.3) 1234 × 9 = 11111 − 5 , 3.12 เท็จ นอกนัน้ จริง (32) ข้อ 32.1, 32.4 เป็นเท็จ 12345 × 9 = 111111 − 6 (3.11) T, T, F นอกนั้นจริง (4) ก. ถูก ข. ถูก (41.4) 9 × 9876 + 4 = 88888 , (33) ข้อ 33.1 จริง นอกนั้นเท็จ (5) ถูกทุกข้อ 9 × 98765 + 3 = 888888 (34) ข้อ 34.2, 34.4 จริง (6) ก. ผิด ข. ถูก (41.5) 11 × 14 = 154 , 11 × 15 = 165 นอกนั้นเท็จ (35.1) เท็จ (7) ก. (p ∧ q) ∨ (~ r ∧ ~ s) (35.2) จริง (36) ง. (37) ง. (41.6) 1089 × 4 = 4356 , ข. p ∧ ~ q ∧ r 1089 × 5 = 5445 (38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)] 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) (41.7) (8) ง. (9) ค. (38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))] (10.1) ข. (10.2) ง. + 2 (81) = 3 (81 − 1) , (38.3) ∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)] (10.3) ก. (11) ค. 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) (38.4) ∀x∀y [(x + y = 5) ∧ (x − y ≠ 1)] (12) สมมูลกันทุกข้อ + 2 (243) = 3 (243 − 1) (38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0] (41.8) 6 × 7 = 2 (1 + 2 + 3 + (13) ถูกทุกข้อ (14.1) ก. (14.2) ก. (38.6) ∀x∃y (xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y > 0) 4 + 5 + 6) , 7 × 8 = 2 (1 + (15) 3:5 (38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)] 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) (16 ถึง 19) เป็นทุกข้อ ยกเว้น (38.8) ∃x∀y∃z (x + y < z หรือ xy > z) (42) ข้อทีส่ มเหตุสมผลได้แก่ 16.1, 16.2, 17.2, 17.7, 19.1 (42.3), (42.5), (42.6), (39) ก. ถู ก ข. ผิ ด (20) ข. และ ค. เป็นจริง (42.9), (42.13) (1) p|F|p|F Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 75 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1) ก. เครื่องหมาย “และ” T ∧ p ≡ p ... จริง “และ” อะไร ก็จะได้ตามตัวนัน ้ (หมายความว่า T ∧ T ≡ T, T ∧ F ≡ F ) F ∧ p ≡ F ... เท็จ “และ” อะไร จะได้เท็จเสมอ p ∧ p ≡ p ... เหมือนกันเชือ ่ มด้วย “และ” ได้ตัวเดิม p ∧ ~ p ≡ F ... ตรงข้ามกันเชื่อมด้วย “และ” จะได้ เท็จเสมอ (เพราะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็นเท็จ) ข. เครื่องหมาย “หรือ” (วิธีคิดลักษณะเดียวกับ “และ”) T ∨ p ≡ T, F ∨ p ≡ p, p ∨ p ≡ p, p ∨ ~ p ≡ T ค. เครือ่ งหมายถ้า-แล้ว T → p ≡ p, F → p ≡ T, p → T ≡ T, p → F ≡ ~ p (เพราะ T → F ≡ F, F → F ≡ T ) p → p ≡ T, p → ~ p ≡ ~ p ง. เครือ่ งหมาย “ก็ต่อเมื่อ” T ↔ p ≡ p, F ↔ p ≡ ~ p, p ↔ p ≡ T, p ↔ ~ p ≡ F (หมายเหตุ ข้อ 1 นี้จะทําได้ก็เมือ่ คุ้นเคยลักษณะของ ตัวเชือ่ มทั้งสี่แล้ว) (2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) ≡ T T T (2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [.....] ≡ T T (2.3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → [.....] ≡ T F F (2.4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~ s ≡ T T (2.5) [(q → p) ∧ r] ↔ r ≡ T T T T (2.6) [(p ∧ q) → ~ r] → [(~ p ∨ q) ↔ r] ≡ F F F T T F (2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔ [(p → q) ∧ .....] ≡ F T F . T F (2.8) (p ∧ q) ∧ ~ r ∧ [... ∧ ...] ≡ F F (2.9) [p → (q ∧ r)] ∧ [.....] ≡ F F (2.10) [q → (....)] → [p → (q ∧ ~ r)] ≡ F F T F . T F (2.11) [(~ p → ....) ∧ (~ r → ....)] ∨ [.....] ≡ T T T (3.1) (3.2) (3.3) (....) → (p → q) ≡ T T T (....) → (p → q) ≡ T F T . (~ r ∧ p) ∨ (....) ≡ T (3.4) r แสดงว่า T → q ≡ T q r โดย เป็นจริงด้วย เป็นจริง (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) ≡ T T T (3.5) p T T ≡ T, q ≡ F, r ≡ T ดังนั้น (~ q ∧ (p ∨ r)) → (~ r) ≡ F T (3.6) (3.7) (3.8) T n ≡ F q ≡ F F ดังนั้น ดังนั้น n → [....] ≡ T (....) ∧ q ≡ F q ≡ F, s ≡ F, r ≡ T, p ≡ F ดังนั้น (q ∨ p) → (....) ≡ T F (3.9) p ∨ r ≡ T, q ∨ s ≡ F (แสดงว่า q ≡ F, s ≡ F ) ้ r≡T p → q ≡ T แสดงว่า p ≡ F ดังนัน และจะได้ r → s ≡ T → F ≡ F (3.10) p → q ≡ F แสดงว่า p ≡ T, q ≡ F ดังนัน้ (....) → ~ q ≡ T T (3.11) p ∧ q ≡ T แสดงว่า p ≡ T, q ≡ T p → r ≡ F แสดงว่า r ≡ F (3.12) p ≡ T, p ↔ ~ r ≡ T แสดงว่า r ≡ F (3.13) และ (3.14) ไม่บอกค่าของ p, q, r, s มา เลย แสดงว่า น่าจะเป็นสัจนิรนั ดร์ (คือเป็นจริงทุก กรณี ไม่ว่า p, q, r, s จะเป็นอย่างไร) ซึ่งตรวจสอบแล้วพบว่าเป็นสัจนิรนั ดร์จริงๆ จึงตอบว่า เป็นจริงทัง้ สองข้อ ... วิธตี รวจสอบเป็นดังนี้ (3.13) พยายามทําให้เป็นเท็จ แสดงว่า ก้อนหน้าต้องเป็นจริง ก้อนหลังต้องเป็นเท็จ (เนื่องจากเชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว”) ((p ∧ ~ q) → ~ p) → (p → q) F F T F ซึ่งถ้าก้อนหลังเป็นเท็จ แปลว่า p จะต้องเป็นจริง เท่านั้น และ q จะต้องเป็นเท็จเท่านั้น ... เอาค่าความ จริงของ p กับ q ไปใส่ในก้อนหน้า พบว่าก้อนหน้า Math E-Book Release 2.2 T (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 76 ไม่ได้เป็นจริง ... นั่นคือ เราพยายามทําให้ประโยคนี้ (9) ก. ~ (~ p ∧ ~ q) คือ p ∧ q ... สมมูล เป็นเท็จ แต่ไม่มวี ิธีใดที่ทาํ ได้ ข้อนี้จึงเป็นสัจนิรันดร์ ข. (~ p ∨ q) กับ (q ∨ ~ p) ... สมมูล (3.14) ใช้วิธีเดียวกับข้อที่แล้ว คือพยายามทําให้กอ้ น ค. p ∨ (~ q ∨ p) ≡ ~ q ∨ p เทียบกับ q ∨ p ... หน้าจริง ก้อนหลังเท็จ (เพราะเชือ่ มด้วย “ถ้า-แล้ว”) ไม่สมมูล ⎡⎣[p ∨ ~ (r ∧ s)] ∧ ~ p ⎤⎦ → (~ r ∨ ~ s) ง. สมมูล ตามกฎการกระจาย ↔ ตอบ ค. F T F (10.1) ข. ถูก เพราะ ข. คือ (p → q) ∧ (q → p) T T ซึ่งถ้าก้อนหลังเป็นเท็จ แปลว่า r กับ s จะต้องเป็น (10.2) {[(q ∧ ~ t) ∧ (p ∨ ~ p)] ∨ ~ q} → r จริงทั้งคู่เท่านัน้ ... เอาค่าความจริงของ r กับ s ไปใส่ ≡ [(q ∧ ~ t) ∨ ~ q] → r T ก้อนหน้า พบว่าเหลือเพียง [p ∧ ~ p] ซึ่งจะเป็นเท็จ ≡ [(q ∨ ~ q) ∧ (~ t ∨ ~ q)] → r เสมอ ไม่มีทางเป็นจริงได้ ... สรุปว่าเราไม่มีทางทําให้ T ข้อนีเ้ ป็นเท็จได้ ข้อนีจ้ ึงเป็นสัจนิรนั ดร์ ≡ (~ t ∨ ~ q) → r ≡ (t ∧ q) ∨ r ข้อ ง. (4) s → r ≡ F แสดงว่า s ≡ T, r ≡ F (10.3) [(q ∨ r) ∧ (q ∨ ~ r)] ∧ [(p ∧ s) ∨ (p ∧ ~ s) ] p ∨ r ≡ T แสดงว่า p ≡ T ≡ [q ∨ (r ∧ ~ r) ∧ (p ∧ (s ∨ ~ s)] ≡ q ∧ p p → q ≡ T แสดงว่า q ≡ T F T ก. [(....) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) ≡ F ถูก ข้อ ก. F F (11) ข้อ ข. กับ ง. ไม่ใช่แน่นอน เพราะกลายเป็น ข. [....] → (~ r ∧ s) ≡ T ถูก ab > 0, a < 0, b < 0 ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับโจทย์ ... T ดังนัน้ พิจารณาเฉพาะ ก. กับ ค. (5) p ↔ q ≡ T แสดงว่า p ≡ q โจทย์ (p ∧ q) → r r ∨ ~ s ≡ F แสดงว่า r ≡ F, s ≡ T ก. (~ p ∨ ~ q) → ~ r ผิด ดังนัน้ [(~ p ∧ r) → ....] ≡ T ค. ~ r → (~ p ∨ ~ q) ถูก F (12) ก. p → (q ∨ r) ข. (~ q ∧ ~ r) → ~ p พิจารณา ก. ~ (....) → ~ r ≡ T ถูก T ค. ~ p ∨ q ∨ r ข้อ ก. และ ข. กระจายแล้วจะ ข. r ↔ (p ∧ ~ q) ≡ T ถูก เหมือนข้อ ค. ดังนั้นสมมูลกันหมดทุกข้อ F F (13) ก. ~ (p ∧ ~ r) ∨ ~ q ≡ ~ p ∨ r ∨ ~ q ค. (s → r) ∨ (p → q) ≡ T ถูก ≡ q → (r ∨ ~ p) ถูก T (6) p ≡ q , r ≡ ~ s ดังนัน้ ข. p → (q → r) ≡ ~ p ∨ (~ q ∨ r) ก. [.... ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [.... ∨ (~ r ∨ ~ s)] ≡ T และ q → (p → r) ≡ ~ q ∨ ( ~ p ∨ r) ถูก T T ค. (p ∧ q) → r ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ r และ ดังนัน้ ก. ผิด (p → ~ q) ∨ (p → r) ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ ~ p ∨ r ถูก ข. [....] → [(p ∨ ~ q) ↔ (r → ~ s)] ≡ T ถูก (14.1) ลองทําตารางค่าความจริง T T (7) ก. ~ [(~ p ∨ ~ q) ∧ (r ∨ s)] ≡ p q p*p q*q (p*p)*(q*q) (p ∧ q) ∨ (~ r ∧ ~ s) ข. ~ [~ (p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ≡ (p ∧ ~ q) ∧ r (8) ให้ p แทน “เดชาขยัน”, q แทน “เดชาทํา การบ้านสม่าํ เสมอ”, r แทน “เดชาสอบผ่าน” ดังนัน้ โจทย์บอกว่า (p ∧ q) → r เป็นเท็จ แสดงว่า p ≡ q ≡ T, r ≡ F ก. p ∧ ~ q ≡ F ข. ~ p ∧ q ≡ F ค. ~ r → ~ q ≡ F ง. p ↔ ~ r ≡ T ตอบ ง. T T F F T F T F F F T T F T F T T F F F พบว่าผลลัพธ์ที่ได้นี้เหมือนกับ p ∧ q จึงตอบ ก. (14.2) จากตารางในโจทย์ มี F*F เท่านัน้ ที่ให้ผล เป็นจริง คล้ายๆ ตัวเชือ่ ม “หรือ” ... แต่ผลตรงกัน ข้าม (ตัวเชือ่ ม “หรือ” จะได้ผลเป็น T,T,T,F ตามลําดับ) ดังนัน้ p ∗ q ≡ ~ (p ∨ q) ... ตอบข้อ ก. เพราะ ~ (~ p → q) ≡ ~ (p ∨ q) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 77 (15) ทําตารางค่าความจริงเพื่อนับจํานวนกรณี p q r q*r p*(q*r) (17.2) T T T T F F F F T T F F T T F F T F T F T F T F F F F T F F F T F F F F T T T F คําตอบคือ จริง:เท็จ เท่ากับ 3:5 (16.1) (p ∧ q) → [(p ∨ q) → r] F T F T T T T F ทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ (16.2) (p ∨ q) → [(p ∧ q) → r] F T F T T T T F ทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ (16.3) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) F T T F T T F F T F ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกัน แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ (16.4) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∧ q) → r] F T T F T T F T T T T ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า r ขัดแย้งกัน แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ (16.5) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] F T T F T F F F F F F F ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า p กับ q ต้องเป็นเท็จ เท่านั้น ทําให้ p ∨ q เป็นจริงไม่ได้ แสดงว่า เป็นสัจนิรนั ดร์ (16.6) [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∧ q)] → (r ∨ s) F T T T F F F F F T T F F ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า p ขัดแย้งกัน, q ก็ขัดแย้ง กัน ... แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ (16.7) ⎣⎡[(p ∧ q) → r ] ∧ (p → q)⎦⎤ → (p → r) F T T F T F F T T T F ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกัน แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ (17.1) ~ (p → ~ q) ≡ ~ (~ p ∨ ~ q) ≡ p ∧ q ดังนัน้ เป็นสัจนิรนั ดร์ ตรรกศาสตร ≡ q∨p (17.3) (~ p ∧ q) ∨ p ≡ (~ p ∨ p) ∧ (q ∨ p) T ดังนั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์ (p ∨ q) ∧ ~ p ≡ (p ∧ ~ p) ∨ (q ∧ ~ p) F ดังนัน้ เป็นสัจนิรันดร์ ≡ q∧ ~ p (17.4) (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ q ∨ p) (17.5) ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์ (p ∧ q) → (p ∨ q) ≡ ~ (p ∨ q) → ~ (p ∧ q) ≡ (~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q) (17.6) เป็นสัจนิรนั ดร์ ~ p ∨ (q ∧ r) ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) เป็นสัจนิรน ั ดร์ (17.7) ซ้ายมือ ~ p ∨ ~ q ∨ r ขวามือ ~ (~ p ∨ q) ∨ r ≡ (p ∧ ~ q) ∨ r ดังนัน้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ (17.8) ข้อนี้แจกแจงยาก ใช้วิธีพจิ ารณาความสมมูลแต่ละกรณีดกี ว่า p q r ซ้าย ขวา T T T T F F F F T T F F T T F F T F T F T F T F T F F T F T T F T F F T F T T F ซ้ายกับขวามีค่าตรงกันเสมอ ดังนัน้ เป็นสัจนิรันดร์ (18.1) [(p ∨ r) → (q ∨ r)] ∨ (p ∨ q) F F F F F นําค่า p และ q เป็นเท็จไปใส่ดา้ นหน้า จะลดรูป หายไปเหลือเพียง r → r ซึ่งพบว่าเป็นจริงเสมอ ไม่มี ทางทําให้ด้านหน้าเป็นเท็จได้เลย ดังนัน้ ข้อนี้ เป็นสัจนิรันดร์ (18.2) [(~ p ∧ q) → ~ p] ∨ (p → q) F F F T T F F T ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกัน แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ (19.1) (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) ≡ F → F ≡ T เสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) ดังนั้น นิเสธของประพจน์นี้ ไม่เป็นสัจนิรนั ดร์ (แต่จะเป็นเท็จทุกกรณี) (19.2) [p ∧ T] ↔ [~ p ∨ F] ≡ p ↔ ~ p ≡ F เสมอ ดังนั้น นิเสธของประพจน์นี้ เป็นสัจนิรันดร์ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 78 ตรรกศาสตร (19.3) เนื่องจาก p ↔ q สมมูลกับ ~ p ↔ ~ q ดังนัน้ ~ (p ↔ q) ∧ (~ p ↔ ~ q) ≡ ~ , ∧ , ≡ F เสมอ ... นิเสธของประพจน์นจี้ ึงเป็นสัจนิรันดร์ (20) p, q, r เป็นประพจน์ใดๆ รูปแบบที่จะเป็นจริง เสมอก็คือ “สัจนิรันดร์” นั่นเอง ก. (p → q) → (~ p ∧ ~ q) F T F F T F T ทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) เนื่องจากซ้ายกับขวา สมมูลกัน จึงเป็นสัจนิรันดร์ ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) → (~ (p ∧ q) ∧ ~ r) F F T F F T F F F ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า r ขัดแย้งกัน แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ ง. จากด้านซ้าย (~ p ∨ r) ∧ (~ q ∨ r) (23.2) 1. 2. 3. 4. 2. q → s p → s 3. ~ s ~p 1. p → (q → r) ≡ q → (p → r) 3. q p → r 2. s → p 1. ~ p → q 2. q → ~ r ~p →~r ≡ r→ p 3. ผล (25) ผล s ไม่สมเหตุสมผล p แสดงว่า ผล ~p ∴ 4. p ได้ q 2. (p ∧ q) → r ได้ r 3. ~ s ∨ ~ r ≡ r→~s ได้ ~ s คือ r ตอบว่า ฉันไม่ขยัน วิธีคดิ 1. p → q 4. ~ q ~p 2. ~ p → r r 3. s → ~ r ? ผล 1. p → q 3. 1. p → ~ q 2. q ผล สมเหตุสมผล (22.2) p → (r ∨ s) 2. (p ∧ q) → r 3. ~ (s ∧ r) 4. p s → r ผล (24.2) 1. p → q 2. ~ p → r 3. s → ~ r 4. ~ q สมเหตุสมผล (23.1) แปลงจากประโยคคําพูด ให้เป็นสัญลักษณ์ได้ว่า วิธีคดิ เหตุ 1. p → q q 1. p → ~ q ~p (26) ~p∨r∨s r 3. r → q ไม่สมเหตุสมผล (24.1) ไม่เหมือนด้านขวา ดังนัน้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ จ. จากด้านซ้าย (~ p ∨ q) ∨ (~ p ∨ r) ไม่เหมือนด้านขวา ดังนัน้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ สรุปว่า ข้อ ข. และ ค. ที่เป็นจริง (21) เนื่องจากซ้ายและขวาสมมูลกัน ดังนัน้ เครื่องหมายที่ใช้ได้คือ → กับ ↔ (22.1) 1. p → q 2. r ∨ s 4. ~ s p ผล ≡ (~ p ∧ ~ q) ∨ r ≡ (p ∨ q) → r ≡ ~ p ∨ (q ∨ r) ≡ p → (q ∨ r) วิธีคดิ p →~ q r∨s r → q ~ s ~ s ดังนัน้ ต้องตอบว่า ~ s เป็นจริง แต่ในตัวเลือกเป็นดังนี้ ก. ~ s ∨ p ข้อที่ใช้ได้คอื ก. (เพราะเชือ่ มด้วย ∨ ) ข. s ∧ p ค. ~ r ∧ ~ s ใช้ไม่ได้ เพราะเชือ่ มด้วย ∧ ซึง่ เรา ทราบว่า ~ r เป็นเท็จ (เพราะในเหตุนั้น r เป็นจริง) ง. p ∧ ~ q (27) ก. เท็จ เพราะมี x ที่ x2 > 0 คือเมื่อ x = 0 ข. จริง เช่น x = 2 จะได้ 8 > 4, 2 < 4 ค. เท็จ เพราะถ้า x = 1 จะไม่เป็นจํานวนเฉพาะ ง. เท็จ เพราะไม่มี x ใด ตรงตามเงื่อนไขเลย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 79 (28) ก. “สําหรับทุกๆ x ถ้า x เป็นจํานวนอตรรก ยะแล้ว 2 เป็นจํานวนตรรกยะ” ... เท็จ (เช่น x = 3 ) ข. “มีบาง x ซึ่ง...ถ้า x เป็นจํานวนตรรกยะแล้ว 0.5 เป็นจํานวนอตรรกยะ” ... จริง (เช่น x = 2 จะได้ F → F เป็น T ) ค. “สําหรับทุกๆ x ... x เป็นจํานวนอตรรกยะ หรือ π ไม่เป็นจํานวนตรรกยะ” ... จริง เพราะ π ไม่เป็นจํานวนตรรกยะ จริงเสมอ (, ∨ T ≡ T ) ง. “มีบาง x ซึ่ง... x เป็นจํานวนตรรกยะ และ 22 ไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ” หรือ x = 0) จริง (ไม่วา่ x = −1, 0, 1 ก็จะจริงอันใดอันหนึ่งเสมอ) T (33.1) มี x บางตัวและ y บางตัว ที่ทาํ ให้ x2 + y > 2 จริง เช่น x = 1, y = 1 (33.2) มี x บางตัว ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ เข่น x = −1 → y = 0 ไม่ได้ x = 0 → y = 0 ไม่ได้ x = 1 → y = 0 ไม่ได้ (33.3) x ทุกตัว ใช้ y ได้บางตัว เท็จ เช่น x = 0 จะใช้ y ไม่ได้เลย (33.4) x ทุกตัว y ทุกตัว เท็จ แน่นอน เช่น x = 0, y = 0 ก็ไม่ได้แล้ว (34.1) เท็จ เช่น x = 1, y = −1 จะได้วา่ 2 ≠ 0 (34.2) ทุกๆ x จะใช้ y ได้บางตัว จริง เช่น 7 ... จริง เพราะ 22 ไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ จริง 7 เสมอ และลองแทนด้านหน้าให้จริงด้วย เช่น x = 1 หมายเหตุ ∀x พิสจู น์ให้เท็จง่าย ∃x พิสจ ู น์ให้จริงง่าย (29) ก. “สําหรับทุก x ... x > x2 ” ใน U = (0, 1) ... จริง ข. “สําหรับทุก x ... x เป็นจํานวนเฉพาะ หรือ ห.ร.ม. ของ 3 กับ x เป็น 1 ” ... จริง เพราะ 2, 3, −5 เป็นจํานวนเฉพาะ, และ 8 มี ห.ร.ม. กับ 3 เป็น 1 ดังนัน้ ก. ถูก ข.ผิด (30) ∃x (x3 + 5x − 1 < 4) เป็นจริง เช่น x = −1 จะได้ −7 < 4 จริง ∀x(|x2 − 1| < 0 → x > − 2) เป็นจริง เพราะส่วนที่ขีดเส้นใต้เป็นเท็จเสมอ และ F → , ≡ T สรุปข้อนีต้ อบ T ∧ T ≡ T 2 (31) ∃x(x − 1 เป็นจํานวนนับ) จริง เช่น x = 2 จะได้ 22 − 1 = 3 เป็นจํานวนนับ ∀x(x + 1 > 0) จริง (จํานวนนับใดๆ + 1 ย่อม มากกว่า 0 ) 2 2 ∀x( < 0) เท็จ เช่น x = 1 จะได้ 0) จริง เช่น x = 0 ∃x(x2 ≠ 1) จริง ดังนั้น T ∧ T ≡ T (32.3) ∃x(x + 1 > 0 และ x2 ≠ 1) จริง เช่น x = 0 ดังนัน้ T (32.4) ∀x(x2 > 0) เท็จ เช่น x = 0 ้ F∨F ≡F ∀x(x = 0) เท็จ เช่น x = 1 ดังนัน ตรรกศาสตร (32.5) ∀x(x2 > 0 x = 0, y = 0 x = 0, y = 1 x = − 1, y = − 1 (34.3) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ เช่น x = −1 ใช้ y = 1 ไม่ได้ x = 0 ใช้ y = 1 ไม่ได้ x = 1 ใช้ y = −1 ไม่ได้ (34.4) บาง x บาง y จริง (34.5) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ เช่น x = 0, y = 0 ไม่ได้ x = 1, y = 1 ไม่ได้ x = −1, y = −1 ก็ไม่ได้ (35.1) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ ( y = x ไม่ได้) (35.2) x ทุกตัว ใช้ y ได้บางตัว จริง คือ x = 2, y = −2 ได้, x = −2, y = 2 ได้ (36) ก. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ เช่น x = 2 จะไม่มี y ∈ I ที่ใช้ได้เลย ∃x∀y(xy = y) จริง ถ้า x = 1 จะได้วา่ xy = y เสมอทุกๆ y ดังนัน้ สรุปข้อนี้ F ↔ T ≡ F ข. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ ∃x∀y(xy = y) จริง (เหตุผลเดียวกับข้อ ก.) ข้อนีจ้ ึงได้ F ↔ T ≡ F ค. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ เช่น x = 0 จะไม่มี y ∈ R ที่ใช้ได้เลย ∃x∀y(xy = y) จริง (เหตุผลเดิม) ดังนัน้ ข้อนี้ F ↔ T ≡ F ง. ∀x∃y(xy = 1) จริง ไม่วา่ x ∈ R+ ใด จะมี y ∈ R+ ใช้ได้เสมอ ∃x∀y(xy = y) จริง (เหตุผลเดิม) ... ตอบ ง. ดังนัน้ ข้อนี้ T ↔ T ≡ T Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 80 (37) ก. เท็จ เช่น x = 10, y = 5 จะได้ 15 > 50 ข. เท็จ ไม่มี x, y ใดเลย ที่บวกกันแล้ว < 0 ได้ ค. เท็จ ไม่มี x ใด ที่ใช้ y ได้ทุกตัว (ไม่ว่า x ใด เราจะหา y ที่ > x ได้เสมอ) ง. จริง ทุกๆ x จะมีบาง y ซึ่ง y > x เสมอ ดังนัน้ ตอบ ง. (38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)] (38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))] (38.3) ∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)] (38.4) ∀x∀y [(x + y = 5) ∧ (x − y ≠ 1)] (38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0] (38.6) ∀x∃y (xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y > 0) (38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)] (38.8) ∃x∀y∃z (x + y < z หรือ xy > z) (39) ก. ถูกแล้ว แต่ ข. ผิด ต้องเป็น ∃x[x < 6] ∧ ∃x[x < 8] (40.1) a = −9 (เป็นจํานวนคี่ ติดลบ เรียงกัน / หรืออาจมองว่าลดลงทีละ 2 ก็ได้) (40.2) a = 22 (ลงท้ายด้วยเลข 2 และขึ้นหลัก ยี่สิบ / หรืออาจมองว่าเพิ่มทีละ 5 ก็ได้) (40.3) a = 5 (จํานวนนับเรียงกัน โดยติดลบสลับ กับไม่ติดลบ) (40.4) a = 48 (บวกด้วยตัวมันเองกลายเป็นพจน์ ถัดไป / หรืออาจมองว่าคูณ 2) (40.5) a = −5 (ลดลงทีละ 2) (41.4) หรือ a = 3 (40.6) a = ก็ได้ (มองว่าหมุนเวียน) 5 6 3 → 1 ↑ ↓ −3 ← −1 (เศษส่วนของจํานวนนับเรียงติดกัน) ตรรกศาสตร 9 × 9876 + 4 = 88888 , 9 × 98765 + 3 = 888888 (41.5) (41.6) 11 × 14 = 154 , 11 × 15 = 165 1089 × 4 = 4356 , 1089 × 5 = 5445 (41.7) 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) = 3 (81 − 1) , 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) + 2 (243) = 3 (243 − 1) (41.8) 6 × 7 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) , 7 × 8 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) (42.1,42.2) สมชาย สมชาย คน สิ่งที่ว่ายน้ําได้ เป็นไปได้ทั้ง 2 แบบ จึงไม่สมเหตุสมผล (42.3) คนคุยใน เวลาเรียน นร.ห้องนี้ เด็กดี สมเหตุสมผล (42.4) ผู้ทําการบ้าน นักเรียน ไม่เสร็จ อาจเป็นไปตามนีไ้ ด้ (42.5) ∴ ไม่สมเหตุสมผล ฉัน (40.7) a = 25 (กําลังสองของจํานวนนับ) (40.8) a = 3 3 3 3 3 (มีเลข 3 อยู่ 5 ตัว) ผู้เงินหมด (40.9) หลักหน่วยควรเป็น 7 เนื่องจากหลักหน่วย สมเหตุสมผล เรียงกันเป็นลําดับ 5, 6, _, 8, 9 (42.6) ส่วนหลักทีเ่ หลือก็เป็นลําดับ 12, 36288 72 , _, 4032, ×6 สัตว์น้ํา คนมี ฉัน ความสุข 9 × 99999 = 899991 1234 × 9 = 11111 − 5 , 12345 × 9 = 111111 − 6 ผู้โดยสารรถเมล์ได้ นกแก้ว ×9 พบว่า 72 × 7 = 504 และ 504 × 8 = 4032 พอดี ดังนัน้ ตอบว่า 5047 สมเหตุสมผล (41.1) 37 × 12 = 444 , 37 × 15 = 555 (42.7) (41.2) 9 × 9999 = 89991 , (41.3) ผู้เล่นฟุตบอล เป็นไปได้ 2 แบบ Math E-Book Release 2.2 ∴ สิ่งที่บินได้ ฉัน คนยิ้มแย้ม ไม่สมเหตุสมผล (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 81 (42.8) (42.13) สมนึก นักเรียน คนสวมแว่นตา ผู้ร้าย อาจเป็นตามนี้ได้ (42.9) ตรรกศาสตร ∴ ไม่สมเหตุสมผล คนขยัน ช่าง สมเหตุสมผล (42.14) สมนึก นางแบบ พระเอกหนัง สมนึก ผู้ชาย ช่าง สมเหตุสมผล (42.10) ไม่สมเหตุสมผล เพราะในเหตุไม่ได้ระบุว่า คนเป็นอะไร (ไม่ได้พูดถึงคน, พูดถึงแต่สตั ว์) “ไม่ได้บอกว่าคนเป็นสิง่ มีชีวติ ” ห้ามใช้ความจริงบนโลกในการตัดสิน! (42.11) เป็นไปได้ 2 แบบ (42.15) ∴ คนขยัน ไม่สมเหตุสมผล สุนัข สัตว์ สิ่งที่ต้องหายใจ ผู้ชาย ผู้ชอบดื่มกาแฟ ครู อาจเป็นตามนี้ได้ (42.12) ∴ ไม่สมเหตุสมผล กุ้ง ปลา อาจเป็นตามนี้ได้ ∴ อาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล (42.16) ไม่สมเหตุสมผล เพราะในเหตุไม่ได้กล่าวว่าอะไรคือ “ผลไม้ทที่ านได้” (คล้ายข้อ 42.10 คือห้ามใช้ความรู้สึกในการตัดสิน, ห้ามใช้ความจริงบนโลกในการตัดสิน ให้ยดึ ถือเฉพาะ เหตุที่ให้มาเท่านัน้ ) (42.17) สิ่งที่มีสองตา ไม่สมเหตุสมผล สิ่งที่บินได้ อาจเป็นตามนี้ได้ Math E-Book Release 2.2 ∴ (คณิต มงคลพิทักษสุข) นก เพนกวิน สิ่งที่มีปีก ไม่สมเหตุสมผล คณิตศาสตร O-NET / A-NET ตรรกศาสตร 82 eÃ×èo§æ¶Á มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล.. วิชาตรรกศาสตร์ถูกใช้เป็นพื้นฐานของอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์แบบดิจิตัล ซึง่ ส่งสัญญาณด้วยค่าแรงดันไฟฟ้า เป็นสัญญาณ “0” กับ “1” เท่านัน้ ...สัญญาณ “0” ใช้แรงดัน 0 โวลต์, เทียบได้กบั “False” ในตรรกศาสตร์ และสัญญาณ “1” ใช้แรงดัน 5 โวลต์ (หรือ 12 โวลต์ แล้วแต่อุปกรณ์), เทียบได้กับ “True” ในตรรกศาสตร์ ชิพที่ฝงั อยู่ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์จะมีหลักการทํางานเสมือนเป็น ตัวเชือ่ มทางตรรกศาสตร์ เรียกตัวเชื่อมเหล่านีว้ ่า เกต (Gate) เกตที่นิยมใช้กนั ทั่วไปมีดงั นี้ (1) INVERTER (เทียบได้กับ “นิเสธ”) เปลี่ยน 0 เป็น 1 และเปลี่ยน 1 เป็น 0 เข้า 0 ออก 1 inv 1 and 0 0 (2) AND (เทียบได้กับ “และ”) จะเป็น 1 เพียงกรณีเดียวคือสัญญาณเข้าทั้งสองด้านเป็น 1 1 or 1 0 (3) OR (เทียบได้กับ “หรือ”) จะเป็น 0 เพียงกรณีเดียวคือสัญญาณเข้าทั้งสองด้านเป็น 0 1 nand 1 0 (4) NAND กับ NOR (อ่านว่า แนนด์ กับ นอร์) เป็นนิเสธของ AND กับนิเสธของ OR ตามลําดับ คือนําผลที่ได้จาก AND กับ OR มากลับค่าให้เป็นตรงกันข้าม 1 nor (5) XOR (อ่านว่า เอ๊กซ์-ออร์) จะเป็น 1 เมือ่ สัญญาณเข้าด้านหนึ่งเป็น 0 และอีกด้านเป็น 1 เท่านัน้ (0 ทั้งคู่ กับ 1 ทั้งคู่ จะให้ผลเป็น 0) จากความรู้ทางตรรกศาสตร์จะพบว่าเป็นนิเสธของ “ก็ต่อเมื่อ” นั่นเอง 0 0 1 xor 1 0 สิ่งทีน่ า่ สนใจของดิจติ ัลคือการมองตรรกศาสตร์เป็นแบบคํานวณ คือเมื่อเราให้ 0 แทน False และ 1 แทน True แล้วจะพบว่าตัวเชือ่ ม AND มีลักษณะเหมือนการคูณ ส่วน OR นั้นมีลกั ษณะเหมือนการการบวก (โดย ที่ 1+1 จะต้องเท่ากับ 1, จะเป็น 2 ไปไม่ได้นะครับ..) ดังตารางนี้ A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A and B (AB) 1 0 0 0 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A or B (A+B) 1 1 1 0 เราสามารถนําพืน้ ฐานดิจติ ัลกลับไปประยุกต์ใช้กับวิชาตรรกศาสตร์ได้ เพียงแค่ทราบว่า “และคือคูณ”, “หรือคือบวก” เท่านี้เองครับ :] Math E-Book Release 2.2 A 1 0 not A (A ) 0 1 หมายเหตุ A nand B = AB = A + B A nor B = A + B = A B (แจกแจงนิเสธตามกฎตรรกศาสตร์) A xor B ใช้สัญลักษณ์ (คณิต มงคลพิทักษสุข) A ⊕B คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 83 G (e,o) º··Õè 4 eâҤ³iµÇie¤ÃÒaË เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นวิชาคํานวณเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต โดยการเขียน กราฟลงบนพิกัดฉาก เช่น การหาระยะระหว่างจุดสอง จุด, ระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น, การหาพื้นที่รูป หลายเหลี่ยม, หรือการหาความชันของเส้นตรง เป็น ต้น ซึ่งจะใช้เป็นเครื่องมือช่วยในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ในบทถัดไปได้ นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ที่พบบ่อยอาจมีกราฟเป็นเส้นโค้ง ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา y ใน ระนาบ (Plane) หนึ่งๆ เราจะอ้างถึงตําแหน่งหรือจุดใดๆ Q2 Q1 ได้ด้วยค่า พิกัด (Coordinate) โดยระบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือระบบ (−, +) (+, +) พิกัดฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบด้วยเส้นจํานวน 2 เส้น x ตั้งฉากกัน ณ จุดที่สมมติให้เป็น จุดกําเนิด (Origin; หรือจุด O) Q3 O Q4 เรียกชื่อเส้นนอนและเส้นตั้ง ว่าแกน x และแกน y ตามลําดับ (−, −) (+, −) แกนทั้งสองนี้ตัดกัน แบ่งพื้นที่ในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วน เรียกแต่ละส่วนว่า จตุภาค (Quadrant; Q) ได้แก่ จตุภาคที่ 1, 2, 3, และ 4 ดังภาพ การอ้างถึงพิกัดในระบบพิกัดฉาก นิยมเขียนในรูป คู่อันดับ (Ordered Pair) ที่สมาชิกตัว แรกแทนระยะทางในแนว +x และตัวหลังแทนระยะทางในแนว +y เช่น คู่อันดับ (2, 4) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 84 4.1 เบื้องต้น : จุด การเขียนชื่อจุดนิยมใช้ตัวอักษรใหญ่ เช่น จุด P, จุด Q และอาจเขียนกํากับด้วยคู่อันดับใน พิกัดฉาก เป็น P (x, y) ใดๆ เช่น Q (2, 4) ใช้แทนจุดที่ชื่อ Q และมีพิกัดเป็น (2, 4) [1] ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด สัญลักษณ์ที่ใช้แทนระยะห่าง ระหว่างจุด P กับ Q คือ PQ Q (x2,y2) PQ = พิสูจน์ได้จาก ทฤษฎีบทปีทาโกรัส (Pythagorean Theorem) (x2− x1) 2+ (y2− y1) 2 P (x1,y1) [2] จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด Q (x2,y2) R( x1+ x2 y1+ y2 , ) 2 2 เพิ่มเติม สูตรระยะทางระหว่างจุดนี้จะได้นําไปใช้อีกครั้งและ ขยายผลออกเป็นระยะทางในสามมิติ ในเรื่อง เวกเตอร์ (บทที่ 10) และนอกจากนั้นยังใช้คํานวณ ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อน (ในบทที่ 11) ด้วย จุดที่แบ่งระยะทางเป็นอัตราส่วน m:n Q (x2,y2) m n P (x1,y1) P (x1,y1) mx + nx2 my1+ ny2 R( 1 , ) m+n m+n [3] จุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม เส้นมัธยฐาน คือเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดจุดหนึ่งกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจุดตัดของ เส้นมัธยฐาน (เรียกว่าจุด Centroid) จะแบ่งเส้นมัธยฐานแต่ละเส้นออกเป็นอัตราส่วน 2 : 1 เสมอ R (x3,y3) P (x1,y1) x+x +x y+y +y C ( 1 2 3 , 1 2 3) 3 3 C Q (x2,y2) [4] พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม คํานวณได้โดย นําคู่อันดับของจุดยอดมาตั้งเรียงแบบทวนเข็มนาฬิกาให้ครบทุกจุด (โดยวนกลับมาที่ จุดแรกอีกครั้งด้วย) จากนั้น คูณลงเครื่องหมายเดิม คูณขึ้นเปลี่ยนเครื่องหมาย (วิธีการเดียวกับการ หา det ในเรื่องเมตริกซ์ บทที่ 9) นําค่าที่ได้รวมกันแล้วหารสอง จะเป็นพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนั้น T (x5,y5) พื้นที่ x1 x2 x 1 = ⋅ 3 x 2 4 x5 x1 y1 y2 y3 y4 y5 y1 S ¢o¤Ç÷ÃÒº! S 1. 㪡aºÃÙ»¡ÕèeËÅÕèÂÁ¡çä´ eª¹ 3 eËÅÕèÂÁ eÃÒ¡çµo§¤Ù³Å§ 3 ¤Ãaé§ ¤Ù³¢Öé¹ 3 ¤Ãaé§ P (x1,y1) S (x4,y4) Q (x2,y2) R (x3,y3) 2. ¶ÒäÁeÃÕ§¨u´µÒÁeʹÃoºÃÙ» ¤íÒµoº·Õè ä´¨a¼i´ ... 浶ÒeÃÕ§µÒÁe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò ¤íÒµoº·Õèä´¨ae»¹ µi´Åº¢o§¤Ò·Õè¶Ù¡µo§ 1 = (x1y2+ x2y3+ x3y4+ x4y5+ x5y1− x2y1− x3y2− x4y3− x5y4− x1y5) 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 85 แบบฝึกหัด 4.1 (1) กําหนดจุด P1 (1, 7) และ P2 (−5, 2) PP 1 2 ให้หาค่า (2) ถ้า P, Q เป็นจุดกึ่งกลางของ AB , CD ตามลําดับ เมื่อกําหนด C (−2, 5) , และ D (8, 1) ให้หาความยาวของ PQ A (2, 7) , B (6, −3) , y (3) กําหนดสี่เหลี่ยมด้านขนาน OBCD ดังภาพ, P เป็นจุดกึ่งกลาง ของ BC , และ PC = PQ จงหาขนาดพื้นที่สามเหลี่ยม PQC D (2,4) C P (4) กําหนดสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดมุมอยู่ที่ A (5, −3) , B (−6, 1) , C (1, 8) แล้วสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด (5) สามเหลี่ยม ABC มีจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามเป็น เส้นรอบรูปสามเหลี่ยม ABC นี้ O x B (2,0) P (−2, 1) , Q (5, 2) , R (2, −3) (6) กําหนดสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A (2, 8) , B (6, 12) , บนด้าน AB และ BC ตามลําดับ โดยมีอัตราส่วน AP : PB = หา PQ Q ให้หาความยาว C (−2, −4) ถ้าจุด P และ Q อยู่ 1 : 3 , BQ : BC = 3 : 4 ให้ (7) ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง เมื่อกําหนด ก. จุด A (10, 5) , B (3, 2) , C (6, −5) เป็นจุดมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข. จุด D (1, 2) , E (−3, 10) , F (4, −4) อยูบ่ นเส้นตรงเดียวกัน ค. จุด A (−2, 3) , B (−6, 1) , C (−10, −1) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (8) จงหาจุด P บนแกน x ซึ่งอยู่ห่างจากจุด P1 (1, −2) (9) ให้หาจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งผ่านจุด (1, 7) , (8, 6) , (7, −1) และ P2 (3, 5) เป็นระยะเท่ากัน (10) ให้หาผลบวกของความยาวเส้นมัธยฐาน ของสามเหลี่ยม ที่มีจุดยอดอยู่ที่ A (2, −1) , B (4, 3) , และ C (−2, 5) (11) ถ้า (m, n) เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ (4, 1) แล้วจงหาค่า m − n (12) สามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดเป็น B (6, 7) , C (−4, −3) ถ้าจุด มัธยฐานแล้ว เส้นมัธยฐานที่ลากจาก A มีความยาวเท่าใด (4, 5) , (−4, 7) , P (4/3, 1) และ เป็นจุดตัดของเส้น (13) P เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (13, 2) และ (−13, −2) , Q เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (6, 10) และ (0, 14) , R เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (8, 4) และ (16, −4) ให้หาพื้นที่และตําแหน่งจุดตัดของเส้นมัธย ฐาน ของรูปสามเหลี่ยม PQR (14) จงหาผลต่างของพื้นที่สามเหลี่ยม ABC และ PQR เมื่อกําหนดตําแหน่งจุดยอดให้ ดังนี้ A (1, 3) , B (−2, 0) , C (3, −5) , P (0, 0) , Q (8, 18) , และ R (12, 27) (15) กําหนดจุด P (3, −2) , Q (−2, 3) , R (0, 4) แล้วข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม PQR เป็น 9 5 หน่วย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 86 ข. พื้นที่รูปสามเหลี่ยม PQR เป็น 15 ตารางหน่วย (16) ให้หาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยมซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A (1, 4) , B (−3, −2) , C (−1, −3) , D (−4, 5) , และ E (−2, 7) 4.2 เบื้องต้น : เส้นตรง เราสามารถสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่กําหนดให้ เช่น จุด P กับ Q ใดๆ ได้เสมอ และ เขียนแทน “ส่วนของเส้นตรง” ที่เชื่อมระหว่างจุด P กับ Q ด้วยสัญลักษณ์ PQ นอกจากนั้นนิยมตั้ง ชื่อ “เส้นตรง” ด้วยอักษร L เช่น เส้นตรง L1 , เส้นตรง L2 [1] ความชัน (Slope; m) ของเส้นตรง ที่ทราบจุดผ่านสองจุด เส้นตรงสองเส้น ขนานกัน (Parallel; ) ก็ต่อเมื่อ มีความชันเท่ากัน และเส้นตรงสองเส้น ตั้งฉากกัน (Perpendicular; ⊥ ) ก็ต่อเมื่อ ความชันคูณกันเป็น -1 Q (x2,y2) y −y m = tan θ = 2 1 x2− x1 θ ถ้า m > 0 (เป็นค่าบวก) แสดงว่า กราฟเฉียงขึ้นทางขวา ถ้า m < 0 (ติดลบ) แสดงว่า กราฟเฉียงลงทางขวา ถ้า m = 0 แสดงว่า เป็นเส้นนอนขนานแกน x และถ้าเป็นเส้นตั้งขนานแกน y จะได้ว่า m หาค่าไม่ได้ P (x1,y1) [2] สมการของเส้นตรง [2.1] เมื่อทราบจุดผ่านจุดหนึ่ง (x1, y1) และค่าความชัน m เราใช้ความสัมพันธ์ของความชัน คือ m หรือจัดรูปได้ว่า P (x1,y1) y − y1 = m x − x1 y − y1 = m (x − x1) [2.2] เมื่อทราบจุดผ่านสองจุด (x1, y1) , (x2 , y2) ให้คํานวณค่าความชันจากสองจุดนี้ก่อน แล้วจึงทําตามข้อ (2.1) โดยเลือกใช้จุดใดก็ได้จุดเดียว Q (x2,y2) สมการที่ได้จะเป็น y − y1 = ⎛⎜ y2 − y1 ⎞⎟ (x − x1) ⎝ x2 − x1 ⎠ P (x1,y1) [2.3] เมื่อทราบ ระยะตัดแกน (Intercept) ทัง้ สองแกน สามารถใช้สมการเส้นตรงในรูป Intercept Form y ได้แก่ x + y = 1 a b O a x b เมื่อ a, b คือ ระยะตัดแกน x และ y ตามลําดับ หรือกล่าวว่าเส้นตรงตัดแกน x ที่จุด (a,0) และตัดแกน y ที่จุด (0,b) โดยที่ a, b อาจเป็นค่าติดลบก็ได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 87 ข้อควรทราบ 1. สมการเส้นตรงมีรูปทั่วไป (Common Form) เป็น A x + B y + C = 0 2. สมการเส้นตรงที่นิยมใช้ประโยชน์มีอยู่ 3 รูปแบบ ได้แก่ y = mx + c เมื่อ c คือระยะตัดแกน y Slope-Intercept Form y − y1 = m (x − x1) Slope-Point Form S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S x y Intercept-Intercept Form + = 1 a b 3. เมื่อนํารูปทั่วไป มาจัดข้างตัวแปรใหม่ จะได้ ทําให้ทราบว่า ค่าความชัน m = − A B A C y = − x − B B และระยะตัดแกนวาย c = − C B eÁ×èo¨aËÒ¤ÇÒÁªa¹o´Â –A/B ¹aé¹ ¤ÇèíÒÇÒ µi´ÅºË¹Ò x Êǹ´ÇÂ Ë¹Ò y e¾×èoäÁãË㪼i´µaÇ æÅaµo§ ¨a´ÊÁ¡ÒÃãËoÂÙã¹ÃÙ» Ax+By+C =0 ¡o¹eÊÁo ¹a¤Ãaº.. ตัวอยาง กําหนดพิกดั จุด P (1, 3) และ Q (5, 9) ก. ความชันของเสนตรงทีผ่ านจุด P และ Q เทากับเทาใด ตอบ m = 95 −− 31 = 3/2 ข. ใหหาสมการเสนตรง L ซึ่งตั้งฉากกับ PQ และผานจุดกึ่งกลางของ วิธีคิด เนื่องจาก L ตั้งฉากกับ PQ ดังนั้น m = − 23 (ความชันคูณกันตองได • PQ 1 1 จุดกึ่งกลางของ PQ L1 PQ −1 ) อยูทีพ่ ิกัด (1 +2 5 , 3 2+ 9) ... นั่นคือ (3, 6) สราง L ไดจากความชันและจุดที่ผา น คือ (y − 6) = − 23 (x − 3) ... จัดรูปใหมใหสวยงาม ไดเปน 3y − 18 = −2x + 6 ... และกลายเปน 2x + 3y − 24 = 0 1 ตัวอยาง เสนตรง L ตัดแกน y ที่ (0, 1/3) และมีระยะตัดแกน เสนตรง L ผานจุด (−1, 2) และตั้งฉากกับ L ก. เสนตรง L และเสนตรง L มีความชันเทาใด ตอบ เมื่อวาดกราฟคราวๆ จะไดวา m = 1/3 = 2/3 1/2 • 5 6 x ทางลบเทากับ 1/2 หนวย สวน 5 5 6 L5 เสนตรง L ตั้งฉากกับ L ดังนัน้ m = −3/2 หมายเหตุ : ระยะตัด “แกน x ทางลบ” เทากับ 1/2 หมายความวาตัดแกน x ที่จุด (−1/2, 0) ข. จุดที่เสนตรงทั้งสองตั้งฉากกัน อยูท ี่พกิ ัดใด วิธีคิด สรางสมการเสนตรง L และ L กอน ... x y เสนตรง L อาจสรางไดโดยระยะตัดแกนทั้งสอง −1/2 + = 1 จัดรูปเปน 2x − 3y = −1 1/3 6 5 L6 5 6 5 เสนตรง L สรางไดเปน (y − 2) = − 23 (x + 1) จัดรูปเปน 3x + 2y = 1 จุดที่เสนตรงทั้งสองตั้งฉากกัน ก็คือจุดตัดของสองเสนตรง หาไดจากการแกระบบสมการ ไดคําตอบเปน (1/13, 5/13) 6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 88 [3] ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น Ax+By+C1=0 d = d S ¢o¤ÇÃÃaÇa§! S ¨aµo§¨a´ÃÙ»ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§·a§é Êo§eʹãËoÂÙ ã¹ÃÙ» Ax+By+C=0 eÊÁo... æÅa¶Ò¤Ò A, B ¢o§Êo§ÊÁ¡ÒÃäÁeËÁ×o¹¡a¹ µo§ËÒ ¤Ò¤§·ÕèÁÒ¤Ù³ãËeËÁ×o¹¡a¹¡o¹¹a¤Ãaº C2− C1 A2+ B2 Ax+By+C2=0 [4] ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง P (x1,y1) d Ax+By+C=0 d = ตัวอยาง กําหนดเสนตรง L : 2x + 3y − 24 = 0 ก. ระยะทางจากจุด S (−2, 5) ไปยังเสนตรง • A x1 + B y1 + C A2+ B2 1 ตอบ 2(−2) + 3(5) − 24 dSL1 = 2 2 2 +3 13 = 13 = 13 L1 เทากับเทาใด หนวย ข. ใหหาสมการเสนตรงทีอ่ ยูหางจาก L เปนระยะ 2 13 หนวย วิธีคิด สมการเสนตรงทีไ่ ด จะตองขนานกับ L (มีความชันเทากัน) จึงจะทําใหระยะหางคงที่ได ดังนั้น ใหสมการที่ตองการ เปน 2x + 3y + C = 0 แลวหาคา C ที่ถูกตอง จากสมการระยะหาง 1 1 นั่นคือ − 24 − C 2 13 = 22 + 32 ... ยายขางและถอดคาสัมบูรณ ไดเปน ±26 = −24 − C จึงตอบวา 2x + 3y + 2 = 0 และ 2x + 3y − 50 = 0 ค. ใหหาจุดบนเสนตรง L : 2x + y − 6 = 0 ซึ่งอยูหา งจาก L เปนระยะ วิธีคิด สมมติวา จุดที่ตองการคือ (x , y ) จะไดสมการระยะหาง ดังนี้ จะไดคา C = 2, −50 2 1 1 2 13 = 2x1 + 3y1 − 24 22 + 32 2 13 หนวย 1 ซึ่งจะพบวา ติดสองตัวแปร ... แตในทีน่ ี้เราสามารถแกไดเพราะโจทยกําหนด มาดวยวาจุด (x , y ) อยูบนเสนตรง 2x + y − 6 = 0 ... ดังนัน้ 2x + y − 6 = 0 นําไปแทนทีใ่ นคาสัมบูรณแลวแกสมการตามปกติ ไดผลเปน x = −8, 5 ถา x = −8 ได y = 22 และถา x = 5 ได y = −4 ... จึงตอบวาจุดที่ตองการ คือ (−8, 22) และ (5, −4) หมายเหตุ ขอ ค. สามารถคิดไดอีกวิธี คือ หาจากจุดตัดระหวางเสนตรง L กับเสนตรงที่เปนคําตอบของ ขอ ข. เพราะเสนตรงในขอ ข. ก็คือเสนที่หางจาก L อยู 2 13 หนวยแลว 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ตัวอยาง กําหนดสมการเสนตรง L คือ 3x + y = 2 3 และ L คือ 3x + 3y = 18 ก. เสนตรงที่ขนานกับ L จะตองมีความชันเทาใด ตอบ คิดจาก −A/B จะงายที่สุด เพราะไมตองจัดรูป ... ไดคําตอบเปน − 3 /1 = − 3 ข. มุมระหวาง L กับแกน x ที่เปนมุมแหลม มีขนาดกี่องศา วิธีคิด หาความชันของ L กอน ไดเปน −3/ 3 = − 3 จากนั้นพิจารณาวาความชันคือ อัตราสวนแกนตัง้ ตอแกนนอน ( y : x ) ในที่นี้เทากับ 3 • 3 4 3 4 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 89 คิดจากตรีโกณมิติ จะพบวามุมทีท่ ํากับแกน x จะเทากับ 60° (หมายเหตุ : มุมที่ได จะเทากันไมวาความชันเปนบวกหรือลบ เพียงแตเอียงคนละทิศกัน) ค. วงกลมใดๆ ที่อยูระหวาง L กับ L จะมีรัศมีไดมากที่สุดหนวย วิธีคิด เนื่องจากเสนตรง L กับ L ขนานกัน (จากความชันที่คํานวณได ในขอ ก. และ ข.) ถาเราทราบระยะหางระหวางสองเสนนี้ ก็จะทราบวาวงกลมตรงกลางมีขนาดใหญทีส่ ดุ ไดเทาใด 3 3 4 4 C2− C1 d = ระยะหางระหวางเสนตรง คิดจาก A2+ B2 เหมือนกัน จึงตองปรับใหเทากัน เชน หารสมการ ดังนั้น dL3L4 = 6 3 −2 3 2 2 3 +1 = 4 3 = 2 3 2 ... แตในขอนีค้ า L4 ดวย 3 A, B ของเสนตรงทั้งสองไม กลายเปน 3x + y = 6 3 ... สรุปวาวงกลมที่จะอยูระหวาง L3 กับ L4 ได จะตองมีเสนผานศูนยกลางไมเกิน 2 3 หนวย หรือ รัศมีทีม่ ากทีส่ ุดเทากับ 3 หนวย ง. พืน้ ที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ปด ลอมดวย L , แกน x , และแกน y มีขนาดเทาใด วิธีคิด เสนตรงใดๆ ที่ความชันหาคาไดและไมเทากับ 0 และไมผานจุด (0, 0) ยอมทําใหเกิดรูป สามเหลี่ยมที่มีดา นประกอบมุมฉากเปน แกน x และแกน y ไดเสมอ ... ซึ่งขนาดของพื้นที่สามเหลีย่ มนี้ หาไดงายๆ ดวยระยะตัดแกน x และแกน y นัน่ เอง ในขอนี้ ระยะตัดแกน x (แทน y = 0 ) เปน 2 และระยะตัดแกน y (แทน x = 0 ) เปน 2 3 ... ดังนั้นขนาดพืน้ ที่สามเหลี่ยม เทากับ (1/2) × (2) × (2 3) = 2 3 ตารางหนวย 3 [5] ขนาดของมุมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นตัดกัน m1 m2 tan θ = θ m1 − m2 1 + m1m2 การหาเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุม θ นี้พอดี จะใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า “ระยะทางจากจุดบนเส้นตรงนี้ ไปยังเส้นตรงที่กําหนดให้ทั้งสองเส้น จะเท่ากันเสมอ” นั่นคือ A1x + B2 1y +2 C1 = A2x + B22y +2 C2 A1 + B1 A2+ B2 ซึ่งคําตอบที่ได้จะมีสองคําตอบ (เป็นเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุมแหลม และมุมป้าน) ที่ตั้งฉากกันดังภาพ Ans1 Ans2 [6] ภาพฉาย (Projection) บนเส้นตรง ภาพฉายของจุด P บนเส้นตรง L คือจุด Q P (x1,y1) Q L: Ax+By+C=0 ภาพฉายของ PP 1 2 บนเส้นตรง L คือ Q1Q2 P2 (x2,y2) L: Ax+By+C=0 P1 (x1,y1) Q Math E-Book Release 2.2 2 Q1 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 90 การคํานวณหาตําแหน่งภาพฉาย สามารถคํานวณได้หลายวิธี เช่น คํานวณจากความชัน เป็นวิธีที่สะดวกที่สุด (โดยสร้างสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับเส้นตรง L แล้วจึงแก้ระบบ สมการหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น) หรือคํานวณจากระยะทาง (โดยสร้างสมการเพื่อหาจุดที่ห่าง จากจุด P เป็นระยะเท่าที่กําหนด ซึ่งจะได้เป็นสมการวงกลม แล้วจึงแก้ระบบสมการหาจุดตัดของ วงกลมกับเส้นตรง) ภาพฉายของจุด P (x1, y1) ใดๆ บนเส้นตรงที่มีสมการ “ y = x ” (คือเส้นตรงเฉียงขึ้น ทางขวา ทํามุม 45° กับแกน x) ได้แก่ จุด Q (x1+ y1 , x1+ y1) 2 2 แบบฝึกหัด 4.2 (17) ถ้า A (1, 2) , B (2, k) , C (3, 4) อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ให้หาค่า k (18) จุด (1, y) P (−2, 6) อยู่บน PR ซึ่งมีพิกัด และ R (4, −2) ให้หาค่า y (19) AB ตัดแกน x และ y โดยมีระยะตัดแกน x ทางบวก 4 หน่วย และแกน y ทางบวก 3 หน่วย จุดตัดสองจุดนี้แบ่ง AB ออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กันพอดี จงหาพิกัดของ A กับ B (20) หากกําหนดพิกัด A (4, 5) , B (1, 2) , C (2, 8) , D (−2, 4) (21) จงหาจุด D ที่ทําให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เมื่อ (22) ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด เป็นเท่าใด (k, 7) , (−3, −2) (23) ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด A (1, 5) และ D (−1, −m) แล้ว จงหาค่า m B (3, 6) AB ขนานกับ CD หรือไม่ A (−4, 1) , B (−5, −4) , C (1, −2) ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด C (5, 6) (24) วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ เส้นตรง L แล้ว (3, 2) , (1, −4) ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด มีเส้นตรง L มาสัมผัสที่จุด แล้ว ค่า k C (m, 4) (−3, 1) และ ให้หาความชันของ (25) จงหาความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีพิกัด เป็น A (1, 7) , B (8, 6) , C (7, −1) (26) ให้หาคําตอบของข้อ (7) โดยใช้ความรู้เรื่อง ความชันของเส้นตรง (27) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3, 0) (28) เส้นตรง L ผ่านจุด (−2, −5) และ แกน x และแกน y มีพื้นที่เท่าใด (29) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด และ (0, 2) (1, 3) ถามว่ารูปสามเหลี่ยมที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงเส้นนี้ (6, 8) และจุดตัดแกน x ของ 3x + 4y = 12 (30) รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีจุดมุมอยู่ที่ A (1, 2) , B (−2, −1) , C (−3, −6) , ถ้า P เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม แล้ว P จะอยู่ห่างจากจุดกําเนิดกี่หน่วย (31) จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับ 2x + 3y + 10 = 0 และผ่านจุดที่ Math E-Book Release 2.2 กับ D (2, −5) x+y=1 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ตัดกับ 2x + y = 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 91 (32) เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันที่จุดตัดแกน x พอดี หากเส้นหนึ่งมีสมการเป็น แล้ว ให้หาว่าอีกเส้นหนึ่งตัดแกน y ที่จุดใด (33) หากเส้นตรง L ตั้งฉากกับ 2x + 3y + 5 = 0 และผ่านจุด ถามว่าเส้นตรง L ตัดแกน x ที่จุดใด 3x − 4y + 5 = 0 (1, 5) (34) ให้ M เป็นเส้นตรง 3x − 3y + 5 = 7 และ N เป็นเส้นตรง เส้นตรง L ที่ขนานกับ M และมีระยะตัดแกน y เท่ากับ N 2x − 5y + 7 = 4 จงหาสมการ (35) เส้นตรง L1 ผ่านจุด (2, 2) และ (−2, 0) , เส้นตรง L2 ตั้งฉากกับ L1 ที่จุด (−2, 0) และ เส้นตรง L3 มีส่วนตัดแกน x เป็น 4/3 แกน y เป็น –4 จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมที่ปิดล้อมด้วย เส้นตรงสามเส้นนี้ (36) กําหนด L1 มีสมการเป็น 2x − 3y + 6 = 0 , L2 ผ่านจุด (−2, 3) และขนานกับ L1 หาก L3 ผ่านจุด (2/3, −1) และตั้งฉากกับ L1 แล้ว ถามว่า L2 กับ L3 ตัดกันที่จุดใด ใน ควอดรันต์ใด (37) สมมติว่า A (3, k) อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 และเป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกําเนิด และ รัศมี 4 หน่วย ถ้าเส้นตรง L สัมผัสวงกลมนี้ที่จุด A แล้ว ให้หาระยะตัดแกน x ของเส้นตรง L (38) เส้นตรง L เป็นเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งมีศูนย์กลางที่ A (−1, 2) โดยสัมผัสกันที่จุด B (2, −1) และ ทําให้เกิดสามเหลี่ยม PQR ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงเส้นนี้, แกน x, และแกน y พิจารณาข้อความ ข้อ ใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม PQR คือ 6 + 3 2 หน่วย ข. พื้นที่สามเหลี่ยม PQR มีขนาด 4.5 ตารางหน่วย (39) หากสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดที่ A (−2, 5) , B (4, 8) , C (2, −3) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน จุดกึ่งกลางด้านทั้งสองซึ่งสั้นกว่าด้านที่สาม และหาระยะตัดแกน x และ y ของเส้นตรงนี้ (40) ถ้าระยะที่เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดแกน x เป็นสองเท่าของระยะตัดแกน y และเส้นตรงนี้ผ่านจุด (1, 3) แล้ว ให้หาเส้นตรงนี้ (41) เส้นตรงที่ผ่านจุด (−2, 4) และมีผลบวกของ X-intercept กับ Y-intercept เป็น 9 จะมีความ ชันเท่าใด และตัดแกน x ที่ใด (42) [Ent’24] เส้นตรง L มีความชันเป็น 0.5 และผ่านจุด C (−3, 0) ตัดแกน y ที่จดุ A หากลาก AB ตั้งฉากกับ L โดยจุด B นั้นทําให้มีเส้นตรงขนานแกน y ผ่านจุด B ตัดแกน x ที่จุด C ได้ ถามว่า BC มีค่าเท่าใด (43) สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีมุม B เป็นมุมฉาก มีจุด A อยู่ที่ และมีความชันของ AB เป็น 3/2 นั้น มีขนาดกี่ตารางหน่วย (44) เส้นตรง 2x − 3y = 6 และ (45) จงหาค่า C ที่ทําให้เส้นตรง 4x − 6y = 25 (−3, 5) , จุด C อยู่ที่ (4, −4) , อยู่ห่างกันกี่หน่วย Ax + 2y + C = 0 อยู่ห่างจาก Math E-Book Release 2.2 3x − 4y − 5 = 0 (คณิต มงคลพิทักษสุข) หนึ่งหน่วย คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 92 ขนานกับ L2 โดยอยู่ห่างกัน 4 หน่วย หากเส้นตรง L ซึ่งมีสมการเป็น 12x − 5y − 15 = 0 นั้นขนานกับ L1 และอยู่ห่างจาก L1 , L2 เป็นระยะเท่าๆ กัน จงหาผลบวกของ ส่วนตัดแกน x ของเส้นตรง L1 และ L2 (46) เส้นตรง L1 (47) กําหนดจุดยอดของสามเหลี่ยมเป็น A (−2, 1) , สามเหลี่ยม ที่ลากจากจุด A มายังด้าน BC B (5, 4) , C (2, −3) (48) เส้นตรง L มีสมการเป็น 5x − 12y + 3 = k และ L อยู่ห่างจากจุด หาผลบวกของค่า k ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (49) ให้หาว่าจุดใดบนเส้นตรง 2x − 4y = 15 อยู่ห่างจาก (50) จงหาขนาดมุมแหลมที่เกิดจากการตัดกันของ (51) กําหนดเส้นตรง L1 ผ่านจุด ( 3, 2) , ขนาดของมุมแหลมระหว่าง L1 กับ L 2 (0, 1) 3x + 4y = 10 5x − y = 0 และเส้นตรง และ L2 ให้หาส่วนสูงของรูป P (−3, 2) อยู่ 4 หน่วย ให้ เป็นระยะ 3 หน่วย 2x − 3y + 1 = 0 ผ่านจุด (2, 3) , (1, 4) (52) เส้นตรง L1 ผ่านจุด (2, 3) , (1, 0) และเส้นตรง L2 ผ่านจุดกําเนิด O และตัดกับ C ถ้ามุมระหว่าง L1 กับ L 2 เป็น 30° ให้หาความยาวของ CO (53) จงหาสมการเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุมที่เกิดจากการตัดกันของ 3x + 4y + 1 = 0 ให้หา L1 ที่จุด และ 4x − 3y − 6 = 0 (54) ถ้า A เป็นภาพฉายของจุด ให้หาสมการเส้นตรง AB (−2, 1) บนแกน x และ B เป็นภาพฉายของ (−5, 6) บนแกน y (55) กําหนด A (1, 0) , B (−5, 8) , P เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ Q เป็นภาพฉายของ B บน เส้นตรง x = 1 จงหาสมการเส้นตรง PQ และเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ PQ (56) จงหาโพรเจคชันของจุด (−2, 1) (57) จงหาโพรเจคชันของจุด (0, 7) บนเส้นตรง บนเส้นตรง x − y = 0 4x − 5y = 6 4.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ กราฟเส้นโค้ง ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา เรียกรวมกันว่า ภาคตัด กรวย (Conic Section) เนื่องจากเป็นกราฟที่ได้จากการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบในมุมต่างๆ ดัง ภาพ (ในหน้าต่อไป) ตัวอย่างการนําความรู้เรื่องภาคตัดกรวยไปใช้ในชีวิตจริง เช่น 1. การหาตําแหน่งศูนย์กลางของแผ่นดินไหว (วงกลม) 2. เลนส์ จานรับดาวเทียม โคมไฟหน้ารถยนต์ การเคลื่อนที่วิถีโค้ง (พาราโบลา) 3. ห้องกระซิบ สลายนิ่ว โครงสร้างอะตอม วงโคจรของดาวเคราะห์ ดาวหาง ดาวเทียม (วงรี) 4. การหาตําแหน่งของต้นกําเนิดเสียง โดยใช้ผลต่างเวลาระหว่าง 2 จุด (ไฮเพอร์โบลา) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET วงกลม (Circle) เรขาคณิตวิเคราะห 93 วงรี (Ellipse) พาราโบลา (Parabola) ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) พื้นฐานการเขียนกราฟ ก่อนจะศึกษาภาคตัดกรวยแต่ละรูป ควรทราบพื้นฐานการเขียนกราฟ ว่าลักษณะของกราฟ โดยทั่วๆ ไปนั้นจะเปลี่ยนแปลงอย่างไร หากมีค่าคงที่มาบวกลบคูณหารอยู่กับตัวแปร x หรือ y ซึ่ง พื้นฐานเหล่านี้เป็นสิ่งสําคัญ เพราะเป็นจริงเสมอไม่ว่าจะใช้กับกราฟใดๆ นอกเหนือจากในบทนี้ เช่น ค่าสัมบูรณ์, ตรีโกณมิติ, เอกซ์โพเนนเชียล ฯลฯ y y [1] เมื่อมีค่าคงที่มาบวกหรือลบ 2 จะเกิดการ เลื่อนแกนทางขนาน y=x y = (x-3)2 (Translate หรือ Shift) กล่าวคือ หากเปลี่ยนรูปสมการจาก f (x, y) = 0 x x ไปเป็น f (x −h, y-k) = 0 เมื่อ O (3,0) h, k เป็นค่าคงที่ กราฟรูปเดิมจะ ถูกเลื่อนไปทางขวา h หน่วย y y และเลื่อนขึ้นด้านบนอีก k หน่วย 2 y+1 = x y+1 = (x-3)2 (หรือกล่าวว่า จุดกําเนิดถูกเลื่อน ไปยังคู่อันดับ (h, k) และรูปกราฟ ทั้งหมดถูกเลื่อนตามไปด้วย) x x (0,-1) (3,-1) [2] เมื่อมีค่าคงที่ (ที่เป็นบวก) มาคูณหรือหาร จะเกิดการ ปรับขนาด (Scale) ทางแกนนั้น กล่าวคือ หากเปลี่ยนรูปสมการจาก y = f (x) ไปเป็น my = f (nx) เมื่อ m, n เป็นค่าคงที่ ที่มากกว่า 1 ... กราฟรูปเดิมจะถูกบีบลงทาง แนวนอน n เท่า และบีบลงทางแนวตั้ง m เท่า (ส่วนกรณีที่ m, n น้อยกว่า 1 จะมองว่า เป็นการหาร และกราฟจะถูกขยายออกแทน) ทั้งนี้ต้องใช้แกน h, k ที่ได้จากการเลื่อนแกน แล้ว เป็นแกนกลางสําหรับบีบหรือขยาย รูปกราฟ y y 3y = x2 y = x2 x x O ความสูงทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 3 y y y = (2x)2 x y/4 = x2 x ความกว้างทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 2 ความสูงทุกตําแหน่งเพิ่มเป็น 4 เท่า Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 94 ข้อสังเกต 1. กราฟในตัวอย่างหน้าที่แล้ว สองรูปล่างเป็นสมการเดียวกัน เพียงแต่มองคนละวิธี * 2. หากสมการมีทั้งการบวกลบและคูณหาร จะต้อง y 2y = (x-3)2-2 จัดรูปสมการให้บวกลบอยู่ในวงเล็บ (กระทํากับตัว จัดรูปเป็น 2(y+1)=(x-3)2 แปรโดยตรง) แล้วถัดมาจึงเป็นการคูณหาร ดังตัวอย่างด้านขวานี้ x เลื่อนแกนไปอยู่ที่ (3,-1) และ ความสูงทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 2 [3] เมื่อมีค่าคงที่ (ที่เป็นลบ) มาคูณหรือหาร นอกจากจะมีการขยายหรือบีบตามข้อ (2) แล้ว ยังเกิดการ พลิก (Flip) รูปกราฟ โดยใช้แกน h, k นี้เป็นแกนหมุนด้วย (หากตัวแปร x ถูกคูณด้วยลบ จะพลิกสลับซ้ายขวา, และหากตัวแปร y ถูกคูณ ด้วยลบ จะพลิกสลับบนล่าง) y y -(y+1) = (x-3)2 y = x2 x O x เลื่อนแกนไปอยู่ที่ (3,-1) และ พลิกรูปกราฟ สลับบนล่าง 4.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม นิยาม วงกลม คือ “เซตของคู่อันดับที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เป็นระยะเท่าๆ กัน” เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่า จุดศูนย์กลาง (Center; C) และเรียกระยะทางนั้นว่า รัศมี (Radius; r) สมการวงกลม สร้างจากสมการระยะทางระหว่างจุดสองจุด (ทฤษฎีบทปีทาโกรัส) หากมีจุด ศูนย์กลางอยู่ที่ C (0, 0) และรัศมียาว r หน่วย สมการจะเป็น x 2 + y 2 = r 2 แต่ถ้าเลื่อนแกน ให้จุด ศูนย์กลางไปอยูท่ ี่ C (h, k) สมการจะกลายเป็น (x −h)2 + (y −k)2 = r 2 วงกลม (x −h)2 + (y −k)2 = r 2 จุดศูนย์กลาง C (h, k) รัศมี r หน่วย r C (h,k) รูปทั่วไป x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 95 ตัวอยาง ใหสรางสมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ (1, −2) และผานจุด (2, 1) และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิ์ทกุ ตัวเปนจํานวนเต็ม • 2 2 2 2 2 2 วิธีคิด หารัศมีจากระยะทางระหวาง (1, −2) กับ (2, 1) ไดเทากับ 1 + 3 = 10 หนวย สมการวงกลมคือ (x −h) + (y −k) = r แทนคาจุดศูนยกลางและรัศมี ได (x −1) + (y +2) = 10 → x −2x + 1+ y + 4y + 4 = 10 → x + y −2x+ 4y −5 = 0 2 2 • 2 2 2 2 2 2 ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปวงกลมที่มีสมการเปน x2+ y2+2x − 4y − 10 = 0 2 2 วิธีคิด จัดกลุม x และ y แยกกันและยายตัวเลขไวทางขวา (x + 2x) + (y − 4y) = 10 ตอมา เติมตัวเลขลงในวงเล็บทั้งสอง เพื่อใหเปนกําลังสองที่สมบูรณ (อยาลืมเติมทางขวาดวย) ไดเปน (x + 2x + 1) + (y − 4y + 4) = 10 + 1+ 4 นัน่ คือ (x + 1) + (y − 2) = 15 ตอบ จุดศูนยกลางคือ (−1, 2) และรัศมียาว 15 หนวย 2 2 2 2 ข้อสังเกต 1. จากรูปทั่วไปของสมการวงกลม x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 เมื่อจัดรูปด้วยวิธีกําลังสองสมบูรณ์แล้ว จะทําให้ทราบว่า (h, k) = (−D/2, −E/2) 2.1 สมการวงกลมมีค่าคงที่ซึ่งบอกลักษณะกราฟ อยู่ 3 ตัว คือ D, E, F หรือ h, k, r ดังนั้นการสร้างสมการวงกลมจากจุดที่กราฟผ่าน ต้องกําหนดจุดมาให้ 3 จุด แล้วจึงแก้ระบบสมการ 3 สมการ ซึ่งกรณีนี้สมการ x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 จะคํานวณง่ายกว่า 2.2 แต่ถ้าบอก r มาให้ จะต้องการจุดเพิ่มอีกเพียง 2 จุด เพื่อหาค่า h, k หรือถ้าบอก h, k มาให้ ก็ ต้องการอีกเพียงจุดเดียวเพื่อหาค่า r โดยใช้สมการ (x −h)2 + (y −k)2 = r 2 เส้นสัมผัสวงกลม คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น (เรียกว่าจุด สัมผัส) และเส้นสัมผัสวงกลมทุกเส้นจะตั้งฉากกับรัศมี (ที่เชื่อมจุดศูนย์กลางกับจุดสัมผัส) ระยะทางจากจุด P (x1, y1) ใดๆ ภายนอกวงกลม มายังจุดสัมผัส Q หาได้ดังนี้ Q d P (x1,y1) C x21 + y21 + Dx1+ Ey1+ F d = d หรือ d = (x1−h)2+ (y1−k)2− r2 แบบฝึกหัด 4.4 (58) สมการต่อไปนี้ต้องการเลื่อนแกนเพื่อให้ได้รูปที่กําหนด ต้องเลือกจุดใดเป็นจุดกําเนิดจุดใหม่ (58.1) (x −4)(y + 3) = 1 → xy = 1 (58.2) y = x + 1 − 2 → y = x (58.3) x 2+ y 2+ 2x − 4y + 5 = 9 → x 2+ y 2= k Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 96 (59) จงหาสมการรูปทั่วไปของวงกลม ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ (59.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3, 4) และผ่านจุด (1, 1) (59.2) เส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง เชื่อมจุด (1, 1) กับ (2, 2) (59.3) สัมผัสเส้นตรง y = 2x ที่จุดกําเนิด และผ่านจุด (1, 1) (59.4) ผ่านจุด (−6, 3) , (2, 3) และ (−2, 7) (59.5) ผ่านจุด (1, −5) และผ่านจุดตัดของวงกลม x 2+ y 2− 2x + 2y − 8 = 0 กับ x 2+ y 2+ 3x − 3y − 8 = 0 (60) หาความยาวเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด (0, 1) ไปยังวงกลม 3x 2+ 3y 2+ 11x + 15y = −9 (61) ให้หาสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (61.1) สัมผัสวงกลม x 2+ y 2= 8 ที่จุด (2, 2) (61.2) สัมผัสวงกลม x 2+ y 2= 17 และมีความชันเป็น 4 [Hint: สร้างสมการเส้นตรงความชันเท่านี้ แต่ผ่านจุดศูนย์กลางก่อน] (61.3) สัมผัสวงกลม x 2+ y 2= 16 และผ่านจุด (−1, 8) [Hint: สร้างสมการเส้นตรงความชันใดๆ ที่ผ่านจุดนี้ แล้วจึงหาค่าความชัน] (62) ให้หาสมการวงกลม ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ [Hint: หาจุดศูนย์กลางวงกลมก่อน] (62.1) รัศมี 2 หน่วย และสัมผัสกับวงกลมสองวงนี้ คือ (x −2)2 + (y + 1)2 = 1 และ (x −6)2 + (y −2)2 = 4 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ในควอดรันต์ที่ 1 (62.2) รัศมี 1 หน่วย, สัมผัสกับเส้นตรง y = x + 2 , และสัมผัสกับวงกลม x 2+ y 2− 4x + 2y + 1 = 0 (62.3) แนบในสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นตรงสามเส้นนี้ตัดกัน 3x − 2y − 6 = 0 , และ 2x + 3y + 9 = 0 (63) จงหาค่า k ที่ทําให้ (64) [Ent’32] จงหาค่า x 2+ y 2− 6x + 8y + k = 0 k > 0 ที่น้อยที่สุดที่ทําให้ 2x − 3y + 21 = 0 , เป็นสมการวงกลม y = kx สัมผัสกับ x 2+ y 2− 14x + 49 = k 2 (65) ถ้า C เป็นจุดศูนย์กลางของกราฟ x 2+ 4x + 2 = − (y 2+ 8y + 9) แล้ว ให้หาสมการเส้นตรง OC และสมการวงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง (66) [Ent’38] เส้นตรงความชัน –4/3 ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม x 2+ y 2− 4x + 2y = 4 โดยตัด วงกลมที่จุด A กับ B หากกําหนดจุด D (−1, −2) แล้ว ให้หาพื้นที่สามเหลี่ยม ABD (67) ให้หาสมการกราฟซึ่งจุด P (x, y) ใดๆ บนกราฟเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกับกราฟ (x − 1)2= (1− y)(1+ y) และผ่านจุด A (−1, 0) ด้วย 4.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา นิยาม พาราโบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่มีระยะไปถึงจุดคงทีจ่ ุดหนึ่ง เท่ากับระยะไปถึง เส้นตรงเส้นหนึ่ง” เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่า จุดโฟกัส (Focus; F) เรียกเส้นตรงเส้นนั้นว่า ไดเรกตริกซ์ (Directrix; เส้นบังคับ) เรียกเส้นตรงที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ ว่า แกน (Axis) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 97 พาราโบลาที่มี จุดยอด (Vertex) อยู่ที่ V (0, 0) และระยะโฟกัสยาว c หน่วย จะมีสมการ เป็น x = 4 c y (อ้อมแกน y, กราฟหงายเมื่อค่า c เป็นบวก, กราฟคว่ําเมื่อค่า c ติดลบ) หรือ y 2 = 4 c x (อ้อมแกน x, กราฟเปิดขวาเมื่อ c เป็นบวก, กราฟเปิดซ้ายเมื่อ c ติดลบ) หากมีการเลื่อนแกน ให้จุดยอดไปอยู่ที่ V (h, k) สมการจะกลายเป็น (x −h)2 = 4 c (y −k) และ (y −k)2 = 4 c (x −h) ตามลําดับ 2 พาราโบลา (ตั้ง) (x −h)2 = 4 c (y −k) 2c จุดยอด V (h, k) ระยะโฟกัส c หน่วย เลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วย F (h,k+c) ⎧ ⎩ c⎨ c ⎧⎨ V (h,k) ⎩ รูปทั่วไป Directrix : y=k-c x 2+ Dx + Ey + F = 0 Axis : x=h พาราโบลา (ตะแคง) c Axis : y=k c (y −k)2 = 4 c (x −h) ⎫ ⎪ ⎬ 2c ⎪ ⎭ จุดยอด V (h, k) ระยะโฟกัส c หน่วย เลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วย F (h+c,k) V (h,k) รูปทั่วไป y 2+ Dx + Ey + F = 0 Directrix : x=h-c นิยาม เลตัสเรกตัม (Latus Rectum) คือเส้นแสดงความกว้างของรูปกราฟ ณ ตําแหน่งโฟกัส ข้อสังเกต 1. พาราโบลาอ้อมแกนใด อาจสังเกตได้จาก ตัวแปรนั้นจะยกกําลังหนึ่ง 2. สมการพาราโบลามีค่าคงที่ 3 ตัว (คือ D, E, F หรือ h, k, c) เช่นเดียวกับวงกลม ดังนั้นการ สร้างสมการจะใช้วิธีคล้ายกัน แต่พาราโบลาต้องทราบก่อนด้วยว่าเป็นพาราโบลาอ้อมแกนใด ตัวอยาง ใหสรางสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (1, −2) และผานจุด (2, 1) โดยมีแกนสมมาตร แนวตั้ง และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม • 2 2 2 วิธีคิด มีแกนสมมาตรแนวตั้ง แสดงวาสมการคือ (x −h) = 4 c (y −k) เราทราบจุดยอด (h, k) = (1, −2) แทนคาลงในสมการ เปน (x −1) = 4 c (y +2) หาคา c โดย แทนจุดที่พาราโบลาผานคือ (2, 1) ลงไปที่ x, y แลวสมการตองเปนจริง 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (2− 1)2 = 4 c (1+2) เรขาคณิตวิเคราะห 98 → 4 c = 1/3 2 ... ฉะนัน้ สมการพาราโบลาคือ (x −1) 2 = (1/3)(y +2) 2 และกระจายได 3 (x −2x + 1) = y +2 → 3x −6x − y + 1 = 0 หมายเหตุ ในตัวอยางแรกของเรื่องวงกลมก็สามารถคิดดวยวิธีในขอนี้ได คือใสจุดศูนยกลาง (h, k) ลงไป ในสมการวงกลมกอน จากนั้นแทนจุดที่ผานคือ (2, 1) เพื่อหาคา r ที่ยังไมทราบ • ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปพาราโบลาทีม่ ีสมการเปน x 2− 2x − 2y − 3 = 0 2 วิธีคิด สังเกตวาไมมีพจน y แสดงวาเปนพาราโบลาออมแกนตั้ง (หงายหรือคว่ํา) การจัดรูปสมการพาราโบลาแบบนี้ เราจัดกลุม x ไวทางซาย และยาย y กับตัวเลขไวทางขวา คือ (x − 2x) = 2y + 3 ... จากนัน้ เติมตัวเลข (x − 2x + 1) = 2y + 3 + 1 เพื่อเปนกําลังสองสมบูรณ ไดเปน (x − 1) = 2y + 4 → (x − 1) = 2 (y + 2) → (x − 1) = 4 (0.5)(y + 2) 2 2 2 2 2 ตอบ เปนสมการพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ (1, −2) จุดโฟกัสคือ (1, −2 + 0.5) = (1, −1.5) และสมการไดเรกตริกซคือ y = −2 − 0.5 = −2.5 (หรืออาจเขียนเปน 2y + 5 = 0 ก็ได) (ถายังไมแมนยํา ควรเขียนกราฟเพื่อชวยในการคิดเลขดวย) แบบฝึกหัด 4.5 (68) จงหาสมการรูปทั่วไปของพาราโบลา ทีม่ ีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ (68.1) จุดยอดอยู่ที่ (−2, 3) และจุดโฟกัสอยู่ที่ (5, 3) (68.2) จุดยอดอยู่ที่ O และจุดปลายเลตัสเรกตัมจุดหนึ่งอยู่ที่ (−3, 6) (68.3) จุดยอดอยู่ที่ O และผ่านจุด (−4, −6) โดยมีแกน x เป็นแกนสมมาตร (68.4) จุดยอดอยู่ที่ (2, −3) และผ่านจุด (8, −2.1) โดยแกนสมมาตรตั้งฉากแกน x (68.5) จุดยอดอยู่ที่ (5, −2) และผ่านจุด (3, 0) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน y (68.6) จุดโฟกัสอยู่ที่ (2, 2) และสมการไดเรกตริกซ์เป็น x + 2 = 0 (68.7) ผ่านจุด (1, 3) , (9, 1) , และ (51, −2) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน x (68.8) ผ่านจุด (−2, 3) , (3, 18) , และ (0, 3) (69) ให้หาระยะจากจุด P (4, −3) ซึ่งอยู่บนพาราโบลา 2x 2+ 3y = 0 ไปถึงจุดโฟกัส (70) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ของพาราโบลา (70.1) จุดโฟกัส ความกว้างที่จุดโฟกัส และสมการไดเรกตริกซ์ ของ x 2− 12y = 0 (70.2) ส่วนประกอบทั้งหมดของ y 2− 10y + 12x + 61 = 0 (70.3) จุดโฟกัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (4, 2) และมีไดเรกตริกซ์เป็น x − 1 = 0 (70.4) จุดตัดแกน x ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, −1/3) และจุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 7/6) (71) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด P (x, y) ซึ่ง (71.1) อยู่ห่างจากเส้นตรง y = −4 เท่ากับระยะห่างจากจุด (−2, 8) (71.2) อยู่ห่างจากเส้นตรง x = −4 มากกว่าระยะห่างจากจุด (3, 1) อยู่ 5 หน่วย (72) จุดบนโค้ง 4y = (x − 1)2 ซึ่งอยู่ห่างจากจุดโฟกัส 13 หน่วย จะห่างจากแกน x เท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 99 (73) ความยาวคอร์ดที่เกิดจากเส้นตรง (74) สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 6) 2x − y = 8 ตัดกับพาราโบลา และจุดโฟกัสของ (75) ให้หาสมการพาราโบลาที่มีเส้นตรง กราฟ x 2− 6x = 6 − 2y − y 2 y = 5 y 2= 8x y 2− 4x − 4y = 8 เป็นเท่าใด คือสมการใด เป็นไดเรกตริกซ์ และมีจุดโฟกัสอยู่ที่ศูนย์กลางของ (76) ให้หาสมการพาราโบลาที่ผ่านจุดตัดของเส้นตรง แกน x เป็นแกนสมมาตร x = y กับวงกลม x 2+ y 2+ 6x = 0 โดยมี (77) กําหนดให้ไดเรกตริกซ์และแกนของพาราโบลา y 2− 4y + 8x = 20 ตัดกันที่จุด P ถ้าวงกลมวงหนึ่งผ่านจุดกําเนิด, จุด P, และจุดโฟกัสของพาราโบลาแล้ว กําลังสองของรัศมีวงกลม เป็นเท่าใด (78) ให้หาระยะโฟกัสของเลนส์รูปพาราโบลา ซึ่งมีความสูง 6 หน่วย และฐานกว้าง 8 หน่วย 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี นิยาม วงรี คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลรวมของระยะทางไปถึงจุดคงที่สองจุด มีค่าเท่ากัน” เรียกจุดคงที่สองจุดนั้น ว่า จุดโฟกัส ( F1, F2 ) และนอกจากนี้ ระยะทางรวมซึ่งเป็นค่าคงที่นั้น จะมีค่า เท่ากับ ความยาวของแกนเอก (2a) พอดี วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ จะมีสมการเป็น 2 2 ⎛x⎞ + ⎛y⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ C (0, 0) และแกนเอกยาว 2a หน่วย แกนโทยาว 2b หน่วย 2 2 ⎛y⎞ + ⎛x⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ (รีตามแกน x) หรือ (รีตามแกน y) วงรี (นอน) (x −h)2 a V2 F2 c a 2 + (y −k)2 b2 = 1 B1 (h,k+b) ⎫ ⎬b ⎭ C F1 V1 (h,k) (h+c,k) (h+a,k) จุดศูนย์กลาง C (h, k) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว ระยะโฟกัส c = a − b B2 รูปทั่วไป Math E-Book Release 2.2 2 2 Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 2b คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 100 วงรี (ตั้ง) V1 (h,k+a) B2 (y −k)2 a F1 (h,k+c) b C (h,k) B (h+b,k) 1 ⎧ ⎪ ⎫ ⎪ c a ⎪⎨ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪⎩ F2 V2 2 + (x −h)2 b2 = 1 จุดศูนย์กลาง C (h, k) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว ระยะโฟกัส c = a2− b2 2b รูปทั่วไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 นิยาม แกนเอก (Major Axis) คือเส้นแสดงความยาวของวงรี ( V1V2 ) และ แกนโท (Minor Axis) คือเส้นแสดงความกว้างของวงรี ( B1B2 ) ข้อสังเกต 1. สมการวงรีเกิดจากการขยายขนาดทางแกน x, y ของวงกลมรัศมี 1 หน่วย 2. สําหรับวงรีนั้น a > b เสมอ ดังนั้นตัวเลขใดมีค่ามากกว่า ตัวนั้นก็จะเป็น a (เป็นแกนเอก) 3. สมการวงรีมีค่าคงที่ถึง 4 ตัว การสร้างสมการวงรีจากจุดที่กราฟผ่าน ต้องใช้ถึง 4 จุด (ไม่นิยม กระทํา เพราะต้องแก้ระบบสมการที่มีถึง 4 สมการ) ตัวอยาง ใหสรางสมการวงรีทีม่ ีจุดศูนยกลางอยูที่ (2, 1) มีจุดโฟกัสอยูท ี่ (2, 4) และจุดยอดอยูที่ (2, −4) และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิท ์ ุกตัวเปนจํานวนเต็ม • 2 2 วิธีคิด จุดศูนยกลาง จุดโฟกัส และจุดยอด เรียงกันโดยคา 2 (y −k) แสดงวาเปนวงรีตามแกนตั้ง ... สมการคือ a = (−4) − (1) = 5 เนื่องจากคา a และคา 2 + x เทากันและ 2 (x −h) y ตางกัน = 1 b2 c = (4) − (1) = 3 ดังนัน้ 2 b = 52−32 = 4 2 แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเปน (y −1) + (x −2) = 1 5 4 กระจายสมการ 16(y −1) + 25(x −2) = 400 → 16(y −2y +1) + 25(x −4x + 4) = 400 2 2 2 2 2 2 → 25x2+ 16y2− 100x − 32y −284 = 0 • ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปวงรีซึ่งมีสมการเปน 2 7x2+ 16y2+28x −96y +60 = 0 2 วิธีคิด ในขอนีส้ มั ประสิทธิ์หนา x กับ y ไมเปน 1 จึงตองแยกออกมาหนาวงเล็บดวย ดังนี้ (7x + 28x) + (16y − 96y) = −60 → 7 (x + 4x) + 16(y − 6y) = −60 ... จากนั้นเติมตัวเลขลงในวงเล็บทั้งสองและเติมทางขวาดวยเชนเดิม แตใหระวังเนื่องจากมีตัวคูณอยูหนาวงเล็บทางซาย ทําใหตัวเลขที่เติมทางขวาเปลี่ยนไป ไดเปน 7 (x + 4x + 4) + 16(y − 6y + 9) = −60 + 28 + 144 ... ( 28 = 7 × 4 , 144 = 16 × 9 ) 2 2 2 2 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET นั่นคือ เรขาคณิตวิเคราะห 101 7 (x + 2)2+ 16(y − 3)2 = 112 นําตัวเลขที่เหลือทางขวา คือ 112 หารตลอดสมการ จะได (x + 2)2 (y − 3)2 + = 1 16 7 ตอบ เปนวงรีตามแกนนอน จุดศูนยกลางคือ (−2, 3) เนื่องจากคา a = 4, b = 7 จะได c = 16 − 7 = 3 ดังนัน้ จุดยอดคือ (−2 ± 4, 3) จุดโฟกัสคือ (−2 ± 3, 3) และจุดปลายแกนโทคือ (−2, 3 ± 7) แบบฝึกหัด 4.6 (79) จงหาสมการรูปทั่วไปของวงรี ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ (79.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3, −1) แกนเอกขนานกับแกน y และยาว 8 หน่วย ส่วนแกนโทยาว 6 หน่วย (79.2) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกําเนิด มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 8) และมีโฟกัสอยู่ที่ (0, −5) (79.3) จุดยอดอยู่ที่ (−4, 2) และ (2, 2) โดยแกนโทยาว 4 หน่วย (79.4) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (−2, 1) มีจุดโฟกัสที่ (−2, 4) และผ่านจุด (−6, 1) (79.5) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2, 1) มีจุดยอดที่ (2, −4) และค่า c : a = 2 : 5 (80) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ทั้งหมดของวงรี (80.1) 4x 2+ 9y 2= 36 (80.2) 9x 2+ 5y 2− 54x − 50y + 26 = 0 (80.3) 5x 2+ 9y 2− 10x = 40 (81) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด P (x, y) ซึ่ง (81.1) ระยะห่างจากจุด (4, 0) และจุด (−4, 0) รวมกันเป็น 12 หน่วย (81.2) ระยะห่างจากจุด (2, 7) และจุด (2, 1) รวมกันเป็น 10 หน่วย (82) ฐานของสามเหลี่ยมยาว 6 หน่วย และผลบวกของอีกสองด้านเป็น 10 หน่วย (82.1) ถ้าฐานตรึงอยู่กับที่ กราฟที่ประกอบด้วยจุดยอดของสามเหลี่ยมจะเป็นรูปใด (82.2) ให้หาสมการกราฟดังกล่าว ถ้าฐานตั้งอยู่บนแกน x โดยมีจุดกําเนิดอยู่ตรงกลาง (83) [Ent’39] ให้หาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงรี และตั้งฉากกับ 3x + 4y = 5 (84) [Ent’37] ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานที่ทํามุม ของวงรี x 2+ 3y 2− 4x − 2 = 0 มีค่าเท่าใด 45° 4x 2+ 9y 2− 48x + 72y + 144 = 0 กับแกน x และผ่านจุดโฟกัสทั้งสอง (85) [Ent’38] ให้จุด F1 และ F2 เป็นจุดโฟกัสของวงรี kx 2+ 4y 2− 4y = 8 และวงรีนี้ตัดแกน y ที่ จุด B ซึ่งอยู่เหนือแกน x ถ้าสามเหลี่ยม FF1 2B มีพื้นที่ 3 7 /4 ตารางหน่วย แล้วค่า k เป็นเท่าใด (86) นายแดงปีนขึ้นไปบนสะพานโค้งที่มีลักษณะเป็นครึ่งวงรี ปลายทั้งสองห่างกัน 4 เมตร และมี ระยะสูงสุด 1 เมตร ถ้าเขาอยู่บนสะพานในตําแหน่งที่ห่างจากปลายข้างหนึ่ง เป็นระยะตามแนวราบ 80 ซม. เขาจะอยู่สูงจากพื้นกี่เซนติเมตร Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 102 4.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา นิยาม ไฮเพอร์โบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลต่างของระยะทางไปถึงจุดคงที่สองจุด มีค่า เท่ากัน” เรียกจุดคงที่สองจุดนั้น ว่า จุดโฟกัส ( F1, F2 ) และนอกจากนี้ ผลต่างระยะทางซึ่งเป็นค่าคงที่ นั้น จะมีค่าเท่ากับ ความยาวของแกนตามขวาง (2a) พอดี ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่ จะมีสมการเป็น 2 2 ⎛x⎞ ⎛y⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ =1 ⎝a⎠ ⎝b⎠ C (0, 0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสังยุคยาว 2b (แบบอ้อมแกน x) หรือ 2 2 ⎛y⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ =1 ⎝a⎠ ⎝b⎠ (อ้อมแกน y) ไฮเพอร์โบลา (ตะแคง) (x −h)2 B1 (h,k+b) ⎫ ⎬b ⎭ C V1 (h,k)(h+a,k) c F2 V2 a a F1 (h+c,k) − 2 (y −k)2 b2 = 1 จุดศูนย์กลาง C (h, k) แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค ระยะโฟกัส c = a2+ b2 2b รูปทั่วไป B2 Asymptote a(y-k)=b(x-h) Asymptote Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 ไฮเพอร์โบลา (ตั้ง) Asymptote b(y-k)=a(x-h) F1 (h,k+c) V1 (h,k+a) B2 Asymptote B1B2 b C (h,k) B1 (h+b,k) ⎧ ⎫ a c ⎪⎨ ⎬⎭ ⎪ V ⎩ 2 F2 (y −k)2 a2 − (x −h)2 b2 = 1 จุดศูนย์กลาง C (h, k) แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค ระยะโฟกัส c = a2+ b2 2b รูปทั่วไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 นิยาม แกนตามขวาง (Transversal Axis) V1V2 และ แกนสังยุค (Conjugate Axis) ใช้ในการสร้าง เส้นกํากับ (Asymptote) สองเส้น เพื่อบังคับความกว้างของไฮเพอร์โบลา ข้อสังเกต 1. การวาดกราฟไฮเพอร์โบลา เปรียบเสมือนว่ามีวงรีอยู่ในกรอบตรงกลาง โดยใช้จุดศูนย์กลางร่วมกัน และแกนตามขวางกับแกนสังยุคจะทับแกนเอกและโทของวงรีพอดี แต่สําหรับไฮเพอร์โบลา a ไม่จําเป็นต้องมากกว่า b (แกนใดเครื่องหมายบวก จะอ้อมแกนนั้น) 2. ถ้า a = b (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) รูปวงรีตรงกลางจะกลายเป็นวงกลม สามารถเรียกไฮเพอร์โบลานั้น ว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 103 ตัวอยาง ใหสรางสมการไฮเพอรโบลาที่มีจุดศูนยกลางที่ (2, 1) มีจุดโฟกัสที่ (2, −4) และจุดยอดที่ (2, 4) และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิท ์ ุกตัวเปนจํานวนเต็ม • 2 2 x วิธีคิด จุดศูนยกลาง จุดโฟกัส และจุดยอด เรียงกันโดยคา 2 แสดงวาเปนไฮเพอรโบลาออมแกนตั้ง ... สมการคือ เนื่องจากคา a = (4) − (1) = 3 และคา (y −k) − a2 y เทากันและ 2 (x −h) b2 c = (−4) − (1) = 5 ดังนัน้ 2 ตางกัน = 1 b = 52− 32 = 4 2 แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเปน (y −1) − (x −2) = 1 3 4 กระจายสมการ 16 (y −1) − 9(x −2) = 144 → 16y −9x −32y + 36x −164 = 0 หมายเหตุ อาจตอบใหอยูในรูป สัมประสิทธิ์ของ x เปนบวก ก็ได โดยนํา −1 คูณทั้งสมการ กลายเปน 9x −16y −36x +32y + 164 = 0 2 2 2 2 2 • 2 2 2 ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปไฮเพอรโบลาทีม่ ีสมการเปน 2 x2−5y2+ 10y −25 = 0 2 วิธีคิด จัดกําลังสองสมบูรณเหมือนเดิม x − 5(y − 2y) = 25 ... สังเกตไดวา ไมมีพจน x กําลังหนึ่ง แสดงวาที่แกน x ไมมีการเลือ่ นแกน และไมตองจัดรูป เติมตัวเลขทั้งสองขาง เปน x − 5(y − 2y + 1) = 25 - 5 ... นั่นคือ x − 5(y − 1) = 20 (การจัดรูปกําลังสองสมบูรณในขอนี้ หลายจุดตองระวังพลาดเรื่องเครื่องหมายลบ) 2 นําตัวเลขที่เหลือทางขวา คือ 20 2 2 หารตลอดสมการ จะได 2 (y − 1)2 x2 − = 1 20 4 ตอบ เปนสมการไฮเพอรโบลา (ออมแกนนอน) จุดศูนยกลางคือ (0, 1) เนื่องจากคา a = 20, b = 2 จะได c = 20 − 4 = 4 ดังนัน้ จุดยอดคือ (± 20, 1) จุดโฟกัสคือ (± 4, 1) และจุดปลายแกนสังยุคคือ (0, 1 ± 2) นิยาม สําหรับวงรีและไฮเพอร์โบลา ความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity; e) คือค่าที่บอก ว่าจุดโฟกัสและจุดยอด อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นอัตราส่วนเท่าใด นั่นคือ e = c / a จะพบว่าค่า e ของวงรี อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 เสมอ (ถ้า e ยิ่งมากขึ้น วงรีจะยิ่งแคบลง) และค่า e ของไฮเพอร์โบลา มากกว่า 1 เสมอ (ถ้า e ยิ่งมากขึน้ กราฟจะยิ่งกว้างขึ้น) เพิ่มเติม 1. รูปวงรี และไฮเพอร์โบลา ก็มีเลตัสเรกตัมและ เส้นไดเรกตริกซ์ด้วย (คิดไม่เหมือนกับพาราโบลา) แต่ไม่ได้กล่าวถึงในหลักสูตร ม.ปลาย 2. ภาคตัดกรวยในรูปเต็มคือ S e·¤¹i¤¡ÒèíÒ! S ǧÃÕ a ÂÒÇ·ÕèÊu´ 2 2 2 ´a§¹aé¹ a =c +b äÎe¾oÃoºÅÒ c ÂÒÇ·ÕèÊu´ 2 2 2 ´a§¹aé¹ c =a +b Ax 2+ By 2+ Cxy + Dx + Ey + F = 0 โดยที่ C ≠ 0 ลักษณะกราฟจะเป็นเหมือนรูปใดรูปหนึ่งใน 4 รูปที่ ได้ศึกษาแล้ว แต่แกนจะถูกหมุนไปจากเดิม เช่นอาจ เป็นรูปวงรีเฉียงๆ ... จะได้ศึกษาการจัดสมการและ เขียนกราฟเหล่านี้ในระดับมหาวิทยาลัย a c Math E-Book Release 2.2 b (คณิต มงคลพิทักษสุข) c a b คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 104 นอกจากนี้ไฮเพอร์โบลามุมฉากอีกรูปแบบหนึ่ง ได้แก่สมการในรูป xy = k เมื่อ k เป็น ค่าคงที่ ไฮเพอร์โบลานี้มีแกนนอนและแกนตั้งเป็นเส้นกํากับ และมีส่วนประกอบต่างๆ ดังภาพ ไฮเพอร์โบลามุมฉาก xy = k จุดศูนย์กลาง F1 V2 k > 0 V1 C (0,0) จุดยอด C (0, 0) V1 ( k, k) V2 (− k, − k) F1 ( 2k, 2k) จุดโฟกัส F2 (− 2k, − 2k) F2 ไฮเพอร์โบลามุมฉาก F1 xy = −k k > 0 จุดศูนย์กลาง C (0, 0) จุดยอด V1 V1 (− k, k) V2 ( k, − k) C (0,0) V2 F2 จุดโฟกัส F1 (− 2k, 2k) F2 ( 2k, − 2k) แบบฝึกหัด 4.7 (87) จงหาสมการรูปทั่วไปของไฮเพอร์โบลา ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ (87.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (−3, 1) มีจุดยอดที่ (2, 1) และแกนสังยุคยาว 6 หน่วย (87.2) จุดโฟกัสอยู่ที่ (−1, −6) และ (−1, 4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หน่วย (87.3) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 4) และ (0, −4) และมีจุดปลายแกนสังยุคเป็น (3, 0) (88) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ทั้งหมดของไฮเพอร์โบลา (88.1) 9x 2− 4y 2= 36 (88.2) 9x 2− 16y 2− 18x − 64y − 199 = 0 (88.3) 6x 2− y 2− 36x − 2y + 59 = 0 (88.4) 6x 2− 10y 2− 12x − 40y − 94 = 0 (89) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด (3, 0) กับ (−3, 0) เป็น 4 หน่วย P (x, y) ซึ่งผลต่างของระยะทางจาก Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) P (x, y) ไปยังจุด คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 105 (90) [Ent’32] ให้หาสมการกราฟที่ทําให้ผลคูณระยะทางจาก 4x − 3y = − 11 และ 4x + 3y = −5 เป็น 144/25 P (x, y) ใดๆ ในกราฟ ไปยังเส้นตรง (91) ให้หาส่วนประกอบของกราฟรูปต่อไปนี้ (91.1) จุดยอด และจุดโฟกัสของ xy = −4 (91.2) จุดศูนย์กลางของ xy + 2x − y = 3 (92) [Ent’32,36] ถ้าภาคตัดกรวยรูปหนึ่งมีสมการเป็น 9x 2− 18x = 16y 2+ 64y + 199 แล้ว ผลรวม ของระยะทางจากจุดโฟกัสทั้งสองไปถึงเส้นตรง 3x + 4y = 8 เป็นเท่าใด (93) [Ent’34] ถ้า F1 เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 6x 2− 10y 2− 12x − 40y − 94 = 0 และอยู่ใน ควอดรันต์ที่ 4 แล้ว ให้หาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ F1 และมีไดเรกตริกซ์เป็นแกนสังยุคของ ไฮเพอร์โบลา (94) [Ent’39] กําหนดไฮเพอร์โบลา 9(x −1)2− 4 (y −2)2= 36 ให้หาสมการวงรีซึ่ง ผลบวกของ ระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรี ไปยังจุดที่ไฮเพอร์โบลาตัดแกน x ทั้งสองจุด เป็น 8 หน่วย (95) [Ent’37] กําหนด E แทนวงรี 6x 2+ 5y 2+ 12x − 20y − 4 = 0 จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุด ศูนย์กลางร่วมกับ E, มีจุดยอดอยู่ที่เดียวกับจุดโฟกัสของ E, และมีความยาวแกนสังยุคเท่ากับความ ยาวแกนโทของ E พอดี (96) ให้สังเกตว่ากราฟของสมการแต่ละข้อเป็นภาคตัดกรวยรูปใด โดยไม่ต้องคํานวณ (96.1) x 2+ y 2− 6x − 8y + 12 = 0 (96.6) 3x 2+ 3y 2− 9x − 6y + 20 = 0 (96.7) 3x 2− 3y 2− 9x − 6y + 20 = 0 (96.2) x 2+ 2y 2− 2x + 4y − 13 = 0 (96.8) 3x 2− 2 = − y 2+ 4y (96.3) x 2+ 2x − y + 3 = 0 (96.9) 3x 2− 2 = y 2+ 4y (96.4) x 2− y 2− 2x − 2 = 0 (96.10) 3x 2− 2 = 4y (96.5) x 2− y 2= 4 เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1) 61 (2) 2 (3) 5 (4) หน้าจั่ว (5) 2 × (9 2 + 34) (6) 3 10 (7) ถูกทุกข้อ (8) (29/4 , 0) (9) (4, 3) (10) 41 + 26 + 17 (11) –3 (12) 10 (13) 72, (5, 4) (14) 15 (15) ผิดทั้งสองข้อ (16) 31 (17) 3 (18) 2 (19) (−4, 6),(8, −3) (20) ขนาน (21) (2, 3) (22) –30 (23) –2 (24) –8/5 (25) 10 (26) ... (27) 2x + 3y = 6 (28) 1/48 (29) y = 4 x − 16 (30) 5 (31) 2x + 3y + 1 = 0 (32) (0, −20/9) (33) (−7/3, 0) (34) y = x + 3/5 (35) 10 (36) (−2, 3) , Q2 (37) 16/3 (38) ถูกทั้งสองข้อ (39) y = (11/2) x + 1 , a = −2/11 , b = 1 (40) x + 2y − 7 = 0 (41) −1/2, (6, 0) หรือ 4, (−3, 0) (42) 7.5 (43) 19.5 (44) 13/2 (45) 0, 5 Math E-Book Release 2.2 (46) (47) (48) (49) (50) (52) (53) −11/12 + 41/12 = 2.5 40/ 58 −88 + 16 = −72 (2, −11/4) , (8, 1/4) 45° (51) 3 75° x − 7y − 7 = 0 หรือ 7x + y − 5 = 0 (54) (55) y = 3x + 6 4x − 3y + 20 = 0 , 3x + 4y + C = 0 (56) (−1/2, −1/2) (57) (4, 2) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 106 (58.1) (4, −3) (58.2) (−1, −2) (58.3) (−1, 2) (59.1) x 2+ y 2− 6x − 8y + 12 = 0 (59.2) x 2+ y 2− 3x − 3y + 4 = 0 (59.3) x 2+ y 2− 4x + 2y = 0 (59.4) x 2+ y 2+ 4x − 6y − 3 = 0 (59.5) x 2+ y 2− 3x + 3y − 8 = 0 (60) 3 (61.1) x + y = 4 (61.2) 4x − y = ± 17 (61.3) 4x + 3y = 20 , 12x − 5y = −52 (62.1) (x −2)2+ (y −2)2= 4 (62.2) (x −2)2+ (y −2)2= 1 , (x + 1)2+ (y + 1)2= 1 (62.3) (x + 1)2+ (y −2)2= 13 (63) k < 25 (64) 4 3 (65) y = 2x , (x + 1)2+ (y +2)2= 5 (66) 9 (67) 12x 2− 4y 2= 3 (68.1) y 2− 28x − 6y − 47 = 0 (68.2) y 2+ 12x = 0 (68.3) y 2+ 9x = 0 (68.4) x 2− 4x − 40y − 116 = 0 (68.5) x 2− 10x − 2y + 21 = 0 (68.6) y 2− 8x − 4y + 4 = 0 (68.7) 2y 2− x − 12y + 19 = 0 (68.8) x 2+ 2x − y + 3 = 0 (69) 1465/8 (70.1) (0, 3) , y + 3 = 0 , 12 (70.2) V (−3, 5) , F (−6, 5) , เลตัสเรกตัมยาว 12, ไดเรกตริกซ์คือแกน y (70.3) (7, 2) (70.4) (± 2, 0) (71.1) x 2+ 4x − 24y − 44 = 0 (71.2) y 2− 4x − 2y + 9 = 0 (72) 12 (73) 6 5 (74) 4x − 3y + 14 = 0 (75) x 2− 6x + 12y − 15 = 0 (76) y 2+ 3x = 0 (77) 145/16 (78) 2/3 หน่วย (79.1) 16x 2+ 9y 2− 96x + 18y + 9 = 0 (79.2) 64x 2+ 39y 2= 2496 (79.3) 4x 2+ 9y 2− 16x + 18y − 11 = 0 (79.4) (79.5) (80.1) 25x 2+ 16y 2+ 100x − 32y − 284 = 0 25x 2+ 21y 2− 100x − 42y − 404 = 0 C (0, 0) , V (±3, 0) , F (± 5, 0) , B (0, ±2) (80.2) C (3, 5) , V (3, 5±6) , F (3, 5± 4) , B (3± 20, 5) (80.3) C (1, 0) , V (1± 3, 0) , F (1±2, 0) , B (1, ± 5) (81.1) 5x 2+ 9y 2= 180 (81.2) 25x 2+ 16y 2− 100x − 128y − 44 = 0 (82.1) วงรี (82.2) 16x 2+ 25y 2= 400 (83) 4x − 3y = 36 (84) 2 2 (85) 9/4 (86) 80 (87.1) 9x 2− 25y 2+ 54x + 50y − 169 = 0 (87.2) 9x 2− 16y 2+ 18x − 32y + 137 = 0 (87.3) 7x 2− 9y 2+ 63 = 0 (88.1) C (0, 0) , V (±2, 0) , F (± 13, 0) , B (0, ±3) (88.2) C (1, −2) , V (1± 4, −2) , F (1±5, −2) , B (1, −2± 3) (88.3) C (3, −1) , V (3, −1± 6) , F (3, −1± 7) , B (3 ± 1, −1) (88.4) C (1, −2) , V (1± 10, −2) , F (1± 4, −2) , B (1, −2± 6) (89) 5x 2− 4y 2= 20 (90) 16x 2− 9y 2+ 64x + 18y + 55 = ± 144 (91.1) V (±2, ∓2) , F (±2 2, ∓2 2) (91.2) (1, −2) (92) 6 (93) y 2− 16x + 4y + 84 = 0 (94) 23x 2+ 36y 2− 46x = 345 (95) x 2− 5y 2+ 2x + 20y − 14 = 0 (96.1) วงกลม (96.2) วงรี (96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอร์โบลา (96.5) ไฮเพอร์โบลา (96.6) วงกลม (96.7) ไฮเพอร์โบลา (96.8) วงรี (96.9) ไฮเพอร์โบลา (96.10) พาราโบลา Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 107 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1) 2 2 2 2 |PP 1 2 | = (1 + 5) + (7 − 2) = 6 + 5 = 61 ข. (2) 2+6 7 −3 P( , ) = (4, 2) 2 2 |EF| = 72 + 142 = 245 = 7 5 = (3, 3) (3) ∴|PQ| = |PC| = 20 = 2 5 −2 + 8 5 + 1 , ) 2 2 12 + 12 = 2 20 ดังนัน้ 22 + 42 = |OD| = Q( หน่วย ∴|PQ| = 5 ด้วย 2 112 + 42 = |AB| = |DF| = 32 + 62 = 45 = 3 5 137 , |BC| = 72 + 72 = 98 ,|AC| = 42 + 112 = 137 |DE| + |DF| = |EF| แสดงว่า D, E, F อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ... ถูกต้อง (จุด E กับ F เป็นจุดปลาย) ค. |AB| = 42 + 22 = 20 = 2 5 พบว่า และเนือ่ งจาก DC อยู่ที่ความสูง y = 4 ดังนัน้ PQ อยูท่ ี่ y = 2 ความสูงของ Δ จาก C มายัง PQ คือ 2 หน่วย จะได้ พื้นที่ Δ = 1 × 2 × 5 = 5 ตร.หน่วย (4) |DE| = 42 + 82 = 80 = 4 5 |BC| = 42 + 22 = 2 5,| AC| = 82 + 42 = 4 5 |AB| + |BC| = |AC| แสดงว่า A, B, C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ... ถูกต้อง (8) สมมติจดุ P มีพิกัด (x, 0) ก็จะได้วา่ (x − 1)2 + 22 = (x − 3)2 + 52 กระจายได้ พบว่า x2 − 2x + 1 + 4 = x2 − 6x + 9 + 25 นั่นคือ 4x = 29 → x = 29 ∴ P(29 , 0) 4 4 → |AB| = |AC| แสดงว่าเป็น Δ หน้าจั่ว (5) เส้นรอบรูป Δ ABC จะยาวเป็น 2 เท่าของเส้น (9) สมมติจดุ ศูนย์กลางมีพิกดั (x, y) A รอบรูป Δ PQR เสมอ ดังนัน้ (x − 1)2 + (y − 7)2 = (x − 8)2 + (y − 6)2 เพราะ |AB| = 2|PQ|, R Q = (x − 7)2 + (y + 1)2 (เท่ากันทั้งสามก้อน) |BC| = 2|QR| และ |AC| = 2|PR| B นํามาเขียนสมการเป็น 2 คู่ เพื่อหา x, y เช่น C หาค่า 72 + 12 = |PQ| = |QR| = 32 + 52 = 34 2 คือ 50 = 5 2 , 2 และ ดังนัน้ เส้นรอบรูป Δ ABC = 2 × (9 2 + (6) P(3(2) + 1(6) , 3(8) + 1(12)) = (3, 9) 34) 4 4 1(6) + 3(−2) 1(12) + 3(−4) Q( , ) = (0, 0) 4 4 (7) ก. |BC | = 32 + 92 = |AB| = 2 2 3 +7 = 2 90 = 3 10 72 + 32 = 58 58 , | AC | = 2 2 |AB| + |BC| = |AC| 2 2 4 + 10 = แสดงว่า Δ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ... ถูกต้อง (มุม B เป็นมุมฉาก) พบว่า 2 2 7x − y = 25 ..... (1) 2 2 และอีกสมการ 2 x −2x + 1+ y − 14y + 49 = x − 14x + 49 + y + 2y + 1 |PR| = 42 + 42 = 32 = 4 2 ∴| PQ | = 2 x −2x + 1+ y − 14y + 49 = x − 16x +64 + y − 12y + 36 P 116 คือ 3x − 4y = 0 ..... (2) จะได้ x = 4, y = 3 ดังนัน้ ตอบ (4, 3) (10) A ไปยังจุดกึ่งกลางของ BC (คือ (4 − 2 , 3 + 5) = (1, 4)) → 12 + 52 = 2 2 B ไปยังจุดกึง่ กลางของ AC (คือ (0, 2)) → 42 + 12 = 17 C ไปยังจุดกึ่งกลางของ AB (คือ (3, 1)) → 52 + 42 = 41 รวม 26 + 17 + 41 (11) จุดตัดของเส้นมัธยฐาน 4−4+4 5+7+1 4 13 (m, n) = ( , )=( , ) 3 3 3 3 9 จะได้ m − n = − = −3 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 26 คณิตศาสตร O-NET / A-NET BC 6−4 7−3 D( , ) = (1, 2) 2 2 (12) จุดกึ่งกลางของ (16) ลําดับที่เขียน ต้องเรียงทวนเข็มนาฬิกา เช่น A, E, D, B, C, A E คือ A(x, y) โดย x +6−4 y + 7 −3 4 ( , ) = ( , 1) → 3 3 3 วิธีคดิ 1 หาจุด ดังนั้น เส้นมัธยฐาน จาก A(2, −1) ไปยัง D(1, 2) มีขนาด 12 + 32 = 10 ... ตอบ วิธีคดิ 2 หาระยะจาก P(4 , 1) ไปยัง D(1, 2) ได้เป็น |AD| = 3 (13) พื้นที่ = 10 3 เท่าของ 3 และใช้สมบัติว่า เส้นมัธยฐาน |PD| → ∴ ตอบ 10 1 × สูง × ฐาน 2 = 72 ตร.หน่วย จุดตัดของเส้นมัธยฐาน P = ตร.หน่วย (17) mAB = mAC → k −2 4−2 = 2−1 3−1 (18) วิธีคดิ เหมือนข้อที่แล้ว คือ y − 6 = −2 − 6 ดังนั้น 4+2 ∴k = 3 y = 2 A 3 4 3 4 3 mAB = (20) A 3 0 −5 3 1 (6 + 5 + 10 + 9) = 15 2 C 4 (14) พล็อตจุดคร่าวๆ เพื่อหาลําดับ ของจุดบนเส้นรอบรูปได้ดังภาพ B พื้นที่ = 31 R (12,0) 0 + 3 + 12 0 + 12 + 0 ( , ) = (5, 4) 3 3 1 1 −2 ΔABC = ⋅ 3 2 1 A B (19) จากภาพ จะได้ A (−4, 6) และ B (8, −3) Q (3,12) 1 × 12 × 12 2 D 4 7 5 −2 −3 4 1 = (8 + 28 + 15 − 2 + 3 + 7 − 10 + 8 + 9 − 4) 2 1+2 P(0, 0) , Q(3, 12) , R(12, 0) = 1 −2 1 −4 = ⋅ −3 2 −1 1 พื้นที่ (x, y) = (2, −1) 1 ( )2 + 12 = 3 เรขาคณิตวิเคราะห 108 5−2 8−4 = 1, mCD = = 1 4−1 2+2 ∴ mAB = mCD → ขนานกัน (21) สมมติ D(x, y) จะได้ว่า C 1+ 4 y+2 → = −4 + 5 x−1 และ ตร.หน่วย mAD = mBC → mAB = mCD → 5x − y = 7 ..... (1) y −1 −2 + 4 = x +4 1+5 ส่วน PQR ไม่เป็น Δ เพราะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน → 3y − x = 7 ..... (2) ดังนัน้ พื้นที่ = 0 ∴ ตอบ 15 ตร.หน่วย แก้ระบบสมการได้ D(x, y) = (2, 3) (15) ก. |PQ| = 52 + 52 = 5 2 (22) ความชัน (3, 2), (1, −4) คือ −4 − 2 2 2 2 2 |QR| = 2 + 1 = 5, |PR| = 3 + 6 = 3 5 จะได้ความยาวรอบรูป 3 −2 ข. พืน้ ที่ = = 4 5 +5 2 1 0 4 ⋅ 2 −2 3 3 −2 1 = (8 − 9 + 12 + 4) = 7.5 2 ดังนัน้ ก. ผิด และ ข. ผิด Q ตร.หน่วย B ∴ หน่วย ความชัน ดังนัน้ R (23) P จะได้ (k, 7), (−3, −2) คือ 1− 3 1 − 3 1 7+2 = → k = −30 3 k +3 6−5 1 = ∴ mCD = −2 mAB = 3−1 2 4+m −2 = → m = −2 m+1 = 3 − (24) ความชันของรัศมีทผี่ ่าน (5, 6) กับ (−3, 1) คือ 6−1 5 = ... และเนือ่ งจากเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับ 5+3 8 รัศมีเสมอ จึงได้ว่า Math E-Book Release 2.2 mL = − (คณิต มงคลพิทักษสุข) 8 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (25) mAB = − 1 4 , mAC = − , mBC = 7 7 3 แสดง (32) ความชันของ ว่า AB ⊥ BC ดังรูป B และเนือ่ งจาก A วงกลมที่ลอ้ มรอบ Δ มุมฉาก จะทําให้ ด้านตรงข้ามมุมฉาก เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เสมอ ∴ ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง = |AC| = 62 + 82 = 10 หน่วย mAB = (26) ก. → AB ⊥ BC x y + = 1 → 2x + 3y − 6 = 0 3 2 C (0, − 8 (x − 1) 3 สมการ แสดงว่า พื้นที่ Δ = (29) จุดตัดแกน x คือ 1/8 ตร.หน่วย (4, 0) 8−0 = 4 6−4 สมการคือ y = 4(x − 4) → y = 4x − 16 → mL = AC กับ BD 2+6 AC ; y − 2 = ( )(x − 1) → y = 2x 1+ 3 −1 + 5 BD ; y + 1 = ( )(x + 2) → y = −x − 3 −2 − 2 (30) สร้างสมการเส้นทแยงมุม จุดตัดของเส้นทั้งสอง คือ P(−1, −2) ตอบ 12 + 22 = 5 (31) m = − A = − 2 , จุดตัดของ B 3 และ 2x + y = 5 คือ (4, −3) ดังนัน้ สมการทีต่ ้องการคือ y+3 = − ของเส้นนี้ได้เป็น x 2x + 3y + 5 = 0 y −5 = (แทน y ด้วย 0) คือ (34) mM = 1 → mL ระยะตัดแกน y ของ ∴ L 3 (x − 1) → 2 มีความชัน 1 (− = 1, N (แทน และผ่านจุด คือ 7 , 0) 3 x = 0) คือ 3 (0, ) 5 3 5 3 3 = 1x → y = x + 5 5 (35) L1 ; y = (2 − 0)(x + 2) → y = 1 x + 1 2+2 2 L2 ; mL2 = −2 → y = −2(x + 2) = −2x − 4 → y− 1/3 1 1 1 1 × × = 2 8 3 48 คือ จุดตัดแกน → 8x − 3y + 1 = 0 3 L 3 → 4 − 4 5 20 ⋅ ) = (0, − ) 3 3 9 2 3 − → mL = 3 2 จากนั้น หาระยะตัดแกน x และ y (โดยแทน y = 0 และแทน x = 0 ตามลําดับ) L ได้เป็น − 1 และ 1 8 y (33) ความชันของ → คือ 4 3 5 ผ่านจุดตัดแกน x คือ (− , 0) → 3 4 สร้างสมการ y = − (x + 5) 3 3 จะหาจุดตัดแกน 3+5 8 = 1+2 3 (28) สร้างสมการของ L ก่อน → mL = 3x − 4y + 5 = 0 ความชันของอีกเส้น คือ 3 7 5 , mBC = − , mAC = 7 3 2 ข. mDE = −2, mEF = −2 → DE // EF ค. mAB = 1 , mBC = 1 → AB // BC 2 2 ดังนัน้ ถูกทุกข้อ (27) x-intercept = 3 , y-intercept = 2 →y − 3 = เรขาคณิตวิเคราะห 109 x +y = 1 L3 ; x y + = 1 → y = 3x − 4 (4 / 3) −4 จะได้ จุดตัด L1, L2 คือ (−2, 0) จุดตัด L2 , L3 คือ (0, −4) จุดตัด L3 , L1 คือ (2, 2) ∴ พืน้ ที่ 2 2 2 2 1 −2 0 = ⋅ 0 −4 2 L1 L2 L3 1 = (4 + 8 + 8) = 10 ตร.หน่วย 2 (36) mL1 = 2 = mL2 → 3 2 2 13 ..... L2 : y − 3 = (x + 2) → y = x + 3 3 3 3 3 2 mL3 = − → L3 : y + 1 = − (x − ) 2 2 3 3 → y = − x ..... (2) 2 สมการเส้นตรงทัง้ สองตัดกันทีจ่ ุด 2 (x − 4) → 2x + 3y + 1 = 0 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) (1) (−2, 3) → Q2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (37) หาจุด A(3, k) → 4 = → k = (Quadrant 1 ) 7 32 + k2 7y = − 3x + 16 → ∴ A(3, 7) จะได้ ถ้า x = ระยะตัดแกน 16 3 L ⊥ AB → mAB = ∴y=x−3 ระยะตัดแกน ระยะตัดแกน y =−3 3 a = 6, −3 a = 6 → b = 3 → สมการคือ x y 1 + = 1→ y = − x+3 6 3 2 ถ้า a = −3 → b = 12 → สมการคือ x y + = 1 → y = 4x + 12 3 12 ตอบ ความชัน − 1 ตัดแกน x ที่ (6, 0) 2 หรือ ความชัน 4 ตัดแกน x ที่ (−3, 0) − 3 x =3 ได้ → 2+1 = −1 −1 − 2 → mL = 1 → L : y + 1 = 1(x − 2) → (38) x y + = 1 → ผ่านจุด (−2, 4) a 9−a −2 4 + = 1 → a2 − 3a − 18 = 0 a 9−a (41) จากนั้น mOA = 7 → mL = − 3 → 3 7 3 L:y− 7 = − (x − 3) 7 → เรขาคณิตวิเคราะห 110 3 2 L : y = 0.5(x + 3) → (42) A จุด (0, 1.5) คือ → mL = 0.5 ∴ mAB = −2 ก. ความยาวรอบรูป Δ = 3 + 3 + 3 2 = 6 + 3 2 AB : y − 1.5 = −2(x) → y = −2x + 1.5 ... ถูก เส้นตรงขนานแกน y ผ่านจุด B 1 B(-3,y) ข. พืน้ ที่ Δ = × 3 × 3 = 4.5 ตร.หน่วย ... ถูก ตัดแกน x ที่ (−3, 0) 2 B เป็ น ( − 3, y) แสดงว่ า จุ ด (39) |AB| = 62 + 32 = 45, C(-3,0) ดังภาพ |BC | = 2 2 2 + 11 = 125, | AC | = 2 2 4 +8 = 80 B จากสมการ AB ได้ B(−3, 7.5) → ∴|BC| = 7.5 AB → 13 −2 + 4 5 + 8 ( , ) = (1, ) 2 2 2 −2 + 2 5 − 3 และกึ่งกลาง AC → ( , ) = (0, 1) 2 2 ดังนัน้ สมการเส้นตรง คือ y − 1 = (13/2 − 1)(x) 1−0 11 → y = x+1 2 ตอบ ระยะตัดแกน x = − 2 , แกน y = 1 11 x y (40) + = 1 → ผ่านจุด (1, 3) 2b b จะได้ 1 + 3 = 1 → b = 7 ∴ a = 7 2b b 2 หาจุด x y + = 1→ 7 (7 / 2) mAB จุดกึง่ กลางของด้านที่สนั้ คือ กึ่งกลาง สมการเส้นตรงนี้ คือ x + 2y − 7 = 0 L A เป็น (43) หาพิกดั จุด B โดยสร้างสมการ BC นํามาแก้หาจุดตัด.. AB และ 3 3 19 (x + 3) → y = x + 2 2 2 2 2 4 BC : y + 4 = − (x − 4) → y = − x − 3 3 3 AB : y − 5 = หาจุดตัด (จุด B ) ได้เป็น (−5, 2) ∴ พืน ้ ที่ Δ = 1 × | AB| × |BC| 2 1 1 2 = × 2 + 32 × 92 + 62 = × 2 2 13 × 3 13 = 19.5 ตร.หน่วย หมายเหตุ หาพิกัดจุด mBC B โดยความชันก็ได้ 3 y −5 3 = → = 2 x+3 2 2 y+4 2 = − → = − 3 x−4 3 ซึ่งรูปสมการก็เหมือนกับการสร้างเส้นตรงอยูน่ ั่นเอง.. (44) 2x − 3y = 6 คือ 4x − 6y − 12 = 0 → ระยะห่าง Math E-Book Release 2.2 = | −12 − (−25) | 2 2 4 +6 (คณิต มงคลพิทักษสุข) = 13 = 42 13 2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (45) สมมติเส้นตรงที่ตอ้ งการ จะได้ 1= | −5 − K | 32 + 42 3x − 4y + K = 0 → ± 5 = −5 − K ดังนัน้ → K = 0 หรือ −10 คําตอบคือ 3x − 4y = 0 หรือ 3x − 4y − 10 = 0 แต่โจทย์ให้ Ax + 2y + C = 0 จึงต้องนํา -1/2 คูณสมการให้กลายเป็น 3 3 − x + 2y = 0 กับ − x + 2y + 5 = 0 2 เรขาคณิตวิเคราะห 111 2 (51) 2−1 = 3 −0 mL1 = แสดงว่า L1 ทํามุม ในลักษณะดังภาพ mL2 = | −15 − C | ดังนัน้ 122 + 52 C = 11 → −15 − C = ±26 หรือ −41 ... สมการ L1, L2 คือ มีส่วนตัดแกน 41 → 12 x (ระยะตัดแกน x ) 11 = − 12 −11 + 41 = 2.5 12 (47) สมการ BC : y − 4 = (−3 − 4)(x − 5) 2−5 → 7x − 3y − 23 = 0 A มาตัง้ ฉาก BC | 7(−2) − 3(1) − 23 | 40 = 58 72 + 32 ระยะจาก (48) 4 = หาจาก หน่วย | 5(−3) − 12(2) + 3 − k | 52 + 122 → ± 52 = −36 − k → k = 16, −88 ดังนัน้ ตอบ −72 (49) ให้จดุ ทีต่ ้องการคือ 2x − 4y = 15 → y = (x, y) → 2x − 15 4 แทนค่าในสมการ ระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง → 3 = 2x − 15 | 3x + 4( ) − 10 | 4 32 + 42 → ± 15 = 5x − 25 ..จะได้ x = 2 หรือ 8 ถ้า x = 2 → y = −11 / 4 ถ้า x = 8 → y = 1 / 4 ดังนัน้ ตอบว่า (2, − 11) และ (50) จะได้ 60° L2 ได้เป็น 3(x − 1) → mL1 = 1 x 3 C 3 mL1 − mL2 1 + mL1mL2 1 3 − mL2 = → mL2 = 3 1 + 3mL2 และ ดังนัน้ หาจุด ตอบ กับแนวนอน แสดงว่า L1 ทํามุม 45° กับแนวนอน 45° ในลักษณะดังภาพ L2 L1 ดังนัน้ เส้นตรงทัง้ สอง 75° ทํามุมกัน 75° ดังภาพ 60° 45° → L2 : y = 12x − 5y + 11 = 0, 12x − 5y − 41 = 0 L1 3−4 = −1 2−1 ดังนัน้ ตอบ C = 0 หรือ 5 (46) L อยูต่ รงกลางระหว่าง L1, L2 พอดี แสดงว่า (52) L1; y = ห่างด้านละ 2 หน่วย → หาสมการ L1, L2 โดย → tan 30° = 2 = 60° 1 3 1 3 (ผ่านจุดกําเนิด) (จุดตัดของ L1, L2 ) 3 3 ( , ) 2 2 3 3 ( )2 + ( )2 = 2 2 → |CO| = 3 | 3x + 4y + 1 | | 4x − 3y − 6 | = 5 5 → 3x + 4y + 1 = ± (4x − 3y − 6) (53) ดังนัน้ ตอบ x − 7y − 7 = 0 และ (54) A(−2, 0), B(0, 6) → 7x + y − 5 = 0 6 AB : y = ( )(x + 2) → y = 3x + 6 2 1−5 0 +8 , ) = (−2, 4), Q(1, 8) → (55) P( 2 2 4 PQ : y − 4 = ( )(x + 2) → 4x − 3y + 20 = 0 3 เส้นตรงตั้งฉากกับ PQ จะต้องมีความชัน − 3/ 4 แต่โจทย์ไม่บอกว่าผ่านจุดอะไร จึงตอบติดค่า C ไว้ ดังนี้ 3x + 4y + C = 0 (56) mL = 1 → สร้างสมการเส้นตรงตั้งฉากกับ L และผ่านจุด (−2, 1) ได้เป็น y − 1 = −1(x + 2) → y = − x − 1 1 (8, ) 4 4 5 − (2/ 3) tan θ = = 1 → ∴ θ = 45° 1 + 5 (2/ 3) พบว่าตัดกับ L (ตั้งฉาก) ที่จดุ (− 1 1 ,− ) 2 2 ดังนัน้ โพรเจคชันของ (-2,1) บน L คือ (− 1 , − 1) 2 2 [หมายเหตุ เนือ่ งจากเป็นเส้นตรง y=x จึงสามารถใช้ สูตรลัดได้ดว้ ยว่า (−2 + 1 , −2 + 1) = (− 1 , − 1) ] 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 2 2 2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (57) วิธีคดิ เช่นเดียวกับข้อทีแ่ ล้ว 4 mL = → สร้างเส้นตั้งฉากและผ่าน 5 5 x 4 ตัดกับ L (59.4) รู้จดุ ผ่าน 3 จุด ต้องแก้ระบบสมการ เพื่อหา D, E, F ดังนี้ ได้เป็น สมการ 2 2 (0, 7) (−6)2 + (3)2 + D(−6) + E(3) + F = 0 ทีจ่ ุด (4, 2) (4, 2) y + 2 = |x + 1| → (h, k) = (−1, −2) (x2 + 2x +1) + (y2 − 4y +4) = 9 − 5 +1 +4 → (h, k) = (−1, 2) (h, k) = (3, 4) (3 − 1)2 + (4 − 1)2 = r = ... ดังนัน้ ตอบ (h, k) = (4, −3) → (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 (59.1) 13 ดังนัน้ สมการวงกลมคือ → (x − 3)2 + (y − 4)2 = 2 13 2 x2 − 6x + 9 + y2 − 8y + 16 − 13 = 0 กระจายได้ 2 → x + y − 6x − 4y + 12 = 0 (59.2) (h, k) = (1 + 2 , 1 + 2) = (1.5, 1.5) 2 2 r = 3 x + y + Dx + Ey + F = 0 y−7 = − พบว่า (58.1) (58.2) (58.3) เรขาคณิตวิเคราะห 112 (2 − 1)2 + (2 − 1)2 2 = 2 2 22 ) 2 → x2 − 3x + 2.25 + y2 − 3y + 2.25 = 0.5 → (x − 1.5)2 + (y − 1.5)2 = ( ..... (1) ..... (2) (−2)2 + (7)2 + D(−2) + E(7) + F = 0 ..... (3) แก้ระบบสมการได้ D = 4, E = −6, F = −3 ดังนัน้ ตอบ x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0 (59.5) หาจุดตัดของวงกลมทั้งสองก่อน โดยนําสมการลบกันเป็น 5x = 5y → y = x แทนค่าเข้าไปอีกครั้งในสมการใดสมการหนึ่ง ได้เป็น x = 2 → y = 2 หรือ x = −2 → y = −2 ∴ จุดตัดมีสองจุด คือ (2, 2), (−2, −2) ต่อมา หาสมการวงกลมที่ผา่ นจุด ่ ล้ว (1, −5), (2, 2), (−2, −2) โดยคิดวิธีเดียวกับข้อทีแ ( x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ) แก้ 3 สมการได้ D = −3, E = 3, F = −8 ดังนัน้ ตอบ x2 + y2 − 3x + 3y − 8 = 0 (60) 3x2 + 3y2 + 11x + 15y = −9 → (2)2 + (3)2 + D(2) + E(3) + F = 0 x2 + y2 + 11 x + 5y + 3 = 0 3 → x2 + y2 − 3x − 3y + 4 = 0 จะได้วา่ เส้นสัมผัสจากจุด (59.3) หาจุดศูนย์กลาง C(h, k) → ห่างจากจุด กําเนิด (0, 0) และ (1, 1) เป็นระยะเท่ากัน 11 (0) + 5(1) + 3 = 9 = 3 หน่วย 3 (61.1) mรัศมี = 2 − 0 = 1 → mเส้นสัมผัส = −1 2−0 → y − 2 = −1(x − 2) → x + y = 4 (h − 1)2 + (k − 1)2 = h2 + k2 → h2 − 2h + 1 + k2 − 2k + 1 = h2 + k2 → h+k = 1 ..... (1) ตั้งฉากกับ y และ CO ดังนัน้ mCO = − 1 → 2 แก้ระบบสมการได้ ∴r = 2 2 = 2x 2 +1 = (m = 2) k 1 = − h 2 ..... (2) (h, k) = (2, −1) 5 (x − 2)2 + (y + 1)2 = และสมการวงกลมคือ 5 2 → x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 5 → x2 + y2 − 4x + 2y = 0 = (0, 1) มีความยาว (0)2 + (1)2 + (61.2) r = 17, C(h, k) = (0, 0) → สร้างสมการเส้นตรงผ่าน (0, 0) และ m = 4 จะได้ y = 4x จากนัน้ ขยับเส้นตรงนีอ้ อกไปจากเดิม เป็นระยะ 17 หน่วย จะได้วา่ 17 = |C − 0| 42 + 12 ดังนัน้ ตอบ Math E-Book Release 2.2 → C = 17, −17 → y = 4x ± 17 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เรขาคณิตวิเคราะห 113 (61.3) วิธีแรก สมการเส้นตรงผ่าน (−1, 8) คือ y − 8 = m(x + 1) → y = mx + m + 8 ข. (h, k) ไปยังเส้นตรง |h − k + y = x+ 2 เป็น 1 หน่วย 2| → = 1 ..... (2) เส้นตรงเส้นนีส้ ัมผัสวงกลม x2 + y2 = 16 แสดงว่า 12 + 12 แก้ระบบสมการได้ (h, k) = (2, 2) หรือ (−1, −1) ตัดวงกลมเพียงจุดเดียว นั่นคือ สมการ 2 2 x + (mx + m + 8) = 16 จะต้องมีคาํ ตอบเดียว จึงตอบว่า (x − 2)2 + (y − 2)2 = 12 หรือ (x + 1)2 + (y + 1)2 = 12 กระจายสมการได้เป็น (m2 + 1) x2 + (2m2 + 16m) x + (m2 + 16m + 48) = 0 (62.3) ระยะทางจากจุด C(h,k) ไปยังเส้นตรงทัง้ 4 12 สาม จะต้องเท่ากัน (เพราะเป็นรัศมีวงกลม) นัน่ คือ 2 นั่นคือ B − 4AC = 0 ได้ m = − หรือ 3 5 ตอบ 4x + 3y = 20, 12x − 5y = −52 วิธีทสี่ อง คิดโดยหาระยะทางจากจุด (−1, 8) ไป สัมผัสวงกลม x2 + y2 = 16 ก่อน ได้เป็น (−1)2 + 82 − 16 = 7 หน่วย จากนั้นหาจุดสัมผัสบนวงกลมซึ่งอยู่หา่ งจาก (−1, 8) เป็นระยะ 7 หน่วย → (x + 1)2 + (y − 8)2 = 7 | 2h − 3k + 21 | 2 2 2 +3 = | 2h + 3k + 9 | 32 + 22 | 3h − 2k − 6 | = 32 + 22 = r แก้ระบบสมการทีละคู่ ได้ (h, k) = (25, 2) หรือ (−1, 2) หรือ (−7.5, 34.5) หรือ (−7.5, −4.5) แต่จากการวาดกราฟคร่าวๆ จะทราบว่า จุด (h, k) ที่ อยู่ภายใน Δ นี้จริงๆ คือ (−1, 2) เท่านั้น → (x + 1)2 + (y − 8)2 = 72 2 2 (เป็นสมการวงกลมรัศมี 7 จากจุด (−1, 8) นัน่ เอง) จะได้ r = 13 → (x + 1) + (y − 2) = 13 2 2 → นําไปตัดกับ x2 + y2 = 16 แก้ระบบสมการได้ (63) จาก (x − 6x) + (y + 8y) = −k → 2 2 (x − 6x + 9) + (y + 8y + 16) = −k + 9 + 16 48 20 16 12 → y= , x= → y= 13 13 5 5 48 20 16 12 ∴ จุดสัมผัส คือ (− , ) กับ ( , ) 13 13 5 5 x=− → (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 − k จากนั้นสร้างสมการเส้นสัมผัสได้ (ระหว่าง 2 จุด) 48 20 (−1, 8) กับ (− , ) → ได้ 12x − 5y = − 52 (−1, 8) กับ 13 13 16 12 ( , )→ 5 5 ได้ 4x + 3y = 20 x2 + (kx)2 − 14x + 49 − k2 = 0 (62.1) หาพิกดั ของจุดศูนย์กลาง (h, k) โดย ก. ระยะทางจาก (h, k) ไปยัง (6, 2) เป็น 4 หน่วย 2 (h,k) 2 → (h − 6)2 + (k − 2)2 = 4 ข. ระยะทางจาก (h, k) ไปยัง (2, −1) เป็น 3 หน่วย → (k2 + 1) x2 − 14x + 49 − k2 = 0 ต้องการ 2 (6,2) 2 (h, k) = (2, 2) หรือ ( 122 25 B2 − 4AC = 0 2 จะได้วา่ 14 − 4(k + 1)(49 − k2) = 0 → k = 0, 4 3, − 4 3 โจทย์ตอ้ งการ k > 0 เท่านั้น จึงตอบ 4 3 (65) x2 + 4x + 2 = −(y2 + 8y + 9) → 1 (2,-1) → (h − 2)2 + (k + 1)2 = 3 แก้ระบบสมการได้ จะเป็นสมการวงกลมเมื่อ 25 − k > 0 → k < 25 (64) คิดแบบเดียวกับข้อ 61.3 (วิธีแรก) → y = kx สัมผัส x2 + y2 − 14x + 49 = k2 แสดงว่า ตัดกราฟแค่จุดเดียว (ระบบสมการมีคาํ ตอบ เดียว) → แก้ระบบสมการได้ ,− 46 ) 25 แต่ในที่นตี้ ้องการ (h, k) ใน Q1 จึงเป็น (2, 2) เท่านั้น... และตอบว่า (x − 2)2 + (y − 2)2 = 22 (62.2) วงกลม x2 + y2 − 4x + 2y + 1 = 0 จัด รูปได้เป็น (x − 2)2 + (y + 1)2 = 22 ดังนัน้ จุดศูนย์กลาง (h, k) ที่ตอ้ งหาในข้อนี้ จะมีสมการระยะทางเป็น ก. (h, k) ไปยัง (2, −1) เป็น 3 หน่วย (รัศมีวงกลม 2 วง รวมกัน 2 + 1 = 3 ) → (h − 2)2 + (k + 1)2 = 3 ..... (1) (x2 + 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = − 2 − 9 + 4 + 16 → (x + 2)2 + (y + 4)2 = 32 เป็นสมการวงกลม ซึ่งมีจดุ ศูนย์กลางที่ หาสมการเส้นตรง OC ได้เป็น y = C(−2, −4) −4 x → y = 2x −2 OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง −2 + 0 −4 + 0 → (h, k) = ( , ) = (−1, −2) 2 2 หาสมการวงกลมที่มี r = 12 + 22 = 5 → (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 114 (66) x2 + y2 − 4x + 2y = 4 มีจุดศูนย์กลางที่ (2, −1) ดังนัน้ สมการเส้นตรงคือ y + 1 = − 4 (x − 2) 3 แก้ระบบสมการหาจุดตัดของเส้นตรงกับวงกลม ได้เป็น A(0.2, 1.4) และ B(3.8, −3.4) → (68.5) แสดงว่าอ้อมแกน y จะได้ (x − 5)2 = 4c(y + 2) แทนค่า (3, 0) เพือ ่ หาค่า c 4 = 4c(2) ตอบ (68.6) Directrix : x = − 2, F(2, 2) แสดงว่าอ้อม แกน x, หาจุดยอดได้เป็น (0, 2) [กึ่งกลางระหว่าง โฟกัสกับไดเรกตริกซ์] ดังนัน้ c = 2 ตอบ (y − 2)2 = 4(2)(x) 1 −1 −2 Δ ABD = ⋅ 3.8 −3.4 2 1 × (0.68 + 7.6 + 1.4 + 5.32 + 3.4 − 0.4) 2 = 9 (67) → y2 − 8x − 4y + 4 = 0 ตร.หน่วย 2 (x − 1) = (1 − y)(1 + y) → (x − 1)2 = (1 − y2) → (x − 1)2 + y2 = 12 (เป็นรูปวงกลม) ... ให้หาสมการซึง่ (x, y) เป็นจุด ศูนย์กลางวงกลมที่สัมผัสวงกลมนี้ และผ่าน (−1, 0) แสดงว่าระยะทางจากจุด (x, y) ไปยัง (−1, 0) = r และระยะทางจากจุด (x, y) ไปยัง (1, 0) = r + 1 จะได้ (x + 1)2 + y2 + 1 = (x − 1)2 + y2 → 2 2 2 2 2 x + 2x + 1 + y + 2 (x + 1) + y + 1 = x − 2x + 1 + y → 2 (x + 1)2 + y2 = − 4x − 1 2 2 2 จากนัน้ ยกกําลังสอง 2 → 4(x + 1) + 4y = 16x + 8x + 1 2 2 → 12x − 4y = 3 เป็นสมการที่ตอ้ งการ (68.1) แสดงว่า อ้อมแกน x และ c = 7 → (y − 3)2 = 4(7)(x + 2) (68.7) อ้อมแกน x → y2 + Dx + Ey + F = 0 หา ค่า D, E, F โดยแทนค่า (1, 3), (9, 1), และ (51, −2) จะได้วา่ (3)2 + D(1) + E(3) + F = 0 ..... (1) (1)2 + D(9) + E(1) + F = 0 ..... (2) และ (−2)2 + D(51) + E(−2) + F = 0 ..... (3) แก้ระบบสมการได้ D = − 1 , E = −6, F = 19 2 1 ดังนัน้ ตอบ y2 − x − 6y + 19 = 0 2 2 → 2y2 − x − 12y + 19 = 0 (68.8) ลองพล็อตกราฟ คร่าวๆ จะรู้วา่ เป็นพาราโบลา อ้อมแกน y เท่านัน้ จึงตั้ง สมการว่า 2 (3,18) (-2,3) (0,3) x2 + Dx + Ey + F = 0 → → y2 − 28x − 6y − 47 = 0 (68.2) แสดงว่าอ้อมแกน x และ c = −3 (เพราะอัตราส่วนระยะโฟกัส ต่อความยาวเลตัสเรก ตัมต้องเป็น 1 : 4 เสมอ จึงไม่ใช่อ้อมแกน y) → y2 = 4(−3)(x) (x − 5) = 2(y + 2) → x − 10x − 2y + 21 = 0 0.2 1.4 = → 4c = 2 2 2 0.2 1.4 พื้นที่ เรขาคณิตวิเคราะห → y2 + 12x = 0 แทนค่าจุดทั้งสามเพื่อแก้ ระบบสมการเช่นเดียวกับข้อที่แล้ว ได้คาํ ตอบเป็น D = 2, E = −1, F = 3 → ดังนัน้ ตอบ x2 + 2x − y + 3 = 0 (69) 2x2 + 3y = 0 → x2 = − 3 y 2 (68.3) แกน x เป็นแกนสมมาตร แสดงว่าอ้อมแกน → x2 = 4(− 3)y เป็นพาราโบลาคว่ํา 8 x ... จะได้ y2 = 4cx แทนค่า (−4, −6) เพื่อหาค่า c มีจุดยอดที่ V(0, 0) จุดโฟกัสที่ (0, − 3) → 36 = 4c(−4) → 4c = −9 ตอบ y2 = −9x → y2 + 9x = 0 (68.4) แกนสมมาตรตั้งฉากแกน x แสดงว่าอ้อม แกน y ... จะได้ (x − 2)2 = 4c(y + 3) แทนค่า (8, −2.1) เพื่อหาค่า c 36 = 4c(0.9) ตอบ → 4c = 40 2 ตอบ 3 4 + (3 − )2 = 8 2 1,465 8 8 หน่วย (70.1) x2 = 4(3)y → จุดยอด (0, 0) อ้อมแกน y ตอบ จุดโฟกัส F(0, 3) , ความกว้างที่จดุ โฟกัส = 4(3) = 12 หน่วย, สมการไดเรกตริกซ์ y=−3 → y+3=0 (x − 2) = 40(y + 3) → x2 − 4x − 40y − 116 = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (70.2) y2 − 10y + 25 = − 12x − 61 + 25 → (y − 5)2 = 4(−3)(x + 3) → อ้อมแกน x ตอบ จุดยอด V(−3, 5), จุดโฟกัส F(−6, 5), ความกว้าง ณ โฟกัส = 12, สมการไดเรกตริกซ์ x = − 3 + 3 = 0 (ก็คอ ื แกน y) (70.3) Directrix: x = 1 (4,2) จุดยอด (4, 2) แสดงว่า เปิดขวา, c = 3 → ดังนัน้ จุด F(7, 2) x=1 1 7 (70.4) V(0, − ), F(0, ) แสดงว่า หงาย, 3 7 1 3 c = − (− ) = 6 3 2 6 3 1 → x2 = 4( )(y + ) → 2 3 x; แทน y ด้วย 0 3 1 x = 4( )( ) = 2 → x = ± 2 2 3 หาจุดตัดแกน เรขาคณิตวิเคราะห 115 จะได้ 2 (74) y2 − 4y + 4 = 4x + 8 + 4 → (y − 2)2 = 4(1)(x + 3) → อ้อมแกน x, จุดยอด V(−3, 2) และจุดโฟกัส F(−2, 2) → สมการเส้นตรงทีต่ ้องการคือ 6−2 y −6 = ( )(x − 1) 1+ 2 (75) → 4x − 3y + 14 = 0 (x2 − 6x + 9) + (y2 + 2y + 1) = 6 + 9 + 1 → (x − 3)2 + (y + 1)2 = 16 → จุดศูนย์กลางคือ หาพาราโบลาทีม่ ี Directrix: y = 5, โฟกัส F(3, −1) → อ้อมแกน y จุดยอดคือ V(3, 2) → c = −3 → สมการที่ได้ C(3, −1) → (x − 3)2 = 4(−3)(y − 2) → x2 − 6x + 12y − 15 = 0 (76) แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้เป็น (0, 0) กับ (−3, −3) → หาพาราโบลาทีผ ่ ่าน 2 จุดนี้ และแกน สมมาตรคือแกน x → แสดงว่า (0, 0) เป็นจุดยอด จะได้ (y)2 = 4c(x) → แทน (−3, −3) เพือ่ หาค่า c ดังนัน้ ตอบ ( 2, 0), (− 2, 0) (71.1) พาราโบลา มี y = −4 เป็น Directrix, มี → 9 = 4c(−3) → 4c = −3 F(−2, 8) → อ้อมแกน y → หาจุดยอดได้เป็น (จุด ดังนัน้ ตอบ y2 = −3x → y2 + 3x = 0 กึ่งกลางระหว่าง F กับ Directrix) V(−2, 2) (77) y2 − 4y + 4 = −8x + 20 + 4 → c = 6 ดังนั้นได้สมการ (x + 2)2 = 4(6)(y − 2) → (y − 2)2 = 4(−2)(x − 3) → อ้อมแกน x, → x2 + 4x − 24y − 44 = 0 (71.2) เทคนิคการคิด คือ ขยับเส้นตรง x = −4 จุดยอด V(3, 2), จุดโฟกัส F(1, 2) → ไดเรกตริกซ์ ไปทางขวาเข้าหาจุด F(3, 1) เป็นระยะ 5 หน่วย จะ x = 3 + 2 = 5 → จุดตัดของไดเรกตริกซ์กับแกน สมมาตร ก็คือ P(5, 2) ดังนัน้ โจทย์ให้หาวงกลมที่ ได้ Directrix: x = −4 + 5 = 1 → อ้อมแกน x ผ่านจุด (0, 0), (1, 2), (5, 2) → จุดยอดคือ V(2, 1) → c = 1 → ได้สมการเป็น 2 แก้ระบบสมการ หา D, E, F จาก (y − 1) = 4(1)(x − 2) → y2 − 4x − 2y + 9 = 0 (72) (x − 1)2 = 4(1)(y) อ้อมแกน y, จุดยอด V(1, 0) → จุดโฟกัส F(1, 1) หาจุดบนโค้งนีท้ หี่ ่างจาก F(1, 1) อยู่ 13 หน่วย สมมติจดุ นัน้ เป็น (a, b) จะได้วา่ 13 = (a − 1)2 + (b − 1)2 ..... (1) และ (a − 1)2 = 4b ..... (2) แก้ระบบสมการได้ b = 12, − 14 ถ้า b = 12 → a = 1 ± 4 3 จุด (a, b) = (1 + 4 3, 12) หรือ (1 − 4 3, 12) ถ้า b = −14, เป็นไปไม่ได้ (หาค่า a ไม่ได้) ∴ ห่างจากแกน x อยู่ 12 หน่วย (73) แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้เป็น (8, 8) กับ (2, −4) ดังนั้นความยาวคอร์ดที่เกิดขึ้น = 62 + 122 = 180 = 6 5 หน่วย x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 เช่นเดียวกับโจทย์ข้อ (59.4),(59.5) ได้เป็น 1 D = −6, E = , F = 0 → สมการวงกลมทีไ่ ด้ คือ 2 1 x + y − 6x + y = 0 → จัดรูปเพื่อหารัศมี 2 1 1 1 (x2 − 6x + 9) + (y2 + y + )= 9+ 2 16 16 กําลังสองของรัศมีวงกลม = 9 + 1 = 145 16 16 2 2 (78) วาดพาราโบลาลงบนแกน เพื่อช่วยคํานวณ โดยให้เปิดขวา และมีจุดยอดที่ (0, 0) จะได้ สมการเป็น y2 = 4cx → หาค่า c จากจุดที่ผ่าน คือ (6, 4) 16 2 → 16 = 4c(6) → c = = 24 3 2 ∴ ระยะโฟกัส = หน่วย 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ดังนั้น (6,4) (6,-4) คณิตศาสตร O-NET / A-NET C(3, −1), a = 4, b = 3, (79.1) เรขาคณิตวิเคราะห 116 รีตามแกน y 9(x2 − 6x +9) + 5(y2 − 10y +25) (80.2) = −26 + 81 + 125 (y + 1)2 (x − 3)2 + = 1 42 32 2 → 9(y + 1) + 16(x − 3)2 = 144 → → 9(x − 3)2 + 5(y − 5)2 = 180 180 (x − 3)2 (y − 5)2 + = 1 20 36 → 16x2 + 9y2 − 96x + 18y + 9 = 0 นํา (79.2) C(0, 0), V(0, 8) แสดงว่า a = 8 และ รีตามแกน y, F(0, −5) แสดงว่า c = 5 → b = 82 − 52 = 39 จะได้สมการเป็น รีตามแกน y (a = 6, b = ตอบ C(3, 5), V(3, 5±6) y2 x2 + = 1 → 64x2 + 39y2 = 2496 2 39 8 (79.3) V(−4, 2), (2, 2) แสดงว่า รีตามแกน x (80.3) จุดศูนย์กลาง C(−1, 2) → a = 3 หาร → 20, c = 4) F(3, 5± 4), B(3 ± 20, 5) และ 5(x2 − 2x +1) + 9(y2) = 40 +5 → 5(x − 1)2 + 9y2 = 45 → นํา 45 หาร → (x − 2)2 (y + 1)2 + = 1 32 22 → 4(x − 2)2 + 9(y + 1)2 = 36 (x − 1)2 y2 + = 1 9 5 รีตามแกน x (a = 3, b = 5, c = 2) ตอบ C(1, 0), V(1± 3, 0), F(1±2, 0), B(1, ± 5) (81.1) F(4, 0), (−4, 0) แสดงว่า รีตามแกน x → 4x2 + 9y2 − 16x + 18y − 11 = 0 c = 4, C(h, k) = (0, 0) → ระยะทางรวมเป็น 12 (79.4) C(−2, 1), F(−2, 4) แสดงว่ารีตามแกน y 2 2 และ C = 3 , ผ่านจุด (−6, 1) แสดงว่าจุดปลายแกน แสดงว่า a = 6 → b = 6 − 4 = 20 2 2 โทเป็น B(−6, 1) สมการทีต่ ้องการคือ x2 + y = 1 20 6 จะได้ b = 4, a = 32 + 42 = 5 → → 5x2 + 9y2 = 180 → (y − 1)2 (x + 2)2 + = 1 52 42 → 16(y − 1)2 + 25(x + 2)2 = 400 2 (81.2) c = 3, 2 → 25x + 16y + 100x − 32y − 284 = 0 (79.5) C(2, 1), V(2, −4) แสดงว่า รีตามแกน y และ a = 5 , ค่า c : a = 2 : 5 แสดงว่า c = 2 → b = 52 − 22 = 21 ดังนั้นได้สมการ (y − 1)2 (x − 2)2 + = 1 21 52 2 → 21(y − 1) + 25(x − 2)2 = 525 → (a = 3, b = 2 → c = ตอบ → x2 y2 + = 1→ 9 4 32 − 22 = C(0, 0), V(3, 0), (−3, 0), F( 5, 0), (− 5, 0), B(0, 2), (0, −2) แสดงว่ารีตามแกน y C(h, k) = (2, 4) → ระยะทางรวม เป็น a = 5 → ∴b = 5) 2 10 2 5 −3 = 4 → (y − 4)2 (x − 2)2 + = 1 25 16 → 25x2 + 16y2 − 100x − 128y − 44 = 0 สมการทีต่ ้องการ คือ (82.1) รูปวงรี (เพราะตรงตามนิยามของวงรีพอดี) (82.2) 6 = 2c → c = 3 10 = 2a → a = 5 → 25x2 + 21y2 − 100x − 42y − 404 = 0 (80.1) นํา 36 หาร รีตามแกน x แสดงว่า F(2, 7), (2, 1) 2 ∴b = 4 2 x y + 2 = 1 52 4 → 16x2 + 25y2 = 400 ได้สมการ (83) 4(x2 − 12x +36) + 9(y2 + 8y +16) = − 144 +144 +144 → 4(x − 6)2 + 9(y + 4)2 = 144 เป็นสมการวงรีที่มี C(h, k) = (6, −4) → หาสมการเส้นตรงที่ผา่ น 3 (6, −4) และตัง้ ฉากกับ 3x + 4y = 5 (m = − ) แสดงว่า ตอบ 4 mL = 3 4 → y + 4 = (x − 6) 3 4x − 3y − 36 = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (84) (x2 − 4x + 4) + 3(y2) = 2 + 4 → (x − 2)2 + 3y2 = 6 → 2 (x − 2) y + = 1→ 6 2 6−2 = 2 ∴ F(2 ± 2, 0) = (4, 0) กับ (0, 0) → โจทย์ให้หา ระยะระหว่างเส้นตรงที่ผ่าน (4, 0) และผ่าน (0, 0) โดยทํามุม 45° กับแกน x ดังภาพ 4 ∴ d = 4 sin 45° = 2 2 (85) d หน่วย ∴ พืน้ ที่ Δ = a −b 9 4 → k = B 2 3/2 c F1 (0,1/2) F2 C(h, k) = (0, 0) จะได้ว่า x y + 2 = 1 โจทย์ถามตําแหน่ง P ซึ่งห่างจาก 22 1 ปลายหนึ่ง 80 ซม. → แสดงว่า x = 1.2 → หา (1.2)2 y2 → + 2 = 1 2 2 1 y → y = 0.8 จึงตอบว่า สูงจากพื้น 80 ซม. (87.1) C(−3, 1), V(2, 1) แสดงว่า อ้อมแกน x a = 5, แกนสังยุคยาว 6 หน่วย แสดงว่า (x + 3)2 (y − 1)2 b = 3 → สมการคือ − = 1 2 2 5 3 → 9x − 25y + 54x + 50y − 169 = 0 2 2 F(−1, −6), (−1, 4) แสดงว่า อ้อมแกน y C(h, k) = (−1, −1) → c = 5 ... แกนตามขวางยาว 6 หน่วย แสดงว่า a = 3 → b = 52 − 32 = 4 (87.2) 2 2 (y + 1) (x + 1) − = 1 32 42 2 2 → 16y − 9x + 32y − 18x − 137 = 0 สมการคือ (หรือนํา -1 คูณ กลายเป็น 2 2 (หรือ 7x2 − 9y2 + 63 = 0 ก็ได้) (88.1) 9x2 − 4y2 = 36 → นํา 36 หาร x2 y2 − = 1→ 4 9 x, อ้อมแกน 4+9 = (x − 1)2 (y + 2)2 − = 1→ 16 9 a = 4, b = 3, c = 5 → ตอบ 13 9x − 16y + 18x − 32y + 137 = 0 อ้อมแกน x C(1, −2), V(1± 4, −2), F(1±5, −2) B(1, −2± 3) 6(x2 − 6x +9) − (y2 + 2y +1) = −59 +54 − 1 → 6(x − 3)2 − (y + 1)2 = −6 → 2 ค่าความสูง y x − 2 = 1 7 3 → 9y2 − 7x2 − 63 = 0 สมการคือ (88.3) 3 7 1 9 9 3 = ⋅ (2 − )⋅( ) 4 2 k 4 2 (86) ตั้งแกนไว้ให้จดุ 7 2 → 9(x − 1)2 − 16(y + 2)2 = 144 9 9 − k 4 = 2 = 199 +9 −64 พบว่าต้องรีตามแกน x จึงจะเกิด Δ ได้ ดังภาพ c = 42 − 32 = a = 2, b = 3 → c = 1 → kx2 + 4(y − )2 = 9 2 1 (y − )2 x2 2 → + = 1 (3 / 2)2 (3 / k)2 2 b = 3 → a = ตอบ C(0, 0), V(±2, 0), F(± 13, 0), B(0, ±3) (88.2) 9(x2 − 2x +1) − 16(y2 + 4y +4) 2 2 C(0, 0), c = 4 → 1 kx + 4(y − y + ) = 8 +1 4 2 F(0, 4), (0, −4) แสดงว่า อ้อมแกน y ... จุด B(3, 0) แสดงว่า (87.3) 2 C(h, k) = (2, 0), c = รีตามแกน x เรขาคณิตวิเคราะห 117 (y + 1)2 (x − 3)2 − = 1→ 6 1 อ้อมแกน y a = 6, b = 1, c = 7 ตอบ C(3, −1), V(3, −1± 6), F(3, −1± 7) B(3 ± 1, −1) (88.4) 6(x2 − 2x +1) − 10(y2 + 4y +4) = 94 +6 − 40 → 6(x − 1)2 − 10(y + 2)2 = 60 → (x − 1)2 (y + 2)2 − = 1→ 10 6 อ้อมแกน x a = 10, b = 6, c = 4 ตอบ C, (1, −2), V(1± 10, −2), F(1± 4, −2) B(1, −2± 6) (89) F(3, 0), (−3, 0) → C(h, k) = (0, 0), c = 3 , อ้อมแกน x , ผลต่างระยะทาง 4 หน่วย → 2a = 4 → a = 2 ∴b = x2 y2 − =1 5 22 → 5x2 − 4y2 − 20 = 0 ∴ สมการคือ ก็ได้) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 32 − 22 = 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET |4x − 3y + 11| |4x + 3y + 5| 144 ⋅ = 25 42 + 32 42 + 32 → |(4x − 3y + 11)(4x + 3y + 5)| = 144 (94) จุดตัดแกน x ของไฮเพอร์โบลา (แทน y = 0 ) คือ 9(x − 1)2 − 16 = 36 (90) 2 → x = 1± 2 → 16x − 9y + 64x + 18y + 55 = ±144 ตอบ 16x2 − 9y2 + 64x + 18y + 199 = 0 2 เรขาคณิตวิเคราะห 118 หรือ 2 16x − 9y + 64x + 18y − 89 = 0 (91.1) อยู่ในรูปแบบไฮเพอร์โบลามุมฉาก จุดยอด (2, −2), (−2, 2) จุดโฟกัส (2 2, −2 2), (−2 2, 2 2) (91.2) จัดรูปดังนี้ xy + 2x − y = 3 xy = − k → x(y + 2) − (y +2) = 3 −2 → (x − 1)(y + 2) = 1 52 3 หาสมการวงรีที่มี แสดงว่า c = (1 ± ... คู่อันดับ F(1 ± C(h, k) = (1, 0), 52 , 0) 3 และผลบวกเป็น 8 รีตามแกน 52 , a = 4 → ∴b = 3 16 − = 199 +9 − 64 → 9(x − 1)2 − 16(y + 2)2 = 144 → (x − 1)2 (y + 2)2 − = 1 16 9 C(1, −2), c = อ้อมแกน x 16 + 9 = 5 → จุดโฟกัสอยูท่ ี่ (1 ± 5, −2) = (6, −2) กับ (−4, −2) ผลรวมระยะทางที่ตอ้ งการ คือ |3(6) + 4(−2) − 8| 32 + 42 2 28 = + = 6 5 5 (93) + |3(−4) + 4(−2) − 8| 32 + 42 = 94 +6 − 40 2 (x − 1) (y + 2) − = 1 10 6 52 = 9 92 3 (x − 1)2 9y2 + = 1→ 16 92 23(x − 1)2 + 36(y2) = 368 → 2 2 (x + 1) (y − 2) + = 1 5 6 C(h, k) = (−1, 2), a = c = 4 +6 + 20 วงรี รีตามแกน 6, b = y 5, 6−5 = 1→ V(−1, 2 ± 6), F(−1, 2± 1) → หาสมการไฮเพอร์โบลา ที่ C(−1, 2), V(−1, 2± 1), แกนสังยุคยาวเท่าแกนโท ของวงรี ( b = 5 เท่ากัน) (y − 2)2 (x + 1)2 − = 1→ 5 12 5(y − 2)2 − (x + 1)2 = 5 → → 5y2 − x2 − 20y − 2x + 14 = 0 หน่วย 6(x2 − 2x +1) − 10(y2 + 4y +4) 2 x, ตอบ อยู่ในรูปแบบไฮเพอร์โบลามุม → 23x2 + 36y2 − 46x − 345 = 0 ... มีจุดศูนย์กลางที่ (1, −2) (95) 6(x2 + 2x +1) + 5(y2 − 4y +4) = ฉาก xy = k (92) 9(x2 − 2x +1) − 16(y2 + 4y +4) 52 , 0) 3 (หรือ x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 ก็ได้) (96) ย้ายข้างสมการให้อยู่ในรูป Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 ... ถ้า A หรือ B เป็น 0 ⇒ พาราโบลา ถ้า A = B ⇒ วงกลม C(1, −2) , c = 10 + 6 = 4 → F(1± 4, −2) ดังนั้น ถ้า A ≠ B แต่เครื่องหมายเดียวกัน ⇒ วงรี F1 คือ (5, −2) [Q4 ] → แกนสังยุคของไฮเพอร์โบลา ถ้า A กับ B เครื่องหมายตรงข้ามกัน ⇒ คือ x = 1 → สร้างสมการพาราโบลาที่มจี ุดยอด ไฮเพอร์โบลา ดังนัน้ แต่ละข้อได้คําตอบดังนี้ V(5, −2) และ Directrix: x = 1 → แสดงว่าอ้อม (96.1) วงกลม (96.2) วงรี แกน x และ c = 4 → (96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอร์โบลา (y + 2)2 = 4(4)(x − 5) (96.5) ไฮเพอร์โบลา (96.6) วงกลม → y2 − 16x + 4y + 84 = 0 (96.7) ไฮเพอร์โบลา (96.8) วงรี (96.9) ไฮเพอร์โบลา (96.10) พาราโบลา → อ้อมแกน x Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 119 f(n)=c+tn º··Õè 5 ¤ÇÒÁÊaÁ¾a¹¸/¿§¡ªa¹ ความรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์และฟังก์ชัน จะ เป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร และเป็นพื้นฐานของการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ในการ ทํางาน ทั้งด้านพาณิชยศาสตร์ ด้านวิศวกรรม ฯลฯ ซึ่ง ในบทนี้เราจะได้รู้จักลักษณะเบื้องต้นของความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน คู่อันดับ (Ordered Pair) ประกอบด้วยสมาชิกสองตัวในรูป (a, b) ซึ่งไม่สามารถเปลี่ยน ลําดับสมาชิกตัวหน้ากับตัวหลังได้ และ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d เท่านั้น ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian Product) คือผลคูณระหว่างเซตสองเซต เซต A × B (เอคูณบี) คือเซตของคู่อันดับ ที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต A และสมาชิกตัว หลังมาจากเซต B ครบทุกคู่ หรือเขียนแบบเงื่อนไขได้ว่า A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B } เช่น A = {0, 1, 2} , B = {1, 3} จะได้ A × B = {(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)} A × A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)} ข้อสังเกต 1. n (A × B) = n (A) ⋅ n (B) 2. n (A × ∅) = n (A) ⋅ n (∅) = 0 ดังนั้น A × ∅ = ∅ 3. A × B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือมีเซตใดเซตหนึ่งเป็น Math E-Book Release 2.2 ∅ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 120 5.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ (Relation : r) คือเซตที่สมาชิกทุกตัวเป็นคู่อันดับ หรือกล่าวว่า เซตที่นําไปเขียนกราฟ (2 มิติ บนแกน x,y) ได้ จัดว่าเป็นความสัมพันธ์ นิยาม “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” (from A to B) คือเซตของคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้าอยู่ในเซต A และสมาชิกตัวหลังอยู่ในเซต B แต่ไม่จําเป็นต้องครบ ทุกคู่ ... ดังนั้น “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” คือสับเซตของ A × B และเป็นไปได้ทั้งหมด 2 n (A × B) แบบ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” คือ r = {(x, y) ∈ A × B | .....} ตัวอย่างเช่น A = {2, 3, 4} และ B = {1, 3, 5, 8} จะได้ A × B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 8), (3, 1), (3, 3), (3, 5), ..., (4, 8)} และมี r ⊂ A × B ทั้งสิ้น 2 3 × 4 = 4096 แบบ ... ทุกแบบสามารถเขียนเงื่อนไขได้ เช่น r 1 = {(x, y) ∈ A × B | y < x } จะได้ r 1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 3),(4, 1), (4, 3)} r2 = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1 } จะได้ r2 = {(2, 3), (4, 5)} r 3 = {(x, y) ∈ A × B | x หาร y ลงตัว } จะได้ r 3 = {(2, 8), (3, 3),(4, 8)} r 4 = {(x, y) ∈ A × B | x3 < y } จะได้ r 4 = ∅ หมายเหตุ 1. เนื่องจากความสัมพันธ์จัดเป็นเซตชนิดหนึ่ง จึงเขียนแสดงความสัมพันธ์ได้ 2 ลักษณะ ได้แก่ แจก แจงสมาชิก และบอกเงื่อนไข 2. r = {(x, y) ∈ A × A | .....} เรียกว่า “ความสัมพันธ์ภายใน A” (in A) 3. ถ้าไม่ระบุว่าเป็นความสัมพันธ์จากเซตใดไปเซตใด จะหมายถึงเซตจํานวนจริง R × R แบบฝึกหัด 5.1 (1) กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจํานวนจริง ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (1.1) ∀a∀b [ (a, b) ≠ (b, a) ] (1.2) ∀a∀b [ (a, b) ≠ (c, d) → a ≠ c และ b ≠ d ] (1.3) ∃a∃b [ (a + 2b, 1) = (−1, b + a/2) ] (2) ถ้า (3x + 5, 8 − 4y) = (−5, −6) และ (y, 2) = (−p, 2) (3) กําหนดให้ (a, b) ∗ (c, d) = (a − c, b + d) ถ้า แล้ว ให้หา (x, y) แล้ว ให้หา (xp, x/p) (3, 4) ∗ (0, 0) = (x, y) ∗ (3, 4) (4) กําหนด A, B, C เป็นเซตใดๆ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (4.1) ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจํากัดแล้ว A × B เป็นเซตอนันต์ (4.2) ถ้า A × B เป็นเซตอนันต์ แล้ว A เป็นเซตอนันต์ หรือ B เป็นเซตอนันต์ (4.3) ถ้า A × B = A × C แล้ว B = C Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 121 (4.4) ถ้า A × B = ∅ แล้ว A = B = ∅ (4.5) A × B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B (4.6) (A ∩ B) × C ⊂ A × C ⊂ (A ∪ B) × C (4.7) A × B ≠ A และ A × B ≠ B (4.8) มีเซต A บางเซต ที่ทําให้ A ∩ (A × B) ≠ ∅ (5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (5.1) ถ้า A = {4, 5, 6, {4, 5, 6}} และ B = {4, 5, {4, 5}} แล้ว n [P (A) × P (B)] = 128 (5.2) ถ้า A = {3, 4, 5, ..., 32} , B = {7, 8, 9, ..., 40} และ n [(A × B) ∩ (A × C)] = 570 (5.3) ถ้า แล้ว A = {0, 1, 2, ..., 28} และ C = {0, 1, 2, ..., 25} แล้ว B = {−3, −2, −1, ..., 4} n [(A × B) ∪ (B × A)] = 439 (6) กําหนดให้ A = {a1, a2 , a3 , ..., am} , B = {a1, a2 , a3 , ..., ak } โดยที่ m < k ถ้า (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B) × (B ∩ A) แล้ว n [(A × B) ∪ (B × A)] มีเท่าใด (7) ถ้า n (U) = 10 , n (A ' ∩ B ') = 2 , n (A ' ∪ B ') = จํานวนความสัมพันธ์ต่างๆ กันจาก A ไป B (8) [Ent’39] ถ้า n (A) = 10 9 และ n (B) − n (A) = 1 แล้ว ให้หาจํานวนความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A×A แล้ว ให้หา ไป A (9) กําหนดให้ A = {1, 2, 3} และ B = {0, 4} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (9.1) มีความสัมพันธ์จาก A ไป B ทั้งหมด 64 เซต (9.2) มีความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเท่ากับ A ทั้งหมด 27 เซต (10) กําหนดให้ n (A) = 3 และ n (B) = 4 แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (10.1) จํานวนความสัมพันธ์จาก A ไป B เท่ากับจํานวนความสัมพันธ์จาก B ไป A (10.2) จํานวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A มีทั้งหมด 15 3 เซต (10.3) จํานวนความสัมพันธ์จาก B ไป A ที่โดเมนเป็น B มีทั้งหมด 2401 เซต (10.4) จํานวนความสัมพันธ์ภายใน A ที่โดเมนเป็น A มีทั้งหมด 343 เซต (11) ให้เขียน r1 ∩ r2 แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อ (11.1) r1 = {(x, y) ∈ I × I | x + y = 1 } , r2 = {(x, y) ∈ I × I | x − y (11.2) r1 = {(x, y) | x2 + y2 = 16 } , r2 = {(x, y) | y = 4 − x2} = 3} (12) ถ้า A = {1, 2, 3, ..., 20} , B = {0, 1, 2, ..., 25} และ r = {(x, y) ∈ A × B | y > x } ให้หาจํานวนคู่อันดับภายใน r 5.2 โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์ โดเมน (Domain; D) ของความสัมพันธ์ คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ เรนจ์ หรือ พิสัย (Range; R) ของความสัมพันธ์ คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ นั่นคือ Dr = { x | (x, y) ∈ r } และ Rr = { y | (x, y) ∈ r } Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET Dr1 = {2, 3, 4} , Rr1 = {1, 3} , Dr2 = {2, 4} , Rr2 = {3, 5} เช่นในตัวอย่างข้างต้น และ ความสัมพันธและฟงกชัน 122 Dr4 = Rr4 = ∅ ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว Dr ⊂ A และ Rr ⊂ B การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ภายใน R ซึ่งบอกมาเป็นเงื่อนไข (สมการ) ให้พิจารณาที่เงื่อนไขว่าหากมีสิ่งเหล่านี้คือ การหาร, การถอดราก, ค่าสัมบูรณ์, การยกกําลัง จะมีข้อจํากัดเกิดขึ้น กล่าวคือ ถ้ามี a = b จะได้ว่า c ≠ 0 c ถ้ามี a = n b ถ้า n เป็นจํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0 และ b > 0 ถ้ามี a = b n ถ้า n เป็นจํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0 ถ้ามี a = b จะได้ว่า a > 0 โดยการหาโดเมน ควรจะพิจารณาในรูปสมการ y = ...(x)... (เขียน y ในเทอมของ x) และการหาเรนจ์ หากเป็นไปได้ควรจัดรูปให้กลายเป็น x = ...(y)... (เขียน x ในเทอมของ y) แล้ว ค่อยพิจารณา 2 ตัวอยาง ใหหาโดเมนและเรนจของ r = {(x, y) | y = 4 − x } วิธีคิด (1) การหาโดเมน พบวามีรากที่สอง ดังนัน้ 4 − x > 0 หรือ −2 < x < 2 (2) การหาเรนจ เนื่องจากมีรากที่สอง ดังนัน้ y > 0 เสมอ จากนั้นจัดรูปเปน x = ± 4 − y ซึ่งจะไดวา 4 − y > 0 ก็คือ −2 < y < 2 นําเงื่อนไขมารวมกันไดเปน 0 < y < 2 ดังนั้น ตอบ D = [−2, 2] และ R = [0, 2] • 2 2 r 2 r y • หมายเหตุ หากไดศึกษาเรื่องกราฟวงกลมในบทเรียน 2 “เรขาคณิตวิเคราะห” จะทราบวาสมการ y = 4 − x อยูในรูปแบบของวงกลม x + y = 4 ดังภาพ x 2 (แตกลายเปนครึง่ วงกลม เนื่องจากมีเครื่องหมายรากที่สอง -2 O ทําให y > 0 เทานัน้ ) ซึ่งถาเขียนกราฟจะมองเห็นโดเมนและเรนจไดชัดเจนกวาการคํานวณ 2 2 2 r −1 คือ ตัวผกผัน หรือ อินเวอร์ส (Inverse) ของ r โดยที่ r −1 = {(y, x) | (x, y) ∈ r } อธิบายได้ว่า r −1 สามารถหาได้จาก การสลับที่สมาชิกตัวหน้าและหลังของคู่อันดับใน r หรือถ้าเป็นความสัมพันธ์แบบเงื่อนไข ก็หาได้จากการสลับที่ระหว่าง x และ y นั่นเอง เช่น ถ้า r = {(2, 1),(3, 3),(4, 5),(0, −1)} จะได้ r −1 = {(1, 2),(3, 3),(5, 4),(−1, 0)} แต่ถ้าเป็นแบบเงื่อนไข r = {(x, y) | y = 2x − 3 } สามารถเขียน r −1 ได้หลายแบบ เช่น r = {(y, x) | y = 2x − 3 } หรือ r = {(x, y) | x = 2y − 3 } หรือ r = {(x, y) | y = x + 3 } 2 ซึ่งแบบสุดท้าย (เขียนในรูปของ y) นี้เป็นที่นิยมมากกว่า ข้อสังเกต Dr = Rr และ Rr = Dr เสมอ −1 −1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 123 แบบฝึกหัด 5.2 (13) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ (13.1) r = {(x, y) | xy = 2 } (13.2) r = {(x, y) | (x − 2)(y − 1) = 1 } (13.3) r = {(x, y) | y = 1 } x−1 (13.4) r = {(x, y) | y = (13.5) r = {(x, y) | y = 2x − 3 } x+1 x+1 , x > 1} x−1 (14) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ [ Hint : บางสมการควรจัดรูปให้เป็นกําลังสองสมบูรณ์ ] (14.1) r = {(x, y) | y = x2} (14.2) r = {(x, y) | y = x } (14.3) r = {(x, y) | y = x2 − 2x − 3 } (14.4) r = {(x, y) | y = 3 + x + 1 } (14.5) r = {(x, y) | x2 + y2 = 16 } (14.6) r = {(x, y) | y = 16 − x2 } (14.7) r = {(x, y) | y = 1 4 − 3x − x2 } 2 (14.8) 2 r = {(x, y) | x + y2 − 6x + 4y − 3 = 0 } (15) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ (15.1) r = {(x, y) | y = 2 1 } x −x 1 } x − 4x + 3 (15.2) r = {(x, y) | y = (15.3) r = {(x, y) | y = (15.4) (15.5) (15.6) r = {(x, y) | 2x2 + y2 − 2xy + x + 1 = 0 } 2 x+1 x } r = {(x, y) | x2y2 − y2 − x − 2 = 0 } r = {(x, y) | xy2 − xy − 2y2 + 2y − 6x + 11 = 0 } (16) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ 3 } (16.1) r = {(x, y) | y = x+3 −4 (16.2) (16.3) r = {(x, y) | y = x+2 − x } r = {(x, y) | y = x2 − 4 } (17) ให้หาเรนจ์ ของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ (17.1) r = {(x, y) | y = 2 1 } x −4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (17.2) r = {(x, y) | y = (17.3) r = {(x, y) | y = (17.4) r = {(x, y) | y = 1 2 x −4 3x − 1 + 2 2x2 − 3x − 2 } r = {(x, y) | xy = 1 + y } (19) ให้ r เป็นความสัมพันธ์ภายใน A = Dr ∩ Rr แล้ว R Rr − Dr ซึ่ง เป็นเซตใด ⎧⎪ x − 2 , x < 11 r = {(x, y) | y = ⎨ } ⎪⎩ 15 − x , x > 11 แล้ว ผลบวกของค่าขอบเขตบนน้อยสุดกับค่าขอบเขตล่างมากสุดเป็นเท่าใด (20) กําหนดให้ r = Rr ∩ Dr' เป็นเท่าใด (21) ถ้า } x } x −2 (18) ให้ ถ้า ความสัมพันธและฟงกชัน 124 {(x, y) | y2 − 2xy2 − x + 1 = 0 } r = {(x, y) | y = 1 } x2 − 2x − 3 (22) ถ้าให้เอกภพสัมพัทธ์เป็น ก. ∃x∀y [x + y = y] Rr โดยที่ จํานวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นสมาชิกของ แล้ว ให้หาคอมพลีเมนต์ของ r = {(x, y) | y2 = (9 − x2)−1} ข. Dr−1 แล้ว ข้อใดถูก ∀x∃y [x + y = 0] 5.3 กราฟของความสัมพันธ์ “กราฟของความสัมพันธ์ r” ก็คือเซตของจุดบนแกนมุมฉาก (x, y) ซึ่งแต่ละจุดแทนสมาชิก ใน r (โดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นแกนนอน และสมาชิกตัวหลังเป็นแกนตั้ง) เช่น ถ้า r1 = {(1, 2),(−1, 2),(2, 3),(−2, 0),(0, −2)} r2 = {(x, y) ∈ I × I | y = x2 } = {(0, 0),(±1, 1),(±2, 4), ...} และ r3 = {(x, y) ∈ R × R | y = x2} จะได้กราฟดังภาพ y y y 4 3 r1 r2 r3 2 1 x x x O -2 -1 O 1 2 -2 -1 O 1 2 -2 การเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะช่วยให้เห็นโดเมนและเรนจ์ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น รูปแบบของกราฟที่ควรรู้จักมีดังนี้ ... หมายเหตุ ควรศึกษาเทคนิคการเขียนกราฟ (การเลือ่ นแกน, การปรับขนาดกราฟ) ซึ่งอธิบายไว้ในบทเรียน “เรขาคณิตวิเคราะห์” เพื่อช่วยในการหาโดเมนและเรนจ์ต่อไป Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET y = mx + c 1. กราฟเส้นตรง m คือความชัน และ c คือระยะตัดแกน y y y y m>0 m0 2 y = ax a>0 x O 3. กราฟค่าสัมบูรณ์ (ที่คล้ายพาราโบลา) y y = a|x| a>0 x O x O y = ax2 a0 O x y = a|x| a0 O Math E-Book Release 2.2 c 3x2 x 2 x O O -2 O x2 + y2 > 4 2 x -2 กราฟของอินเวอร์ส ( r −1 ) มีความเกี่ยวข้องกับกราฟของ r คือ เกิดจากการหมุนกราฟโดยมี เส้นตรง y = x เป็นแกนหมุน … เท่ากับเป็นการสลับแกน x กับ y กันนั่นเอง y y เส้นตรง y=x r r-1 x x (-3,-1) O (-1,-3) แบบฝึกหัด 5.3 (23) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ โดยอาศัยการเขียนกราฟ (23.1) r = {(x, y) | x + y = 4 } (23.2) r = {(x, y) | x − 2 + y = 2 } (23.3) r = {(x, y) | y = x2 + 2x − 2 } (23.4) r = {(x, y) | y = x2 + 2x − 2 , − 3 < x < 2 } (24) ขนาดพื้นที่ของบริเวณในแต่ละข้อเป็นกี่ตารางหน่วย เมื่อกําหนดให้ r1 = {(x, y) | x + y < 1 } r2 = {(x, y) | x − y < 1 } r4 = {(x, y) | y > 0 } (24.1) (24.2) และ r5 = {(x, y) | x > 0 } r1 ∩ r2 ∩ r5 (24.3) (24.4) r1 ∩ r4 ∩ r5 (25) ให้หาขนาดพื้นที่ (ตารางหน่วย) ของ r1 = {(x, y) | x − y + 1 > 0 } และ r3 = {(x, y) | y − x < 1 } r1 ∩ r2 ∩ r3 r1 ∩ r3 ∩ r4 r3 ∩ r4 ∩ r5 เมื่อ r2 = {(x, y) | 2x + y − 4 < 0 } r3 = {(x, y) | y + 1 > 0 } (26) ให้หาขนาดพื้นที่ (ตารางหน่วย) ของ (26.1) r1 = {(x, y) | 2 < x + y r1 ∩ r2 } และ เมื่อ r2 = {(x, y) | x + y < 4 } Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 127 (26.2) r1 = {(x, y) | x + 2 y < 4 } และ r2 = {(x, y) | 2 x + y > 2 } (26.3) [Ent’21] r1 = {(x, y) | y2 < 4 − x2 } และ r2 = {(x, y) | y > x } (26.4) r1 = {(x, y) | y < 16 − x2 } และ r2 = r1−1 (27) ให้หาขนาดพื้นที่ (ตารางหน่วย) ของ r ∪ r −1 เมื่อ r = {(x, y) | 2 x + y < 8 } (28) ถ้า A = โดเมนของ r1 ∩ r2 และ B = เรนจ์ของ r1 ∩ r2 โดยที่ r1 = {(x, y) | x + y > 2 } และ r2 = {(x, y) | x + 2 y แล้ว ผลบวกของจํานวนเต็มใน A ∩ B ' เป็นเท่าใด (29) ถ้า r1 = เป็นช่วงใด {(x, y) | x − y = 5 } (30) ถ้า A = เป็นช่วงใด {x | x2 − 2x < 3 } และ และ < 4} r2 = {(x, y) | x2 + y2 < 53 } แล้ว โดเมนของ r = {(x, y) ∈ A × R | x2 − y − 1 = 0 } r1 ∩ r2 แล้ว เรนจ์ของ r (31) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (31.1) ถ้า r = {(x, y) ∈ R × R | y = x2 } แล้ว r −1 = r (31.2) ถ้า r = {(x, y) ∈ R+ × R | y = x2 } แล้ว r −1 = r (31.3) ถ้า r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 25 } แล้ว r −1 = r (31.4) ถ้า r = {(x, y) ∈ R+ × R | x2 + y2 = 25 } แล้ว r −1 = r y (32) ให้หาขนาดพื้นที่ของอาณาบริเวณ ที่ถูกล้อมด้วยกราฟของ r และ r −1 (2,2) (0,1) เมื่อกําหนดกราฟของ r เป็นดังภาพ x O (0,-1) (-2,-2) 5.4 ลักษณะของฟังก์ชัน จากที่ศึกษาผ่านมาแล้วว่า ความสัมพันธ์ คือเซตของคู่อันดับ (และที่พบบ่อยจะเขียนอยู่ใน รูปสมการ) หากความสัมพันธ์ใดมีลักษณะดังต่อไปนี้ด้วย จะเรียกว่าเป็น ฟังก์ชัน (Function : f) “สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัว จะคู่กบั สมาชิกตัวหลังได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น” หรือกล่าวว่า สําหรับ x แต่ละตัว จะคู่กับ y ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น เช่น r1 = {(0, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 4)} ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ 1 คู่กับทัง้ 2 และ 3 r2 = {(0, 1),(1, 2),(3, 1),(2, 4)} เป็นฟังก์ชัน เพราะไม่มีการใช้สมาชิกตัวหน้าซ้ําเลย (ห้ามใช้สมาชิกตัวหน้าซ้ํา แต่ใช้สมาชิกตัวหลังซ้ําได้) Math E-Book Release 2.2 S e¾ièÁeµiÁ! S ¿§¡ªa¹ e»ÃÕºeÊÁ×o¹e¤Ã×èo§¨a¡Ã·Õeè ÃÒãÊ x e¢Òä» æÅa¼Ò¹¡ÃaºÇ¹¡Òäíҹdz¨¹¡Ãa·aè§ä´ y oo¡ÁÒ.. ´a§¹aé¹ ¡Òèae»¹¿§¡ªa¹ä´ ¶ÒeÃÒãÊ x 溺e´iÁ e¢Ò仡ç¤Çèaä´¤Ò y e·Òe´iÁoo¡ÁÒ¹aè¹eo§.. (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 128 r1 0 1 2 r2 0 1 2 3 1 2 3 4 ไม่เป็นฟังก์ชัน r3 = {(x, y) | y2 = x } 2 r4 = {(x, y) | y = x } 1 2 4 เป็นฟังก์ชัน ไม่เป็นฟังก์ชัน สมมติ x = 4 จะได้ว่า y = 2 หรือ −2 เป็นฟังก์ชัน เพราะไม่ว่าจะแทน x ค่าใด ก็ได้ y เพียงค่าเดียว เมื่อเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะเห็นได้ชัดเจนว่า x แต่ละตัว คู่กับ y เพียงตัวเดียว หรือไม่ (ลากเส้นแนวตั้ง ดูว่าที่ x แต่ละค่า เส้นนี้ตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุดหรือไม่) y y r3 r4 x O x O ไม่เป็นฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชัน สิ่งที่ควรทราบ 1. ความสัมพันธ์ที่เขียนในรูป y = ...(x)... ได้แบบเดียว จะเป็นฟังก์ชันเสมอ * 2. ถ้า f เป็นฟังก์ชัน จะเขียนแทน y ด้วยคําว่า f (x) (อ่านว่า เอฟเอกซ์) เช่น ลักษณะของฟังก์ชัน “ฟังก์ชันจาก A ไป B” (from A into B หรือ f : A คือฟังก์ชันซึ่ง Df = A และ Rf ⊂ B “ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B” (from A onto B หรือ คือฟังก์ชันซึ่ง Df = A และ Rf = B 0 1 2 r5 A เป็นฟังก์ชัน a b 0 1 2 3 B A r6 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S >B) f : A f (x) = x2 onto ¿§¡ªa¹¨Ò¡ A ä» B ¨aµo§ãª o´eÁ¹ (¤×oe«µ A) ãˤú·u¡µaÇ ¹a¤Ãaº ¼i´¡aº¤ÇÒÁÊaÁ¾a¹¸¨Ò¡ A ä» B «Öè§äÁµo§ãª A ËÁ´¡çä´ >B) a b c d 0 1 2 3 B A เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B r7 a b c B เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B “ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B” (one-to-one หรือ f : A 1− 1 > B ) คือฟังก์ชันที่ Df = A และ Rf ⊂ B และ “สําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วย” 1− 1 >B) “ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B” (one-to-one correspondence หรือ f : A onto คือฟังก์ชันที่ Df = A และ Rf = B และ “สําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วย” Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 0 1 2 ความสัมพันธและฟงกชัน 129 r5 A a b 1 2 4 B A เป็นฟังก์ชัน 1-1 r8 a b c d 0 1 2 3 B A r9 a b c d B เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไป B เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไปทั่วถึง B เมื่อเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะทําการตรวจสอบว่า y แต่ละตัว คู่กับ x เพียงตัวเดียว หรือไม่ โดยลากเส้นแนวนอนและดูว่าที่ y แต่ละค่า เส้นนี้ตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุดหรือไม่ y y y r3 O r10 r4 x x O ไม่เป็นฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1-1 O x เป็นฟังก์ชัน 1-1 ฟังก์ชันแบบเฉพาะต่างๆ ที่ควรรู้จัก ฟังก์ชันคงตัว (Constant Function) f (x) = a (กราฟเส้นตรงแนวนอน) ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Function) f (x) = ax + b (กราฟเส้นตรงเฉียงๆ) ฟังก์ชันกําลังสอง (Quadratic Function) f (x) = ax2 + bx + c (กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ํา) ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial Function) f (x) = anxn + an − 1xn − 1 + an − 2xn − 2 + ... + a0 ฟังก์ชันตรรกยะ (Rational Function) f (x) = p (x) ..เมื่อ p (x), q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม q(x) ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function) f (x) = ax + b + c (กราฟรูปตัววีหงายหรือคว่ํา) ฟังก์ชันเพิ่ม (Increasing Function) และ ฟังก์ชันลด (Decreasing Function) มีนิยามดังนี้ ... สําหรับทุกๆ x1, x2 ∈ [a, b] ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ ถ้า x2 > x1 แล้ว f (x2) > f (x1) และ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ ถ้า x2 > x1 แล้ว f (x2) < f (x1) เพิ่มเติม การเขียนกราฟของฟังก์ชนั พหุนาม และ การหาช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลด จะได้ศึกษา อย่างละเอียดในเรื่องอนุพันธ์ (บทที่ 15) ตัวอยางการแกฟงกชัน (1) • ถา f (x) = 2x − 3 ใหหา f (3x − 1) วิธีคิด จาก f (Δ) = 2 (Δ) − 3 จะได f (3x − 1) = 2 (3x − 1) − 3 = 6x − 5 ... ตอบ • f (3x − 1) = 6x − 5 ใหหา f (x) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET วิธีคิด ให A = 3x − 1 ความสัมพันธและฟงกชัน 130 นั่นคือ x = A+1 3 จะไดวา f (3x − 1) = 6x − 5 กลายเปน ดังนั้น f (x) = 2x − 3 ... ตอบ f (A) = 6( A+1 ) − 5 = 2A − 3 3 • f (3x − 1) = 6x − 5 ใหหา f (2) วิธีคิด ให 2 = 3x − 1 ไดเลย นั่นคือ x = 1 จะไดวา f (3x − 1) = 6x − 5 กลายเปน f (2) = 6 (1) − 5 = • f (x) = 2x − 3 ใหหา f (3x − 1) ในรูปของ f (3x − 1) = 6( ... ตอบ f (x) วิธีคิด หา f (3x − 1) = 2 (3x − 1) − 3 = 6x − 5 กอน จากนั้นเปลี่ยน x เปน f (x) โดย f (x) = 2x − 3 → จะไดวา 1 f (x) + 3 ) − 5 = 3 f (x) + 4 2 x = f (x) + 3 2 ... ตอบ แบบฝึกหัด 5.4 (33) f ที่กําหนดให้ในแต่ละข้อ เป็นฟังก์ชันจริงหรือไม่ และถ้าเป็นฟังก์ชันให้ระบุเพิ่มเติมด้วยว่า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ (33.1) f (x) = x2 (33.6) f (x) = 1/ x 2 (33.7) f (x) = x2 + x + 1 (33.2) [f (x)] = x (33.8) f (x) = x3 (33.3) f (x) = x (33.9) f (x) = 1/ x2 (33.4) f (x) = x (33.10) f (x) = x 2/ 3 (33.5) f (x) = x (34) ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่ (34.1) r = {(x, y) | x + y < 1 } (34.2) r = {(x, y) | x + y = 1 } (35) ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่ (35.1) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.2) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.3) r = {(x, y) | x + y = 1} (35.4) r = {(x, y) | x + y = 1} (36) ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ (36.1) f = {(x, y) | 2x + y − 3 = 0 } (36.2) f = {(x, y) | (x − 4)(y + 3) = 1} (36.3) f = {(x, y) | y − 3 = (x + 4)3} (36.4) f = {(x, y) | x2 − y + 3 = 0 } Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 131 (37) ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชัน f : R > R หรือไม่ (37.1) f = {(x, y) | y = 9 − x2 } (37.2) f = {(x, y) | y = 9 + x2 } (37.3) f = {(x, y) | y x = 1} (37.4) f = {(x, y) | x + y − 5 = 0 } (38) ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชัน f : R onto > A เมื่อ A (38.1) f = {(x, y) | y = x4} (38.2) f = {(x, y) | y = x2 − 2x + 3 } (38.3) f = {(x, y) | y = x2 − 4 } (38.4) f = {(x, y) | y = x3 + 3x2 + 3x + 1 } (39) ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน (39.1) f (x) = 5x − 2 (39.2) f (x) = −2x + 5 (39.3) f (x) = x2 + 3 R = [0, ∞) หรือไม่ หรือไม่ (39.4) (39.5) (39.6) f (x) = x2 + 2x + 1 f (x) = (x − 2)3 + 2 f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 (40) ให้หาโดเมน และเรนจ์ ของฟังก์ชันต่อไปนี้ (40.1) f (x) = x2 − 2x + 4 (40.2) f (x) = x2 − 25 x −5 (40.3) f (x) = 1 + x2 x (41) กําหนด f (x) = เมื่อ t อยู่ในช่วงใด x2 เมื่อ −2 < x < 8 ถามว่า f (t + 3) (42) ให้หาค่าของ (42.1) f (x) เมื่อ f (x + 1) = x2 + 3x + 9 (42.2) f (2) เมื่อ f ( x2 − 1) = x2 + 2 (42.3) f (4x) ในเทอมของ f (x) เมื่อ f (x) = เท่ากับเท่าใด และจะมีความหมาย x x+2 5.5 ฟังก์ชนั ประกอบ และฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันดังแผนภาพ จะได้ว่า f (0) = 3 และ g(3) = 7 อาจกล่าวว่า g(f (0)) = 7 ก็ได้ นอกจากนั้น g(f (1)) = 8 และ g(f (2)) = 7 Math E-Book Release 2.2 0 1 2 f A (คณิต มงคลพิทักษสุข) 3 4 5 6 B g 7 8 9 C คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 132 ฟังก์ชัน g(f (x)) เป็นฟังก์ชันจาก A ไป C เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ g(f (x)) = (g D f)(x) เรียกว่าฟังก์ชันประกอบของ f และ g และอ่านว่า จีโอเอฟเอกซ์ ฟังก์ชัน (g D f)(x) จะหาได้ก็เมื่อ มีสมาชิกบางส่วนของ หรือกล่าวว่า (g D f)(x) จะหาได้ ก็เมื่อ Rf ∩ Dg ≠ ∅ f B กับ Dg ร่วมกัน f g A Rf g B A C หา gof ได้ C หา gof ไม่ได้ * โดยทั่วไป ถ้า Rf ⊂ Dg จะได้ว่า Dgof = Df (คือโดเมนของ f ทุกตัวใช้ได้หมด) แต่ถ้า Rf ⊄ Dg (กรณีนี้พบบ่อยเป็นปกติ) จะได้ว่า Dgof ⊂ Df เท่านั้น (คือโดเมนของ f บางตัวใช้ ไม่ได้ เพราะเรนจ์ของตัวนั้นไม่ได้อยู่ในโดเมน g) ... การหาโดเมนของ g D f จึงต้องระวัง 2 ตัวอยางเชน f (x) = x − 1 และ g(x) = x ตองการหา D ... จะไดวา (g D f)(x) = g (f (x)) = g( x − 1) = x − 1 ซึ่งดูจากลักษณะแลว คา x นาจะเปนจํานวนจริงใดๆ ( D = R ) แตที่จริงแลว f (x) = x − 1 นัน้ x > 1 จากนั้นนํา f (x) ไปใชกับ ดังนั้นจึงสรุปวา D = [1, ∞) • gof gof g พบวาใชไดทั้งหมด gof ตัวอยางการแกฟงกชัน (2) • ถา f (x) = 2x − 3 และ g(x) = 3x + 4 ใหหา (g D f)(x) วิธีคิด จาก (g D f)(x) = g (f (x)) = g (2x − 3) = 3 (2x − 3) + 4 = 6x − 5 ... ตอบ • (g D f)(x) = 6x − 5 และ • (g D f)(x) = 6x − 5 และ g(x) = 3x + 4 ใหหา f (x) วิธีคิด จาก (g D f)(x) = g (f (x)) = 3 (f (x)) + 4 แตโจทยกําหนด (g D f)(x) = 6x − 5 ดังนั้น 3 (f (x)) + 4 = 6x − 5 ยายขางสมการได f (x) = 2x − 3 ... ตอบ ใหหา f (2) วิธีคิด จาก (g D f)(2) = g (f (2)) = 3 (f (2)) + 4 แต (g D f)(2) = 6 (2) − 5 = ดังนั้น 3 (f (2)) + 4 = 7 ยายขางสมการได f (2) = 1 ... ตอบ • (g D f)(x) = 6x − 5 g(x) = 3x + 4 7 ใหหา g (x) วิธีคิด จาก (g D f)(x) = g (f (x)) = g(2x − 3) แตโจทยกําหนด (g D f)(x) = 6x − 5 ดังนั้น g(2x − 3) = 6x − 5 ใชเทคนิคการแกฟงกชันตามเดิมได g(x) = 3x + 4 ... ตอบ และ f (x) = 2x − 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 133 • (g D f)(x) = 6x − 5 และ f (x) = 2x − 3 ใหหา g(1) วิธีคิด ตองการ g(1) จึงให f (x) = 1 จะได 2x − 3 = 1 → x = 2 แทนคา x ดวย 2 จะได (g D f)(2) = g(1) = 6 (2) − 5 = 7 ... ตอบ ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) เราทราบแล้วว่าความสัมพันธ์ r ใดๆ สามารถหาอินเวอร์ส ( r − 1 ) ได้เสมอ เช่นเดียวกัน ฟังก์ชัน f ใดๆ ก็จะหาอินเวอร์ส f − 1 ได้เสมอ แต่ f − 1 อาจไม่เป็นฟังก์ชัน ถ้า f − 1 เป็นฟังก์ชันจะเรียกว่า ฟังก์ชันอินเวอร์ส หรือ ฟังก์ชันผกผัน และเขียนเป็น f − 1(x) ได้ จากหลักการเขียนกราฟของอินเวอร์ส ทําให้พบว่า f จะเป็นฟังก์ชัน ก็เมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เท่านั้น และ f − 1(,) = Δ มีความหมายเดียวกับ f (Δ) = , −1 สมบัติของอินเวอร์ส ได้แก่ (f D g)−1 = g−1 D f −1 และ (f −1)−1 = f ตัวอยางการแกฟงกชัน (3) • ถา f (x) = 2x − 3 ใหหา f (x) วิธีคิด จาก f (x) = 2x − 3 → f (2x − 3) = x จากนั้นใชเทคนิคการแกฟงกชันตามเดิมได f (x) = 0.5 x + 1.5 ... ตอบ (หมายเหตุ อาจใชวิธีหาอินเวอรส เหมือนในบทเรียนความสัมพันธ คือสลับตัวแปร −1 −1 −1 x กับ y ) −1 ถา f (x) = 2x − 3 ใหหา f (5) วิธีคิด จาก f (x) = 2x − 3 → f (2x − 3) = x แลวให 2x − 3 = 5 นั่นคือ x = 4 ดังนัน้ แทนคา • −1 x ดวย 4 จะได f − 1(5) = 4 ... ตอบ −1 ถา f (x − 1) = 4x − 3 ใหหา f (x) วิธีคิด จาก f (x − 1) = 4x − 3 → f (4x − 3) = x − 1 จากนั้นใชเทคนิคการแกฟงกชันตามเดิมได f (x) = 0.25 x − 0.25 ... ตอบ • −1 −1 −1 ถา f (x − 1) = 4x − 3 ใหหา f (5) วิธีคิด จาก f (x − 1) = 4x − 3 → f (4x − 3) = x − 1 แลวให 4x − 3 = 5 นั่นคือ x = 2 ดังนัน้ แทนคา x ดวย • −1 • [Ent’35] ถา f − 1(x) = x x −2 และ (f D g)(x + 2) = 2 3x + 6 จะได ใหหา วิธีคิด ตองการ g(2) จึงให x + 2 = 2 นัน่ คือ x = 0 แทนคาใน (f D g)(x + 2) = 3x + 6 จะไดวา (f D g)(2) = 6 หรือ จากนั้นใชสมบัตขิ องอินเวอรส กลายเปน f (6) = g(2) ซึ่ง f (6) = 6 6− 2 = 1.5 ดังนั้น g(2) = 1.5 ... ตอบ f − 1(5) = 1 g (2) f (g (2)) = 6 −1 −1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ... ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 134 พีชคณิตของฟังก์ชัน (Algebra of Function) (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g (x) ซึ่ง Df ∗ g = Df ∩ Dg เครื่องหมาย ∗ เป็นได้ทั้ง +, −, ×, ÷ (โดยกรณีหาร g(x) ≠ 0 ) แบบฝึกหัด 5.5 (43) ให้หา g D f และ f D g ของฟังก์ชันที่กําหนดให้ในแต่ละข้อ (43.1) f (x) = 2x และ g(x) = x + 3 (43.2) f (x) = x + 1 และ g(x) = x (43.3) f (x) = 4x + 1 และ g(x) = x2 * (43.4) (44) [Ent’33] ถ้า ให้หา (g D f)(1) ⎧⎪ 4 − x , x < 0 f (x) = ⎨ ⎪⎩ 6 − x , x > 4 (g D f)(x) = 3 [f (x)] 2 − 2 f (x) + 1 x+1 x (45) ถ้า f (x) = เมื่อ (46) ถ้า g(x) = x2 + x + 2 (47) ถ้า f (x) = Ax + B x ≠ 0 และ โดยที่ และ g(x) = x2 + 1 และ และ (f D g)(x) = x (g D f)(x) = x2 − x + 2 A > 0 และ เมื่อ x >2 g(x) = x2 − x + 2 ให้หา g(x) แล้วให้หา (f D f)(x) = 4x − 9 f (x) ให้หาค่า B (48) อินเวอร์สของฟังก์ชันต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันหรือไม่ (48.1) f = {(x, y) | y = x x } (48.2) f = {(x, y) | y = (x + 1)2} (48.3) f = {(x, y) | y = 9 − x2 } (48.4) f = {(x, y) | y = 1 / x } (49) ให้หาฟังก์ชันผกผัน (49.1) f (x) = f −1(x) 5−x (49.5) 5x + 4 (49.6) (49.2) f (x) = (49.3) f (x) = x−1 3 (49.4) f (x) = 1 x−1 (50) ให้หา f −1(x) เมื่อกําหนดให้ เมื่อกําหนดให้ (49.7) x −2 x−3 x f (x) = 2x − 1 f (x) = f (x) = 2x − 3 3x − 2 ⎧⎪2x + 2 , x > 0 f (x) = ⎨ 2 ⎪⎩−x − 1 , x < 0 (51) ให้หา f −1(x) เมื่อกําหนดให้ (51.1) f (3x − 4) = 4x + 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 135 x x f ( + 1) = −1 2 2 5x − 7 f (x + 1) = x−3 (51.2) [Ent’21] (51.3) f − 1[ 3 f (2x + 1) − 3x + 2 ] = 2x + 1 (51.4) (52) ถ้า f (x − 1) = x3 − 3x2 + 3x + 5 แล้วค่าของ (53) กําหนดให้ f (x + 3) = 4x − 5 และ (53.1) (f D g−1)(5) (53.2) (g D f −1)(−1) f (x + 1) = 2x + 3 (54) กําหนดให้ (57) ถ้า f (x) = 1− x (61) ถ้า (g D f)(x) = x2 − 25 (61.1) (62) ถ้า และ (59.2) (f − g)(x) = 3 − 4x (f D g) (−2) x x −2 และ ให้หา Df / g แล้ว ให้หา ( fDg )(x) h (f D g)(x) = x + 2 แล้ว ให้หา [(g D f −1) ⋅ h](2) แล้ว ให้หา (60.2) [(g−1 + f −1) D f](1) แล้ว ให้หา (f + g)(2) (61.2) และ f ( )(x) g ⎧x + 1 , x > 0 h (x) = ⎨ ⎩x − 1 , x < 0 −1 f −1(x + 1) = 2x + 3 (62.1) และ แล้ว ให้หา (f −1 + g + h−1)(−2) f −1(x) = (g−1 D f −1)(0) f f (x) = 4x , g(x) = x2 + 1 (f + g)(x) = 2x + 1 ให้หาค่าของ แล้ว ให้หา (57.2) (g)(x) (59) ถ้า (60.1) h (x) = 1 − x2 (g + f −1)(x) และ (g−1 D f −1)(3) (f + g)(x) = x2 + x − 3 f (x) = x + 5 (60) ถ้า และ (56.2) และ (f −1 D g−1)(−4) ⎧⎪ x2 , x > 3 g(x) = ⎨ ⎪⎩−x , x < 3 [(g D f) + h](x) (58) ถ้า (59.1) และ (55.2) x + 1 , g(x) = f (2x − 3) = 3x − 2 (57.1) (54.2) (f − g)(x) (55.1) (56.1) (53.3) (53.4) ให้หาค่าของ ⎧2x + 1 , x > 0 g(x) = ⎨ ⎩3x + 1 , x < 0 และ ⎧−2x , x > 0 f (x) = ⎨ ⎩ 3 , x < 0 (55) กําหนดให้ เป็นเท่าใด g(x − 3) = 2 − 3x (f −1 D g−1)(0) (54.1) (56) ถ้า f −1(5) [(g D f) ⋅ f −1](4) (f D g)(x − 1) = 5x + 1 f ( + f −1)(3) g Math E-Book Release 2.2 แล้ว ให้หา (62.2) [(fg) D f −1](1) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 136 เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1) ผิดทุกข้อ (2) (35/3, 20/21) (3) (6, 0) (4) ข้อ (4.2) และ (4.6) ถูก (5) ถูกทุกข้อ (6) 2mk − m2 (7) 220 (8) 2 1,000 (9) ถูกทุกข้อ (10) ถูกทุกข้อ (11.1) {(2, −1)} (11.2) {(0, 4), ( 7, −3), (− 7, −3)} (12) 310 (13.1) Dr = R − {0} , Rr = R − {0} (23.4) [−3, 2) , [−3, 6) (24.1) 1 (24.2) 0.5 (24.3) 1 (24.4) หาค่าไม่ได้ (25) 6.75 (26.1) 24 (26.2) 12 (26.3) π (26.4) 4π (27) 85.33 (28) 0 (29) [−7, −5] ∪ [5, 7] (30) [−1, 8] (32) 4 (31) ข้อ (31.2) และ (31.3) ถูก (33) ข้อ (33.2) และ (33.5) ไม่เป็นฟังก์ชัน ข้อ (33.3), (33.6), (33.8) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (34.1) ไม่เป็น (34.2) เป็น (35) ข้อ (35.4) เท่านั้นที่เป็น (36) ข้อ (36.4) เท่านั้นที่ไม่เป็น (37) ข้อ (37.2) เท่านัน้ ที่เป็น (38) ข้อ (38.2) เท่านั้นไม่เป็น (39) ข้อ (39.1), (39.5), (39.6) เป็น (40.1) R , [3, ∞) (40.2) R − {5} , R − {10} (40.3) R − {0} , R − (−2, 2) (41) (t + 3)2 เมื่อ −5 < t < 5 (42.1) x2 + x + 7 (42.2) 7 x2 − 4 5 3x + 1 (49.2) (49.3) (49.4) (49.5) x > 0 1 + 1 / x เมื่อ x ≠ 0 3x − 2 เมื่อ x ≠ 1 x−1 x 2x − 1 (49.6) 2x − 3 3x − 2 (49.7) (50) f เมื่อ −1 เมื่อ x ≠ 1 2 เมื่อ x ≠ 2 3 ⎧⎪ 0.5x + 1 , x > 2 (x) = ⎨ ⎪− − x − 1 , x < − 1 ⎩ (13.2) R − {2} , R − {1} 3x − 25 (51.2) x + 2 (51.1) (13.3) R − {1} , R − {0} 4 (13.4) R − {−1} , R − {2} (51.3) 4x − 12 เมื่อ x ≠ 5 (13.5) (1, ∞) , (1, ∞) x −5 (14.1) R , [0, ∞) (51.4) 4x + 7 (52) –1 3 (14.2) [0, ∞) , [0, ∞) (53.1) –33 (53.2) –19 (14.3) R , [−4, ∞) (53.3) 4 (53.4) –4 (14.4) [−1, ∞) , [3, ∞) (54.1) –2/3 (54.2) –1/2 (14.5) [−4, 4] , [−4, 4] (55.1) 3 + x, x < 0 และ (14.6) [−4, 4] , [0, 4] −x, 0 < x < 3 และ (14.7) [−4, 1] , [0, 1.25] −2x − x2 , x > 3 4 f (x) (14.8) [−1, 7] , [−6, 2] (42.3) (55.2) R − {0} 3 f (x) + 1 (15.1) R − {0, 1} , R − (−4, 0] (56.1) 1 − x + 1 + 1 − x2 (15.2) R − {1, 3} , R − (−1, 0] (43.1) (g D f)(x) = 2x + 3 , (f D g)(x) = 2x + 6 (15.3) [−1, ∞) − {0} , R เมื่อ −1 < x < 0 (43.2) (g D f)(x) = x + 1 (15.4) ∅ , ∅ 1+ 1− x (56.2) (15.5) [−2, −1) ∪ (1, ∞) , R เมื่อ x > −1 , 1− x (15.6) R − (46/25, 2] , R − {3, −2} (f D g)(x) = x + 1 เมื่อ x > 0 เมื่อ x ∈ (−∞, 1) − {−1} (16.1) R − {−7, 1} , R − (−3/ 4, 0] (43.3) (g D f)(x) = (4x + 1)2 , (57.1) x2 + x − 43 2 (16.2) R , [0, 2] 6 (f D g)(x) = 4x + 1 2 (16.3) R , [0, ∞) 5 − x , x < 0 (57.2) 2x − x − 11 (43.4) (g D f)(x) = ⎧⎪⎨ 3x + 5 (17.1) R − {−2, 2} ⎪⎩(6 − x) + 1 , x > 8 เมื่อ x ≠ −5/3 (17.2) R − [−2, 2] และ (f D g)(x) = 5 − x2 x+5 (17.3) R − {2} (17.4) [2, ∞) เมื่อ x > 2 (44) 11/4 หรือ 2 (58) x (x − 10) เมื่อ x ≠ 0, 10 (18) {1} (19) 5 (20) 2 (59.1) 7/2 (59.2) 15/4 (45) 1 เมื่อ x ≠ 1 (21) (−1/4, 0] (22) ข. x−1 (60.1) 5/3 (60.2) 5/3 (23.1) [−4, 4] , [−4, 4] (46) x − 1 หรือ −x (47) –3 (61.1) 6 (61.2) 7/2 (23.2) [0, 4] , [−2, 2] (48) ข้อ (48.1) เท่านัน้ ที่เป็น (62.1) 7 1 (62.2) 43 (23.3) R , [−3, ∞) 43 (49.1) 5 − x2 เมื่อ x > 0 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 137 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1.1) ผิด เพราะมีบาง a, บาง b ซึ่ง (a, b) = (b, a) เช่น a = 2, b = 2 (1.2) ผิด เพราะ (a, b) ≠ (c, d) ไม่ได้แปลว่า a ≠ c และ b ≠ d พร้อมๆ กันเสมอไป ต้องใช้ว่า a ≠ c หรือ b ≠ d จึงจะถูก (1.3) ข้อนีจ้ ะถูกก็เมื่อ a + 2b = −1 และ a 1= b+ → 2 = 2b + a ซึ่งเป็นไปไม่ได้ 2 เพราะสมการทั้งสองขัดแย้งกัน (ไม่มีคําตอบ) ดังนัน้ ข้อนีจ้ ึงผิด (2) 3x + 5 = −5 → x = −10 / 3 และ 8 − 4y = −6 → y = 7 / 2 y = −p → p = −7 / 2 ดังนัน้ (xp, x) = (35 , 20) p 3 21 n[(A × B) ∪ (B × A)] = n(A × B) + n(B × A) −n[(A × B) ∩ (B × A)] พบว่า A ∩ B = {0, 1, 2, 3, 4} ดังนัน้ (A × B) ∩ (B × A) จะมีอยู่ 5 × 5 คู่อนั ดับ ทําให้ได้ (29 × 8) + (8 × 29) − (5 × 5) = 439 ถูก (6) จาก n[(A × B) ∪ (B × A)] = n(A × B) + n(B × A) − n[(A × B) ∩ (B × A)] (ตัวที่ขดี เส้นใต้ โจทย์ให้เป็น (A ∩ B) × (B ∩ A) ) จะได้ = mk + km − mm = 2mk − m2 (7) n(A '∩ B ') = 2 แสดงว่า n(A ∪ B) = 8 (วาดรูปประกอบจะเห็นชัด) n(A '∪ B ') = 9 แสดงว่า x 1 y n(A ∩ B) = 1 (3) (3, 4) ∗ (0, 0) = (3 − 0, 4 + 0) = (3, 4) และ (x, y) ∗ (3, 4) = (x − 3, y + 4) ดังนัน้ 3 = x − 3 → x = 6 และ 4 = y + 4 → y = 0 ตอบ (6, 0) (4.1) ผิด มีกรณีที่ A × B กลายเป็นเซตจํากัด คือเมือ่ B = ∅ จะทําให้ A × B = ∅ (4.2) ถูก เพราะถ้า n(A × B) หาค่าไม่ได้ แสดงว่า n(A) หรือ n(B) ต้องหาค่าไม่ได้ (4.3) ผิด ไม่จาํ เป็นว่า B = C หากว่า A = ∅ (4.4) ผิด A = ∅ หรือ B = ∅ อย่างใดอย่างหนึง่ ก็ได้ ไม่ต้องเป็น ∅ ทั้งคู่ (4.5) ผิด ถ้า A = ∅ ก็ทําให้ A × B = B × A ได้ (4.6) ถูก เพราะ A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B (4.7) ผิด เช่น A = ∅ จะทําให้ A × B = A ได้ (หรือ B = ∅ จะทําให้ A × B = B ) (4.8) ผิด เพราะสมาชิกของ A กับสมาชิก ของ A × B ย่อมไม่มีตวั ใดซ้าํ กันอยู่แล้ว ( A × B มีสมาชิกเป็นคูอ่ ันดับ) ดังนัน้ A ∩ (A × B) = ∅ เสมอ (5.1) n(P(A)) = 24 , n(P(B)) = 23 → n(P(A) × P(B)) = 24 ⋅ 23 = 128 ถูก (5.2) เนื่องจาก (A × B) ∩ (A × C) = A × (B ∩ C) n(A) = 30 n(B ∩ C) = 19 → n[(A × B) ∩ (A × C)] = 30 × 19 = 570 (5.3) จากสูตรเรื่องเซต ถูก 2 และจาก n(B) − n(A) = 1 A B จะได้วา่ (y + 1) − (x + 1) = 1 และ x + 1 + y = 8 แก้ระบบสมการได้ x = 3 , y = 4 ดังนั้น n(A) = 4 , n(B) = 5 และความสัมพันธ์จาก A ไป B มีทั้งสิ้น 24 × 5 = 220 แบบ (8) 2n(A × A)⋅ n(A) = 2100 × 10 = 21,000 แบบ (9.1) 23 × 2 = 26 = 64 ถูก (9.2) โดเมนเป็น {1, 2, 3} ครบทุกจํานวน ดังนัน้ ต้องคิดแบบการนับ ส่วนของโดเมนเป็น 1 จะมีได้ 3 แบบ คือ (1, 1) / (1, 2) / (1, 1), (1, 2) คิดจาก 22 − 1 (สับเซตของ B ทุกแบบ ที่ไม่ใช่ ∅ ) โดเมนเป็น 2 ก็มี 3 แบบ, เป็น 3 ก็มี 3 แบบ ดังนัน้ ประกอบกันทั้งสามส่วน ได้ 3 × 3 × 3 = 27 ถูก (10.1) ถูก คือ 212 แบบ (10.2) โดเมนเป็นตัวแรก มี 15 แบบ → คิดจาก 24 − 1 (สับเซตของ B ทุกแบบที่ไม่ใช่ ∅ ) ตัวสองและสาม ก็ 15 แบบ ดังนัน้ ได้ 15 × 15 × 15 ถูก (10.3) คิดเช่นเดียวกับข้อ (10.2) คือ แต่ละตัวของ โดเมน B จะมีได้ 23 − 1 = 7 แบบ รวมกันทั้ง 4 ตัว เป็น 7 × 7 × 7 × 7 = 2,401 ถูก (10.4) คิดเช่นเดิม 23 − 1 = 7 → 7 × 7 × 7 = 343 ถูก (11.1) r1 ∩ r2 ได้จากการแก้ระบบสมการ คือ (x, y) = (2, −1) เท่านั้น (เป็นจํานวนเต็มพอดี) จึงตอบ r1 ∩ r2 = { (2, −1) } Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 138 (11.2) แก้ระบบสมการ ได้ y2 − y − 12 = 0 → y = 4 หรือ −3 ถ้า y = 4 → x = 0 , ถ้า y = −3 → x = ± 7 ดังนัน้ r1 ∩ r2 = {(0, 4), ( 7, −3), (− 7, −3)} (12) ถ้า x = 1 ได้ y = 1, 2, 3, ..., 25 → 25 แบบ ถ้า x = 2 ได้ y = 2, 3, ..., 25 → 24 แบบ ... จนถึง x = 20 ได้ y = 20, 21, ..., 25 (6 แบบ) รวมจํานวนคูอ่ ันดับ = 25 + 24 + 23 + ... + 6 (14.1) y = x2 → Dr = R , Rr = [0, ∞) หมายเหตุ เป็นกราฟพราโบลาหงาย (14.2) y = x → Dr = [0, ∞) , Rr = [0, ∞) หมายเหตุ เป็นกราฟพาราโบลาหงายเหมือนข้อที่แล้ว แต่มีเพียงซีกขวาเท่านั้น เพราะ x ห้ามติดลบ = 310 x = 2 → x ≠ 0 → Dr = R − {0} y = x 2 → y ≠ 0 → Rr = R − {0} y หมายเหตุ เป็นกราฟ ไฮเพอร์โบลามุมฉาก ดังนี้ (13.2) ก. y − 1 = 1 x−2 → x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2 → Dr = R − {2} ข. 14.1 (ควรใช้สูตรอนุกรมบทที่ 13 ในการบวกเลข) (14.3) (13.1) ก. ข. ความสัมพันธและฟงกชัน 14.2 y = x2 − 2x − 3 → y + 3 +1 = x2 − 2x +1 → y + 4 = (x − 1)2 ดังนัน้ Dr = R , Rr = [−4, ∞) หมายเหตุ เป็นกราฟพาราโบลาหงาย จุดยอด (1,-4) (ไม่ว่าจะวาดกราฟหรือไม่ ก็ตอ้ งจัดกําลังสองสมบูรณ์ ให้เหลือ x กับ y เพียงอย่างละตัวเดียวเสมอ) (14.4) y − 3 = x + 1 (เป็นพาราโบลา (y − 3)2 = x + 1 แต่มีเพียงซีกบน) x + 1 > 0 → Dr = [−1, ∞) 1 x −2 = → y ≠ 1 → Rr = R − {1} y − 1 y − 3 > 0 → Rr = [3, ∞) (14.5) ถ้าคิดด้วยกราฟ จะได้รปู วงกลม D = [−4, 4], R = [−4, 4] r หมายเหตุ เป็นกราฟไฮเพอร์โบลามุมฉาก เหมือนใน r หรื อ คิ ด โดยจั ด รู ป สมการก็ได้ คือ ข้อที่แล้ว แต่เลือ่ นจุด (0,0) ไปอยู่ที่ (2,1) ก. y = ± 16 − x2 → 16 − x2 > 0 (13.3) ก. y = 1 → x ≠ 1 → Dr = R − {1} → (x − 4)(x + 4) < 0 → −4 < x < 4 ข. x−1 1 → y ≠ 0 → Rr = R − {0} x −1= y หมายเหตุ เป็นกราฟไฮเพอร์โบลามุมฉาก (13.4) ก. y = 2x − 3 → x + 1 ≠ 0 → x x+1 ≠ −1 → Dr = R − {−1} xy + y = 2x − 3 → xy − 2x = −y − 3 → −y − 3 x = → y − 2 ≠ 0 → Rr = R − {2} y−2 ข. (13.5) ก. y = x+1 x −1 → (x + 1.5)2 y2 + = 1 6.25 1.5625 จากภาพจะได้ → x ≠ 1 โจทย์เพิ่มว่า x > 1 ดังนั้น Dr = (1, ∞) ข. xy − y = x + 1 → xy − x = y + 1 → y+1 ... แต่เนือ่ งจาก x > 1 จะได้ y + 1 > 1 x = y−1 ข. x = ± 16 − y2 → ... → −4 < y < 4 (14.6) y = 16 − x2 เป็นครึง่ วงกลม เพราะ ้ Dr = [−4, 4], Rr = [0, 4] y > 0 เสมอ ดังนัน (14.7) 2y = 4 − 3x − x2 → ลองยกกําลังสอง ได้ 4y2 = 4 − 3x − x2 เป็นสมการวงรี จัดรูปดังนี้ (x2 + 3x + 2.25) + 4y2 = 6.25 y−1 y+1 y + 1− y + 1 → −1> 0 → > 0 y−1 y−1 2 → > 0 → y > 1 ดังนั้น Rr = (1, ∞) y−1 Dr = [−4, 1] และ Rr = [0, 1.25] 2.5 1.25 (1.5,0) วงรีดา้ นล่างหายไปเพราะ ในโจทย์มีรทู้ ทําให้ y > 0 เสมอ (14.8) (x2 − 6x + 9) + (y2 + 4y + 4) = 3 + 9 + 4 → (x − 3)2 + (y + 2)2 = 42 เป็นวงกลมที่มีจดุ ศูนย์กลางที่ (3, −2) รัศมี หน่วย ดังนัน้ Dr = [−1, 7], Rr = [−6, 2] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET → Dr = R − {0, 1} 1 1 1 1 x −x = → x2 − x + = + y 4 y 4 เขียนเส้นจํานวน จะได้ Rr = R − (−4, 0] (15.2) ก. x2 − 4x + 3 ≠ 0 → (x − 3)(x − 1) ≠ 0 → Dr = R − {1, 3} 1 1 → x2 − 4x + 4 = + 1 y y y+1 y +1 >0 → (x − 2)2 = → y y x2 − 4x + 3 = เขียนเส้นจํานวน จะได้ Rr (15.3) ก. x + 1 > 0 → 2 2 x y −x−1= 0 → x = และ 1± 1 + 4y2 → 2y2 (เป็นจริงเสมอ) y2 − 2xy + 2x2 + x + 1 = 0 4x2 − 8x2 − 4x − 4 2 2x ± → y = → y = x ± −x2 − x − 1 2 → − x − x − 1 > 0 → x2 + x + 1 < 0 แยกตัวประกอบไม่ออก แสดงว่าก้อนนี้เป็นบวกเสมอ หรือทดลองจัดกําลังสองสมบูรณ์ก็ได้ ได้ผลดังนี้ 1 3 < 0 เป็นไปไม่ได้ ∴ Dr = ∅ → (x + )2 + 2 4 ข. เนือ่ งจาก Dr = ∅ จะได้ Rr = ∅ ด้วย (15.5) ก. y2 = x2 + 2 → x2 + 2 > 0 → x −1 x −1 x +2 > 0 เขียนเส้นจํานวนได้ (x − 1)(x + 1) Dr = [−2, −1) ∪ (1, ∞) หมายเหตุ x2 − 1 ≠ 0 รวมอยู่ในเส้นจํานวนแล้ว ข. x2y2 − x − y2 − 2 = 0 → x = 1± 1 + 4y4 + 8y2 2y2 4 2 → 1 + 4y + 8y > 0 ดังนัน้ Rr = R ข. x = เป็นจริงเสมอ → 2y2 − 2y − 11 → (y − 3)(y + 2) ≠ 0 y2 − y − 6 → Rr = R − {3, −2} (16.1) ก. | x + 3 | − 4 ≠ 0 → x + 3 ≠ ±4 ข. 2 (15.4) ก. เขียนเส้นจํานวนได้ 25x − 46 >0 4x − 8 46 Dr = R − ( , 2] 25 x > −1 , 1 1 + 4y > 0 → y > − 4 ∴ Rr = R 2 1 25x − 46 (y − )2 = 2 4x − 8 = R − (−1, 0] x+1 x+1 → y2 = → x x2 y = มอง (y-1/2) เป็นก้อนๆ หนึ่ง แล้วย้ายข้างแบบข้อ (13.4) จะได้ → Dr = R − {−7, 1} x ≠ 0 → Dr = (−1, ∞) − {0} ข. (15.6) ก. 2 1 y+4 y +4 >0 → (x − )2 = → 2 4y 4y ข. 1 21 2(y − )2 − 2 2 → x = 1 1 (y − )2 − 2 4 x2 − x ≠ 0 → x(x − 1) ≠ 0 (15.1) ก. ข. ความสัมพันธและฟงกชัน 139 3 3 → | x + 3 |= +4 y y 3 3 + 4y >0 → +4>0 → y y | x + 3 |− 4 = ดังนัน้ Rr = R − (− 3 , 0] 4 (16.2) ก. x ∈ R → Dr = R เนื่องจากไม่มีข้อจํากัดใดๆ สําหรับค่า x ข. y = |x + 2| − |x | → แยกช่วงย่อยคิด.. ถ้า x > 0 → y = | x + 2 − x | = 2 ถ้า −2 < x < 0 → y = |x + 2 + x | = |2x + 2| ถ้า x < −2 → y = | −x − 2 + x | = 2 จะได้กราฟดังภาพ และ Rr = [0, 2] 2 -1 (16.3) กราฟสร้างจากพาราโบลา แต่วา่ มีค่าสัมบูรณ์ ทําให้ y > 0 เสมอ กราฟด้านล่างทีค่ า่ y ติดลบ จะถูกพลิกขึน้ ด้านบนให้เป็น ค่าบวก ดังภาพ y = x2 − 4 ∴ Dr = R, Rr = [0, ∞) (17.1) Rr−1 = Dr ⇒ 2 x − 4 ≠ 0 → (x − 2)(x + 2) ≠ 0 ดังนัน้ Rr = R − {2, −2} (17.2) x2 − 4 ≠ 0, x2 − 4 > 0 ดังนัน้ x2 − 4 > 0 → Rr = R − [−2, 2] (17.3) Rr = R − {2} −1 −1 −1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 2x2 − 3x − 2 > 0 → (2x + 1)(x − 2) > 0 → x ∈ (−∞, −1/2] ∪ [2, ∞) (17.4) และ 3x − 1 + 2 2x2 − 3x − 2 > 0 → 2 2x2 − 3x − 2 > 1 − 3x ถ้า x > 1 → 4(2x2 − 3x − 2) < 1 − 6x + 9x2 3 → x2 + 6x + 9 > 0 → (x + 3)2 > 0 เสมอ ถ้า x < 1 → ... → (x + 3)2 < 0 เป็นไปไม่ได้ 3 ∴ Rr−1 = [2, ∞) (18) x = เท่านัน้ 1+ y → Rr = R − {0} y xy − y = 1 → y = 1 → Dr = R − {1} x − 1 ดังนัน้ Rr − Dr = {1} (19) ก.>x 11; x − 2 ความสัมพันธและฟงกชัน 140 0 →x 2 x > 11; 15 − x > 0 → x < 15 นํามารวมกันได้เป็น Dr = [2, 15] ข. ในช่วง 2 < x < 11 จะได้ y2 = x − 2 แสดงว่า y มีค่าเพิ่มขึ้นจาก 0 ไปถึง 3 ส่วนในช่วง 11 < x < 15 จะได้ y2 = 15 − x แสดงว่า y มีค่าลดลงจาก 2 ถึง 0 (จะใช้วิธีทดลองพล็อตเป็นกราฟพาราโบลาก็ได้) สรุป Rr = [0, 3] → A = Dr ∩ Rr = [2, 3] และผลบวก 3 + 2 = 5 2 (20) x = y 2 + 1 → Rr = R 2y + 1 x −1 x−1 1 < 0 → Dr = ( , 1] → y2 = 1 − 2x 2x − 1 2 ดังนัน้ Rr ∩ Dr ' = R − ( 1 , 1] 2 จํานวนเต็มบวกทีน่ ้อยที่สดุ คือ 2 (21) Dr = Rr → x2 − 2x − 3 = −1 1 x − 2x +1 = + 3 +1 → y 1 → y y2 = (22) 1 1 → 9 − x2 = 2 → 9 − x2 y 1 9y2 − 1 9y2 − 1 >0 = → 2 2 y y y2 (3y − 1)(3y + 1) > 0 เขียนเส้นจํานวนได้ผล y2 x2 = 9 − นั่นคือ เป็น Rr = R − (− ก. ∃x∀y[x + y = y] ไม่ถูก เพราะ x + y แสดงว่า x = 0 แต่ใน U ไม่มี 0 ข. ∀x∃y[x + y = 0] ถูก เพราะไม่ว่าหยิบ ก็จะหา y ทีต่ รงเงือ่ นไขได้เสมอ 4 (23.1) Dr = [−4, 4] 1 4y + 1 +4 = y y = y x ตัวใด Rr = [−4, 4] -4 (23.2) Dr = [0, 4] (23.3) 4 -4 2 2 (2,0) Rr = [−2, 2] y + 2 = x2 + 2x → y + 3 = (x + 1)2 Dr = R Rr = [−3, ∞) (-1,-3) (23.4) กราฟเหมือนข้อที่แล้ว แต่มีแค่ช่วงเดียว Dr = [−3, 2) Rr = [−3, 6) (24) (2,6) (-3,2) (-1,-3) 1 1 2 (x − 1)2 = 1 1 , )= U 3 3 1 → 4y + 1 >0 y เขียนเส้นจํานวนได้ (−∞, −1 / 4] ∪ (0, ∞) ดังนัน้ คอมพลีเมนต์คอื (−1 / 4, 0] 1 -1 (24.1) 1 ตร.หน่วย (24.2) 1/2 ตร.หน่วย 1 -1 1 1 (24.3) 1 ตร.หน่วย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) -1 (24.4) หาค่าไม่ได้ คณิตศาสตร O-NET / A-NET 141 (25) หาจุดยอดของ (30) Δ ได้เป็น (1, 2), (−2, −1), (2.5, −1) ดังนัน้ พื้นที่ = 1 × 3 × 4.5 2 = 6.75 (26.1) พื้นที่ = − ตร.หน่วย 1 ×4×4 2 = 32 − 8 = 24 = 2 2 1 ตร.หน่วย = π ตร.หน่วย พื้นที่ = 4π = (31.1) ผิด 1 × (π × 22) 4 4 4 1 r1 ∩ r2 (27) 8 + ) 1 1 8 = 4 ( × 8 × 4 + × × 4) 2 2 3 256 = ≈ 85.33 ตร.หน่วย 3 (28) A = Dr1 ∩ r2 = [−4, 4] B = [−2, 2] 4 2 (8/3,8/3) 4 8 2 2 2 (33) ใช้วิธสี ังเกตว่า x เดียวให้คา่ y เดียวหรือไม่ (ถ้ามี yเลขคู่ หรือ |y| จะไม่เป็นฟังก์ชัน, ถ้ามี xเลขคู่ หรือ |x| จะไม่เป็น 1-1) หรือจะใช้วิธีเขียนรูปกราฟก็ ได้ (ถ้ามีเส้นตรงในแนวตั้งที่ตดั กราฟเกิน 1 จุดได้ จะ ไม่เป็นฟังก์ชัน, ถ้ามีเส้นตรงแนวนอนทีต่ ัดกราฟเกิน 1 จุดได้ จะไม่เป็น 1-1) 33.1 4 (±7, ±2) ดังนัน้ Dr1 ∩ r2 = [−7, −5] ∪ [5, 7] 33.4 -5 5 53 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1− 1 33.5 (33.4) เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น (33.5) ไม่เป็นฟังก์ชัน (33.6) เป็นฟังก์ชัน 1 − 1 Math E-Book Release 2.2 33.3 33.2 (33.1) เป็นฟังก์ชันแต่ไม่เป็น (33.2) ไม่เป็นฟังก์ชัน (33.3) เป็นฟังก์ชัน 1 − 1 A − B = [−4, −2) ∪ (2, 4] ผลบวก = −4 − 3 + 3 + 4 = 0 (29) แก้ระบบสมการ ได้จุดตัดทั้งสี่เป็น - 53 r −1 (31.3) ถูก (31.4) ผิด 1 (32) พื้นที่ = 4( × 1 × 2) 2 2 = 4 ตร.หน่วย r2 = r1−1 1 (π × 42) 4 4( r 2 r1 ตร.หน่วย = (31.2) ถูก r = r −1 4 4 พื้นที่ r = r −1 r −1 4 (26.4) 4 Rr = [−1, 8] r 2 2 (26.3) พื้นที่ (0,-1) 2 ตร.หน่วย (3,8) r = {(x, y) | x2 = y + 1, x ∈ [−1, 3]} จะได้ (31) 4 (26.2) พื้นที่ = 4 × ( 1 × 2 × 3) = 12 2 -1 1 ×8×8 2 A = [−1, 3] (-1,0) 4 1 -1 ความสัมพันธและฟงกชัน 1− 1 33.6 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 33.8 33.7 (33.7) ความสัมพันธและฟงกชัน 142 1 3 f(x) = (x + )2 + 2 4 เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่ เป็น 1 − 1 (33.8) เป็นฟังก์ชัน 1 − 1 (33.9) เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1 − 1 (33.10) เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1 − 1 34.1 34.2 (34.1) ไม่เป็น (34.2) เป็น (35) มีเพียง (35.4) ที่เป็น ดังรูป 35.1 (38) ฟังก์ชนั จาก R ไปทั่วถึง [0, ∞) แสดงว่า Df = R และ Rf = [0, ∞) พิจารณาทุกข้อแล้ว Df = R แน่นอน เพราะ x เป็นเท่าใดก็ได้ ดังนั้น ต้องพิจารณา Rf ว่าเป็นเท่าใด (38.1) ใช่ เพราะ y > 0 (38.2) ไม่ใช่ เพราะ y − 2 = (x − 1)2 → y > 2 (38.3) ใช่ เพราะ x2 − 4 > −4 → y > 0 (38.4) ใช่ เพราะ y = |x + 1|3 → y > 0 (39.1) เป็น เพราะเป็นเส้นตรง ความชัน 5 (39.2) ไม่เป็น (ความชัน −2 ) (39.3) และ (39.4) ไม่เป็น เพราะเป็นพาราโบลา หงาย (มีช่วงที่เกิดฟังก์ชันลดด้วย) (39.5) f(x) − 2 = (x − 2)3 และ (39.6) f(x) = (x + 1)3 เป็นทั้งสองข้อ ดังรูป (40.1) y = x2 − 2x + 4 → y − 3 = (x − 1)2 → Df = R, Rf = [3, ∞) 35.3 35.4 (40.2) ดังนัน้ y = 1− 1 3 ทุกข้อยกเว้น (36.4) ดังรูป 36.1 3/2 36.2 (4,-3) (รูปพาราโบลาหงาย) (x − 5)(x + 5) → Df = R − {5} x−5 Rf = R − {10} (40.3) ก. (36) เป็น (-1,0) (2,2) 35.2 x+y=1 x+y=-1 39.6 39.5 y = 2 1+ x x ... เพราะ x ≠ 5 → Df = R − {0} y2 − 4 2 → y2 − 4 > 0 → Rf = R − (−2, 2) ข. x2 − xy + 1 = 0 → x = y ± (41) −2 < t + 3 < 8 → − 5 < t < 5 ดังนัน้ f(t + 3) = (t + 3)2 เมื่อ −5 < t < 5 (42.1) ให้ A = x + 1 → x = A − 1 → จะได้ f(A) = (A − 1)2 + 3(A − 1) + 9 36.3 (-4,3) 36.4 = A2 + A + 7 3 ดังนัน้ f(x) = x2 + x + 7 (42.2) ให้ 2 = x2 − 1 จะได้ ดังนัน้ f(2) = 5 + 2 = 7 (37) ฟังก์ชนั จาก R ไป R แสดงว่า Df = R (37.1) ไม่ใช่ เพราะ 9 − x2 > 0 แสดงว่า −3 < x < 3 เท่านัน ้ (37.2) ใช่ เพราะ 9 + x2 > 0 เสมอ → x ∈ R (37.3) ไม่ใช่ เพราะ x ≠ 0 (37.4) ไม่ใช่ เพราะ x = 5 − | y | → x < 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) x2 = 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (42.3) f(4x) = 4x 4x + 2 (48) อินเวอร์สจะเป็นฟังก์ชนั ก็ตอ่ เมื่อ f เป็น ฟังก์ชนั 1-1 ดังนั้นให้ตรวจสอบว่าแต่ละข้อเป็น ฟังก์ชนั 1-1 หรือไม่ ดังนี้ (48.1) เป็น เพราะ y = x2 เมื่อ x > 0 และ y = −x2 เมื่อ x < 0 ดังรูป x → xf(x) + 2f(x) = x x +2 −2f(x) → xf(x) − x = −2f(x) → x = f(x) − 1 ดังนั้น f(4x) = 4x = 1 1 = 4x + 2 1+ 2x 1 4f(x) = f(x) − 1 3f(x) + 1 1−( ) 4f(x) แต่ f(x) = 48.1 48.2 (43.1) (gof)(x) = g(2x) = 2x + 3 และ (fog)(x) = f(x + 3) = 2x + 6 (43.2) (gof)(x) = g(x + 1) = x + 1 และ (fog)(x) = f( x) = x + 1 (43.3) (gof)(x) = g(4x + 1) = (4x + 1)2 และ (fog)(x) = f(x2) = 4x2 + 1 (43.4) ก. กรณีแรก (gof)(x) = g( 4 − x) = 4 − x + 1 = 5 − x เมื่อ “ x < 0 และ 4 − x > 2 ” → x < 0 กรณีที่สอง (gof)(x) = g(6 − x) = (6 − x)2 + 1 เมื่อ “ x > 4 และ |6 − x | > 2 ” → x > 8 ข. กรณีแรก (fog)(x) = 4 − (x2 + 1) = 3 − x2 เมื่อ “|x | > 2 และ x2 + 1 < 0 ” ... เป็นไปไม่ได้ กรณีที่สอง (fog)(x) = 6 − (x2 + 1) = 5 − x2 เมื่อ “|x | > 2 และ x2 + 1 > 4 ” → |x | > 2 (44) 3f(x)2 − 2f(x) + 1 = f(x)2 − f(x) + 2 → 1 หรือ 1 2f(x)2 − f(x) − 1 = 0 → f(x) = − ดังนัน้ 1 (gof)(1) = g(f(1)) = g(− ) 2 2 หรือ g(1) = 11 / 4 หรือ 2 (45) g(x) + 1 = x → xg(x) = g(x) + 1 g(x) → g(x) = 1 ; x ≠ 1 x −1 f(x)2 + f(x) + 2 = x2 − x + 2 1 1 → [f(x) + ]2 = [x − ]2 2 2 (46) → f(x) = x − 1 (47) หรือ f(x) = −x (fof)(x) = 4x − 9 → A(Ax + B) + B = 4x − 9 → A2 = 4 และ โจทย์ให้ A > 0 AB + B = −9 ดังนัน้ ความสัมพันธและฟงกชัน 143 A = 2 → B = −3 48.3 48.4 (48.2) (48.3) (48.4) (49.1) x = ไม่เป็น เช่น y=1 จะได้ x=0 หรือ -2 ไม่เป็น เช่น y=0 จะได้ x=3 หรือ -3 ไม่เป็น เช่น y=1 จะได้ x=1 หรือ -1 จาก y = 5 − x ; y > 0 กลายเป็น 5 − y → y = 5 − x2 ; x > 0 (49.2) จาก x = y = 5x + 4 ; y > 0 y−1 → y = 3x + 1 3 (49.4) จาก y = 1 กลายเป็น x−1 1 1 → y = + 1; x ≠ 0 x = y−1 x x = (49.5) จาก x = y = x−2 x−3 กลายเป็น y −2 → xy − 3x = y − 2 y−3 3x − 2 ;x ≠ 1 x −1 (49.6) จาก y = x กลายเป็น 2x − 1 y → 2xy − x = y x = 2y − 1 → y = x 1 ;x ≠ 2x − 1 2 (49.7) จาก y = 2x − 3 กลายเป็น 3x − 2 2y − 3 → 3xy − 2x = 2y − 3 x = 3y − 2 → y = → y = Math E-Book Release 2.2 กลายเป็น x −4 ;x > 0 5 x−1 กลายเป็น y = 3 5y + 4 → y = (49.3) จาก 2 2x − 3 2 ;x ≠ 3x − 2 3 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (50) กรณีแรก → y = x +1 2 x = 2y + 2 ;y > 0 ∴ 2y + 2 > 2 ) ;y < 0 → y = − − x − 1 ; x < −1 f −1(−1) → 4x − 5 = −1 → x = 1 ให้ → g(4) = 2 − 3(7) = −19 (53.3) หา x−3 = 4 → x = 7 g−1(−4) → 2 − 3x = −4 → x = 2 → g (−4) = 2 − 3 = −1 ⎧ x +1 ; x>2 ⎪ f (x) = ⎨ 2 ⎪⎩ − x − 1 ; x < −1 −1 (51.1) f −1(4x + 3) = 3x − 4 ให้ A = 4x + 3 → x = A − 3 4 (f −1og−1)(−4) = f −1(−1) = 4 (53.4) หา → f(2x + 1) = 3f(2x + 1) − 3x + 2 3 3 → f(2x + 1) = x − 1 → f −1( x − 1) = 2x + 1 2 2 ให้ A = 3 x − 1 → x = 2 (A + 1) → 2 3 2 จะได้ f −1(A) = 2( )(A + 1) + 1 = 4A + 7 3 3 4x + 7 −1 ∴ f (x) = 3 (51.4) (52) f −1(x3 − 3x2 + 3x + 5) = x − 1 → ให้ x3 − 3x2 + 3x + 5 = 5 จะได้ x = 0 เท่านัน้ → ∴ f −1(5) = 0 − 1 = −1 (53.1) หา g−1(5) โดย g−1(2 − 3x) = x − 3 → ให้ 2 − 3x = 5 → x = −1 → g−1(5) = −4 หา (fog−1)(5) = f(−4) โดยให้ x + 3 = −4 (หาไว้แล้วในข้อที่แล้ว) f −1(3) → 4x − 5 = 3 → x = 2 → f −1(3) = 2 + 3 = 5 (g−1of −1)(3) = g−1(5) = −4 (54.1) กรณีแรก ใช้ไม่ได้เพราะ จะได้ f −1(A) = 3(A − 3) − 4 = 3A − 25 4 4 3x − 25 −1 → f (x) = 4 −1 x (51.2) f ( − 1) = x + 1 → 2 2 x ให้ A = − 1 → x = 2(A + 1) → 2 2(A + 1) −1 f (A) = + 1 = A + 2 → f −1(x) = x + 2 2 (51.3) f −1(5x − 7) = x + 1 → x −3 5x − 7 3A − 7 ให้ A = → x = x−3 A −5 3A − 7 4A − 12 −1 ∴ f (A) = +1= A−5 A −5 4x − 12 −1 → f (x) = ;x ≠ 5 x −5 → x = −7 → f(−4) = −33 (gof −1)(−1) = g(4) → −1 (เครื่องหมายลบเท่านั้น เพราะ y < 0 เสมอ) (เงื่อนไขมาจาก y < 0 → −y2 < 0 → ∴ −y2 − 1 < −1 ) ดังนัน้ (53.2) หา → f −1(−1) = 1 + 3 = 4 ;x > 2 (เงื่อนไขมาจาก y > 0 กรณีที่สอง x = −y2 − 1 ความสัมพันธและฟงกชัน 144 กรณีที่สอง − (หาไว้แล้วในข้อแรก) g−1(0) = − 1 2 1 2 >0 g−1(0) = − 1 3 ใช้ได้ เพราะ − 1 < 0 3 1 1 f −1(− ) หาโดยให้ 2x + 3 = − 3 3 5 1 5 2 ∴ f −1(− ) = − + 1 = − → x = − 3 3 3 3 ต่อมา (54.2) f −1(0) หาจาก 2x + 3 = 0 → x = − 3 2 3 1 +1= − 2 2 กรณีแรก g−1(− 1) = − 3 ใช้ไม่ได้เพราะ − 3 > 0 4 2 4 1 1 1 −1 กรณีที่สอง g (− ) = − ใช้ได้เพราะ − < 0 2 2 2 1 ตอบ − 2 → f −1(0) = − (55.1) กรณีแรก (f − g)(x) = −2x − x2 เมื่อ x > 0 และ x > 3 → x > 3 กรณีที่สอง (f − g)(x) = −2x + x = −x เมื่อ x > 0 และ x < 3 → 0 < x < 3 กรณีที่สาม (f − g)(x) = 3 + x เมื่อ x < 0 และ x < 3 → x < 0 (55.2) Df / g = Df ∩ Dg โดยที่ g(x) ≠ 0 ดังนัน้ x ≠ 0 → Df / g = R − {0} (56.1) [(gof) + h](x) = 1 − x + 1 + 1 − x2 เงื่อนไขคือ x + 1 > 0 → x > −1 และ 1 − x + 1 > 0 → x < 0 นั่นคือเงือ่ นไขของ x เป็น −1 < x < 0 (56.2) ( fog )(x) = h เงื่อนไขคือ 1− x + 1 1 − x2 > 1− x 0 → x < 1 1 − x + 1 > 0 → เป็นจริงเสมอ และ 1 − x2 ≠ 0 → x ≠ 1, x ≠ −1 สรุปเงือ่ นไขของ x คือ x ∈ (−∞, 1) − {−1} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET f(2x − 3) = 3x − 2 A+3 3x + 5 ) − 2 → f(x) = → f(A) = 3( 2 2 2x − 5 −1 ∴ f (x) = ... 3 (60.2) f(1) = 2 − 1 = 1 → หา g−1(1) + f −1(1) = 2 + 1 = (57.1) 3 (61.1) หา (f + g)(x) = x2 + x − 3 จะได้ 3x + 5 g(x) = x2 + x − 3 − 2 3x + 5 2x − 5 −1 2 ∴ (g + f )(x) = x + x − 3 − + 2 3 x − 43 2 = x + 6 จาก (57.2) = 2 x + x−3− g ( )(x) = f (58) ; x ≠ − g(x + 5) = x2 − 25 (61.2) 2 5 3 f −1(−2) → 4x = −2 → x = − → f −1(−2) = − 1 2 1 2 g(−2) = (−2)2 + 1 = 5 จะได้ กรณีแรก h−1(−2) = −3 ใช้ไม่ได้ เพราะ −3 > 0 กรณีที่สอง h−1(−2) = −1 ใช้ได้ เพราะ −1 < 0 ดังนัน้ ได้คําตอบ − 1 + 5 − 1 = 7 2 2 (60.1) f(x) + g(x) = 2x + 1 f(x) − g(x) = 3 − 4x โดย f −1(4) = 2 (หาแล้วในข้อที่แล้ว) (gof)(4) = g(f(4)) หา f(4) โดย x = 4 → x = 8 x−2 3 8 → f(4) = 3 8 หา g( ) โดย f(g(8)) = 8 + 2 = 14 3 3 3 3 8 14 / 3 7 −1 14 → g( ) = f ( ) = = 3 3 14 / 3 − 2 4 7 7 ดังนัน้ ตอบ ⋅ 2 = 4 2 f(3) −1 + f (3) → (62.1) หา g(3) f(3) ได้จาก f(2x + 3) = x + 1 → 2x + 3 = 3 ∴ f(3) = 1 → x=0 −1 f (3) ได้จาก −1 f (x + 1) = 2x + 3 → x + 1 = 3 −1 → x = 2 → f (3) = 2(2) + 3 = 7 g(3) ได้จาก f(g(3)) ⇒ x − 1 = 3 → x = 4 (62.2) f −1(1) หาจาก (fog)−1(−2) → → (fog)−1(−2) = 5 3 ให้ 3 − 3x = −2 → x = x +1= 1→ x = 0 −1 → f (1) = 2(0) + 3 = 3 หา (fg)(3) = f(3) ⋅ g(3) หาแล้วจากข้อแรก คือ 1 ⋅ 43 = 43 แก้ระบบสมการ จะได้ f(x) = 2 − x และ g(x) = 3x − 1 หา x )= x → x−2 g(3) = f −1(21) = 2(20) + 3 = 43 ดังนัน้ ตอบ 1 + 7 = 7 1 43 43 และ → (fog)(x) = 2 − (3x − 1) = 3 − 3x f( → f(g(3)) = 20 + 1 = 21 → (gof −1)(2) ⋅ h(2) 1 f −1(2) → 4x = 2 → x = 2 1 1 1 5 → f −1(2) = +1= ; g( ) = 2 2 4 4 5 15 h(2) = 2 + 1 = 3 → ได้คาํ ตอบ ⋅3 = 4 4 (59.2) หาค่า โดย (fog)(x) = x + 2 → f(g(2)) = 4 4 → g(2) = f −1(4) = = 2 4−2 ดังนัน้ (f + g)(2) = 4 + 2 = 6 → g(A) = (A − 5)2 − 25 → g(x) = x2 − 10x f x +5 ∴ ( )(x) = 2 ; x ≠ 0, 10 g x − 10x (59.1) g(2) หา 2 2x − x − 11 3x + 5 f(2) 5 3 x = 2 → x = 4 → f(2) = 4 x−2 ให้ 3x + 5 3x + 5 2 ความสัมพันธและฟงกชัน 145 5 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความสัมพันธและฟงกชัน 146 eÃ×èo§æ¶Á หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog.. สมมติวา่ f (x) = x2 + 6 และ g (x) = 3 − x 2 ต้องการหา Dfog ไม่ควรคิดโดยหา fog ก่อนแล้วจึงหาโดเมนและเรนจ์ เพราะคําตอบที่ได้อาจผิด ในตัวอย่างนี้ หากคิดโดยหา fog ก่อน จะเป็น (f D g)(x) = ( 3 − x2 ) 2 +6 = 3 − x2 + 6 = 9 − x2 หาโดเมนได้จากเงื่อนไข 9 − x2 > 0 จะได้คําตอบคือ x ∈ [−3, 3] แต่เป็นคําตอบที่ผดิ !! เช่น เมือ่ เราพิจารณาค่า (f D g)(2) จะพบว่า g (2) นั้นไม่นิยาม.. ฟังก์ชัน fog จึงไม่ควรมี 2 อยู่ในโดเมน สาเหตุที่คาํ ตอบผิดก็เพราะในการหา fog นัน้ มีขนั้ ตอนที่เครือ่ งหมายรูท้ ถูกยกกําลังสองให้หายไป เงื่อนไขของโดเมน (ทีอ่ ยู่ในรูท้ ) ก็เลยหายไปด้วย.. หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ (เช่น fog) ทีถ่ ูกต้องเป็นดังนี้ (1) เขียน f(g(x)) โดยใส่ g(x) ลงไปใน f ก่อน (ต้องคงค่า g(x) ไว้ อย่าเพิ่งแทน x ลงไป) (2) ถ้าหา Dfog ให้พจิ ารณาโดเมนของ f(g(x)) ที่เราเขียน ว่า g(x) เป็นอะไรได้บ้าง แล้วจึงย้อนไปคิด x ถ้าหา Rfog ให้หาเรนจ์ของ g(x) ก่อนแล้วเอามาใส่ลงใน f(g(x)) ที่เราเขียนไว้ เพื่อให้ทราบเรนจ์ ตัวอย่าง กําหนดให้ เริ่มต้น เขียน 1 f (x) = (f D g)(x) = 1 − x2 1 1 − g(x)2 และ g (x) = 4 − x2 ให้หาเซต Dfog ข. หาเรนจ์; เริ่มจากหาเรนจ์ของ g(x) ซึ่งอาจมองลัดได้ดังนี้ จาก x ∈ R → x2 > 0 → 4 − x2 < 4 → 0 < 4 − x2 นําขอบเขตของค่า g นี้ไปใส่ใน f ต่อ ได้เป็น 0 แยกตัวประกอบแล้วเขียนเส้นจํานวน จะได้ −1 < g (x) < 1 จากนั้นจึงแทน x ลงไปได้วา่ −1 < 4 − x 2 < 1 → 0 < 4 − x 2 < 1 ดังนัน้ Dfog = [−2, − 3) ∪ ( 3, 2] ดังนัน้ และ 1 − g (x)2 < 1 Rfog = [1, ∞) เพื่อทดสอบความเข้าใจ ลองดัดแปลงวิธีเพื่อหา Dgof และ Rgof ของตัวอย่างนีด้ ูนะครับ (เริ่มจากเขียน g(f(x)) โดยคงค่า f(x) ไว้ อย่าเพิง่ แทน x ลงไป) คําตอบที่ถูกคือ [− 3 /2, 3 /2] และ [0, 3] ตามลําดับ.. และนอกจากนี้ยังมีในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยอยูห่ ลายครั้งด้วย ก็ลองฝึกทําได้ครับ (ตามเลขข้อที่ระบุไว้ใน “ข้อสอบเข้าฯ แยกตามหัวข้อ”) :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET กําหนดการเชิงเสน 147 linear º··Õè 6 ¡íÒ˹´¡ÒÃeªi§eʹ กําหนดการเชิงเส้น (Linear Programming) เป็นเทคนิคที่เริ่มใช้ในปี ค.ศ. 1947 ในช่วงที่ สหรัฐอเมริกากําลังประสบปัญหาทรัพยากรไม่เพียงพอ และต้องหาวิธีจัดสรรให้ได้ประโยชน์สูงที่สุด เทคนิค การแก้ปัญหาแบบนี้นําไปใช้ในหลายด้าน เช่น การ ผลิตสินค้าแต่ละประเภทด้วยวัตถุดิบที่มีให้ได้กําไรสูง ที่สุด การขนส่งให้สิ้นเปลืองน้อยที่สุด การหาปริมาณ วัตถุผสมให้ได้ส่วนประกอบตามต้องการโดยเสีย ค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด การมอบหมายงานให้แต่ละกลุ่ม เพื่อให้งานสําเร็จในเวลาน้อยที่สดุ ฯลฯ ตัวอย่างสถานการณ์ ในการผลิตเก้าอี้สองชนิดคือขนาดเล็กและขนาดใหญ่ พบว่า เก้าอี้ ขนาดเล็กแต่ละตัวต้องเสียเวลาในการเลื่อยไม้ 1 ชั่วโมง ประกอบและตกแต่ง 2 ชั่วโมง ขายได้กําไร ตัวละ 30 บาท ส่วนเก้าอี้ขนาดใหญ่ต้องเสียเวลาในการเลื่อยไม้ 2 ชั่วโมง ประกอบและตกแต่ง 2 ชั่วโมง และขายได้กําไรตัวละ 50 บาท ถ้าหากคนงานเลื่อยไม้ทํางานได้วันละไม่เกิน 8 ชั่วโมง และ คนงานประกอบตกแต่งทํางานได้วันละไม่เกิน 10 ชั่วโมง ต้องการทราบว่าในแต่ละวันควรจะผลิตเก้าอี้ แต่ละชนิดเป็นจํานวนเท่าใดจึงจะได้กําไรมากที่สุด และได้กําไรเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET กําหนดการเชิงเสน 148 ขั้นตอนการแก้ปัญหา จะเริ่มจากการเปลี่ยนสถานการณ์ให้เป็น แบบจําลองทาง คณิตศาสตร์ ก่อน โดยสมมติตัวแปร x และ y แทนจํานวนผลิตที่เราต้องการทราบ นั่นคือ ให้ x แทนจํานวนเก้าอี้ขนาดเล็กที่ผลิตใน 1 วัน y แทนจํานวนเก้าอี้ขนาดใหญ่ที่ผลิตใน 1 วัน 1. สิ่งที่เราต้องการคือกําไรมากที่สุด ดังนั้นถ้าให้ P แทนกําไรที่ได้ จะเขียนเป็นสมการได้ดังนี้ P = 30 x + 50 y เรียกว่า สมการจุดประสงค์ หรือ ฟังก์ชันจุดประสงค์ (P เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปร x และ y) 2. เงื่อนไข (หรือข้อจํากัด) ที่มีอยู่ ได้แก่จํานวนชั่วโมงทํางานของคนงานเลื่อยไม้ และคนงาน ประกอบตกแต่ง ซึ่งนํามาเขียนเป็นอสมการได้ดังนี้ (เลื่อยไม้) x +2y < 8 (ประกอบตกแต่ง) 2 x + 2 y < 10 ค่า x และ y เป็นจํานวนเก้าอี้ จึงไม่สามารถเป็นค่าติดลบได้ x > 0 y > 0 เนื่องจาก x และ y ต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ จึงเรียกอสมการทั้งสี่ว่า อสมการข้อจํากัด 3. เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจํากัด และแรเงาบริเวณที่ “ตรงตามเงื่อนไขทุกข้อ” y เรียกบริเวณที่แรเงานี้ว่า อาณาบริเวณที่หาคําตอบได้ (Feasible Region) เนื่องจากค่า x และ y ที่เป็น 5 ไปได้ จะต้องอยู่ในบริเวณที่แรเงาเท่านั้น 2x + 2y = 10 4 x + 2y = 8 O 5 8 x 4. หาจุดยอดมุมทั้งหมดของบริเวณที่แรเงา (ถ้าเป็นจุดที่เกิดจากเส้นตรงตัดกัน ไม่ได้อยู่บนแกน x หรือ y ก็ต้องใช้วิธีแก้ระบบสมการเพื่อหาจุดตัด) ในตัวอย่างนี้หาจุดยอดมุมได้เป็น (0, 0),(0, 4),(2, 3),(5, 0) คู่อันดับ x และ y เหล่านี้เท่านั้น ที่มีโอกาสทําให้เกิดค่า P มากที่สุดดังต้องการ 5. นําคู่อันดับ x และ y ทั้งสี่จุดที่ได้ ไปหาค่า P จะพบว่าค่า P ที่มากที่สุดเกิดเมื่อ (x,y) = (2,3) คือ P = 30 (2) + 50 (3) = 210 สรุปว่า ใน 1 วัน ควรผลิตเก้าอี้ขนาดเล็ก 2 ตัว ขนาดใหญ่ 3 ตัว จึงจะทําให้ได้กําไรมากที่สุด และ กําไรที่มากที่สุดนั้นเท่ากับ 210 บาท ข้อสังเกต 1. ฟังก์ชันที่ต้องการค่าสูงสุดมักให้ชื่อเป็น P (Profit), ค่าต่ําสุดเป็น C (Cost) 2. ในทุกสถานการณ์ นอกจากข้อจํากัดที่โจทย์ให้มาแล้ว มักจะต้องเพิ่มอสมการ ด้วยเสมอ (คือ ค่า x และ y โดยส่วนมากไม่สามารถเป็นค่าลบได้) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) x > 0, y > 0 คณิตศาสตร O-NET / A-NET กําหนดการเชิงเสน 149 3. ในบางสถานการณ์ ค่า x หรือ y อาจต้องเป็นจํานวนเต็มเท่านั้น หากค่าทีไ่ ด้เป็นคําตอบไม่ใช่ จํานวนเต็ม ก็จําเป็นจะต้องเลือกจุดข้างเคียง (ภายในบริเวณที่แรเงา) ที่เป็นจํานวนเต็ม และให้ผล ใกล้กับค่าที่ต้องการมากที่สุด ดังแสดงให้เห็นในตัวอย่างถัดไป 4. ในบางครั้งอาณาบริเวณที่แรเงาอาจล้อมรอบด้วยเส้นประ (เช่น กรณีที่ในข้อจํากัดใช้คําว่าระหว่าง, น้อยกว่า, หรือ มากกว่า) จุดยอดมุมที่ได้เป็นคําตอบยังไม่สามารถใช้ได้ ก็ต้องใช้วิธีเลือกจุดข้างเคียง ภายในบริเวณที่แรเงา เช่นเดียวกัน • ตัวอยาง โดยปกติเครื่องบินลําหนึ่งมีทีน่ ั่ง 15 ทีน่ งั่ บรรจุผูโดยสารและสินคารวมกันได 1,500 กก. แตถา น้ําหนักสินคามากกวาน้ําหนักผูโดยสารเกิน 200 กก. เครื่องบินจะเอียงและบินไมได (สมมติวาผูโดยสารแต ละคนมีน้ําหนักเฉลี่ย 75 กก.) ถามวาเที่ยวบินแตละเที่ยวจะมีรายไดมากทีส่ ุดเทาใด หากคาโดยสารที่นั่งละ 6,000 บาท และคาขนสงสินคากิโลกรัมละ 100 บาท วิธีคิด ใหจํานวนผูโดยสารเปน x คน และน้ําหนักสินคาเปน y กิโลกรัม และ Z เปนรายไดตอเที่ยวที่ตองการ ดังนั้นฟงกชนั จุดประสงคคือ Z = 6000 x + 100 y สวนเงื่อนไขทีม่ ีไดแก (1) ที่นั่งผูโ ดยสารมี 15 ทีน่ งั่ 0 < x < 15 75 x + y < 1500 (2) เครื่องบินบรรทุกได 1,500 กก. (3) น้ําหนักสินคามากกวาผูโ ดยสารไดไมเกิน 200 กก. y − 75 x < 200 (4) (เพิ่มเติมเอง) น้ําหนักสินคาไมเปนคาติดลบ y > 0 หาอาณาบริเวณที่เปนคําตอบไดดังกราฟ และจุดยอดมุมทั้งหมดไดแก y (0,0), (0,200), (8.67,850), (15,375), และ (15,0) เมื่อแทนคาในฟงกชันจุดประสงคแลว พบวาจุด 1,500 (8.67,850) ใหคารายไดมากที่สุด คือ Z = 137,000 แตมีปญหาวา x เปนจํานวนผูโดยสาร ตองเปนจํานวน (8.67,850) เต็มเทานั้น เมื่อพิจารณาจุดใกลเคียงในบริเวณที่แรเงา จะ (15,375) 200 x มี (8,800) ซึ่งใหคา Z = 128,000 บาท O 15 20 และ (9,825) ซึ่งใหคา Z = 136,500 บาท ดังนั้นจึงตองเลือกจุดหลัง และไดคําตอบวาเที่ยวบินแตละเที่ยวจะมีรายไดมากที่สุด 136,500 บาท (เมื่อมีผโู ดยสาร 9 คน, สินคา 825 กก.) หมายเหตุ 1. การแก้ปัญหาด้วยกําหนดการเชิงเส้น นอกจากใช้หาค่าสูงสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์แล้ว ยังใช้กับ หาค่าต่ําสุดได้เช่นกัน โดยจุดคําตอบจะเป็นหนึ่งในบรรดาจุดยอดมุม ที่ทําให้ค่าฟังก์ชันน้อยกว่าจุดอื่น 2. การที่คําตอบทุกข้อจะเป็นหนึ่งในจุดยอดมุมเสมอ ก็เพราะฟังก์ชันจุดประสงค์ Z = a x + b y มี ลักษณะเป็นสมการเส้นตรง (ความชัน –a/b) ที่แปรเปลี่ยนระดับความสูงไปตามค่า Z ดังภาพ จะ เห็นว่าค่าสูงสุดหรือต่ําสุดของ Z ย่อมเกิดที่จุดยอดมุมสุดท้าย ก่อนเส้นตรงเส้นนี้จะหลุดออกนอก บริเวณที่แรเงา (ดูภาพในหน้าถัดไปประกอบ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET กําหนดการเชิงเสน 150 y y 6000x + 100y = 140000 6000x + 100y = 137000 6000x + 100y = 70000 x O x O 6000x + 100y = 0 3. ในตัวอย่างข้อนี้หากเปลี่ยนตัวเลขเป็น ค่าโดยสารที่นั่งละ 8,000 บาท จะทําให้ ฟังก์ชันจุดประสงค์เปลี่ยนเป็น Z = 8000 x + 100 y (ความชันเปลี่ยน) ซึ่งจุดยอดมุมที่ทําให้เกิดค่ามากที่สุด กลายเป็นจุด (15,375) ก็จะไม่มีปัญหา เรื่องค่า x เป็นทศนิยม S e¾ièÁeµiÁ! S ËÅa§¨Ò¡ÅÒ¡eʹµÃ§æµÅaeʹæÅÇ eʹµÃ§¨a溧ÃÙ»oo¡e»¹Êo§Êǹ ... eÃÒ ¾i¨ÒóÒÇÒ¨aæÃe§Òã¹Êǹã´ä´ËÅÒÂÇi¸Õ eª¹ (1) ·´Åo§¹íÒ¨u´ã´¡çä´ã¹ºÃiedz˹Öè§ä»æ·¹ã¹oÊÁ¡Òà ¶Ò¾ºÇÒoÊÁ¡Òà e»¹¨Ãi§¡ç¨aæÃe§ÒÊǹ¹aé¹ ¶Òe»¹e·ç¨¡çãËæÃe§Òã¹oÕ¡Êǹ·ÕèeËÅ×o (2) ãªÇi¸ÕÁo§Åa´ ¤×o¶Ò x > .. æÃe§Ò´Ò¹¢ÇÒ, ¶Òe»¹ x < .. æÃe§Ò´Ò¹«Ò ËÃ×o´Ù·èÕ y ¡çä´ ¶Òe»¹ y > .. æÃe§Ò´Ò¹º¹, ¶Òe»¹ y < .. æÃe§Ò´Ò¹ÅÒ§ ** æµËÒÁ´ÙµaÇæ»Ã·ÕèÊaÁ»ÃaÊi·¸iìµi´Åº¹a¤Ãaº! (e¾ÃÒa¼Å¨a¡Åaº´Ò¹¡a¹) แบบฝึกหัด (1) จงเขียนกราฟแสดงบริเวณที่เป็นคําตอบของระบบอสมการแต่ละข้อ พร้อมทั้งหาจุดยอดมุมที่ เกิดขึ้นทั้งหมดด้วย (1.1) (1.3) (1.5) x+y < 4 3x −2y < 6 x > 0, y > 0 x +2y > 4 2 x + 4 y < 12 x > 0, y > 0 (1.2) x+y < 4 2x−y < 4 (1.4) 5x+3y > 0 x −2y > 0 3x+y < 6 x−y < 1 x > 0, y > 0 2 < x < 4 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S x+y < 4 x > 0, y > 0 ÊíÒËÃaºº·¹ÕéËÒ¡ÁÕ¡ÃÒ¿eʹµÃ§ÁÒ¡¡ÇÒ 2 eʹæÅÇ ¤ÇÃe¢Õ¹ ¡ÃÒ¿ãËã¡Åe¤Õ§Êa´Êǹ¨Ãi§ÁÒ¡·ÕèÊu´ e¾×èoäÁãËÊaºÊ¹ÇÒ¨u´ Âo´ÁuÁ¢o§¾×é¹·ÕèæÃe§Ò¹aé¹ e¡i´¨Ò¡eʹ㴵a´¡aºeʹ㴺ҧ.. (2) สําหรับข้อ (2.1) ถึง (2.3) ให้หาค่า P ทีส่ ูงที่สุด หรือค่า C ที่ต่ําที่สุด และสําหรับข้อ (2.4) ถึง (2.8) ให้หาทั้งค่าสูงสุดและต่ําสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์ (2.1) P = 5x+3y 2 x + 5 y < 300 x + y < 90 0 < x < 70 y > 0 (2.2) [พื้นฐานวิศวะ’37] Math E-Book Release 2.2 C = 2x+3y x+y > 4 5 x + 2.5 y < 25 0 < x < 5 0 < y < 5 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (2.3) (2.5) (2.7) กําหนดการเชิงเสน 151 P = 2x+3y 2 x + 3 y < 30 Z = 3x+2y y−x < 5 x+y > 5 x > 10, y > 0 (2.4) 2 x + 3 y < 12 2x+y < 8 x > 0, y > 0 Z = 20 x + 30 y 4 x + 2 y > 100 (2.6) 2x + 4 y > 140 x < 60, y < 40 Z = x −2y + 4 x+y < 4 x + 2 y > −2 x − y > −2 (2.8) Z = 40 x + 35 y 3 x + 5 y > 62 5 x + y > 30 x > 0, y > 0 Z = 8x +5y 3x+y > 6 x +5y > 8 x+y > 4 x > 0, y > 0 x < 3 (3) บริเวณที่แรเงาเป็นกราฟของระบบอสมการใด (3.1) y (3.2) y 15 x+y=3 x-y=2 5 x O O 4 8 x y (3.3) 450 400 O 600 1200 x (4) โรงงานลิ้นจี่กระป๋องและสับปะรดกระป๋องแห่งหนึ่ง ขายลิ้นจี่ได้กําไรกระป๋องละ 4 บาท สับปะรดกําไรกระป๋องละ 7 บาท โดยกรรมวิธีการผลิตมี 2 ขั้นตอน คือ - ปอกและต้มในน้ําเชื่อม (เครื่องจักรทํางานได้ไม่เกินครั้งละ 30 ชั่วโมง) - บรรจุกระป๋อง (เครื่องจักรทํางานได้ไม่เกินครั้งละ 20 ชั่วโมง) ลิ้นจี่ 1 กระป๋องต้องผ่านขั้นตอนแรก 3 นาที ขั้นตอนหลัง 1 นาที สับปะรด 1 กระป๋องต้องผ่านขั้นตอนแรก 4 นาที ขั้นตอนหลัง 3 นาที การผลิตแต่ละครั้งควรผลิตอย่างละกี่กระป๋อง จึงจะได้กําไรมากที่สุด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET กําหนดการเชิงเสน 152 (5) โรงงานผลิตจานและชามพลาสติก มีรายละเอียดการใช้เครื่องจักร และกําไรที่ได้ ดังแสดงใน ตาราง ให้หาว่าควรผลิตอย่างละกี่ใบใน 1 วัน จึงจะได้กําไรสูงสุด เครื่องจักร A เครื่องจักร B กําไร จาน 1 ใบ 2 นาที 1 นาที 1.00 บาท ชาม 1 ใบ 1 นาที 3 นาที 1.20 บาท เครื่องจักรทํางานได้ ไม่เกินวันละ 3 ช.ม. ไม่เกินวันละ 5 ช.ม. (6) โรงงานผลิตสินค้าสองชนิด แต่ละวันจะใช้เหล็ก 250 กก. สินค้าชนิดที่หนึ่งใช้เหล็กชิ้นละ 10 กก. ชนิดที่สองใช้เหล็กชิ้นละ 25 กก. และสําหรับเวลาที่ใช้ผลิตแต่ละวันมี 260 นาที ทั้งสองชนิดใช้ เวลาชิ้นละ 20 นาทีเท่ากัน ส่วนการทาสีมีเวลารวมวันละ 100 นาที ชนิดแรกใช้เวลาทาสีชิ้นละ 10 นาที ชนิดที่สองชิ้นละ 4 นาที ถ้าสินค้าชนิดแรกกําไรชิ้นละ 30 บาท ชนิดที่สองกําไรชิ้นละ 25 บาท ควรจะผลิตอย่างละกี่ชิ้นใน 1 วันจึงได้กําไรสูงที่สุด (7) โรงงานผลิตสินค้าทําสินค้าออกมาสองชนิด คือ x กับ y โดยสินค้าแต่ละอย่างต้องผ่าน กระบวนการ 3 ขั้นตอน ดังตาราง หากกําไรต่อชิ้นของสินค้า x เป็น 5,000 บาท สินค้า y เป็น 3,500 บาท ควรจะผลิตอย่างละกี่ชิ้นใน 1 วัน ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 ขั้นตอนที่ 3 สินค้า x 1 ชิ้น 3 ช.ม. 1 ช.ม. 1 ช.ม. สินค้า y 1 ชิ้น 2 ช.ม. 2 ช.ม. 1 ช.ม. เครื่องจักรทํางานได้ 24 ช.ม. ต่อวัน 16 ช.ม. ต่อวัน 9 ช.ม. ต่อวัน (8) บริษัทผลิตวิทยุแห่งหนึ่งผลิตวิทยุออกมา 2 รุ่น คือรุ่น A กับรุ่น B โดยที่รุ่น A มีกําไรเครื่องละ 250 บาท รุ่น B 300 บาท แต่ละวันตั้งใจจะผลิตรุ่น A ไม่น้อยกว่า 80 เครื่อง รุ่น B ไม่น้อยกว่า 100 เครื่อง แต่ผลิตได้รวมกันไม่เกินวันละ 200 เครื่อง ควรจะผลิตอย่างไรจึงจะได้กําไรสูงสุด และ กําไรสูงสุดนั้นเป็นเท่าใด (9) โรงงานเฟอร์นิเจอร์ทําตู้และเตียงซึ่งจะใช้แรงงานช่างไม้กับช่างทาสี โดยตู้ 1 ใบช่างไม้ใช้เวลาทํา 15 ชั่วโมง ช่างทาสีอีก 12 ชั่วโมง และเตียง 1 หลังช่างไม้ใช้เวลาทํา 5 ชั่วโมง ช่างทาสี 4 ชัว่ โมง ถ้าแต่ละวันช่างไม้ทุกคนช่วยกันทํางานได้เวลารวมกันอย่างมาก 60 ชั่วโมง ช่างทาสีรวมกัน 40 ชั่วโมง ส่วนกําไรนั้นตู้ใบละ 500 บาท เตียงหลังละ 400 บาท ควรจะผลิตตูแ้ ละเตียงอย่างละเท่าใด ต่อวัน (10) ผู้จัดการบริษัทต้องการซื้อตู้เก็บเอกสารใหม่จํานวนหนึ่ง เขาสอบถามได้ข้อมูลว่าตู้ยี่ห้อ A ราคา ตู้ละ 400 บาท ใช้พื้นที่วาง 6 ตารางฟุต จุเอกสารได้ 8 ลูกบาศก์ฟุต ส่วนตู้ยี่ห้อ B ราคาตู้ละ 800 บาท ใช้พื้นที่วาง 8 ตารางฟุต จุเอกสารได้ 12 ลูกบาศก์ฟุต หากเขามีงบไม่เกิน 5,600 บาท และมี พื้นที่ไม่เกิน 72 ตารางฟุต เขาควรจะซื้ออย่างละกี่ตู้เพื่อให้เก็บเอกสารได้มากที่สุด และถามว่าเก็บ เอกสารได้เท่าใด (11) ต้องการจ้างคนงานสองคนมาทําความสะอาดตู้ 5 ตู้ โต๊ะ 12 ตัว และหิ้งหนังสือ 18 หิ้ง โดย คนงานคนที่หนึง่ สามารถทําความสะอาดตู้ได้ 1 ตู้ โต๊ะ 3 ตัว และหิ้งหนังสือ 3 หิ้งต่อชั่วโมง คนที่ สองทําความสะอาดตู้ 1 ตู้ โต๊ะ 2 ตัว และหิ้งหนังสือ 6 หิ้งต่อชั่วโมง ค่าแรงคนที่หนึ่ง 25 บาทต่อ ชั่วโมง ค่าแรงคนที่สอง 22 บาทต่อชั่วโมง ควรจะจ้างคนงานทั้งสองทํางานคนละกี่ชั่วโมงเพื่อเสีย ค่าแรงน้อยที่สุด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET กําหนดการเชิงเสน 153 (12) ปุ๋ยเคมีสองชนิดมีส่วนผสมดังตาราง หากต้องการปุ๋ยทีม่ ีฟอสฟอรัสไม่ต่ํากว่า 9 หน่วย ไนโตรเจนไม่ต่ํากว่า 8 หน่วย และโพแทสเซียมไม่เกิน 7 หน่วย จะเสียค่าใช้จ่ายในการซื้อปุ๋ยน้อย ที่สุดเท่าใด ชนิดที่ 1 ชนิดที่ 2 ฟอสฟอรัส 3 หน่วย 1 หน่วย ไนโตรเจน 1 หน่วย 2 หน่วย โพแทสเซียม 1 หน่วย 1 หน่วย ราคาต่อถุง 50 บาท 40 บาท (13) บริษัทแห่งหนึ่งมีเหมืองอยู่ 2 แห่ง ในแต่ละวันเหมืองแรกผลิตแร่เกรด A ได้ 1 ตัน เกรด B 3 ตัน และเกรด C 5 ตัน ส่วนเหมืองที่สองผลิตแร่ทั้งสามเกรดได้เกรดละ 2 ตันเท่ากัน หากบริษัท ต้องการผลิตแร่ส่งลูกค้าโดยเป็นแร่เกรด A 80 ตัน เกรด B 150 ตัน และเกรด C 200 ตัน ให้หา ว่าบริษัทควรจะเปิดเหมืองเพื่อผลิตแร่แห่งละกี่วันจึงจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด (ค่าใช้จ่ายในการขุดแร่ แต่ละเหมืองเป็น 6,000 บาทต่อวัน เท่ากัน) * (14) อาหารปลาชนิดแรกราคาถุงละ 6 บาท มีอัตราส่วนระหว่างโปรตีน ไขมัน และคาร์โบไฮเดรต เท่ากับ 1 : 2 : 2 ในขณะที่อาหารปลาชนิดที่สองราคาถุงละ 4 บาท มีอัตราส่วนเป็น 1 : 1 : 5 ให้ หาอัตราส่วนระหว่างอาหารชนิดที่หนึ่งกับชนิดที่สองที่ผู้เลี้ยงปลาควรจะซื้อ ถ้าอัตราส่วนระหว่าง โปรตีน ไขมัน และคาร์โบไฮเดรต ที่จําเป็นต้องใช้ ไม่ต่ํากว่า 3 : 4 : 10 เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1.1) (0,0), (0,4), (2,0), (14/5,6/5) (1.2) (0,0), (0,4), (2,0), (8/3,4/3) (1.3) (0,2), (0,3), (4,0), (6,0) (1.4) (2,1), (4,2), (2,-10/3), (4,-20/3) (1.5) (0,0), (0,4), (1,0), (1,3), (7/4,3/4) (2.1) 410 (2.2) 8 (2.3) 30 (2.4) 13, 0 (2.5) 2400, 1100 (2.6) หาค่าไม่ได้, 434 (2.7) 12, -1 (2.8) หาค่าไม่ได้, 23 (3.1) x − y < 2 , x + y < 3 , x > 0 , y > 0 (3.2) 5x + 8y < 40 , 15x + 4y < 60 , x>0, y>0 (3.3) 3x + 4y < 1800 , x + 3y < 1200 , x>0, y>0 (4) ลิ้นจี่ 120 กระป๋อง, สับปะรด 360 กระป๋อง (5) จาน 48 ใบ, ชาม 84 ใบ (6) ชนิดทีห่ นึ่ง 8 ชิ้น, ชนิดทีส่ อง 5 ชิน้ (7) สินค้า x 6 ชิ้น, สินค้า y 3 ชิ้น (8) รุ่น A 80 เครื่อง, รุ่น B 120 เครือ่ ง, กําไร 56,000 บาท (9) ผลิตเตียง 10 หลังโดยไม่ผลิตตู้เลย (10) ยี่หอ้ A 8 ตู,้ ยี่ห้อ B 3 ตู,้ เก็บได้ 100 ลบ.ฟุต (11) คนแรก 2 ช.ม., คนที่สอง 3 ช.ม. (12) 220 บาท (ชนิดที่ 1 สองถุง ชนิดที่ 2 สามถุง) (13) เหมืองแรก 36 วัน เหมืองที่สอง 22 วัน หรือ เหมืองแรก 34 วัน เหมืองที่สอง 24 วัน ก็ได้ (14) 5 : 14 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) y (1.1) y (1.2) 4 4 3x-2y=6 2x-y=4 (14/5,6/5) O 2 4 x+y=4 (8/3,4/3) x Math E-Book Release 2.2 O 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 x+y=4 x คณิตศาสตร O-NET / A-NET y (1.3) กําหนดการเชิงเสน 154 (2.4) y Zmax = 13 3 2 2x+4y=12 O 4 y x=2 x=4 O (2,-10/3) Pmax O (7/4,3/4) x 12 4 x+y=4 (4,10) O y 90 60 หาค่าไม่ได้ = 434 ทีจ ่ ุด (50,40) (70,20) O 70 90 150 x (4, 0) Cmin = 2(4) + 3(0) = 8 เกิดที่ Pmax 10 = 2(10) + 3( ) 3 = 30 (10, 4 Zmin O 5 x (3.1) (3,1) (8,0) หาค่าไม่ได้ = 23 ที่จด ุ (1, 3) x x + y < 3, x − y < 2, x > 0, y > 0 y O (3,-2.5) Zmax 4 10 5 (3,1) (0,6) (1,3) 10 ) 3 Pmax Zmin = −1 ทีจ่ ุด (3, −2.5) ที่จดุ (1, 3) y 5 4 62 ) 5 x (2.8) (2.5,5) O (2.3) (-2,0) O (0, x Zmax = 12 (1,3) y เกิดที่ Zmax (30,0) (2.7) y 3x+y=6 (70, 20) ที่จดุ (60, 40) ที่จดุ (10, 30) x (0,62/5) x-y=1 Pmax = 5(70) + 3(20) = 410 Cmin (60,5) Zmin (1,3) (2.2) Zmin = 1,100 (10,30) O 4 y (2.6) (4,-20/3) 6 4 เกิดที่ Zmax = 2,400 (5,40) (60,40) x y (2.1) x x-2y=0 5x+3y=0 (1.5) 4 (2.5) y (4,2) (2,1) O Zmin = 0 x 6 x+2y=4 (1.4) 4 (3,2) ทีจ่ ุด (3, 2) ทีจ่ ุด (0, 0) (3.2) ต้องสร้างสมการเส้นตรงด้วย intercept form ( x + y = 1 ) ก่อน.. ได้เป็น (10,10/3) 5 10 15 x a x + 4 x + 8 x > b y = 1 → 15x + 4y < 60 , 15 y = 1 → 5x + 8y < 40 5 0, y > 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 155 (3.3) เช่นเดียวกับข้อ 3.2 (7) x y + = 1 → 3x + 4y < 1,800 , 600 450 x y + = 1 → x + 3y < 1,200 , 1,200 400 x > 0, y > 0 (4) กําหนดการเชิงเสน P = 5, 000x + 3, 500y 3x + 2y < 24 y x + 2y < 16 x+y 0, y > 0 P = 4x + 7y 3x + 4y < 1, 800 (นาที) (นาที) x + 3y < 1, 200 x > 0, y > 0 O x 8 ที่จดุ (6, 3) ตอบ สินค้า x 6 ชิ้น สินค้า y (8) P = 250x + 300y Pmax = 40,500 x > 80 , y > 100 (120,360) 3 x (80,120) Pmax = 3,000 ที่จดุ (120, 360) ตอบ ลิ้นจี่ 120 กระป๋อง สับปะรด 360 กระป๋อง (5) P = x + 1.2y 2x + y < 180 (นาที) x + 3y < 300 (นาที) x > 0, y > 0 (100,100) (80,100) x O Pmax = 56,000 ที่จดุ (80, 120) ตอบ รุน่ A 80 เครื่อง รุ่น B 120 เครื่อง และกําไร 56,000 บาท (9) P = 500x + 400y y 15x + 5y < 60 (48,84) 100 ชิ้น y x + y < 200 600 12x + 4y < 40 y x > 0, y > 0 O Pmax = 148.80 (6,3) O y 400 (2,7) 8 x 90 10 ที่จดุ (48, 84) ใบ ชาม 84 ใบ ตอบ จาน 48 (6) P = 30x + 25y O 10x + 25y < 250 Pmax = 4,000 20x + 20y < 260 x > 0, y > 0 10 x (0, 10) ตอบ ผลิตเตียง 10 หลัง โดยไม่ผลิตตู้ (10) P = 8x + 12y y 10x + 4y < 100 ที่จดุ 40/12 400x + 800y < 5, 600 6x + 8y < 72 (5,8) O ที่จดุ (8, 5) ตอบ ชนิดที่หนึ่ง 8 ชิ้น ชนิดทีส่ อง x 10 Pmax = 365 5 y x > 0, y > 0 (8,5) ชิ้น 7 (8,3) O 12 ที่จดุ (8, 3) ตอบ ยีห่ อ้ A 8 ตู้ ยี่หอ้ B และจุได้ 100 ลบ.ฟุต Pmax = 100 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 3 ตู้ x คณิตศาสตร O-NET / A-NET (11) C = 25x + 22y (13) x+y>5 3x + 2y > 12 y 3x + 6y > 18 x > 0, y > 0 กําหนดการเชิงเสน 156 C = 6, 000x + 6, 000y x + 2y > 80 3x + 2y > 150 5x + 2y > 200 x > 0, y > 0 (0,6) และ x, y ∈ I y (2,3) (4,1) (6,0) O ที่จดุ (2, 3) ตอบ คนที่หนึ่ง 2 ช.ม. คนทีส่ อง (12) C = 50x + 40y (0,100) x (25,37.5) (35,22.5) O Cmin = 116 3x + y > 9 3 ช.ม. (1,6) (2,3) (6,1) x O Cmin = 220 ที่จดุ บาท (2, 3) ตอบ 220 (14) C = 6x + 4y x y 3 + > 5 7 17 2x y 4 + > 5 7 17 2x 5y 10 > + 5 7 17 x > 0, y > 0 y (0,28/17) (5/17,14/17) (25/51,28/51) O Cmin = 86 ตอบ 5 : 14 ที่จดุ (25/17,0) x ที่จดุ (35, 22.5) แต่ y ไม่เป็นจํานวนเต็ม จึงต้องเลือกจุดข้างเคียงแทน ก. ลด y สมมติ y = 22 จะได้ x = 36 (หาค่า x จาก x + 2y = 80 ) → C = 348,000 ข. เพิ่ม y สมมติ y = 23 จะได้ x = 34.67 ใช้ไม่ได้! เปลี่ยนเป็น y = 24 จะได้ x = 34 (หาค่า x จาก 3x + 2y = 150 ) → C = 348,000 ปรากฏว่า C เท่ากัน จึงเลือกตอบจุดใดก็ได้ ตอบ (36 วัน, 22 วัน) หรือ (34 วัน, 24 วัน) [หมายเหตุ ถ้าค่า C ไม่เท่ากัน ก็ให้เลือกตอบจุดทีค่ ่า C น้อยกว่า] Cmin = 345,000 y x + 2y > 8 x+y< 7 x > 0, y > 0 (80,0) x 5 14 ( , ) 17 17 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 157 π = rˆig + θn º··Õè 7 ¿§¡ª¹a µÃÕo¡³Áiµi ตรีโกณมิติ (Trigonometry) เป็นวิชาที่ เกี่ยวกับการวัดส่วนประกอบของรูปสามเหลีย่ ม เช่น ความยาวด้าน, ขนาดของมุม, และขนาดพื้นที่ โดยมี ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอยู่ 6 ฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ (Trigonometric Function) ได้แก่ ฟังก์ชันไซน์ (Sine; sin) โคไซน์ (Cosine; cos) แทนเจนต์ (Tangent; tan) โคแทนเจนต์ (Cotangent; cot) ซีแคนต์ (Secant; sec) และโคซี แคนต์ (Cosecant; cosec หรือ csc) แต่ละฟังก์ชันมีโดเมนเป็นขนาดของมุม θ และค่าเรนจ์ที่ได้ออกมานั้นเป็นจํานวนจริง ซึ่งจะ พบว่า หาก 0° < θ < 90° แล้ว ค่าฟังก์ชันทีไ่ ด้คือ “อัตราส่วนระหว่าง 2 ด้านในรูปสามเหลี่ยมมุม ฉาก ที่มุมหนึ่งมีขนาดเท่ากับ θ” a c b cos θ = c sin θ a tan θ = = cos θ b sin θ = cosec θ = 1 c = sin θ a 1 c = cos θ b cos θ 1 b = = cot θ = tan θ sin θ a c sec θ = a θ b Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 158 ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ควรทราบ θ 0° 30° 45° 60° 90° sin θ cos θ tan θ 0 1/2 1/ 2 3 /2 1 1 3 /2 1/ 2 1/2 0 0 1/ 3 1 3 หาค่าไม่ได้ เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ ที่สําคัญ ได้แก่ 1. sin 2 θ + cos 2 θ = 1 เป็นความสัมพันธ์ระหว่างค่า sin และ cos ของมุมใดๆ ซึ่งได้มาจากทฤษฎีบทปีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ( a 2+ b 2= c 2 ..นํา c 2 หารทั้งสองข้าง) นอกจากนี้ เมื่อนํา sin 2 θ หารทั้งสองข้างของสมการอีก จะได้ 1 + cot 2 θ = cosec 2 θ หรือถ้านํา cos 2 θ หารทั้งสองข้างของสมการ ก็จะได้ tan 2 θ + 1 = sec 2 θ 2. sin θ = cos (90°−θ) เป็นความสัมพันธ์แบบ โค-ฟังก์ชัน (Co-function) ซึ่งสังเกตได้ จากความสัมพันธ์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเช่นกัน กล่าวว่า “ถ้ามุมสองมุมรวมกันได้ 90° แล้ว ค่า sin ของมุมหนึ่งจะเท่ากับค่า cos ของอีกมุม” และนอกจากนี้ยังมีอีกสองคู่ คือ tan θ = cot (90°−θ) และ sec θ = cosec (90°−θ) 7.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย จากความสัมพันธ์ที่ว่า sin 2 θ + cos 2 θ = 1 เสมอ (ทุกๆ ค่า θ ) ถ้าให้ sin θ , cos θ เป็นแกน x, y แล้ว จะได้กราฟเป็นรูปวงกลมรัศมี 1 หน่วย โดยมีข้อตกลงที่ใช้เป็นมาตรฐาน คือให้ “แกน x เป็น cos θ และแกน y เป็น sin θ ” กําหนดแบบนี้ก็เพื่อให้ θ เป็นมุมที่ทํากับแกน x โดยเริ่มวัดเป็น 0° ในแนว +x และเพิ่มขึ้นในทิศทวนเข็มนาฬิกา เรียงไปตามลําดับควอดรันต์ (คือเป็น 90° ในทิศ +y, เป็น 180° ในทิศ –x, ...) พอดี y 90° (0,1) sin 45° = 1/ 2 60° ( 1 , 3 ) 120 ° 2 2 3 /2 cos 60° = 1/2 1 1 3 45 °( , 1 ) 2 /2 sin 90° = 1 (− , ) 2 cos 90° = 0 sin 120° = 2 3 /2 cos 120° = −1/2 sin 180° = 0 cos 180° = −1 180° O (-1,0) sin 225° = −1/ 2 cos 225° = −1/ 2 sin 300° = − 3 /2 cos 300° = 1/2 หมายเหตุ 1° 225° (− (องศา; degree) แบ่งเป็น 1 ,− 1 2 2 60 ' 2 1/2 30° ( θ 0° (1,0) 270° (0,-1) (ลิปดา; minute) Math E-Book Release 2.2 x 1 2 3 2 2 2 300° ( 1 , − ) 2 3 1 , ) 2 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 2 3 2 ) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 159 ประโยชน์ของ วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit Circle) คือ เราสามารถหาค่าฟังก์ชนั ของมุม θ ต่างๆ ได้ง่ายขึ้น, สามารถขยายฟังก์ชันให้ใช้กับ θ ใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเกิน 90° หรือจะเป็นค่าติดลบ ก็ตาม (วัดตามเข็มนาฬิกา), และช่วยให้เห็นแนวโน้มของค่าฟังก์ชันเมื่อ θ อยู่ในควอดรันต์ต่างๆ ข้อสังเกต จากกราฟวงกลมนี้ทําให้เราได้ทราบว่า 1. sin θ , cos θ มีค่าได้ตั้งแต่ –1 ถึง 1 เท่านั้น ... เพราะ θ, −θ จะอยู่เหนือแกนและใต้แกนตรงข้ามกันเสมอ 2. sin (−θ) = − sin θ และ cos (−θ) = cos θ ... เพราะ θ, −θ จะอยู่ซ้ายหรือขวาเท่าๆ กันเสมอ ... ได้จากการนํา sin (−θ) หารด้วย cos (−θ) ดังนั้น tan (−θ) = − tan θ แบบฝึกหัด 7.1 (1) ให้หาค่าของ (1.1) sin x + sin 2x + sin 4x (1.2) cos 4x − cos 3x + cos x เมื่อ เมื่อ x = 60° x = 120° (2) จงหา sin θ + cos θ หากกําหนดเงื่อนไข θ ดังแต่ละข้อ (2.1) ปลายส่วนโค้ง θ อยู่บนเส้นตรงซึ่งเชื่อมจุด (0, 0) กับ (2.2) ปลายส่วนโค้ง θ อยู่บนเส้นตรง y = 2x −1 (3, 4) (3) ให้หาค่าของ (3.1) cos 2 35° + sec 2 70° − cosec 2 47° + sin 2 35° − tan 2 70° + cot 2 47° (3.2) sec 2 x 2 + 2 ta n 2 x + cot 2 x + cot 2 x sin 2 x + sin 2 x − cosec 2 x (4) จงเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย 1 (4.1) + 2 1 + sin θ 1 1 1 + + 1 + cos 2θ 1 + sec 2θ 1 + cosec 2θ (4.2) 2 (sin 6 x + cos 6 x) − 3 (sin 4 x + cos 4 x) + 1 [Hint: กระจาย (sin 2x + cos 2x)3 และ (sin 2x + cos 2x)2 ก่อน] (5) ถ้า sin θ − cos θ = a (6) ถ้า (sin θ − cos θ)2 = a2 แล้ว sin θ cos θ แล้ว มีค่าเท่าใด cosec θ − sec θ มีค่าเท่าใด (7) ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี A เป็นมุมฉาก และ tan B = 3/4 แล้ว ให้หาค่าของ sec C cot B cosec A (8) กําหนดสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก หากลาก BD ตั้งฉากกับ AC ที่จุด D แล้วพบว่า AB = 10 , BD = 8 จงหาค่า sin, cos ของมุม A และขนาดของ BC , CD (9) จากภาพ หาก BC = 10 และพื้นที่สามเหลี่ยม ABC เป็น 10 3 ตารางหน่วย ให้หาขนาดพื้นที่สามเหลี่ยม ACD Math E-Book Release 2.2 C (คณิต มงคลพิทักษสุข) A D 120° B E คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 160 (10) ถ้า sin θ = 0.7310 และ 0 < θ < 90° ให้หาค่า θ นั้น (ตารางระบุค่า cos 43° = 0.7314 และ cos 43° 10 ' = 0.7294 ) 7.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม นอกจากการวัดมุมในระบบ องศา (Degree; ° ) แล้ว ยังมีอีกระบบหนึ่งซึ่งวัดจากความยาว ส่วนโค้ง (เส้นรอบวง) ของวงกลมหนึ่งหน่วย เรียกว่า เรเดียน (Radian; rad) นั่นคือ 360° คิดเป็น 2π เรเดียน (ความยาวเส้นรอบวง) 180° คิดเป็น π เรเดียน 90° คิดเป็น π /2 เรเดียน 60° คิดเป็น π /3 เรเดียน 45° คิดเป็น π /4 เรเดียน 30° คิดเป็น π /6 เรเดียน การแปลงหน่วยระหว่างองศา กับเรเดียน S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ใช้วิธีเทียบบัญญัติไตรยางศ์ ตามปกติ y 2π/3 3π/4 5π/6 π/2 π ¶Ö§æÁÁuÁ π eÃe´Õ¹ ¨ae·Õºe·Ò¡aº 180° æµÇÒ π ≠ 180 ¹a¤Ãaº ... ˹ÇÂeÃe´Õ¹¹Õé¤×o¤Ò¨íҹǹ¨Ãi§ (æ»ÅÇÒ π Âa§¤§ÁÕ¤Ò 3.14.. eª¹e´iÁ) π/3 π/4 π/6 0 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 11π/6 7π/4 5π/3 a x θ r ความสัมพันธ์ระหว่างมุม θ (หน่วยเรเดียน) กับความยาวส่วนโค้ง a ในวงกลมรัศมี r ใดๆ คือ θ = a / r หมายเหตุ การวัดมุมเป็นเรเดียน มักละหน่วยไว้ ไม่ต้องเขียนกํากับว่า rad ก็ได้ หากไม่มีสัญลักษณ์องศากํากับ แสดงว่าเป็นมุมเรเดียน เช่น sin 30 นั้นจะไม่เท่ากับ 1/2 การลดรูปขนาดมุม หากขนาดของมุมที่จะหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น มี nπ หรือ nπ/2 ไปบวกลบอยู่ เช่น sin(2π−θ) , cos (π+θ) , sin(π /2−θ) , ฯลฯ เราสามารถกําจัดค่าคงที่เหล่านี้ทิ้งได้ ให้เหลือเพียงมุม y θ เช่น sin (θ±2π) = sin θ cos (θ±2π) = cos θ sin(θ± π) = − sin θ θ+π/2 cos (θ± π) = − cos θ θ sin(θ± π/2) = ± cos θ x cos (θ± π /2) = ∓ sin θ ความสัมพันธ์เหล่านี้ พิจารณาได้จากวงกลม หนึ่งหน่วย θ+π θ -π Math E-Book Release 2.2 θ-π/2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 161 ข้อสังเกตคือ เมื่อตัดมุม nπ ออก ฟังก์ชันยังคงเป็นชื่อเดิมไม่เปลี่ยน แต่ถ้าตัดมุม nπ/2 ออก ฟังก์ชันจะเปลี่ยนชื่อเป็นโคฟังก์ชันเสมอ (แต่นอกจากนี้ยงั ต้องดูเครื่องหมายบวกลบด้วย ว่า เปลี่ยนหรือไม่) แบบฝึกหัด 7.2 (11) วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 24 ซม. ให้หาความยาวส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางขนาด (11.1) 2/3 เรเดียน (11.2) 130° (12) มุมที่จุดศูนย์กลางวงกลมที่รัศมียาว 4 ซม. และส่วนโค้งรองรับมุมนี้ยาว 8 ซม. จะมีขนาดเป็น กี่เรเดียน (13) ให้หารัศมีวงกลมซึ่งมุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาด 5 เรเดียน และส่วนโค้งที่รองรับมุมนี้ ยาว 20 นิ้ว (14) สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมยอด 22.5° บรรจุอยู่ในวงกลม โดยจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของ วงกลม ถ้าส่วนโค้งของวงกลมที่ถูกแบ่งด้วยฐานของสามเหลี่ยม ยาว 4 ซม. ให้หาความยาวรัศมีของ วงกลมนี้ (15) ให้หาค่าของ (16) ถ้า sin 2π 3 cos π 3 − cos + tan π−θ⎞ f (θ) = cos ⎛⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 4π 3 3π 4 − tan + sin แล้ว ค่าของ 5π 3 7π 6 f (2π) − f (0) เป็นเท่าใด (17) ตอบคําถามต่อไปนี้ (17.1) เมื่อ 0 < θ < π/2 ค่าของ θ กับ sin θ ค่าใดมากกว่ากัน (17.2) ถ้า θ มากขึ้นจาก π/2 ไปสู่ π แล้ว ค่า cosec θ เป็นอย่างไร (18) ประโยคใดจริงหรือเท็จบ้าง (18.1) sin 1° > sin 1 (18.2) tan 1 < tan 2 (18.3) sin(1− π) = sin 1 (19) ให้หาค่าของ sin(2π−θ) (19.1) (18.4) (18.5) (18.6) sin(− π /6) < 0 sin(− 11π/6) < 0 tan(π /7) = tan(6π /7) tan(π−θ) cot (3π −θ) cot (2π+θ) tan(π +θ) (19.2) [sin θ + sin( (20) ให้หาค่าของ (21) ให้หาค่าของ π − θ)] 2 + [cos θ − cos (π − θ)] 2 2 2 cos 300° + sin 450° + tan 495° sin 2(−253°) + cos 2(287°) 2 1 − sin (217°) − sin 2(323°) cos 2(37°) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 162 (22) ตอบคําถามต่อไปนี้ เมื่อ 0 < x < 2π (22.1) ค่ามากที่สุดของ 2 − cos 2x เป็นเท่าใด เมื่อ x เป็นเท่าใด (22.2) ค่าต่ําสุดของกราฟ y = 3 sin (2x − π/2) เป็นเท่าใด เมื่อ x เป็นเท่าใด (23) [Ent’ต.ค.42] จงหาเซต {cos A | 0 < A < 4π /3 และ 5 − 3 sin 3A มีค่ามากที่สุด } 7.3 สมการตรีโกณมิติ หลักในการแก้สมการที่เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น 2 2ta n θ − sec θ = 1 โดยรวมเป็นดังนี้ 4 sin 2x + 11 cos x − 1 = 0 หรือ ขั้นแรก ถ้าในสมการ มีฟังก์ชันอื่นๆ ที่ไม่ใช่ sin กับ cos ให้แปลงเป็น sin กับ cos ก่อน ขั้นที่สอง เมื่อได้สมการที่มีเพียง sin กับ cos แล้ว - หากเหลือแค่ sin หรือ cos อย่างใดอย่างหนึ่ง สามารถแยกตัวประกอบต่อได้ทันที - แต่ถ้าเหลือทั้ง sin และ cos ปนกัน ... ให้ใช้เอกลักษณ์ sin 2 θ + cos 2 θ = 1 มาเป็นสมการช่วย มองเป็นระบบ 2 สมการ 2 ตัวแปร (คือตัวแปร sin กับ cos) จึงจะหาคําตอบต่อได้ และต้องตรวจ คําตอบเสมอ เพราะมีการยกกําลังสองเกิดขึ้นอาจทําให้ได้คําตอบเกิน ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ tan θ sin θ + tan θ = 0 ในชวง 0 < θ < 2π sin θ sin θ วิธีคิด แปลงเปน sin กับ cos ไดดังนี้ ... cos ⋅ sin θ + = 0 cos θ θ นํา cos θ คูณทั้งสองขางของสมการ ไดเปน sin θ + sin θ = 0 แยกตัวประกอบ ... (sin θ)(sin θ + 1) = 0 ... จะได sin θ = 0, − 1 แตเนื่องจากในโจทยมีฟงกชัน tan (คือมี cos เปนตัวสวน) ดังนั้น sin θ = −1 ไมได เพราะจะทําให cos θ = 0 ... สรุปวา sin θ = 0 เทานั้น และไดเซตคําตอบเปน {0, π, 2π} หมายเหตุ ในขัน้ ตอนการแยกตัวประกอบ อาจสมมติให sin θ = A เพือ่ ชวยใหมองงายขึ้น • 2 ตัวอยาง กําหนดให 2 cosec x − 2 sin x = 2 cot x จะได cos x มีคาเทาใด x วิธีคิด แปลงเปน sin กับ cos ไดดังนี้ ... sin2 x − 2 sin x = 2 cos sin x นํา sin x คูณทั้งสองขางของสมการ ไดเปน 2 − 2 sin x = 2 cos x ________ (1) เนื่องจากมีทั้ง sin และ cos เราจึงอาศัยเอกลักษณ sin θ + cos θ = 1 ______ (2) โดยแทนคา sin θ = 1 − cos θ ลงไปในสมการแรก กลายเปน 2 − 2(1 − cos x) = 2 cos x → 2 cos x − 2 cos x = 0 แยกตัวประกอบ ... ( 2 cos x) ( 2 cos x − 1) = 0 ... นัน่ คือ cos x = 0, 1/ 2 หมายเหตุ เนื่องจากในโจทยมีตวั สวนเปน sin x แตในคําตอบไมมีคาใดที่ทําให sin x = 0 ดังนั้นจึงตรวจสอบคําตอบ (เนื่องจากมีการยกกําลังสองเอง) พบวาใชไดทั้งสองคําตอบ • 2 2 2 2 2 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 163 S ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒõÃÕo¡³ÁiµiÁÕ¢o¤ÇÃÃaÇa§´a§¹Õé 1. ¡Ò÷ÃÒº¤Ò¿§¡ªa¹¤Ò˹Öè§ eª¹ ·ÃÒºÇÒ sin θ = 1/2 ¨aÂa§äÁÊÒÁÒöÊÃu»ä´·a¹·ÕÇÒ θ oÂÙµÒí æ˹§ã´ e¾ÃÒa¨aÁÕ Êo§¤íÒµoºoÂÙ㹤¹Åa¤Ço´Ãa¹µeÊÁo (eª¹ã¹¡Ã³Õ¹éÕ θ oÒ¨e»¹µíÒæ˹§ 30° ËÃ×o 150° ) ´a§¹aé¹eÃÒµo§·ÃÒº e¾ièÁeµiÁ´ÇÂÇÒ ¤Ò θ ¹ÕéoÂÙ㹤Ço´Ãa¹µã´ o´Â»¡µieÃÒÊÒÁÒö·ÃÒº¤Ço´Ãa¹µä´¨Ò¡e¤Ã×èo§ËÁÒ¢o§¤Ò¿§¡ªa¹o×è¹ eª¹¶Ò·ÃÒºe¾ièÁÇÒ cos θ > 0 ¡ç æÊ´§ÇÒe»¹¤Ço´Ãa¹µ 1 ¤×o 30° 浶ҷÃÒºÇÒ cos θ < 0 ¡çµo§e»¹ ¤Ço´Ãa¹µ 2 ¤×o 150° æ¼¹ÀÒ¾µo仹Õée»¹¡ÒÃÊÃu»e¤Ã×èo§ËÁÒ e¾×èo¤ÇÒÁÊa´Ç¡ã¹¡ÒÃËÒ¤íÒµoº sin + ALL + tan + cos + Q1 e»¹ºÇ¡·a§é 6 ¤Ò Q2 ÁÕe©¾Òa sin æÅa cosec ·Õèe»¹ºÇ¡ Q3 ÁÕe©¾Òa tan æÅa cot ·Õèe»¹ºÇ¡ Q4 ÁÕe©¾Òa cos æÅa sec ·Õèe»¹ºÇ¡ 2. ÊÁÁµiÇÒµo§¡ÒÃ¤Ò θ 㹪ǧ 0 < θ < 2π æµÊÁ¡Ò÷Õèä´¹aé¹e»¹¤Ò 2θ (eª¹ sin 2θ = 1/ 2 ) ¨aµo§¢ÂÒ ªÇ§¤íÒµoºe»¹ 0 < 2θ < 4π (æÅǨ֧¹íÒ¤íÒµoº 2θ ·Õäè ´·u¡¤íÒµoºËÒôÇÂÊo§) ËÒ¡äÁ¢ÂÒªǧ ¨a¡ÅÒÂe»¹ 0 < 2θ < 2π ¤íÒµoº·Õèä´¨aäÁ¤Ãº 3. ¤íÒµoººÒ§¤íÒµoº (o´Âe©¾Òa·ÕèoÂÙº ¹æ¡¹ x ËÃ×o桹 y ) oÒ¨ãªäÁä´ ã¹¡Ã³Õ·èÊÕ Á¡ÒÃÁÕ¤íÒÇÒ tan , cosec , sec , cot e¾ÃÒa¤ÒeËÅÒ¹ÕéÁÒ¨Ò¡¡ÒÃËÒáa¹¢o§ sin, cos µo§µÃǨÊoº´ÇÂÇÒÁÕ¤íÒµoºã´ËÒ¤ÒeËÅÒ¹ÕéäÁä´ (¤×o µaÇ Êǹe»¹ 0 ) ËÃ×oäÁ 4. ¶Òo¨·ÂäÁä´ÃaºuªÇ§¢o§¤íÒµoº ã˵oºã¹ÃÙ»·aèÇ仫Ö觡ÒÃËÁu¹¢o§ θ e»¹¡ÕèÃoº¡çä´ eª¹ ¶Ò㹪ǧ [0, 2π] (¡ÒÃËÁu¹Ãoºæá) ÁÕ¤Òí µoº 1 ¨u´ ¤×o π/4 ã˵oºÇÒ π/4 ± 2nπ ËÁÒÂe˵u ËÒ¡ÁÕ¤íÒµoºËÅÒ¨u´ã¹¡ÒÃËÁu¹Ãoºæá oҨŴÃٻŧeËÅ×o»Ãao¤e´ÕÂÇä´ eª¹ ¶Ò¤íÒµoºe»¹ π/3, 2π/3 ¡çoÒ¨µoºÃÙ»·aèÇä»o´ÂÂÖ´¨u´¡Ö觡ÅÒ§ ÇÒ π/2 ± π/6 ± 2nπ แบบฝึกหัด 7.3 π/2 แล้ว ให้หาค่าของ (24) เมื่อ cos θ = 4/5 และ 0 < θ < (25) เมื่อ sin θ = −3/5 และ tan θ > 0 (26) เมื่อ tan θ = 15/8 และ π (27) เมื่อ sin x = 5/13 (28) กําหนดให้ และ sec θ = 5/3 ให้หาค่าของ < θ < 3π /2 cos x < 0 และ 0 < θ < tan θ − cos θ ให้หาค่าของ ให้หาค่าของ 5 tan θ + 4 sec 2θ sin θ + cos θ sin (x − π) + cos (x − π) π แล้ว ให้หาค่าของ Math E-Book Release 2.2 sin θ − cos θ tan θ − csc θ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 164 (29) [Ent’ต.ค.43, ต้องใช้ความรู้เรื่องเมตริกซ์ด้วย] ถ้า sin x = 3/5 และ tan x = −3/4 แล้ว จงหาค่าของ (30) ตอบคําถามต่อไปนี้ เมื่อ 0 < θ < 2π (30.1) ให้หาค่า θ ที่ทําให้ cos θ = (30.2) ให้หาค่า θ ที่ทําให้ cos 2θ = ⎛ ⎡cosec x sec x ⎤ ⎞ det ⎜ 2 ⎢ 1 cos x ⎥⎦ ⎟⎠ ⎝ ⎣ 3 /2 3/2 cos x (31) เมื่อ tan x + sec x = 2 (32) เมื่อ cosec θ + cot θ = 5/3 (33) เมื่อ 2 sin x = sec x ให้หาค่าของ sin 4 x + cos 4 x (34) เมื่อ 2 sin x = sec x ให้หาค่าของ 1− (35) เมื่อ sin θ + cos θ = 1/5 และ 0 < θ < π ให้หาค่าของ (36) เมื่อ 2 tan 2θ − sec θ = 1 และ 0 < θ < π/2 แล้ว ให้หาค่าของ (37) เมื่อ 4 sin 2x + 11 cos x − 1 = 0 ให้หาค่าของ แล้ว ให้หาค่าของ sin θ sin 2 x cos 2 x − 1 + cot x 1 + tan x และ π < x < 2π tan θ sec θ ให้หาค่าของ sin (−x) + cos (−x) + tan (−x) (38) [Ent’36] กําหนดให้ 4 sin 2θ + 11 cos θ − 1 = 0 (39) ให้หาค่า x จากสมการ 0 < θ < 2π ที่ทําให้ (42) [Ent’35] สําหรับจํานวนจริง x ใดๆ ให้ ถามว่า cot 2(θ+ π/2) + sec (θ− 3π) มีค่าเท่าใด cos 22x + 3 sin 2x − 3 = 0 (40) [Ent’38] ให้หาเซตคําตอบของอสมการ (41) [Ent’25] ค่าของ แล้ว S = {x | −2π < x < 2π และ Ax 2 sin 4x + 3 sin 2x − 2 > 0 sin θ + cos θ < 0 Ax เป็นเมตริกซ์ซึ่ง โดยที่ 0 < x < 2π จะอยู่ในช่วงใด ⎡ 2 sin x 2 sin2x ⎤ Ax = ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ 2 cos x cos x ⎦⎥ เป็นซิงกูลาร์เมตริกซ์ } มีจํานวนสมาชิกกี่ตัว (43) จงหาผลบวกคําตอบทั้งหมดของสมการ x3 − 9x2 + 23x − 15 = 0 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ U = { x ∈ A | cos (−x) > − cos x } และ A = [0, 2π] (44) [Ent’39] กําหนดให้ f (x) = cos 2x + cos x แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูก ก. ถ้า 0 < x < π แล้ว f (x) = 2 cos x ข. ถ้า π < x < 2π แล้ว f (x) = 2 cos x ค. ถ้า π/2 < x < 3π/2 แล้ว f (x) = 0 ง. ถ้า 3π/2 < x < 2π แล้ว f (x) = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 165 7.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การศึกษาเรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยเฉพาะฟังก์ชัน sin และ cos จะเป็นประโยชน์ใน การศึกษาเรื่องอื่นๆ ได้ เช่น คลื่น, เสียง, การเคลื่อนที่แบบเป็นคาบ (การแกว่ง), ไฟฟ้ากระแสสลับ • y = sin x Dsin = R 1 Rsin = [−1, 1] π O 2π period = 2π x amplitude = 1 -1 y = cos x 1 Dcos = R π O 2π Rcos = [−1, 1] x period = 2π -1 amplitude = 1 y = tan x 1 π O 2π x Dtan = R − {π /2 ± nπ} Rtan = R period = -1 π y = cosec x 1 O π 2π x -1 Dcosec = R − {±nπ} Rcosec = R − (−1, 1) period = 2π y = sec x 1 O π 2π x Rsec = R − (−1, 1) period = 2π -1 Math E-Book Release 2.2 Dsec = R − {π /2 ± nπ} (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 166 y = cot x Dcot = R − {±nπ} Rcot = R 1 O π 2π x period = π -1 แบบฝึกหัด 7.4 (45) ให้ A = (−π /2, 0) ∪ (0, π /2) ก. sin (46) กราฟของ x y = sin ฟังก์ชันใดต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันลด บนเซต A ข. cos x ค. cosec x ง. sec x x และ y = cos x เมื่อ 0 < x < 2π ตัดกันกี่จุด และจุดใดบ้าง 7.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุม โดยทั่วไปการคํานวณค่าตรีโกณมิติอาจเกี่ยวข้องกับมุมที่เกิดจากการบวกกัน หรือลบกัน ดังนั้นในหัวข้อนี้จะเป็นการสรุปสูตรที่สําคัญ เพื่อนําไปใช้ประโยชน์ สูตรชุดที่หนึ่ง .. สูตรเบื้องต้น เราสามารถพิสูจน์สูตรหลัก คือ cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β ก่อน (วิธีพิสูจน์ไม่ได้แสดงไว้ในที่นี้) และจากนั้นถ้าแทน β ด้วย −β จะได้สูตร cos (α+β) รวมทั้งได้สูตร sin (α+β) กับ sin (α−β) จาก sin (α+β) = cos (90° − (α+β)) (1) cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β ⎧tan (α+β) = tan α + tan β (2) cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β 1 − tan α tan β ⎪⎪ ⎨ (3) sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ⎪tan (α−β) = tan α − tan β 1 + tan α tan β ⎩⎪ (4) sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β สูตรชุดที่สอง .. สูตรผลคูณ เกิดจากสมการที่ (1) บวกลบกับ (2) … และสมการที่ (3) บวกลบกับ (4) (5) 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) ... จาก (1)+(2) ... จาก (1)-(2) (6) −2 sin α sin β = cos (α+β) − cos (α−β) ... จาก (3)+(4) (7) 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α−β) ... จาก (3)-(4) (8) 2 cos α sin β = sin (α+β) − sin (α−β) สูตรชุดที่สาม .. สูตรผลบวก และผลลบ มีที่มาเดียวกับสูตรชุดที่สอง ... แต่กําหนดให้ A = α + β และ B = (9) cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A − B) ... จาก (5) (10) 2 2 A +B A −B cos A − cos B = −2 sin ( ) sin ( ) 2 2 Math E-Book Release 2.2 ... จาก (6) (คณิต มงคลพิทักษสุข) α −β คณิตศาสตร O-NET / A-NET (11) (12) ฟงกชันตรีโกณมิติ 167 A +B A −B sin A + sin B = 2 sin ( ) cos ( ) 2 2 A +B A −B sin A − sin B = 2 cos ( ) sin ( ) 2 2 ... จาก (7) ... จาก (8) สูตรชุดที่สี่ .. สูตรมุมสองเท่า และมุมครึ่ง สูตรสําหรับมุมสองเท่าได้จากสมการชุดที่หนึ่งเช่นกัน คือใช้มุมเป็น sin (2α) = 2 sin α cos α cos (2α) = cos2α − sin2α tan (2α) = หรือ α + α = 2α cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 2 tan α 1 − tan2α สูตรสําหรับมุมครึ่ง ได้จากการย้ายข้างสมการ โดยมองว่า α กลายเป็น α /2 และ 2α กลายเป็น α cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 sin (α /2) = ± (1− cos α)/2 cos (α /2) = ± (1+ cos α)/2 และ tan (α /2) = ± (1− cos α)/(1+ cos α) นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์สูตรมุมใดๆ ต่อไปอีก โดยอาศัยหลักการเดียวกันกับสี่ชุดข้างต้น เช่น อาจหาสูตรมุมสามเท่า sin(3α), cos (3α), tan(3α) หรือใช้สูตรชุดที่หนึ่งช่วยในการลดรูปขนาด ของมุม θ ± nπ , θ ± nπ/2 เป็นต้น แบบฝึกหัด 7.5 (47) ให้หาค่าของ sin (75°) , cos (5π /12) , และ tan (π /12) (48) กําหนด cot A = 2.4 โดย A ∈ (π, 3π/2) และ sin B (48.1) cos (A +B) และ sin (A +B) มีค่าเท่าใด (48.2) มุม A +B อยู่ในควอดรันต์ใด = 0.6 (49) จงหา cos A เมื่อ sin (A +B) = 1/5 , cos (A −B) = 2/5 (50) จงหา cos B เมื่อ A + B = 5π /4 และ tan A = 1 โดย และ โดยที่ sin B = 3/5 0 < B < (51) ให้หาค่าของ (51.1) 2 cos 75° cos 15° (51.2) 2 sin 25° cos 5° − sin 20° (51.3) 4 sin 75° cos 15° + 4 cos 15° cos 165° (51.4) sin 108° cos 42° + sin 42° cos 108° (51.5) cos 68° cos 78° + cos 22° cos 12° − cos 10° (51.6) 2 cos 35° cos 70° − cos 35° + cos 15° (52) ให้หาค่าของ (52.1) 2 cos 3θ sin 2θ − 2 cos 4θ sin θ − 2 cos 2θ sin θ (52.2) sin 3θ sin 6θ + sin θ sin 2θ − sin 4θ sin 5θ Math E-Book Release 2.2 B ∈ (π /2, π) (คณิต มงคลพิทักษสุข) π คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 168 (53) ให้หาค่าของ (53.1) sin 2A + sin 2(60°+ A) + sin 2(60°− A) (53.2) [Ent’20] cos 2A + cos 2(60°+ A) + cos 2(60°− A) (54) ให้หาค่าของ (54.1) cos 10° + sin 40° (54.2) (54.3) (54.4) (54.5) sin 70° sin 75° − sin 15° cos 75° + cos 15° tan 178° − tan 108° 1 + tan 178° tan 108° ⎛ cot A ⎞ ⎛ cot B ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1+ cot A ⎠ ⎝ 1+ cot B ⎠ sin 3θ cos 3θ − sin θ cos θ tan 10° = B เมื่อ เมื่อ A +B = 225° (55) ให้หาค่าของ (55.1) sin 50° + sin 10° − cos 20° (55.2) sin 10° + cos 40° − cos 20° (55.3) cos 20° + cos 100° + cos 140° (55.4) cos 10° + cos 20° + cos 40° + cos 50° sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50° (56) ให้หาค่าของ sin 40° + sin 20° ในรูปของ (57) ให้หาค่าของ (57.1) cos π cos 3π 5 (57.3) (57.4) [Hint: นํา 5 (57.2) cos π 2 sin 3π + cos 5 5 π 2π 4π cos cos cos 7 7 7 5π π sin cos 24 24 (57.5) [Ent’33] (58) ให้หาค่าของ 5 tan 9° − tan 27° − tan 63° + tan 81° = −2 และ (60) [Ent’38] ถ้า 3 cos 2A − 2 cos 2B แล้ว ให้หาค่าของ sin (A +B) = −3 (61) [Ent’37] กําหนด (62) [Ent’38] ถ้า π คูณเศษและส่วน] 8 sin 70° sin 50° sin 10° (59) กําหนด 4 sin 2A + 3 cos 2B ค่าของ 2 cos (A +B) จงหาค่า sin 5° sin 2A sec A = sin B และ sin 3θ + sin θ = 1 − 4 sin3θ cos (α+β) = 3 − 4 3 10 และ sin A − 2 sin B = 0 จงหาค่าของ cos (α−β) = A, B ∈ [0, π /2] เมื่อ เมื่อ A, B ∈ [0, π /2] sec 2θ + cos (3π /2 + θ) 3 + 4 3 10 แล้ว sin 2α sin 2β Math E-Book Release 2.2 ให้หา (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (63) ถ้า tan x = 2 (64) จงหาค่า (65) ถ้า sin 4θ cos A = ฟงกชันตรีโกณมิติ 169 แล้ว จงหาค่า เมื่อ 5 +1 4 sin 2x 1 + cos 2x tan θ = 1/3 จงหา และ 0 < θ < π/2 sin(A +B) − sin(A −B) + sin(2A −B) − sin(2A +B) (66) ข้อใดต่อไปนี้ผิด ก. cos (x + y) + cos (x − y) = 2 cos x cos y ข. sin(x + y) sin(x − y) = sin2x − sin2y ค. cos (x + y) cos (x − y) = cos 2x − sin 2y ง. cos 5x cos x + sin 5x sin x = cos 6x 7.6 ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกฟังก์ชนั (เช่น y = sin x ) สามารถหาอินเวอร์สได้โดยสลับที่ ระหว่างโดเมนและเรนจ์ตามปกติ (กลายเป็น x = sin y ) แต่อินเวอร์สที่ได้เหล่านี้ไม่เป็นฟังก์ชันเลย เนื่องจาก x ค่าเดียว ให้ค่า y ได้หลายค่าไม่สิ้นสุด ดังนั้นหากจะกําหนดอินเวอร์สให้เป็นฟังก์ชันด้วย เราจําเป็นต้องจํากัดช่วงของเรนจ์ และเราเรียกชื่อฟังก์ชันผกผันเหล่านี้โดยใช้คําว่า arc นําหน้า (เช่น อินเวอร์สของ y = sin x คือ y = arcsin x ) หรือบางตําราใช้สัญลักษณ์ sin-1 x , cos-1 x , tan-1 x , … แทนคําว่า arc– ความหมายของ x = sin y y ต่างจาก y = arcsin x เพราะเรนจ์ไม่เท่ากัน y = arcsin x π -1 1 O π/2 x = sin y -1 1 O −π/2 x −π ช่วงของเรนจ์ที่ใช้กันเป็นมาตรฐานสําหรับฟังก์ชัน arcsin, arccos, arctan จะแสดงไว้ใน กราฟต่อไปนี้ โดยมีวงกลมหนึ่งหน่วยกํากับเพื่อช่วยในการจํา ส่วนฟังก์ชัน arccosec, arcsec, arccot จะไม่กล่าวถึงเนื่องจากไม่นิยมใช้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 170 y = arcsin x y = arccos x y = arctan x π -1 π/2 π/2 1 -1 x O 1 -1 x O −π/2 Darctan = R Darccos = [−1, 1] Rarcsin = [−π /2, π /2] Rarctan = (−π /2, π /2) Rarccos = [0, π] 0 1 = cos π/2 ∞ 1 -1 0 = sin −π/2 π 0 = tan 0 −π/2 −∞ -1 ข้อสังเกต ฟังก์ชัน arcsin (กับ arctan) จะอยู่ในช่วงที่ cos เป็นบวกเสมอ ส่วนฟังก์ชัน arccos จะอยู่ในช่วงที่ sin เป็นบวกเสมอ ความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์ในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คือ arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − xy ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้จากการใส่ฟังก์ชัน tan ทั้งสองข้างของสมการ โดยความสัมพันธ์นี้ใช้ได้เมื่อ arctan x + arctan y ยังอยู่ในช่วง (−π/2, π/2) แบบฝึกหัด 7.6 (67) ให้หาค่าของ (68) ค่าของ arcsin ( 3 /2) และ arccos (−1/2) 2 arcsin (− 3 /2) + arccos (1/ 2) + arccos (−1) (69) ให้หาค่าของ cos (arcsin (cos เป็นเท่าใด 2π 2π )+ ) 7 7 (70) ให้หาค่าของ (70.1) cos (arccos (4/5) + arccos (12/13)) (70.2) sin (arccos (3/5) + arcsin (−4/5)) (70.3) cos (2 arcsin (3/5)) (70.4) [Ent’39] tan (2 arcsin (−1/ 5)) (71) ให้หาค่าของ และ sin( x −π/2 Darcsin = [−1, 1] π/2 1 O π 2 + 2 arctan( 2 − 1)) cos (3π /2 − 2 arctan x) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (72) ให้หาค่าของ A+2B เมื่อกําหนด 0 < A, B < π /2 (73) จงหาค่า ฟงกชันตรีโกณมิติ 171 7 tan(π /4 + A) tan A = 1/7 เมื่อกําหนดให้ และ sin B = 1/ 10 sin A = 1/3 และ π/2 (74) กําหนดให้ แหลม tan A = 1/2 , tan B = 1/5 , tan C = 1/8 (75) ให้แสดงว่า arccos (12/13) + arcsin (16/65) = arcsin (3/5) (77) หาค่าของ (78) ถ้า ⎛ arctan 3x + arctan x ⎞ tan ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 4 cos2(arctan x) − 1 = 0 และ เมื่อ e 1/ x < 1 < A < จงหาขนาด (76) ให้หาค่า x จากสมการต่อไปนี้ (76.1) arccos (4/5) − arcsin (−3/5) = arccos x (76.2) arctan (x2/3 − x) = arcsin (7/25) + arccos (4/5) (76.3) arctan(1/7) + arctan(1/8) + arctan(1/18) = arccot (76.4) arctan (2x + 1) + arctan (2x −1) = arccos (1/ 5) (76.5) arctan x + 2 arctan 1 = 3π/4 (76.6) [Ent’38] arctan (1+ x) + arctan (1− x) = π/4 (76.7) arccos (−1/2) + (π/2) = arcsin x โดยที่ A +B + C ที่เป็นมุม S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S x ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕ arc- eÁ×èoä´ ¤íÒµoº («Öè§e»¹¤ÒÁuÁ) oo¡ÁÒ æÅÇ ¨aµo§µÃǨ¤íÒµoºeÊÁo e¾ÃÒaÁuÁ·Õèä´¹oéÕ Ò¨äÁoÂÙ㹪ǧ Áҵðҹ¢o§ arc- ËÃ×oÁuÁ·Õè ä´¹éoÕ Ò¨·íÒãËÊÁ¡ÒÃe»¹e·ç¨.. arctan 3x − arctan x = จงหา π π/6 x + tan(arctan(x/2)) 7.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ สมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติปรากฏอยู่ จะเรียกว่า สมการตรีโกณมิติ การแก้สมการ ตรีโกณมิตินั้นมีข้อควรระวัง ซึ่งได้กล่าวไปแล้วทั้งหมดในหัวข้อ 7.3 และหากสมการตรีโกณมิตินั้น เป็นจริงเสมอสําหรับทุกๆ ค่า (ที่หาค่าฟังก์ชันได้) จะเรียกว่าเป็น เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติที่สําคัญมีหลายชุด ได้ศึกษาผ่านมาตั้งแต่ต้นบทจนถึงหัวข้อนี้ เช่น sin θ + cos 2 θ = 1 , sin θ = cos (90°−θ) , sin (−θ) = − sin θ , cos (θ± π) = − cos θ , cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β , 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) , sin (2α) = 2 sin α cos α ฯลฯ ซึ่งนอกจากนี้ยังมีเอกลักษณ์อีกมากมาย ดังจะได้ฝึกพิสูจน์เอกลักษณ์ในแบบฝึกหัดต่อไปนี้ 2 แบบฝึกหัด 7.7 (79) ให้หาคําตอบของสมการต่อไปนี้ ภายในช่วงที่กําหนดให้ 1 1 (79.1) − = 4 sin x + 1 (79.2) (79.3) sin x − 1 0 < x < 2π sin 4θ + sin 2θ = 2 cos θ 0 < θ < 2π 2 sin 2θ + 3 cot 2θ − 3 cosec 2θ = 0 0 < θ < Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) π/2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 172 (79.4) [Ent’31] cos4x − sin4x = 1 (79.5) [Ent’29] 4 sin2 x − 6 tan x + 2 sec2 x (79.6) 4 sin x cos x + 2 2 cos x + 2 sin x + (79.7) sin x + 3 cos x = sec (x + π) 0 < x < 2π = 0 0 2 = 0 0 3 (79.8) [Ent’34] (79.9) [Ent’30] π/2 < x < 2π < x < 2π 0 < x < 2 sin2x + 1 = − sin x + 2 2 sin2x + sin x 0 < x < 2π sin x − sin 2x + sin 3x = 0 0 < x < 2π (80) ให้หาช่วงคําตอบของอสมการต่อไปนี้ (80.1) [Ent’38] 2 sin4x + 3 sin2x − 2 > 0 (80.2) 3 sin x + cos x < 1 (81) [Ent’32] ให้หาคําตอบรูปทั่วไปของสมการ 0 < x < 2π 0 < x < 2π cos 2θ = sin θ (82) จงแสดงว่าเอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง (82.1) tan (90° − A) = cot A (82.2) 1 − cos x = tan2 x (82.3) 1 + cos x 2 sin x + sin y x + y = tan cos x + cos y 2 (82.4) tan2x − sin2x = tan2x sin2x (82.5) A A⎞ ⎛ − sin ⎟ = 1 − sin A ⎜ cos 2 2⎠ ⎝ 2 (83) ถ้า A, B, C เป็นมุมในรูปสามเหลี่ยม จงแสดงว่า sin A + sin B C = cot cos A + cos B 2 7.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ กฎของไซน์ และกฎของโคไซน์ เป็นความสัมพันธ์ที่ใช้กับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่ทราบบาง ส่วนประกอบ (ความยาวด้าน และขนาดมุม) เพื่อหาค่าของส่วนประกอบที่เหลือ มีประโยชน์กับ การศึกษาเรขาคณิตวิเคราะห์ และเวกเตอร์ 1. กฎของไซน์ (Law of Sine) B “อัตราส่วนของค่าไซน์ของมุมๆ หนึ่ง ต่อความยาวด้าน ตรงข้าม จะเท่ากันทั้งสามมุม” sin A sin B sin C c a = = a A b c โดยกฎของไซน์นี้พิสูจน์มาจาก พื้นที่สามเหลี่ยม ( 1 bc sin A = 1 ca sin B = 1 ab sin C ) b C 2 2 2 2. กฎของโคไซน์ (Law of Cosine) “เราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือ ได้จากความยาวด้านสองด้านและขนาดมุมตรงกลาง” a 2 = b 2+ c 2− 2bc cos A (ถ้ามุมตรงกลางนั้นเป็น A = 90° กฎนี้จะกลายเป็นทฤษฎีบทปีทาโกรัส) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 173 แบบฝึกหัด 7.8 (84) กําหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้าน a ยาว 10 หน่วย, b ยาว หน่วย ให้หาขนาดมุมทั้งสาม (85) ΔABC มีด้าน a = 2 5, b = 4 5 และ c = 3 5 (86) สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีอัตราส่วนความยาวด้านทั้งสามเป็น สามเหลี่ยมรูปนี้มีมุมหนึ่งขนาดเป็นสองเท่าของอีกมุมหนึ่ง (87) ΔABC B = 65° , มีมุม a = 4, c = 8 ด้าน 10 3 หน่วย และ c ยาว 10 sin (B/2) ให้หาค่า a:b :c = 4:5:6 ให้แสดงว่า ให้หาความยาวด้าน b (กําหนด cos 65° = 0.422 ) (88) ΔABC มีด้าน (89) ΔABC มีมุม A ขนาด (90) ΔABC มีมุม สามเหลี่ยมชนิดใด (91) ΔABC มีมุม c = 15 , a = 12 B = 30° 45° และ และ และด้าน A = 20° , B = 47° A = 27° , sin A = 0.454 a = 2 2, b = 2 3 c = 150 , b = 50 3 และด้าน b = 12 จงหามุม C จงหาขนาดของมุมที่เหลือ ให้พิจารณาว่าสามเหลี่ยมนี้เป็น หน่วย ให้หาความยาวด้าน a (กําหนด sin 20° = 0.342, sin 47° = 0.731 ) (92) สามเหลี่ยม ABC มีค่า (a + b + c)(b + c − a) = 3bc (93) [Ent’38] สามเหลี่ยม ABC มีค่า จงหาขนาดของมุม A (a + b + c)(a − b − c) = −3bc และ 4a2 = 6b2 จงหาค่า 2 1 + 2 sin (3A −2B) (94) [Ent’25] ถ้าความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็น x, y, ลักษณะของสามเหลี่ยมนี้ x2+ xy + y2 ตามลําดับ ให้บอก (95) เครื่องบินขับไล่สองลําบินในแนวราบ ออกจากฐานทัพพร้อมกัน โดยทิศทางการวิ่งทํามุมกัน 38° ถ้าเครื่องบินมีความเร็ว 320 และ 380 ไมล์ต่อชั่วโมง ตามลําดับ จงหาระยะทางระหว่าง เครื่องบินสองลํานี้เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งชั่วโมง ( cos 38° = 0.788 ) 7.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูง ในชีวิตจริงการวัดระยะทางหรือความสูงของสิ่งต่างๆ ไม่สามารถใช้เครื่องมือวัดโดยตรงได้ เสมอไป เราจึงใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากช่วยในการคํานวณ ศัพท์ที่ใช้เรียกมุมที่เกิดจากการสังเกตนั้น คือ มุมก้ม (Angle of Depression) และ มุม เงย (Angle of Elevation) โดยมุมก้มคือมุมที่วัดลงไปจากแนวราบ (ระดับสายตา) ส่วนมุมเงยคือ มุมที่วัดขึ้นจากแนวราบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 174 แบบฝึกหัด 7.9 (96) ชายคนหนึ่งอยู่ริมเขื่อนซึ่งสูงเหนือระดับน้ําทะเล 300 เมตร มองเห็นเรือ A กับ B อยู่ใน ระนาบเดียวกัน เป็นมุมก้ม 33° และ 20° ตามลําดับ เรือสองลํานี้อยู่ห่างกันเท่าใด (กําหนด sin 33° = 0.5446, cos 33° = 0.8387, sin 20° = 0.3430, cos 20° = 0.9397 ) (97) หากมองจากจุด A ซึ่งอยู่ทางทิศใต้ของตึก จะเห็นยอดตึกเป็นมุมเงย 45° แต่หากมองจากจุด B ซึ่งอยู่ทางทิศตะวันออกของจุด A อีก 40 เมตร จะเห็นยอดตึกเป็นมุมเงย 30° แสดงว่าความสูง ของตึกเป็นกี่เมตร * (98) สามเหลี่ยมมุมฉาก PQR และ PQS ซ้อนทับกันโดยมีมุม Q เป็นมุมฉากร่วมกัน และ ˆ ˆ = arctan 0.6 QR : RS = 1 : 3 ให้หาค่า tan SPQ เมื่อกําหนด SPR [Hint: ใช้ความสัมพันธ์ arctan x ± arctan y ] เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (33) 1/2 (34) 1/2 (56) 1 − 2 sin 25° (1.1) 3 /2 (1.2) –2 (35) –4/3 (36) 3/2 (57.1) –1/4 (57.2) 1/2 (2.1) 7/5 (2.2) 7/5 หรือ –1 (37) − (1 + 3 15)/4 (38) 19 (57.3) –1/8 (3.1) 1 (3.2) 1/2 (4.1) 2 2 π /4 ± n π (39) (57.4) ( 2 + 1)/4 (4.2) 0 (5) (1−a )/2 (40) [π/ 4, 3π/ 4] ∪ [5π / 4, 7π / 4] (57.5) 1 (58) 4 (59) –1 (6) ±2a/(1 − a 2) (7) 20/9 (8) 4/5, 3/5, 13.33, 10.67 (41) [3π/4, 7π/4] (42) 9 (60) 1 (61) 39/28 (62) 12 3 /25 (63) 2 (9) 8 3 ตารางหน่วย (43) 1+5=6 (44) ค. (45) ค. (64) 24/25 (65) sin B (10) 46°58 ' (11.1) 16 ซม. (46) 2 จุด คือ (66) ง. (67) 60° , 120° (11.2) 52π/3 ซม. (π/4, 1/ 2),(5π /4, −1/ 2) (68) 7π/12 (69) 0 (12) 2 เรเดียน (13) 4 นิ้ว (47) ( 3 + 1) / 2 2 , (70.1) 33/65 (70.2) 0 (14) 32/ π ซม. ( 3 − 1) / 2 2 , ( 3 − 1) /( 3 + 1) (70.3) 7/25 (70.4) –4/3 (15) −(3 3 + 1)/2 (16) 0 (48.1) 63/65, –16/65 (71) 1/ 2 , −2x/(1+ x 2) (17.1) θ (48.2) Q4 (49) 5/7 (72) π/4 (73) 9−4 2 (17.2) เพิ่มขึ้นจาก 1 ถึง ∞ (50) ±1 (51.1) 1/2 (74) π/4 (75) ... (18) เท็จทุกข้อ ยกเว้น (18.4) จริง (51.2) 1/2 (51.3) 0 (19.1) − sin θ (19.2) 2 (76.1) 7/25 (76.2) -1, 4 (51.4) 1/2 (51.5) 0 (76.3) 3 (76.4) 1/2, –1 (20) 1/2 (21) 1 (51.6) 1/ 2 (52.1) 0 (76.5) 1 (76.6) ± 2 (22.1) เป็น 3 เมื่อ x = π/2, 3π/2 (52.2) 0 (53.1) 3/2 (76.7) ไม่มีคาํ ตอบ (77) 1 (22.2) เป็น –3 เมื่อ x = π (53.2) 3/2 (54.1) 3 −3 3 /2 (78) (23) {0, − 3 /2} (24) 10 (54.2) 1/ 3 (79.1) π/ 4, 3π/ 4, 5π/ 4, 7π/ 4 (25) 31/20 (26) –23/17 (54.3) ( 3 +B) /(1− 3B) (79.2) π/6, π/2, 5π/6, 3π/2 (27) 7/13 (28) 12/5 (54.4) 1/2 (54.5) 2 (79.3) π/6 (79.4) 0, π, 2π (29) –1/3 (30.1) π/6, 11π/6 (55.1) 0 (55.2) 0 (79.5) π/4 (30.2) π/ 12, 11π/ 12, 13π / 12, 23π / 12 (55.3) 0 (55.4) 3 (79.6) 2π/ 3, 5π/ 4, 4π/ 3, 7π/ 4 (31) 4/5 (32) 15/17 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 175 (79.7) 11π/12, 23π/12 (79.8) π/6, 5π /6, 3π/2 (79.9) 0, π/3, π/2, π, 5π/3, 3π/2, 2π (80.1) [π/4, 3π/4] ∪ [5π /4, 7π /4] (80.2) (2π/3, 2π) (81) π/6 ± 2nπ/3 (82,83) ... (84) 30°, 120°, 30° (85) 5/8 (86) C = 2A เนือ่ งจาก cos C = 2 cos2A (87) 7.28 (88) 34.6°, 145.4° (89) 75°, 60° หรือ 15°, 120° (90) สามเหลี่ยมมุมฉาก A = 90° หรือ สามเหลีย่ มหน้าจั่ว A = 30° (91) 5.61 (92) 60° (93) 3 (94) สามเหลี่ยมมีมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน 120° (95) 234.86 ไมล์ (96) 359.9 เมตร (97) 20 2 (98) 1 หรือ 4 − 1 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1.1) = sin 60° + sin 120° + sin 240° 3 3 3 3 + + (− )= 2 2 2 2 (1.2) 1 sin2 θ 1 + sin2 θ + = = 1 2 2 1 + sin θ sin θ + 1 1 + sin2 θ 1 1 และเช่นเดียวกัน + 1 + cos2 θ 1 + sec2 θ 1 cos2 θ 1 + cos2 θ = + = = 1 2 2 1 + cos θ cos θ + 1 1 + cos2 θ ∴ ตอบ 2 = cos 480° − cos 360° + cos 120° = cos 120° − cos 0° + cos 120° 1 1 = (− ) − 1 + (− ) = −2 2 2 y (2.1) (4,3) 4 5 θ sin θ + cos θ 4 3 7 = + = 5 5 5 x 3 (4.2) ให้ A = sin2 x และ B = cos2 x จะได้วา่ A + B = 1 โจทย์ถาม 2(A3 + B3) − 3(A2 + B2) + 1 ลองกระจาย (A + B)3 = 13 (2.2) แก้ระบบสมการ หาจุดตัดของเส้นตรง y = 2x − 1 กับวงกลม x2 + y2 = 1 จะได้เป็น → A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = 1 → A3 + B3 = 1 − 3AB2 x2 + (2x − 1)2 = 1 → 5x2 − 4x = 0 → x = 0 หรือ x = 0 ได้ y = −1 4 ได้ y = 3 x = 5 5 ∴ sin θ + cos θ = −1 หรือ → A + 2AB + B2 = 1 (4/5,3/5) cos2 35° + sin2 35° = 1 sec2 70° − tan2 70° = 1 = −1 2 2 (3.2) sec x2 = sec 2x = 1 , 2 2 + 2 tan x 2 sec x cot2 x − cosec2 x = −1 และ cot2 x sin2 x + sin2 x = cos2 x + sin2 x = 1 ตอบ 1/2 − 1 + 1 = 1 / 2 2 2 (0,-1) และ −cosec2 47° + cot2 47° (เอกลักษณ์ของตรีโกณฯ) ∴ ตอบ 1 + 1 − 1 = 1 ..... (1) (A + B) = 1 2 → A2 + B2 = 1 − 2AB θ 7/5 (3.1) และกระจาย 4 → 5 y ถ้า ถ้า 1 1 + 2 1 + sin θ 1 + cosec2 θ (4.1) จาก x ..... (2) แทนค่าสมการ (1),(2) ลงในโจทย์ จะได้ 2(1 − 3A2B − 3AB2) − 3(1 − 2AB) + 1 = −6A2B − 6AB2 + 6AB = (−6AB)(A + B − 1) = 0 (เพราะ A + B = 1) (5) ยกกําลังสองทั้งสองข้าง sin2 θ − 2 sin θ cos θ + cos2 θ = a2 → 1 − 2 sin θ cos θ = a2 ∴ sin θ cos θ = 1 − a2 2 1 1 − sin θ cos θ cos θ − sin θ ±a 2a = = = ± sin θ cos θ 1 − a2 1 − a2 ( ) 2 (6) cosec θ − sec θ = หมายเหตุ Math E-Book Release 2.2 sin θ cos θ = (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1 − a2 2 มาจากข้อที่แล้ว คณิตศาสตร O-NET / A-NET sec C cot B cosec A (7) 5 * ค่า cosec A ดูจาก Δ ไม่ได้ เพราะ A = 90° ไม่ใช่มุมแหลม (8) จากปีทาโกรัส B จะได้ AD = 6 10 tan A = C 4 A 3 D ∴ AC = 16.67 CD = 10.67 8 4 6 3 sin A = = , cos A = = 10 5 10 5 BC = 10 , พืน้ ที่ ΔABC 1 ⋅ 10 ⋅ AD → AD = 2 3 2 ˆ = 120° → ABD ˆ = 60° → ABE 3 = (10) 1 ⋅8⋅2 3 = 8 3 2 0.7294 = cos 43°10’ x 0.7310 = cos .......... 0.7314 = cos 43°0’ ตร.หน่วย 10’ เทียบบัญญัติไตรยางศ์ (ประมาณค่าแบบเส้นตรง) ได้ว่า 0.0016 = x → x = 8 ' 10 ' ดังนัน้ 0.7310 คือ cos 43°2 ' (โดยประมาณ) และเท่ากับ sin θ ดังนั้น จากโค-ฟังก์ชัน แสดงว่า θ = 90° − 43°2 ' = 46°58 ' (11.1) θ = a → 2 = a → a = 16 ซม. r 3 24 130° เป็นเรเดียน แล้วจึงคํานวณ π a 13π → 130( )= → a = ⋅ 24 180 24 18 52π ซม. = 3 (12) θ = 8 = 2 เรเดียน 4 20 (13) 5 = → r = 4 นิว้ r (11.2) ต้องทํา (14) → 22.5° π 8 = คิดเป็น 4 → r = r π 8 32 π π 3 π ) − cos( ) 3 = 0 ∴ tan 1 > tan 2 ΔACD = 0.0020 − cos (18.2) tan 2 ติดลบ tan 1 เป็นบวก และ 0.0020 0.0016 พื้นที่ 3 3 π/2 ≈ 1.57 1 sin 1 1° sin 1° AD 2 3 = → DB DB DB = 2 ∴ CD = 8 π π (18.1) sin 1° < sin 1 ∴ ตอบ เท็จ = 10 3 ∴ 10 3 = tan 60° = f(2π) − f(0) = cos(− (17.1) θ > sin θ เพราะ θ คือความยาวส่วนโค้งบนเส้นรอบวง C แต่ sin θ คือความยาวเส้นตรงบนแกน y (17.2) ค่า sin θ ลดลง จาก 1 ไปสู่ 0 ∴ ค่า cosec θ (ซึ่งเป็นส่วนกลับของ sin) จะเพิ่มขึ้น จาก 1 ถึง ∞ 8 A (16) [ = cos จะได้ (9) 3 1 1 1 − (− ) − (− 3)] ÷ [ + (−1) + (− )] 2 2 2 2 3 3 +1 3 3 +1 =( ) ÷ (−1) = − 2 2 B (15) 5 4 20 = ( )( )(1) = 3 3 9 8 BC = 6 10 ∴ BC = 13.33 6 10 cos A = = 10 AC ฟงกชันตรีโกณมิติ 176 π/2 ≈ 1.57 2 1 ข้อนี้ เท็จ (18.3) sin(1 − π) = ∴ ข้อนี้ เท็จ 1 − sin 1 1-π π (18.4) sin(− ) < 0 จริง (ควอดรันต์ที่ 4) 6 (18.5) sin(− 11π) < 0 เท็จ (ควอดรันต์ที่ 1) 6 π (18.6) sin = sin 6π แต่ cos π = − cos 6π 7 7 7 7 π 6π ข้อนี้ เท็จ ∴ tan = − tan 7 7 (19.1) (− sin θ)(− tan θ)(− cot θ) = − sin θ (cot θ)(tan θ) (19.2) (sin θ + cos θ)2 + (cos θ − sin θ)2 = (1 + 2 sin θ cos θ) + (1 − 2 sin θ cos θ) = 2 cos 300° + sin 90° + tan 135° = 1/2 + 1 + (−1) = 1 / 2 (20) (21) ข้อนี้ใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ช่วยลดขนาดมุมลง เรเดียน sin2(107°) + cos2(73°) sin2(37°) − 2 1 − sin (143°) cos2(37°) ซม. = sin2(73°) + cos2(73°) sin2(37°) − 2 1 − sin (37°) cos2(37°) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET = ฟงกชันตรีโกณมิติ 177 1 sin2(37°) cos2(37°) − = = 1 cos2(37°) cos2(37°) cos2(37°) (29) sin + , tan − → Q2 ⎛ ⎡csc x sec x ⎤ ⎞ (22.1) 2 − cos 2x มากสุดแสดงว่า cos 2x น้อย det ⎝⎜ 2 ⎣⎢ 1 cos x ⎥⎦ ⎠⎟ สุด → cos 2x = −1 (ต่าํ สุดของ cos ) = 22(csc x cos x − sec x) 5 4 5 1 ∴ 2 − cos 2x มากสุดเท่ากับ 3 = 4( ⋅ (− ) − (− )) = − 3 5 4 3 เมื่อ cos 2x = −1 → 2x = π, 3π (* อย่าลืมขยายช่วงเป็น 0 < 2x < 4π ) (30.1) cos θ = 3 → θ = π , 11π ∴x = π 2 2 3π 2 , (22.2) ต่ําสุดเป็น sin(2x − 2 เมื่อ ) = −1 → 2x − [* ขยายช่วงเป็น ∴x = −3 π π 2 = 2 θ = 0 < 2θ < 4π ) π 11π 13π 23π 12 , (31) นํา 2 7π 3 {cos A |.....} = {cos , cos } = {0, − } 2 6 2 (24) ควอดรันต์ที่ 1 5 tan θ + 4 sec θ 3 5 = 5( ) + 4( )2 4 4 = 10 5 4 tan θ − cos θ −3 4 31 = ( ) − (− ) = −4 5 20 -4 -3 5 แต่ กับ 12 cos x cos x = 0 sec x 5 ไม่ได้ เพราะในโจทย์มคี ําว่า 4 ∴ ตอบ cos x = tan x 5 sin x คูณสองข้าง 5 1 + cos x = sin x ..... (1) 3 -8 -15 17 ∴ sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x 1 1 = 1 − 2( ) = 4 2 sin2 x cos2 x − 1 + cot x 1 + tan x sin3 x cos3 x 1− − sin x + cos x cos x + sin x sin3 x + cos3 x 1− sin x + cos x 1 − (sin2 x − sin x cos x + cos2 x) 1 sin x cos x → ตอบ (จากข้อ 2 (34) จาก → Q2 = sin(x − π) + cos(x − π) = − sin x − cos x 5 12 7 = −( ) − (− ) = 13 13 13 sec + , 0 < θ < , sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x = 1 → sin θ + cos θ 15 8 23 = (− ) + (− ) = − 17 17 17 (26) (28) 12 แก้สมการเช่นเดียวกับข้อที่แล้ว จะได้ sin x = 0 หรือ 15 / 17 แต่ sin x = 0 ไม่ได้ ดังนัน้ ตอบ 15 / 17 (33) 2 sin x = sec x → 2 sin x cos x = 1 โจทย์ถาม sin4 x + cos4 x จึงเริ่มจากกระจาย (sin2 x + cos2 x)2 = 12 → 3 sin − , tan + → Q3 sin + , cos − , (32) นํา 2 (27) 12 คูณสองข้าง sin x + 1 = 2 cos x ..... (1) แต่ sin2 x + cos2 x = 1 ..... (2) แทน sin x จาก (1) ลงใน (2) จะได้ cos x = 0 หรือ 4 π (25) cos 2θ = (ขยายช่วง (23) 5 − 3 sin 3A มีค่ามากที่สดุ แสดงว่า sin 3A = −1 → 3A = 3π , 7π [ ขยายช่วงเป็น 0 < A < 4π] π 7π และจะได้ ∴A = , 2 6 6 3 2 π 11π 13π 23π → 2θ = , , , 6 6 6 6 (30.2) 3π 2 π π 7π − < 2x − < ] 2 2 2 π 6 5 13 -12 π → Q1 = = = 1− sin θ − cos θ 4/5− 3/5 12 = = tan θ − csc θ 4/3 −5/4 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 33) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 1 − sin θ ..... 5 cos θ = (35) ∴ sin 2x = 1 → 2x = (1) cos2 θ + sin2 θ = 1 ..... (2) 1 ∴ ( − sin θ)2 + sin2 θ = 1 5 → 25 sin2 θ − 5 sin θ + 12 = 0 แต่ (5 sin θ − 4)(5 sin θ + 3) = 0 4 sin θ = หรือ − 3 5 5 0 < θ < โจทย์กาํ หนด π (40) 4 ± 2nπ ± nπ 2 sin4 x + 3 sin2 x − 2 > 0 → (2 sin2 x − 1)(sin2 x + 2) > 0 2 4 sin θ = 5 sin x = 1 / 4 tan θ = − 3 ตอบ (36) แทนค่า tan2 θ ด้วย sec2 θ − 1 (เอกลักษณ์) จะได้ 2(sec2 θ − 1) − sec θ = 1 → 2 sec2 θ − sec θ − 3 = 0 2 ตอบ [ π , 3π ] ∪ [5π , 7π ] 4 4 4 4 (41) sin θ + cos θ < 0 คือ ดั (ควอดรันต์ที่ 1) งนัน้ จากภาพ ตอบ [ 3π , 7π ] 4 4 ด้วย 1 − cos2 x (เอกลักษณ์) sin2 x 2 sin x = − 1 / (2 sec θ − 3)(sec θ + 1) = 0 3 หรือ −1 ตอบ 3 sec θ = 2 2 (37) แทน π → x = π 2 ซึ่งพบว่า sin2 x + 2 มากกว่า 0 เสมออยู่แล้ว ดังนัน้ 2 sin2 x − 1 > 0 → sin2 x > 1 ดังนัน้ 3 cos θ = − 5 จาก (1) ได้ ฟงกชันตรีโกณมิติ 178 y+x 0 (Q1, Q4) พบว่า cos 1 > 0 , 1 3 cos 3 < 0 , cos 5 > 0 (sin 2x − 2)(sin 2x − 1) = 0 → sin 2x = 2 หรือ x = 1 หรือ 3 หรือ 5 แต่ U = {x | cos(−x) > − cos x} หรือ cos x > − cos x → 2 cos x > 0 ) 2 − sec(θ − π) π sin2(θ + ) 2 = → sin x = 0 ... พบว่าไม่มีคําตอบ ดั ..ติดลบเพราะ Q3 ) งนัน้ ค่า x ในช่วง [−2π, 2π] มี 9 ตัวดังภาพ π 2 → 2 sin x cos x (1 − 2 sin x cos x) = 0 sin x cos x = 1 + 3 15 = − 4 sin x → 2 sin x cos x − 2 2 sin2 x cos2 x = 0 หรือ 15 1 ) + (− ) − ( 15) = −(− 4 4 (หาค่า y+x=0 เป็นไปไม่ได้ ] ดังนัน้ ตอบ Math E-Book Release 2.2 1+5 = 6 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 179 (44) f(x) = |cos x | + cos x → ถ้า cos x > 0 (Q1, Q4) จะได้ f(x) = 2 cos x แต่ถ้า cos x < 0 (Q2 , Q3) จะได้ f(x) = 0 ดังนัน้ ข้อ ค. ถูก (45) พิจารณาค่าจากกราฟ ตอบ ค. cosec x (ถ้ามี cot x ก็ถูกเช่นกัน) (46) หาจุดตัดของ y = sin x และ y = cos x โดยแก้ระบบสมการ sin x = cos x ก็คือ tan x = 1 → x = π หรือ 5π (48.2) เนื่องจาก cos(A + B) เป็นบวก และ sin(A + B) เป็นลบ ดังนัน ้ A + B อยู่ใน Q4 ∴ 2 ตอบ จุด ได้แก่ 4 π 1 ( , ) 4 2 (ดูภาพประกอบ) cos x sin x π O (47) กับ 4 5π 1 ( ,− ) 4 2 2π sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° 1 3 1 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 = cos 3 +1 2 2 5π π π = cos( + ) 12 4 6 π = cos 4 cos π 6 − sin π sin 4 1 3 1 1 ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2 = tan π 12 = tan( 1 3 = = 1 1+ 3 1− (48) จาก π 4 − tan )= π 4 1 + tan − tan π 4 π 6 tan π 6 3 −1 3 +1 cot A = 2.4 = 12 5 (49) cos A cos B + sin A sin B = โจทย์ให้ และ A ∈ Q3 3 → 5 4 5 ..... (2) มีสองกรณีคือ cos B = กับ 2 5 ..... (1) 4 5 จะได้ 4 3 1 sin A + cos A = 5 5 5 และ (2) 3 sin A − 4 cos A = 2 5 5 5 11 แก้ระบบสมการได้ cos A = − ซึ่งเป็นไปไม่ได้ 7 4 ดังนัน้ cos B = เท่านัน้ 5 4 จะได้ (1) sin A + 3 cos A = 1 5 5 5 3 4 2 และ (2) sin A + cos A = 5 5 5 5 แก้ระบบสมการได้ cos A = ... ตอบ 7 (1) − 5π tan A = 1 → tan( − B) = 1 4 5π tan − tan B 1 − tan B 4 → = 1→ = 1 5π + tan B 1 1 + tan tan B 4 ∴ tan B = 0 → ถ้า 0 < B < π แสดงว่า B = 0 หรือ π ก็ได้ ... จึงตอบ cos B = 1 หรือ −1 (51.1) 2 cos 75° cos 75° = cos(75° + 15°) + cos(75° − 15°) 1 = cos 90° + cos 60° = 2 (51.2) 12 4 5 3 63 = (− )(− ) − (− )( ) = 13 5 13 5 65 (51.4) sin A = − (48.1) 4 5 cos B = − 5 12 , cos A = − 13 13 จาก sin B = 0.6 = 3 และ B ∈ Q2 5 4 จะได้ cos B = − 5 จะได้ sin B = cos B = − ถ้า 1 5 sin A cos B + cos A sin B = (50) 6 3 −1 2 2 π 6 π ฟงกชันตรีโกณมิติ cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B 5 4 12 3 16 = (− )(− ) + (− )( ) = − 13 5 13 5 65 2 sin 25° cos 5° − sin 20° = (sin 30° + sin 20°) − sin 20° = 1 2 (51.3) 2[sin 90° + sin 60°] + 2[cos 180° + cos 150°] = 2[1 + 3 3 ] + 2[−1 − ] = 0 2 2 1 2 [sin 150°+ sin 66°] + = sin 150° = 1 / 2 1 2 [sin 150°+ sin(−66°)] sin A cos B + cos A sin B = sin(A + B) = sin 150° = 1 / 2 หรือมองเป็นสูตร Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ... คณิตศาสตร O-NET / A-NET 180 (51.5) จึงกระจายว่า 1 2 [cos 146°+ cos 10°] + 1 2 [cos 34°+ cos 10°] − cos 10° 1 [cos 146° + cos 34°] 2 1 146° + 34° 146° − 34° = [2 cos( ) cos( )] 2 2 2 = cos 90° cos 56° = 0 = ฟงกชันตรีโกณมิติ tan 60° + B 3 +B = 1 − (tan 60°)(B) 1 − 3B A + B = 225° จะได้ 1 − tan A tan B = tan(225° − A) = 1 + tan A cot A cot B โจทย์ถาม ( )( ) 1 + cot A 1 + cot B = (54.4) จาก หรือมองเป็น “โค-ฟังก์ชนั ” ก่อน จะได้ว่า (นํา = cos(22° − 12°) − cos 10° = 0 =( (51.6) แทนค่า [sin 22° sin 12° + cos 22° cos 12°] − cos 10° (cos 105° + cos 35°) − cos 35° + cos 15° = cos 105° + cos 15° = 2 cos 60° cos 45° 1 1 1 = 2⋅ ⋅ = 2 2 2 (52.1) [sin 5θ − sin θ] − [sin 5θ − sin 3θ] −[sin 3θ − sin θ] = 0 (52.2) − 1 [cos 9θ − cos 3θ] 2 1 1 − [cos 3θ − cos θ] + [cos 9θ − cos θ] = 0 2 2 (53.1) จาก sin2 A = 1 − cos 2A จะได้ว่า 2 โจทย์ถาม 1 2 [1 − cos 2A + 1 − cos(120° + 2A) + 1 − cos(120° − 2A)] 1 [3 − cos 2A − 2 cos 120° cos 2A] 2 1 3 = [3 − cos 2A + cos 2A] = 2 2 = 1 tan A , tan B คูณทั้งเศษและส่วน) 1 1 )( ) tan A + 1 tan B + 1 tan B จะได้ 1 1 =( )( ) tan A + 1 (1 − tan A) + 1 1 + tan A 1 1 + tan A 1 =( )( )= tan A + 1 1 − tan A + 1 + tan A 2 (54.5) sin 3θ cos θ − cos 3θ sin θ sin θ cos θ sin 2θ 2 sin θ cos θ = = = 2 sin θ cos θ sin θ cos θ (55.1) [sin 50° + sin 10°] − cos 20° = 2 sin 30° cos 20° − cos 20° = cos 20° − cos 20° = 0 (55.2) sin 10° + [cos 40° − cos 20°] = sin 10° − 2 sin 30° sin 10° = sin 10° − sin 10° = 0 (55.3) cos 20° + [cos 100° + cos 140°] = cos 20° + 2 cos 120° cos 20° = cos 20° − cos 20° = 0 (53.2) เช่นเดียวกับข้อที่แล้ว คือ จาก cos2 A = 1 + cos 2A จะได้วา่ 2 tan 70° = tan(60° + 10°) (55.4) 2 [1 + cos 2A + 1 + cos(120° + 2A) + 1 + cos(120° − 2A)] 1 [3 + cos 2A + 2 cos 120° cos 2A] 2 1 3 = [3 + cos 2A − cos 2A] = 2 2 = (cos 10° + cos 50°) + (cos 20° + cos 40°) (sin 10° + sin 50°) + (sin 20° + sin 40°) 2 cos 30° cos 20° + 2 cos 30° cos 10° = 2 sin 30° cos 20° + 2 sin 30° cos 10° 2 cos 30° (cos 20° + cos 10°) = 2 sin 30° (cos 20° + cos 10°) = cot 30° = 3 (56) sin 40° + sin 20° = 2 sin 30° cos 10° (54.1) แปลง cos 10° เป็น sin 80° ก่อน (โค- = cos 10° = 1 − 2 sin2 5° ฟังก์ชนั ) (หรือแปลง sin 40° เป็น cos 50° ก็ได้) π π 3π 2 sin cos cos π 3π 5 5 5 จะได้ sin 80° + sin 40° (57.1) cos cos = π sin 70° 2 sin 60° cos 20° = = sin 70° (เพราะ (54.2) 5 3 cos 20° = sin 70° ) 2 cos 45° sin 30° = tan 30° = 2 cos 45° cos 30° (54.3) ตรงตามสูตร tan(α − β) จึงได้เป็น tan 70° → ต้องตอบในรูป tan 10° = B 1 3 5 2π 3π sin cos 5 5 ⋅2 = π 2 2 sin 5 = sin π − sin 4 sin Math E-Book Release 2.2 π 5 π 5 = 0 − sin 2 sin π 1 5 π = −4 4 sin 5 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET cos (57.2) = 2 sin π 5 π 5 cos + cos π 5 3π 5 + 2 sin 2 sin π π 5 cos 2 cos 36° sin 18° = 2( )= 4 sin 54° sin 18° 3π 5 (เพราะ cos 36° = sin 54° ) (59) จาก 4 sin2 A + 3 cos 2B = 5 2π 4π 2π sin + sin − sin 5 5 5 = π 2 sin 5 4π sin 5 = 1 (เพราะ sin 4π = sin π = π 2 5 5 2 sin 5 (57.3) cos π cos 2π cos 4π 7 7 7 π π 2π 4π 2 sin cos cos cos 7 7 7 7 = 2 sin 1 2 1 + )= ( 2 2 2 → 4 sin2 A − 6 sin2 B = −5 (57.5) 8 sin 70° sin 50° sin 10° ⋅ sin 2A sec A = sin B → 2 sin A cos A sec A = sin B ) cos 10° cos 10° 4 sin 70° sin 50° sin 20° cos 20° = ⋅ cos 10° cos 20° ( sin 70° = cos 20° ) 2 sin 50° sin 40° −(cos 90° − cos 10°) = = = 1 cos 10° cos 10° (58) ..... (1) และจาก π 2 +1 4 −2 → 4 sin2 A + 3(1 − 2 sin2 B) = −2 7 2π 2π 4π sin cos cos 7 7 7 = π 2 sin 7 4π 4π 8π sin cos sin 7 7 7 = − 1 = = π π 8 4 sin 8 sin 7 7 (เพราะ sin 8π = − sin π ) 7 7 π π π 5π sin + sin 2 sin cos 4 6 24 24 (57.4) = 2 2 = ฟงกชันตรีโกณมิติ 181 (tan 9° + tan 81°) − (tan 27° + tan 63°) = (tan 9° + cot 9°) − (tan 27° + cot 27°) sin 9° cos 9° sin 27° cos 27° =( + )−( + ) cos 9° sin 9° cos 27° sin 27° sin2 9° + cos2 9° sin2 27° + cos2 27° = − sin 9° cos 9° sin 27° cos 27° 1 1 = − sin 9° cos 9° sin 27° cos 27° 2 2 sin 54° − sin 18° = − = 2( ) sin 18° sin 54° sin 54° sin 18° → 2 sin A = sin B ..... (2) แก้ระบบสมการได้ sin B = 1, − 1 แต่ B ∈ [0, π ] ดังนั้น B = π เท่านั้น 2 และได้ โจทย์ถาม (60) 2 1 π sin A = → A = 2 6 2 cos(A + B) = 2 cos 2π = −1 3 3 cos 2A − 2 cos 2B = −3 → 3(1 − 2 sin2 A) − 2(1 − 2 sin2 B) = −3 ....(1) sin A = 2 sin B ..... (2) แทน (2) ใน (1) จะได้ 3 − 24 sin2 B − 2 + 4 sin2 B = −3 1 → sin2 B = → แต่ B อยู่ใน Q1 5 1 เท่านัน้ และจะได้ cos B = 2 ∴ sin B = 5 5 2 1 →∴ sin A = 2 sin B = , cos A = 5 5 โจทย์ถาม sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B 2 2 1 1 4 1 = ⋅ + ⋅ = + = 1 5 5 5 5 5 5 (61) หาค่า sin 3θ → sin 3θ = sin(2θ + θ) = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ = (2 sin θ cos θ) cos θ + (1 − 2 sin2 θ) sin θ = 2 sin θ (1 − sin2 θ) + (1 − 2 sin2 θ) sin θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ → ดังนัน้ แก้สมการได้เป็น 3 sin θ + sin θ = 1 → sin θ = 1 → 4 3π + θ) sec 2θ + cos( 2 1 1 = + sin θ = + sin θ cos 2θ 1 − 2 sin2 θ 1 1 8 1 39 = + = + = 2 4 7 4 28 1− 16 โจทย์ถามค่า Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (62) cos α cos β − sin α sin β ..... (1) และ = 3−4 3 10 3+4 3 ..... (2) cos α cos β + sin α sin β = 10 (1) + (2) 3 → cos α cos β = 2 10 (2) − (1) 4 3 → sin α sin β = 2 10 ∴ sin 2α sin 2β = 4 sin α cos α sin β cos β 3 4 3 12 3 = 4( )( )= 10 10 25 sin 2x 2 sin x cos x = 1 + cos 2x 1 + 2 cos2 x − 1 sin x = = tan x = 2 cos x (64) tan θ = 1 → แสดงว่า sin θ = 1 3 10 3 และ cos θ = (เพราะ θ อยู่ใน Q1 ) 10 (63) ∴ sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ 2 = 2(2 sin θ cos θ)(1 − 2 sin θ) 1 3 2 96 24 = 2(2)( )( )(1 − ) = = 10 100 25 10 10 (65) [sin(A + B) − sin(A − B)] − [sin(2A + B) − sin(2A − B)] = 2 cos A sin B − 2 cos 2A sin B = 2 sin B (cos A − cos 2A) 5 +1 5 + 12 − 2( ) + 1) 4 4 5 +1 3+ 5 = 2 sin B ( − + 1) = sin B 4 4 = 2 sin B ( (66) ก. ถูก (ตรงตามสูตรชุดทีส่ อง) ข. −2 sin(x + y) sin(x − y) −2 cos 2x − cos 2y = −2 1 − 2 sin2 x − 1 + 2 sin2 y = −2 2 2 = sin x − sin y ถูก 2 = cos x − sin y ง. ผิด เพราะต้องได้ (67) arcsin( 3 π )= 2 3 1 2π arccos(− ) = 2 3 π 2(− (69) cos(arcsin(cos 3 )+ π (68) 4 + 7π 12 π= 2π 2π )+ ) 7 7 2π 2π π = 0 )+ ) = cos 7 7 2 (70.1) ให้ A = arccos 4 จะได้ cos A = 4 5 5 3 และ sin A = 5 ให้ B = arccos 12 จะได้ cos B = 12 และ 13 13 5 sin B = 13 = cos(( π − 2 [ sin ของ arccos เป็นบวกเสมอ] โจทย์ถาม cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B 4 12 3 5 33 = ⋅ − ⋅ = 5 13 5 13 65 (70.2) ให้ โจทย์ถาม A = arccos sin(A + B) 3 5 และ 4 B = arcsin(− ) 5 = sin A cos B + cos A sin B 4 3 3 4 = ⋅ + ⋅ (− ) = 0 5 5 5 5 [ cos ของ arcsin ก็เป็นบวกเสมอเช่นกัน] (70.3) cos(2A) = 1 − 2 sin2 A = 1 − 2 (9/25) = 7 / 25 2 (−1 / 2) 2 tan A 4 = = − 1 − 1/ 4 3 1 − tan2 A 1 2 [หมายเหตุ sin A = − , cos A = 5 5 1 ∴ tan A = − ] 2 (70.4) (71) ก. = sin ค. 2 cos(x + y) cos(x − y) 2 cos 2x + cos 2y = 2 2 cos2 x − 1 + 1 − 2 sin2 y = 2 2 ฟงกชันตรีโกณมิติ 182 π 2 tan(2A) = sin( π 2 + 2A) cos 2A + cos = 2 cos2 A − 1 → tan A = 2 −1 π 2 หาค่า ก่อน ... sin 2A = cos 2A cos A โดยที่ แก้ระบบสมการ sin A = ( 2 − 1) cos A กับ sin2 A + cos2 A = 1 ได้ cos2 A = ถูก cos(5x − x) = cos 4x ∴ ตอบ Math E-Book Release 2.2 1 2 −1 2( )− 1 = = 4−2 2 2− 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1 4−2 2 1 2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 3π cos( − 2A) 2 3π 3π = cos cos 2A + sin sin 2A = − sin 2A 2 2 = −2 sin A cos A → tan A = x ... หาค่า ได้เป็น sin A กับ cos A x 1 , cos A = 1 + x2 1 + x2 ตอบ −2x2 1+ x 1 1 A + B = arctan + 2 arcsin 7 10 sin A = ดังนัน้ (72) (76) การแก้สมการในข้อนี้ ส่วนมากทําได้ 2 วิธี (เช่นเดียวกับข้อที่แล้ว) คือ 1. ใส่ฟังก์ชัน sin, cos, หรือ tan ทั้งสองข้าง กับ 2. ใช้สูตร arctan แต่บางกรณีจะทําเป็น arctan ไม่ได้ คือ เมื่อเป็น arccos (-) [เพราะนิยามไว้คนละควอดรันต์กัน] ...ในข้อ (76.1) จะแสดงไว้ทั้งสองวิธี แต่หลังจากนั้น จะเลือกแสดงเพียงวิธที ี่สนั้ กว่าเพียงวิธีเดียวเท่านัน้ .. (76.1) วิธที ี่ 1 cos(arccos 4 − arcsin(− 3)) = x arctan เพื่อใช้สูตร ได้เป็น 1 1 arctan + 2 arctan 7 3 1 2/3 = arctan + arctan 7 1 − 1/ 9 1 3 = arctan + arctan 7 4 1/ 7 + 3 / 4 π = arctan = arctan 1 = 1 − 3 / 28 4 แปลงเป็น (73) 1 8 → cos A = − 3 3 sin A = A (ติดลบ เพราะ และ = 7⋅ 7 tan( π 4 อยู่ใน + A) = 7 ⋅ Q2 ) → tan A = − tan π 4 1 − tan 4 1 8 tan A 1 − 1/ 8 8 −1 7( 8 − 1)2 = 7( )= 7 1 + 1/ 8 8 +1 1 1 1 + arctan + arctan 2 5 8 1/ 2 + 1/ 5 1 = arctan + arctan 1 − 1 / 10 8 7 1 7 / 9 + 1/ 8 = arctan + arctan = arctan 9 8 1 − 7 / 72 A + B + C = arctan = arctan 1 = π 4 sin ทั้งสองข้าง จะได้ 12 16 3 sin(arccos + arcsin )= 13 65 5 5 63 12 16 3 → ⋅ + ⋅ = 13 65 13 65 5 315 + 192 3 3 3 ..OK.. → = → = 13 ⋅ 65 5 5 5 (75) วิธีที่1 ใส่ 7 → x = 25 5 3 3 − arctan(− ) = arccos x 4 4 3/4 + 3/4 → arctan = arccos x 1 − 9 / 16 24 7 arctan = arccos x → x = 7 25 วิธีที่ 2 = 9−4 2 (74) 5 4 4 3 3 → ⋅ + ⋅ (− ) = x 5 5 5 5 + tan A π arctan จะได้ 5 16 3 arctan + arctan = arctan 12 63 4 5 / 12 + 16 / 63 3 → arctan = arctan 5 ⋅ 16 4 1− 12 ⋅ 63 3 3 ..OK.. → arctan = arctan 4 4 วิธีท2ี่ ใช้สูตร ข. โดยที่ ฟงกชันตรีโกณมิติ 183 arctan x2 7 4 − x = tan(arcsin + arccos ) 3 25 5 x2 7 / 24 + 3 / 4 4 → −x = = 3 1 − 7 / 32 3 (76.2) → x2 − 3x − 4 = 0 → (x − 4)(x + 1) = 0 → x = 4, − 1 (76.3) arctan 1/ 7 + 1/ 8 1 − 1 / 56 + arctan 1 18 = arccot x 3 1 + arctan = arccot x 11 18 3 / 11 + 1 / 18 → arctan = arccot x 1 − 1 / 66 1 → arctan = arccot x → x = 3 3 (76.4) arctan 2x + 1 + 22x − 1 = arccos 1 1 − (4x − 1) 5 2x 1 → arctan = arccos 1 − 2x2 5 1 2x = arctan 2 ) → = 2 (เพราะ arccos 5 1 − 2x2 1 → แก้สมการได้ x = , − 1 2 → arctan (76.5) π 3π arctan x + 2( ) = 4 4 → arctan x = Math E-Book Release 2.2 π 4 → x = 1 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET tan ทั้งสองข้าง 1+ x + 1− x = 1 1 − (1 − x2) 2 = 1→ x = ± 2 x2 (76.6) ใส่ → → (76.7) ใส่ sin ดังนัน้ ทั้งสองข้าง arctan 3x − arctan x = π arctan 3 + arctan(1 / 3) = tan( ) 2 π/3+ π/6 π = tan( = 1 ) = tan 2 4 (78) cos2(arctan x) = 1 4 1 → cos(arctan x) = หรือ − 1 2 2 3 หรือ แต่โจทย์กําหนด [e 3 1 ดังนั้น x = − 3 ∴θ = → 2 cos2 2θ − 3 cos 2θ + 1 = 0 → (2 cos 2θ − 1)(cos 2θ − 1) = 0 → cos 2θ = 1 หรือ 1 / 2 แต่ cos 2θ = 1 ไม่ได้ เพราะจะทําให้ ดังนัน้ cos 2θ = 1 / 2 เท่านัน้ → 2θ = (79.4) π 3 → θ = sin 2θ = 0 π 6 (cos2 x − sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = 1 → cos2 x − sin2 x = 1 → cos 2x = 1 → 2x = 0, 2π, 4π → x = 0, π, 2π sin x 2 + = 0 cos x cos2 x 2 2 → 4 sin x cos x − 6 sin x cos x + 2 = 0 (79.5) 4 sin2 x − 6 → sin2 2x − 3 sin 2x + 2 = 0 เท่านัน้ ∴ 2x = π 2 → x = π 4 (79.6) (4 sin x cos x + 2 sin x) + (2 2 cos x + → 2 sin x (2 cos x + 1) + 2) = 0 2 (2 cos x + 1) = 0 → (2 sin x + เท่านั้น 2)(2 cos x + 1) = 0 ดังนัน้ sin x = − 1 หรือ cos x = − 1 2 2 2π 5π 4π 7π → x = , , , 3 4 3 4 (79.7) (79.1) → 2 [sin x cos sin x − 1 − sin x − 1 = 4 sin2 x − 1 −2 1 → = 4 → cos x = ± − cos2 x 2 π 3π 5π 7π → x = , , , 4 4 4 4 sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ จะได้ว่า โจทย์กลายเป็น 3 π π 5π 3π , , , 6 2 6 2 → 2 (1 − cos2 2θ) + 3 cos 2θ − 3 = 0 x x 3x −3 3 = ∴ x + tan(arctan ) = x + = 2 2 2 2 = 4 sin θ cos θ (1 − 2 sin2 θ) หรือ 2 sin 2θ + 3 → sin 2x = 1 > 1] (79.2) จาก 1 2 → (sin 2x − 2)(sin 2x − 1) = 0 − 3 ex < 1 ... sin θ = หรือ cos 2θ 3 − = 0 sin 2θ sin 2θ → 2 sin2 2θ + 3 cos 2θ − 3 = 0 (79.3) 6 3x − x π จะได้วา่ arctan = 6 1 + 3x2 2x 1 → = → 3x2 − 2 3x + 1 = 0 1 + 3x2 3 1 → ( 3x − 1)2 = 0 → x = 3 arctan 3x + arctan x ดังนัน้ tan( ) 2 → x = cos θ = 0 sin θ = −1 3 1 1 → ( )(0) + (− )(1) = x → x = − 2 2 2 แต่ arccos(− 1) + π = 2π + π = 7π 2 2 3 2 6 7π ซึ่งไม่อยู่ในช่วง arcsin (แม้ว่า sin = − 1 6 2 1 π ก็ตาม ..แต่ arcsin (− ) = − ) ∴ ไม่มีคําตอบ 2 6 (77) จาก ฟงกชันตรีโกณมิติ 184 4 sin θ cos θ − 8 sin θ cos θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos θ 1 3 π 2 [ sin x + cos x] = sec(x + ) 2 2 3 → 2 sin(x + → 2 sin(x + π π 3 3 ) = sec(x + π π + cos x sin π π 3 3 ] = sec(x + ) ) cos(x + ) = 1 3 3 2π → sin(2x + )= 1 3 2π 5π 9π 11π 23π → 2x + = , → x = , 3 2 2 12 12 → 2 cos θ (3 sin θ − 4 sin3 θ − 1) = 0 → 2 cos θ (2 sin θ − 1)2(sin θ + 1) = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) π 3 ) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันตรีโกณมิติ 185 (79.8) 2 sin2 x + sin x + 1 = 2 2 sin2 x + sin x (82.1) [โคฟังก์ชัน] อาจพิสจู น์จากสูตร ให้ 2 sin2 x + sin x = A จะได้วา่ คือ tan(90° − A) = tan 90° − tan A A + 1 = 2 A → A2 + 2A + 1 = 4A → A − 2A + 1 = 0 → A = 1 ∴ 2 sin2 x + sin x = 1 → (2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0 1 2 → sin x = หรือ → x = −1 π 5π 3π 6 , 6 , 2 (79.9) ใช้ผลทีค่ ิดไว้ในข้อ (61) คือ sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x ดังนั้นโจทย์กลายเป็น sin x − 2 sin x cos x + 3 sin x − 4 sin3 x = 0 → 2 sin x (2 − cos x − 2 sin2 x) = 0 → 2 sin x (2 − cos x − 2(1 − cos2 x)) = 0 → 2 sin x (− cos x + 2 cos2 x) = 0 → 2 sin x (cos x)(2 cos x − 1) = 0 → sin x = 0 หรือ π π ∴ x = 0, , 3 2 , π, cos x = 0 หรือ cos x = 3π 5π , , 2π 2 3 1 2 (2 sin2 x − 1)(sin2 x + 2) > 0 → 1 1 sin2 x > → sin x > หรือ sin x < − 1 2 2 2 (80.1) sin x = 1 / sin x = − 1 / (80.2) → cos π 4 6 sin x + sin → sin(x + → x+ π 6 4 2 4 3 1 1 sin x + cos x < 2 2 2 π 6 )< 1 2 π cos x < 6 cos 2A = 1 − 2 sin2 A 1 − cos 2A → sin2 A = ..... (1) 2 และ cos 2A = 2 cos2 A − 1 1 + cos A → cos2 A = ..... (2) 2 (1) 1 − cos 2A ; tan2 A = (2) 1 + cos 2A ถ้าให้ A = x จะได้ tan2 x = 1 − cos x 2 2 1 + cos x (82.2) จาก (82.3) จาก (1) sin x + sin y x+y x +y = 2 sin( ) cos( ) 2 2 และ (2) cos x + cos y = 2 cos(x + y) cos(x + y) 2 2 (1) sin x + sin y x+ y ; = tan( ) (2) cos x + cos y 2 = sin2 x → tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x (82.5) (cos A − sin A)2 2 2 A A A 2 A = cos − 2 sin cos + sin2 2 2 2 2 = 1 − sin A 1 2 (83) ผลจากข้อ (82.3) จะได้วา่ sin A + sin B A+B = tan( ) cos A + cos B 2 A + B = 180° − C 180° − C C ) = tan(90° − ) ∴ จะได้เป็น tan( 2 2 C = cot [โคฟังก์ชัน] 2 แต่ 5π 13π ∈( , ) 6 6 ตอบ 1 − 2 sin2 θ = sin θ → (2 sin θ − 1)(sin θ + 1) = 0 (81) = ∞ จึงต้องนําไปหารทั้งเศษและส่วน] tan A 1− 1−0 tan 90° = = = cot A 1 + 0 tan A + tan A tan 90° (82.4) จาก 1 − cos2 x นํา tan2 x คูณสองข้าง 2 ตอบ [ π , 3π ] ∪ [5π , 7π ] 4 1 + tan 90° tan A [ tan 90° 2 tan(α − β) 1 หรือ −1 2 π 2π ± n 6 3 2π x ∈( , 2π) 3 (84) ใช้กฎของ cos หามุม A ก่อน ... 102 = (10 3)2 + 102 − 2(10 3)(10) cos A 3 2 → sin θ = → cos A = ตอบ จากนั้นอาจใช้กฎของ cos หามุม B, C หรือจะใช้กฎของ sin ก็ได้ แต่จากการสังเกตพบว่า ΔABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจัว ่ (เพราะ a = c ) ดังนัน้ c = 30° ด้วย และ B = 180° − 30° − 30° = 120° เมื่อ n คือจํานวนเต็ม Math E-Book Release 2.2 ∴ A = 30° (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (85) 2 2 2 (4 5) = (2 5) + (3 5) − 2(2 5)(3 5) cos B → cos B = − 1 4 (แสดงว่า cos B = 1 − 2 sin2 จาก ∴ sin2 B 2 B อยูใ่ น Q2 ) B ต้องอยูใ่ น Q1 ) 2 a = 4x, b = 5x, c = 6x จะได้ว่า (4x)2 = (5x)2 + (6x)2 − 2(5x)(6x) cos A 3 → cos A = ... 4 และด้วยวิธเี ดียวกันได้ cos B = 9 , cos C = 1 16 8 32 1 2 พบว่า 2 cos A − 1 = 2( ) − 1 = = cos C 4 8 → ∴ C = 2A 2 b 2 2 = 4 + 8 − 2(4)(8)(0.422) = 52.992 → b = 7.28 (88) กฎของ sin C 0.454 = 15 12 sin → sin C = 0.5675 → C ≈ 34.6° (89) หรือ ดังนัน้ ดังนัน้ C = 60 → A = 90° สามเหลีย่ มมุมฉาก หรือ C = 120° → A = 30° สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (91) a = 12 → a = 5.61 0.731 (92) กระจายแล้วจัดข้างเป็น 1 ∴ cos A = → A = 60° 2 (93) กระจายแล้วได้ ∴ cos A = จาก ใช้กฎของ sin B = แต่ 1 → A = 60° 2 sin ได้ว่า sin 60° 1 → B = 45° 2 135° + 60° > 180° เช่นกัน 3/2 b → 3/2 b ไมล์ 320 = หรือ b → sin B 135° ∴ B = 45° → 1 + 2 sin2(3A − 2B) = 1 + 2(1)2 = 3 เท่านัน้ x 38° 380 h = tan A → x = h cot A x h = tan B → y = h cot B y A B h ∴ y − x = h (cot B − cot A) B A ดังนัน้ เรืออยู่หา่ งกัน x 0.9397 0.8387 ) = 300 ( − 0.3430 0.5446 y = 359.9 เมตร (97) h = tan 45° → AC = h cot 45° AC h = tan 30° → BC = h cot 30° BC A 45° 40 30° B AC2 + 402 = BC2 (98) ให้ PQ ยาว และ QS ยาว 4b a P h C N ∴ h2 cot2 45° + 402 = h2 cot2 30° 40 → h = cot2 30° − cot2 45° 40 = = 20 2 เมตร 3−1 arctan 0.6 a a2 = b2 + c2 − bc a2 = b2 + c2 − bc 4a2 = 6b2 → a = 3202 + 3802 − 2(320)(380)(0.788) (96) แต่ sin C sin 30° 3 = → sin C = 150 2 50 3 0.342 x = 145.4° sin B sin 45° 3 = → sin B = 2 2 3 2 2 ดังนัน้ B = 60° → C = 75° หรือ B = 120° → C = 15° (90) (x2 + xy + y2) = x2 + y2 − 2xy cos A 1 cos A = − คือเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน 2 = 234.86 5 8 (เป็นบวกเท่านั้น เพราะ (87) (94) จะได้ (95) B 5 B = → sin = 2 8 2 (86) ให้ ฟงกชันตรีโกณมิติ 186 b Q R 3b ˆ + RPQ ˆ = SPQ ˆ จากความสัมพันธ์ SPR b จะได้ arctan 0.6 + arctan = arctan 4b a 0.6 + b / a 4b ) = arctan → arctan( 1 − 0.6 b / a a S a ตัด arctan ออกทั้งสองข้างแล้วจัดรูปสมการ ได้เป็น → a2 − 5ab + 4b2 = 0 → (a − 4b)(a − b) = 0 → a = 4b หรือ a = b ˆ = 4b = 1 ∴ tan SPQ a Math E-Book Release 2.2 หรือ (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 187 e logar xp+ º··Õè 8 ¿§¡ª¹a eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅ æÅaÅo¡ÒÃi·ÖÁ การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของจํานวนประชากรตาม ธรรมชาติ ปริมาณรังสี หรือเงินฝากในธนาคาร โดยทั่วไปไม่ได้เป็นสัดส่วนแบบเส้นตรง แต่เป็นแบบ ทวีคูณ (ยกกําลัง) ทําให้เราจําเป็นต้องศึกษาเกี่ยวกับ เลขยกกําลัง รวมทั้งฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง คือ ฟังก์ชัน เอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) และ ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithmic Function) 8.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง เลขยกกําลัง จะเขียนในรูป an เรียก a ว่าฐาน และเรียก n ว่า เลขชี้กําลัง (Exponent) โดย an ใช้แทน a คูณกันเป็นจํานวน n ตัว หรือ an นิยามให้ และ a0 = 1 , a 1/ n = n a−n = 1 an (โดยที่ = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a n ตัว a ≠ 0) a Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 188 ทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับเลขยกกําลังได้แก่ ⎧ ⎪ • ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ • ⎨ ⎪ ⎩ am ⋅ an = am + n m a = am − n an (am)n = amn n m am = a n ⎧⎪ (ab)n = an ⋅ bn • ⎨ n n n ⎪⎩ (a/b) = a / b ⎧ n ab = n a ⋅ n b ⎪⎪ n a • ⎨ a = ⎪ n n b ⎪⎩ b โดย n เป็นจํานวนจริงใดๆ (ไม่จําเป็นต้องเป็นจํานวนเต็ม) และกรณีกรณฑ์ หมายเหตุ คําว่า รากที่สอง กับเครื่องหมาย กรณฑ์ (radical : • หรือ “รากที่สอง ของ 16 ” ได้แก่ 4 และ –4 แต่ “ 16 หรือ 16 1/ 2 ” มีค่าเท่ากับ 4 อย่างเดียวเท่านั้น การหารากที่สองของ • 1/ 2 n ≠ 0 ) มีความหมายต่างกัน M± N 2 พิจารณา ( a + b) = (a+b) + 2 ab และ ( a − b)2 = (a+b) − 2 ab ดังนั้น ถ้าเราให้ a+b = M และ 4ab = N แล้วแก้ระบบสมการหาค่า a, b ก็จะได้คําตอบ สรุป รากที่สองของ M + N ได้แก่ ±( a + b) เมื่อ a+b = M และ 4ab = N รากที่สองของ M − N ได้แก่ ±( a − b) เช่น รากที่สองของ 6 − 35 หาได้จาก a+b = 6 และ 4ab = 35 นั่นคือ a, b = 3.5, 2.5 จึงได้คาํ ตอบว่า 3.5 − 2.5 และ 2.5 − 3.5 รากที่สองของ 72 + 40 หาได้จาก a+b = 72 = 6 2 และ 4ab = นั่นคือ a, b = 5 2, 2 จึงได้คาํ ตอบว่า 5 2 + 2 และ − 5 2 − 40 2 การแก้สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์ (1) สมการที่มี ax +b บวกลบกันอยูห่ ลายพจน์ ควรย้ายข้างให้จํานวนพจน์เท่าๆ กัน และ สัมประสิทธิ์หน้า x รวมเท่าๆ กันที่สุด จากนั้นจึงยกกําลังทั้งสองข้างไปจนกว่าเครื่องหมายกรณฑ์จะ หมดไป ... การยกกําลังเช่นนี้ มักทําให้ได้คําตอบเกิน ดังนั้นต้องตรวจคําตอบเสมอ (2) หากสิ่งที่อยู่ในเครื่องหมายกรณฑ์นั้นยาวมาก ให้สมมติสิ่งนั้นเป็นตัวแปร A ไปก่อน แล้วทําตัว แปรที่เหลือในสมการให้อยู่ในรูป A ทั้งหมด เพื่อให้สมการสั้นลงและคํานวณสะดวกขึ้น • ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการตอไปนี้ ก. x + 1 = 4x + 9 วิธีคิด ยกกําลังสองทั้งสองขาง จะได x + 2x + 1 = 4x + 9 → x − 2x − 8 = 0 แยกตัวประกอบไดเปน (x − 4)(x + 2) = 0 ... ดังนัน้ คําตอบนาจะเปน 4, − 2 แตเมื่อลองแทนคาแลวพบวา 4 ทําใหสมการเปนจริง แต −2 ใชไมได ... ดังนัน้ ตอบ ข. x − 7 + x − 12 = 5 2 2 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) {4} คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 189 2 วิธีคิด สมมติให x − 7 = A เพื่อใหมองงายขึ้น ... กลายเปน A + A − 5 = 5 ยายขางสมการใหมีจํานวนกรณฑสองฝงเทาๆ กัน คือ A − 5 = 5 − A จากนั้นยกกําลังสองทั้งสองขาง ไดเปน A − 5 = 25 − 10 A + A → A = 3 ยกกําลังสองอีกครั้ง ... A = 9 ... ตรวจสอบคําตอบใน A + A − 5 = 5 แลวพบวาใชได ดังนั้น x − 7 = 9 → x = 16 → x = 4, − 4 ... จึงตอบ {4, − 4} 2 2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชันเลขยกกําลัง กําหนดรูปทั่วไปเป็น f (x) = a x โดยค่าของฐาน a อยู่ในช่วง นํามาเขียนกราฟได้ดังนี้ y (0,1) O y = a x, (0, 1) หรือ (1, ∞) y (0,1) O x y = a x, a>1 ฟังก์ชันเพิ่ม เท่านั้น x 0 1 แล้ว 0 < (5.3) 5 2 < 5 3 (5.4) (sin 1°) 3 < (sin 1°) 2 (5.5) (ta n 46°) 2 < (ta n 46°) 3 390 × 0.008 x > 0 ax < 1 (6) ให้หาคําตอบของสมการ (6.1) [Ent’33] x 1/ 2 − x 1/ 4 − 6 = 0 (6.2) 2x + 1 = x + 1 (6.3) [Ent’33] 2x + 1 − x −3 = 2 (6.4) 2x −3 + x +2 = 7x −5 (6.5) x2 + 6 x2 −2x +5 = 11 + 2x (6.6) (x + 1) 2 = 5( x2 +2x +2 − 1) (6.7) x2 + 3x +15 + x2 + 3x +6 = 9 (6.8) 2x2 −6x −27 − x2 −6x −2 = x − 5 (6.9) 3 6(5x +6) − 3 5(6x −11) = 1 Math E-Book Release 2.2 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ãËËÒ¤Ò x ·Õè·Òí ãË 2x = 0 ¹o§æ ËÅÒ¤¹µoºÇÒ 0 ... æµ·è¨Õ Ãi§¤×o äÁÁÕ¤Òí µoº 1. 20 = 1 ¹a 2. 2 ¡¡íÒÅa§´Ç¨íҹǹ¨Ãi§ã´¡çäÁÁÕ·Ò§ä´ 0 ¹a¤Ãaº æÅaäÁÇÒ¨ae»¹eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅã´æ ¡çäÁÁ·Õ 񤊫 0 (´Ù¨Ò¡¡ÃÒ¿¡çä´¤Ãaº ¤Ò y ·Õèä´µo§e»¹ºÇ¡eÊÁo) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 191 8.2 การแก้สมการทีเ่ ป็นเอกซ์โพเนนเชียล (1) สมการในรูป af(x) = bg(x) จะต้องแปลงฐานทั้งสองข้างให้เท่ากัน เพื่อกําจัดฐานทิ้งไป ตามสมบัติที่ว่า aM = aN ↔ M = N (2) ถ้ามีพจน์เลขยกกําลังฐานเดียวกัน บวกลบกันอยู่ เช่น ax , a2x อาจสมมติเป็นตัวแปร A, A2 เพื่อให้คํานวณสะดวกขึ้นเช่นเดิม (ฐานมักจะเป็นจํานวนเฉพาะ) แต่ถ้ามีฐานอื่นอยู่ด้วย จะใช้ ตัวแปร B อีกอันก็ได้ และเมื่อจัดกลุ่มเลขยกกําลังเป็นพวกๆ แล้ว จึงทําการคํานวณต่อไป (3) อสมการ ใช้สมบัติของฟังก์ชันเพิ่ม/ฟังก์ชันลด ในการกําจัดฐาน คือ M N a >a ↔ M > N เมื่อ a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) M และ a > aN ↔ M < N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) • ตัวอยาง ใหหาคําตอบของสมการตอไปนี้ ก. (0.1)x +2 = 10 x วิธีคิด สมการอยูในรูป a = b จึงทําฐานใหเทากัน เชน ทําเปนฐาน 0.1 จะได (0.1)x +2 = ((0.1)−1)x ... ดังนั้น x + 2 = −x → 2x = −2 → x = −1 ข. 8 − 3 ⋅ 4 − 6 ⋅ 2 + 8 = 0 วิธีคิด สมการนีม้ ีเอกซโพเนนเชียลฐาน 2 ลวนๆ ดังนั้นสมมติให 2 = A เพื่อใหมองงายขึน้ จะได 2 − 3 ⋅ 2 − 6 ⋅ 2 + 8 = 0 → A − 3A − 6A + 8 = 0 แยกตัวประกอบไดเปน (A − 4)(A − 1)(A + 2) = 0 ... ดังนัน้ A = 4, 1, − 2 นั่นคือ 2 = 4, 1, − 2 ... แสดงวา x = 2, 0 (สวนกรณี 2 = − 2 นั้นเปนไปไมได เพราะเอกซโพเนนเชียลตองมีคาเปนบวกเสมอ) f(x) x g(x) x x x 3x 2x x 3 2 x x แบบฝึกหัด 8.2 (7) ให้หาคําตอบของสมการ x x+3 (7.1) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝4⎠ ⎝2⎠ 2 (7.2) 101 + x = 1002x (7.3) ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ (7.4) ⎛ 4 ⎞ ⎛ 27 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝9⎠ ⎝ 8 ⎠ 2x + 1 x 8 ⎞ = ⎛⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠ x−1 −4 x (7.5) ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ (7.6) 18 8 − 4x = (54 2) 3x − 2 (7.7) (5 + 2 6) x = ⋅2 = 1 (8) ให้หาคําตอบของสมการ (8.1) 4 x + 1 + 64 = 2 x + 5 (8.2) 4 x + 2 − 2(4 x + 1) = 2 4x (8.3) 2 2x + 2 − 9 ⋅ 2 x + 2 = 0 (8.4) [Ent’29,32] 2 2x + 1 − 9 ⋅ 2 x − 1 + 1 = (8.5) 3 2x + 2 − 3 x + 3 − 3 x + 3 = 0 Math E-Book Release 2.2 0 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 2x + 1 = 1 3+ 2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 192 (8.6) 3 2x + 3 − 55 = 28 (3 x − 2) (8.7) [Ent’31,33] 6(2 5x) + 11(2 3x) − 3 (2 x) = 2 5x + 1 (8.8) [Ent’34] 3 1+ x + x − 2 + 9(3 − x + x − 2) = 28 2 (9) ให้หาคําตอบของสมการ (9.1) 3 (3 x + 3 − x) = 2 10 (9.3) 3 (3 2x + 3 − 2x) = 10 (9.2) 2 2 (11) ให้หาช่วงคําตอบของอสมการ (11.1) 10 x + 1 < 1/10 x + 1 (11.2) 2 x − 5 > 1/16 (11.3) (0.5)x − 3x < (0.5)x − 3 2 2 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ x2 + 2x + 8 1 < ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝4⎠ x (9.4) [Ent’35] (10) ให้หาคําตอบของสมการ (10.1) 5 2x + 1 − 25 x = 4 x + (1/ 2) + 2 2x + 3 (10.2) 4 x − 3 x −(1/ 2) = 3 x + (1/ 2) − 2 2x − 1 (10.3) 6(3 2x) − 13 (6 x) + 6(2 2x) = 0 (10.4) 25(16 x) − 40 (20 x) + 16(5 2x) = 0 (10.5) [Ent’39] 3 x + 2x − 3 x + 1 − 9 x + 1 + 27 (11.4) x ⎛ 4 ⎞ + ⎛ 3 ⎞ = 25 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12 ⎝3⎠ ⎝4⎠ x + 12 1− x 1 = 2 x 6 x + 1− x = 0 (11.5) (sin 1°)x + 5 > (sin 1°)2 (11.6) (cot 1°)x + 5 < (cot 1°)2 (11.7) (cos 45°) x + 2 < (sin 45°)5 (11.8) 2 +7 ax < a 8(x − 1) 8.3 ฟังก์ชันลอการิทมึ และกฎของลอการิทึม ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นอินเวอร์สของเอกซ์โพเนนเชียล เขียนได้ในรูป f (x) = ความสัมพันธ์ระหว่างเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมคือ x = ay ↔ y = loga x โดยค่าของฐาน a จะต้องอยู่ในช่วง (0, 1) หรือ (1, ∞) ซึ่งนํามาเขียนกราฟได้ดังนี้ y y O y = loga x, (1,0) x a>1 ฟังก์ชันเพิ่ม (1,0) O y = loga x, x 0 loga N ↔ M > N เมื่อ a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) และ loga M > loga N ↔ M < N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) • ตัวอยาง ใหหาคําตอบของสมการตอไปนี้ ก. log (2x − 1) + log (x + 3) = 2 วิธีคิด ใชสมบัตขิ อง log เปลี่ยนผลบวกกลายเปน log ผลคูณ ... log [(2x − 1)(x + 3)] = 2 ยายฐาน 2 ของ log ทางซาย ไปยกกําลังทางขวา จะได (2x − 1)(x + 3) = 4 กระจายพหุนามและแยกตัวประกอบ ... 2x + 5x − 7 = 0 → (2x + 7)(x − 1) = 0 นั่นคือ x = −3.5, 1 ... แต x = −3.5 ไมได เพราะจะทําใหภายใน log เปนลบ ดังนั้นตอบ x = 1 เทานั้น ข. 2 log x + log 9 = 3 วิธีคิด ให log x = A เพือ่ ใหมองงายขึ้น สมการจะกลายเปน 2A + A1 = 3 นํา A คูณทั้งสมการ แลวจัดรูปไดดังนี้ ... 2A + 1 = 3A → 2A − 3A + 1 = 0 แยกตัวประกอบ (2A − 1)(A − 1) = 0 ดังนัน้ A = 1/2, 2 2 2 2 2 9 x 9 2 Math E-Book Release 2.2 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 196 1/ 2 1 เนื่องจาก log x = 1/2, 1 ... จึงไดคําตอบเปน x = 9 , 9 นั่นคือ x = 3, 9 (หมายเหตุ ขอนี้ x อยูใน log และยังเปนฐานของ log ดวย จึงตองระวังเงื่อนไขเปนพิเศษ คือ x หามติดลบ, หามเปน 0, และหามเปน 1) 9 แบบฝึกหัด 8.4 (19) ให้หาคําตอบของสมการ (19.1) x + 8 = 10 log 8 (19.2) x log (2/ 3) = 2/3 (19.3) x 3 log x = 3 10, 000 (19.4) [Ent’38] 9 x − 3 x + log 2 = −1 (19.5) log4 log3 log2 7 log (x + 2x) = 0 3 7 (19.6) [Ent’33] log 1 log 1 log 1 3 (19.7) 2 2 6 1 = 0 x2 − x + 4 logx + 4(x2− 1) = logx + 4(5− x) (20) ให้หาคําตอบของสมการ (20.1) [Ent’32] log (2x −5) + log (x + 1) = log (x2− x + 3) (20.2) log (2x −1) + log (x + 1) = 2 log x2+ 1 (20.3) log 2 + log (4−5x −6x2) = 3 log 3 2x −1 (20.4) x2 log2(x2+2x −6) − 2x log2(x2+2x −6) = x2−2x (20.5) 3 log8( x2+ 1+ x) + log2( x2+ 1− x) = log16(4x + 1) − 0.5 (21) ให้หาคําตอบของสมการ (21.1) (log x)2 = log x2 (21.2) log x = log x (21.3) [Ent’25] log2 x + 4 logx 2 (21.4) log3 x + 5 logx 3 = 7 2 = 5 2 (22) ให้หาคําตอบของ (22.1) สมการ 3 2(x + 7) − 6(3 x + 7) + 8 = 0 (22.2) ระบบสมการ 5 x = 4 − y และ 5 2 + y = 42 − x (23) ให้หาช่วงคําตอบของอสมการ (23.1) (x3)x < (x)x 2 (23.4) log a 5 > log 5 a 2 (23.5) (23.6) log 100 x < 1 − log (23.2) [Ent’34] e x ln 2 < 2 x (23.3) log x − 2(2x −3) > log x − 2(24−6x) Math E-Book Release 2.2 log 4 2 x + 15 (x −8x −2x + 1) > 4 x−1 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 197 เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1.1) 2 (1.2) x6y4 (1.3) 2 − x (1.4) 27 (1.5) 11/7 (2.1) 3a2 /5 (2.2) –2 (3.1) 2 (3.2) 14/3 (3.3) 10 + 8 (3.4) 2 3 (3.5) 2 5 (3.6) 1 (4.1) 30 (4.2) ง-ก-ค-ข (4.3) 0.56 (5) ถูกทุกข้อ ยกเว้น (5.1) ผิด (6.1) 81 (6.2) 0, 4 (6.3) 4, 12 (6.4) 2, 5/2 (6.5) 1 (6.6) −1, − 1± 15 (6.7) –5, 2 (6.8) 9 (6.9) 6, − 161/30 (7.1) 3 (7.2) 2 ± 3 (7.3) 11/2, –13/2 (7.4) 3 (7.5) ไม่มีคาํ ตอบ (7.6) 22/17 (7.7) 1/2 (8.1) 2 (8.2) 3/2 (8.3) –2, 1 (8.4) –2, 1 (8.5) –2, 1 (8.6) –3, 0 (8.7) –1 (8.8) –3, 2 (9.1) –1, 1 (9.2) –1/2, 1/2 (9.3) –1, 1 (9.4) 4/13, 9/13 (10.1) 1/2 (10.2) 3/2 (10.3) –1, 1 (10.4) 1 (10.5) 1/2, ± 2 (11.1) (−∞, −1] (11.2) R − [−1, 1] (11.3) R − [1, 3] (11.4) R − [−4, 4] (11.5) (−∞, −3) (11.6) (−∞, −3) (11.7) R − [−7, 3] (11.8) (3, 5) เมื่อ a > 1 และ R − [3, 5] เมื่อ 0 < a < 1 (12.1) –8 (12.2) –5 (12.3) –20/3 (12.4) 1 (12.5) 4 /(1 + log 5) (12.6) 3 (12.7) 0 (12.8) 5 (12.9) 1 (12.10) 19 (13.1) 49/5 (13.2) 24 ⋅ 512 (13.3) 3 − 2 (13.4) 144 (13.5) 4.8 (14) 1 (15.1) 0 (15.2) 2b (15.3) 3pq /(1+ 3pq) (15.4) − log 3 (15.5) 6 (15.6) 1/1111 (15.7) log b a (15.8) 4 (15.9) 0 (16.1) (−∞, 2) กับ R (16.2) R − กับ R (16.3) R+ กับ [0, ∞) (16.4) R − {3} กับ R (16.5) R − [− 2/ 3, 2/ 3] กับ R (17.1) แมนทิสซา log 2.57 แคแรกเทอริสติก 2 (17.2) แมนทิสซา log 2.4 แคแรกเทอริสติก –2 (17.3) แมนทิสซา 0.3010 แคแรกเทอริสติก 3 (17.4) แมนทิสซา 0.6990 แคแรกเทอริสติก –3 (18) 45 (19.1) 0 (19.2) 10 (19.3) 10 ± 2/ 3 (19.4) 0 (19.5) –4, 2 (19.6) –1, 2 (19.7) 2 (20.1) 4 (20.2) 1 (20.3) –3/2 (20.4) –4, 2 (20.5) 3/4 (21.1) 1, 100 (21.2) 1, 104 (21.3) 2, 16 (21.4) 3, 3 5/ 2 (22.1) 2 log3 2−7, log3 2−7 (22.2) x = 4 log 2 /(1+log 2) y = 2 (log 2− 1) /(1+log 2) (23.1) (23.2) (23.3) (23.4) (23.5) (23.6) R+ − [1, 3] (0, 1) (2, 3) ∪ (27/8, 4) (0, 1/5) ∪ (1, 5) (0, 5) (1, 2) ∪ (3, ∞) เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1.1) (25)7 ⋅ (22)−17 = 235 − 34 = 2 (1.2) x6y4z0 = x6y4 (1.3) นํา x2 คูณทั้งเศษและส่วน 4 − 4x + x2 (2 − x)2 = =2−x 2−x 2−x (1.4) = 1 1 (33n)n (1.5) 1 36n + 38n n 36n(1 + 32n) n ( 3n ) = [ 3n ] 5n 3 +3 3 (1 + 32n) = 33 = 27 n n 4 ⋅ 9 (9 + 2) 11 = 4n ⋅ 9n(4 + 3) 7 3 1 + − 5 3 75 4 2 + ) 3 3 (2.1) a2( = a2( 3 1 5 3 4 2 + − + ) 5 3 3 3 = a2( (2.2) ซึ่ง → Math E-Book Release 2.2 3 1 5 4 2 3 3a 2 + − + ) = a2( )2 = 5 5 5 3 3 3 2 2 = 2 x − |x2 + 1| x2 − (x2 + 1)2 x2 + 1 เป็นบวกเสมอ ถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลย 2 2 = = −2 −1 x2 − (x2 + 1) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (3.1) พิจารณา และ 1 2 + 3 1+ ⋅ 1 2 2 − 2 − จะได้วา่ โจทย์กลายเป็น 1− 2 2− 3 ( + + −1 −1 1− 9 = = 2 −1 (3.2) = ⋅ 1− 2 1− 2 = −1 1− 2 3 = 3 2 − 3 ... ฯลฯ −1 3− 4 + ... + −1 8− 9 ) −1 3) − ( 7 − มากกว่า 1 → ฟังก์ชนั เพิ่ม 3 ถูก (5.4) sin 1° น้อยกว่า 1 → ฟังก์ชนั ลด → 3 > 2 ถูก tan 46° มากกว่า 1 → ฟังก์ชน ั เพิ่ม (5.5) และคูณกัน → 2 < 3 ถูก 18 (6.1) ให้ 5 7 − 2 = ( 7 + 5) + ( 5 + 2) − ( 7 + 2) = 2 5 (3.6) ใช้สูตร A3 − B3 = (A − B)(A2 + AB + B2) โดยมอง A = 6 + 35 = 3.5 + 2.5 และ B = 6 − 35 = 3.5 − 2.5 จะได้โจทย์กลายเป็น (2 2.5)(6 + 35 + 3.5 − 2.5 + 6 − 35) 13 10 = ( 6 + 2 2 หาค่า xy = 1 → ∴ (4 2)2 − 2(1) = 30 (4.2) ก. (35)5 3 = 2435 3 ข. (54)5 3 = 6255 3 ค. (73)5 3 = 3435 3 ง. (92)5 3 = 815 3 ∴ ง < ก < ค < ข (4.3) จาก 2.44 × 7.17 = 0.56 3.9 × 8 จะได้วา่ A2 − A − 6 = 0 จึงสรุปว่า 4 = 3 → x = 3 = 81 หรือ −2 เท่านัน้ (รากทีส่ ี่จะติดลบไม่ได้) (6.2) ยกกําลังสอง → 2x + 1 = x + 2 → x = 2 x → ยกกําลังสองอีกครั้ง x +1 → x2 = 4x → x(x − 4) = 0 → x = 0 หรือ 4 ใช้ได้ทั้งสองคําตอบ ( ∗ เมื่อมีการยกกําลัง ต้องตรวจคําตอบทุกครัง้ ∗ ) (6.3) 2x + 1 = 2 + x − 3 → ยกกําลังสอง ยกกําลังสองอีกครั้ง → x2 = 16(x − 3) → x2 − 16x + 48 = 0 x2 − 4xy + y2 = (x − y)2 − 2xy → x−y = 1 x4 → x = 4 x−3 → 3) − ( 6 − 3) 6−3 9 + 2 18 − 9 + 2 18 = = 4 2 → 6−3 หาค่า จะได้ → 2x + 1 = 4 + 4 x − 3 + x − 3 (2 2.5)(13) = 1 13 10 (4.1) 1 x4 = A → (A − 3)(A + 2) = 0 → A = 3 3) = 2 3 3 − 5 − 2 2 < → (3.3) 18 + 2 80 → บวกกันได้ ได้ 80 คือ 10 กับ 8 ดังนัน้ ตอบ 10 + 8 (3.4) 10 + 2 21 − 10 − 2 21 2 + 7 − 5 x 5 (5.3) 7 − 2 10 + 7 + 2 10 14 = 3 3 (3.5) (5.1) ax > a0 แต่ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) ดังนัน้ x < 0 ข้อนี้ผดิ (5.2) ถูก a > 1, x < 0 → 0 < ax < 1 y อาจดูจากกราฟ ในกรณีฟังก์ชันเพิ่ม 1 ซีกซ้ายของแกน y O ( 5 − 2)2 + ( 5 + 2)2 ( 5 + 2)( 5 − 2) =( 7 + ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 198 2.44 × (10−2) × 7.17 × (10) 3.9 × (102) × 8 × (10−3) = 0.56 × (10−2 + 1 − 2 + 3) = 0.56 หรือ 4 (ตรวจคําตอบแล้วพบว่าใช้ได้ทงั้ สองคําตอบ) (6.4) ยกกําลังสอง → (x − 12)(x − 4) = 0 → x = 12 → 2x − 3 + 2 (2x − 3)(x + 2) + x + 2 = 7x − 5 2x2 + x − 6 = 2x − 2 → ยกกําลังสองอีกครั้ง → 2x2 + x − 6 = 4x2 − 8x + 4 → 2x2 − 9x + 10 = 0 → (2x − 5)(x − 2) = 0 → x = 5/2 หรือ 2 (ใช้ได้ทั้งสองคําตอบ) (6.5) x2 − 2x − 11 + 6 x2 − 2x + 5 ให้ x2 − 2x + 5 = A จะได้ = 0 (A2 − 16) + 6A = 0 → (A + 8)(A − 2) = 0 → A = −8 2 หรือ x − 2x + 5 = 2 2 แต่รู้ทไม่มีทางติดลบ ดังนั้น เท่านัน้ → ยกกําลังสอง → x2 − 2x + 5 = 4 → (x − 1)2 = 0 → x = 1 (ตรวจคําตอบแล้วใช้ได้) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 199 (6.6) x2 + 2x + 1 = 5 x2 + 2x + 2 − 5 ให้ x2 + 2x + 2 = A จะได้ (7.2) ถ้า A = 4 → x + 2x + 2 = 16 → x = −1 ± A = 1 แต่ถ้า 1 x2 + 2x + 2 = 4 จะได้วา่ 2 หรือ 15 x2 + 2x + 2 = 1 จะได้วา่ 2 10(1 + x → x = A2 − 1 = 5A − 5 → A2 − 5A + 4 = 0 → (A − 4)(A − 1) = 0 → A = 4 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม (7.3) ) = 104x → 1 + x2 = 4x 4± 16 − 4 = 2± 2 (3/2)|2x + 1| = [(3/2)−3 ]−4 → |2x + 1| = 12 → x = 11 / 2 (7.4) หรือ 2x −13 / 2 = [(2/ 3)3 ]x − 1 → 2x = 3x − 3 (2/ 3) → x = 3 (1/2) x = (1/2) 2x + 1 → → x2 + 2x + 2 = 1 → x = −1 (7.5) ตอบ −1, − 1 ± 15 (6.7) ให้ x2 + 3x + 15 = → x = 2x + 1 → x = −1 ∴ → A + A −9 = 9 → A − 9 = A −9 → A − 18 A + 81 = A − 9 ยกกําลังสอง → A A = 5 → A = 25 → x2 + 3x + 15 = 25 → (x + 5)(x − 2) = 0 (ใช้ได้) ย้ายข้าง แยกตัวประกอบ 2 2 2 → 5x − 25 = (x − 5) x2 − 6x − 2 2 → 0 = (x − 5)( x − 6x − 2 − 5) หรือ 2)3 ]3x − 2 → 16 − 8x = 9x − 6 → x = 22 / 17 (7.7) เนื่องจาก ∴ x = 1/ 2 ( 3 + 2)2 = 5 + 2 6 อาจใช้วิธี ทดลองยกกําลังสองดู กลายเป็น 2 x − 6x − 2 + 2(x − 5) x − 6x − 2 + x − 10x + 25 → x = 5 2x + 1 ตรวจแล้วพบว่า ใช้ไม่ได้ ข้อนี้ ไม่มีคําตอบ เพราะทําให้ในรู้ทติดลบ ∴ (7.6) [(3 2)2 ]8 − 4x = [(3 (8.1) 4 ⋅ 22x มอง 2x เป็น x2 − 6x − 2 + x − 5 → 2x2 − 6x − 27 = x = (5 + 2 6)2x = 5 + 2 6 → 2x = 1 → x = 1 / 2 หรือ 2 (6.8) ข้อนีจ้ ัดเป็น A ล้วนๆ ไม่ได้ จึงต้องใช้วธิ ียกกําลังสอง ตามปกติ → x = −5 2x2 − 6x − 27 = 3 2 x − 6x − 2 = 5 2 → x − 6x − 27 = 0 → (x − 9)(x + 3) = 0 − 32 ⋅ 2x + 64 = 0 → A จะได้ 4A2 − 32A + 64 = 0 → 4(A − 4) = 0 → A = 4 → 2x = 4 → x = 2 4x = A → 16A − 8A = A2 (8.2) ให้ 2 → A − 8A = 0 → A(A − 8) = 0 → A = 0 หรือ 8 → 4x = 8 x (เพราะ 4 = 0 ไม่มี) (8.3) ให้ 2x = A → 4A2 เท่านัน้ → x = 3/2 − 9A + 2 = 0 → (A − 2)(4A − 1) = 0 → A = 2 หรือ 1 / 4 = 1 หรือ −2 x = −3 หรือ 9 ดังนัน้ 2 = 2 หรือ 1 / 4 → x ตรวจสอบคําตอบ พบว่า x = 5 และ −3 ใช้ไม่ได้ (8.4) ให้ 2x = A → 2A2 − 9 A + 1 = 0 2 ∴ ตอบ x = 9 เท่านั้น 2 → 4A − 9A + 2 = 0 (สมการเหมื อนข้อที่แล้ว) 3 3 (6.9) 30x + 36 = 1 + 30x − 55 → x = 1 หรือ −2 ให้ 30x − 55 = A จะได้ 3 A + 91 = 1 + 3 A 1/ 3 2/3 (8.5) ให้ 3x = A → 9A2 − 27A − A + 3 = 0 ยกกําลังสาม A + 91 = 1 + 3A + 3A + A x → 0 = A2 / 3 + A1 / 3 − 30 → 9A2 − 28A + 3 = 0 → (9A − 1)(A − 3) = 0 → (A1 / 3 + 6)(A1 / 3 − 5) = 0 → A = 1/ 9 → A 1/ 3 = 5 หรือ −6 (รากทีส่ าม ค่าติดลบได้) ∴ A = 53 = 125 → 30x − 55 = 125 → x = 6 หรือ 3 A = (−6) = − 216 → 30x − 55 = − 216 → x = −161 / 30 (7.1) 2x (1 / 2) → x = 3 → x = −2 (8.6) ให้ หรือ 3 หรือ 1 = (1 / 2) → 2x = x + 3 หรือ 3 3x = A → 27A2 − 55 = 28A − 56 2 → 27A − 28A + 1 = 0 → (27A − 1)(A − 1) = 0 → A = 1 / 27 x+3 → 3x = 1 / 9 → x = −3 Math E-Book Release 2.2 หรือ หรือ 0 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1 → 3x = 1 / 27 หรือ 1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 2x = A → 6A5 + 11A3 − 3A = 2A5 (8.7) ให้ 5 3 4 2 → 4A + 11A − 3A = 0 → A (4A + 11A − 3) = 0 2 2 → A(4A − 1)(A + 3) = 0 หรือ A2 = 1 / 4 ( A2 = −3 ไม่ได้) (ไม่ได้) หรือ 22x = 1 / 4 → x = −1 → A = 0 → 2x = 0 9 = 28 A → 3A2 − 28A + 9 = 0 → (3A − 1)(A − 9) = 0 x2 + x − 2 3 (8.8) ให้ → A = 1/ 3 → หรือ = A → 3A + A = 9 หรือ x2 + x − 2 = −1 2 3 = A → 3(A + 1/ A) = 10 → 3A2 − 10A + 3 = 0 → (3A − 1)(A − 3) = 0 → x = −1 หรือ หรือ 1 3 → 3x = 1 / 3 หรือ 3 A 12 → 12A2 − 25A + 12 = 0 → (4A − 3)(3A − 4) = 0 3 4 หรือ 4 3 4 3 → ( )x = 3 4 1 หรือ → x = −1 หรือ (9.4) ให้ x 1 13 = A → A+ = 1− x A 6 4 3 2 3 หรือ 3 → 2 x 2 = 1− x 3 หรือ ถ้า x = 2 → x = 4 1− x 3 1− x 9 → 9x = 4 − 4x → x = 4 / 13 x 3 x 9 = → = 1− x 2 1− x 4 → 4x = 9 − 9x → x = 9 / 13 หรือ ถ้า x x (10.1) ให้ A = 25 , B = 4 จะได้ 5A − A = 2B + 8B → → 4A = 10B A 5 25 5 1 → = → ( )x = → x = B 2 4 2 2 3B + B 3 3x = A, 2x = B (10.3) ให้ 2 → 6A − 13AB + 6B2 = 0 หรือ หรือ 2 3 2 3 → x = 1 −1 หรือ 4x = A, 5x = B → 25A2 − 40AB + 16B2 = 0 → (5A − 4B)2 = 0 A 4 = → x = 1 B 5 ดังนัน้ 2 3x = A, 32x = B → AB − 3A − 9B + 27 = 0 → A(B − 3) − 9(B − 3) = 0 → (A − 9)(B − 3) = 0 → A = 9 x2 → 3 2x = 9 หรือ 3 ± 2 หรือ หรือ B = 3 = 3 ดังนัน้ x = 1/ 2 x+1 −(x + 1) → ฟังก์ชน ั เพิ่ม (11.1) 10 < 10 → x + 1 < −(x + 1) → x < −1 ตอบ (−∞, −1] (11.2) 2x − 5 > 2−4 → ฟังก์ชนั เพิ่ม 2 → x2 − 5 > −4 → x2 − 1 > 0 → 6A2 − 13A + 6 = 0 → (3A − 2)(2A − 3) = 0 → A = A 3 A = → 2 2 4 4 4 3 ∴ ( )x = → x = 3 2 3 3 (10.5) ให้ (9.2) ให้ 32x = A → 3(A + 1/ A) = 10 (เหมือนข้อที่แล้ว) → 32x = 1/ 3 หรือ 3 → x = −1 / 2 หรือ 1 / 2 (9.3) ให้ (4/ 3)x = A → A + 1 = 25 → A = จะได้ 3 3 A 8 4 4 A = 4B → = = 2 B 3 3 3 3 (10.4) ให้ x → A = 1/ 3 → 3B − A 3 = B 2 3 3 → ( )x = 2 2 x +x−2 = 2 (9.1) ให้ B = 3 A − ดังนัน้ → x2 + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0 หรือ A = 4x , B = 3x → (10.2) ให้ → (2A − 3B)(3A − 2B) = 0 (ไม่ได้) 2 → x = −3 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 200 3 2 ตอบ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) หรือ R − [−1, 1] (11.3) 0.5x − 3x < 0.5x − 3 → ฟังก์ชนั ลด 2 → x2 − 3x > x − 3 → x2 − 4x + 3 > 0 ตอบ (−∞, 1) ∪ (3, ∞) → หรือ R − [1, 3] (11.4) (1 / 2)x + 2x + 8 < (1 / 2)2x + 24 2 → x2 + 2x + 8 > 2x + 24 ตอบ R − [−4, 4] (11.5) ฟังก์ชนั ลด (เพราะ → x + 5 < 2 → x < −3 → x2 − 16 > 0 sin 1° < 1 ) ตอบ (−∞, −3) (11.6) ฟังก์ชนั เพิ่ม (เพราะ cot 1° > 1 ) → x + 5 < 2 → ตอบ (−∞, −3) (11.7) ( 1 )|x + 2| < ( 1 )5 → ฟังก์ชนั ลด 2 → | x + 2 |> 5 → ตอบ 2 (−∞, −7) ∪ (3, ∞) Math E-Book Release 2.2 หรือ (คณิต มงคลพิทักษสุข) R − [−7, 3] คณิตศาสตร O-NET / A-NET (11.8) ถ้า a > 1 → x2 + 7 < 8x − 8 → x − 8x + 15 < 0 → (x − 5)(x − 3) < 0 → (3, 5) 0 < a < 1 → x2 + 7 > 8x − 8 → x2 − 8x + 15 > 0 → R − [3, 5] (3, 5) ตอบ ∴ R − [3, 5] (12.1) เมื่อ เมื่อ a > 1 และ 0 < a < 1 log 10−2 + log2 2−2 + log5 5−2 + log50 50−2 (12.4) 1 1 20 −3− = − 3 3 3 log 20 + 7 log 15 − 7 log 16 + 5 log 24 = (2 log 2 + log 5) + (7 log 3 + 7 log 5) − (28 log 2) + (15 log 2 + 5 log 3) − (10 log 5) + (12 log 2 + 3 log 5) − (12 log 3) (13.3) 3 log 212 = 49 / 5 26 − 2 log3 32 = 49 ÷ 25 1 = 32 − 2 3 −2 (13.4) 25 64 36 16 ⋅ ⋅ ⋅ = 144 42 22 22 52 (13.5) ⎛ 16 ⋅ 36 ⎞ ⎜ 32 32 ⎟ ⎜ 25 1 ⎟ ⎜⎜ 2 ⋅ 2 ⎟⎟ 3 ⎠ ⎝3 1/ 2 = 4⋅6 = 4.8 5 [หมายเหตุ ข้อ 13.1, 13.2, 13.4, 13.5 ใช้กฎที่วา่ Alog B = Blog A ] 1 1 (14) พิจารณา = m m 1 + loga bc 1 log a = = loga abc log abc และเช่นกัน loga a + loga bc 1 log b = 1 + logb ac log abc 1 log c = 1 + logc ab log abc ดังนัน้ จะได้ log a + log b + log c = 1 log abc = pq(3(1 − log 5)) = 3pq − 3pq log 5 → (1 + 3pq) log 5 = 3pq → log 5 = log2 24 log2 96 − log2 192 log2 12 5 6 (15.1) (gof)(2) = g(f(2)) = g(1) = 0 (15.2) g(2b) = log2b 2b2b = 2b (15.3) จาก pq = log8 3 ⋅ log3 5 = log 5 ∴ log 5 = pq log 8 = pq(3 log 2) (15.4) 2 = log2(2 ⋅ 3) log2(2 ⋅ 3) − log2(2 ⋅ 3) log2(2 ⋅ 3) x = log 3 3−2 ⋅ 3−4 = log(3−2) + 3 log 2 + log 3 − 2 log 3 = log 3 = 15 + 8 log2 3 + [log2 3] − 12 − 8 log2 3 − [log2 3] ∴ x + y = −2 log 3 + log 3 = − log 3 = 3 (15.5) 2 = log2 1 = 0 → 2 ∴ ตอบ 0 log 3 log 4 log 5 log 32 ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ log 2 log 3 log 4 log 31 log 32 = 5 log 2 (12.9) log 7 7 52 3a + 2b = log7(11 − 6 2)3 + log7(45 + 29 2)2 = log7 [(11 − 6 2)3(45 + 29 2)2 ] = log7 [(3,707 − 2,610 2)(3,707 + 2,610 2)] = log7(117,649) = log7(76) = 6 log 81 log4( ) = log4 4 = 1 log 3 (12.10) 3pq 1 + 3pq y = 2 log 5 − 3 log 2 − 2 log 5 + 2 log 3 = (3 + log2 3)(5 + log2 3) − (6 + log2 3)(2 + log2 3) (12.7) (12.8) 2 log 8 = log 2 + log 5 = log 10 = 1 (12.5) 2 log 5 + 2 + 2 log 2 log 50 log 50 log 50 4 4 = = log 50 1 + log 5 3 (13.2) (9 ⋅ 58 ⋅ 42 ⋅ 54) = 24 ⋅ 512 9 0.5 และ − 5 log 25 + 3 log 80 − 3 log 81 (12.6) 0.25 log 7 49 49 ÷ 49 = = −2 − 2 − 2 − 2 = −8 [หมายเหตุ 0.01 = 1 = 10−2 , 0.25 = 1 = 2−2 100 4 1 −2 = 5 , ... ] 0.04 = 25 (12.2) log2( 1) + 7 log3( 1 ) − log8(1) + log4( 1) 2 2 3 = −1 + 7(−1 / 2) − 0 + (−1 / 2) = −5 [หมายเหตุ log4( 1) = log22 (2−1) = − 1 ] 2 2 (12.3) log2−1 23 + log2−3 2 + log2 2−3 + log23 2−1 = −3 − 0.25 log 7 25 (13.1) = 49 ÷ 25 2 ถ้า ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 201 + 5 log2 2−6 − 2 log32 33 = 52 + (−30) − 2(3 / 2) = 19 (15.6) จาก log a = log x และ log b = 10 log x และ log c = 100 log x และ log d = 1000 log x นํามาบวกกัน จะได้ log abcd = 1111 log x ∴ logabcd x = 1 / 1111 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (15.7) ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 202 p = loga(logb a) 32x − 3x ⋅ 2 = −1 → 32x − 2 ⋅ 3x + 1 = 0 (19.4) → ap = aloga (logb a) = logb a → (3x − 1)2 = 0 → 3x = 1 → x = 0 (15.8) 2 log2 a − 3 log2 b = 4 .....(1) และ 3 log2 a − 4 log2 b = 6 .....(2) แก้ระบบสมการได้ log2 a = 2 และ log2 b = 0 ∴ a = 4, b = 1 → ตอบ (42 + log8 1)1 / 2 = 4 (15.9) loga(x − m) = 2 loga x − 2 loga m (19.5) x x → loga(x − m) = loga( )2 → x − m = ( )2 m m → xm2 − m3 = x2 → ∴ x2 − m2x + m3 = 0 (16.1) โดเมน 2−x > 0 → x < 2 D = (−∞, 2) และเรนจ์ (16.2) โดเมน −x > 0 → x < 0 D = (−∞, 0) = R R = R (16.3) โดเมน x > 0 D = (0, ∞) = R+ และเรนจ์ R = [0, ∞) (เพราะมีคา่ สัมบูรณ์) (16.4) โดเมน |x − 3| > 0 → เป็นจริงเสมอ ยกเว้น x = 3 ∴ D = R − {3} และเรนจ์ R = R (16.5) โดเมน (3x2 − 2) > 0 → ( 3x − 2)( 3x + 2) > 0 เขียนเส้นจํานวน ∴ D = R − [− → log3 log2(x2 + 2x) = 40 = 1 → log2(x2 + 2x) = 31 = 3 → x2 + 2x = 23 = 8 ดังนัน้ (x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4 หรือ (19.6) วิธีเดียวกับข้อทีแ่ ล้ว จะได้ผลเป็น 2 1 1 = → x2 − x + 4 = 6 6 x2 − x + 4 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2, −1 x2 − 1 = 5 − x → x2 + x − 6 = 0 (19.7) → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = −3, 2 R = R และเรนจ์ − log4 log3 log2(x2 + 2x) = 0 ตรวจสอบคําตอบที่ได้ → พบว่า x = −3 ไม่ได้ เพราะจะเกิดฐานเป็น 1 → ∴ x = 2 เท่านัน้ (20.1) (2x − 5)(x + 1) = (x2 − x + 3) → x2 − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0 ดังนัน้ x = 4, −2 x = −2 ตรวจสอบคําตอบ พบว่า ไม่ได้ เพราะทําให้เกิดติดลบใน log = 4 เท่านั้น จึงได้ x (20.2) (2x − 1)(x + 1) = x2 + 1 → x2 + x − 2 = 0 → (x + 2)(x − 1) = 0 → x = −2, 1 2 2 , ] 3 3 ตรวจสอบคําตอบ พบว่า x = ไม่ได้ เช่นเดียวกับข้อ 20.1 ... ดังนั้น x = 1 เท่านั้น (20.3) 2(4 − 5x − 6x2) = 2x − 1 −2 และเรนจ์ R = R → 12x2 + 12x − 9 = 0 → 3(2x + 3)(2x − 1) = 0 (17.1) log 257 = log 2.57 + 2 ∴ แมนทิสซา = log 2.57, แคเรกเทอริสติก = 2 ดังนัน้ x = −3/2, 1/2 ตรวจสอบคําตอบ พบว่า (17.2) log 0.024 = log 2.4 − 2 x = 1 / 2 ไม่ได้ (จะเกิด log 0 ) ∴ x = −3 / 2 ∴ แมนทิสซา = log 2.4, แคแรกเทอริสติก = −2 (20.4) (x2 − 2x) log2(x2 + 2x − 6) = x2 − 2x (17.3) 3.3010 = 3 + 0.3010 → (x2 − 2x)(log2(x2 + 2x − 6) − 1) = 0 ∴ แมนทิสซา = 0.3010, แคเรกเทอริสติก = 3 → x = 0 หรือ 2 หรือ log2(x2 + 2x − 6) = 1 (17.4) −2.3010 = −3 + 0.6990 → (x2 + 2x − 6) = 2 → (x + 4)(x − 2) = 0 ∴ แมนทิสซา = 0.6990, แคแรกเทอริสติก = −3 → x = −4 หรือ 2 (18) log(875)15 = 15 log 875 ตรวจคําตอบพบว่า x = 0 ใช้ไม่ได้ (ติดลบใน log) = 15(2 + 0.9420) = 44.13 → 15 ∴ x = −4, 2 เท่านัน ้ ดังนัน้ 875 มี 45 หลัก 2 (20.5) log2( x + 1 + x) + log2( x2 + 1 − x) (19.1) x + 8 = 8 → x = 0 = log16(4x + 1) − 0.5 (19.2) (2/ 3)log x = (2/ 3) → log x = 1 → x = 10 → log2(x2 + 1 − x2) = log16(4x + 1) − 0.5 (19.3) ใส่ log ทั้งสองข้าง จะได้ → 0 = log16(4x + 1) − 0.5 → log x3 log x = (1 / 3) log 10,000 → 0.5 = log16(4x + 1) → 4x + 1 = 4 → 3(log x)2 = 4 / 3 → log x = ± 2/3 → x = 102 / 3 หรือ 10−2 / 3 → x = 3/4 Math E-Book Release 2.2 (ตรวจคําตอบแล้วใช้ได้) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET log x = A → A2 = 2A (21.1) ให้ 2 → A − 2A = 0 → A = 0 หรือ อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไข ได้เป็น (27 / 8, ∞) และเงื่อนไข ใน log ต้องมากกว่า 0 2 24 − 6x > 0 → x < 4 → x = 1 , 100 log x = A → A / 2 = (21.2) ให้ → x = 1 , 104 → A = 0 หรือ (21.3) ให้ log2 x = A → A + 4/ A = 5 2 → A − 5A + 4 = 0 → A = 1 หรือ 4 → x = 2 , 16 log3 x = A → A + (21.4) ให้ 5 7 = 2A 2 → 2A2 − 7A + 5 = 0 → A = 5 / 2 5/2 → x = 3 หรือ 1 , 3 3x + 7 = A → A2 − 6A + 8 = 0 (22.1) ให้ → A = 2, 4 → 3x + 7 = 2 หรือ ตอบ (2, 3) ∪ (27 / 8, 4) (23.4) ให้ A = log5 a กรณีแรก 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) จะได้ 1/ A > A → 1/ A − A > 0 นํา A คูณ → 1 − A2 < 0 A2 − 1 > 0 ดังนั้น A > 1 , A < −1 นั่นคือ a > 5 , a < 1 / 5 อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไข ได้เป็น (0, 1 / 5) กรณีที่สอง a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) จะได้ 1/ A − A > 0 นํา A คูณ ∴ A → A2 / 4 = A → A2 − 4A = 0 4 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม 203 4 → x + 7 = log3 2 หรือ log3 4 → x = log3 2 − 7 หรือ 2 log3 2 − 7 (22.2) x log 5 + y log 4 = 0 ..... (1) x log 4 + y log 5 = 2 log 4 − 2 log 5 ..... (2) แก้ระบบสมการตามปกติ ได้ผลเป็น − log 4(2 log 4 − 2 log 5) (log 5)2 − (log 4)2 2 log 4 4 log 2 = = log 5 + log 4 1 + log 2 x = → 1 − A2 > 0 → A2 − 1 < 0 ดังนัน้ −1 < A < 1 นัน่ คือ 1 / 5 < a < 5 อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไข ได้เป็น (1, 5) ∴ ตอบ (0, 1 / 5) ∪ (1, 5) (23.5) 1 log x < log 10 − log x + 15 2 → x 1/ 2 < 10 → x + 15 ยกกําลังสองได้ → x(x + 15) < 100 เพราะเป็นบวกทัง้ สองข้าง 2 → x + 15x − 100 < 0 → (x + 20)(x − 5) < 0 จะได้ −20 < x < 5 ... ตรวจสอบเงือ่ นไข log และ เงื่อนไขรูท้ → x > 0, x + 15 > 0 ∴ คําตอบเป็น (0, 5) เท่านั้น และ y = 2(log 2 − 1) 1 + log 2 (23.6) log x − 1(x − 8x − 2x + 1) > log x − 1( x − 1) (23.1) มี 2 กรณี ขึน้ กับฐานว่าเป็นฟังก์ชันลดหรือ กรณีแรก ถ้า 1 < x < 2 (ฟังก์ชนั ลด) เพิ่ม ... กรณีแรก 0 < x < 1 (ฟังก์ชันลด) จะได้ x4 − 8x2 − 2x + 1 < (x − 1)2 จะได้ 3x > x2 → x2 − 3x < 0 4 → x (x − 3) < 0 → x ∈ (0, 3) อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไข ได้เป็น (0, 1) กรณีที่สอง x > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) จะได้ 3x < x2 → x2 − 3x > 0 → x (x − 3) > 0 → x ∈ (−∞, 0) ∪ (3, ∞) อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไข ได้เป็น (3, ∞) ∴ ตอบ (0, 1) ∪ (3, ∞) หรือ R − [1, 3] (23.2) 2x < 2x → x2 < x → x2 − x < 0 → x(x − 1) < 0 ตอบ (0, 1) (23.3) กรณีแรก 2 < x < 3 (ฟังก์ชันลด) จะได้ 2x − 3 < 24 − 6x → x < 27 / 8 อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไข ได้เป็น (2, 3) กรณีที่สอง x > 3 (ฟังก์ชันเพิ่ม) จะได้ 2x − 3 > 24 − 6x → x > 27 / 8 2 2 4 → x4 − 9x2 < 0 → x2(x2 − 9) < 0 → x2(x − 3)(x + 3) < 0 x ∈ (−3, 3) − {0} เขียนเส้นจํานวนได้ อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไขช่วง ได้เป็น (1, 2) เท่านั้น กรณีที่สอง ถ้า x > 2 (ฟังก์ชันเพิ่ม) จะได้ x4 − 8x2 − 2x + 1 > (x − 1)2 → x2(x − 3)(x + 3) > 0 เขียนเส้นจํานวนได้ x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞) อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไขช่วง ได้เป็น (3, ∞) เท่านั้น สรุป ช่วงคําตอบรวมคือ (1, 2) ∪ (3, ∞) ตรวจสอบกับเงื่อนไข log และรู้ท x4 − 8x2 − 2x + 1 > 0, x−1> 0 พบว่าใช้ได้หมด ดังนัน้ ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) (1, 2) ∪ (3, ∞) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 204 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม eÃ×èo§æ¶Á จําเป็นต้องตรวจคําตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง.. (1-บทที่ 2) เมื่อในโจทย์มีตวั แปรอยูท่ ี่ส่วน (เศษส่วน) เช่น 1 2x = x−1 3x − 1 1 2x > x−1 3x − 1 ย้ายข้างคูณไขว้ได้ แต่ตอ้ งมีเงื่อนไขตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ด้วย อสมการห้ามคูณไขว้ ให้ยา้ ยมาลบกัน แล้วเมือ่ เขียนเส้นจํานวนก็ต้องระวัง อย่าแรเงาค่า x ที่ทาํ ให้ส่วนเป็นศูนย์ (2-บทที่ 7) เมื่อในโจทย์มีฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิตทิ ี่ไม่ใช่ sin กับ cos เช่น 2 sin x = sec x มีฟังก์ชัน sec จึงต้องระวัง คําตอบที่ทาํ ให้ cos x = 0 จะใช้ไม่ได้ cosec x + cot x > 5/ 3 มีฟังก์ชัน cosec และ cot จึงต้องระวัง คําตอบที่ทาํ ให้ sin x = 0 จะใช้ไม่ได้ (3-บทที่ 7) เมื่อในโจทย์มีฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิตผิ กผัน (หมายถึง arc- ต่างๆ) เช่น arcsin (2x + 1) − arcsin (2x − 1) = arccos (−1) แก้โดยใส่ cos หรือ sin ทัง้ สองข้างของสมการ แต่ตอ้ งระวังว่าคําตอบที่ได้อาจไม่อยู่ในช่วงโดเมนมาตรฐาน (เช่นถ้าได้ x=1 จะใช้ไม่ได้ เพราะไม่มี arcsin3) และยังต้องตรวจว่าคําตอบที่ได้ทาํ ให้สมการเป็นจริงหรือไม่ (4-บทที่ 8) เมื่อในโจทย์มี log เช่น log2(2x − 1) + log2(x + 3) = 2 ต้องระวังว่า ภายในฟังก์ชัน log ต้องมากกว่าศูนย์เสมอ และยังต้องตรวจว่าคําตอบที่ได้ทาํ ให้สมการเป็นจริงหรือไม่ 2 log9 x + logx 9 = 3 มีตัวแปรทัง้ ใน log และที่ฐานของ log จึงต้องระวังทั้งสองอย่างคือ ภายในฟังก์ชัน log ต้องมากกว่าศูนย์, ทีฐ่ านต้องมากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่ง และยังต้องตรวจว่าคําตอบที่ได้ทาํ ให้สมการเป็นจริงหรือไม่ (5-บทที่ 8) เมื่อในโจทย์มีรากที่ n (หรือยกกําลัง 1/n) เมื่อ n เป็นจํานวนคู่ เช่น 2x + 1 − x −3 = 2 มีรากทีส่ อง จึงใช้วิธียกกําลังสองเพือ่ กําจัดเครื่องหมายรูท้ ต้องระวังคําตอบที่ได้วา่ ภายในรู้ทห้ามติดลบ (แต่ถ้าเป็นรากทีส่ าม ในรูท้ ติดลบได้) และยังต้องตรวจว่าคําตอบที่ได้ทาํ ให้สมการเป็นจริงหรือไม่ (6-บทที่ 16) เมื่อในโจทย์มีแฟคทอเรียลของตัวแปร เช่น (x + 3)! = 30(x + 1)! 2 Px,2 + 50 = P2x,2 คําตอบที่ได้จะต้องทําให้หน้าแฟคทอเรียลเป็นจํานวนนับหรือศูนย์เท่านัน้ เมื่อกระจายแล้วจะมีแฟคทอเรียลเช่นกัน อย่าลืมตรวจคําตอบด้วยนะ :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 205 [m t r x] º··Õè 9 eÁµÃi¡« เมตริกซ์ (Matrix) เป็นกลุ่มของจํานวนที่เรียง กันเป็นรูปสี่เหลี่ยม ภายในเครื่องหมายวงเล็บ ( ) หรือ [ ] เรียกจํานวนแต่ละจํานวนที่อยู่ในเมตริกซ์ว่า สมาชิก (Entry) เราศึกษาเรื่องเมตริกซ์เพื่อใช้ช่วยใน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร ซึ่งจะได้ อธิบายไว้ในหัวข้อสุดท้ายของบทนี้ ตัวอย่างเมตริกซ์ เช่น ⎛ 7 5⎞ ⎜ 6 0 ⎟ , ⎡ 1 0 −2 ⎤ , ⎡3 4⎤ ⎦ ⎢2 2 ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎣ ⎣ ⎦ ⎝ −5 2 ⎠ ขนาดของเมตริกซ์ เรียกว่า มิติ (Dimension) (คิดจากจํานวน แถว; row คูณ หลัก; column) ในตัวอย่างเป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ 3×2, 1×3, 2×2 ตามลําดับ ... เมตริกซ์สองเมตริกซ์ จะเท่ากันได้ก็ ต่อเมื่อ “มีมิติเดียวกัน” (แปลว่า ขนาดเท่ากัน) และสมาชิกในตําแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน การเรียกชื่อเมตริกซ์นิยมใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และอาจเขียนมิติกํากับเป็นตัวห้อย ไว้ เช่น A3 × 2 , B1× 3 , C2 × 2 โดยจะเรียกชื่อสมาชิกเป็นตัวพิมพ์เล็ก ที่มีตัวห้อยบอกตําแหน่งแถวและ หลัก ในรูป aij (แถวที่ i และหลักที่ j) เช่น ⎡ a11 a12 ⎤ A = ⎢a21 a22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢a31 a32 ⎥⎦ B = ⎣⎡ b11 b12 b13 ⎦⎤ จะได้ Math E-Book Release 2.2 a11 = 7 a21 = 6 (คณิต มงคลพิทักษสุข) b13 = −2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 206 หมายเหตุ เพื่อหลีกเลี่ยงการเข้าใจผิด หากจํานวนแถวหรือจํานวนหลักมากกว่า ตําแหน่งเป็นตัวห้อย ... แต่จะเขียนค่า i และ j กํากับไว้ด้านหลัง เช่น aij , i = 2, 10 จะไม่เขียน j = 11 ทรานสโพส (เมตริกซ์สลับเปลี่ยน; Transpose) ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ A t หรือ AT คือการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก (หรือเปลี่ยนหลักเป็นแถว) เช่น ⎡ 7 5⎤ A = ⎢ 6 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −5 2 ⎥⎦ เมตริกซ์มิติ m×n ⎡7 6 −5⎤ At = ⎢ ⎥ ⎣5 0 2 ⎦ เมื่อทําการทรานสโพส จะกลายเป็นมิติ n×m เมตริกซ์ที่ควรรู้จัก 1. เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) คือเมตริกซ์ที่มีจํานวนแถว เท่ากับจํานวนหลัก สมมติว่ามี n หลัก และ n แถว ( n × n ) เรียกสมาชิกในแนว 11, 22, 33, ..จนถึง nn ว่า เส้น ทแยงมุมหลัก (Main Diagonal) และสมาชิกตัวอื่นที่เหลือจะเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยม เรียกว่า สามเหลี่ยมบน (Upper Triangle) และ สามเหลี่ยมล่าง (Lower Triangle) ⎡ 2 0⎤ ⎢ ⎥ ⎣ − 1 1 ⎦2 × 2 ⎣⎡ 5 ⎦⎤ 1× 1 ⎡6 2 1 ⎤ ⎢3 1 −2⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢3 0 1 ⎦⎥ 3 × 3 2. เมตริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix; 0 ) คือเมตริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็นเลข 0 (จัตุรัสหรือไม่ก็ได้) ⎣⎡ 0 ⎦⎤ ⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 0 0⎤ ⎢0 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 0 0⎤ ⎢0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 0⎦⎥ 3. เมตริกซ์หนึ่งหน่วย (Unit Matrix; I) คือเมตริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก เป็น 1 และสมาชิกตัวอื่นที่เหลือทั้งหมดเป็น 0 อาจเขียนขนาดกํากับเป็นตัวห้อยเพียง 1 ตัว I1 = ⎣⎡ 1 ⎦⎤ ⎡ 1 0⎤ I2 = ⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎡ 1 0 0⎤ I3 = ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 1 ⎦⎥ 9.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์ 1. การบวกเมตริกซ์คู่หนึ่ง จะทําได้ก็ต่อเมื่อ เมตริกซ์ทั้งสองมีมิติเดียวกัน ผลบวกที่ได้ จะมีมิติเดิม และสมาชิกของผลลัพธ์เกิดจากสมาชิกตําแหน่งเดียวกันนั้นบวกกัน (สําหรับการลบก็เช่นกัน; สมาชิกผลลัพธ์ เกิดจากสมาชิกตําแหน่งเดียวกันลบกัน) ⎡ 1 −2 3⎤ ⎡0 2 − 1⎤ ⎡1 0 2⎤ ⎢ − 4 5 6⎥ + ⎢3 −2 4 ⎥ = ⎢ − 1 3 10⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 1 −2 3⎤ ⎡0 2 − 1⎤ ⎡ 1 − 4 4⎤ ⎢ − 4 5 6⎥ − ⎢3 −2 4 ⎥ = ⎢ − 7 7 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ เอกลักษณ์การบวกของเมตริกซ์ ก็คือ เมตริกซ์ 0 2. การคูณเมตริกซ์ด้วยสเกลาร์ ผลที่ได้จะเป็นการคูณสมาชิกทุกตัวด้วยสเกลาร์นั้น ⎡ 1 2 3⎤ ⎡2 4 6 ⎤ 2⎢ ⎥ = ⎢0 − 10 14⎥ 0 − 5 7 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 207 3. ส่วนการคูณเมตริกซ์คู่หนึ่งจะทําได้เมื่อ จํานวนหลักของตัวตั้งเท่ากับจํานวนแถวของตัวคูณ และผลคูณที่ได้จะเป็นเมตริกซ์ที่มีจํานวนแถวเท่าตัวตั้ง จํานวนหลักเท่าตัวคูณ หรือเขียนง่ายๆ ได้ดังนี้ Am × n × Bn × r = Cm × r วิธีการหาสมาชิกของผลลัพธ์ ขอให้สังเกตจากตัวอย่าง (ยึดแถวตัวตั้ง ยึดหลักตัวคูณ) ⎡ 2 3⎤ ⎡0 1⎤ ⎡1 3 2⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢3 2⎥ , C = ⎢ − 1 0 −2⎥ − 1 4 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2⋅0 + 3⋅3 2⋅1+ 3⋅2 ⎤ ⎡ 9 8⎤ จะได้ AB = ⎢−1⋅0+ 4 ⋅3 −1⋅1+ 4 ⋅2⎥ = ⎢12 7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⋅ −1) 0⋅3+ 1⋅0 0⋅2+ 1( ⋅ −2)⎤ ⎡ 0⋅1+ 1( ⎡ − 1 0 −2⎤ BC = ⎢ ⎥ = ⎢1 9 2⎥ 3 1 2( 1) 3 3 2 0 3 2 2( 2) ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ เอกลักษณ์การคูณของเมตริกซ์ ก็คือ เมตริกซ์ I จะเรียกว่า เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) ก็ได้ • สมบัติการบวกและการคูณ การบวกเมตริกซ์ การคูณด้วยเมตริกซ์ A +B = B + A • • (A + B) + C = A + (B + C) • • • A t + Bt = (A + B)t • A + 0 = 0 + A = A • (AB)t = BtA t • • (kA)t = k ⋅ A t • A (B + C) = AB + AC • (A + B) C = AC + BC A + (−A) = 0 การคูณด้วยสเกลาร์ • AB ไม่จําเป็นต้องเท่ากับ BA • (AB) C = A (BC) AI = IA = A k1(k2A) = k2(k1A) = (k1k2) A k(A + B) = kA + kB แบบฝึกหัด 9.1 (1) ⎡2 3 − 1⎤ ⎡ −3 2 ⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ 5 4⎥ 4 0 8 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2) ให้เมตริกซ์ A มีมิติ (3) เมื่อ (4) ถ้า 3×3 จงหาค่าของ โดยที่ a11 +b22 ⎧i + j ⎪ aij = ⎨ 1 ⎪⎩i − j และ ,i > j ,i = j ,j > i 2a12 − 3b21 จงเขียนเมตริกซ์ A นั้น ⎡cosec 30° log 10−4 ⎤ ⎡ 2 − 4⎤ A = ⎢ 0 , B = ⎢ ⎥ ถามว่า A = B หรือไม่ ⎥ 4 25 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎣2 + 1 5 ⎦ ⎡x −1 1 ⎤ ⎡x2 x − x2 ⎤ x2 − x + 1 = 0 และ A = ⎢ , B = ⎢ ⎥ แล้ว A = B ⎥ 2 x ⎦ ⎣0 ⎣ 0 x + 1⎦ (5) จงหาค่าของ (5.1) ⎡ 1 3 2⎤ ⎡2 6 1 ⎤ ⎢0 1 5⎥ + ⎢4 1 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡6 2 ⎤ ⎡ 1 5⎤ ⎢8 4⎥ − ⎢ − 1 3⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 3 0 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ 3 2⎥ ⎣ − 1 4⎦ ⎣ ⎦ (5.3) ⎡ 2 1⎤ 5 ⎢ 4 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 8⎥⎦ (5.2) (6) จงหา A + B, A t + Bt , (A + B)t , A + 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) หรือไม่ คณิตศาสตร O-NET / A-NET (7) (8) เมตริกซ 208 ⎡2 −1 4⎤ A = ⎢ ⎥ จงหา ⎣3 0 1 ⎦ ⎡a a ⎤ A = ⎢ 11 12 ⎥ , B = ⎣a21 a22 ⎦ A t , 2A, −A ⎡b11 b12 b13 ⎤ ⎢b21 b22 b23 ⎥ ⎣ ⎦ จงเขียนเมตริกซ์ AB (9) จงหาค่า x, y เมื่อกําหนดให้ (9.1) A2 × 5 × B5 × 3 = Cx × y (9.2) A3 × 5 × Bx × y = C3 × 4 (10) A3 × 2 , B2 × 4 จงหามิตขิ อง AB และ BA (11) (12) ⎡1 A = ⎢ ⎣ −1 ⎡1 A = ⎢ ⎣4 2⎤ ⎡3 0 ⎤ , B = ⎢ ⎥ จงหา 0⎥⎦ ⎣ 1 1⎦ 0⎤ ⎡ 3 − 4⎤ , B = ⎢ ⎥ 2 ⎥⎦ ⎣ −1 5 ⎦ จงหา AB, BA, (13) 2 2 (17) (18) e¹×èo§¨Ò¡ AB Áa¡äÁe·Ò¡aº BA ´a§¹aé¹ (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2 ¹a¤Ãaº æÅa¡çËÒÁ桵aÇ»Ãa¡oºÊÁ¡ÒáíÒÅa§Êo§´Ç eª¹ (A + 2B)(3A + B) ≠ 3A2 + 7AB + 2B2 æµe¹×èo§¨Ò¡ AI e·Ò¡aº IA eÊÁo ´a§¹aé¹ (A + 2I)(3A + I) = 3A2 + 7A + 2I 2 จงหา A t × (B × A) ⎡3 0 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎢2 − 1 0⎥ ⎢ 1 − 1⎥ ⎡ − 1 0⎤ = C ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 1 1 2 ⎦⎥ ⎢⎣2 3 ⎦⎥ ⎡2 1 ⎤ n A = ⎢ ⎥ จงหา A ⎣0 2⎦ (16) [Ent’33] กําหนด A2 × x × By × 5 = C2 × 5 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S (A + B) , A + 2AB + B ⎡2 1 ⎤ ⎡ 3 2⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ 1 2⎥ ⎣0 3⎦ ⎣ ⎦ A x × 2 × B2 × 5 = C7 × y AB, BA (14) ถ้า (15) (9.3) (9.4) จงหาค่า c22 ⎡ x + y 2⎤ ⎡ 2 y⎤ ⎡ 1 a⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ −2 y ⎥ , C = ⎢0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 3 z⎦ ⎣ ⎦ ⎡3 x ⎤ ⎡1 2 0 ⎤ ⎢ 1 y ⎥ , C = ⎡5 7 ⎤ A = ⎢ , B = ⎥ ⎢ 7 5⎥ 1 0 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎢ z 1 ⎥⎦ ถ้า X = ⎡⎢0a −0b⎤⎥ และ X2 + 2X + I = 0 ⎣ ⎦ ⎡ a 4⎤ 2 A = ⎢ ⎥ ถ้า A ⎣2 b ⎦ ⎡ x − 1 x2 ⎤ ⎡ −2 ⎢ ⎥ A = ⎢y2 1 3 ⎥ , B = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 3 x2 y ⎥ ⎢⎣ 4 ⎣ ⎦ ถ้า AB = C + 4 A − 5I = 0 (20) 0 4⎤ 2 4⎥ ⎥ 4 2 ⎦⎥ (21) [Ent’39] ⎡3 7⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎣⎡ x y ⎦⎤ ⎣ − 7 − 4⎦ BABt = [12] เป็นกราฟรูปอะไร จงหาค่า AB = C จงหาค่า a x + y − z จงหา a, b (19) [Ent’30] ถ้า ถ้า จงหา a, b At + A = B เซตของจุด แล้ว x, y เป็นเท่าใด (x, y) ซึ่งสอดคล้องกับสมการ 9.2 ดีเทอร์มินันต์ ดีเทอร์มินันต์ (ตัวกําหนด; Determinant) เป็นคุณสมบัติของเมตริกซ์จัตุรัสเท่านั้น และดีเทอร์มินันต์มีค่าเป็นตัวเลข โดยเมตริกซ์หนึ่งๆ จะคํานวณดีเทอร์มินันต์ได้ค่าเดียวเสมอ เครื่องหมายแสดง “ดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ A” คือ A หรือ det (A) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET วิธีหาดีเทอร์มินันต์ เมตริกซ์ 1 × 1 ถ้า A = ⎣⎡ a ⎦⎤ จะได้ว่า det (A) = a เมตริกซ์ ถ้า ⎡a b c⎤ A = ⎢d e f ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢g h i ⎦⎥ 3×3 เมตริกซ 209 เมตริกซ์ ถ้า ⎡a b ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣c d⎦ จะได้ว่า 2×2 det (A) = ad − bc ใช้หลักว่า “คูณเฉียงลงรวมกัน” ลบด้วย “คูณเฉียงขึ้นรวมกัน” จะได้ว่า det (A) = −gec − ahf − bdi + aei + gbf + hdc ส่วนเมตริกซ์ n × n ใดๆ จะใช้ วิธีโคแฟกเตอร์ (ใช้ได้กับทุกขนาด ตั้งแต่ 2 × 2 ขึ้นไป) สมาชิก 1 แนว คูณกับโคแฟกเตอร์ของแนวนั้น (ตําแหน่งเดียวกันคูณกันแล้วรวม) คําว่า “แนว” ในที่นี้ หมายถึงแถวหรือหลักก็ได้ det (A) = 1. ไมเนอร์ (Minor) ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ว่า Mij (A) คือ ค่า det ของสับเมตริกซ์ (เมตริกซ์ย่อย; Submatrix) ที่ตําแหน่งนั้น.. (ตัดแถว ตัดหลัก แล้วหา det) 2. โคแฟกเตอร์ (ตัวประกอบร่วมเกี่ยว; Cofactor) ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ว่า Cij (A) หรือ Cof (A) คือ ไมเนอร์ Mij (A) ทีน่ ํามาใส่เครื่องหมาย บวกหรือลบ สลับกันตามรูปแบบ Cij = (−1)i + j ⋅ Mij (ตําแหน่งแรกสุดใส่บวก, แล้วเติมเครื่องหมายบวกลบสลับกันไป) ⎡2 1 − 1⎤ A = ⎢2 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢5 0 8 ⎥⎦ ตัวอย่างเช่น ต้องการหาเมตริกซ์โคแฟกเตอร์ของ เริ่มจากหาค่าตัวเลขไมเนอร์ให้ครบทุกตําแหน่ง M11 = 0 1 0 8 = 0, M12 = ⎡0 11 0 ⎤ ∴ M (A) = ⎢8 21 −5⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 4 −2⎥⎦ 2 1 5 8 → = 11, ..., M33 = 2⋅0 = −2 ⎡ +0 −11 +0 ⎤ C (A) = ⎢ −8 +21 −(−5)⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ +1 −4 +(−2)⎦⎥ จากเมตริกซ์โคแฟกเตอร์ที่ได้ ทําให้หาค่า det (A) = 2 1 2 0 det (A) 1 ⋅ (−11) + (−1) ⋅ 0 ได้ดังนี้ − 11 (คิดจากแถวที่ 1) det (A) = 5 ⋅ 1 + 0 ⋅ (−4) + 8 ⋅ (−2) = − 11 (คิดจากแถวที่ 3) det (A) = 1 ⋅ (−11) + 0 ⋅ 21 + 0 ⋅ (−4) = − 11 (คิดจากหลักที่ 2) จะพบว่า ไม่ว่าจะคิดจากแถว หรือหลักใด ก็จะได้ค่า det (A) เท่าเดิมเสมอ แต่โจทย์ข้อนี้คิดจาก หลักที่ 2 จะง่ายที่สุด เพราะพจน์ที่สองกับสาม เป็น 0 ไม่จําเป็นต้องหาค่าโคแฟกเตอร์ + = det (A) = a12C12 + a22C22 + a32C32 = −a12M12 + a22 = −1 ⋅ 2 1 5 8 =0 M22 − a32 =0 M32 = −11 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 210 สมบัติของดีเทอร์มินันต์ • det (AB) = det (A) ⋅ det (B) • det (A t) = det (A) • det (An) = (det (A))n เมือ ่ n∈I • det (kA) = kn ⋅ det (A) เมือ ่ n = ขนาดของ A • • det (I) = 1 det (0) = 0 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¶Ö§æÁÊ a Åa¡É³¢o§ det ¨aeËÁ×o¹¤Ò ÊaÁºÙó æÅaÊÁºaµi¡ÒáÃa¨Ò¼Ťٳ ¼ÅËÒáçeËÁ×o¹¡a¹.. 浨u´·Õµè Ò§¡a¹¤×o 1. ¤Ò det µi´Åºä´ eª¹ | -2 | = -2 2. ¡Òô֧ÊaÁ»ÃaÊi·¸iìoo¡ÁÒµo§Â¡¡íÒÅa§ n Áiµi´Ç eª¹ | 3A | = 3 | A | เมตริกซ์ที่ค่า det เป็นศูนย์ เรียกว่า เมตริกซ์เอกฐาน (Singular Matrix) เช่น เมตริกซ์ที่มีแนวใดแนวหนึ่งเป็น 0 ทุกตัว หรือเมตริกซ์ที่มี 2 แนวซ้ํากัน หรือเป็น k เท่าของกันและกัน เมตริกซ์ที่มีสามเหลี่ยมล่างหรือบน เป็น 0 ทุกตัว เรียกว่า เมตริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) จะมีค่า det เป็น “ผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลัก” แบบฝึกหัด 9.2 (22) (23) (24) (25) A = ⎡⎣ 2 ⎡2 A = ⎢ ⎣4 ⎤⎦ , B = ⎡⎣ −5 ⎤⎦ −5⎤ ⎡ −2 , B = ⎢ −6⎥⎦ ⎣3 ⎡ 1 −5⎤ ⎡x A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ −1 ⎣ ⎣2 2 ⎦ ⎡ 3 −4 0 ⎤ A = ⎢ −5 4 − 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 −2 1 ⎦⎥ (26) จงหา (27) det (A) เมื่อ ⎡ 5 3 −5⎤ A = ⎢4 2 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 1 − 3 1 ⎦⎥ (30) (31) จงหาค่า 2 0 5 1 det (A), det (B) จงหา จงหา จงหาค่า x ที่ทําให้ det (A) < det (B) < det (C) det (A), M11(A), M32(A), C11(A), C32(A) ⎡ 6 1 2⎤ A = ⎢ − 3 0 5⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 7 2 1 ⎦⎥ det (A) โดยใช้วิธีโคแฟกเตอร์ n n โดยใช้วิธี ∑ aijCij, ∑ aijCij, คูณทแยง i=1 j=1 โดยโคแฟกเตอร์ของ a21 คือ –6, โคแฟกเตอร์ของ a33 ⎡a − 1 0 ⎤ A = ⎢b 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣c 1 −1⎥⎦ 1 0 0 −1 det (A), det (B), det (01) x⎤ ⎡5 0 ⎤ , C = ⎢ ⎥ x ⎥⎦ ⎣0 4⎦ จงหา 4 แล้ว จงหาโคแฟกเตอร์ของ ⎡ −4 ⎢2 A = ⎢ ⎢0 ⎣⎢ 1 − 4⎤ 6 ⎥⎦ ⎡ x y 4⎤ A = ⎢ −3 8 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ x − y − 1⎦⎥ (28) [Ent’40] ให้ (29) [Ent’39] จงหา ถ้า C12 (A) = 1 1 0⎤ 1 − 3⎥ C11 ⎥ จงหา 2 1⎥ C32 3 2 ⎥⎦ 0 4 −6 1 −4 0 0 1 และ −2 0 0 1 3 −1 −3 และ det (A) = −5 จงหาค่า a C21 C44 a b+c b a+c c a +b และ Math E-Book Release 2.2 n n+ 1 n+2 n+ 1 n+2 n+ 3 n+2 n+ 3 n+ 4 (คณิต มงคลพิทักษสุข) a23 คือ คณิตศาสตร O-NET / A-NET (32) [Ent’36] ถ้า (33) ⎡ 1 1⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ (34) กําหนด ถ้า จงหาค่า det (−2 A3A t(A + A t)) det (−2 AnA t(A + A t)) n ∈ I+ เมื่อ ⎡2 0⎤ ⎡0 5⎤ ⎡ 3 4⎤ ⎡ −1 4 ⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ 1 0⎥ , C = ⎢2 1 ⎥ , D = ⎢ 3 −2⎥ ⎣ ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ AXB = CD (35) จงหา ⎡ −1 1 ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣ 3 −1⎦ จงหา เมตริกซ 211 X จงหา det (X) เมื่อกําหนดให้ ⎡ −2 0 0⎤ ⎡12 4 10⎤ ⎢ 4 3 0⎥ X = ⎢ 0 −5 8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 5⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ A (36) [Ent’36] ให้ A, B เป็น non-singular matrix โดย จะได้ค่า x + y เท่ากับเท่าใด (37) [Ent’31] กําหนดให้ A, B, C, I เป็นเมตริกซ์มีมิติ 1 ⎡ −2 −2⎤ , B = ⎢ ⎥ 4 ⎣x y⎦ = และ AB + 4A = 2I ⎡ −6 1 ⎤ ABtC = ⎢ ⎥ ⎣ 4 −2⎦ ⎡ sin x 2 cos x ⎤ A = ⎢ ⎥ จงหาค่า ⎣ − cos x 2 sin x ⎦ det (C−1) = 4 (38) และ แล้ว det (B) (41) ⎡ 1 2 −1⎤ ⎢ −2 x −2⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 −2 1 ⎦⎥ ⎡ log 2x −2x ⎤ A = ⎢ ⎥ x−1 x ⎥⎦ ⎣⎢log 2 det (− A3) = det (2 2 I) , ถ้า มีค่าเท่าใด x ที่ทําให้ A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (39) [Ent’39] จงหาจํานวนจริง x ทั้งหมดที่ทําให้ (40) จงหาค่า x ที่ทําให้ 2×2 ⎡ 1 0 − x2 ⎤ ⎢2 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣x 3 5 ⎦⎥ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน เป็นเมตริกซ์เอกฐาน จงหาค่า x ที่ทําให้ A ไม่เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (42) [Ent’34] ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง เมื่อ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส มิติ 2 × 2 ก. ถ้า A = −At แล้ว สมาชิกในแนวทแยงมุมบนซ้ายถึงล่างขวาของ A เป็น 0 หมด ข. ถ้า A2 = B และ B เป็นนอนซิงกูลาร์เมตริกซ์แล้ว A เป็นนอนซิงกูลาร์ด้วย 9.3 อินเวอร์สการคูณ เรื่องเมตริกซ์ไม่มีการหาร มีแต่การคูณด้วย อินเวอร์ส (เมตริกซ์ผกผัน; Inverse Matrix) และ อินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ A−1 โดยนิยามให้ A ⋅ A−1 = A−1⋅ A = I (เปรียบเสมือน A −1 = I ) A วิธีหาอินเวอร์สการคูณ เมตริกซ์ 1 × 1 ถ้า A = ⎡⎣ a ⎤⎦ จะได้ว่า A −1 = ⎣⎡ 1/a ⎦⎤ เมตริกซ์ ถ้า ⎡a b ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣c d⎦ จะได้ว่า Math E-Book Release 2.2 A −1 = 2×2 1 ⎡ d −b ⎤ ⋅ ⎢ det (A) ⎣ −c a ⎥⎦ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ส่วนเมตริกซ์ เมตริกซ 212 n×n ใดๆ ตั้งแต่ 2×2 (C (A))t = det (A) A −1 ขึ้นไป จะใช้ วิธีโคแฟกเตอร์ เช่นเดิม เรียก (C (A))t ว่า เมตริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix) ของ A ใช้สัญลักษณ์เป็น adj A หรือ Adj (A) ก็ได้ สมบัติของอินเวอร์สการคูณ • (AB)−1 = B−1A −1 • (kA)−1 = • คือ det 1 ⋅ A −1 k A −1 = A −1 = • (A −1)n = (An)−1 = A −n • (A −1)−1 = A 1 A เมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สการคูณได้ ต้องเป็น เมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-Singular Matrix) ≠ 0 เท่านั้น S ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃeÁµÃi¡«ÁÕ¢o¤ÇÃÃaÇa§´a§¹Õé 1. eÁ×èo·íÒ¡ÒÃÂÒ¢ҧµaǤٳ ä»e»¹oi¹eÇoÃÊoÂÙo¡Õ ½§ µo§¤íÒ¹Ö§¶Ö§ÅíÒ´aº´Ç e¾ÃÒa¡ÒäٳäÁÁÕÊÁºaµ¡i ÒÃÊÅaº·Õ.è . eª¹ AB = C ¡ÅÒÂe»¹ B = A −1C ä´.. æµe»¹ B = CA −1 äÁä´ 2. µÃǨÊoºeÊÁoÇÒ ÊÁ¡ÒÃÂa§e»¹eÁµÃi¡«·é§a Êo§¢Ò§ËÃ×oäÁ (ËÒ¡ÂÒ¢ҧeÁµÃi¡« ä»e»¹oi¹eÇoÃʨ¹ËÁ´ oÂÒÅ×ÁeËÅ×o eÁµÃi¡« I äÇ´ÇÂ..) eª¹ ¨Ò¡ AB = 2C ËÒ¡ÂÒ¢ҧe»¹ ABC−1 = 2 溺¹Õé¼i´ e¾ÃÒa½§¢ÇÒ¡ÅÒÂe»¹µaÇeÅ¢.. ·Õè ¶Ù¡µo§e»¹ ABC−1 = 2 I 3. [Ent27] ÊÁ¡ÒÃeÁµÃi¡«ÊÒÁÒö¤Ù³e¢Ò·aé§Êo§¢Ò§ä´eÊÁo 浡Òõa´oo¡·aé§Êo§¢Ò§ºÒ§¤Ãaé§ãªäÁä´ .. eª¹ ⎡6 2 ⎤ ⎡ 1 8⎤ ⎡ 1 1⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢0 9⎥ , C = ⎢5 3⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4. ãÊe¤Ã×èo§ËÁÒ det AB = AC æµ B ≠ C ·aé§Êo§¢Ò§ä´eÊÁo 浡Òõa´oo¡·aé§Êo§¢Ò§¡çÁa¡¨aãªäÁä´ eª¹ ⎡ 1 2⎤ ⎡2 3⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ 4 5⎥ ⎣3 4 ⎦ ⎣ ⎦ 5. ¶Ò AB = 0 eª¹ ¾ºÇÒ æÅÇ äÁ¨Òí e»¹·Õè A ¾ºÇÒ ËÃ×o ⎡ 2 − 3⎤ ⎡3 6 ⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢2 4⎥ 2 3 − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ det (A) = det (B) B µo§e»¹ ¡ç¾ºÇÒ A ≠ B æµ 0 AB = 0 ä´eª¹¡a¹ แบบฝึกหัด 9.3 (43) (44) ⎡ − 3 −2⎤ ⎡2 − 3⎤ −1 −1 −1 −1 A = ⎢ ⎥ , B = ⎢4 −6⎥ จงหา A , B , 02 , I2 4 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡4 3⎤ ⎡2 3 ⎤ −1 −1 −1 A = ⎢ ⎥ , B = ⎢4 5⎥ จงหา (AB) , B A 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (45) จงหาอินเวอร์สการคูณของ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 213 ⎡ 1 2⎤ ⎢2 3⎥ ⎣ ⎦ ⎡ cos θ sin θ ⎤ (45.2) ⎢−sin θ cos θ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1 −2⎤ [Ent’41] A = ⎢−3 4 ⎥ , B = ⎡⎢−21 ⎣ ⎣ ⎦ (45.1) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) 1⎤ 1⎥⎦ จงหา 2A −1Bt ⎡ −1 3⎤ −1 t ⎢ ⎥ และ B เป็นเมตริกซ์ที่สอดคล้องกับสมการ BA = A − 3 − 1 ⎥⎦ ⎣⎢ ⎡2 −5⎤ ⎡ 1 2⎤ ⎡ 3 0⎤ ⎢ 1 −2⎥ X + ⎢2 4⎥ = ⎢ 1 2 ⎥ จงหาเมตริกซ์ X ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡4 6 ⎤ ⎡ 1 2⎤ ถ้า ⎢8 12⎥ A = ⎢3 4⎥ จงหา A ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 4 16 ⎤ [Ent’20] ถ้า A ⎢36 64⎥ = ⎡⎢04 04⎤⎥ จงหา A−1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A = 1 2 ⎡3 0 − 1⎤ ⎡1⎤ AB = I, B = ⎢4 2 0 ⎥ จงหา A −1 ⋅ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎢3 − 1 1 ⎥⎦ ⎣⎢1⎦⎥ [Ent’40] กําหนด A = ⎡⎢23 43⎤⎥ , B = ⎡⎢−11 23⎤⎥ , X = ⎡⎢ac bd⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ จงหา b + c (53) [Ent’38] ⎡0 1 ⎤ ⎡ 2 − 1⎤ ⎡ −1 0 ⎤ A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ −1 3 ⎥ , C = ⎢ 1 −2⎥ ⎣ 1 2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (54) [Ent’37] ถ้า * (55) ⎡ 1 2 − 1⎤ ⎡0 2 − 3⎤ B = ⎢ 3 0 1 ⎥ , C = ⎢3 − 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 2 1 ⎥⎦ ⎡2 1 − 2⎤ A = ⎢3 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣4 6 − 1 ⎥⎦ จงหา (57) [Ent’41] ก. ข. ⎡3 4 ⎤ ⎡30 18⎤ A = ⎢ ⎥ , C = ⎢ 12 8 ⎥ , ⎣ 1 2⎦ ⎣ ⎦ (59) (60) 2A −1 = B จงหา det (B) A มีมิติ (61) [Ent’27] และ 3×3 X = (B + C) A AB − AC − B เป็นเมตริกซ์ที่ทําให้ ค. ง. det (B−1A −1) = 24 จงหา และ AX + B = A จงหา 1 I = 0 2 X −1 จงหา ⎡2 − 3 2 ⎤ A = ⎢6 3 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 − 3 1 ⎥⎦ det (B−1) = 12 ⎡2 5 1 ⎤ A −1 = ⎢ 3 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣4 −2 7 ⎥⎦ ถ้า และ จงหา B adj A, A (adj A), (adj A) A, det (A), A −1 (56) จงหาอินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A เมื่อ (58) ⎡2 4⎤ ⎢ 1 2⎥ ⎣ ⎦ (45.3) AB = C ข้อใดถูก det (2 Bt) = 24 det (A2B) = 48 det (A t)−1 det (A) ⋅ det (B) = 16 และ det (A) = ⎡ 1 2⎤ ⎡ −1 A = ⎢ ⎥ , B = ⎢2 x 3 ⎣ ⎣ ⎦ จงหามิติของเมตริกซ์ B 4 , ถ้า A2 − 3A + I = 0 และ 1⎤ , C = 2AB−1 + B−1 1⎥⎦ Math E-Book Release 2.2 B = จงหาค่า x เมื่อ (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1 −1 3 A − I 2 2 det (C) = 1 A −1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 214 ⎡c − 1 ⎤ 2 2 3 −1 t A = ⎢ ⎥ และ det (2A ) + (1− c ) det (A ) = 45 จงหา c ⎣ 1 −c⎦ ⎡ 1 a 0⎤ 1 A = ⎢1− a − a 1 ⎥ จงหาค่า a ที่ทําให้ a det (A −1)t + det (2A) + 4 = 0 ⎢ ⎥ 4a ⎢⎣ 1 0 1 ⎥⎦ (62) [Ent’32] (63) (64) [Ent’35] ข้อใดถูก ก. ถ้าเมตริกซ์ 3UV − 2XY = ⎡⎣ 3 ⎤⎦ 2 1 ข. ถ้า ⎡⎢a2 a⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎡5⎤ ⎡ 1⎤ U = ⎣⎡ 1 − 1 − 4 ⎦⎤ , X = ⎣⎡ 0 1 2 ⎦⎤ , V = ⎢0⎥ , Y = ⎢ − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ แล้ว เมตริกซ์ a = 2 เป็นซิงกูลาร์เมตริกซ์แล้ว ค. ถ้า A, B เป็นเมตริกซ์จัตุรัสที่มีมิติเดียวกัน และ det (AB) = 0 แล้ว det (A) = 0 หรือ det (B) = 0 ง. ถ้า A เป็นนอนซิงกูลาร์เมตริกซ์มิติ 2 × 2 แล้ว det ((2A)−1) = det (2A −1) (65) [Ent’41] ⎡2 − 1⎤ ⎡ x −x ⎤ A = ⎢ ⎥ , M = ⎢3/7 x + 3⎥ ⎣ ⎦ ⎣1 3 ⎦ จงหาเซตจํานวนจริง x ที่ทําให้ det (M) = det ((2A + A t) A −1) (66) [Ent’36] กําหนด A, B เป็น non-singular matrix โดย ⎡ − 1 −2⎤ B = ⎢ ⎥ ⎣x y ⎦ จงหา x + y ⎡ 1 2 − 1⎤ A = ⎢2 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 1 0 ⎥⎦ ถ้า * (68) [Ent’37] ถ้า ⎡ 1 1 − 1⎤ A = ⎢2 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 0 1 ⎥⎦ และ 1 A 3 จงหาค่า AB = BA = I AB = BA = I −3A ข. 1 2 และ AB + 3A = 2I ถ้า * (67) [Ent’39] ให้ ก. det (A −1) = − ค. * (69) [Ent’38] ให้ A, B เป็นเมตริกซ์จัตุรัสมีมิติ ถ้า det (B) = 0 แล้ว det (A) มีค่าเท่าใด จงหาเมตริกซ์ผูกพันของ B 1 t A 3 4×4 det (adj B−1) ง. โดย −3A t A (adj A) − BA = I หมายเหตุ จากข้อ 55, 67, 68, 69 ซึ่งเป็นการคํานวณเกี่ยวกับ adj A นั้น เราสามารถพิสูจน์ความสัมพันธ์ จากสมการ A−1 = adj A ก่อน เพื่อความสะดวกในการคํานวณ det (A) เช่น A ⋅ A −1 A (adj A) = det (A) → I = ส่วนความสัมพันธ์อื่น ก็หาได้จาก det (adj A) = (det (A))n − 1 A (adj A) det (A) A −1 = adj A det (A) → det (A) ⋅ I = A (adj A) เหมือนกัน เช่น adj A −1 = ฯลฯ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) A , det (A) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 215 9.4 การดําเนินการตามแถว การดําเนินการตามแถว (Row Operation) ใช้หาอินเวอร์สการคูณ ซึ่งการดําเนินการตามแถวนั้น สามารถกระทําได้ 3 ลักษณะ คือ a) นําค่าคงที่ k (ที่ไม่ใช่ 0) ไปคูณไว้แถวใดแถวหนึ่ง b) นําค่าคงที่ k ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง แล้วเอาไปบวกไว้ที่แถวอื่น c) สลับแถวกัน 1 ครั้ง (A −1) ได้ การหาอินเวอร์สการคูณ (A-1) โดยดําเนินการตามแถว มีหลักอยู่ว่า พยายามหาขั้นตอนทํา A ให้กลายเป็น I แล้ววิธีเดียวกันนั้นจะทํา I ให้กลายเป็น A−1 ได้ เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า ⎡⎣ A I ⎤⎦ ~ ⎡⎣ I A −1 ⎤⎦ ตัวอย่างเช่น ต้องการหา A −1 เมื่อ ⎡ 4 2⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣ −8 3⎦ เราจะเริ่มจาก เขียน A กับ I ไว้ในแถวเดียวกัน เรียกว่า เมตริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) แล้วพยายามแปลง A ทางซ้ายมือ ให้เป็น I ⎡ 4 2 1 0⎤ ⎡⎣ A I ⎤⎦ = ⎢ ⎥ ⎣ −8 3 0 1 ⎦ ~ 2R1 + R2 ~ 1 R2 7 ⎡4 2 1 0 ⎤ ⎢0 7 2 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡4 2 1 0 ⎤ ⎢0 1 2/7 1/7 ⎥ ⎣ ⎦ ~ −2R2 + R1 ~ 1 R1 4 = ⎡4 0 − 3/7 −2/7 ⎤ ⎢0 1 2/7 1/7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1 0 − 3/28 − 1/14⎤ ⎢0 1 2/7 1/7 ⎥⎦ ⎣ ⎡ I ⎣ A -1 ⎤⎦ เมื่อแปลง A ทางซ้ายมือ ให้เป็น I เรียบร้อยแล้ว, I ทางขวามือจะกลายเป็น 3/28 −1/14⎤ ดังนั้น A−1 = ⎡⎢−2/7 1/7 ⎥ ⎣ A −1 ⎦ ข้อสังเกต 1. เราใช้เครื่องหมาย ~ แทนการดําเนินการแต่ละขั้นตอน และเขียนวิธีกํากับไว้ 2. นิยมเขียนแถวที่ถูกดําเนินการไว้ด้านหลัง เช่น 2R1 +R2 แสดงว่า R2 จะเปลี่ยนไป 3. เทคนิคการทําให้เป็น I โดยเร็วที่สุดคือ ทําสมาชิกเป็น 0 ให้ครบทีละสามเหลี่ยม (ล่างหรือบน) 4. หากต้องการสลับที่ระหว่างแถว R1, R2 ก็จะใช้สัญลักษณ์กํากับว่า R12 การดําเนินการตามแถวทั้งสามแบบ ส่งผลต่อค่า det ดังนี้ a) นําค่าคงที่ k (ที่ไม่ใช่ 0) ไปคูณไว้แถวใดแถวหนึ่ง detnew = k ⋅ detold b) นําค่าคงที่ k ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง แล้วเอาไปบวกไว้ที่แถวอื่น detnew = detold (det ไม่เปลี่ยน จึงใช้วิธีนี้ช่วยในการคํานวณ det ได้ โดยปรับสมาชิกในเมตริกซ์ให้มี 0 มากๆ) c) สลับแถวกัน 1 ครั้ง detnew = − detold ทั้งนี้ การดําเนินการตามหลัก ก็ให้ผลเช่นเดียวกัน เนื่องจากสมบัติ det (At) = det (A) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 216 แบบฝึกหัด 9.4 (70) ถ้า ⎡a b c⎤ ⎡d f e⎤ A = ⎢d e f ⎥ , B = ⎢2a 2c 2b ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ g i h ⎥⎦ ⎣⎢g h i ⎥⎦ (71) ถ้า ⎡ a b c⎤ ⎡4x 4y 4z⎤ ⎡p − a + x x ⎤ A = ⎢p q r ⎥ , det (A) = 3, B = ⎢ 2a 2b 2c ⎥ , C = ⎢ q −b + y y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢x y z ⎥⎦ ⎣⎢ −p − q −r ⎦⎥ ⎣⎢ r − c + z z ⎦⎥ ถามว่า B เป็นกี่เท่าของ A จงหา det (3B−1) และ det (2C−1) (72) [Ent’38] ให้ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส 4 × 4 และ M23(A) = 5 จงหา M32(2A)t (73) [จากข้อ 43,55,56] จงหาอินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A, B, C, D โดยใช้วิธีดําเนินการ ตาม แถว เมื่อ ⎡2 1 −2⎤ ⎡2 − 3 2⎤ ⎡ − 3 −2⎤ ⎡2 − 3 ⎤ ⎢3 0 0 ⎥ , D = ⎢6 3 0⎥ A = ⎢ , B , C = = ⎥ ⎢4 −6⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣4 2⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣4 6 −1 ⎥⎦ ⎢⎣0 − 3 1 ⎥⎦ 9.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น ระบบสมการเชิงเส้น ที่มีจํานวนตัวแปรเท่ากับจํานวนสมการ เราจะเขียนให้อยู่ในรูปสมการ เมตริกซ์ได้ เป็น AX = B (เรียก A ว่า เมตริกซ์สัมประสิทธิ์, X เป็นเมตริกซ์ตัวแปร, และ B เป็น เมตริกซ์ค่าคงที่) สิ่งที่เราต้องการหาก็คือเมตริกซ์ X เช่น ระบบสมการ ⎧ 4x + 2y − z = 0 ⎪ ⎨x − y = 3 ⎪ 5x − 3y + 2z + 1 = 0 ⎩ AX = B แปลงเป็นสมการเมตริกซ์ ได้ว่า วิธีแก้สมการเมตริกซ์นี้ มี 3 แบบ 1. วิธีอินเวอร์ส AX = B นั่นคือ ⎡x ⎤ ⎡4 2 − 1⎤ ⎢y ⎥ = ⎢ 1 −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣5 − 3 2 ⎥⎦ −1 ⎡0⎤ ⎢3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1⎥⎦ → Ai ⎡4 2 − 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤ ⎢ 1 −1 0 ⎥ ⎢y ⎥ = ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1⎦⎥ ⎣⎢5 − 3 2 ⎦⎥ ⎣⎢ z ⎦⎥ X = A −1B เป็นวิธีทําแบบตรงๆ ก็ต้องหาอินเวอร์สก่อน แล้วคูณกันได้เป็นคําตอบ xi = 2. กฎของคราเมอร์ (Cramer’s Rule) เมื่อ มี 3 สมการ และมี 3 ตัวแปร det (Ai) det (A) คือนําเมตริกซ์ B มาแทนลงในหลักที่ i ของเมตริกซ์ A เช่น จากตัวอย่าง จะได้ x = 0 2 −1 3 −1 0 −1 −3 2 4 2 −1 1 −1 0 5 −3 2 , y = 4 0 −1 1 3 0 5 −1 2 4 2 −1 1 −1 0 5 −3 2 3. การดําเนินการตามแถว (Row Operation) มีหลักอยู่ว่า พยายามหาขั้นตอนทํา A ให้กลายเป็น I แล้ววิธีเดียวกันนั้นจะทํา B ให้กลายเป็น X ได้ , z = 4 2 0 1 −1 3 5 −3 −1 4 2 −1 1 −1 0 5 −3 2 ⎡⎣ A B ⎤⎦ ~ ⎡⎣ I Math E-Book Release 2.2 X ⎤⎦ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET จากตัวอย่างก็ตอ้ งเริ่มจาก เมตริกซ 217 ⎡4 2 − 1 0 ⎤ ⎢ 1 −1 0 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢5 −3 2 −1⎥⎦ ⎡ 1 0 0 x⎤ ⎢0 1 0 y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 z ⎥⎦ แล้วทําให้เป็น แบบฝึกหัด 9.5 (74) จงหาคําตอบของระบบสมการต่อไปนี้ โดยใช้วิธีอินเวอร์ส (74.1) x − 2y = 5 (74.2) 3x + 2y = −1 (75) จงหาคําตอบของระบบสมการ (76) จงหาคําตอบของระบบสมการ 4x + 3y + 2z = 5 3x − y − z = 6 −x + 2y + z = 1 3x + 2y = 6 − 4x + y = 14 (77.2) 2x + 3y + z = 3 x + 2y + z = 1 โดยใช้กฎของคราเมอร์ (77.3) −x + 4y = −2 3x − 7y = 2 โดยใช้วิธีอินเวอร์ส (77) จงหาคําตอบระบบสมการนี้โดยใช้กฎของคราเมอร์ (77.1) 2x − 5y = 1 x + 2y + 3z = −1 2x + y − 4z = 9 x − y + 2z = −2 2x + y + z = 1 x − 2y − 3z = 1 3x + 2y + 4z = 5 (78) [Ent’38] กําหนดระบบสมการเชิงเส้น 2x + 4y + z = 1 x + 2y = −2 จงหาค่า x −x − 3y + 2z = 3 (79) จงหาคําตอบระบบสมการต่อไปนี้ โดยการดําเนินการตามแถว (79.1) x + y + z = 10 3x + z = 13 (79.2) y + 2x − z − 9 = 0 (80) จงหาคําตอบของระบบสมการ (80.1) x − 2y − z = 1 4x + 3y + 2z = −5 (80.2) −2x + 4y + 2z = −4 (81) จงหาคําตอบของระบบสมการ (81.1) [Ent’25] 2 x 4 x 3 y (82) [Ent’25] ให้ + 1 z + 2 y + 1 z = 0 = 4 (81.2) = 2 ⎡ 1 0 2⎤ A = ⎢2 − 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢5 1 2⎦⎥ −1 และ ⎡ 1⎤ B = ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0⎦⎥ 2x + y − z = 5 3x − 2y + 2z = −3 x − 3y − 3z = −2 x − 2y − z = 1 4x + 3y + 2z = −5 −2x + 4y + 2z = −2 2 x + 3 y + z = 3 1 x +2 y + z = 1 − 1 x + 4 y = −2 จงหาค่า y ที่ได้จากสมการ (83) ให้หาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ ถ้า s เป็นค่าคงที่ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ⎡x ⎤ A −1 ⎢ y ⎥ = B ⎢ ⎥ ⎣⎢ z ⎦⎥ คณิตศาสตร O-NET / A-NET s (x + y) − s = −x − 2y ___(1) s (x + y) − y = 0 _______(2) (84) [Ent’40] ให้ ⎡ 1 2 3⎤ A = ⎢0 − 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 1 0⎥⎦ ⎡p ⎤ X = ⎢ q⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ r ⎥⎦ (85) [Ent’41] ให้ ⎡1 − 1 2⎤ A = ⎢1 a 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢1 − 1 a ⎦⎥ (86) [Ent’40] ให้ ⎡ 1 2 a⎤ ⎡x ⎤ A = ⎢ 2 3 b⎥ , X = ⎢y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎦⎥ ⎣⎢ − 1 0 c ⎦⎥ A ⎡1 ~ ⎢⎢−01 ⎣⎢ 2 3⎤ − 1 − 1⎥ R2−2 R1 ⎥ 0 2 ⎦⎥ เมตริกซ 218 และ และ ⎡ 1⎤ B = ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 1⎦⎥ และ ถ้า ⎡ 1⎤ A2(adj A) X = ⎢6⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ จงหาค่าของ a ที่ทําให้ ⎡ 1⎤ B = ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0⎦⎥ ถ้า AX = B จงหาค่า p AX = B หาคําตอบได้ และ แล้ว x มีค่าเท่าใด (87) (โจทย์ทบทวน) ประโยคต่อไปนี้ถูกหรือผิด _____ (25) (A−1)n = (An)−1 x (1) A + B ≠ B + A _____ (2) At + Bt ≠ (A + B)t _____ (26) (A−1)−1 = A t t t _____ (3) A B ≠ (AB) _____ (27) (3A)−1 = 3 A−1 −1 −1 −1 t _____ (4) [Ent’27] A B ≠ (AB) _____ (28) adj A = (C (A)) det (A) _____ (5) A + 0 = A − 1 _____ (6) A × 1 = A _____ (29) A ⋅ A = adj A _____ (7) A × I = A _____ (30) [Ent’37] A = (adj A) ⋅ A _____ (8) [Ent’21] AB = BA _____ (31) adj A = A n เมื่อ A มีมิติ n×n _____ (9) k(A + B) ≠ kA + kB _____ (32) 2A tA−1 = 8 เมื่อ A มีมิติ 3×3 _____ (10) (A + B) C = AC + BC _____ (33) A−1A tBAt = 3 เมื่อ AB = I3 _____ (11) A (B + C) = AC + AB 1 tan θ ⎤ _____ (12) (AB) C = C (BA) _____ (34) cos θ ⋅ ⎡⎢− tan = 1 θ 1 ⎥⎦ ⎣ 2 _____ (13) I = I a b c _____ (14) AI = IA _____ (35) b c a = 0 _____ (15) AB = A ⋅ B c a b _____ (16) An = A n _____ (36) ถ้า AB = 0 แล้ว −1 −1 _____ (17) A = A A = 0 หรือ B = 0 t t _____ (18) A = A _____ (37) [Ent’30] ถ้า AB = 0 แล้ว A = 0 หรือ B = 0 _____ (19) [Ent’27] kA = k A _____ (20) I = 0 _____ (21) 0 = 0 _____ (22) 2 I = 2 _____ (23) A2 + 5A + 6I = (A + 2I)(A + 3I) _____ (24) A2 + 5AB + 6B2 = (A + 2B)(A + 3B) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 219 เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1) 6 และ –9 (2) ⎡ 1 − 1 −2⎤ ⎢3 1 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢4 5 1 ⎦⎥ (3) เท่ากัน (4) เท่ากัน (5.1) (5.2) ⎡5 − 3⎤ ⎢9 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 3 9 3⎤ ⎢4 2 7 ⎥ ⎣ ⎦ (5.3) ⎡ 10 5 ⎤ ⎢ 20 15 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ − 10 40⎦⎥ ⎡2 4⎤ ⎡2 2⎤ ⎡2 2⎤ ⎢2 6⎥ , ⎢4 6⎥ , ⎢4 6⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2 3⎤ ⎢ − 1 4⎥ ⎣ ⎦ (26) –34 (27) 60 (28) 14 (29) 2 (30) −517 −04 = 28 (56) ⎪⎧ 5 ± 3 5 ⎪⎫ ⎨1, ⎬ 2 ⎪⎩ ⎪⎭ (39) (7) (41) x ≠ 0, 2/3 (42) ก.ถูก, ข.ถูก 1 ⎤ (43) ⎡⎢−12 −3/2 ⎥ , ไม่มี, ไม่มี, ⎡ 2 3⎤ ⎢ − 1 0⎥ , ⎡4 −2 8⎤ , ⎢ ⎥ ⎢⎣6 0 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 4 1 ⎦⎥ ⎡ −2 1 − 4⎤ ⎢ −3 0 −1 ⎥ ⎣ ⎦ (8) ... (9.1) 2 และ 3 (9.2) 5 และ 4 (9.3) 7 และ 5 (9.4) x = y และเป็นจํานวนนับ (10) (AB)3 × 4 , BA ไม่มี ⎡3 6⎤ ⎢0 2⎥ ⎣ ⎦ − 4⎤ ⎡ − 13 −8⎤ (12) , , −6⎥⎦ ⎢⎣ 19 10 ⎥⎦ ⎡ 4 − 44⎤ ⎡20 − 40⎤ ⎢33 37 ⎥ , ⎢24 21 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡12 18 ⎤ (13) ⎢12 30⎥ (14) 2 ⎣ ⎦ (11) (15) ⎡5 ⎢ −3 ⎣ ⎡3 ⎢10 ⎣ 2⎤ , 0⎥⎦ ⎡2n n ⋅ 2n ⎤ ⎢ ⎥ (16) 3 2 ⎢ 4 n ⎥ 2 ⎦ ⎣0 3 +2 −2 = 3 (57) ง. (58) -111 (59) 4 × 4 (60) (31) –360, 0, 0 (32) (−2)2(−2)4(−12) = −768 (33) (−2)2(1)n(1)(3) = 12 (34) –5 (35) 2 (36) 4 (37) 16 (38) ไม่มี (6) ⎣ 1 0 ⎡ ⎤ ⎢0 1 ⎥ ⎣ ⎦ (44) ⎦ ⎡ − 4 27/4⎤ ⎢3 −5 ⎥⎦ ⎣ ⎡ −3 2 ⎤ ⎢ 2 − 1⎥ ⎣ ⎦ cos θ sin θ ⎤ (45.2) ⎡⎢ sin θ −cos θ ⎥⎦ ⎣ ⎤ (45.3) ไม่มี (46) ⎡⎢22 −−10 7 ⎥⎦ ⎣ (47) ⎡⎢01 01 ⎤⎥ (48) ⎡⎢−−94 −−62⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 4 (49) ไม่มี (50) ⎡⎢9 16⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎡2⎤ (51) ⎢⎢6⎥⎥ (52) 6 + 5 = 11 ⎢⎣3⎥⎦ (53) ⎡ −2 − 1⎤ ⎢ 1 1⎥ ⎣ ⎦ (54) ⎡2 0 4⎤ ⎢ 0 2 −2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 4 −2 −2⎥⎦ (17) (18) –1 และ 1 ⎡ 0 − 11 0 ⎤ (19) –1, –3 หรือ –3, –1 (55) ⎢⎢ 3 6 −6⎥⎥ , −33 I , (20) –1 และ 1 ⎢⎣18 −8 − 3⎥⎦ (21) กราฟไฮเพอร์โบลา 3x2 −4y2 =12 ⎡ 0 − 11 1 ⎢ 3 6 − 33 I , − 33 , (22) 2, –5, 0 (23) 8, 0 − 33 ⎢ 18 −8 ⎢ (24) x ∈ (−5, −4)∪(3, 4) ⎣ (25) –2, –2, –9, –2, 9 Math E-Book Release 2.2 − 1 2 (61) 3 (62) 2 หรือ –2 (63) ± 1 (64) ค. (40) 4 (45.1) ⎡ − 1/4 1/4 1/2⎤ ⎢ 1/2 − 1/6 − 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3/2 − 1/2 −2 ⎥⎦ (65) { 2 11 , −5 7 } (66) –4 (67) 36 (68) ก. (69) 1 (70) 2 (71) –9/8, 8/3 (72) 40 (73) ดูทขี่ ้อ 43, 55, 56 (74.1) 1, –2 (74.2) 3, 1 (75) 5/4, 9/2, –27/4 (76) –2, 6 (77.1) 2, 0, –1 (77.2) 1, –3, 2 (77.3) 13/9, 7/9, –4/3 (78) –20 (79.1) 25/7, 29/7, 16/7 (79.2) 1, 2, –1 (80.1) ไม่มีคาํ ตอบ (80.2) มีคําตอบหลายชุด (81.1) 2, 1, –1 (81.2) 1/2, 0, –1 (82) 0 (83) s (s − 1) s2 , 2s + 1 2s + 1 1/2 (85) a ≠ −1, 2 − (84) (86) –2/3 (87) ข้อที่ถูก คือ (3), (4), (6), (7), (10), (11), (13), (14), (15), (16), (17), (21), (23), (25), (26), (29), (32), (34), (36) 0⎤ −6⎥ ⎥ − 3⎥⎦ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เมตริกซ 220 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1) a11 + b22 = 2 + 4 = 6 , สังเกต โดยปกติ AB มักจะไม่เท่ากับ BA จึงทําให้ (A + B)2 ไม่เท่ากับ A2 + 2AB + B2 ด้วย เพราะ (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 ... ซึง่ AB + BA ≠ 2AB 2a12 − 3b21 = 2(3) − 3(5) = −9 ⎡ ○ ○⎤ ○⎥ Δ ⎢Δ ⎢⎣ Δ Δ ⎥⎦ ○ ⎡ 1 1− 2 1− 3⎤ จะได้ ⎢2 + 1 1 2 − 3⎥ ⎢⎣3 + 1 3 + 2 1 ⎥⎦ (2) i=j i>j j>i ⎡ 1 −1 −2⎤ = ⎢3 1 −1 ⎥ ⎢⎣4 5 1 ⎥⎦ (3) เท่ากัน เพราะ 2 = cosec 30° , −4 = log 10−4 , 20 + 1 = 4 และ 5 = 25 (4) เท่ากัน (จากการย้ายข้างสมการ x2 − x + 1 = 0 จะได้ว่า x2 = x − 1 , x − x2 = 1 , x = x2 + 1) (5.1) ⎡3 9 ⎢⎣4 2 ⎡ 10 ⎢ 20 ⎢⎣ −10 3⎤ 7 ⎥⎦ (5.2) ⎡5 −3⎤ ⎢⎣9 1 ⎥⎦ 5⎤ (5.3) 15 ⎥ (6) A + B = ⎡⎢22 64⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎥ 40⎦ 2 2 A t + Bt = ⎡⎢4 6⎤⎥ = (A + B)t ⎣ ⎦ และ (7) 2 3 A + 0 = ⎢⎡ −1 4⎤⎥ = A ⎣ ⎦ 2 3 ⎡ ⎤ 4 −2 8 A t = ⎢ −1 0⎥ , 2A = ⎡⎢6 0 2 ⎤⎥ , ⎣ ⎦ ⎣⎢ 4 1 ⎦⎥ และ −2 1 −4 −A = ⎡⎢ −3 0 −1 ⎤⎥ ⎣ ⎦ (8) a b +a b a b +a b a b +a b AB = ⎡a 11b11 + a12 b21 a 11b12 + a12 b22 a 11b13 + a12 b23 ⎤ ⎣⎢ 21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23 ⎦⎥ (9.1) x = 2, y = 3 (9.2) x = 5, y = 4 (9.3) x = 7, y = 5 (9.4) x = y และเป็นจํานวนนับเท่านัน้ (10) AB3 × 4 , ส่วน BA ไม่มี (11) AB = ⎡⎢−11⋅⋅ 33 ++ 02 ⋅⋅ 11 −11⋅⋅00++20⋅ ⋅11⎤⎥ ⎣ 20 ⎛ 32 2 1 ⎞ A t(BA) = ⎡⎢ 1 3⎤⎥ ⎜ ⎡⎢ 1 2⎤⎥ ⎡⎢0 3⎤⎥ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝⎣ ⎦⎣ ⎦⎠ (13) ⎦ 5 2 = ⎡⎢ −3 0⎤⎥ ⎣ ⎦ 3 ⋅ 1 + 0 ⋅ (−1) 3 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 36 BA = ⎢⎡ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−1) 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 ⎥⎤ = ⎢⎡0 2⎥⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 − 4 − 13 − 8 (12) AB = ⎡⎢10 −6⎤⎥ , BA = ⎡⎢ 19 10 ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4 −4 4 −4 4 −44 (A + B)2 = ⎡⎢ 3 7 ⎤⎥ ⎡⎢ 3 7 ⎤⎥ = ⎡⎢33 37 ⎤⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 0 1 0 6 −8 A2 + 2AB + B2 = ⎡⎢4 2 ⎤⎥ ⎡⎢4 2⎤⎥ + ⎡⎢20 −12⎤⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 20 −40 3 −4 3 −4 + ⎢⎡ −1 5 ⎥⎤ ⎢⎡ −1 5 ⎥⎤ = ⎡⎢24 21 ⎤⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 20 69 12 18 = ⎡⎢ 1 3⎤⎥ ⎡⎢2 7 ⎤⎥ = ⎡⎢12 30⎤⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡3 0 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ −1 0⎤ (14) ⎢2 −1 0⎥ ⎢ 1 −1⎥ ⎢ 4 2⎥ ⎦ ⎢⎣ 1 1 2 ⎥⎦ ⎣⎢2 3 ⎦⎥ ⎣ ⎡ ⎤ −1 0 1 ⎥ ⎢⎡ 4 2 ⎥⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ⎦⎥ ⎣ ⎡ = ⎢ ⎣⎢ ⎤ 2⎥ → ⎥⎦ ∴ c22 = 2 (เมื่อคุ้นเคยแล้วจะไม่จําเป็นต้องหาผลคูณให้ครบทุก ตําแหน่งก็ได้) (15) จาก A = ⎡⎢20 21⎤⎥ จะได้ ⎣ ⎦ 44 2 1 ⎤ ⎡2 1 ⎤ ⎡ → A = ⎢0 2⎥ ⎢0 2⎥ = ⎡⎢0 4⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 4 4⎤ ⎡2 1 ⎤ 8 12⎤ ⎡ ⎡ 3 → A = ⎢0 4⎥ ⎢0 2⎥ = ⎢0 8 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 8 12⎤ ⎡2 1 ⎤ 16 30⎤ ⎡ ⎡ 4 → A = ⎢0 8 ⎥ ⎢0 2⎥ = ⎢ 0 16 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡2n n ⋅ 2n ⎤ ดังนัน้ รูปทัว่ ไป An = ⎢ 2 n ⎥ ⎢0 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ...ฯลฯ ... (16) ตําแหน่ง 11; 2(x + y) − 4 = 1 .....(1) ตําแหน่ง 12; (x + y)(y) + 2y = a .....(2) ตําแหน่ง 21; 6 − 2z = 0 → z = 3 .....(3) ตําแหน่ง 22; 3y + zy = 1 .....(4) แทน (3) ใน (4) ได้ y = 1 / 6 , จาก (1) ได้ (x + y) = 5 / 2 ดังนัน้ จากสมการ (2) จะได้ (5 / 2)(1 / 6) + 2(1 / 6) = a → a = 3/4 (17) ตําแหน่ง 21; 3 + 2z = 7 → z = 2 ตําแหน่ง 22; x + 2 = 5 → x = 3 ตําแหน่ง 12; x + 2y = 7 แทน x = 3 ได้ y = 2 ∴ x + y − z = 3 (18) X2 + 2X + I = 0 → (X + I)2 = 0 (ทําได้เพราะ XI = IX ) 2 a+1 0 00 → ⎡⎢ 0 −b + 1⎤⎥ = ⎡⎢0 0⎤⎥ (ใช้เมตริกซ์คูณกันนะ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡(a + 1)2 0 ⎤ ⎡0 0⎤ → ⎢ 2 ⎥ = ⎢0 0 ⎥ ∴ a = −1 , b = 1 0 ( − b + 1 ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (19) A2 + 4A − 5I = 0 2 ⎡ a + 8 4a + 4b ⎤ ⎡4a 16 ⎤ ⎡5 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎢2a + 2b 8 + b2 ⎥ + ⎢⎣ 4 4b ⎥⎦ − ⎢⎣0 5⎥⎦ = ⎢⎣0 0⎥⎦ ⎣ ⎦ แสดงว่า a2 + 4a + 3 = 0 เมตริกซ 221 .....(1) 4a + 4b + 16 = 0 .....(2) 2a + 2b + 4 = 0 .....(3) และ b2 + 4b + 3 = 0 .....(4) → แก้ระบบสมการ ได้เป็น a = −1, b = −3 หรือ a = −3, b = −1 ก็ได้ หมายเหตุ A2 + 4A − 5I = (A + 5I)(A − I) = 0 ใช้ได้ เพราะ AI = IA แต่จะสรุปว่า A = −5 I, I ไม่ได้ เพราะ Δ = 0 ไม่ได้แปลว่า หรือ Δ = 0 ⎡ x y2 3 ⎤ ⎡ x −1 x2 ⎤ t (20) A + A = ⎢⎢ −1 1 x2 ⎥⎥ + ⎢⎢y2 1 3 ⎥⎥ 2 2 ⎣⎢x 3 y ⎥⎦ ⎣⎢ 3 x y ⎦⎥ ⎡ 2x y2 − 1 x2 + 3⎤ ⎡ −2 0 4⎤ = ⎢ y2 − 1 2 x2 + 3⎥ = B = ⎢ 0 2 4⎥ ⎢ 2 ⎥ 2 ⎢⎣ 4 4 2 ⎥⎦ ⎣⎢ x + 3 x + 3 2y ⎦⎥ 3 0 M32(A) = −5 −3 = −9 C11(A) = −2 , C32(A) = 9 (26) เลือกหลักที่ 2 → det(A) = a12c12 + a22c22 + a32c32 6 2 −3 5 62 = −(1) 7 1 + (0) 7 1 − (2) −3 5 = 38 − 72 = −34 (27) วิธี n ∑ aijcij i=1 (ตามหลัก) เลือกหลักที่ 1 (j = 1) det(A) = a11c11 + a21c21 + a31c31 2 1 3 −5 3 −5 = 5 −3 1 − 4 −3 1 + (−1) 2 1 = (5)(5) − (4)(−12) − (13) = 60 วิธี n Σ aijcij j=1 (ตามแถว) เลือกแถวที่ 2 (i = 2) det(A) = a21c21 + a22c22 + a23c23 3 −5 5 −5 5 3 = −4 −3 1 + 2 −1 1 − 1 −1 −3 = (−4)(−12) + (2)(0) − (−12) = 60 วิธีคณ ู ทแยง det(A) = −10 − 12 + 15 + 10 − 3 + 60 = 60 พิจารณาจากตําแหน่ง 11 กับ 33 ก็จะพบว่า x = −1, y = 1 คูณขึน้ คูณลง y ซึ่งตรวจสอบแล้วจะใช้ได้กับตําแหน่งอืน่ ๆ ที่เหลือด้วย (28) C21(A) = −6 = − −y −41 (21) [ x y] ⎡⎢ −37 −74⎤⎥ ⎡⎢⎣xy ⎤⎥⎦ = [12] → 6 = 3y → y = 2 ⎣ ⎦ x y C23(A) = 4 = − x −y → 4 = 2xy → x → [3x − 7y 7x − 4y ] ⎡y ⎤ = [12] ⎢⎣ ⎥⎦ → 3x2 − 7xy + 7xy − 4y2 = 12 ไฮเพอร์โบลา (22) det(A) = 2 , det(B) = −5 , det([0]) = 0 [สังเกต det(B) ใช้สญ ั ลักษณ์ว่า |B| = | − 5| = −5 ไม่ต้องตัดเครื่องหมายลบทิ้งไปแบบค่าสัมบูรณ์นะ!] (23) det(A) = 24 −−65 = (2)(−6) − (−5)(4) = 8 det(B) = −12 − (−12) = 0 [แสดงว่า B เป็นเมตริกซ์เอกฐาน] (24) |A | < |B| < |C| → 12 < x2 + x < 20 → x2 + x − 12 > 0 และ x2 + x − 20 < 0 → (x + 4)(x − 3) > 0 และ (x + 5)(x − 4) < 0 เขียนเส้นจํานวน เอาช่วงคําตอบมาอินเตอร์เซคกัน ได้เป็น (−5, −4) ∪ (3, 4) (25) 3 −4 0 det(A) = −5 4 −3 2 −2 1 = 0 − 18 − 20 + 12 + 0 + 24 = −2 คูณขึน้ คูณลง 4 −3 M11(A) = −2 1 = −2 แทน y = 2 ได้ x = 1 x y 1 2 ∴ C33(A) = −3 8 = −3 8 = 8 + 6 = 14 (29) det(A) = −5 = (a)C11 + (−1)C12 แทนค่า C11 = 11 −11 = −2, C12 = 1 จะได้ (30) a = 2 0 1 −3 C11 = 0 2 1 −1 3 2 = −6 + 0 + 0 + 0 − 1 + 0 = −7 1 1 0 C21 = − 0 2 1 −1 3 2 = −(0 + 0 − 3 + 4 + 0 − 1) = 0 −4 1 1 C44 = 2 0 1 0 02 = 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 0 = −4 −7 0 C C ∴ C 11 C 21 = C −4 = 28 32 44 32 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) + (0)C13 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (31) 2 0 5 1 0 −4 −2 3 4 0 0 −1 −6 2 4 −6 0 = − ( 4) 5 0 0 0 1 −1 −3 −3 จาก → 4 −6 ⎞ ⎛ = (−4) ⎜ −(5) −1 −3 ⎟ = (−4)(−5)(−18) = −360 ⎝ ⎠ ส่วนอีกสองเมตริกซ์นนั้ det มีค่าเป็น 0 จะคิดโดยวิธีปกติ (คูณทแยง) ก็ได้ แต่ในทีน่ ี้จะแสดง โดยใช้สมบัตทิ ี่ว่า (1) นําหลักบวกกัน ค่า det ไม่เปลีย่ น (2) ถ้ามี 2 หลัก เป็น k เท่าของกัน det = 0 ... จากเมตริกซ์แรก นําหลัก 2 ไปบวกหลัก 3 1 a a+b+c = 1 b a+b+c = 0 1 c a+b+c n n + 1 2n + 2 = n + 1 n + 2 2n + 4 = 0 n + 2 n + 3 2n + 6 (เพราะหลักที่ 3 เป็น 2 เท่าของหลักที่ 2) (32) det(−2A3A t(A + A t)) 3 −1 1 = 4 ⋅ 3 −1 4 ⋅ A ⋅ A + At n = (−2)2 ⋅ A ⋅ A ⋅ A + A t 1 1 = 4⋅ 01 2 1 ⋅ 12 = 4 ⋅ (1)n + 1 ⋅ (3) = 12 A ⋅ X ⋅ B = C ⋅ D C ⋅ D (−5)(−10) → X = = = −5 A ⋅ B (2)(−5) −2 0 0 12 4 10 (35) 4 3 0 ⋅ X = 0 −5 8 2 15 0 0 1 (−30) X = (−60) → X = 2 3 3 −A3 = 2 2I → (−1)2 A = (2 2)2 A = 8 → จาก C−1 = 4 → 1 0 −x2 2 1 0 = x3 − 6x2 + 5 = 0 x 3 5 5±3 5 2 1 2 −1 −2 x −2 = x + 4 − 4 + x − 4 − 4 1 −2 1 = 2x − 8 = 0 → x = 4 [สังเกต หลักที่ 2 จะเป็น −2 เท่าของหลักที่ 3] log 2x −2x ≠ 0 (41) log 2x − 1 x → x log 2x + 2x log 2x − 1 ≠ 0 ⎡a b ⎤ ⎡ −a −c ⎤ ⎢⎣c d⎥⎦ = ⎢⎣ −b −d⎥⎦ → a กับ d เป็น 0 (ก. ถูก) A = B และ B ≠ 0 → แสดงว่า A 2 ( A = B) → ข. ก็ถูก 2 A −1 = 1 2 A = 2 1 = 4 → C C = ≠ 0 ⎡ 1 1 ⎤ 2 2 3⎥ , ⋅ ⎢⎡ −4 −3⎥⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢⎣ −2 − 2 ⎥⎦ 1 ⎡ −6 3⎤ ⋅ → หาไม่ได้ เพราะ B = 0 0 ⎢⎣ −4 2⎥⎦ 1 ⎡0 0⎤ 02−1 = ⋅ → หาไม่ได้ เพราะ 0 = 0 0 ⎢⎣0 0⎥⎦ 1 1 0 1 0 I2−1 = ⋅ ⎡⎢0 1 ⎤⎥ = ⎡⎢0 1 ⎤⎥ = I2 ⎦ ⎣ ⎦ 1 ⎣ −1 20 27 (AB)−1 = ⎡⎢ 12 16⎤⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎡ 16 −27 ⎤ − 4 27/4 = = ⎡⎢ 3 −5 ⎤⎥ −4 ⎣⎢ −12 20 ⎦⎥ ⎣ ⎦ 1 1 − −3⎤ 5 3 2 ⎡ ⎤⋅ ⎡ B−1A −1 = −2 ⎣⎢ −4 2 ⎦⎥ 2 ⎣⎢ −2 4 ⎦⎥ 1 ⎡ 16 −27 ⎤ −4 27/4 = = ⎡⎢ 3 −5 ⎤⎥ −4 ⎣⎢ −12 20 ⎦⎥ ⎣ ⎦ (44) ⎛ 1 ⎞ 2 −2 → ⎜ ⎟ ⋅ x y + 4 = (2)2 ⎝4⎠ 1 → (2y + 8 + 2x) = 4 → x + y = 4 4 → 8 = 16 (2)(1 / 4) B−1 = A ⋅ B + 4I = 2I (37) จาก (40) (43) สังเกต ข้อนี้เป็นเมตริกซ์สามเหลีย่ ม จะหา det ง่าย (36) AB + 4A = 2I → A(B + 4I) = 2I → (39) แสดงว่า (34) → B = (38) det(A) = 2 sin2 x + 2 cos2 x = 2 เสมอ (จากเอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ) ดังนัน้ det ไม่มีทาง เป็น 0 ∴ ข้อนี้ ไม่มค ี ําตอบ (42) det(−2AnA t(A + A t)) n+1 → → x2 log 2 + (2x2 − 2x) log 2 ≠ 0 2 → 3x2 − 2x ≠ 0 → x ≠ 0, 3 −2 4 ⋅ 4 −2 = 4 ⋅ (−2)4 ⋅ (−12) = −768 (33) −6 1 ABtC = ⎡⎢ 4 −2⎤⎥ ⎣ ⎦ −6 1 A ⋅ B ⋅ C = 4 −2 = 8 → (x − 1)(x2 − 5x − 5) = 0 → x = 1, (เพราะหลักที่ 3 เป็น a+b+c เท่าของหลักที่ 1) ... จากเมตริกซ์ทสี่ อง นําหลัก 1 ไปบวกหลัก 3 = (−2)2 ⋅ A เมตริกซ 222 1 4 หมายเหตุ (45.1) Math E-Book Release 2.2 (AB)−1 = B−1 ⋅ A −1 ⎡ 1 2⎤ ⎣⎢2 3⎥⎦ −1 เสมอ 1 ⎡ 3 −2⎤ −3 2 = = ⎡⎢ 2 −1⎤⎥ −1 ⎣⎢ −2 1 ⎦⎥ ⎣ ⎦ (คณิต มงคลพิทักษสุข) ด้วย คณิตศาสตร O-NET / A-NET (45.2) = ⎡ cos θ sin θ ⎤ ⎣⎢ − sin θ cos θ ⎦⎥ −1 (55) ใช้ขั้นตอน 1 ⎡cos θ − sin θ ⎤ = ⎡cos θ − sin θ ⎤ 2 ⎢⎣ sin θ cos θ ⎦⎥ cos θ + sin2 θ ⎣⎢ sin θ cos θ ⎦⎥ (45.3) 24 12 = 0 ดังนั้นไม่มีคําตอบ 1 ⎡4 2⎤ ⎡ −1 2⎤ ⋅ −2 ⎣⎢3 1⎦⎥ ⎢⎣ 1 1 ⎥⎦ −2 10 2 −10 = − ⎡⎢ −2 7 ⎤⎥ = ⎡⎢2 −7 ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (46) (47) 2A −1Bt = 2 ⋅ BA −1 t ได้เป็น t −1 2 −2 ⋅ ⎡⎢ −1 −2⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 2 −2⎤ ⎡ −9 −6⎤ ⎢⎣ −1 −2⎦⎥ = ⎣⎢ −4 −2 ⎦⎥ 4 6 A = ⎡⎢8 12⎤⎥ ⎣ ⎦ 4 6 เพราะ 8 12 = 0 (49) (50) จาก → −1 1 2 ⋅ ⎡⎢3 4⎤⎥ ⇒ ⎣ ⎦ หาไม่ได้ ดังนั้นข้อนี้ไม่มคี ําตอบ 1 4 A ⋅ 4 ⎡⎢9 16⎤⎥ = 4I ⎣ ⎦ ⎡ 1 4 ⎤ = A −1 ⋅ I = A −1 ⎢⎣9 16⎥⎦ ⎡1 4 ⎤ ⎢⎣9 16⎥⎦ AB = I แสดงว่า A −1 = B ⎡3 0 −1⎤ ⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎡1⎤ → A −1 ⋅ ⎢1⎥ = ⎢4 2 0 ⎥ ⎢1⎥ = ⎢6⎥ ⎢⎣3 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣3⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ (51) (52) 1 ⎡ 3 −4⎤ ⎡2 2 ⎤ −6 6 ⋅ = ⎢⎡ 5 −4⎥⎤ ⎣ ⎦ 1 ⎢⎣ −2 3 ⎥⎦ ⎢⎣3 0⎥⎦ → b + c = 6 + 5 = 11 X −1 = A −1 ⋅ (B + C)−1 (54) 1 ⎡ 2 −1⎤ 1 ⎡ 1 1⎤ = ⋅ −1 ⎣⎢ −1 0 ⎦⎥ 1 ⎣⎢0 1⎦⎥ 1 I → 2(B − C) = 2 ⎡ 1 0 2⎤ ⎡2 0 = 2 ⎢ 0 1 −1⎥ = ⎢ 0 2 ⎣⎢ −2 −1 −1⎦⎥ ⎣⎢ −4 −2 A(B − C) = → ∴ A −1 −1 t > adj A ⋅ adj(A) adj(A) ⋅ A กับ 0 ⎤ ⎡ −33 0 ⎢ 0 −33 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 −33⎥⎦ ทั้งสองอย่าง 1 33 ⎡ 0 −11 0 ⎤ ⎢ 3 6 −6⎥ ⎢⎣18 −8 −3 ⎥⎦ ⎡ 3 6 −18⎤ M(A) = ⎢ 3 2 −6 ⎥ ⎢⎣ −6 −12 24 ⎥⎦ ⎡ 3 −6 −18⎤ → C(A) = ⎢ −3 2 6 ⎥ ⎢⎣ −6 12 24 ⎥⎦ (56) จาก → det(A) = และ (แถว2) 6(−3) + 3(2) = −12 ⎡ 3 −3 −6⎤ adj(A) = ⎢ −6 2 12 ⎥ ⎢⎣ −18 6 24⎥⎦ 1 ⎡ 3 −3 −6⎤ = − ⎢ −6 2 12 ⎥ = 12 ⎢ −18 6 24⎥ ⎣ ⎦ ดังนั้น ⎡ −1/ 4 1/ 4 1/2⎤ ⎢ 1/2 −1/6 −1 ⎥ ⎢⎣ 3/2 −1/2 −2 ⎥⎦ (57) A = 2 , C = 24 → ∴ B = ก. B−1 = 1 = 1 ข้อนี้ผดิ B−1A −1 12 1 1 = = B ⋅ A 24 C ÷ A = 12 ข้อนี้ผดิ ค. 2Bt = 22 ⋅ B = 48 ข้อนี้ผดิ ง. A2B = A 2 ⋅ B = 48 ถูก (58) = (At)−1 = A t −1 = A −1 = A−1 (เลือกแถว 2 ในการหา det) ตอบ −3 −52 71 = −3(37) = −111 ∴X = −1 >C [หมายเหตุ A ⋅ adj(A) = adj(A) ⋅ A = A ⋅ I เสมอ → แสดงที่มาไว้ในเฉลยข้อ 69] ข. AX + B = A → AX = A − B 1 −1 0 1 = ⎡⎢ 1 2⎤⎥ ⋅ ⎡⎢0 1 ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −2 −1 = ⎡⎢ 1 1 ⎤⎥ ⎣ ⎦ +, − B → X = A −1 ⋅ (A − B) (53) >M det(A) = −33 , A −1 = − A −1 ตอบ det ⎡2 1 −2⎤ ⎡ 0 −3 18 ⎤ A = ⎢ 3 0 0 ⎥ → M(A) = ⎢11 6 8 ⎥ ⎢⎣4 6 −1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 6 −3⎥⎦ ⎡ 0 3 18 ⎤ ⎡ 0 −11 0 ⎤ → C(A) = ⎢ −11 6 −8⎥ → adj(A) = ⎢ 3 6 −6⎥ ⎢⎣ 0 −6 −3 ⎥⎦ ⎢⎣18 −8 −3 ⎥⎦ = A → B = A ⋅A −5⎤ −2⎦⎥ A จาก โจทย์ถาม 1 ⎡ −1 − 3 ⎤ 1 ⎡ −1 3 ⎤ = ⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥ 2 ⎣ 3 −1 ⎦ 2 ⎣ − 3 −1 ⎦ 1 ⎡4 0 ⎤ 1 0 = = ⎡⎢0 1 ⎤⎥ ⎣ ⎦ 4 ⎢⎣0 4⎥⎦ 2 −5⎤ ⎡ (48) ⎢ 1 −2⎥ X = ⎢⎡31 20⎥⎤ − ⎢⎡21 24⎥⎤ = ⎢⎡−21 −−22⎥⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 → X = ⎡⎢ 1 ⎣ 1 −2 5 = ⎢⎡ −1 2⎥⎤ ⎦ 1⎣ เมตริกซ 223 A −1 4⎤ −2⎥ −2⎦⎥ (59) 2A −1 = B → → 2n = 16 2n = B A ∴n = มิติของ A และ B = 4 ตอบ 4 × 4 (60) จาก A2 − 3A + I = 0 → I − 3A = − A2 และ B = 1 A−1 − 3 I → 2BA = I − 3A 2 2 (ได้จากการนํา 2A คูณ) จากนั้น สมการทั้งสอง เท่ากัน จะได้ 2BA = −A2 23 ⋅ B ⋅ 4 = (−1)3(4)2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ∴ B = −1 / 2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET C = (2A + I)(B−1) → (61) C = 2A + I B 21 − 8x −1 1 3 4 ∴ 1 = 2x 7 ÷ 2 1 = → x = 3 −3 A = 1 − c2 → (62) 22 ⋅ A 2 + (1 − c2)3 ⋅ A จากสมการในโจทย์จะได้ −1 = 45 → 4(1 − c2)2 + (1 − c2)2 = 45 → (1 − c2)2 = 9 2 → 1 − c = 3 หรือ −3 นั่นคือ c2 = −2 (ใช้ไม่ได้) หรือ 4 → c = ±2 (63) A = a2 − a → จากสมการในโจทย์จะได้ a⋅ A −1 + 1 ⋅ (2)3 ⋅ A + 4 = 0 4a 1 + 2(a − 1) + 4 = 0 a−1 → 1 + 2(a − 1)2 + 4(a − 1) = 0 (64) ก. ค. 2 → det ทั้งสองข้าง = adj(A) ดังนัน้ adj(A) = A n ⋅ A −1 = A n − 1 โจทย์ขอ้ นี้ A = −6 ∴ adj(A) = (−6)3 − 1 = 36 (68) โจทย์ให้หา adj(B) ก็คอื adj(A−1) พิสูจน์ จาก A −1 = adj(A) A ⋅ A −1 = adj(A) A A −1 ⋅ A = adj(A −1) โจทย์ขอ้ นี้ A = 3 ดังนัน้ ตอบ ก. (69) พิสูจน์ จาก A −1 = adj(A) A → A ⋅ A −1 = adj(A) → ซึ่ง det(B)=0 จึงได้ ดังนัน้ x2 + 24 x = 55 → 7x2 + 24x − 55 = 0 7 7 11 → (7x − 11)(x + 5) = 0 ∴ x ∈ ,−5 7 { B + 3I = 22 ⋅ A −1 ใส่ A นํา คูณทั้งสองข้าง A I − BA = I 4 B = 0 ข้อนี้ถูก 1 1 ง. 2A −1 = = 2A 4 A แต่ 2A−1 = 4 → ข้อนี้ผดิ A (65) M = x(x + 3) + x(3) = x2 + 24 x 7 7 − − 6 1 2 1 และ (2A + A t)(A−1) = 1 9 ÷ 1 3 = 55 7 → = adj(A) → → ( A − 1) I = BA → ( A − 1) = B ⋅ A หรือ A(B + 3I) = 2I → → A ⋅A −1 ดังนัน้ โจทย์จะกลายเป็น ข้อนี้ผดิ (66) A ⋅A → A ⋅ I = A ⋅ adj(A) AB = A ⋅ B = 0 → A = 0 → A 1 2 ⎡5⎤ ⎡ 1⎤ 3 [1 − 1 − 4] ⎢0⎥ − 2 [0 1 2] ⎢ −1⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ หรือ A −1 เปลี่ยน A เป็น A−1 → ดังนัน้ adj(A−1) = A = 3 [1] − 2 [3] = [ −3] ข้อนี้ผด ิ 2 1 2 ข. a2 a = 2a − a = 0 → a = 0 (67) เนื่องจาก AB = BA = I แสดงว่า B−1 = A → โจทย์ถาม det(adj A) พิสจู น์ จาก A−1 = adj(A) → → → 2a2 − 1 = 0 → a = ± เมตริกซ 224 } B + 3I = 2A −1 2 −2 ⎛ 1⎞ x y + 3 = 4 ⋅ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ → 2y + 6 + 2x = −2 → x + y = −4 → (ข้อ 67 ถึง 69 ควรศึกษาขั้นตอนการพิสจู น์ เพือ่ นําไปปรับใช้กับโจทย์นอกเหนือจากนี้) A −1= 0 → A = 1 ab c A = de f gh i (70) จาก สลับ R12 ได้เป็น de f ab c = − A gh i สลับ C23 ได้เป็น d f e a c b = − (− A ) = A g i h นํา 2 คูณ R2 ได้เป็น ดังนัน้ ตอบ (71) ก. R13 2 d f e 2a 2c 2b = 2 A = B g i h เท่า a b c A = p q r = 3 → x y z อีกครั้ง x y z → a b c = 3 p q r สลับ R12 แล้วสลับ (สลับ 2 ครั้ง det เท่า 4, 2, −1 คูณแต่ละแถว 4x 4y 4z → 2a 2b 2c = 3 ⋅ (4)(2)(−1) = −24 = B −p −q −r เดิม) จากนัน้ นํา → ∴ 3B−1 = Math E-Book Release 2.2 33 9 = − −24 8 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ข. จาก a b c A = p q r = 3 → x y z p q r a b c = −3 → x y z R12 → สลับ ทรานสโพส (det ไม่เปลี่ยน) และ นํา -1 คูณหลักที่ 2 p −a x → q −b y = −3 ⋅ (−1) = 3 r −c z หลักที่ 3 บวกหลักที่ 2 จะได้ p −a + x x q −b + y y = 3 = C r −c + z z M23(A) = 5 → (72) 3 t เมตริกซ 225 ∴ 2C−1 = หาค่า 23 8 = C 3 M32(2A)t 3 3 = 2 ⋅ M32(A) = 2 ⋅ M23(A) = 2 ⋅ 5 = 40 ~ ⎡ 1 0 0 −1/ 4 1/ 4 1/2⎤ ⎢2 1 0 0 1/ 3 0 ⎥ ⎢⎣6 0 1 0 1 1 ⎥⎦ −(1/ 4)R1 (1/ 3)R2 ~ −2R1 + R2 −6R1 + R3 (74.1) ⎡ 1 0 0 −1/ 4 1/ 4 1/2⎤ ⎢0 1 0 1/2 −1/6 −1 ⎥ ⎢⎣0 0 1 3/2 −1/2 −2 ⎥⎦ ⎡ 1 −2 ⎤ ⎡ x ⎤ = ⎡ 5 ⎤ ⎢⎣3 2 ⎥⎦ ⎢⎣y ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ −1 1 ⎡ 2 2⎤ ⎡ 5 ⎤ x 1 −2 5 → ⎡y ⎤ = ⎢⎡3 2 ⎥⎤ ⋅ ⎡ −1⎤ = ⎢⎣ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 8 ⎢⎣ −3 1⎥⎦ ⎣⎢ −1⎦⎥ ⎣ ⎦ 1 = ⎢⎡ −2⎥⎤ → ∴ x = 1, y = −2 ⎣ ⎦ −1 ⎡ x ⎤ = ⎡2 −5⎤ ⎢⎣3 −7 ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦ 1 −7 5 1 x → ⎡y ⎤ = ⎡⎢ −3 2 ⎤⎥ ⎡⎢2⎤⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦ 1⎣ ∴ x = 3, y = 1 (74.2) 1 ⋅ ⎡⎢2⎤⎥ ⎣ ⎦ 3 = ⎡⎢ 1 ⎤⎥ ⎣ ⎦ หมายเหตุ 1. M32(A)t = M23(A) เพราะทรานสโพสแล้วค่า det เท่าเดิม −1 4 3 2 5 x 2. ค่า M คือ det ดังนั้นจึงดึง 2 ออกมาได้, แต่ (75) ⎡⎢y ⎤⎥ = ⎢⎡ 3 −1 −1⎥⎤ ⋅ ⎡⎢6⎤⎥ ⎢⎣ −1 2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ต้องกลายเป็น 23 เพราะ M คือ det 3 × 3 (73) แต่ละเมตริกซ์ มีวิธดี ําเนินการได้หลายแบบ หาอินเวอร์ส (ด้วยสูตร adj A / det A ) หลายลําดับ สัน้ ยาวต่างกันไปแล้วแต่คนมอง ในเฉลย ⎡x ⎤ 1 ⎡ 1 1 −1 ⎤ ⎡5⎤ ได้ เ ป็ น ⎢ −2 6 10 ⎥ ⎢6⎥ ⎢y ⎥ = นี้เป็นเพียงแบบหนึ่งเท่านั้น 8 ⎢ 5 −11 −13⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎣⎢ z ⎦⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ A; ~ ~ 1 1⎤ ⎡1 0 −4 −3⎦⎥ ~ ⎣⎢0 1 ⎡ −3 −2 1 0⎤ ⎡ 1 0 1 1⎤ ⎢⎣ 4 2 0 1 ⎥⎦ R2 + R1 ⎢⎣4 2 0 1⎥⎦ −4R1 + R2 ⎡1 0 ⎣⎢0 2 1 R2 2 1 1 ⎤ −2 −3/2⎦⎥ B; ⎡ 5/ 4 ⎤ = ⎢ 9/2 ⎥ ⎢⎣ −27/ 4⎥⎦ ∴x = 5 9 27 ,y = ,z = − 4 2 4 ⎡ 3 2⎤ ⎡ x ⎤ = ⎡ 6 ⎤ ⎢⎣ −4 1 ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦ ⎢⎣14⎥⎦ −22 6 2 3 2 → x = 14 1 ÷ −4 1 = = −2 11 (76) แถว 1 กับแถว 2 เป็น 2 เท่าของกัน แสดงว่า B = 0 จึงไม่สมารถหา B−1 ได้ → ไม่มีคําตอบ (Row Operation จะเกิดแถว 0 0 และทําต่อไม่ได้) แทนลงสมการในโจทย์ ได้ ⎡2 1 −2 1 0 0⎤ C; ⎢ 3 0 0 0 1 0⎥ ⎢4 6 −1 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ~ ~ R12 ⎡ 3 0 0 0 1 0⎤ ⎢2 1 −2 1 0 0⎥ ⎢4 6 −1 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ (1/ 3)R1 −2R3 + R2 ⎡ 1 0 0 0 1/ 3 0 ⎤ ⎢ −6 −11 0 1 0 −2⎥ ⎢⎣ 4 6 −1 0 0 1 ⎥⎦ 6R1 + R2 −4R1 + R3 ⎡ 1 0 0 0 1/ 3 0 ⎤ ⎢0 −11 0 1 2 −2⎥ ⎢⎣0 6 −1 0 −4/ 3 1 ⎥⎦ ~ ~ (−1/ 11)R2 − R3 ~ 6R2 + R3 1/ 3 0 ⎤ ⎡1 0 0 0 ⎢0 1 0 −1/ 11 −2/ 11 2/ 11⎥ ⎢⎣0 −6 1 0 4/ 3 −1 ⎥⎦ 0 1/ 3 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎢0 1 0 −1/ 11 −2/ 11 2/ 11⎥ ⎢⎣0 0 1 −6/ 11 8/ 33 1/ 11 ⎥⎦ ⎡2 −3 2 1 0 0⎤ D; ⎢6 3 0 0 1 0⎥ ⎢0 −3 1 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ~ −2R3 + R1 ~ R2 + R1 R2 + R3 ⎡ −4 0 0 1 −1 −2⎤ ⎢6 3 0 0 1 0⎥ ⎢⎣ 6 0 1 0 1 1 ⎥⎦ ⎡8 0 2 1 1 0⎤ ⎢6 3 0 0 1 0⎥ ⎢6 0 1 0 1 1 ⎥ ⎣ ⎦ (77.1) y = 6 3 3 1 2 3 1 −10 x = 1 2 1 ÷ 1 2 1 = = 2 −5 −2 4 0 −1 4 0 แทนในสมการสุดท้าย ได้ y = 0 จากนั้นแทน x และ y ในสมการใดสมการหนึง่ ที่ เหลือ ได้ z = −1 (77.2) 1 1 1 2 1 1 −9 x = 1 −2 −3 ÷ 1 −2 −3 = = 1 −9 5 2 4 3 2 4 2 1 1 27 → y = 1 1 −3 ÷ (−9) = = −3 −9 35 4 แทน x (77.3) และ y ลงในสมการใดก็ได้ จะได้ z = 2 −1 2 3 1 2 3 −39 13 x = 9 1 −4 ÷ 2 1 −4 = = −27 9 −2 −1 2 1 −1 2 1 −1 3 −21 7 → y = 2 9 −4 ÷ (−27) = = −27 9 1 −2 2 แทน Math E-Book Release 2.2 x, y ลงในสมการใดก็ได้ จะได้ (คณิต มงคลพิทักษสุข) z = −4 / 3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET x ควรใช้กฎคราเมอร์ 1 4 1 2 4 1 20 → x = −2 2 0 ÷ 1 2 0 = = −20 −1 3 −3 2 −1 −3 2 (78) ต้องการหาค่าเฉพาะ (79.1) [A | B] ~ [I | X] ⎡ 1 1 1 10⎤ ⎢3 0 1 13⎥ ⎢2 1 −1 9 ⎥ ⎣ ⎦ ~ 2R2 + R3 ⎡ ⎣ ~ R2 + R3 − R2 ⎡ 1 1 1 10⎤ ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢3 2 0 19⎥ ⎣ ⎦ R1 + R3 −R1 + R2 ~ ⎡ 1 1 1 10 ⎤ ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢7 0 0 25⎥ ⎣ ⎦ ~ ⎢⎢211 −011 001 R13 ~ 25/ 7 ⎤ 3 ⎥ 10 ⎥⎦ (1/ 7)R3 ~ −2R1 + R2 − R1 + R3 ⎡ 1 0 0 25/ 7 ⎤ ⎢0 1 0 29/ 7 ⎥ ⎢0 0 1 16/ 7 ⎥ ⎣ ⎦ ~ ~ ⎡ 1 1 1 10 ⎤ ⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢ 1 0 0 25/7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1 0 0 25/ 7 ⎤ ⎢0 −1 0 −29/ 7 ⎥ ⎢0 1 1 45/7 ⎥ ⎣ ⎦ x = 25/ 7 ∴ y = 29/ 7 z = 16/ 7 ⎡2 1 −1 5 ⎤ ⎢ 3 −2 2 − 3 ⎥ ⎢ 1 −3 − 3 − 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡7 0 0 7 ⎤ ⎢ −5 −6 0 −17 ⎥ สลับ ั แถว....⎢ ⎥ ⎣ 2 1 −1 5 ⎦ (79.2) เมตริกซ 226 ~ 2R1 + R2 −3R1 + R3 ~ (1/ 7)R1 ~ ⎡ 2 1 −1 5 ⎤ ⎢7 0 0 7 ⎥ ⎢ −5 −6 0 −17 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1 0 0 1 ⎤ ⎢ −5 −6 0 −17 ⎥ ⎢ 2 1 −1 5 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 0 0 ⎡1 0 0 1 ⎤ 1 ⎤ ⎢0 −6 0 −12⎥ ⎢0 1 0 2 ⎥ 5R1 + R2 ⎢ 2 ⎢0 −1 1 3 ⎥⎦ (−−1/R6)R −3⎥⎦ −2R1 + R3 ⎣0 1 −1 ⎣ 3 ⎡1 0 0 1 ⎤ x = 1 ⎢0 1 0 2 ⎥ ∴ y = 2 R2 + R3 ⎢ ⎥ z = −1 ⎣0 0 1 −1⎦ ~ ⎡1/ x ⎤ ⎡3⎤ ⎢ y⎥ = ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ z ⎦⎥ ⎣⎢ −2⎦⎥ 2 3 1 −10 ÷ 1 2 1 = = 2 −5 −1 4 0 ⎡ 2 3 1⎤ ⎢ 1 2 1⎥ ⎢⎣ −1 4 0⎥⎦ 3 3 1 1 → = 1 2 1 x −2 4 0 (81.2) ∴ x = 1/2 แทนลงในโจทย์ ได้ (82) ย้ายข้าง.. ⎡ 1 0 2⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡x ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢2 −1 1 ⎥ ⎢2 ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢⎣5 1 2⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ∴y = 0 (83) (s + 1) x + (s + 2) y = s .....(1) sx + (s − 1) y = 0 .....(2) ⎡x ⎤ = ⎡ s ⎤ → ⎢⎣0⎦⎥ ⎣⎢y ⎦⎥ s s +2 s + 1 s +2 x = 0 s −1 ÷ s s −1 ⎡ s + 1 s +2⎤ ⎣⎢ s s − 1 ⎦⎥ = s(s − 1) s(s − 1) = − (s + 1)(s − 1) − s(s + 2) 2s + 1 และ = ใช้กฎคราเมอร์ช่วย y = s+1 s s + 1 s +2 s 0 ÷ s s −1 −s2 s2 = (s + 1)(s − 1) − s(s + 2) 2s + 1 (84) ⎡ 1⎤ A2(adj A) X = A ⋅ AX = ⎢6⎥ ⎣⎢0⎦⎥ A ได้ 6 ดังนัน ้ ⎡ 1 2 3⎤ ⎡p ⎤ ⎡1/6⎤ ⎢0 −1 0⎥ ⎢q⎥ = ⎢ 1 ⎥ → กฎคราเมอร์ ⎢⎣2 1 0⎥⎦ ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ 1/6 2 3 1 2 3 3 1 = p = 1 −1 0 ÷ 0 −1 0 = 6 2 0 1 0 2 1 0 หาค่า (80) เนื่องจาก สมการที่ (1) กับ (3) มีสัมประสิทธิ์ เป็น −2 เท่าของกัน ..ดังนั้น A = 0 ทําให้หา คําตอบที่แน่นอนชุดหนึ่งไม่ได้ (80.1) สมการ (1) กับ (3) ขัดแย้งกัน ไม่มีคําตอบ (80.2) สมการ (1) กับ (3) เป็นสมการเดียวกัน (85) หาคําตอบได้เสมอเมื่อ (จึงเหลือแค่ 2 สมการ) ... มีคําตอบหลายชุด 2 ⎡2 0 1 ⎤ ⎡1/ x ⎤ ⎢4 2 0⎥ ⎢1/ y ⎥ ⎢⎣0 3 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1/ z ⎥⎦ 00 1 2 0 1 → = 420 ÷ 42 x 2 3 1 0 3 (81.1) ∴x = 2 ⎡0 ⎤ = ⎢4 ⎥ ⎣⎢2 ⎦⎥ 1 8 1 0 = = 16 2 1 แทนลงในโจทย์ ได้ y = 1, z = −1 y = 0, z = −1 A ≠ 0 ∴ a − a − 2 ≠ 0 → (a − 2)(a + 1) ≠ 0 → a ≠ 2, −1 (86) ⎡1 2 ⎢2 3 ⎢⎣ −1 0 แสดงว่า a⎤ b⎥ c ⎥⎦ ~ −2R1 + R2 ⎡ 1 2 3⎤ ⎢ 0 −1 −1⎥ ⎣⎢ −1 0 2 ⎦⎥ a = 3, b − 2a = − 1 → b = 5, c = 2 ⎡ 1 2 3⎤ ⎢ 2 3 5⎥ ⎣⎢ −1 0 2 ⎥⎦ 1 2 3 1 2 3 x = 1 35 ÷ 2 35 002 −1 0 2 ดังนัน้ จะได้สมการ และ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ⎡ 1⎤ ⎡x ⎤ ⎢y ⎥ = ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎣⎢0⎦⎥ = 2 = −2 / 3 −3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 227 ˜ v ⋅ cTR º··Õè 10 eÇ¡eµoà ปริมาณในโลกมีสองชนิด คือ ปริมาณสเกลาร์ (Scalar Quantity) และปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantity) โดยที่ปริมาณสเกลาร์นั้นระบุเฉพาะขนาด เช่น ระยะเวลา มวล ราคาสิ่งของ แต่ปริมาณเวกเตอร์ นั้นจะระบุทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม บทเรียนเรื่องเวกเตอร์นี้เป็น พื้นฐานที่สําคัญของวิชากลศาสตร์ ไฟฟ้า และอื่นๆ การเขียนปริมาณเวกเตอร์จะใช้รูปลูกศร โดยให้ความยาวลูกศรแทนขนาด และหัวลูกศร ชี้บอกทิศทาง เช่น จากภาพ เวกเตอร์มี “ขนาด” 4 หน่วย และมี “ทิศทาง” ทํามุม 45° กับแกน x ในทิศทวนเข็มนาฬิกา AB เขียนชื่อเวกเตอร์ ตามจุดเริ่มและจุดสิ้นสุดของลูกศร เช่น ˜ B หรือใช้ตัวพิมพ์เล็ก (ที่เติมขีดด้านบน) ก็ได้ เช่น u, v, w u ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า u y D เวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ มีขนาด B 45° x เท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน (ไม่จําเป็นต้อง A มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกัน เช่น ˜ AB = ˜ CD ก็ได้ ถ้ามีขนาดเท่ากัน และทิศ C เดียวกัน ดังภาพ) A Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 228 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ เวกเตอร์บวกกัน สามารถหาผลลัพธ์ได้สองวิธี คือ หัวต่อหาง และหางต่อหาง 1. หัวต่อหาง ให้นําเวกเตอร์มาเขียนต่อกัน โดยเอาหางลูกศรใหม่มาวางต่อที่หัวลูกศรเดิม เวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ คือเวกเตอร์ที่ลากจากหางแรกสุด ไปถึงหัวลูกศรปลายสุด ˜ ˜ ˜ AB + BC = AC ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD u v v v w u u u+v w u+v+w 2. หางต่อหาง ให้นําหางเวกเตอร์ชนกัน แล้วต่อเติมรูปให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ คือเวกเตอร์ที่ลากจากหางทีช่ นกัน ไปสุดแนวทแยงมุมสี่เหลี่ยมด้านขนาน ˜ ˜ AB + ˜ AD = AC ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD u v w u+v+w u u+v v u+v w การบวกเวกเตอร์ มีสมบัติเหมือนการบวกจํานวนจริงทุกประการ ได้แก่ สมบัติปิด, สมบัติการสลับที่, สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม, การมีเอกลักษณ์, และการมีอินเวอร์ส u+v = v +u (u + v) + w = u + (v + w) เอกลักษณ์การบวกของเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์ศูนย์ ( 0 ) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 0 หน่วย u +0 = u u +(−u) = 0 “นิเสธของ u ” หรืออินเวอร์สการบวก เขียนสัญลักษณ์ว่า AB = ˜ BA นั่นเอง ทิศตรงข้ามกับ u หรือกล่าวว่า − ˜ −u หมายถึง เวกเตอร์ขนาดเท่ากันแต่ u − v = u +(− v) การลบเวกเตอร์ เป็นการบวกด้วยนิเสธ ดังนั้นสามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้จากวิธีการบวก ทั้งสองวิธี คือหัวต่อหาง และหางต่อหาง −v u v u−v u u−v u −v หรือหาได้จากวิธีหางต่อหางแบบใหม่ ให้เขียนเวกเตอร์ตัวตั้งและตัวลบแบบหางชนกัน เวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะลากจากปลายลูกศรของตัวลบ มายังปลายลูกศรของตัวตั้ง ˜ AB − ˜ AD = ˜ DB ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 229 u u v u−v v ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ หาได้จากกฎของโคไซน์ในเรื่องตรีโกณมิติ ซึ่งสรุปได้ดังนี้ (และสามารถนําขนาดที่ได้ไปคํานวณหาทิศทาง โดยกฎของไซน์กับรูปสามเหลี่ยม) 2 2 2 2 u+v = u + v + 2 u v cos θ u −v = u + v − 2 u v cos θ เมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u กับ v S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ÁuÁ θ ÃaËÇÒ§ u ¡aº v ¨aµo§Ça´¢³a¹íÒËÒ§µoËÒ§eÊÁo¹a¤Ãaº æÅaÁÕ¢¹Ò´äÁe¡i¹ 180 o§ÈÒ a θ a2+ b2− 2 a b cos θ a a2+ b2+ 2 a b cos θ θ b b แบบฝึกหัด 10.1 (1) กําหนดเวกเตอร์ u และ ต่อหาง (สี่เหลี่ยมด้านขนาน) v ดังภาพ ให้วาดรูปหา u+v และ u−v โดยวิธีหัวต่อหาง และหาง (2) ให้เขียนเวกเตอร์แสดงการเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 40 กม.ต่อ ชม. ไปทางทิศตะวันออก และ 60 กม.ต่อ ชม. ไปทางทิศตะวันตกเฉียงใต้ (3) ให้เขียนเวกเตอร์ขนาด 10 หน่วย ทิศ 030 ° , เวกเตอร์ 12 หน่วย ทิศ 135 ° , และเวกเตอร์ 5 หน่วย ทิศ 330 ° หมายเหตุ การบอกมุมในระบบ 3 หลัก (Three Figure System) จะให้ทิศเหนือเป็น 000 องศา และเพิ่มขึ้นในทิศตามเข็มนาฬิกา (เช่น 090 องศา แทนทิศตะวันออก, 180 องศา แทนทิศใต้) (4) ถ้า u แทนระยะทาง 50 กม. ในทิศ 170 ° จะได้ว่า −u คืออะไร (5) นาย ก ออกเดินทางไปในทิศ 030 ° เป็นระยะทาง 1,000 กม. แล้วเดินทางต่อในทิศ เป็นระยะทาง 500 กม. จงหาว่าเขาอยู่ทางทิศใดของจุดเริ่มต้น และอยู่ห่างเท่าใด 150 ° (6) เครื่องบินออกแรงบินไปทางทิศเหนือด้วยความเร็ว 240 กม.ต่อ ชม. ในบริเวณที่มีพายุพัดไปใน ทิศตะวันออกด้วยความเร็ว 180 กม.ต่อ ชม. ถามว่า ความเร็วของเครื่องบินจะเป็นเท่าใด (7) เครื่องบินออกแรงบินด้วยความเร็ว 200 กม.ต่อ ชม. ไปในทิศ 030 ° ถ้ากระแสลมพัดด้วย ความเร็ว 50 กม.ต่อ ชม. ไปในทิศ 330 ° จงหาอัตราเร็วของเครื่องบินที่แท้จริง (8) ชายคนหนึ่งพายเรือในน้ํานิ่งได้อัตราเร็ว 4 กม.ต่อ ชม. ถ้าเขาต้องการเดินทางไปทางทิศเหนือ ขณะที่กระแสน้ําไหลไปทางทิศตะวันตกด้วยอัตราเร็ว 3 กม.ต่อ ชม. แล้ว เขาต้องออกแรงพายเรือไป ในทิศใด ด้วยอัตราเร็วเท่าใด จึงได้อัตราเร็วเท่ากับการพายปกติในน้ํานิ่ง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 230 ˜ (9) เวกเตอร์ ˜ AB มีขนาด 6 หน่วย ขนานแกน x โดยมีทิศทางไปในแนว + x และเวกเตอร์ AC AB โดยมีขนาดเท่ากัน จงหาขนาดและทิศทางที่เป็นไปได้ของเวกเตอร์ ทํามุม 60 ° กับเวกเตอร์ ˜ ˜ ˜ ˜ u = AB + AC และ v = ˜ AB − AC (10) จงหา u+v เมื่อ u กับ v ทํามุมกัน 0 ° , 90 ° , 180 ° (11) จงหา u−v เมื่อ u กับ v ทํามุมกัน 0 ° , 90 ° , 180 ° (12) ถ้า u+v +w = 0 (13) กําหนดให้ u จงหาค่า u + v + w และ = 1, u = 2, v = 4, w = 2 w = 3, w v = 2, ตั้งฉากกับ v (14) กําหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถ้า u = 4 , v = 3 , u − v = 25 + 12 3 จงหามุมระหว่าง (15) ถ้า u = 10 , (16) [Ent’35] ถ้า v = 5, u + v = 12 จงหา u = 4 , v = 3 , u+v = 6 (17) ถ้า u = 4, v = 5, (18) ถ้า u = v และ u จงหามุมระหว่าง ตั้งฉากกับ u กับ v v และ u+v และมีทิศเดียวกับ u กับ u v u−v u −v จงหา จงหา ที่ทําให้ u−v จงหา 2 u + v +3 u −v u+ v = 2 u−v (19) [Ent’37] เวกเตอร์ u , v , w มีสมบัติว่า u = w และ u − v = v + w ถ้ามุมระหว่าง u กับ v เป็น π แล้ว มุมระหว่าง v กับ w เป็นเท่าใด 5 AB| = 2 (20) กําหนด ABCDEF เป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มี O เป็นจุดกึ่งกลาง และ |˜ ซม. เวกเตอร์ใดต่อไปนี้ยาวกว่า 4 ซม. ˜ ˜ AD + ˜ FD AB + ˜ ED FO + DO OD + OB ข. ˜ ค. ˜ ง. ˜ ก. ˜ 10.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ผลที่ได้จากการคูณเวกเตอร์ u ด้วยสเกลาร์ a เป็นดังนี้ 1. ถ้า a = 0 จะได้ au = 0 2. ถ้า a > 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกันกับ u แต่มีขนาดเป็น a ⋅ u 3. ถ้า a < 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศตรงข้ามกับ u และมีขนาดเป็น a ⋅ u การคูณด้วยสเกลาร์ มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง เช่นเดียวกับจํานวนจริง นั่น คือ a (bu) = (ab) u , (a+b) u = au + bu , และ a (u + v) = au + av ความสัมพันธ์ของ “การคูณด้วยสเกลาร์” และ “การขนานกันของเวกเตอร์” เมื่อ u ≠ 0 และ v ≠ 0 จะได้ทฎษฎีว่า 1. u จะขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ มีค่า a ≠ 0 ที่ทําให้ u = av 2. ถ้า u ไม่ขนานกับ v , หาก au + bv = 0 แสดงว่า a = 0 และ b = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 231 แบบฝึกหัด 10.2 (21) กําหนดให้ u + 4v = 3v − 2w และ ถ้า w = 12 จงหาค่า u + v + w (22) u = 2v − w โดยที่ v = จงหามุม θ ระหว่าง u กับ v w = 1 3v − 4w = 2w + 5u และมุมระหว่าง v กับ w เป็น 120 ° (23) กําหนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u ขนานกับ v จงหาค่า x ที่ทาํ ให้ (x2+ 6x − 2) u − v = (x − 2x2) u + x v (24) กําหนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u จะขนานกับ v เมื่อ x มีค่าเท่าใด (x2− 5) u − v = (1 − x) u − 3 v (25) กําหนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ (x2− 5) u − v u กับ v จะมีทิศทางเดียวกัน เมื่อ x มีค่าเท่าใด (26) u กับ v มีทิศทางเดียวกัน ถ้า = (1 − x) u − 3 v แล้ว แล้ว 2 2 u + (6 − 3x2) v = 100 u + v 5 3 จงหาค่า x (27) กําหนดให้ u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u ไม่ขนานกับ v จงหาค่า x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ xu + (x −8) v = (2+2y) u − yv (28) u ≠ 0 , v ≠ 0 และ u กับ v ไม่ขนานกัน ถ้า 3u + 8v = a (3u + v) + b (u − 2v) จงหาค่า a และ b (29) ถ้า u ไม่ขนานกับ จงหาค่า a กับ b ที่ทําให้ v และ w = (a + 4b) u + (2a+b + 1) v , s = (b −2a +2) u + (2a − 3b − 1) v 3w = 2s 10.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิต เราสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ พิสูจน์ส่วนประกอบของรูปเรขาคณิตหลายเหลี่ยมได้ รวมทั้งแก้โจทย์ปัญหาประเภท “เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่น” เทคนิคที่ใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาแบบนี้ คือ .. (ดูตัวอย่างประกอบ) 1. เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมของเวกเตอร์อื่น แบบใดก็ได้ก่อน 2. พยายามเปลี่ยนเวกเตอร์ที่ไม่ต้องการ เป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่ต้องการ ไปทีละขั้นๆ 3. เมื่อเหลือเพียงเวกเตอร์ที่ต้องการแล้ว ก็จัดเป็นรูปอย่างง่าย แล้วจึงตอบ 4. บางครั้งเราต้องอาศัยสมการเวกเตอร์อื่น เพื่อช่วยแปลงให้เป็นเวกเตอร์ที่ต้องการ ตัวอยาง [Ent’35] สี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มีจุด AB ในเทอมของ ˜ AM กับ ˜ AN จงหา ˜ M และ N อยูท ี่กึ่งกลางดาน วิธีคิด วาดภาพตามโจทยไดดังรูป Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) BC และ CD ตามลําดับ คณิตศาสตร O-NET / A-NET A AB ในเทอมของเวกเตอรใดๆ กอน เริ่มตน เขียน ˜ ˜ ˜ ˜ ____________________ (1) เชน AB = AM + MB ˜ ใหเปน ˜ AN ใหได จากนั้นพยายามเปลี่ยน MB AM หรือ ˜ ˜ ˜ • จากรูป เราเชื่อม MB กับ AN ไดดังนี้ • B M D ˜ AB = ˜ AN + ˜ NC + ˜ CB 1˜ ˜ ˜ = AN + AB + 2 MB C N เวกเตอร 232 ˜ หรือจัดรูปสมการไดวา MB 2 1˜ 1 = AB − ˜ AN 4 2 _________________ (2) 1 1 เมื่อแทนคาจากสมการ (2) ลงใน (1) ก็จะไดคําตอบ ˜ AB = ˜ AM + ( ˜ AB − ˜ AN) 4 2 = 4˜ 2 AM − ˜ AN 3 3 ตอบ แบบฝึกหัด 10.3 (30) [Ent’26] สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มีจุด P เป็นจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน จุด Q อยู่บนด้าน AD = v จงหา ˜ AB โดย AQ : QB = 3 : 5 ถ้า ˜ AB = u และ ˜ PQ ในรูปของ u กับ v EF | : |˜ FB | = 2 : 1 จงหา ˜ (31) จากภาพ |˜ AF ในรูปผลรวมของ a กับ b E D 4a D N F A b a 2a B C M A ข้อ (31) O C B ข้อ (32) (32) จากภาพจุด B แบ่งครึ่งด้าน AC , จุด M แบ่งครึ่งด้าน AD , และจุด N กับ O แบ่งด้าน DC ˜ ในรูปของ a กับ b ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ถ้า ˜ AB = a และ ˜ BD = a + b ให้หา MN AD , ˜ BE , ˜ (33) สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ให้ ˜ AB = a และ ˜ AC = b ถ้า ˜ CF คือมัธยฐานของสามเหลี่ยม ตัดกันที่จุด O จงเขียน ˜ DO ในรูปของ a กับ b 1 (34) สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จุด E อยู่บน CB โดย ˜ CE = ˜ CB , จุด F เป็น 3 ˜ = b CA จงหาค่า a กับ b = ˜ AD| : |DC| = m : n (35) ให้ D เป็นจุดแบ่งด้าน AC ของสามเหลี่ยม ABC โดยที่ |˜ BD ในเทอมของ ˜ BA กับ ˜ BC จงหา ˜ DE , หาก ˜ จุดตัดของ ˜ AC กับ ˜ EF ˜ a ˜ ED และ CF (36) สามเหลี่ยม ABC มีจุด D กับ E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB กับ AC ตามลําดับ ให้พิสูจน์ว่า 1 DE ขนานกับ ˜ (36.1) ˜ BC (36.2) ˜ DE = ˜ BC 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 233 (37) ในสี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่ง จงพิสูจน์ว่า ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ ขนานกันนั้น จะขนานกับฐาน และยาวเป็นครึ่งหนึ่งของผลบวกด้านคู่ขนาน 10.4 เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย เวกเตอร์ที่กล่าวถึงที่ผ่านมาทั้งหมด เป็นการมองในพิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinate หรือ คืออ้างถึงเวกเตอร์ใดๆ ด้วยค่า ขนาด (ความยาว) และทิศทาง (มุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจาก แกน +x) แต่นอกจากนั้นเรายังสามารถอ้างถึงเวกเตอร์เหล่านี้ในพิกัดฉาก (Cartesian Coordinate หรือ x −y ) ได้ ด้วยค่าทิศทางในแนวนอน (Δx) และแนวตั้ง (Δy) ดังภาพ P (3,4) u B (x2,y2) r−θ ) ˜ AB A (x1,y1) O ⎡ Δx ⎤ ⎡ x2 − x 1 ⎤ = ⎢ ⎥ = ⎢ Δ y ⎣ ⎦ ⎣ y2− y 1 ⎥⎦ ⎡3⎤ u = ⎢ ⎥ ⎣4 ⎦ R (2,-2) ⎡3⎤ v = ⎢ ⎥ ⎣4 ⎦ v Q (-1,-6) S e¾ièÁeµiÁ! S y2 − y 1 ⎤ ÃaÇa§oÂÒe¼ÅoeoÒ y oÂÙº¹ x oÂÙÅÒ§! 溺¹Õé¹a¤Ãaº ⎡⎢ x2 − x 1 ⎥⎦ ⎣ (e»¹e¾ÃÒaÇÒe¤Âªi¹¡aºÊÙµÃËÒ¤ÇÒÁªa¹) ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้ว กับพิกัดฉาก Δx = r cos θ Δy = r sin θ r = (Δx)2 + (Δy)2 tan θ = (Δy/ Δx) = ความชัน เวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ Δx เท่ากัน และ Δy เท่ากัน เช่น ในภาพ u = v เวกเตอร์สองอันจะขนานกัน ( u & v ) ก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน (การขนานกันนั้น มีทั้งแบบทิศเดียวกันและทิศตรงข้ามกัน) และเวกเตอร์สองอันจะตั้งฉากกัน ( u ⊥ v ) ก็ต่อเมื่อความชันคูณกันได้ –1 การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ จะได้ผลเช่นเดียวกับเมตริกซ์ นั่นคือ ⎡a⎤ ⎡c ⎤ ⎡a+ c⎤ ⎢b ⎥ + ⎢d⎥ = ⎢b + d⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ หมายเหตุ บางตําราใช้ ⎡⎣a , b ⎤⎦ ⎡ka ⎤ ⎡a ⎤ k ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣b ⎦ ⎣kb ⎦ แทน ⎡a⎤ ⎢b ⎥ ⎣ ⎦ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector) ก็คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สําคัญในระบบพิกัดฉาก มีอยู่ 2 ตัว ได้แก่ i กับ j โดย i แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง +x และ j แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง +y นั่นคือ i = ⎡⎢01 ⎤⎥ และ j = ⎡⎢01 ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ เราสามารถเขียนเวกเตอร์ ใดๆ ในรูป “ผลรวมเชิงเส้นของ i กับ j ” ได้เสมอ นั่นเอง ซึ่งการเขียนในรูปแบบ a i + b j นั้นก็เป็นที่นิยมกว่า ⎡⎢ba⎤⎥ ⎣ ⎦ ˜ ส่วนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางของ AB ใดๆ (ที่ไม่ใช่ 0 ) สามารถสร้างได้จากการนํา ˜ AB AB มาหาร (เพื่อทําให้ขนาดเหลือเพียง 1 หน่วย) เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า ขนาดของ ˜ ˜ |AB| หรือ ⎡a⎤ ⎢b ⎥ = a i + b j ⎣ ⎦ ⎡a⎤ ⎢b ⎥ ⎣ ⎦ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 234 แบบฝึกหัด 10.4 (38) จงเขียน ˜ PQ ให้อยู่ในระบบแกนฉาก เมื่อกําหนดจุดดังนี้ (38.1) P (2, 4), Q (3, 7) (38.2) PQ (39) ถ้า ˜ ⎡ − 3⎤ = ⎢ ⎥ ⎣2⎦ ให้หา Q (−2, −5) (39.1) จุดเริ่มต้น เมื่อสิ้นสุดที่ (39.2) จุดสิ้นสุด เมื่อเริ่มต้นที่ (40) คู่อันดับ (41) P (−2, 3), Q (4, −5) P (4, −6) A (3, −4), B (6, 3), C (7, −1) ⎡3⎤ ⎡2⎤ ⎡ − 3⎤ u = ⎢ ⎥, v = ⎢ ⎥, w = ⎢ ⎥ 4 2 − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣4⎦ ˜˜ AB, AC, BC พร้อมขนาด จงหาเวกเตอร์ ˜ จงหา 2u − 3v + w 2u − 3v + w และ (42) เวกเตอร์ในแต่ละข้อ ขนานกันหรือไม่ ถ้าขนานให้บอกว่ามีทิศเดียวกันหรือตรงข้ามกัน (42.2) ⎡⎢−04⎤⎥ กับ ⎡⎢ −02⎤⎥ (42.1) ⎡⎢04⎤⎥ กับ ⎡⎢ −02⎤⎥ (42.3) (43) ⎣ ⎦ ⎡0⎤ ⎢3⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ กับ ⎦ ⎡ − 3⎤ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ (42.4) ⎡3⎤ ⎡2⎤ ⎡ − 1⎤ u = ⎢ ⎥, v = ⎢ ⎥, w = ⎢ ⎥ 4 1 − ⎣2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (44) ให้เขียนเวกเตอร์ ⎡6⎤ w = ⎢ ⎥ ⎣9⎦ จงเขียน w ในรูปของ ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ AB (45) สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มี ˜ ⎦ ⎡ 7 ⎤ ⎢ − 14⎥ ⎣ ⎦ ⎣ กับ ⎦ ⎡ 1⎤ ⎢ −2⎥ ⎣ ⎦ au + bv ⎡4⎤ ⎡ 1⎤ u = ⎢ ⎥, v = ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ ⎣4⎦ ⎡2⎤ ⎡3⎤ AD = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, ˜ − 3 ⎣ ⎦ ⎣4 ⎦ จงหาผลบวกของกําลังสองของความ ยาวเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้น (46) กําหนดให้ (46.1) (46.4) ⎡3⎤ ⎡ − 4⎤ ⎡5⎤ u = ⎢ ⎥, v = ⎢ ⎥, w = ⎢ ⎥ ⎣ 1⎦ ⎣ − 3⎦ ⎣ −2⎦ u (46.2) (46.5) u + v จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูป ⎡3⎤ ⎡ −2⎤ u = ⎢ ⎥, v = ⎢ ⎥ ⎣ − 4⎦ ⎣8⎦ j กับ (46.3) v w 2u − w (47) กําหนดคู่อันดับ A (−1, 2), B (−4, −2), C (−3, 4), D (2, −16/3) จงหา ˜ AB − 3 CD ในรูป i กับ j AB (47.2) |2 ˜ (47.1) 2 ˜ (48) กําหนดให้ i ˜ − 3 CD| จงหา (48.1) เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ u (48.2) เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางตรงข้ามกับ v (48.3) เวกเตอร์ขนาด 3 หน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ u + v (48.4) เวกเตอร์ขนาดเท่ากับ u − v และมีทิศทางเดียวกับ u + v PQ ซึ่งมีขนาด 15 หน่วย, จุด P คือ (2, 4) จงหาจุด Q (49) ถ้า u = 3 i + 4 j ขนานกับ ˜ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (50) กําหนดจุด เวกเตอร 235 P (c, d) Q (c + a, d+b) และ จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทิศตรงข้ามกับ ˜ PQ (51) [Ent’30] จงหาเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ − 1 i + 1 j 2 3 2 หน่วย ทํามุม 45 ° กับเวกเตอร์ j 2 10.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์ การคูณเวกเตอร์คู่หนึ่ง จะเกิดผลลัพธ์ได้ 2 แบบ คือ 1. การคูณแบบดอท (Dot Product) u ⋅v ให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ (ตัวเลข) หรือเรียกว่าผลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar Product) ก็ได้ 2. การคูณแบบครอส (Cross Product) u× v ยังคงให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ หรือเรียกว่าผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Vector Product) ก็ได้ ⎡a ⎤ ⎡c ⎤ ⎢b ⎥ ⋅ ⎢d⎥ = (a i +b j) ⋅ (c i + d j) = ac + bd ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ นิยาม การคูณแบบดอท ในพิกัดฉาก... การคูณแบบดอท ในพิกัดเชิงขั้ว... u ⋅ v = u v cos θ เราสามารถใช้สมการทั้งสองร่วมกัน ในการคํานวณเกี่ยวกับมุม ระหว่าง θ u กับ v ได้ ข้อสังเกต การหาขนาดผลรวมเวกเตอร์ด้วยกฎของโคไซน์ อาจเขียนใหม่ได้ว่า 2 2 2 2 u+v = u + v + 2 (u ⋅ v) u −v = u + v − 2 (u ⋅ v) เมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u สมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบดอท • • • u ⋅v = v ⋅u u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w a (u ⋅ v) = a u ⋅ v • u ⋅u = u • 0⋅u = 0 • u ⋅v = 0 กับ v 2 ↔ u ⊥ v สูตรในการหาพื้นที่สามเหลี่ยม เมื่อมีด้านประชิดเป็นเวกเตอร์ u กับ v และมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น θ คือ 1 u 2 θ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ v u v sin θ u v sin θ แบบฝึกหัด 10.5 (52) จงหา u ⋅ v เมื่อ (52.1) u = ⎡⎢−34⎤⎥ , ⎣ (52.3) ⎦ u = 3 i −5 j ⎡2⎤ v = ⎢ ⎥ ⎣ − 3⎦ , v = −4 i +2 j Math E-Book Release 2.2 (52.2) (52.4) ⎡ −2⎤ ⎡ 4 ⎤ u = ⎢ ⎥, v = ⎢2⎥ 10 − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 4 u = i − j , v = 2 i −5 j 4 5 (คณิต มงคลพิทักษสุข) และ คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 236 (53) กําหนดคู่อันดับ A (3, −2), B (−3, 5), C (2, 4) จงหา ˜+˜ ˜⋅ ˜ ˜ ⋅ (BC BC (53.2) AB AC) (53.1) AB (54) จงหามุมระหว่าง u กับ v เมื่อกําหนด (54.1) u = 2 i −2 3 j , v = 3 i + j (54.2) u = 2 3 i +2 j , v = −3 3 i + 3 j (54.3) u = 2 i + 3 j , v = −3 i +2 j (55) จงแสดงว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยอาศัยการคูณเวกเตอร์ เมื่อกําหนด คู่อันดับดังนี้ A (2, 2), B (6, 4), C (10, −14) และให้บอกว่ามุมใดเป็นมุมฉาก (56) u = −i+j (57) ถ้า u กับ และ v v = 2 i +x j ทํามุมกัน 60 ° ถ้ามุมระหว่าง และ u v กับ u = 2, v = 3 เป็น 135 ° จงหาค่าของ x จงหามุมระหว่าง v −u กับ u (58) [Ent’38] กําหนด u = 3 i −4 j และ u (u − v) = 24 จงหา v cos θ เมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u กับ v ˜ OP = 3 i −4 j , OQ = 12 i +5 j ลากเวกเตอร์ ˜ (59) ˜ QR ตั้งฉาก ˜ OP ที่จุด R จงหา ˜ OR (60) กําหนดให้ A (1, 1), B (−1, −2), C (7, 3), D (6, 5) เป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยม ABCD ให้หา ขนาดของมุมแหลม ที่เกิดจากเส้นทแยงมุมตัดกัน (61) จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมตามที่กําหนด ˜ OA = 3 i +5 j , OB = 8 i +2 j (61.1) สามเหลี่ยม OAB เมื่อ ˜ ˜ AB = 2 i +2 j , AC = −3 i + 3 j (61.2) สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เมื่อ ˜ (61.3) สามเหลี่ยมที่มี u + v กับ u − v เป็นด้านสองด้าน เมื่อ u = 2 i − j , v = i + j AB ⋅ ˜ AD = 3 จงหาค่า (62) ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีพื้นที่ 24 ตารางหน่วย และ ˜ ˆ tan(DAB) เมื่อ (63) [Ent’36] ˆ A เป็นมุมแหลม ⎡2⎤ ⎡ 1⎤ u = ⎢ ⎥, v = ⎢ ⎥ − 5 ⎣2⎦ ⎣ ⎦ ถ้า u ⋅ w = −11 และ AB = u , ˜ (64) กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ที่มี ˜ BC w = 15 และ u ⋅ v = 28 จงหาค่า w (v − 2u) v ⋅w = 8 = v, ˜ CA = w (65) ให้นิยาม u ∗ v = (ac + bd) i − (bc − ad) j เมื่อ u = a i +b j , ถ้า a = 3 i −4 j , b = 2 i −3 j , c = 3 i +2 j จงหา a ⋅ (b ∗ c) (66) ถ้า u+v+w = 0 , u = 2 , v = 3 , w = 4 จงหา u = 3 i −4 j , v = 2 i −3 j ถ้า a u = 7, v = c i +d j c = −5 i +5 j เป็น unit vector ที่ตั้งฉากกับ u จงหาค่า (69) เวกเตอร์ใดประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก Math E-Book Release 2.2 โดย u ⋅v (67) [Ent’33] กําหนดเวกเตอร์ a = x i + y j , b = 4 i −3 j และ ถ้า a ⊥ b , a = 3 และ a ⋅ c > 0 จงหาค่า x + y (68) w−v จงหา (คณิต มงคลพิทักษสุข) v ⋅ a คณิตศาสตร O-NET / A-NET ก. ค. เวกเตอร 237 3 i +2 j , i +5 j , 2 i + 3 j ข. ง. 3 i −2 j , − i −5 j , 2 i + 3 j (70) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด ก. ถ้า cos2 θ = 1 โดย ข. 2 i + j ตั้งฉากกับ − θ เป็นมุมระหว่าง u 3 i −2 j , i −5 j , 2 i + 3 j 3 i −2 j , 2 i + 3 j , − 3 i +2 j กับ v u& v แล้ว 6 12 i + j 5 5 ค. (u + v) ⋅ (u + v) = u ⋅ u + 2 u ⋅ v + v ⋅ v ง. ถ้า u = 3 i −4 j , v = 2 i + j แล้วมุมระหว่าง u กับ ˜ P 1 PQ ⋅ RQ (71) [Ent’32] จากภาพ จงหา ˜ 3 O 60° v เป็น arccos(2/5 5) Q R 10.6 เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ ในเนื้อหาเรขาคณิตวิเคราะห์ได้กล่าวไปแล้วว่า (1) ใน ระนาบ (Plane : R2 ) หนึ่งๆ เราจะอ้างถึงตําแหน่งหรือจุดใดๆ ได้ด้วยค่า พิกัด (Coordinate) โดยระบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือระบบ พิกัดฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบด้วยแกนอ้างอิง 2 แกนที่ตั้งฉากกัน ณ จุดกําเนิด (จุด O) เรียกชื่อแกนนอนและแกนตั้ง ว่า แกน x และ y ตามลําดับ (2) แกนทั้งสองแบ่งพื้นที่ในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วน เรียกแต่ละส่วนว่า จตุภาค (Quadrant) (3) การอ้างถึงพิกัดในระบบพิกัดฉาก นิยมเขียนในรูป คู่อันดับ (Ordered Pair) ที่สมาชิกตัวแรก แทนระยะทางในแนว +x และตัวหลังแทนระยะทางในแนว +y เช่น คู่อันดับ (2, 4) แต่ในความเป็นจริงจุดใดๆ ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันเสมอไป แต่อยู่ใน ปริภูมิสามมิติ (3Dimensional Space : R3 ) ดังนั้นเราจําเป็นต้องใช้พิกัดฉาก 3 มิติ … ซึ่งประกอบด้วยแกน x, y, และ z ตั้งฉากกันที่จุดกําเนิด ... ระนาบ xy, yz, xz แบ่งปริภูมิออกเป็น 8 ส่วน เรียกแต่ละส่วนว่า อัฐภาค (Octant) โดยอัฐภาคที่ 1-4 และ 5-8 จะมีลําดับเหมือนจตุภาคที่ 1-4 ดังรูป z z 3 O x y 4 8 x Math E-Book Release 2.2 2 1 6 y 5 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ระนาบ yz (x = 0) ระนาบ xz (y = 0) ระนาบ xy (z = 0) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 238 z z y Q(2,0,1) 1 P(2,4,1) 4 2 R(2,4,0) x x y หลักในการตั้งลําดับแกนตามมาตรฐานคือ กฎมือขวา (Right Hand Rule) ... เมื่อแบมือ ขวาขึ้นตรงๆ และแยกนิ้วโป้งให้ตั้งฉากกับนิ้วชี้ จะได้ว่าปลายนิ้วทั้งสี่ชี้ไปในทิศ +x, ฝ่ามือหันไปในทิศ +y, และนิ้วโป้งชี้ไปในทิศ +z ระบุตําแหน่งสิ่งต่างๆ ด้วย สามสิ่งอันดับ (Ordered Triple) ที่สมาชิกแต่ละตัวแทน ระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว +z ตามลําดับ เช่น สามสิ่งอันดับ (2, 4, 1) เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ จะอ้างถึงด้วย B (x2,y2,z2) ⎡ Δx ⎤ ⎡x2− x1 ⎤ ˜ AB = ⎢ Δy ⎥ = ⎢y2− y1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ Δz ⎥⎦ ⎢⎣z2− z1 ⎥⎦ A (x1,y1,z1) หมายเหตุ บางตําราใช้ ⎣⎡ a , b , c ⎦⎤ แทน การคํานวณเกี่ยวกับเวกเตอร์สามมิติ 1. เวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ Δx ⎡a⎤ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢c ⎦⎥ ได้เป็น และ Δz u ดังรูป P (3,4,-3) O ⎡a ⎤ ⎢b⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢c ⎦⎥ เท่ากัน, ⎢ ⎥ ⎣ −3⎦ R (2,-2,0) ⎡3⎤ v = ⎢4⎥ v ⎢ ⎥ ⎣ −3⎦ Q (-1,-6,3) Δy เท่ากัน, และ ⎡ 1⎤ i = ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0⎦⎥ , Δz ⎡0⎤ j = ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0⎦⎥ เท่ากัน , และ 4. การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ และ ⎡0⎤ k = ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ a i + bj + ck 3. ขนาดของเวกเตอร์ r = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 (ใช้เป็นสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด คล้ายทฤษฎีบทปีทาโกรัสใน 2 มิติ) 5. การคูณแบบดอท ⎡3⎤ u = ⎢4⎥ 2. เมื่อกําหนดเวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแต่ละแกนดังนี้ ก็จะเขียนเวกเตอร์ Δx , Δy ⎡ d⎤ ⎡ a + d⎤ ⎡a⎤ ⎢b ⎥ + ⎢e ⎥ = ⎢b + e ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦ ⎣⎢ f ⎦⎥ ⎣⎢ c + f ⎦⎥ ⎡ka ⎤ ⎡a ⎤ k ⋅ ⎢b ⎥ = ⎢kb ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦ ⎣kc ⎦ ⎡ a ⎤ ⎡ d⎤ ⎢b ⎥ ⋅ ⎢e ⎥ = (a i +b j + c k) ⋅ (d i + e j + f k) = ad + be + cf ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦ ⎣⎢ f ⎦⎥ u ⋅ v = u v cos θ (ใช้สมการทั้งสองร่วมกัน ในการคํานวณมุม Math E-Book Release 2.2 θ (คณิต มงคลพิทักษสุข) ระหว่าง u กับ v ) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 239 สังเกตได้ว่าการคํานวณเกี่ยวกับเวกเตอร์ในสามมิตินั้น คล้ายคลึงกับเวกเตอร์ในสองมิติ และสมบัติของเวกเตอร์ก็เป็นเช่นเดียวกันทั้งหมด ... จะมีเพียงสิ่งเดียวที่ต่างออกไป นั่นคือ การบอก ทิศทางในสามมิติ จะไม่กล่าวถึงความชัน แต่จะวัดมุมที่เวกเตอร์กระทํากับแกนทั้งสาม เรียกว่า มุม กําหนดทิศทาง (Direction Angle) ได้แก่ มุม α (alpha), β (beta) และ γ (gamma) z มุม α คือมุมที่เวกเตอร์ทํากับแกน +x มุม β คือมุมที่เวกเตอร์ทํากับแกน +y u มุม γ คือมุมที่เวกเตอร์ทํากับแกน +z γ อาศัยผลคูณแบบดอท (นําเวกเตอร์ u = a i + b j + ck α β y มาดอทกับ i , j , k ทีละอัน) จะได้.. O a cos α = , cos β = b , และ cos γ = c x u u u เรียกค่าทั้งสามนี้ว่า โคไซน์แสดงทิศทาง (Direction Cosine) มักกล่าวถึงค่าเหล่านี้แทนมุม ข้อสังเกต cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 เวกเตอร์สองอันจะขนานกัน ( u & v ) ก็ต่อเมื่อ โคไซน์แสดงทิศทางของ (1) มีค่าตรงกัน ... (แสดงว่า u กับ v มีทิศทางเดียวกัน) หรือ (2) เป็นค่าติดลบของกัน ... (แสดงว่า u กับ v มีทิศทางตรงข้ามกัน) และเวกเตอร์สองอันจะตั้งฉากกัน ( u ⊥ v ) ก็ต่อเมื่อ u ⋅ v = 0 u กับ v ทั้งชุด.. แบบฝึกหัด 10.6 (72) กําหนดพิกัดจุด P (1, 2, 3) และ Q (−1, 3, 5) ให้หา PQ (72.1) เวกเตอร์ ˜ (72.2) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกับ ˜ PQ (72.3) เวกเตอร์ขนาด 7 หน่วย ในทิศเดียวกับ ˜ QP (73) กําหนด u (73.1) (73.2) = i + 3j และ v = −2 i − 2 j + 6 k u+v u + v ให้หา (73.3) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศ v (73.4) ขนาดมุมระหว่าง u + v กับ (74) ให้หา u ⋅ v และมุมระหว่าง u กับ v ในแต่ละข้อ (74.1) u = − i − k และ v = 3 i + j (74.2) u = 2 i − j + k และ v = i + j + 2 k (75) กําหนด u = i − 2 j + 3 k , v = 3 i + 4 j + 2 k และ ให้พิจารณาว่าเวกเตอร์คู่ใดบ้างที่ตั้งฉากกัน w = 2i + 4j + 2k (76) รูปสามเหลี่ยมที่มีจุด A (2, −1, 1) , B (7, 0, −2) , และ C (3, 2, −1) เป็นจุดยอด เป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ .. ถ้าเป็น ให้ตอบด้วยว่ามุมใดเป็นมุมฉาก (77) ให้หาโคไซน์แสดงทิศทางของ u = 2 i − j + 3 k และ และพิจารณาว่าเวกเตอร์ดังกล่าวขนานกันหรือไม่ Math E-Book Release 2.2 v = −4 i + 2 j − 6 k (คณิต มงคลพิทักษสุข) v คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 240 10.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์แบบครอส เช่น มีนิยามดังนี้ ⎡ bf − ce ⎤ ⎡ a ⎤ ⎡ d⎤ ⎢b ⎥ × ⎢e ⎥ = ⎢ cd− af ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ c ⎦ ⎣⎢ f ⎦⎥ ⎣ae −bd⎦ u× v จะยังคงให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ i j k a b c d e f = u×v (มักจะอาศัย det ของเมตริกซ์ช่วยจํารูปแบบการครอส และหาผลลัพธ์โดยวิธีโคแฟกเตอร์ ตัดแถวตัดหลัก) ** ผลลัพธ์ที่ได้ จะตั้งฉากกับระนาบ uv ... หาทิศทางได้ด้วยกฎมือขวา โดยสี่นิ้วพุ่งไปทาง u กํามือเข้าหา v ผลลัพธ์มีทิศทางตามนิ้วโป้งที่ชูขึ้น (ดังนั้น i × j = k , j × k = i , k × i = j ) ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ u × v ช่วยคํานวณมุม θ ระหว่าง u กับ v ได้ u v & v×u = u v sin θ สมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบครอส • • • • u × v = − (v × u) u × (v + w) = u × v + u × w a (u × v) = a u × v u ⋅ (v × w) = (u × v) ⋅ w • u× u = 0 • 0× u = 0 • u× v = 0 ↔ u & v สูตรในการหาพื้นที่สามเหลี่ยม เมื่อมีด้านประชิดเป็น คือ u กับ v และมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น θ 1 1 u v sin θ → u×v 2 2 u θ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ v u v sin θ → ปริมาตรของ ทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนาน (Parallelepiped) ที่มีด้านประชิดเป็นเวกเตอร์ u , v , คือผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์ มีค่าเท่ากับ u ⋅ (v × w) = u1 u2 u3 v 1 v2 v 3 w 1 w2 w 3 ลูกบาศก์หน่วย u (หากสลับลําดับเวกเตอร์ไม่ถูกต้อง ผลคูณที่ได้อาจติดลบ จึงต้องใส่ค่าสัมบูรณ์กํากับไว้ด้วย) w v แบบฝึกหัด 10.7 (78) ให้หา u × v และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับ (78.1) u = 2 i − 3 j และ v = i − 5 j (78.2) u = i − 2 j และ v = 3 i + k u Math E-Book Release 2.2 และ v ในแต่ละข้อ (คณิต มงคลพิทักษสุข) u×v w คณิตศาสตร O-NET / A-NET (78.3) u = i + 3j เวกเตอร 241 และ v = −2 i − 6 j (79) [จากข้อ 74.2] กําหนด u = 2 i − j + k และ v = i + j + 2 k (79.3) ค่า sin ของมุมระหว่าง (79.1) u × v (79.2) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดเป็น u และ v (80) ให้หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดดังนี้ (80.1) P (1, 2, 3) , Q (−1, 3, 5) และ (80.2) A (2, 0, −3) , B (1, 4, 5) และ u และ v R (3, −1, 0) C (7, 2, 9) (81) ให้หาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เมื่อกําหนด (81.1) A (2, 0, −3) , B (1, 4, 5) และ C (7, 2, 9) AB = 3 i − 2 j และ ˜ DA = − i + j − 2 k (81.2) ˜ (82) ให้หาปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนาน ที่มีด้านประชิดเป็นเวกเตอร์ดังนี้ (82.1) u = i − 2 j + 3 k , v = 3 i + 4 j + 2 k และ w = i + 4 j − k (82.2) u = −2 i − 6 j + k , v = 2 i + 4 j − k และ w = 4 i + 2 j − 2 k เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1) ถึง (3) ดูในเฉลยวิธีคดิ (4) 50 กม. ทิศ 350 ° (5) 500 3 กม. ทิศ 060 ° (6) 300 กม./ชม. ทิศ 037 ° (7) 50 21 กม./ชม. (8) 5 กม./ชม. ทิศ 037 ° (9) u มีขนาด 6 3 หน่วย ทิศ 060 ° หรือ 120 ° และ v มีขนาด 6 หน่วย ทิศ 030 ° หรือ 150 ° (10) u + v , u 2 + v 2 , u − v (25) (26) (27) (28) (29) (30) (32) (34) −3 < x < 2 − 4/3 < x < 4/3 x = 6 a = 2 และ และ และ y = 2 b = −3 a = 2 b = −1 1 1 1 − u − v (31) a + b 8 2 3 1 1 a + b (33) − (a + b) 6 6 a = b = 1/4 ˜ m BC + n ˜ BA (36-37) ... m + n (11) u − v , u 2 + v 2 , u + v (38) ⎡ 1 ⎤ , ⎡ 6 ⎤ (39) P (1, −7) , ⎢3⎥ ⎢ −8⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (12) 6, 2 (13) 20 ⎡ 3⎤ (14) 150 ° (15) 106 Q (1, −4) (40) ⎢ ⎥ → 58 , ⎣7 ⎦ (16) 14 (17) 5 41 (18) arccos (3/5) (19) 4π/5 ⎡⎢43⎤⎥ → 5 , ⎡⎢−14⎤⎥ → 17 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ AD ยาว 4 ซม. (20) ก. เพราะ ˜ (41) 13 , 15 − 6 2 (21) 18+6+ 12 = 36 (22) arcsin ( 3 /2 7) หรือตอบในรูป arccos (−5/2 (23) x ≠ −1, −2, 1/3 (24) x ≠ −3, 2 7) (35) (42.1) ขนานกัน ทิศตรงข้าม (42.2) ขนานกัน ทิศเดียวกัน (42.3) ไม่ขนานกัน (42.4) ขนานกัน ทิศเดียวกัน (43) 3 u − 10 v 11 11 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) (44) w = u + 2v (45) 50+26 = 76 (46.1) 3 i −2 j (46.2) −4 i + j (46.3) 5 i −3 j (46.4) − i − j (46.5) i − j (47.1) −21i +20 j (47.2) 212 + 202 3 4 i − j 5 5 (48.2) 1 (i −4 j) 17 3 (48.3) (i + 4 j) 17 (48.4) 13 (i + 4 j) 17 (49) (11, 16) หรือ (−7, −8) (48.1) (50) −a i − b j a2 + b2 (51) 3 i + 3 j (52) 18, –28, –22, 11/2 (53) –37, 11 (54) 90 ° , 120 ° , 90 ° คณิตศาสตร O-NET / A-NET ˜ (55) ˜ AB ⋅ AC = 0 และ มุม A เป็นมุมฉาก (56) 0 (57) arccos (−1/2 7) หรือ 38 (73.1) (73.2) (78.1) (78.2) 10 + 44 ± (73.3) 1 (−2 i − 5 j + 6 k) 38 (73.4) arccos( 18 ) 418 (74.1) –3 และ arccos( −3 ) 20 −7 k และ ±k −2 i − j + 6 k และ 1 (−2 i − j + 6 k) 41 (78.3) 0 และ ไม่มี (79.1) −3 i − 3 j + 3 k (79.2) 3 3 ตารางหน่วย (79.3) 3 /2 (80.1) 29/2 ตารางหน่วย (74.2) 3 และ π/3 (80.2) 9 13 ตารางหน่วย (75) u ตั้งฉากกับ w 18 13 ตารางหน่วย (81.1) (76) เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก, (81.2) 53 ตารางหน่วย มุม C เป็นมุมฉาก (82.1) 2 ลูกบาศก์หน่วย 2 −1 3 (77) ( , , ) และ (82.2) 0 ลูกบาศก์หน่วย 14 14 14 −2 1 −3 (ไม่เกิดทรงสี่เหลีย่ ม) ( , , ) ดังนั้นขนานกัน 16 (3 i − 4 j) 25 (60) arccos (2/ 5) (61.1) 17 ตารางหน่วย (61.2) 6 ตารางหน่วย (61.3) 3 ตารางหน่วย (62) 8 (63) 2 (64) 6 (65) 52 (66) 3/2 (67) 21/5 (68) ± 1/5 (69) ข. (70) ถูกทุกข้อ (71) 1/4 (72.1) −2 i + j + 2 k (72.2) 7 (2 i − j − 2 k) 3 (72.3) 180 ° − arcsin (3 3 /2 7) (58) 1/5 (59) เวกเตอร 242 14 14 14 (ทิศตรงกันข้าม) 1 (−2 i + j + 2 k) 3 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1) หัวต่อหาง หางต่อหาง u+v v v u −v (2) u+v 1,000 v −v u −v u 40 km/h (3) 5 10 60 km/h (4) −u คือ ระยะทาง 12 50 กม. ทิศ 500 C A หางต่อหาง u 30˚ 30˚ 30˚ θ u u หัวต่อหาง B (5) ˜ | AC | = 2 2 1,000 + 500 − 2(1,000)(500)(cos 60°) = 500 3 กม. หาทิศด้วยกฎของ sin คือ sin θ = sin 60° → 500 (6) ทิศ θ = 30° ∴ ทิศ 060° 180 240 350° 500 3 2402 + 1802 = 300 θ ≈ 037° Math E-Book Release 2.2 (เป็น Δ กม./ชม. มุมฉาก อัตราส่วน 3:4:5) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 243 เวกเตอร (7) (12) ถ้า u + v + w = 0 แสดงว่าหัวชนหางกันหมด พอดี เป็นรูป Δ แต่จากขนาดที่ให้มา 2, 4, 2 ไม่เป็น Δ แต่เป็นแค่เส้นตรงดังรูป v ∴ u −v = 2 + 4 = 6 , ตอบ 502 + 2002 + 2(50)(200) cos 60° = 50 21 ตอบ 5 กม./ชม. ทิศ ≈ 037° 3 C u = v = 2 2 (15) หน่วย หน่วย ( Δ ด้านเท่า) ทิศ u คือ 060° , ทิศ v คือ 150° กรณีที่ 2 6 B A 60˚ 90° → u + v = u v u 2 C v คือ 030° u + v + v 2 180° → u + v = u − v (11) 0° → u − v = u − v 90° → u − v = u 2 θuv = 150° 2 10 + 5 + 2(10)(5) cos θuv + v 102 + 52 − 2(10)(5) cos θuv 102 + 52 − 19 = = 6 + 6 − 2(6)(6) cos 60° = 6 ทิศ u คือ 120° , ทิศ (10) 0° → u + v = 2 12 = u−v = 6 + 6 + 2(6)(6) cos 60° = 6 3 6 25 − 24 cos θuv = B 6 2 42 + 32 − 2(4)(3) cos θuv 25+ 12 3 = ∴ 2(10)(5) cos θuv = 19 60˚ 2 (14) 1 20 ∴ cos θuv = − 3 /2 → u v 6 22 + 42 = u+v+w = u w 3 พายจริง θ A v 2 (8) 4 u+v = 4 − 2 = 2 (13) กม./ชม. (9) กรณีที่ 1 w u 200 50 30˚30˚ 2 180° → u − v = u + v (16) 42 + 32 + 6 = 2 ∴ u −v = (17) 2 4 +3 − u ⊥ v 2 2 = 11 → 11 14 = ดังนั้น 42 + 52 = u+v = u−v = ตอบ 2 (18) ให้ 106 41 41 + 3 41 = 5 41 u = v = a จะได้ว่า 2 a + a + 2a cos θ = 2 a2 + a2 − 2a2 cos θ 2a2(1 + cos θ) = 4(2a2)(1 − cos θ) 3 3 ∴ cos θ = → θ = arccos 5 5 (19) ให้ 2 u = w = a จะได้ 2 a + v − 2a v cos θuv = 2 2 v + a + 2 v a cos θvw → cos θuv = − cos θvw เนื่องจาก θuv = π 5 ดังนัน้ θvw = 4π 5 (มองจากวงกลมหนึ่งหน่วยในเรื่องตรีโกณมิต)ิ [หมายเหตุ ข้อ 10, 11 จะคิดโดยวาดรูป หรือโดยใช้ กฎของ cos ก็ได้] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (20) F A (26) (6 − 3x2 − 2) v = (100 − 2) u 3 5 แสดงว่ายาว 2 ซม. ทุก ทิ ศ เดี ย วกั น แสดงว่ า D ส่วนเพราะประกอบจาก สัมประสิทธิ์ของ v เป็นบวกด้วย สามเหลี่ยมด้านเท่า E 2 O C B ก. ˜ AD + ˜ FD ยาวเกิน 4 ซม. ถูก ˜ เพราะแค่ AD ก็ยาว 4 ซม. แล้ว และ ˜ FD ยังชื้ในทิศต่อออกไปอีก ข. ˜ AB + ˜ ED ยาว 4 ซม. พอดี ˜ ˜ ค. FO + DO ยาว 2 ซม. OD + ˜ OB ยาว 2 ซม. ง. ˜ (21) u − 4v = 3v − 2w → 2w = −v − u และ 3v − 4w = 2w + 5u → 6w = 3v − 5u ดังนัน้ (จาก 2 สมการ) จะได้ u = 3v → w = −2v ∴ ถ้า w = 12 → v = 6 → u = 18 ตอบ 18 + 6 + 12 = 36 (22) หาขนาดก่อน w u = 2v − w 120˚ 1 22 + 12 − 2(2)(1)(− ) = 2 ก. หาค่า θ 7 โดยกฎ sin sin θ sin 120° 3 = ∴ θ = arcsin( ) 1 7 2 7 หรือ ข. หาค่า โดยกฎ cos เช่นเดิมก็ได้ θ w = 2v − u → w = 22 + 2 7 − 2(2)( 7) cos θ = 1 5 ∴ θ = arccos(− ) (มีค่าเท่ากัน) 2 7 (23) u // v → แสดงว่า สัมประสิทธิ์ ≠ 0 นัน่ คือ และ −1 − x ≠ 0 x2 + 6x − 2 − x + 2x2 ≠ 0 → 3x2 + 5x − 2 ≠ 0 → (3x − 1)(x + 2) ≠ 0 → x ≠ 1 / 3, − 2, − 1 (24) 16 > 0 → 9x2 − 16 < 0 3 −4 / 3 < x < 4 / 3 → − 3x2 + → (27) u ไม่ขนาน v แสดงว่าสัมประสิทธิ์ = 0 ทุก ตัว → x − 2 − 2y = 0 ..... (1) และ x − 8 + y = 0 ..... (2) ∴ x = 6, y = 2 (28) 3 − 3a − b = 0 .....(1) 8 − a + 2b = 0 .....(2) ∴ a = 2, b = −3 (29) 3[(a+ 4b) u + (2a+b + 1) v] = 2[(b −2a +2) u + (2a − 3b − 1) v] → u ..... (1) 3(2a +b + 1) − 2(2a − 3b − 1) = 0 .....(2) แก้ระบบสมการได้ a = 2, b = −1 (30) A 3 Q 5 B → −3 < x < 2 u v P C D ˜ PQ = ˜ PB + ˜ BQ = 1 5 1 1 ( u − v ) + (− u) = − u − v 2 8 8 2 [หมายเหตุ แบบฝึกหัดนี้แต่ละข้อทําได้หลายวิธี เช่น ข้อนี้อาจเริม่ จาก ˜ PQ = ˜ PA + ˜ AQ 1 3 1 1 = − (u + v) + u = − u − v ] 2 8 8 2 (31) จากรูปในโจทย์ ˜ AF = ˜ AB + ˜ BF = (2a) + → = a+ 1 b 3 1 (a + b − 4a) 3 D (32) N M → (x + 3)(x − 2) ≠ 0 → x ≠ −3, 2 x2 + x − 6 < 0 → (x + 3)(x − 2) < 0 ดังนัน้ 3(a + 4b) − 2(b −2a +2) = 0 u // v → x2 − 5 − 1 + x ≠ 0 (25) จาก (x2 − 5 − 1 + x) u = −2v u มีทิศเดียวกับ v แสดงว่า สัมประสิทธิ์ของ u จะต้องติดลบด้วย v ไม่ขนาน v v u = เวกเตอร 244 A a a +b O C B 1 1 ˜ MN = ˜ MD + ˜ DN = ˜ AD + ˜ DC 2 3 1 1 = (a + (a + b)) + (a − (a + b)) 2 3 ˜ AB Math E-Book Release 2.2 ˜ BD ˜ ˜ BC BD (คณิต มงคลพิทักษสุข) = a+ 1 b 6 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 245 (33) (37) C b 1 ˜ DO = ˜ DA = 3 E B B C 3 1 E F 2 จาก A คล้าย กับ CFE Δ AFD B 4 ตอบ a = b = 1 / 4 (35) B BD = ˜ BC + ˜ CD จาก ˜ n ˜ = ˜ BC + CA .....(1) n D m+n BD = ˜ BA + ˜ AD และ ˜ m ˜ =˜ BA − CA .....(2) m A m+n ˜ ˜ ˜ n − m˜ CA m+n แทน ˜ CA = ˜ BA − ˜ BC → n − m⎞ ˜ ˜ 2˜ BD = ˜ BC + ˜ BA + ⎜⎛ ⎟ (BA − BC) 2 BD = BC + BA + (1)+(2); → ˜ ⎝m + n⎠ ˜ m BC + n BA BD = m+n ˜ ตอบ C (39.1) (39.2) 2 ⎡3 − 2⎤ = ⎡ 1 ⎤ ⎢⎣3⎦⎥ ⎣⎢7 − 4⎦⎥ ⎡6⎤ ⎣⎢ −8⎦⎥ ⎡ −3⎤ = ⎡ −2 − x ⎤ → P(x, y) = (1, −7) ⎢⎣ −5 − y ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎡ −3⎤ = ⎡x − 4⎤ → Q(x, y) = (1, −4) ⎣⎢ y + 6⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ (40) ˜ AB ˜ 3 = ⎡⎢ 7 ⎤⎥ , AB = ⎣ ⎦ D ˜ DE = ˜ DA + ˜ AE .....(1) ˜ ˜ ˜ BC = BA + AC = 2 ˜ DA + 2 ˜ AE .....(2) 32 + 72 = 58 ˜ ˜ BC = ⎡ 1 ⎤ , BC = 17 ⎢⎣ −4 ⎥⎦ 4 AC = ⎡⎢ 3 ⎤⎥ , AC = 5 ⎣ ⎦ ˜ ˜ (41) แต่ B C BE = ดังนัน้ 6−6−3 −3 2u − 3v + w = ⎡⎢ −8 + 6 + 4⎤⎥ = ⎡⎢ 2 ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∴ 2u − 3v + w = [สังเกต ผลที่ได้เหมือนกับสูตรจุดแบ่งเส้นตรงเป็น อัตราส่วน m:n ในบทเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์] (36) A E ˜ BE = ˜ BC + ˜ CD + ˜ DE .....(1) ˜ ˜ ˜ ˜ AF = AB + BE + EF =˜ BC + ˜ BE + ˜ DE .....(2) ˜ ˜ (1)-(2); BE − AF = ˜ CD − ˜ BE ˜ ˜ ˜ CD + AF (38.1) ˜ PQ = (38.2) ˜ PQ = 1 1 จะได้วา่ ˜ EF = ˜ ED และ ˜ CF = ˜ CA 4 F A 1 1 1 (− (a + b)) = − (a + b) 3 2 6 (34) D D C D O a A เวกเตอร 32 + 22 = 13 2u − 3v + w = 2(5) − 3(2 2) + 5 = 15 − 6 2 [อย่าลืม!! u + v ≠ u + v ] (42.1) ขนานกัน ทิศตรงข้ามกัน (42.2) ขนานกัน ทิศเดียวกัน (42.3) ไม่ขนานกัน (42.4) ขนานกัน (ความชัน = −2 ) ทิศเดียวกัน (ดูทิศจากเครือ่ งหมายบวกลบที่ x, y ) (43) ⎡⎢ −21⎤⎥ = a ⎡⎢43⎤⎥ + b ⎡⎢−21⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 = 3a + 2b 3 10 ∴a = ,b = − 11 11 ⎣ ⎦ และ 2 = 4a − b ตอบ w = 3 u − 10 v 11 11 เทียบ (1) กับ (2) พบว่าเป็น 2 เท่าของกันและกัน (44) เหมื อ นข้ อ ที แ ่ ล้ ว คื อ 1 DE = ˜ BC และ ˜ ดังนัน้ ˜ DE // ˜ BC ด้วย 6 = 4a + b และ 9 = a + 4b ∴ a = 1, b = 2 2 (การพิสูจน์วา่ ขนาน ต้องพิสจู น์วา่ เป็น a เท่าของกัน) ตอบ w = u + 2v แสดงว่า Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (45) เวกเตอร 246 (51) C B j ⎡2⎤ ⎢⎣ −3⎥⎦ A D ⎡3 ⎤ ⎢⎣4⎥⎦ หา ˜ BD ได้จาก ˜ AD − ˜ AB = ˜ และได้ ˜ AC = 26 , BD = ตอบ 26 + 50 = 76 (46.1) u = 3 i − 2 j (46.2) v = −4 i + j (46.3) w = 5 i − 3 j (46.4) u + v = − i − j (46.5) 2u − w = i − j AB − 3 ˜ CD = 2 (−3 i (47.1) 2 ˜ ⎣ ⎦ ⎡ 1⎤ ⎢⎣7 ⎥⎦ 50 2 ˜⋅ ˜ ˜⋅ ˜ (53.2) AB BC + AB AC −1 −6 = −37 + ⎡⎢ 7 ⎤⎥ ⋅ ⎡⎢ 6 ⎤⎥ = −37 + 48 = 11 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 4 j) − 3(5 i − 28 3 v = v 2 21 + 20 = 841 u 3 4 = i − j u 5 5 (48.3) คือ 3 17 (48.4) 2 i − 68 → u ⋅ v = 2 3 − 2 3 = 0 → ∴ θ = 90° → u ⋅ v = (2 3)(−3 3) + (2)(3) = −12 − 12 = (4)(6) cos θ → ∴ θ = 120° u ⋅ v = 0 → ∴ θ = 90° (55) ˜ AB = 8 j = 68 1 4 i − j 17 17 ต้องการ 3 หน่วย ˜ 2 2 5 + 12 = 13 หน่วย 13 ∴ ตอบ (i + 4 j) 17 (49) PQ = ±15 (3 i + 4 j) = ±(9 i + 12 j) 5 5 ˜ พบว่า ˜ AB ⋅ ˜ AC = 0 (56) u ⋅ v = u v cos θ ∴ มุม A = 90° → x − 2 = − 4 + x2 → x2 − 4x + 4 = 4 + x2 + bj → ตอบ −a i − b j 2 2 a +b → x = 0 (57) v 3 คิดได้ 2 แบบ v −u 60˚ 2 θ [บวกลบ เพราะ “ขนานกัน” อาจเป็นทิศตรงข้ามก็ได้] u แบบแรก กฎของ sin ใน ถ้า ˜ PQ = 9 i + 12 j ได้ Q(11, 16) หาขนาด v − u ก่อน ถ้า ˜ PQ = −9 i − 12 j ได้ Q(−7, −8) (50) ˜ PQ = a i ˜ ⎡4⎤ , AC = ⎡ 8 ⎤ , BC = ⎡ 4 ⎤ ⎢⎣ −16⎦⎥ ⎢⎣ −18⎦⎥ ⎣⎢2 ⎦⎥ → −2 + x = ( 2)( 4 + x2 ) cos 135° (i + 4 j) = u ⋅ v = u v cos θ (54.1) (54.3) u+v = i + 4 j → u−v j) (54.2) 2 (48.2) ใส่ลบเพราะต้องการทิศตรงข้าม − 2 ⎡ −6⎤ ⋅ ⎡ 5 ⎤ = −37 ⎣⎢ 7 ⎦⎥ ⎣⎢ −1⎦⎥ (53.1) = −21i + 20 j AB − 3 ˜ CD| = (47.2) |2 ˜ 45˚ เวกเตอร์ที่ตอ้ งการจะอยู่ใน Q1 แยกเวกเตอร์ขนาด 3 2 ลงบนแกน x และ y จะได้ดา้ นละ 3 หน่วย ดังนัน้ ตอบ 3 i + 3 j (52.1) u ⋅ v = (3)(2) + (−4)(−3) = 18 (52.2) −8 − 20 = −28 (52.3) −12 − 10 = −22 (52.4) 3 + 4 = 11 AC กับ ˜ เส้นทแยงมุมคือ ˜ BD ˜ ˜ ˜ หา AC ได้จาก AB + AD = ⎡⎢51 ⎤⎥ (48.1) 3 2 ⎡ −1/ 2 ⎤ ⎢ 1/ 2 ⎥ ⎣ ⎦ v −u = ใช้กฎของ Δ; 32 + 22 − 2(3)(2) cos 60° = sin → sin θ = sin 60° 3 7 7 3 3 ∴ θ = 180° − arcsin( ) 2 7 (สาเหตุที่มี 180° − arcsin เพราะต้องการมุมป้าน แต่คา่ arcsin นิยามไปถึงเพียง 90˚) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 247 แบบที่สอง ใช้การคูณเวกเตอร์ (62) ( v − u ) ⋅ u = v − u ⋅ u ⋅ cos θ → v⋅u − u 2 → (5)2 − (5) v cos θ = 24 → ∴ tan θ = 8 v cos θ = 1 / 5 Q (59) หามุม θ ก่อน OQ ⋅ ˜ OP จาก ˜ O R 16 = 36 − 20 = 16 = (5)(13) cos θ → cos θ = 65 ดังนัน้ OR = OQ cos θ = 13 ⋅ 16 = 16 65 5 16 OR = เวกเตอร์ หน่วยในทิศ OP 5 16 3 4 16 ∴ OR = ( i − j) = (3 i − 4 j) 5 5 5 25 ˜ ˜ ˜ ˜ (60) ลองพล็อตจุดลงบนแกน เพือ่ หาลําดับการเรียง AC กับ ˜ BD จะพบว่า เส้นทแยงมุมเป็น ˜ ˜ 6 7 → AC = ⎡⎢2 ⎤⎥ , BD = ⎡⎢7 ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ˜ ˜ → θ = 45° OB ก่อน ระหว่าง ˜ OA กับ ˜ ..พืน้ ที่ 34 ⋅ 68 cos θ ΔOAB = 1 1 = ⋅ 34 ⋅ 68 ⋅ = 17 2 2 ˜˜ 1 OA OB sin θ 2 ตร.หน่วย (61.2) ˜ AB ⋅ ˜ AC = 0 แสดงว่า มุม ˜ AB AC พื้นที่ Δ = 1 ˜ A = 90° 1 (2 2)(3 2) = 6 2 = 3 2 → 5 พืน้ ที่ Δ = B (64) w = 15 u + v = −w → u + v = 15 72 + v → → v = หา v u u = 7 , u ⋅ v = 28 2 w A + 2(28) = 15 C 120 w (v − 2u) = (−u − v)(v − 2u) = −u ⋅ v + 2 u = u⋅v + 2 u 2 2 − v − v 2 2 + 2u ⋅ v = 28 + 2(7)2 − 120 = 6 b ∗ c = [(2)(3) + (−3)(2)] i a ⋅ (b ∗ c) = 52 → (66) θ u u+v +w = 0 แสดงว่าเป็น Δ ดังรูป หามุม θ โดย 2 3 4 42 = 22 + 32 − 2(2)(3) cos θ มุมระหว่าง หางเท่านัน้ คือ ∴ ตร.หน่วย (61.3) u + v = 3 i , u − v = i − 2 j → หามุม θ 3 = (3)( 5) cos θ → cos θ ∴ sin θ = 2 v w → cos θ = −1 / 4 2 = a = 2, b = 3 1 w − v = ⎡1⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ w−v = → ดังนั้น 2a − 5b = −11 ∴ a ⋅ (b ∗ c) = (3 i − 4 j) ⋅ (13 j) = −52 → θ = arccos 2/ 5 → OA ⋅ OB = 24 + 10 = 2 ∴ w = ⎡⎢3⎤⎥ → ⎣ ⎦ จะได้ − [(−3)(3) − (2)(2)] j = 13 j → 42 + 14 = ( 40)( 98)(cos θ) θ a w = ⎡b ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ a + 2b = 8 (65) AC ⋅ ˜ BD มุมระหว่างเส้นทแยงมุม คิดจาก ˜ (61.1) หามุม (63) ให้ และ P θ D ˜A AB AD sin θ = 24 พื้นที่ , = ˜ ˜˜ ˜ AB ⋅ ˜ AD = AB AD cos θ = 3 (หมายเหตุ 2 คําตอบนี้มคี ่ามุมเท่ากัน) (58) u (u − v) = 24 → u 2 − u ⋅ v = 24 ˜ C B = v − u ⋅ u ⋅ cos θ → (3)(2)(cos 60°) − (2)2 = ( 7)(2) cos θ 1 ∴ θ = arccos(− ) 2 7 ˜ เวกเตอร = 1 2 (3)( 5)( ) 2 5 1 5 u .... ∴ θ = arccos(−1 / 4) กับ v จะต้องวัดระหว่างหางกับ 1 180° − arccos(− ) 4 1 u ⋅ v = u v cos(180° − arccos(− )) 4 1 1 3 = u v (− cos(arccos(− )) = (2)(3)( ) = 4 4 2 ดังนัน้ ตร.หน่วย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (67) a ⊥ b → a ⋅ b = 0 → 4x − 3y = 0 ... 2 a = 3 → 2 x +y แก้ระบบสมการได้ = 3 (1) (72.1) ˜ PQ = (−1 − 1)i a⋅c > 0 x = 9 / 5, y = 12 / 5 ดังนัน้ a = + (3 − 2)j + (5 − 3) k = −2 i + j + 2k ..... (2) หรือ x = −9 / 5, y = −12 / 5 โจทย์ให้ เวกเตอร 248 9 12 i+ j 5 5 PQ = 22 + 12 + 22 (72.2) เนื่องจาก ˜ = 9 = 3 ดังนัน ้ ตอบ − 2 i + 1 j + 2 k 3 (72.3) ˜ QP = − ˜ PQ = 2 i − j 7 ดังนัน้ ตอบ ⋅ (2 i − j − 2k) 3 และ x + y = 9 / 5 + 12 / 5 = 21 / 5 เท่านัน้ (68) ให้ a = x i + y j จะได้ 3x − 4y = 0 .....(1) (73.1) u + v = − i + j + 6k และ x2 + y2 = 1 .....(2) 4 3 = 12 + 12 + 62 = 38 ∴ ได้ x = , y = หรือ x = − 4 , y = − 3 5 5 5 5 (73.2) u + v = 12 + 32 + 8 9 1 8 9 1 หรือ − + = v⋅a = − = − 5 5 5 5 5 5 (69) เวกเตอร์ 3 อันจะประกอบเป็น Δ ได้ แสดงว่า ± a ± b ± c = 0 พอดี (บวกหรือลบก็ได้) 2 2 2 Δ นี้เป็นมุมฉากด้วย แสดงว่า a = b + c หรือมีคู่หนึ่งซึ่ง ma ⋅ mb = −1 ก. m = 2/ 3, 5, 3/2 ไม่ถูก ข. m = −2/ 3, − 5, 3/2 ถูก และพบว่า (3 i −2 j) − (i −5 j) − (2 i + 3 j) = 0 ด้วย ตอบ ข. ค. m = −2/3, 5, 3/2 ถูก แต่ไม่สามารถบวกลบ กันให้เป็น 0 ได้เลย ข้อ ค. จึงยังไม่ใช่.. ง. m = −2/ 3, 3/2, − 2/3 ไม่เป็น Δ เพราะมีคหู่ นึ่งที่ขนานกัน (70) ก. cos θ = ±1 → θ = 0°, 180° ถูก ข. ดอทกันได้ 0 → ∴ ตั้งฉาก ถูก ค. ถูก เพราะ u ⋅ v = v ⋅ u ง. ถูก จาก u ⋅ v = 6 − 4 = (5)( 5) cos θ ∴ θ = arccos(2/5 5) ˜+˜ PQ ⋅ ˜ RQ = ˜ PQ ⋅ (RO OP + ˜ PQ) (71) ˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜ → ˜ PQ ⋅ ˜ OP = 0 เพราะตั้งฉากกัน และ ˜ | PQ | = 1 = 1 ดังนัน้ ˜ PQ ⋅ ˜ RQ = ˜ PQ ⋅ ˜ RO + 1 → ˜ ˜ หามุมระหว่าง PQ กับ RO ได้เป็น 150° = PQ ⋅ RO + PQ ⋅ OP + | PQ |2 2 2 ดังภาพ RO และ ˜ 60˚ = 3 cos 60° = 3 2 ∴ ตอบ O 60˚ = 10 + 38 v = 38 นํามาดอทกัน (u + v) ⋅ v = 2 − 2 + 36 = u + v ⋅ v ⋅ cos θ = 38 ⋅ 44 cos θ 36 ∴ cos θ = = 38 ⋅ 44 18 → θ = arccos( ) 418 u = 18 418 u ⋅ v = −3 + 0 + 0 = −3 (74.1) 2 v = 10 ∴ θ = arccos u ⋅v = 2 − 1+2 = 3 (74.2) 6 v = 6 ∴ θ = arccos −3 20 3 π = 6 3 u⋅v = 3−8+6 = 1 v ⋅ w = 6 + 16 + 4 = 26 w⋅u = 2−8+6 = 0 ∴u ⊥ w AB = 5 i + j − 3 k (76) ˜ ˜ ˜ AC = i + 3 j − 2 k BC = ˜ ˜ พบว่า AC ⋅ BC = 0 ดังนัน้ 22 + 22 + 62 ⋅ (−2 i − 5 j + 6k) v = −2 i − 2 j + 6k (75) − 2k u + v = − i + j + 6k , (73.4) u = 3 44 (73.3) เนื่องจาก ดังนัน้ ตอบ 1 จะได้ 3 Δ ABC เป็น Δ มุมฉาก, มุม P Q R 3 1 (1)( )(cos 150°) + 1 = 2 4 Math E-Book Release 2.2 −4 i + 2 j + k (คณิต มงคลพิทักษสุข) C = 90° คณิตศาสตร O-NET / A-NET u u = 14 2 , cos β = 14 −1 14 (77) สําหรับ ∴ cos α = 3 14 cos γ = .... (80.1) ˜ PQ = ดังนัน้ v u พื้นที่ .... กับ v ˜ PR = 2 i และ v = 2 14 −4 −2 ∴ cos α = = , cos β = 2 14 14 และ cos γ = −3 14 สําหรับ 1 14 ∴ i j k u × v = 2 −3 0 1 −5 0 (78.3) = ± = (79.3) จาก 3 3 = u // v u v sin θ = u × v u×v = u i j k −2 1 2 = 3 i − 2 j + 4 k 2 −3 −3 1 ⋅ 32 + 22 + 42 = 2 29 2 ตร.หน่วย + 2 j + 12 k = i j k −1 4 8 = 32 i + 52 j − 22 k 5 2 12 1 322 + 522 + 222 = 9 13 2 (81.1) ˜ BA = ˜ BC = 6 i ตร.หน่วย i − 4j − 8k − 2j + 4k ˜ BA × ˜ BC = i j k 1 −4 −8 = −32 i − 52 j + 22 k 6 −2 4 พื้นที่ , = 322 + 522 + 222 = 18 13 ตร.หน่วย (81.2) ˜ AB = 3 i − 2 j , ˜ AD = i − j + 2k นัน่ เอง) i j k u × v = 2 −1 1 = −3 i − 3 j + 3k 1 1 2 32 + 32 + 32 = 3 3 = ˜ ˜ [ใช้ ˜ QP × ˜ QR หรือ ˜ RP × ˜ RQ ก็ได้เช่นกัน] AB = − i + 4 j + 8 k (80.2) ˜ พื้นที่ Δ 1 (−2 i − j + 6k) 41 (เนื่องจาก และเวกเตอร์หนึง่ หน่วย ไม่มี (79.2) พื้นที่ , = พืน้ ที่ Δ ก็คอื i j k u×v = 1 3 0 −2 −6 0 = 0 i + 0 j + 0k = 0 (79.1) v i j k u × v = 1 −2 0 = −2 i − j + 6k 3 0 1 และเวกเตอร์หนึง่ หน่วย ˜˜ ˜ AB × ˜ AC = = 0 i + 0 j − 7k = −7k (78.2) − 3j − 3k 1 1 Δ = PQ PR sin θ = | PQ × PR | 2 2 ˜ AC = 5 i เวกเตอร์หนึง่ หน่วยทีต่ ั้งฉากกับ u และ เวกเตอร์ที่ขนานกับ u × v นัน่ เอง ∴ ตอบ ±k (นําขนาดคือ 7 ไปหาร) −2 i + j + 2 k PQ × ˜ PR = จาก ˜ ขนานกัน (โดยมีทิศตรงข้ามกัน) (78.1) เนื่องจาก เวกเตอร 249 ตร.หน่วย v sin θ จะได้ 6 ⋅ 6 ⋅ sin θ → sin θ = 3 2 i j k ∴ AB × AD = 3 −2 0 = −4 i − 6 j − k 1 −1 2 ˜ ˜ พื้นที่ , = (82.1) 42 + 62 + 12 = 53 ตร.หน่วย 1 −2 3 u ⋅ (v × w) = 3 4 2 1 4 −1 = (1)(−12) − (−2)(−5) + (3)(8) = 2 ลบ.หน่วย (หากคิดได้ติดลบ ให้ตอบเฉพาะขนาดนะ!) (82.2) −2 −6 1 u ⋅ (v × w) = 2 4 −1 4 2 −2 = 0 ลบ.หน่วย (แสดงว่าไม่เกิดทรงสีเ่ หลี่ยม เพราะ เวกเตอร์ทั้งสามอยู่ในระนาบเดียวกัน) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET เวกเตอร 250 eÃ×èo§æ¶Á สิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณิตศาสตร์.. เรื่อง ผู้คิดค้น (ประเทศ) ระบบจํานวน 60 และ 360 (เช่น มุม, เวลา) แนวคิดเรื่องอัตราส่วน π ทฤษฎีบทปีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก ขั้นตอนวิธีในการหา ห.ร.ม. แนวคิดเรื่องตรีโกณมิติ ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30° 45° 60° แนวคิดเรื่องสมการกําลังสอง ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐาน e) หรือลอการิทึมเนเปียร์ ชื่อฟังก์ชันไซน์ และสัญลักษณ์ sin หลักการแยกตัวประกอบและแก้สมการพหุนาม การเขียนกราฟ, คูอ่ ันดับ, และผลคูณคาร์ทีเซียน ทฤษฎีบททวินาม ใช้สัญลักษณ์ ∞ แทนจํานวนที่มีค่ามากจนไม่สิ้นสุด แคลคูลัส (อนุพันธ์และการอินทิเกรต) กฎของโลปีตาลในการคํานวณลิมิต ใช้สัญลักษณ์ π แทนอัตราส่วนเส้นรอบวงกลม สัญลักษณ์ e, i (จํานวนจินตภาพ), และ f(x) การกระจายแบบปกติ โค้งรูประฆัง แก้ปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก กฎของคราเมอร์ (แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วย det) หลักการมีตัวประกอบจํานวนเฉพาะชุดเดียว ตรรกศาสตร์แบบสัญลักษณ์ แผนภาพของเซต ทฤษฎีกราฟ แผนภาพลําต้น-ใบ และแผนภาพกล่อง ค่าของ e จนถึงทศนิยมละเอียดที่สุดที่คํานวณได้ ความยาว 2 ล้านตําแหน่ง ค่าของ π จนถึงทศนิยมละเอียดที่สุดที่คํานวณได้ ความยาว 2 แสนล้านตําแหน่ง จํานวนเฉพาะ ที่มีค่าสูงที่สุดที่ค้นพบ คือ 230402457 - 1 (มีอยู่ 9,152,052 หลัก) ปี ค.ศ. ชาวบาบิโลนและอียิปต์โบราณ -3000 Phythagoras of Samos (กรีก) Euclid (กรีก) Hipparchus (กรีก) Ptolemy (กรีก) Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (แบกแดด) John Napier (สก๊อตแลนด์) Edmund Gunter (อังกฤษ) Thomas Harriot (อังกฤษ) René Descartes (ฝรั่งเศส) Blaise Pascal (ฝรั่งเศส) John Wallis (อังกฤษ) Isaac Newton (อังกฤษ) และ Gottfried Leibniz (เยอรมัน) Guillaume de L'Hôpital (ฝรั่งเศส) William Jones (อังกฤษ) Leonhard Euler (สวิส) Abraham de Miovre (ฝรั่งเศส) Leonhard Euler (สวิส) Gabriel Cramer (สวิส) Karl Friedrich Gauss (เยอรมัน) George Boole (อังกฤษ) John Venn (อังกฤษ) และ Leonhard Euler (สวิส) Dénes König (ฮังการี) John Wilder Tukey (อเมริกา) Robert Nemiroff และ Jerry Bonnell (อเมริกา) Yasumasa Kanada และ Daisuke Takahashi (ญี่ปุ่น) Curtis Cooper และ Steven R. Boone (อเมริกา) -500 -300 -140 200 830 1618 1624 1631 1637 1654 1655 1666 1696 1706 1727 1733 1736 1750 1801 1847 186x 1936 1977 1994 1999 2005 หมายเหตุ นอกจากที่เราเห็นชื่อผู้คดิ ค้นอย่างชัดเจน เช่น ทฤษฎีบทปีทาโกรัส, กฎของโลปีตาล, กฎของคราเมอร์, วิธีหา ห.ร.ม. ของยุคลิด, แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์, สามเหลี่ยมปาสคาล ฯลฯ ยังมีอีกหลายชื่อที่น่าสนใจครับ.. (1) คําว่า algebra (พีชคณิต) และ algorithm (กระบวนการคิด) มาจากชื่อของ al-Khwarizmi (2) คําว่า cartesian มาจากชื่อของ Descartes (3) สัญลักษณ์ e มาจากชื่อย่อในลายเซ็นของ Euler ซึ่งเป็นผู้ประมาณค่าของ e และพิสูจน์ว่าเป็นจํานวนอตรรกยะ ส่วน Jones เลือกใช้อักษรกรีก π (pi) แทนอัตราส่วน 3.14.. เพราะมีเสียงขึ้นต้นเหมือน perimeter (เส้นรอบรูป) และ Wallis เลือกใช้สัญลักษณ์ ∞ แทนค่ามากจนไม่สิ้นสุด เพราะ ∞ เป็นตัวเลขในภาษากรีก แปลว่าหนึ่งพัน (4) ตรรกศาสตร์แบบสัญลักษณ์ บางครั้งเรียกตัวแปรค่าความจริงว่า boolean มาจากชื่อของ Boole (5) โค้งปกติรูประฆัง บางครัง้ เรียกว่า Gaussian distribution มาจากชื่อของ Gauss Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET จํานวนเชิงซอน 251 Cplx º··Õè 11 ¨íҹǹeªi§«o¹ ระบบจํานวนที่ศึกษากันโดยปกติ คือระบบ จํานวนจริง (Real Number; R ) ซึ่งเราพบว่าบาง สมการไม่มีคําตอบที่เป็นจํานวนจริง เช่น x2+4 = 0 หรือ x2+x +2 = 0 ฯลฯ (เพราะในรากที่สองติดลบ) จึง ได้มีการสมมติจํานวนแบบใหม่ขึ้นมาใช้เพิ่มเติม เพื่อให้ ทุกปัญหามีคําตอบเสมอ จํานวนแบบใหม่นี้เรียกว่า จํานวนจินตภาพ (Imaginary Number; I m ) จํานวนจินตภาพ อยู่ในรูป bi โดย b ∈ R และนิยามให้ เช่น สมการ x2+ 4 = 0 จะได้คําตอบเป็น x = ± − 4 นั่นคือ x สมการ x2+ x +2 = 0 ใช้สูตรหาคําตอบจะได้ x = −1 ± 2 − 7 i = −1 = 2 i, − 2 i นั่นคือ x = − 1 7 ± i 2 2 ระบบจํานวนที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ในรูป a + bi (โดย a, b ∈ R ) เรียกว่า จํานวนเชิงซ้อน (Complex Number; C ) มี a เป็นส่วนจริง (Real Part) และ b เป็นส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) และมักแทนตัวแปรที่เป็นจํานวนเชิงซ้อนด้วย z หมายเหตุ 1. จาก z = a + bi บางทีเขียนว่า a = Re (z) และ b = Im (z) ก็ได้ เช่น ถ้า z1 = 3 − 2 i จะได้ Re (z1) = 3 และ Im (z1) = −2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET จํานวนเชิงซอน 252 2. บางตําราใช้ j = −1 แทน i เพื่อป้องกันการสับสนกับตัวแปรอื่น เช่น กระแสไฟฟ้า * 3. ข้อสังเกต กําลังของ i มี 4 แบบหมุนเปลี่ยนกัน เริ่มจาก i2= −1 ... i3= − i ... i4= 1 i5= i ... i6= −1 ... i7 = − i ... i8= 1 ... แผนภาพของจํานวนเชิงซ้อน เปลี่ยนจากเส้นจํานวนในแกนนอน 1 มิติ กลายเป็นระนาบ 2 มิติ (คือมีแกนจริง; Real Axis กับ แกน จินตภาพ; Imaginary Axis ตั้งฉากกัน) เรียกว่า ระนาบเชิงซ้อน (Complex Plane) ... และใช้คู่อันดับ (a, b) หรือเวกเตอร์ที่ชี้จาก (0, 0) มายัง (a, b) แทนจํานวนเชิงซ้อน z = a + bi ได้ im 0 -2 3 re (3,-2) S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ÃaÇa§oÂÒÊaºÊ¹¡aºeÇ¡eµoùa¤Ãaº ... ã¹eÃ×èo§eÇ¡eµoùaé¹æ¡¹¹o¹ÁÕ i 桹µaé§ÁÕ j 浨íҹǹeªi§«o¹æ¡¹¹o¹äÁÁÕÊaÅa¡É³oaäÃeÅ æÅa桹µa§é ÁÕ i 11.1 การคํานวณเบื้องต้น ในการคํานวณเราปฏิบัติเหมือนว่า i เป็นตัวแปรหนึ่ง (ซึ่ง i2= −1 ) เพียงเท่านั้น a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d 1. การเท่ากัน หรือเขียนเป็นคู่อันดับ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i 2. การบวก หรือเขียนเป็นคู่อันดับ (a, b) + (c, d) = (a+ c, b + d) (a + bi) × (c + di) = (ac −bd) + (ad+bc)i 3. การคูณ หรือเขียนเป็นคู่อันดับ (a, b) × (c, d) = (ac−bd, ad+bc) = d สมบัติของจํานวนเชิงซ้อน เหมือนกับสมบัติของจํานวนจริงทุกประการ (และจํานวนจริงก็คือ จํานวนเชิงซ้อนประเภทหนึ่ง) นั่นคือ มีสมบัติปิด, การสลับที่การบวกและคูณ, การเปลี่ยนกลุ่มการ บวกและคูณ, การแจกแจง, และการมีเอกลักษณ์กับอินเวอร์ส โดยเอกลักษณ์การบวกก็คือ 0 หรือ 0 + 0 i หรือ (0, 0) และเอกลักษณ์การคูณคือ 1 หรือ 1 + 0 i หรือ (1, 0) เช่นเดียวกับในระบบ จํานวนจริง ... สรุปสั้นๆ ว่า ทุกกฎที่เคยใช้กับจํานวนจริง จะยังคงใช้ได้ ดังนั้น อินเวอร์สการบวกของ z = a + bi ก็คือ และอินเวอร์สการคูณของ z = a + bi คือ z−1 = 1 = z −z = −a − bi 1 a + bi a − bi คูณทั้งเศษและส่วน ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ = ⎜ 2 2⎟ − ⎜ 2 2⎟i ⎝ a +b ⎠ ⎝ a +b ⎠ ซึ่งสามารถทําให้อยู่ในรูปปกติได้โดยนํา 1 a + bi a − bi = 2 2 a +b และมีทฎษฎีบทเกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณว่า (z1z2)−1 = z1−1 z2−1 และ จะได้ S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¡ÒúǡæÅaź¨íҹǹeªi§«o¹ ¹aé¹äÁÁÕoaäÃÂu§ÂÒ¡ 浡Òäٳ æÅa¡ÒÃËÒùҨa½¡½¹ãË ¤u¹e¤Â¹a¤Ãaº (zn)−1 = (z−1)n = z−n หมายเหตุ 1. ในระบบจํานวนเชิงซ้อนจะไม่มีการเปรียบเทียบมากกว่า, น้อยกว่า 2. สมการ a × b = ab จะไม่เป็นจริง หากว่า a, b ติดลบทั้งสองจํานวน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET จํานวนเชิงซอน 253 • ตัวอยาง ใหหาผลบวก ลบ คูณ และหาร ของจํานวนเชิงซอน ตอบ z + z = (3 − 2 i) + (1 + i) = 4 − i 1 z1 = 3 − 2 i ดวย z2 = 1 + i 2 z1 − z2 = (3 − 2 i) − (1 + i) = 2 − 3 i z1z2 = (3 − 2 i) ⋅ (1 + i) = 3 + 3 i − 2 i − 2 i 2 = 5 + i ... (อยาลืม 3 −2i 3 − 2i ⎛1− i⎞ 3 − 3 i − 2 i + 2 i2 z1 = = ⋅⎜ = ⎟ z2 1+ i 1+ i 1 − i + i − i2 ⎝1− i⎠ • ตัวอยาง ใหหาคา วิธีคิด เนื่องจาก ดังนั้น (1 + i)12 (1 − i) 10 (1 + i)12 (1 − i) 10 = 1− 5i = (1/2) − (5/2) i 2 2 = 1 − 2 i + i 2 = −2 i (1 − i)10 (2 i)6 (−2 i)5 64 i 6 = และ (1 − i) = −2 i −32 i 5 หรือคิดไดอีกวิธีดังนี้ ... เนื่องจาก ดังนั้น ) (1 + i)12 (1 + i)2 = 1 + 2 i + i 2 = 2 i = i 2 = −1 2i ⎛1+ i⎞ ⎛ 1+ i⎞ ⎛ 1+ i⎞ ⎜ 1− i⎟ = ⎜ 1− i⎟ ⋅ ⎜ 1+ i⎟ = 2 = i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 10 ⎛1 + i⎞ 11 2 10 = ⎜ ⎟ (1 + i) = (i) (2 i) = 2 i = −2 i ⎝1 − i⎠ ... (อยาลืม i 11 = i 3 = − i แบบฝึกหัด 11.1 (1) z1 = (2, −3) , z2 = (−4, −1) , z3 = (−2, 1) (1.1) (1.2) (1.3) z1 + z2 z1 − z3 2 z1 + 3 z2 จงหาค่า (1.4) (1.5) (1.6) (2) จงหาอินเวอร์สการบวก และอินเวอร์สการคูณ ของ (2.1) z1 = (2, −3) (2.3) (2.4) (2.2) z2 = (−4, −1) (3) จงหาค่าของ (3.1) (6, 4) − (3, 5) (3.2) (−3, −2) − (−4, 2) (3.3) (−4, 3) − (5, −6) (3.4) (3.5) (3.6) z1z2 z1z3 z1 (z2 + z3) z3 = (−2, 1) z4 = (1, 0) (3, −2) ÷ (5, 4) (7, 2) ÷ (0, 3) (6, 3) ÷ (3, 0) (4) จงหาค่าจํานวนจริง x และ y เมื่อ (4.1) (x, y) + (−2, 4) = (−4, −1) (4.2) [Ent’25] (x, y) × (2, −3) = (−5, −3) (4.3) (3, 1) ÷ (x, y) = (1, −2) (4.4) x − 2y i = 1 + i + 2 + i … [ข้อสังเกต : i (5) x2 + y2 + 2xy i − 1 − i = 0 i 1 = − i] i จงหาค่า x และ y Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (6) ถ้า z1 = (2, −3) จงหาค่า 2 z1−2 (7) จงหาค่าของ (7.1) 2 + 3 i 3 + 4i 2 + i + 2 −i 1 + 2i (7.2) (8) จงหาค่าของ 3− 4 i ⎞ ⎛ 3+ 4 i ⎜ 3− 4 i − 3+ 4 i ⎟ ⎝ ⎠ 3 (9) ให้หาค่าต่อไปนี้ (9.1) i 29 (9.2) i 42 i 135 + i 136 + i 137 + i 138 และ i 4, 040 i 135 i 136 i 137 i 138 z = i 9 + i 10 + ... + i 126 เมื่อ i2= −1 แล้ว จงหาค่า 2 z−1 (1 + i)4 1−i (12) จงหาอินเวอร์สของ (13) จงหาค่าของ (13.1) (1 + i)12 (13.2) i 451 (9.3) (9.4) (11) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ (14) จงหาค่า −14 + 23 i 16 + 12 i + 3 + 4i 4i (7.3) 4 − 2i (10) จงหาค่า จํานวนเชิงซอน 254 (13.3) (1 + i)16 (1 − i)10 (1 + i)2 + (1 + i) + 1 1+ i m ∈ I+ ที่น้อยที่สุด ที่ทําให้ 5m ⎛1 + i⎞ ⎜ ⎟ ⎝1 − i⎠ m 1 − i⎞ = ⎛⎜ ⎟ ⎝1 + i⎠ 11.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ ในเศษส่วนหนึ่งๆ เมื่อมีจํานวนเชิงซ้อน a + bi เป็นตัวส่วน จะนํา สังยุค (conjugate) ของ a + bi คือ a − bi มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นเลขจํานวนจริง ( a2+b2 ) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสังยุคของ z = a + bi คือ z = a − bi ค่าสัมบูรณ์ (absolute value) ของจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนใดๆ คือระยะห่างจากจุด นั้นไปถึงจุดกําเนิด (0, 0) ดังนั้น z = a + bi = a2+b2 สมบัติของสังยุคและค่าสัมบูรณ์ 1. z = z ก็ต่อเมื่อ z เป็นจํานวนจริงเท่านั้น และ 2. (z−1) = (z)−1 และ z−1 = z −1 n ∈ I+ 3. (zn) = (z)n และ zn = z n 4. z1 ± z2 = z1 ± z2 z = z Math E-Book Release 2.2 เสมอ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 5. 6. 7. 8. z1z2 = z1z2 จํานวนเชิงซอน 255 z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 และ z1z2 = z1 z2 z และ z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ และ z ⋅ z = z 2 z = −z = z z1 = 1 + 2 i • ตัวอยาง ถา วิธีคิด จาก z z 1 2 z1z2 − z2 = i และ จงหาคา − z2 = i → z2(z1 − 1) = i → z2 = z2−1 i z1 − 1 จากนั้นใสสังยุคทัง้ สองขางของสมการ เพื่อใหทางซายไมติดสังยุค ... จะได และหาอินเวอรสไดเปน • ตัวอยาง ใหหาคาของ ตอบ z1 − 1 −i z2−1 = z เมื่อ (2−2 3 i)1/ 2(3+ 4 i)3 z = = 2 (2 − i) (1 + i) = 2i −i z2 = = −2 (2−2 3 i) (3+ 4 i)3 (2 − i)2(1 + i) 2−2 3 i 2−i 1/ 2 2 3+ 4 i 3 = 1+ i (4)1/ 2(5)3 ( 5)2( 2) แบบฝึกหัด 11.2 (15) z1 = 2 + 3 i , z2 = 3 − 4 i (16) ถ้า จงหาค่าของ (15.1) z1 + z2 (15.4) ⎛ z1 ⎞ ⎜z ⎟ ⎝ 2⎠ (15.2) (15.3) z1 − z2 (15.5) (z21) z1z2 z1 = 3 + 4 i และ z1z2 + z2 − 4 = 0 (17) จงหาค่า z ที่สอดคล้องกับสมการ จงหาค่า z (19.1) (19.2) z2−1 z + i + 3 − 2 z = 1 + 2i (18) จงหาค่าของ (18.1) 3 + 4 i (18.2) −5 + 12 i (18.3) − 7 i (19) จงหาค่า −i z1 − 1 (18.4) (18.5) −4 + 0 i (0, −5) เมื่อ z คือ (1+ 3 i)2( 3 − i)4 2 (1− 3 i) −2 i (1+ 3 i)5 (1+ 2 i)6 Math E-Book Release 2.2 (19.3) (3+ 4 i)4 (1 + i)16 (19.4) ((1, 1)−1)4 (คณิต มงคลพิทักษสุข) = 25 2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (20) จงหาค่าของ จํานวนเชิงซอน 256 (2−i)(3+2 i)(4− 3 i)(5+ 4 i) (1+2 i)(2− 3 i)(−4−5 i) (21) ถ้า z = (1+ 3 i)( 3 − i)(1 + i) (22) ถ้า z1 + z2 = 0 จงหาค่า z1 = z2 = 1 และ 3 z −1 จงหาค่า 1 1 + z1 z2 (23) ให้แก้ระบบสมการต่อไปนี้ เพื่อหาค่า z (โดยสมมติ (23.1) z + 1 = 1 z + 3 − 2i z = z + 1 = 1 z + (3 − 2 i) (23.2) [Ent’30] (23.3) และ z − 4 = 1 z −8 (24) ถ้า z + 12 = 2 z + 3 (25) เมื่อ z ≠ 1 จงหาค่า และ จงหาค่า z = a +bi) 149 และ z z = 29 z − 12 5 = z − 8i 3 z 1 + z⎞ Re ⎛⎜ ⎟ ⎝1 − z⎠ (26) [Ent’ต.ค.41] ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง เชิงซ้อน z (z − z)15 (27) ข้อใดไม่ใช่กราฟวงกลม ก. z z = 1 ข. z + z = z (i+ 1)(z + 1) = −1 ค. ง. แล้ว จงหาส่วนจริงของจํานวน z + z = z 2 3z +i = z + 3 i (28) จงเขียนกราฟของ (28.1) z−(2+3 i) = 1 (28.2) z +2 = 3 z−2+ 4 i (28.3) z +2 i + z−2 i = 10 หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้อาจเปลี่ยนเป็น “จงหาค่า z ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้” ก็ได้ และคําตอบจะ มีได้มากมาย (ทุกๆ จุดในกราฟ) เพราะตัวแปร z นั้น สมการเดียวไม่เพียงพอ 11.3 รูปเชิงขั้ว การอ้างถึงพิกัด (a, b) ของจํานวนเชิงซ้อน อาจจะกล่าวได้อีกแบบเป็น (r, θ) โดยที่ r แทน “ระยะห่างจากจุดกําเนิด” (modulus) และ im θ แทน “ทิศทาง” (argument) (มุมวัดทวนเข็มนาฬิกาจาก z (a,b) b +x ) เรียกรูปแบบนี้ว่า รูปเชิงขั้ว (Polar Form) แกน r ซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างสองระบบนี้เป็นดังนี้ θ re a = r cos θ r = a2 + b2 = z a O b = r sin θ เราอาจเขียนรูปทั่วไปของ z = a + bi เป็น tan θ = (b/a) z = (r cos θ) + (r sin θ)i Math E-Book Release 2.2 หรือ z = r (cos θ + i sin θ) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET จํานวนเชิงซอน 257 หมายเหตุ 1. จาก z = r (cos θ + i sin θ) บางทีเขียนว่า r = Abs (z) และ θ = Arg(z) 2. บางตําราใช้สัญลักษณ์ z = r ∠θ หรือ z = r cis θ เพื่อความสะดวกในการเขียน, คํานวณ รูปเชิงขั้วสามารถนํามาใช้ประโยชน์ในการคูณ หาร ยกกําลัง และถอดรากของจํานวน เชิงซ้อนได้สะดวก โดยมีทฤษฎีอยู่ดังนี้ ถ้า z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2) แล้ว 1. z1z2 = r1r2 (cos (θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2)) 2. z1 /z2 = (r1 /r2)(cos (θ1−θ2) + i sin(θ1−θ2)) 3. zn = rn (cos (nθ) + i sin(nθ)) → ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ (De Moivre’s Theorem) 4. รากที่ n ของ z นั้น จะมีอยู่ n แบบเสมอ เพราะมาจากสมการดีกรี n คือ คําตอบแรกได้แก่ n z = n r (cos (θ) + i sin(θ)) n (root)n = z n และคําตอบที่เหลือจะมีขนาดเท่ากันแต่มุมต่างๆ กัน ... หาค่ามุมได้จากการแบ่งวงกลม 360° ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กันโดยมีมุม θ/n นี้เป็นจุดๆ หนึ่งในบรรดาคําตอบ หรือเขียนเป็นสูตรว่า θ θ 360° 360° n z = n r (cos (k + ) + i sin(k + )) โดย k = 0, 1, 2, ..., (n−1) n n สูตรลัดในการหารากที่สองของ ⎛ r +a ±⎜ + ⎝ 2 r −a ⎞ i⎟ 2 ⎠ เมื่อ b>0 n n a+bi คือ ... และ ⎛ r +a ±⎜ − ⎝ 2 r −a ⎞ i⎟ 2 ⎠ เมื่อ b 1 3. ลําดับเลขคณิต ลิมิตหาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นกรณีที่ d = 0 ) r < −1 , เป็นศูนย์ เมื่อ แบบฝึกหัด 13.2 an เป็นเท่าใด (23) ลําดับต่อไปนี้มีค่า nlim →∞ (23.1) an = 2 n−1 (23.2) an = 1 (23.3) (23.4) an = sin nπ (24) ให้หาลิมิตของลําดับต่อไปนี้ (24.1) an = 4n+ 3 (24.4) an = 5n2+ 4 n5+8 n 3n+ 1 (24.2) an = 2n2+n−3 5n2− 1 (24.5) an = 6n2+ 7 3n− 1 (24.3) an = 6n+ 7 5n2+ 4 (24.6) an = n7 + 4 n+ 1 (25.4) an = (2n+ 1) n! (n+ 1)! (25.5) ⎛ n +5 ⎞ an = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 n− 1 ⎠ an (25) ให้หาค่าลิมิตของ เมื่อ (25.1) 1−2n− 3n3 an = (3n+ 1)3 (25.2) an = n + 1 n − 1 (25.3) an = n2− 3 (26) จงหาค่า (26.1) ⎛ 2 + ( 1 )n ⎞ 2 ⎟ lim ⎜ n→∞ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ (27) [Ent’41] ถ้า an−bn+ anbn an = n2+n+ 1 3n2+ 1 (26.2) และ bn = ⎡⎛ 2n2+ 4n+ 1 ⎞2 ⎛ 4n ⎞ ⎤ lim ⎢⎜ ⎟⎟ ⎜ 1+ n ⎟ ⎥ n → ∞ ⎢⎜ 3n2 ⎝ ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ ⎣ 3, 3 3, 3 3 3 , 3 3 3 3 , ... 2n−5n 5n+9 แล้ว ลิมิตของลําดับที่มีพจน์ที่ n เป็น มีค่าเท่าใด (28) [Ent’38] สําหรับจํานวนเต็มบวก n ใดๆ ให้ lim an 5 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ã¹¢o 25.1 ËÒ¡ã¤ÃãªÇi¸ÅÕ a´ (Áo§ÊaÁ»ÃaÊi·¸iì) oÒ¨Å×Á¡¡íÒÅa§·Õµè aÇÊǹ (26.3) [Ent’27] ลิมิตของลําดับอนันต์ n→∞ an = cos nπ ⎡ 1/n n ⎤ Mn = ⎢ ⎥ ⎣ − 1/n n+ 1⎦ และ มีค่าเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) an = det (Mn) แล้ว คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลําดับและอนุกรม 284 13.3 อนุกรมและซิกม่า อนุกรม (Series) คือผลบวกของแต่ละพจน์ในลําดับ อนุกรมที่พบบ่อยคือ อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series) และ อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) เช่น ลําดับเลขคณิต 5, 9, 13, 17, ... เป็นอนุกรมเลขคณิต 5 + 9 + 13 + 17 + ... ลําดับเรขาคณิต 2, 4, 8, 16, ... เป็นอนุกรมเรขาคณิต 2 + 4 + 8 + 16 + ... ในทํานองเดียวกัน อนุกรมจํากัด (finite series) เกิดจากลําดับจํากัด และอนุกรมอนันต์ (infinite series) เกิดจากลําดับอนันต์ n ค่าของอนุกรมสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ซิกม่า (sigma) ในรูป ∑ ai ได้ เช่น i=1 ลําดับ an = 1 n หรือ 1, และมีค่าเท่ากับ ∑ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ i=1 ⎝ i ⎠ 1 1 1 , , , ... 2 3 4 จะเขียนเป็นอนุกรมได้ว่า 1+ 1 1 1 + + + ... 2 3 4 ∞ “ผลบวกย่อย (partial sum) n พจน์แรก” ของอนุกรม จะใช้สัญลักษณ์ ดังนั้น ค่าของอนุกรมอนันต์ก็คือ ∞ S∞ = ∑ ai i=1 • • • ∑k i=1 n n ∑ ai i=1 = lim Sn n→∞ สูตรผลบวก สมบัติของ Σ n Sn = = n⋅k ∑ k ai • n = k ⋅ i=1 n ∑ (ai ±bi) i=1 = ∑ ai i=1 n ∑ ai i=1 • ± n ∑ bi • i=1 n(n+ 1) 2 i=1 n n(n+ 1)(2n+ 1) 2 ∑i = 6 i=1 n ∑i = n ∑ i3 i=1 ⎡ n(n+ 1)⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 2 เพิ่มเติม เรื่องซิกม่าและสมบัติของซิกม่านี้จะได้ใช้งานอีกครั้งในบทเรียนสถิติ (บทที่ 17) แบบฝึกหัด 13.3 (29) ถ้า f (x) = 3x + 1 u1 = 3 , u2 = 2 , u3 = 1 , u4 = 5 และ (30) จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้โดยใช้สัญลักษณ์ Σ (30.1) 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + 50 ⋅ 51 (30.2) 1 + 1 + 1 + ... + 1 2 (30.3) (30.4) (30.5) 4 6 2n 1 + 3 + 7 + 15 + ... + พจน์ที่ p ar + ar p+1 + ar p +2 n + ... + a rp + q 1 1 1 + + + ... 4 5 6 Math E-Book Release 2.2 4 จงหาค่า ∑ ui f (ui) i=1 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลําดับและอนุกรม 285 (31) หาค่าของอนุกรมต่อไปนี้ (31.1) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 (31.2) 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 102 (31.3) 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 73 (32) ให้หาค่าของอนุกรมต่อไปนี้ 4 (32.1) ∑ i2(i−3) (32.3) ∑ ⎛⎜⎜ k + 4 ⎞⎟⎟ k = 2 k −1 6 ⎝ i=1 ⎠ 3 (32.2) ∑ (n2+ 3) n=1 (33) [Ent’มี.ค.42] ถ้า f (x) = x − 1 30 แล้ว ∑ (f D f)(n2) มีค่าเท่าใด n = 10 (34) ให้หาค่าผลบวกต่อไปนี้ [หมายเหตุ หากรูปทั่วไปของอนุกรมเป็นแบบ เลข ⋅ เลข จะคํานวณด้วยสูตรซิกม่า] (34.1) ผลบวก 10 พจน์แรก ของอนุกรม 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n (n+ 1) (34.2) S10 ของอนุกรม 1 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 5 ⋅ 8 + 3 ⋅ 6 ⋅ 9 + ... (34.3) S8 ของอนุกรม 1 ⋅ 22 + 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 42 + ... + n(n+ 1)2 (34.4) S20 ของอนุกรม 1 + (1+2) + (1+2+ 3) + ... + (1+2+ 3+...+n) (35) [Ent’39] สําหรับแต่ละจํานวนเต็ม n > 4 จงหาค่าลิมิตของ n4 + 1 1 + 2 + 33 + ... + n3 3 3 (36) [Ent’มี.ค.43] ถ้าลําดับเลขคณิต a1, a2 , a3 , ... มีพจน์ที่ 10 และพจน์ที่ 15 เป็น –19 และ –34 20 ตามลําดับแล้ว ∑ (ai + 2 i) มีค่าเท่าใด i=1 (37) [Ent’ต.ค.42] ให้ a เป็นจํานวนจริง กําหนดพจน์ที่ n ของอนุกรมคือ ถ้าพจน์ที่ m คือ 1 + 38 a 1− a 1 + (n−2) a 1− a แล้วผลบวก m พจน์แรกของอนุกรมมีค่าเท่าใด 13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ อนุกรมที่หาค่า S∞ ได้ เรียกว่า อนุกรมลู่เข้า (Convergent Series) และอนุกรมที่หาค่า S∞ ไม่ได้ เรียกว่า อนุกรมลู่ออก (Divergent Series) rn < 1 และ lim an = 0 เท่านั้น อนุกรมใดๆ จะหาค่า S∞ ได้ (ลู่เข้า) ก็ต่อเมื่อ nlim →∞ n→∞ 1. อนุกรมเลขคณิต Sn = n ∑ ⎡⎣a1 i=1 + (i− 1) d⎤⎦ = n (a1+ an) 2 หรืออาจเขียนเป็น Σ เพื่อใช้สูตรคํานวณค่าก็ได้ S∞ หาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นอนุกรม 0 + 0 + 0 + …) Math E-Book Release 2.2 S e¾ièÁeµiÁ! S 1. ÅíÒ´aºÅÙe ¢Ò ¡aºo¹u¡ÃÁÅÙe¢Ò äÁeËÁ×o¹¡a¹ ¹a¤Ãaº ÅíÒ´aºÅÙe ¢Ò¤×oËÒ¾¨¹o¹a¹µä´ æµ o¹u¡ÃÁÅÙe ¢Ò¤×oËҼźǡ¶Ö§¾¨¹o¹a¹µä´.. 2. o¹u¡ÃÁ¨aÅÙe¢Òä´¹aé¹ ÅíÒ´aºµo§ÅÙe¢ÒÊÙ 0 ¡o¹ æµÅÒí ´aº·ÕÅè eÙ ¢ÒÊÙ 0 o¹u¡ÃÁoÒ¨¨aäÁÅÙ e¢Ò¡çä´¹a¤Ãaº (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 2. อนุกรมเรขาคณิต แต่ S∞ Sn = หาค่าได้ก็เมื่อ ลําดับและอนุกรม 286 n ∑ ⎡⎣ a1 r(i − 1) ⎤⎦ = i=1 | r |< 1 a1(1 − rn) 1−r เท่านั้น และค่าที่ได้คือ S∞ = a1 1−r 3. อนุกรมใดๆ ที่ไม่ใช่สองแบบข้างต้น จะมีวิธคี ํานวณต่างๆ กันไป ซึ่งจะแนะนําวิธีคิดไว้เป็นหมายเหตุ ในแบบฝึกหัดข้อ (34), (49), (56), (58) สรุปคร่าวๆ ได้ดังนี้ - ¶ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ÊÁ¡ÒÃeʹµÃ§ e»¹o¹u¡ÃÁeÅ¢¤³iµ (ãªÊÙµÃeÅ¢¤³iµËÃ×oÊÙµÃ Σ ¡íÒÅa§Ë¹Ö觡çä´) - ¶ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ เลข + เลข ¡çãËæ¡«i¡ÁÒ¤i´·ÕÅaÊǹ - ¶ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ËÃ×oÊÒÁ ¨aoÂÙã¹ÃÙ» เลข ⋅ เลข (ãªÊÙµÃ Σ ¡íÒÅa§Êo§, ¡íÒÅa§ÊÒÁ) ËÁÒÂe˵u ¶ÒËҼŵҧ¢o§¼ÅµÒ§ (ź¡a¹Êo§ªaé¹) æÅÇe»¹¤Ò¤§·Õè æÊ´§ÇÒe»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ ¶ÒËҼŵҧo´Âź¡a¹ÊÒÁªaé¹æÅÇe»¹¤Ò¤§·Õè æÊ´§ÇÒe»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊÒÁ eËÅÒ¹ÕéËÒÃÙ»·aèÇä»ä´o´Âe¢Õ¹ÃÙ»·aèÇ仢o§¾Ëu¹ÒÁ æÅÇæ¡ÃaººÊÁ¡ÒÃe¾×èoËÒÊaÁ»ÃaÊi·¸iìæµÅaµaÇ 1 - ¶ÒÃÙ»·aèÇ仢o§o¹u¡ÃÁe»¹ เลข eÃÕ¡ÇÒo¹u¡ÃÁÎÒÃoÁ¹i¡ ..äÁä´ÈÖ¡ÉÒã¹·Õè¹éÕ - ¶ÒÃÙ»·aèÇ仢o§o¹u¡ÃÁe»¹ เลข ⋅ เลข 1 ¨a¤íҹdzo´Âæ¡e»¹eÈÉÊǹÂo - ¶ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅ e»¹o¹u¡ÃÁeâҤ³iµ (e¢Õ¹模樧oo¡ÁÒæÅÇãªÊÙµÃeâÒ) - ¶ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ 1 เรขา , เรขา ⋅ เรขา , ËÃ×o 1 เรขา ⋅ เรขา ¡çÂa§¤§e»¹o¹u¡ÃÁeâҤ³iµ (模樧oo¡ÁÒæÅÇãªÊÙµÃeâÒ) - ¶ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ เรขา + เรขา ¡çãËæ¡«i¡ÁÒ¤i´·ÕÅaÊǹ - ¶ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ เลข ⋅ เรขา ËÃ×o เลข eÃÕ¡ÇÒo¹u¡ÃÁ¼ÊÁ (¹íÒ¤Ò เรขา r ¢o§eâҤٳµÅo´ æÅǵaé§ÊÁ¡ÒÃź¡a¹ e¾×èoãËÊǹ·Õèe»¹eÅ¢¤³iµËÒÂä»eËÅ×oæµeâҤ³iµÅǹæ) - ¶ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ เรขา ..äÁä´ÈÖ¡ÉÒã¹·Õè¹éÕ เลข แบบฝึกหัด 13.4 (38) ให้หาผลบวกย่อย 18 พจน์แรก ของอนุกรม (39) ให้หาผลบวกย่อย 8 พจน์แรก ของอนุกรม (40) จงหาค่าของ 2 + 6 + 10 + ... 1 + 1 + 2 + ... 2 1 + 3 + 5 + ... + 101 (41) ลําดับเลขคณิต มีผลต่างร่วมเป็น 4 และมีพจน์ที่ 13 เป็น 51 จงหาผลบวก 10 พจน์แรก (42) อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่สิบเป็น 20 พจน์ที่ห้าเป็น 10 จงหาผลบวกย่อย (43) อนุกรมเรขาคณิตมีค่า a3 = 80 และ S3 = 65 a8 ถึง a15 จงหาพจน์แรก และอัตราส่วนร่วม (44) อนุกรมเรขาคณิตมีพจน์แรกเป็น 160 และอัตราส่วนร่วมเป็น 3/2 ถ้าผลบวก n พจน์แรกเป็น 2,110 แล้ว จงหาค่า n Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลําดับและอนุกรม 287 (45) [Ent’ต.ค.43] ให้ 5, x, 20, ... เป็นลําดับเลขคณิตที่มีผลบวกของ 12 พจน์แรกเป็น a และ 5, y, 20, ... เป็นลําดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 6 เป็น b โดยที่ y < 0 แล้ว จงหา a + b ∞ (46) [Ent’40] a+3, a, a-2 เป็นลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น r จงหาค่า ∑ a rn − 1 n=1 (47) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกที่ทําให้ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลข คณิต 7 + 15 + 23 + ... มีค่าเท่ากับ 217 แล้ว (2n + 2n + 1 + ... + 22n) / 28 มีค่าเท่ากับเท่าใด (48) [Ent’36] จํานวนเต็มบวก m ซึ่งมากที่สุด ที่ทําให้อนุกรม 1 1 1 1 − m + 1 + m + 2 − m + 3 + ... 2m 2 2 2 มีผลบวกมากกว่า 0.01 คือเท่าใด (49) ให้หาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรม 4 + 44 + 444 + 4444 + ... [Hint : ทําเป็นเลข 9 ทุกตัวก่อน เพื่อเปลี่ยนเป็น 10 n − 1 ] (50) จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ (50.1) 1 + 1 + 1 + ... + 3 (50.2) + ... 2 6 18 2 ⋅ 3n 1 1 1 (−1)n + 1 − + − ... + + ... 2 4 8 2n (50.3) (50.4) (50.5) (50.6) 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... + 103 − n + ... 4 8 + + ... 3 +2 + 3 9 3 3 − + ... 6 − 3 + 2 4 1 1 1 + + + ... 1+ 0.9 (0.9)2 (0.9)3 (51) ชายคนหนึ่งเดินลากท่อนไม้ไปตามแนวราบ ก้าวแรกเขาเดินได้ระยะทาง 0.5 เมตร และด้วย ความล้าทําให้ก้าวถัดไปได้ระยะทางเพียง 80% ของก้าวก่อนหน้าเสมอ ถามว่าเมื่อเขาเดินครบ 10 ก้าว จะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าใด และถ้าปล่อยให้เดินไปเรื่อยๆ จะได้ระยะทางเท่าใด (52) จงหาค่า x ที่ทําให้ 1 + x + x2 + ... = 4 (53) [Ent’39] ถ้าอนุกรม 1+ จงหาค่าผลบวกของอนุกรม 2x 22x 23x + + + ... x x2 1+2 (1+2 ) (1+2x)3 log2 x − (log2 x)2 + (log2 x)3 − (log2 x)4 + ... (54) [Ent’36] ถ้า n เป็นจํานวนเต็มบวกซึ่งทําให้ แล้ว 1 + 2 + 22 + ... + 2n มีค่าเท่าใด (55) [Ent’41] ถ้า a1 + ∞ ∑ (an + 1−an) n=1 มีผลบวกเท่ากับ 9 แล้ว 1 + log 2 2 + log3 2 2 + ... + logn 2 2 = n2−21 a1, a2 , ... เป็นลําดับคอนเวอร์เจนต์ มีลิมิตเป็น 1 แล้ว อนุกรม มีผลบวกเป็นเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลําดับและอนุกรม 288 (56) ให้หาค่าผลบวกต่อไปนี้ [หมายเหตุ หากรูปทั่วไปของอนุกรมเป็น 1 เลข ⋅ เลข 1 1 1 1 = ( − )⋅ ] 3⋅5 3 5 2 1 1 1 1 + + + ... + + ... 3⋅5 5⋅7 7⋅9 (2n+ 1)(2n+ 3) จะคํานวณโดยแยกเป็นเศษส่วนย่อย เช่น (56.1) (56.2) S30 (56.3) Sn ของ ของ 1 1 1 1 + + + ... + + ... 1⋅ 3 3⋅5 5⋅7 (2n−1)(2n+ 1) log 1 2 3 n + log + log + ... + log + ... 2 3 4 n+ 1 (57) [Ent’35] อนุกรม ∑ ⎛⎜⎜ 5n n=1 2 ∞ ⎝ − 3 ⎞ ⎟ n(n+ 1) ⎟⎠ มีผลบวกเป็นเท่าใด (58) ให้หาค่าผลบวกต่อไปนี้ [หมายเหตุ หากรูปทั่วไปของอนุกรมเป็น เลข ⋅ เรขา หรือ เลข (เรียกว่า อนุกรมผสม) เรขา จะคํานวณโดยนําค่า r ของเรขา คูณตลอดแล้วตั้งสมการลบกัน เพื่อให้ส่วนที่เป็นเลขคณิตหายไป เหลือแต่เรขาคณิต] ตัวอยางเชน หาคา นํา 1 2 คูณ จะได สองสมการลบกัน (58.1) (58.2) 5 8 11 14 + + + + ... 2 4 8 16 1 5 8 11 14 + + + + ... S∞ = 2 4 8 16 32 1 5 ⎛3 3 3 5 ⎛ 3/4 ⎞ ⎞ +⎜ + + + ... ⎟ = + ⎜ S∞ = ⎟ = 4 2 2 ⎝4 8 16 2 ⎠ ⎝ 1 − 1/2 ⎠ 2 n− 1 1 3 5 7 Sn ของ + + + + ... + + ... 2 4 8 16 2n n+ 1 3 5 + 1+ + ... + n − 1 + ... 2 + 2 8 2 S∞ = ..ดังนั้น S∞ = 8 (59) อนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก และถ้าลู่เข้าให้หาค่าอนุกรมด้วย 2 n ∞ ∞ (59.1) ∑ ⎛⎜⎜ 10 ⎞⎟⎟ (59.3) ∑ ⎛⎜⎜ 5 i2−6 ⎞⎟⎟ n! ⎠ ⎛ n2 ⎞ ∑ ⎜ 2n ⎟ n=1 ⎝ ⎠ i=1 ⎝ 2 i n=1 ⎝ (59.2) +7 ⎠ ∞ (60) เขียนจํานวนต่อไปนี้ในรูปเศษส่วน (60.1) 0.212121... (60.2) 0.61041041... (60.3) 7.256256... (60.4) 2.9999... เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1.1) 2,4,8,16 (1.2) 2,6,10,14 (1.3) 1 , 1 , 1 , 1 2 4 8 16 1 (1.4) − (2.1) ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ , 4 2 9 n−1 ,− 3 16 (2.2) , 4 (2.3) 25 2 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝n⎠ Math E-Book Release 2.2 2n + 1− 3 (2.5) n (n+ 1) (3.1) เลขคณิต, (คณิต มงคลพิทักษสุข) (2.4) 3 n−1 10 18 − 3 n คณิตศาสตร O-NET / A-NET 289 (3.2) เรขาคณิต, 2n (3.3) เลขคณิต, x +2 n−2 (3.4) เลขคณิต, n log 2 (23.1) หาค่าไม่ได้ (23.2) 0 (23.3) 0 (23.4) 1 (24.1) 4/3 (24.2) 2/5 (24.3) 0 (24.4) 0 (24.5 และ 24.6) หาค่าไม่ได้ (25.1) -1/9 (25.2) 1 (25.3) หาค่าไม่ได้ (25.4) 2 (25.5) 1 / 35 (26.1) 2/3 (26.2) 4/9 (26.3) 9 (27) 1 (28) 2 (29) 128 (3.5)เรขาคณิต, n 1 (−20) ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ลําดับและอนุกรม (40) 2601 (41) 210 (42) 184 (43) 5, –4 หรือ 45, –4/3 (44) 5 (45) 395 (46) 18 (47) 127.5 (48) 6 (49) 4 ⎛⎜ 10 (10n−1)−n ⎞⎟ (3.6) เลขคณิต, 4 n (3.7) เป็นทั้งเลขคณิตและ ⎠ 9⎝ 9 เรขาคณิต, an = 3 (50.1) 3/4 (50.2) 1/3 (4) 4.5, 5, 5.5, 12.5 50 n (50.3) 1000/9 (50.4) 9 (5) 2, 4, 8, 217 (6) 3 n+8 (30.1) ∑ i (i+ 1) (30.2) ∑ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ (50.5) 4 (50.6) ลูอ่ อก 2 i i=1 i=1 ⎝ ⎠ (7) 26, 22, 18, 14 (8) 2, 4 (51) 2.23 และ 2.5 q+1 n (9) 2, 6, 18, 54 (10) 48 (30.3) ∑ (2i−1) (30.4) ∑ a rp + i − 1 (52) 3/4 (53) log 3 i=1 i=1 (11) มี, พจน์ที่ 30 (12) พจน์ที่ 19 1 + log 3 ∞ ⎛ 1 ⎞ (13) 54 (14) 334 (30.5) ∑ ⎜ ⎟ (31.1) 1275 (54) 255 (55) 1 n i=1 ⎝ i + 3 ⎠ 8 (−2) (56.1) 1/6 (56.2) 30/61 (15) n หรือ (31.2) 385 (31.3) 784 (32.1) 10 (56.3) − log(n+ 1) 2 (−2) (32.2) 23 (32.3) 197/12 (16) 39, 51, 63 (17) 5/4 (57) 2 (58.1) 3 − 2 nn+ 3 (33) 9128 (34.1) 440 (18) 13 (19.1) 10, 13 2 (34.2) 7480 (34.3) 1740 (19.2) 115, 100, 85, 70 (58.2) 6 (59.1) ลูอ่ อก 20 (20.1) 6, 12, 24, 48 (59.2) 6 (59.3) ลู่ออก (34.4) ∑ i (i+ 1) = 1, 540 2 i=1 (60.1) 21/99 (20.2) 1, 3 , 9 หรือ −1, 3 , − 9 4 16 4 16 (35) 4 (36) 10 (60.2) 3049/4995 (21) 15 (22) คนที่ 3 (60.3) 7249/999 (37) 40 + 740 a 1− a (60.4) 3 (38) 648 (39) 127.5 2 2 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1.1) (1.2) 21, 22 , 23 , 24 → 2, 4, 8, 16 (2.3) 4(1) − 2, 4(2) − 2, 4(3) − 2, 4(4) − 2 → an + 3 : 4, 8, 16, 32 → 22 , 23 , 24 , 25 → 2, 6, 10, 14 1 ∴ an + 3 = 2n + 1 → an = 2n + 1 − 3 2 3 4 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 1 1 1 1 → , , , 2 4 8 16 (1.4) (−1)1 12 , (−1)2 22 , (−1)3 32 , (−1)4 42 2 3 4 5 1 2 3 4 → − , ,− , 4 9 16 25 (1.3) an : 1, 5, 13, 29, ... (2.4) (2.5) 3 3 3 3 3 → an = , , , 10n − 1 100 101 102 103 an : 2, 6, 12, 20, ... → an − n : 1, 4, 9, 16, ... = n2 → ∴ an = n2 + n หรือ อีกวิธีหนึ่ง an ÷ n : 2, 3, 4, 5, ... = n + 1 n−1 (2.1) 1 1 1 1 1 ⎛ 1⎞ , , , → an = n − 1 = ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ 20 21 22 23 (2.2) 1 1 1 1 1 ⎛ 1⎞ , , , → an = 2 = ⎜ ⎟ ⎝n⎠ 12 22 32 42 n 2 → ∴ an = n(n + 1) = n2 + n (3.1) ลําดับเลขคณิต → an = 15 + (n − 1)(−3) = 18 − 3n (3.2) ลําดับเรขาคณิต Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) → an = 2(2)n − 1 = 2n คณิตศาสตร O-NET / A-NET 290 (3.3) ลําดับเลขคณิต วิธีทสี่ อง หาพจน์แรกทีต่ ิดลบ โดยสมการ 200 + (n − 1)(−18) < 0 จะได้ n > 12.11 แสดงว่าเริ่มติดลบที่พจน์ 13 a13 = 200 + (12)(−18) = −16 ..ก็จะได้คําตอบ (14) 2 + (n − 1)(3) > 1, 000 → n > 333.67 แสดงว่าค่า m ที่ต้องการคือ 334 (15) a1 + a1r + a1r2 = −3 .....(1) a1a1ra1r2 = a13r 3 = 8 .....(2) แก้ระบบสมการได้ → an = x + (n − 1)(2) = x + 2n − 2 (3.4) log 2, 2 log 2, 3 log 2, 4 log 2, ... → ลําดับเลขคณิต! an = log 2 + (n − 1)(log 2) = n log 2 (3.5) ลําดับเรขาคณิต n−1 ⎛ 1⎞ → an = 10 ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ n ⎛ 1⎞ = −20 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ (3.6) ลําดับเลขคณิต an = 4 + (n − 1)(4) = 4n (3.7) มองเป็นลําดับเลขคณิตหรือเรขาคณิตก็ได้ ลําดับเลขคณิต → an = 3 + (n − 1)(0) = 3 ลําดับเรขาคณิต → an = 3(1)n − 1 = 3 (4) a4 , a5 , a6 = 4.5, 5, 5.5 → a20 = 3 + (19)(0.5) = 12.5 (5) a4 , a5 , a6 = 2, 4, 8 → a20 = (6) a4 → a1 + 3d = 20 a16 → a1 + 15d = 56 แก้ระบบสมการ ได้ .....(1) .....(2) 1 (19) (2) = 217 4 a1 = 11, d = 3 ∴ an = 11 + (n − 1)(3) = 3n + 8 (7) a1 + d + a1 + 12d = 0 a1 + 3d + a1 + 7d = 12 .....(1) .....(2) แก้ระบบสมการ ได้ a1 = 26, d = −4 ตอบ 26, 22, 18, 14 (8) a1(2)(6) = 128 → a1 = 2 ตอบ (9) a1 + a1r = 8 .....(1) ลําดับและอนุกรม r = − 2 → a1 = − 1 , r = − 1/2 → a1 = − 4 (−2)n 2 −8 = (−2)n ∴ an = −1(−2)n − 1 = 1 an = −4(− )n − 1 2 (16) ค่า หรือ d → 5p − p = 6p + 9 − 5p → ∴p = 3 จึงได้ลําดับเป็น 3, 15, 27 ตอบ 39, 51, 63 (17) ลําดับคือ 3 + x, 20 + x, 105 + x ... หาค่า x โดยค่า r → 105 + x = 20 + x 20 + x 3+ x → 315 + 108x + x2 = 400 + 40x + x2 → ∴ x = 85/68 = 5/ 4 (18) b c = a b .....(1) abc = 27 .....(2) b + 3 − a = c + 2 − b − 3 .....(3) แก้ ระบบสมการ (1),(2) ได้ b = 3, ac = 9 → 2, 4 ใส่ค่า b ใน (3) ได้ a + c = 10 บังเอิญโจทย์ถาม a + b + c จึงได้ 10 + 3 = 13 a1r2 + a1r 3 = 72 → r2(a1 + a1r) = 72 .....(2) (ไม่ต้องแก้ a, c ต่อ) แก้ระบบสมการ (2) /(1) ได้ r = 3, a1 = 2 [สมมติถา้ แก้สมการต่อ จะได้ผลเป็น a = 1, c = 9 ตอบ 2, 6, 18, 54 หรือ a = 9, c = 1 ก็ได้] (10) xr + xr2 = 6 .....(1) (19.1) 7, _, _, 16 → 16 = 7 + 3d xr2 + xr 3 = r(xr + xr2) = −12 .....(2) → d = 3 → ตอบ 10, 13 แก้ระบบสมการ (2) /(1) ได้ r = −2, x = 3 (19.2) 130, _, _, _, _, 55 → 55 = 130 + 5d ∴ a5 = 3(−2)4 = 48 → d = −15 → ตอบ 115, 100, 85, 70 (11) −96 = 20 + (n − 1)(−4) → n = 30 (20.1) 3, _, _, _, _, 96 → 96 = 3 ⋅ r5 ตอบ มี, พจน์ที่ 30 (ถ้าแก้สมการแล้ว n ไม่เป็นจํานวนนับ แสดงว่าไม่อยู่ → r = 2 → ตอบ 6, 12, 24, 48 ในลําดับนัน้ ) (20.2) 4 , _, _, _, 27 → 27 = 4 ⋅ r4 3 64 64 3 (12) 75 = 3 + (n − 1)(4) → n = 19 4 3 ⎛3⎞ ตอบ พจน์ที่ 19 → ⎜ ⎟ = r4 → r = หรือ − 3 → ⎝ ⎠ 4 4 4 (13) a10 = 200 + (9)(−18) = 38 3 9 3 9 ตอบ 1, , หรือ −1, , − วิธีแรก จะได้ ..., 38, 20, 2, − 16, ... 4 16 4 16 พบว่า 38 กับ -16 ต่างกันอยู่ 54 ตอบ [อย่าลืมว่ากําลังเลขคู่ จะต้องมี 2 คําตอบเสมอ!] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (21) การบอกว่า 2an + 1 = an + 3 แบบนี้จะต้อง หาค่า a3 กับ a6 โดยไล่แทนค่าไปจาก a5 คือ 2a6 = a5 + 3 → a6 = 4 และ 2a5 = a4 + 3 → a4 = 7 (24.6) ตอบ a3 + a6 = 11 + 4 = 15 (22) ลําดับเรขาคณิต → 1 ⋅ (2)n − 1 > 250 → n = 9 ∴ ตอบ คนที่ 3 (23.1) nlim an = หาค่าไม่ได้ →∞ (ลําดับเลขคณิต ที่ d ≠ 0 จะหาลิมิตไม่ได้ เสมอ) 1 an = = 0 (23.2) nlim →∞ ∞ 1 1 1 1 ( , , , , ... → 0 ) 1 2 3 4 an = 1 (23.3) nlim →∞ (เพราะ sin π = 1, sin 2π = 1, sin 3π = 1, ... ) (23.4) nlim an = 1 →∞ (เพราะ cos π = −1 = 1, cos 2π = 1 = 1, ... ) (24) ในข้อนี้ ลําดับเป็นฟังก์ชันพหุนามหารกัน ⎛ P(n) ⎞ ⎜ ⎟ แทน n = ∞ ไม่ได้ เพราะจะกลายเป็น ⎝ Q(n) ⎠ ⎛∞⎞ ⎜ ⎟ ⎝∞⎠ (24.1) ต้องใช้ n หารทัง้ เศษและส่วน 3⎞ ⎛ ⎜4 + n ⎟ 4+0 4 → lim ⎜ = ⎟ = 1 n→∞ 3 0 3 + ⎜⎜ 3 + ⎟⎟ n⎠ ⎝ (24.2) ใช้ n2 1 3 ⎛ ⎜ 2 + n − n2 → lim ⎜ n→∞ ⎜⎜ 5 − 1 ⎝ n2 (24.3) (24.4) (24.5) ⎞ ⎟ 2 ⎟ = 5 ⎟⎟ ⎠ • 0 • • เมื่อ ดีกรี บน < ล่าง หาค่าไม่ได้ เมือ่ ดีกรี บน > ล่าง สปส.ของตัวทีด่ กี รีสูงสุด เมื่อ ดีกรีเท่ากัน (25.1) (25.2) (25.3) (25.4) (25.5) ⎛ 1 − 2n − 3n3 ⎞ 3 1 lim ⎜ = − ⎟ = − 3 27 9 ⎝ 27n + ... ⎠ 1 ⎞ ⎛ ⎜1 + n ⎟ 1 lim ⎜ ⎟ = = 1 1 n→∞ 1 ⎜1 − ⎟ ⎜ ⎟ n⎠ ⎝ n→∞ n2 − 3 ⇒ lim n→∞ หาค่าไม่ได้ ⎛ 2n + 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ = 2 ⎝ n+1⎠ n→∞ 5 5 1 ⎛ ⎛ n + 5 ⎞⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ = 5 ⎜ nlim 3 ⎝ 3⎠ ⎝ → ∞ ⎝ 3n − 1 ⎠ ⎠ [ลิมิตแจกแจงได้เสมอ ไม่ว่าจะบวกลบคูณหาร, ยก กําลัง, ถอดราก] (26) ข้อนี้ใช้หลักที่วา่ nlim rn = 0 เมื่อ r < 1 →∞ (26.1) n ⎛ ⎛ 1⎞ ⎞ ⎜2 + ⎜ ⎟ ⎟ ⎝2⎠ ⎟ = 2 + 0 = 2 lim ⎜⎜ ⎟ n→∞ ⎝ 3 3 3 ⎠ 2 n ⎡ ⎛ 2n2 + 4n + 1 ⎞ ⎛4⎞ ⎤ lim ⎜ ⋅ lim ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎟ 2 n→∞ ⎝ 3n ⎝5⎠ ⎦ ⎠ n→ ∞ ⎣ 2 4 ⎛2⎞ = ⎜ ⎟ ⋅ (1 + 0) = 9 ⎝3⎠ 3 7 15 1 2 − ( )n − 1 2 → 31, 32 , 34 , 3 8 , ... → an = 3 ∴ lim an = 32 − 0 = 9 n→∞ (27) ⎞ ⎟ 0 = 0 ⎟ = 5 ⎟⎟ ⎠ 7 ⎞ ⎛ ⎜ 6 + n2 ⎟ 6 ⇒ lim ⎜ ⎟ = n→∞ 3 0 ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ 2 ⎝n n ⎠ หาค่าไม่ได้ (26.3) หารูปทัว่ ไปของลําดับก่อน 7 ⎞ ⎛6 ⎜ n + n2 ⎟ 0 = 0 lim ⎜ ⎟ = 4 n→∞ 5 ⎜⎜ 5 + ⎟ 2 ⎟ ⎝ n ⎠ 4 ⎛ 5 ⎜ n3 + n5 lim ⎜ n→∞ ⎜⎜ 1 + 8 ⎝ n5 ⎞ ⎟ 1 ⇒ ⎟ = 0 ⎟⎟ ⎠ Q(n) (26.2) หารทั้งเศษและส่วน 4 ⎛ ⎜ 1 + n7 lim ⎜ n→∞ ⎜⎜ 1 + 1 n7 ⎝ n6 ข้อสังเกต จากข้อ 24 ลําดับที่เป็นฟังก์ชันตรรกยะ (คือพหุนามหารกัน) P(n) จะมีลิมิตเป็น → 2a4 = a3 + 3 → a3 = 11 รูปแบบไม่กําหนด ลําดับและอนุกรม 291 หาค่าไม่ได้ lim an = n→∞ 1 3 ⎛ (2 / 5)n − lim bn = lim ⎜ n→ ∞ ⎜⎜ 1 + 9 5n ⎝ 1⎞ 0−1 = −1 ⎟ = 1+ 0 ⎟⎟ ⎠ 1 1 ∴ lim (an − bn + anbn) = − (−1) + (− ) = 1 n→∞ 3 3 (28) an = det(Mn) = n + 1 + 1 = 2 + 1 n n 1 → lim an = lim (2 + ) = 2 n→∞ n→∞ n n→∞ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลําดับและอนุกรม 292 4 (29) ∑ ui f(u)i = u1f(u1) + u2f(u2) + u3f(u3) + u4f(u4) (34.3) S8 = i=1 = (3)(10) + (2)(7) + (1)(4) + (5)(16) = 128 50 (30.1) ∑ (i)(i + 1) i=1 (30.2) ∑ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 2i n ⎝ i=1 → an = 2n − 1 n q − 1) i=1 (35) ⎛ 1⎞ ∑ ⎜⎝ i ⎟⎠ i=4 50 (31.1) ∑ i = i=1 10 (31.2) ∑ i2 (36) 50(51) = 1,275 2 i=1 2 −3 i ) = 4 3 ∑i i=1 −3 2 3 4 ∑i 5 12 2 (33) (fof)(n ) = f(n − 1) = n − 1 − 1 = n − 2 → ∑ = = 30 n = 10 30 ∑n 2 −∑ n − n=1 n=1 30 ∑ n = 10 30 n2 − ∑ n = 10 2 2 30(31)(61) 9(10)(19) − − (21)(2) = 9,128 6 6 S10 = 10 10 i=1 i=1 ∑ i (i + 1) = ∑ (i2 + i) 10 ∑ (i3 i=1 S10 = 10 ∑ i (i + 3)(i + 6) i=1 20 ∑ (11 − 3 i + 2 i) i=1 = an = ⎛1 − 2 a⎞ ⎟+ 1− a ⎠ i=1 40 ∑ ⎜⎝ (10)(11)(21) ⎡ 10(11)⎤ ⎡ 10(11)⎤ = ⎢ +9 + 18 ⎢ ⎣ 2 ⎥⎦ 6 ⎣ 2 ⎥⎦ 40 ⎛ i a ⎞ ∑ ⎜⎝ 1 − a ⎟⎠ i=1 40 − 80 a 40(41) a + ⋅ 1− a 2 1− a 40 + 740 a ตอบ = 1− a = วิธีทสี่ อง ใช้สูตร Sn ของอนุกรมเลขคณิตก็ได้ จะ คํานวณง่ายกว่ามาก แต่ตอ้ งสังเกตเห็นก่อนว่าเป็น อนุกรมเลขคณิตจริงๆ 40 ⎛ 1 + (− a) 1 + 38 a ⎞ + ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1− a 1− a ⎠ (38) อนุกรมเลขคณิต คิดได้ 2 วิธี วิธีแรก ใช้สตู ร Sn ของเลขคณิต → Sn = + 9 i2 + 18 i) 2 + 2 i) = 1 + (n−2) a และ 1− a 1 + 38 a am = ∴ m = 40 1− a 40 วิธีแรก หา ∑ ⎡⎢ 1 + (i − 2) a ⎤⎥ 1− a ⎦ i=1 ⎣ (37) S40 = 10(11)(21) 10(11) + = 440 6 2 (34.2) = 30 ∑ n = 10 9 2 (34.1) = (n2 − 2) = ⎛ n4 + 2n3 + n2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ 20(21) = ∑ (11 − i) = 20(11) − = 10 2 i=1 i=1 2 n→∞ n4 + 1 .....(1) .....(2) i=1 (32.3) เป็นเศษส่วนซึ่งหารไม่ได้ จึงต้องกระจายเพื่อ คิดตรงๆ → 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 197 2 = lim 20 2 2 1 2 ∴ an = 8 + (n − 1)(−3) = 11 − 3n ⎡ 4(5)⎤ ⎛ 4(5)(9) ⎞ = ⎢ − 3⎜ ⎟ = 10 ⎣ 2 ⎦⎥ ⎝ 6 ⎠ 3 3 (32.2) ∑ n2 + ∑ 3 = 3(4)(7) + (3)(3) = 23 6 n=1 n=1 2 + i) a1 + 9d = −19 โจทย์ให้หา ∑ (ai 4 2 ⎛ n(n + 1) ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 20 ⎡ 7(8)⎤ = ⎢ = 784 ⎣ 2 ⎥⎦ (31.3) ∑ i3 i=1 → a1 = 8, d = −3 2 7 (32.1) ∑ (i n→∞ n4 + 1 a1 + 14d = −34 10(11)(21) = 385 6 = i=1 ⎛ 1 ⎞ ∑ ⎜⎝ i + 3 ⎟⎠ i=1 ∞ หรือ i (i + 1) = 2 i=1 ∑ ∑ (i2 ⎛ 4n4 + 4 ⎞ = lim ⎜ 4 ⎟ = 4 n → ∞ ⎝ n + 2n3 + n2 ⎠ i=1 ∞ 3 lim q+1 i=0 i=1 4 S20 = 20 1 ⎛ 20(21)(41) 20(21) ⎞ = ⎜ + ⎟ = 1,540 2⎝ 6 2 ⎠ (30.4) ∑ ar(p + i) หรือ ∑ ar(p + i − 1) (30.5) 2 → an + 1 : 2, 4, 8, 16, ... = 2n ตอบ ∑ (2i + 2 i2 + i) 20 → ∴ i=1 (8)(9)(17) 8(9) ⎡ 8(9)⎤ = ⎢ +2 + = 1,740 ⎣ 2 ⎥⎦ 6 2 (34.4) an = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2 ⎠ an : 1, 3, 7, 15, ... (30.3) 8 ∑ (i3 → S18 n (a1 + an) 2 18 = (2 + [2 + (17)(4)]) = 648 2 = 7,480 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 293 วิธีทสี่ อง ใช้สูตรซิกม่า ให้หา ∑ arn − 1 → ∞ 18 18 i=1 i=1 n=1 ∑ (2 + (i − 1)(4)) = ∑ (4 i − 2) = 4(18)(19) = − 18(2) = 648 2 (39) อนุกรมเรขาคณิต คิดได้วธิ ีเดียวคือใช้สตู ร 1 (1 − 28) a1(1 − rn) 2 → Sn = → S8 = 1−r 1−2 255 = = 127.5 2 Sn (42) 10 (3 + (3 + (9)(4))) = 210 2 a1 + 9d = 20 .....(1) .....(2) → a1 = 2, d = 2 → an = 2 + (n − 1)(2) = 2n หา ∑ (2 i) = 2 ⎡⎢(15)(16) − (7)(8)⎤⎥ = 184 ⎣ 2 2 ⎦ i=8 (43) คิดด้วยสูตร Sn จะแก้สมการยาก ควรคิดตรงๆ คือสมมติเป็น a, b, 80 จะได้ 80 = b .....(1) และ 15 b a a + b + 80 = 65 จะได้ .....(2) หรือ b = −60, a = 45 หรือ a1 = 45, r = −4 / 3 b = −20, a = 5 ∴ a1 = 5, r = −4 (44) ( n 160 1 − ( 3/2) 1 − 3/2 n ) 2,110 ⎛3⎞ → ⎜ ⎟ −1= ⎝2⎠ 320 ∴n = 5 = 2,110 n 243 ⎛3⎞ → ⎜ ⎟ = ⎝2⎠ 32 2 ∴ a + b = 555 − 160 = 395 (46) หาค่า a โดย a = a − 2 a+3 a → a2 = a2 + a − 6 → a = 6 ลําดับคือ 9, 6, 4 n (7 + 7 + (n − 1)(8)) 2 → 4n2 + 3n − 217 = 0 7 8 ∴n = 7 = −160 9 14 2 + 2 + 2 + ... + 2 28 เท่านั้น ⎛ 2 (1 − 28) ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ 1 −8 2 ⎠ 2 (จากสูตรอนุกรมเรขาคณิต จํานวนพจน์ n=8) 27(28 − 1) = 127.5 28 m (48) a1 = 1 / 2 1 = 2 m > 0.01 1−r 3⋅2 1 − (− ) 2 1 → m > 0.015 → 2m < 66.67 2 = 6 ∴m มากที่สดุ คือ (49) sn = 4 + 44 + 444 + ... + 444444..4 9 Sn = 9 + 99 + 999 + ... + 999999..9 4 = 10 − 1 + 100 − 1 + 1,000 − 1 + ... + 10n − 1 = (10 + 100 + 1,000 + ... + 10n) − n 10(1 − 10n) 10 −n = (10n − 1) − n 1 − 10 9 4 ⎡ 10 ⎤ ∴ Sn = (10n − 1) − n⎥ 9 ⎢⎣ 9 ⎦ = (50) ข้อนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (50.1) 1 / 2 = 3 (50.2) (50.3) (45) ก. 20 = 5 + 2d → d = 7.5 → หาค่า a = S12 = 12 (5 + 5 + (11)(7.5)) = 555 ข. 20 = 5 ⋅ r2 → r2 = 4 → r = −2 (เพราะ y < 0 ) หาค่า b = a6 = 5(−2)5 (สูตรอนุกรมเรขาคณิต) Sn = 217 = (47) → 51 = a1 + 12(4) → a1 = 3 a1 + 4d = 10 6 = 18 1 − 2/ 3 8 + ... 3 7 2 → S10 = = 6+4+ → (4n + 31)(n − 7) = 0 (40) an = 1 + (n − 1)(2) = 2n − 1 ผลบวก 51 พจน์ → S51 = 51 (1 + 101) = 2,601 (41) ลําดับและอนุกรม (50.4) (50.5) 1 − 1/ 3 4 1/ 2 1 = 1 − (−1 / 2) 3 100 1,000 = 1 − 0.1 9 3 = 9 1−2/3 6 = 4 1 − (−1 / 2) (50.6) หาค่าไม่ได้ (ลู่ออก) เพราะ r = 1 > 1 [ถ้าใช้สตู รคิดเลยทันทีจะผิด] 0.9 (1/2)(1 − (0.8)10) ≈ 2.23 เมตร (51.1) 1 − 0.8 (51.2) 1/2 = 2.5 เมตร ( S∞ ) 1 − 0.8 1 3 (52) = 4 → x = 1− x 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ( Sn ) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 1 2x 8 9 = → = x x 1 2 9 + ⎛ 2 ⎞ 1− ⎜ x ⎟ ⎝1 + 2 ⎠ log2 3 x → 2 = 8 → x = 3 → ตอบ 1 + log2 3 (58.2) (53) → → ∞ ∑ (an + 1− an) พบว่า r มากขึน้ เรื่อยๆ ∴ ลู่ออก (59.2) S∞ = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... n=1 = a1 + (a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + ... a2 a3 = a∞ ตอบ 1 1 ⎛ 1 1⎞ 1 ⎛ 1 1⎞ 1 ⎛ 1 1⎞ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... 2 ⎝ 3 5⎠ 2 ⎝5 7⎠ 2 ⎝ 7 9⎠ 1 ⎛ 1⎞ 1 = ⎜ ⎟ = 2 ⎝ 3⎠ 6 (56.1) (56.2) ( ) ( 1 1 2 1 − 1 + 3 1⎛ 1⎞ 30 ⎜1 − ⎟ = 2⎝ 61 ⎠ 61 = (56.3) 1 1 2 3 − 1 5 ) + ... + 1 ( 1 2 59 − 1 61 ) (log 1 − log 2) + (log 2 − log 3) + ... + (log n − log(n + 1)) = log 1 − log(n + 1) = − log(n + 1) (เพราะ log1 = 0) ∞ ∞ (57) ∑ ⎡⎢ 5n ⎤⎥ − ∑ ⎡⎢ = ( 3 ⎤ ⎣ ⎦ + 1)⎥⎦ 2 n(n n=1 n=1 ⎣ 5 2 + 5 4 + 5 8 ) 1 S∞ 2 1 2 ⎛1 1 1 ⎞ +⎜ + + + ... ⎟ S∞ = 2 1 ⎝2 4 8 ⎠ 1/ 2 = 2+ = 3 → ∴ S∞ = 6 1 − 1/ 2 (59.1) S∞ = 10 + 100 + 1,000 + 10,000 + ... 1 2 6 24 1 + 2 + 3 + ... + n = n − 21 n(n + 1) → = n2 − 21 แก้สมการได้ n = 7 2 8 ตอบ 1(1 − 2 ) = 255 1−2 a1 + 2 3 4 5 + + + + ... 1 2 4 8 2 3 4 5 = + + + + ... 2 4 8 16 S∞ = ลบกัน ได้เป็น 2 (54) (55) ลําดับและอนุกรม 294 2 1 1 → + S∞ = 2 4 ลบกันได้ 1 S∞ = 2 1 1 → + S∞ = 4 4 ลบกันอีกรอบได้ 4 4 + 8 1 + 2 3 + 8 1 S∞ 4 8 16 32 64 9 16 25 + + + ... 16 32 64 3 5 7 + + + ... 4 8 16 5 7 + + ... 16 32 1 ⎛2 2 2 ⎞ = +⎜ + + + ... ⎟ 2 ⎝ 4 8 16 ⎠ 1 ⎛ 2/4 ⎞ 3 +⎜ → S∞ = 12 ⎟ = 2 ⎝1 − 1/ 2⎠ 2 5 ≠ 0 แสดงว่า an = (59.3) พบว่า nlim →∞ 2 = 0.21 + 0.0021 + 0.000021 + ... 0.21 21 21 7 = = = = 1 − 0.01 100 − 1 99 33 (60.1) 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + ... 104 3,049 ⎛ 0.0104 ⎞ = 0.6 + ⎜ = ⎟ = 0.6 + 9,990 4,995 ⎝ 1 − 0.001 ⎠ (60.2) ( ) ( ) 1 1 1 1 + ... − 3 ⎡ − + − + ...⎤ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ 2 3 5/2 −3 = 5−3 = 2 1 − 1/ 2 (58.1) Sn = 1 + 3 + 5 + ... + 2n n− 1 2 4 8 2 1 1 3 5 2n − 3 2n − 1 Sn = + + + ... + + n+1 2 4 8 16 2n 2 = 7 + 0.256 + 0.000256 + ... 0.256 256 7,249 = 7+ = 7+ = 1 − 0.001 999 999 (60.3) 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... 0.9 = 2+ = 2+1= 3 1 − 0.1 (60.4) [หมายเหตุ 0.9999... = 1 ] ลบกัน (โดยนําพจน์ที่มีส่วนเท่ากันตั้งลบกัน) ได้เป็น 1 1 ⎡2 2 2 2 ⎤ 2n − 1 + + + + ... + n ⎥ − n + 1 Sn = 2 2 ⎢⎣ 4 8 16 2 ⎦ 2 n−1 1 1 ⎡ 2/ 4 (1 − ( 1/2) )⎤ 2n − 1 ⎥ − n+1 + ⎢ Sn = 2 2 ⎢⎣ 1 − 1/2 2 ⎦⎥ n−1 1 1 2n − 1 ⎛ 1⎞ + 1− ⎜ ⎟ − n+1 Sn = ⎝2⎠ 2 2 2 4 2n − 1 2n + 3 ∴ Sn = 1 + 2 − n − = 3− 2 2n 2n → ลูอ่ อก Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลิมิตและความตอเนื่อง 295 t lim t→ 0 º··Õè 14 ÅiÁiµ/¤ÇÒÁµoe¹×èo§ คณิตศาสตร์สาขาแคลคูลัส (Calculus) ถูกใช้ ประโยชน์ในทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอย่าง กว้างขวาง โดยเฉพาะในด้านฟิสิกส์ แนวคิดพื้นฐาน ของวิชาแคลคูลัสก็คือเรื่องลิมิตของฟังก์ชัน ซึ่งจะได้ ศึกษาในบทเรียนนี้ และขยายความไปสู่อนุพันธ์และ การอินทิเกรตในบทถัดไป.. ในบทเรียนเรื่องลําดับเคย ได้ศึกษาถึงลิมิตบ้างแล้วว่า การพิจารณาว่า เมื่อ x มี ค่าเข้าใกล้จาํ นวนจริงค่าใดค่าหนึ่งแล้ว ฟังก์ชนั f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ค่าใด เรียกว่าการหาลิมติ ของฟังก์ชัน และค่าลิมิตที่ได้จะเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า lim f(x) x a → ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = f (x) = x + 3 พบว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 5 (ไม่ว่า x จะมากกว่า f (x) = 8 หรือน้อยกว่า 5) แล้ว y จะมีคา่ เข้าใกล้ 8 ดังนั้นจึงเขียนเป็นสัญลักษณ์ xlim →5 การหาค่าลิมิตของฟังก์ชันนั้น มีรายละเอียดย่อย 2 แบบ คือ ลิมิตซ้าย (Left-handed limit) ซึ่งหาได้จากกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย (หรือ x < a ) และ ลิมิตขวา (Righthanded limit) ซึ่งหาได้จากกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางด้านขวา (หรือ x > a ) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนลิมิตซ้ายและลิมิตขวา คือ xlim f (x) กับ lim f (x) ตามลําดับ →a x→a − Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) + คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลิมิตและความตอเนื่อง 296 ฟังก์ชันใดๆ จะมีค่า xlim f (x) = L ก็ต่อเมื่อ →a ลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาไม่เท่ากันจะกล่าวว่า ไม่มีลิมิต lim f (x) = lim+ f (x) = L x → a− x→a เท่านั้น แต่ถ้า 14.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต lim [f (x)] n = [ lim f (x)] n lim c = c x→a x→a lim x = a x→a n lim x→a n x→a n f (x) = n lim f (x) x→a lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) lim x = a x→a x→a x→a x→a x→a lim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x) lim c f (x) = c lim f (x) x→a x→a x→a x→a lim [f (x) ÷ g(x)] = lim f (x) ÷ lim g(x) x→a x→a x→a • ตัวอยาง ใหหาคาลิมิตในแตละขอตอไปนี้ ก. lim (x + x + 1) ตอบ แทนคา x = −1 ลงไปไดเลย ไดลมิ ิตเทากับ 2 x → −1 1 3 * ข. ⎛ x −8 ⎞ lim ⎜ ⎜ x − 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ x→0 วิธีคิด หากแทนคา x → 0 (หรือมากกวา 0 เล็กนอย) จะไดเปน (−8) /(− 2) = แตเมื่อ x → 0 ( x นอยกวา 0 เล็กนอย) จะทําให x ไมมีคา (ในรูทติดลบ) สรุปวาลิมิตขวาเปน 4 2 แตไมมีลมิ ติ ซาย ... ดังนั้นคําตอบขอนี้คือ ไมมีลิมติ + 4 2 − ค. ⎛ x2 − 9 lim ⎜ x→3 ⎜ 3 − x ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ วิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 3 จะได 0/0 ทําใหไมทราบคําตอบ เราตองแยกคิดลิมิตซาย และลิมติ ขวา เพื่อใหถอดคาสัมบูรณออกได (ตามนิยามของคาสัมบูรณ) ลิมิตซาย ทดลองแทนเลขทีน่ อยกวา 3 เล็กนอยลงไปเพือ่ ดูเครื่องหมายและถอดคาสัมบูรณ ⎛ x2 − 9 lim− ⎜ x→3 ⎜ 3 − x ⎝ ⎞ ⎛ x2 − 9 ⎞ ⎟⎟ = lim− ⎜⎜ ⎟⎟ = lim− (− (x + 3)) = −6 x→3 x→3 ⎝3−x⎠ ⎠ ตอมาลิมิตขวา ทดลองแทนเลขที่มากกวา 3 เล็กนอยลงไปเพือ่ ถอดคาสัมบูรณ ⎛ x2 − 9 lim+ ⎜ x→3 ⎜ 3 − x ⎝ ⎞ ⎛ x2 − 9 ⎞ ⎟⎟ = lim+ ⎜⎜ ⎟⎟ = lim+ (x + 3) = 6 x→3 x→3 ⎝x−3⎠ ⎠ พบวาลิมติ ซายกับขวามีคาไมเทากัน ดังนั้นขอนี้ตอบ ไมมีลิมิต ง. ⎛ 5 − 2x − 3 ⎞ lim ⎜ ⎟ ⎜ x − 4 ⎟⎠ ⎝ x→4 วิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 4 ก็จะได 0/0 เราตองถอดคาสัมบูรณออกเชนเดิม แตขอนี้บริเวณ x = 4 (ไมวาจะซายหรือขวา) นั้น ถอดคาสัมบูรณไดแบบเดียวคือ ⎛ 5 − 2x − 3 ⎞ ⎛ −5 + 2x − 3 ⎞ ⎛ 2x − 8 ⎞ lim ⎜ (2) = 2 ⎟⎟ = lim ⎜ ⎟ = xlim ⎜ x − 4 ⎟ = xlim x→4 ⎜ x→4 →4 →4 x − 4 x − 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ... ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET จ. lim− f (x) x →5 ⎧⎪ x / x , x < −4.99 f (x) = ⎨ ⎪⎩ − x / x , x > 4.99 เมือ่ วิธีคิด ที่ x นอยกวา 5 เล็กนอย เชน จะได lim f (x) = lim (− x / x) = x → 5− ฉ. x → 5− lim f (x) x →6 ลิมิตและความตอเนื่อง 297 4.999999 จะตองใชเงื่อนไขลาง (−1) = −1 ... ตอบ lim x → 5− ⎧ x−4 , x < 6 f (x) = ⎨ ⎩ x −5 , x > 6 เมื่อ วิธีคิด ลิมิตซาย ( x นอยกวา 6 เล็กนอย) ใชเงื่อนไขบน ไดเทากับ 2 ลิมิตขวา ( x มากกวา 6 เล็กนอย) ใชเงื่อนไขลาง ไดเทากับ 1 ... ดังนั้นขอนีต้ อบวาไมมีลมิ ิต แบบฝึกหัด 14.1 (1) จากกราฟ จงหาค่า xlim → −1 (1.1) y f (x) และ lim f (x) x→1 (1.2) y 2 x 1 O -1 1 -1 -2 (2) จงหาค่าของ xlim f (x) เมื่อ →2 (2.1) f (x) = 1+ x (2.2) f (x) = x3+2x2+ x (3) จงหาค่าของ (3.1) xlim →1 (3.3) ⎛ x lim ⎜ x→1 ⎜ x − 1 ⎝ (3.2) lim x→3 (4) จงหาค่าของ (4.1) xlim →2 (4.2) (4.3) (4.4) ⎛ x2+ 1 ⎞ ⎜⎜ x − 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠ S e¾ièÁeµiÁ! S ⎧x + 1 , x < 2 f (x) = ⎨ x > 2 ⎩2 , ⎧x +2 , x > 3 f (x) = ⎨ ⎩ x −5 , x < 3 เมื่อ lim f (x) เมื่อ lim f (x) เมื่อ ⎪⎧ x +5 , f (x) = ⎨ ⎪⎩ 2x −5 , lim f (x) และ lim f (x) x→3 x→4 (5) จงหาค่าของ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ x2+ x f (x) x→3 x x→4 เมื่อ x > 4 x < 4 ⎧ x2 , f (x) = ⎨ ⎩2x , ÃaÇa§ÊaºÊ¹¤íÒÇÒ äÁÁÅÕ Ái iµ ¡aº ËÒ¤ÒäÁä´.. äÁÁÅÕ Ái iµ (ËÃ×oÅiÁµi äÁÁ¤Õ Ò) æ»ÅÇÒäÁä´e¢Ò ã¡Å¤Òã´e»¹¾ieÈÉ (eª¹ ÅiÁµi «Ò¡aºÅiÁµi ¢ÇÒäÁe·Ò¡a¹) æµ ËÒ¤ÒäÁä´ æ»ÅÇÒ ÁÕÅiÁµi e»¹ ∞ ¤Ãaº ( ∞ eÃÕ¡e»¹ÀÒÉÒä·ÂÇÒ ËÒ¤ÒäÁä´) x < 3 x > 3 ⎛ [(x +h)2+ 1] − (x2+ 1) ⎞ lim ⎜⎜ ⎟⎟ h→0 h ⎝ ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (6) [Ent’39] จงหาค่า lim− f (x) , lim+ f (x) , x →2 (7) [Ent’41] กําหนดให้ * (8) [Ent’มี.ค.43] ลิมิตและความตอเนื่อง 298 f (x) = x →2 2 x −9 x −3 และ จงหาค่า lim f (x) x →2 lim f (x) x → −3 ⎧ x2 , x > 1 ⎪ f (x) = ⎨x-1 , 0 < x < 1 ⎪ 0, x < 0 ⎩ จงหาค่า เมื่อ และ f (x) = (x −2)2 x −2 lim f (x) x→3 ⎡ f (x − 1)⎤ lim− f (x2) + lim+ ⎢ ⎥ x→0 x → 1 ⎣ x +2 ⎦ 14.2 ลิมิตในรูปแบบยังไม่กาํ หนด ตัวอย่าง หาค่า lim f (x) x→3 เมื่อ f (x) = x2 − 9 x − 3 ในตัวอย่างนี้ จะพบว่าไม่สามารถหาลิมิตด้วยทฤษฎีบทได้ในทันที เพราะจะให้ผลเป็น 0 0 ซึ่ง เรียกว่า รูปแบบยังไม่กําหนด (indeterminate form) คือยังสรุปไม่ได้ว่าค่าลิมิตเป็นเท่าใด x2 − 9 (x + 3)(x − 3) = lim = lim (x + 3) = 6 วิธีคิด xlim →3 x→3 x→3 x − 3 x − 3 เทคนิคการคํานวณที่ใช้คือ พยายามให้ x −3 ในเศษและส่วนมาตัดกัน เพื่อไม่ให้เหลือตัวประกอบใน เศษและส่วนเป็นเลข 0 (ในตัวอย่างใช้วิธีแยกตัวประกอบ แต่นอกจากนี้ยังมีอีกหลายเทคนิค เช่นการ นําพหุนามมาคูณทั้งเศษและส่วนตามความเหมาะสม) y สาเหตุที่เราสามารถกําจัด x −3 ทั้งเศษและส่วนได้ 6 ก็เพราะการหาลิมิตนั้นไม่ได้คํานึงถึงตําแหน่งที่ x = 3 อยู่แล้ว จะเห็นว่าตัวอย่างนี้แม้ f (3) จะหาค่าไม่ได้ แต่ xlim ก็ยังหาค่าได้ →3 x O 3 (เท่ากับ 6) (ดูกราฟประกอบ) • ตัวอยาง ใหหาคาลิมิตในแตละขอตอไปนี้ ก. ⎛ x2 + 9 − 5 ⎞ ⎟ lim ⎜⎜ ⎟ x→4 x−4 ⎝ ⎠ วิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 4 จะพบวาอยูในรูปแบบ 0/0 ทําใหยังไมทราบคําตอบ ขอนี้มีรากที่สอง เราจึงจัดรูปใหมโดยใช x + 9 + 5 คูณทั้งเศษและสวน (เพื่อใหรูทหายไป) ตามกฎที่วา (A − B)(A + B) = A − B ... 2 2 จะได 2 ⎛ x2 + 9 − 5 ⎞ ⎛ x2 + 9 + 5 ⎞ ⎛ ⎞ x2 + 9 − 25 ⎟⎜ ⎟ = lim ⎜ lim ⎜⎜ ⎟ ⎟ 2 2 x→4 x→4 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ x 4 − ⎝ ⎠ ⎝ x + 9 + 5⎠ ⎝ (x − 4)( x + 9 + 5) ⎠ ⎛ ⎞ x2 − 16 x+4 8 ⎛ ⎞ = lim ⎜ = ⎟ = lim ⎜ ⎟ 2 2 x→4 ⎜ x 4 → ⎟ ⎜ x + 9 + 5⎟ 10 ⎝ (x − 4)( x + 9 + 5) ⎠ ⎝ ⎠ ข. ⎛ x2 + 2x − 3 + lim ⎜ x→0 ⎝ x ... ตอบ 9−x⎞ ⎟ ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET วิธีคิด เมื่อลองแทนคา ลิมิตและความตอเนื่อง 299 x=0 จะพบวาอยูในรูปแบบ 0/0 เชนกัน ใชวิธีจัดรูปเหมือนขอ ก. ⎛ ⎛3 − 9− x ⎞ 3− 9−x⎞ lim ⎜ x + 2 − ⎟ = lim (x + 2) − lim ⎜ ⎟ x → 0 x → 0 x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x→0 ⎛3 − 9 − x ⎞ ⎛3 + = 2 − lim ⎜ ⎟⎜ x→0 ⎝ x ⎠ ⎝⎜ 3 + 9−x⎞ ⎛ 9 − (9 − x) ⎞ ⎟ = 2 − lim ⎜ ⎟ x → 0 (x)(3 + 9 − x ⎠⎟ 9 − x) ⎠ ⎝ x 1 1 ⎛ ⎞ ⎞ = 2 − lim ⎜⎛ ⎟ = 2 − 6 = ⎟ = 2 − xlim x → 0 (x)(3 + →0 ⎜ 3 + − − 9 x) 9 x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ค. 11 6 ⎛ 32 − 3x ⎞ lim ⎜ ⎟ x →2 ⎜ 2 − x ⎟ ⎝ ⎠ วิธีคิด โจทยรูปแบบ 0/0 ขอนีม้ ีรากที่สาม ดังนั้นพจนที่นํามาคูณเพือ่ ใหรูทหายไป จะตางจากเดิม ตาม กฎที่วา (A − B)(A + AB + B ) = A − B ... และขอนี้ตองคูณถึงสองรอบ เพราะตัวสวนก็มีรากที่สองดวย 2 2 3 3 ⎛ 3 2 − 3 x ⎞ ⎛ 2 2/ 3+ (2x)1/ 3+ x 2/ 3 ⎞ ⎛ 2 + x ⎞ ⎞ 2+ x ⎛2 − x ⎞ ⎛ lim ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ 2/ 3 ⎟⎟ = lim ⎜ ⎜⎜ 2/ 3 ⎟⎟ ⎟ 1/ 3 2/ 3 1/ 3 2/ 3 ⎜ x →2 x →2 2 − x ⎝ ⎠ ⎝ 2 + (2x) + x ⎝ 2 − x ⎠ ⎝ 2 + (2x) + x ⎠⎝ 2 + x⎠ ⎠ ⎛ ⎞ 2+ x 2+ 2 = lim ⎜ 2/ 3 = 1/ 3 2/ 3 ⎟ 2/ 3 ⎟ x →2 ⎜ 2 2 + 2 2/ 3+ 2 2/ 3 + (2x) + x ⎝ ⎠ เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องอนุพันธ์ บทที่ 15 การหาลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด มีวิธีการคํานวณอีก แบบซึ่งง่ายขึ้น เรียกว่า กฎของโลปีตาล (L’Hôpital’s Rule) ได้อธิบายไว้ท้ายบทนี้แล้ว (ในหน้าแถม) 2 2 3 × 2 2/ 3 = = 2 5/ 6 3 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¹o§æ Áa¡¢Õée¡Õ¨e¢Õ¹¤íÒÇÒ xlim ¹íÒ˹ÒæµÅaºÃ÷a´ã¹eÇÅÒ → , ·´ËÃ×oæÊ´§Çi¸Õ·íÒ ... «Ö觶ÒäÁe¢Õ¹¹o¡¨Ò¡¨a¼i´¤ÇÒÁËÁÒ æÅÇ Âa§oÒ¨Å×Áæ·¹¤ÒµaÇeÅ¢´Ç ¤íÒµoº¡ç¨a¼i´¹a¤Ãaº แบบฝึกหัด 14.2 (9) หาค่าของลิมิตต่อไปนี้ ⎛ x2− 4 ⎞ (9.1) xlim ⎜ ⎟⎟ →2 ⎜ (9.3) ⎝ x −2 ⎠ (9.2) ⎛ x2− 4 ⎞ lim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ x →2 ⎝ x + x −6 ⎠ (9.4) ⎛ x2−2x − 3 ⎞ lim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ x → −1 ⎝ x + 4x + 3 ⎠ ⎛ x −a ⎞ lim ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎝ x −a ⎠ x→a (10) หาค่าของลิมิตต่อไปนี้ (10.1) (10.2) (10.3) ⎛ 1− x lim ⎜ ⎜ 1− x ⎝ x→1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ x −1 lim ⎜ x → 1 ⎜ 2− x + 3 ⎝ (10.4) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (10.5) ⎛ x −2 − 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ ⎜ x −3 ⎟ ⎝ ⎠ (10.6) x→3 (11) [Ent’มี.ค.44] ⎛ x2+ 3 −2 ⎞ ⎟ lim ⎜ x→1 ⎜ ⎟ x −1 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2x lim ⎜ ⎟ ⎜ x +9 − 3 ⎟ ⎝ ⎠ x→0 ⎛ x + 1 −1 ⎞ lim ⎜ ⎟ ⎟ x→0 ⎜ x ⎝ ⎠ ⎛ x− 2 ⎞ lim ⎜ 2 ⎟ ⎜ x −2x ⎟ ⎝ ⎠ x →2 มีค่าเท่ากับเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลิมิตและความตอเนื่อง 300 (12) จงหาค่าของ (12.1) ⎛ x3− 1 ⎞ lim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ x→1 ⎝ x −1 ⎠ (12.2) ⎛ 3 x −1 −1 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →2 ⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠ (12.3) x → 1− ⎛ 4 x −1 ⎞ lim ⎜ ⎟ x → 1 ⎜ 3 x −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎧ x −1 , x < 1 ⎪ ⎪ 1− x f (x) = ⎨ ⎪ 1-x , x > 1 ⎪ 1− x ⎩ (12.4) lim f (x) + lim+ f (x) (13) [Ent’38] จงหาค่า ⎛ 1− x − 3 ⎞ lim ⎜ ⎟ x → −8 ⎜ 2 + 3 x ⎟ ⎝ ⎠ x→1 เมื่อ 14.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน การพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ ก็คือการบอกว่ากราฟของฟังก์ชันขาด ตอนที่จุดนั้นหรือไม่ โดยสําหรับฟังก์ชัน f (x) ใดๆ จะต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ lim f (x) = f (a) = lim f (x) เท่านั้น (และต้องหาค่าได้ทั้งสามตัว) x→a x→a − + นิยามของ ความต่อเนื่องบนช่วง 1. ฟังก์ชัน f (x) ต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) ก็ต่อเมื่อ f (x) ต่อเนื่องทุกๆ จุดในช่วง (a, b) 2. ฟังก์ชัน f (x) ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] ก็ต่อเมื่อ f (x) ต่อเนื่องบนช่วง (a, b) , ต่อเนื่องทางขวา f (x) ], และต่อเนื่องทางซ้ายของ b [คือ f (b) = lim f (x) ] ของ a [คือ f (a) = xlim →a x →b + • ตัวอยาง กําหนดให − f (x) = mx + 1 เมื่อ m เปนคาคงตัว และ ⎧ f (x) , x < 1 ⎪ g(x) = ⎨f (x + 1) , x > 1 ⎪ −1 , x = 1 ⎩ ก. ถา g(x) มีลมิ ิตที่ x = 1 แลว m มีคาเทาใด วิธีคิด g (x) มีลิมิตที่ x = 1 แสดงวา lim g(x) = lim g(x) ... นั่นคือ f (1) = f (2) → m + 1 = 2 m + 1 → m = 0 ... ตอบ ข. ถา g (x) ตอเนื่องในชวง [0, 1] แลว m มีคาเทาใด วิธีคิด g (x) ตอเนื่องในชวง [0, 1] แสดงวา lim g(x) เทากับ g(1) ... นั่นคือ f (1) = −1 → m + 1 = −1 → m = −2 ... ตอบ ค. ถา g (x) ตอเนือ่ งในชวง [1, 2] แลว m มีคาเทาใด วิธีคิด g (x) ตอเนื่องในชวง [1, 2] แสดงวา lim g(x) เทากับ g(1) ... นั่นคือ f (2) = −1 → 2 m + 1 = −1 → m = −1 ... ตอบ x → 1− x → 1+ f (1) = f (1 + 1) x → 1− x → 1+ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลิมิตและความตอเนื่อง 301 แบบฝึกหัด 14.3 (14) ฟังก์ชันต่อไปนี้ มีความต่อเนื่องที่ (14.1) x = 2 หรือไม่ x3−8 f (x) = x −2 (14.2) ⎧ x2− 4 , ⎪ f (x) = ⎨ x −2 ⎪ 4, ⎩ (15.3) ⎧x ⎪ h (x) = ⎨ x , ⎪ 2, ⎩ (15) ฟังก์ชันต่อไปนี้มีความต่อเนื่องที่จุดใดบ้าง (15.1) ⎧ x2− x ⎪ f (x) = ⎨ x , ⎪⎩ 1 , (15.2) ⎧ x2−9 , ⎪ g(x) = ⎨ x − 3 ⎪ 2, ⎩ (16) ฟังก์ชัน f (x) = x + 1 x = −1 −1 < x < 1 x = 1 แล้ว ข้อความใดถูกบ้าง ข. f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ (20) จงหาค่า b ที่ทําให้ฟังก์ชัน ⎧ 1− x2 , f (x) = ⎨ ⎩ x +b , ⎧ 2, ⎪ x −5 ⎪ , f (x) = ⎨ x −2 −b ⎪ ⎪ x2−5 , ⎩ f (x) แล้ว ข้อความใดถูกบ้าง x > 1 1 ⎧ 0 < x < 1 ⎪ 3x + 1 , ⎪⎪ 1, x = 1 f (x) = ⎨ ⎪ 2− 5− x ⎪ , x > 1 x −1 ⎪⎩ (19) จงหาค่า a ที่ทําให้ฟังก์ชนั (22) ถ้าฟังก์ชัน x < −1 ข. f ต่อเนื่องที่ ⎧3x + a , ⎪ f (x) = ⎨ x2− 4 ⎪ x −2 , ⎩ และถามว่า ค่า b ที่ได้นี้ทําให้ x = 0 หรือไม่ ⎧ −3/2 , ⎪2x2+ x − 1 ⎪ , ⎪ f (x) = ⎨ 2 (x + 1) ⎪ 1− x ⎪ , ⎪⎩ 1− x x→1 (21) จงหาค่า b ที่ทําให้ x ≠ 0 x = 3 lim f (x) = lim+ f (x) x → 1− x = 2 x ≠ 3 x = −1 (18) [Ent’ต.ค.41] กําหนดให้ ก. x = 0 ต่อเนื่องที่ (17) [Ent’มี.ค.42] กําหนดให้ ก. f ต่อเนื่องที่ x ≠ 0 x ≠ 2 ต่อเนื่องที่ ⎧ ax , x < 1 ⎪ x=1 f (x) = ⎨ 4 , ⎪x + b , x > 1 ⎩ x = 2 x ≠ 2 x = 1 มีความต่อเนื่องที่ x ∈ (−∞, 1) x ∈ [1, ∞) x = 2 เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง x < 1 1< x < 2 ต่อเนื่องที่ x = 2 x > 2 x = 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด ต่อเนื่องที่จดุ ซึ่ง Math E-Book Release 2.2 x = 1 แล้ว จงหาค่า a, b (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลิมิตและความตอเนื่อง 302 (23) จงหาค่า h, k ในแต่ละข้อ เมื่อฟังก์ชันที่กําหนดให้นี้มีความต่อเนื่องบนช่วง (23.1) ⎧(x −2)2 , x > 2 ⎪ 2 ⎪ x −4 f (x) = ⎨ x = 2 ⎪ h, ⎪ 2x +k , x < 2 ⎩ (24) [Ent’37] กําหนดให้ f (x) = (23.2) x3−2x2− x +2 x2− 1 จํานวนจริงแล้ว จะต้องนิยามเพิ่มเติมให้ f (−1) f (2) = a, f (−2) = b x = 1 ⎧ h, ⎪ x+1 ⎪ , 1< x < 3 f (x) = ⎨ 2 x − 4x ⎪ ⎪⎩ k , x = 3 ถ้าต้องการให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของ และ f (1) มีค่าเท่าใด (25) [Ent’ต.ค.42] กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ และ [1, 3] f (x) = x3− x2− 4x + 4 4 − x2 เมื่อ x ≠ ±2 แล้ว a และ b มีค่าเท่าใด เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (1.1) –1, ไม่มี (1.2) 0, ไม่มี (2.1) 3 (2.2) 18 (3.1) –1 (3.2) 12 (3.3) หาค่าไม่ได้ (4.1) ไม่มี (4.2) ไม่มี (4.3) 3 (4.4) ไม่มี, 8 (5) 2x (6) –1, 1, ไม่มี (7) 0, ไม่มีลิมิต (8) –4/3 (9.1) 4 (9.2) 4/5 (9.3) –2 (9.4) 1/2a (10.1) 1/2 (10.2) –4 (10.3) 1/2 (10.4) 12 (10.5) 1/2 (10.6) 1/4 2 (11) 1/2 (12.1) 3/2 (12.2) 1/3 (12.3) –2 (12.4) 3/4 (13) 0 + (−2) = −2 (14.1) ไม่ต่อเนื่อง เพราะไม่มี f (2) (14.2) ต่อเนือ่ ง (15.1) ทุกจุดยกเว้นที่ x = 0 (15.2) ทุกจุดยกเว้นที่ x = 3 (15.3) ทุกจุดยกเว้นที่ x = 0 (16) ต่อเนื่อง (17) ก.ถูก และ ข.ถูก (18) ก.ถูก และ ข.ผิด (19) –2 (20) –1 (21) 3, ไม่ต่อเนือ่ งที่ x = 1 เพราะลิมติ ซ้ายไม่เท่ากับขวา (22) 4, 3 (23.1) 0, –4 (23.2) –2/3, –4/3 (24) –3, –1 (25) –1, 3 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1.1) พิจารณาจากกราฟ ที่ x = −1 กราฟผ่านจุด (−1, −1) ทัง้ ทางซ้ายและขวา f(x) = −1 ดังนัน้ xlim → −1 แต่ที่ x = 1 กราฟแยกกัน lim f(x) = −1 และ lim f(x) = 0 x→1 x→1 − (2.2) (3.1) + ดังนัน้ xlim f(x) ไม่มีค่า (ไม่มีลิมิต) →1 f(x) = 0 แต่ lim f(x) ไม่มีค่า (1.2) xlim → −1 x→1 f(x) = 2 และ lim f(x) = (เนื่องจาก xlim →1 x→1 −2 ) lim f(x) = 8 + 8 + 2 = 18 x →2 1+ 1 = −1 1− 3 (3.2) 9 + 3 = 12 (3.3) 1 คือ หาค่าไม่ได้ ( ∞ ) 0 (4) ในข้อนี้มีการแยกกรณี จึงต้องพิจารณาซ้ายและ ขวาแยกกัน f(x) = 2 + 1 = 3 (4.1) xlim →2 − แต่ xlim f(x) = 2 ดังนัน ้ ไม่มีลิมิต →2 (2) และ (3) สามารถแทนค่าได้เลย ไม่มีปญ ั หา f(x) = 3 − 5 = −2 เพราะฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเดียว (ไม่แยกเงื่อนไข และ (4.2) xlim →3 ไม่ติดค่าสัมบูรณ์) แต่ xlim f(x) = 3 + 2 = 5 ดังนัน ้ ไม่มีลิมิต →3 (2.1) xlim f(x) = 1 + 2 = 3 →2 − + + − + Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET lim f(x) = 8 − 5 = 3 (4.3) และ (8) x → 4− lim f(x) = x → 4+ 4+5 = 3 x→3 ดังนั้น lim f(x) x→3 ไม่มี 0 จึงควรกระจายก่อน ⎛ x2 + 2xh + h2 + 1 − x2 − 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ h→0 ⎝ h ⎠ ⎛ 2xh + h2 ⎞ = lim ⎜ + h) = 2x ⎟ = hlim(2x →0 h→0 ⎝ h ⎠ f(x) = lim f(x) หา (x − 2)2 x−2 = x−2 x−2 x → 2− โดยมองที่ x < 2 เล็กน้อย จึงถอดค่าสัมบูรณ์ออกได้ แต่ต้องติดลบ (เพราะ x − 2 < 0 ) x →2 f(x) โดยมองที่ x > 2 เล็กน้อย และหา xlim →2 จึงถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลยทันที (เพราะ x − 2 > 0 ) ดังนัน้ xlim f(x) = −1 , lim f(x) = 1 , →2 x →2 + − และ (7) lim f(x) x→0 และเช่นกัน x = −3 0 0 − (x2 − 9) x→3 x→3 x−3 = lim− − (x + 3) = −6 x→3 (x2 − 9) แต่ xlim f(x) = lim+ = 6 x→3 → 3+ x−3 ดังนัน้ lim f(x) ไม่มีค่า x→3 x → 1 ทางขวา 1 ⎛ f(x − 1) ⎞ ⎛ x − 1 − 1⎞ lim ⎜ ⎟ = lim+ ⎜ ⎟ = − x→1 ⎝ x + 2 ⎠ 3 ⎝ x+2 ⎠ ดังนัน้ ตอบ −1 − 1 = − 4 3 3 (x − 2)(x + 2) = lim(x + 2) = 4 (9.1) xlim →2 x →2 x−2 (x − 2)(x + 2) 4 ⎛ x + 2⎞ (9.2) xlim = lim ⎜ ⎟ = → 2 (x − 2)(x + 3) x →2 ⎝ x + 3 ⎠ 5 (x + 1)(x − 3) −4 (9.3) xlim = = −2 → −1 (x + 1)(x + 3) 2 x−a 1 (9.4) xlim = → a (x − a)(x + a) 2a x → 1+ (10.1) lim x → 1 (1 − 1− x x)(1 + x) = 1 1 = 1+ 1 2 ⎛1 − x ⎞ ⎛1 + lim ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1 − x ⎠ ⎝1 + 1− x 1 = lim = x → 1 (1 − x)(1 + x) 2 (10.2) = lim x→1 lim x → 1 (2 x→1 ⎛2 + x−1 ⎜ − x + 3) ⎝ 2 + x →0 x + 3⎞ ⎟ x + 3⎠ x + 3) = −4 ⎛ x − 2 − 1⎞ ⎛ lim ⎜ ⎟⎜ ⎝ x − 3 ⎠⎝ (x − 3) = lim = x → 3 (x − 3)( x − 2 + 1) = lim x⎞ ⎟ x⎠ (x − 1)(2 + x + 3) 1− x จึงต้องถอดค่าสัมบูรณ์ เพื่อแยกตัวประกอบมาตัดกัน (10.4) lim− f(x) = lim− ถ้า จะได้วา่ x − 1 → 0 ทางขวา จึงใช้กรณีกลาง เช่นเดิม ได้เป็น ได้ทนั ทีไม่มีปญ ั หา (10.3) แทนเลยไม่ได้เพราะเป็น ⎛ f(x − 1) ⎞ lim ⎜ ⎟ ⎝ x +2 ⎠ x → 1+ x→1 0 = 0 −6 x→3 (0 < = lim − (2 + lim f(x) x →2 ได้เป็น แต่ + ไม่มีค่า lim f(x) แทนค่า x → −3 ทางซ้าย ทางขวา จึงต้องเลือกใช้กรณีกลาง x < 1) ได้เป็น หรืออีกวิธหี นึง่ −(x − 2) = lim−(−1) = −1 x →2 x −2 → lim− x → 0 x2 → 0 x →0 f(x) มี เท่ากับ 2(4) = 8 ส่วน xlim →4 (พิจารณาที่ x ใกล้ๆ 4 จึงมองเพียงกรณีล่าง คือ x > 3 เท่านัน ้ ) (5) แทนค่ายังไม่ได้เพราะเป็น 0 (6) พิจารณาว่า lim− f(x2) = lim−(x2 − 1) = −1 − lim+ f(x) = 2(3) = 6 lim f(x2) x → 0− ดังนัน้ มาคิด f(x) = 3 จึงตอบว่า xlim →4 f(x) = 32 = 9 (4.4) xlim →3 แต่ ลิมิตและความตอเนื่อง 303 x→3 x−2 + x −2 + 1 2 1⎞ ⎟ 1⎠ 2x ⎛ ⎞ ⎛ x + 9 + 3⎞ lim ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎝ x + 9 − 3⎠ ⎝ x + 9 + 3⎠ x →0 (2x)( x + 9 + 3) x = lim 2( x + 9 + 3) = 12 x →0 ⎛ x + 1 − 1⎞ ⎛ x + 1 + 1⎞ lim ⎜ ⎟⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ ⎝ x + 1 + 1⎠ x 1 = lim = x → 0 (x)( x + 1 + 1) 2 (10.5) Math E-Book Release 2.2 x →0 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ⎛ x − 2⎞⎛ x + 2⎞ lim ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ ⎝ x − 2x ⎠ ⎝ x + 2 ⎠ (x − 2) 1 = lim = x → 2 (x)(x − 2)( x + 2) (2)(2 2) 1 = 4 2 (10.6) x →2 ⎛ x2 + 3 − 2 ⎞ ⎛ x2 + 3 + 2 ⎞ ⎟⎜ ⎟ lim ⎜ x→1 ⎝ ⎠ ⎜⎝ x2 + 3 + 2 ⎟⎠ x−1 (11) (x2 − 1) = lim (x − 1)( x2 + 3 + 2) (x + 1) 2 1 = lim = = x→1 4 2 ( x2 + 3 + 2) x→1 (12.1) = 3 2 (x − 1)(x2 + x + 1) 1+ 1+ 1 = x→1 (x − 1)(x + 1) 1+ 1 lim (14.1) แม้ว่าจะหา xlim f(x) ได้โดยการแยกตัว →2 ประกอบ (ได้เป็น 12) แต่ที่จริงแล้ว f(2) ไม่นิยาม ดังนัน้ ไม่ต่อเนื่อง ที่ x = 2 (14.2) f(2) = 4 (กรณีล่าง) f(x) โดยกรณีบน ได้เป็น หา xlim →2 lim(x + 2) = 4 ดังนั้น ต่อเนื่อง ที่ x = 2 x →2 (15) ฟังก์ชนั ทั่วไปจะไม่ต่อเนือ่ งแค่เพียงบางจุด การ หาว่าต่อเนื่องทีจ่ ดุ ใดบ้าง ควรหาในแง่กลับกันว่า “จุด ใดไม่ต่อเนื่องบ้าง” แล้วตอบว่า “ต่อเนือ่ งทุกจุดยกเว้น ที่ ......” และจุดที่มีปัญหามักเป็นจุดที่แยกกรณีพอดี เช่นข้อ (15.1) ควรพิจารณาเฉพาะทีจ่ ุด x = 0 (15.1) f(0) = 1 x(x − 1) = 0 − 1 = −1 f(x) = lim และ xlim →0 x→0 x (12.2) ⎛ 3 x − 1 − 1 ⎞ ⎛ (x − 1)2 / 3 + (x − 1)1/ 3 + 1 ⎞ lim ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ 2/ 3 1/ 3 x →2 ⎝ x − 2 ⎠ ⎝ (x − 1) + (x − 1) + 1 ⎠ (x − 2) (x − 2)((x − 1)2 / 3 + (x − 1)1/ 3 + 1) = lim x →2 (15.3) ⎛ 1 − x − 3 ⎞ ⎛ 1 − x + 3 ⎞ ⎛ 4 − 2 3 x + x2 / 3 ⎞ ⎟⎜ ⎟⎜ 2/ 3 ⎟ 3 3 ⎝ 2 + x ⎠ ⎝ 1− x + 3 ⎠ ⎝ 4 −2 x + x ⎠ lim ⎜ x → −8 (−x − 8)(4 − 23 x + x2 / 3) x → −8 (8 + x)( 1 − x + 3) = lim 2/ 3 ⎛4 − 2 x + x = lim − ⎜ x → −8 1− x + 3 ⎝ 4+4+4 = − = −2 3+3 3 x→1 ⎞ ⎟ ⎠ x − 1⎞ ⎛ 4 x + 1 (x − 1)(x2/ 3 + x1/ 3 + 1) x → 1 (x − 1)(4 x + 1)( x + 1) lim f(x) = lim− x → 1− x→1 x −1 x −1 = lim− x→1 1− x 1− x = lim+ x→1 = −2 x) = lim+ − (1 + ดังนัน้ ตอบ + 3 2 2x2 + x − 1 และ x lim f(x) = lim x → −1+ → −1+ 2(x + 1) (x + 1)(2x − 1) 3 = lim + = − ดังนั้น x → −1 2(x + 1) 2 lim f(x) = f(−1) = − −(1 − x) = lim− − 1 − x = 0 x→1 x→1 1− x 1− x −(1 − x) และ xlim f(x) = lim+ = lim+ → 1+ x→1 1 − x→1 1 − x x x)(1 + 1− x และ x lim f(x) = lim (x + 1) = 0 → −1 x → −1 ดังนัน้ ต่อเนื่อง ที่ x = −1 (17) ก. พิจารณาที่ x = −1 คือกรณีบนกับกลาง (กรณีบน บอกลิมิตซ้ายและค่า f, ส่วนกรณีกลาง บอกลิมิตขวา) x → −1− = lim− −(1 − x → −1 + = lim (13) แสดงว่าลิมิตซ้าย, ขวา, และค่าฟังก์ชัน ไม่เท่ากันเลย จึงตอบว่า ต่อเนือ่ งทุกจุดยกเว้นทีจ่ ุดซึง่ x = 0 (16) f(−1) = 0 = 0 lim f(x) = lim − − (x + 1) = −0 = 0 3 1+ 1+ 1 3 = (1 + 1)(1 + 1) 4 x = 3 ⎧⎪ 1, x > 0 h(x) = ⎨−1, x < 0 ⎪⎩ 2, x = 0 x → −1− 2/ 3 1/ 3 x + 1⎞ ⎛ x + x + 1⎞ ⋅ ⎟ ⎟⎜ 4 ⎟ ⎜ 2/ 3 1/ 3 ⎝ x − 1⎠ ⎝ x + 1 x + 1⎠ ⎝ x + x + 1⎠ 4 x = 0 (x − 3) (12.3) (12.4) lim ⎛⎜ ดังนัน้ ตอบว่า ต่อเนื่องทุกจุด ยกเว้นทีจ่ ุดซึ่ง (15.2) g(3) = 2 (x − 3)(x + 3) และ xlim = 6 g(x) = lim →3 x→3 ต่อเนื่องทุกจุดยกเว้นจุดซึง่ 1 1 = = 1+ 1+ 1 3 = ลิมิตและความตอเนื่อง 304 x→1 x) 0 − 2 = −2 ข. พิจารณาที่ x = 1 ก. ถูก คือ กรณีกลางกับล่าง จะได้ว่า 2(1)2 + 1 − 1 1 = lim− f(x) = f(1) = x→1 2(1 + 1) 2 และ lim x → 1+ ⎛1 − x ⎞ lim f(x) = lim+ ⎜ ⎟ = x→1 ⎝ 1 − x ⎠ x → 1+ (1 − Math E-Book Release 2.2 1− x x)(1 + x) = 1 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ดังนัน้ ข. ถูก คณิตศาสตร O-NET / A-NET 305 (18) ก. ลิมติ ซ้ายคือกรณีบน (23.1) ต่อเนื่องบนช่วง [1,3] แสดงว่า ต่อเนื่องทีจ่ ุด x = 2 ด้วย 1 1 = lim f(x) = x → 1− 3(1) + 1 4 lim f(x) = f(2) x → 2− ลิมิตขวาคือกรณีล่าง ⎛2 − 5 − x ⎞ ⎛2 + 5 − x ⎞ lim f(x) = lim+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ x → 1+ x→1 ⎝ x − 1 ⎠ ⎝2 + 5 − x ⎠ (x − 1) 1 ดังนัน้ ก. ถูก = lim+ = x → 1 (x − 1)(2 + 4 5 − x) ข. ผิด เพราะ f(1) = 1 ไม่เท่ากับลิมิตในข้อ ก. (จึงไม่ต่อเนื่องที่ x = 1 ) (19) xlim f(x) = f(2) →2 (x − 2)(x + 2) ⎡ ⎤ → ⎢ lim = 4⎥ = 3(2) + a ⎣x → 2 x+2 ⎦ → a = −2 (20) lim f(x) = f(1) → 1 − 12 = 1 + b x → 1− → b = −1 (21) ต่อเนือ่ งที่ x = 2 lim f(x) = f(2) → x → 2− แสดงว่า 2−5 = 22 − 5 2−2 −b 3 → = −1 → b = 3 −b และพิจารณาที่ lim f(x) = x → 1+ x = 1 ลิมิตและความตอเนื่อง (x − 2)(x − 2) 0 ⎡ ⎤ = = 0⎥ = h ⎢ xlim − → 2 (x 2)(x 2) 4 − + ⎣ ⎦ → h = 0 และ lim f(x) = f(2) → 2(2) + k = 0 x → 2+ → k = −4 (23.2) ต่อเนื่องบนช่วง [1,3] แสดงว่า ต่อเนื่องทางขวาของ 1 และทางซ้ายของ 3 ด้วย 1+ 1 2 f(x) → h = = − ดังนัน้ f(1) = xlim →1 1− 4 3 3+1 4 f(3) = lim− f(x) → k = = − x→3 9 − 12 3 + และ (24) พิจารณา f(1) = 2 และ 1−5 4 = = −2 1−2 − 3 1− 3 แสดงว่า ค่า b = 3 ทําให้ f(x) ไม่ต่อเนื่อง ที่ x = 1 เพราะ f(1) ≠ lim f(x) x→1 (หรือตอบว่า เพราะไม่มีลิมติ ก็ได้, เนือ่ งจากลิมิต ซ้ายเป็น 2 ลิมิตขวาเป็น -2) f(x) = f(1) → a(1) = 4 → a = 4 (22) xlim →1 + (x2 − 1)(x − 2) = x−2 (x2 − 1) เมื่อ x ≠ 1, −1 ต้องการให้ตอ่ เนือ่ ง จึงต้องนิยามให้ f(−1) = lim f(x) = −1 − 2 = −3 x → −1 และให้ บ้าง ... f(x) = f(1) = lim f(x) = 1 − 2 = −1 x→1 (25) พิจารณา f(x) = (x2 − 4)(x − 1) = 1− x (4 − x2) เมื่อ x ≠ 2, −2 ถ้าต้องการให้ตอ่ เนื่องจึงต้องนิยามให้ f(2) = a = lim f(x) = 1 − 2 = −1 x →2 และให้ f(−2) = b = lim f(x) = 1 − (−2) = 3 x → −2 − lim f(x) = f(1) → 1 + b = 4 → b = 3 x → 1+ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ลิมิตและความตอเนื่อง 306 eÃ×èo§æ¶Á การคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล.. (1) รูปแบบยังไม่กําหนด (Indeterminate Form) มี 7 แบบ ได้แก่ 0 0 ∞ ∞ 0⋅∞ 00 ∞ −∞ ∞0 1∞ เราจะพบสองรูปแบบแรกบ่อยในระดับมัธยมศึกษา ซึง่ การหาลิมิตรูปแบบ 0 และ ∞ นอกจากจะหา 0 ∞ โดยการจัดรูปแล้ว สามารถหาอย่างง่ายๆ ได้โดย กฎของโลปีตาล (L’Hôpital’s Rule) ซึง่ จะต้องอาศัย สูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชนั จึงควรมีความรูพ้ ื้นฐานของบทที่ 15 (ในหัวข้อ 15.2) ก่อน.. (2) กฎของโลปีตาลกล่าวว่า lim x→a f (x) f′ (x) = lim g (x) x → a g′ (x) ... เมื่อ f (a) = g (a) = 0 เรานําไปใช้งานโดยเมื่อทดลองแทนค่าพบว่าลิมิตของฟังก์ชนั อยู่ในรูปแบบ 0 0 หรือ หรือ ∞ ∞ f (a) = g (a) = ∞ แล้ว เราสามารถหา อนุพันธ์ของเศษและของส่วน เพือ่ ให้ได้ฟังก์ชันใหม่ที่ยังคงมีค่าลิมติ เท่าเดิม หากลองแทนค่าแล้วยังเป็น หรือ ∞ ∞ 0 0 อยูอ่ ีกก็ให้ใช้กฎของโลปีตาล (คือหาอนุพนั ธ์เศษและส่วน) ซ้ําเรือ่ ยๆ จนกว่าจะได้คําตอบ ⎛ x3− 3x +2 ⎞ lim ⎜⎜ 3 ⎟ x → 1 2x − 3x2 + 1 ⎟ ⎝ ⎠ 0 แล้วพบว่าเป็นรูปแบบ จึงใช้กฎของโลปีตาลได้ 0 (3) ตัวอย่างเช่น ต้องการหาค่าของ ลองแทน x ด้วย 1 ดังนี้ ⎛ x3− 3x +2 ⎞ ⎛ 3x2 − 3 ⎞ lim ⎜⎜ 3 ⎟ = lim ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ x → 1 2x − 3x + 1 x → 1 ⎝ 6x − 6x ⎠ ⎝ ⎠ 0 จึงใช้กฎโลปีตาลอีกครั้ง 0 ⎛ 3x2 − 3 ⎞ 6 ⎛ 6x ⎞ lim ⎜ 2 = 1 ⎟ = xlim ⎜ ⎟ = → 1 ⎝ 12x − 6 ⎠ x → 1 ⎝ 6x − 6x ⎠ 6 จากนั้นลองแทน x ด้วย 1 แล้วยังเป็น เป็น ดังนัน้ ค่าของลิมติ เท่ากับ 1 ⎛ x2 −2x ⎞ lim ⎜ ⎟ ⎜ x− 2 ⎟ ⎝ ⎠ ∞ พบว่าเป็นรูปแบบ จึงใช้กฎของโลปีตาลได้ ∞ (4) ตัวอย่างต่อมา ต้องการหาค่า ลองแทน x ด้วย ∞ x→∞ ดังนี้ ⎛ x2−2x ⎞ ⎛ 2x − 2 ⎞ ⎟ = lim ⎜ = lim [(4x − 4) x] lim ⎜ ⎟ 1 −1/ 2 ⎟ → ∞ x→∞ ⎜ x x→∞ ⎝ x− 2 ⎠ ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ จากนั้นลองแทน x ด้วย ∞ อีกครั้ง พบว่าได้ ∞ ... ดังนัน้ คําตอบคือ หาค่าไม่ได้ หมายเหตุ (1) โจทย์ทุกข้อในแบบฝึกหัด 14.2 ทีผ่ ่านมา สามารถใช้กฎของโลปีตาลเพือ่ ให้คํานวณได้ง่ายขึ้น (ลองฝึกทําดูสิครับ) แต่ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย มักจะตั้งโจทย์ในรูปแบบทีห่ าอนุพันธ์ยาก ก็จําเป็นต้องใช้ วิธีจดั รูปเช่นเดิม (2) นําไปใช้กับลิมิตของลําดับได้ด้วย ถ้าพบว่าอยูใ่ นรูปแบบ ∞/∞ ** (3) ไม่ว่ากรณีใดๆ ถ้าไม่ใช่ลมิ ิตรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ แต่ไปใช้กฎโลปีตาลคิด จะได้คําตอบที่ผดิ นะครับ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 307 calculus º··Õè 15 o¹u¾a¹¸æÅa ¡ÒÃoi¹·ie¡Ãµ หลักการของวิชาแคลคูลัสที่จะได้ศกึ ษาในบทนี้ ได้แก่ การหาอนุพันธ์ และการอินทิเกรต ซึง่ เป็นการ กระทํากับฟังก์ชันเพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่ไปใช้ประโยชน์ โดยอนุพันธ์คือความชันของเส้นกราฟ และการอินทิ เกรตคือการกระทําย้อนกลับของอนุพันธ์ และเป็นการ หาพื้นที่ใต้กราฟด้วย 15.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง ในฟังก์ชัน ที่จุด ที่จุด x x y = f (x) ใดๆ เราพิจารณาหา “อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าฟังก์ชัน” ได้ดังนี้ = x1 จะได้ y = f (x1) = x2 = x1+ h จะได้ y = f (x1+h) ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x1 ถึง x1+h คือ f (x1+ h) − f (x1) f (x1+ h) − f (x1) Δy = = Δx (x1+ h) − (x1) h หรือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x (ในช่วง x ถึง x+h ใดๆ)” คือ หรือ Δy f (x + h) − f (x) h Δx และเมื่อเราบีบช่วง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 ก็จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุด x ที่กําหนด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 308 ฉะนั้น “อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y (ที่จุด x ใดๆ)” คือ f (x + h) − f (x) Δy หรือ Δlim lim h→0 x →0 Δx h (ไม่สามารถแทน h = 0 0 0 ลงไปตรงๆ ได้ เพราะจะเป็น จึงต้องใช้ลมิ ิตช่วยในการคํานวณ) 2 ตัวอยาง ถา y = f (x) = 2x + 3x − 4 ใหหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ก. โดยเฉลี่ยในชวง x = 1 ถึง 4 − 1 วิธีคิด ΔΔyx = f (4)4 −− 1f (1) = 40 = 13 4 − 1 (แปลวาในชวงทีก่ ําหนดนี้ เมื่อ x เพิ่มขึ้น 1 หนวยแลว y จะเพิ่มขึ้นประมาณ 13 หนวย) ข. ที่จุดซึ่ง x = 2 • วิธีคิด lim Δx →0 f (2+ h) − f (2) [2 (2+ h)2 + 3 (2+ h) − 4] − 10 Δy = lim = lim h→0 h→0 Δx (2+ h) − 2 h = lim h→0 (คํานวณโดยติดคา x ใดๆ ไวกอน จนไดผลเปน 11h + h2 = lim (11 + h) = 11 h→0 h 4x + 3 แลวจึงแทนคา อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y = f (x) ที่จุด x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์ (Derivative) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f (x) ได้แก่ f′ (x) หรือ dy หรือ d f (x) หรือ y′ ลงไปก็ได) S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S eª¹e´ÕÂÇ¡aºã¹º··ÕèæÅÇ ¶Ò¹o§æ ¢Õée¡Õ¨e¢Õ¹¤íÒÇÒ lim h→0 ¹íÒ˹ÒæµÅaºÃ÷a´ã¹eÇÅÒ·´ËÃ×oæÊ´§Çi¸Õ·Òí oÒ¨Å×Áæ·¹ ¤Ò h ´Ç 0 æÅa¤íÒµoº¡ç¨a¼i´¹a¤Ãaº dx dx ส่วนสัญลักษณ์ที่ใช้เจาะจงตําแหน่ง เช่น อนุพันธ์ที่จุดซึ่ง ฉะนั้น อนุพันธ์ของ x =2 f (x) ก็คือ x = 3 f (x + h) − f (x) dy lim = h→0 h dx จะใช้ f′ (3) หรือ นั่นเอง y = f (x) นอกจากนั้นเรียกว่าเป็นค่า ความชัน (Gradient) ของกราฟ ณ จุดนั้นๆ ด้วย แบบฝึกหัด 15.1 (1) ให้ ในช่วง y = x2− x + 1 x = 3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เมื่อเทียบกับ x ถึง 5 (2) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y (2.1) y = 2x2+ 3x −4 เมือ่ x มีค่าใดๆ (2.2) y = 3x2+ 7x +1 ที่จดุ x = 2 (3) ให้ y = x2 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลง (3.1) โดยเฉลี่ยของ y เมื่อเทียบกับ x ในช่วง (3.2) โดยเฉลี่ยของ y เมื่อเทียบกับ x ในช่วง (3.3) ของ y ทีจ่ ุด x = x1 (3.4) ของ y ทีจ่ ุด x = 10 x = x1 x = Math E-Book Release 2.2 dy dx ถึง x = 10 ถึง 13 x1+ h (คณิต มงคลพิทักษสุข) x=3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (4) ถ้า f (x) = 1 x อนุพันธและการอินทิเกรต 309 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ (4.1) ในช่วง x = 4 ถึง (4.2) ในช่วง x = 4 ถึง (4.3) ในช่วง x = 4 ถึง (4.4) ที่จุดซึ่ง x = 4 f (x) เทียบกับ x x = 5 x = 4.5 x = 4.01 (5) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของปริมาตรทรงกลม เทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก 2 ถึง 3 หน่วย (6) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ (6.1) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวด้าน ขณะที่ด้านยาว 5 ซม. (6.2) พื้นที่วงกลมเทียบกับรัศมี ขณะที่รัศมียาว 10 นิ้ว (7) ให้หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรกรวยกลมตรง (7.1) เทียบกับรัศมีฐาน r เมื่อส่วนสูง H คงตัว (7.2) เทียบกับส่วนสูง H เมื่อรัศมีฐาน r คงตัว (8) ในการสูบน้ําออกจากสระแห่งหนึ่ง หลังจากสูบได้ t นาที จะมีน้ําเหลืออยู่ในสระเป็นปริมาตร Q ลบ.ม. โดยที่ Q = (12 − t )2 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลง 10 (8.1) โดยเฉลี่ย ของปริมาตรน้ําในสระ เทียบกับเวลา ในช่วง t = (8.2) ของปริมาตรน้ําในสระ เทียบกับเวลา ขณะที่ t = 10 นาที (9) จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x ใดๆ และที่จุด (9.1) f (x) = 2x2 (9.2) f (x) = x2−2x +4 (9.3) f (x) = 3 (9.4) f (x) = 2−3t (10) ถ้า 0 ถึง t = 10 นาที x = 2 y = x −2x2 เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา (10.1) ความชันของเส้นโค้งนี้ที่จุด (2, −6) (10.2) สมการเส้นสัมผัสโค้ง ณ จุดเดียวกันนี้ (11) ให้หาสมการเส้นสัมผัสโค้ง y = x3 ณ จุด (−1, −1) 15.2 สูตรในการหาอนุพันธ์ เนื่องจากการใช้ลิมิตคํานวณนั้นไม่สะดวก จึงได้มีการคิดสูตรในการหาอนุพันธ์ไว้ดังนี้ 1. สูตรทั่วไป • • d x = 1 dx d n x = n xn−1 dx 2. การบวกลบคูณหารฟังก์ชัน • • d c = 0 dx d d c f (x) = c f (x) dx dx Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET • • • อนุพันธและการอินทิเกรต 310 d [ f (x) ± g(x)] = f′ (x) ± g′ (x) dx d [ f (x) ⋅ g (x)] = f (x) g′ (x) + g(x) f′ (x) dx g (x) f′ (x) − f (x) g′ (x) d ⎡ f (x) ⎤ ((ล่าง ⎢ ⎥ = dx ⎣ g(x)⎦ [g(x)] 2 (หน้า ดิฟหลัง + หลัง ดิฟหน้า) ดิฟบน - บน ดิฟล่าง) ส่วน ล่างกําลังสอง) 3. ฟังก์ชันประกอบ (กฎลูกโซ่; Chain Rule) d dg df หรือเขียนอีกแบบว่า • g (f (x)) = ⋅ dx df dx หมายเหตุ กฎลูกโซ่จะเขียนยาวกี่ทอดก็ได้ เช่น n (g D f)′ (x) = g′ (f (x)) ⋅ f′ (x) dg dg dh df dx = ⋅ ⋅ ⋅ dt dh df dx dt n ตัวอยาง ใหหาคา lim ⎛⎜⎝ (x + h)h − x ⎞⎟⎠ วิธีคิด ในขณะนีเ้ ราไมสามารถกระจาย (x + h) จึงไมมีวิธีคิดหาลิมิตแบบตรงๆ ได แตพบวาอยูในรูปแบบนิยามของอนุพนั ธพอดี ..ดังนั้นคําตอบคือ อนุพนั ธของ x ตอบ • h→0 n n 2 n xn−1 3 ตัวอยาง ใหหาความชันของเสนสัมผัสโคง y = 2x − 3x + x ที่จดุ (4, 24) วิธีคิด dy ้ dy = 2 − 24 + 48 = 26 = 2 − 3 (2x) + (3x ) ดังนัน dx dx • ตัวอยาง ถา f (x) = (2x + 1)(3x − 2) ใหหาคา f′(x) วิธีคิด ใชสูตรดิฟผลคูณดังนี้ f′(x) = (2x + 1)(6x) + (3x − 2)(2) = 18x + 6x − 4 • 2 x=4 2 2 2 3/ 2 ตัวอยาง ถา f (x) = (2x + 1) ใหหาคา f′(4) วิธีคิด f′(x) = 23 (2x + 1) ⋅ 2 = 3 2x + 1 (การดิฟลูกโซ .. มอง 2x+1 เปนตัวแปรกอนหนึ่ง เมื่อดิฟแลวจะตองคูณกับดิฟของ 2x+1 ดวย) เพราะฉะนั้น f′(4) = 3 2 (4) + 1 = 9 • 1/ 2 • ตัวอยาง ถา f (x) = (1 − 3x2)2 1 + 3x2 ใหหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) เทียบกับ x ขณะที่ x = 1 วิธีคิด อัตราการเปลี่ยนแปลงทีก่ ลาวถึงก็คือ f′(x) ... ขอนี้ใชสตู รดิฟผลหาร ปนกับดิฟลูกโซ (1 + 3x2) ⋅ 2 (1 − 3x2)(−6x) − (1 − 3x2)2 ⋅ (6x) (1 + 3x2)2 ดังนี้ f′(x) = จะได f′(1) = 4.5 ... จึงตอบวา อัตราการเปลี่ยนแปลงของ อนุพันธ์อันดับสูง สมมติ f (x) = หากเราหาอนุพันธ์ของ y = x3−2x2+ x+5 f′ (x) เช่น อนุพันธ์อันดับสอง คือ จากนัน้ แทนคา f (x) ขณะที่ ดังนั้น หาอนุพันธ์ได้เป็น x=1 x=1 เทากับ f′ (x) = 4.5 dy = 3x2− 4x+ 1 dx ต่อไปอีก จะเรียกว่าเป็นอนุพันธ์ อันดับสูง (Higher Order) f′′ (x) = d2y = 6x− 4 dx2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET d3y = 6 dx3 d4y f(4)(x) = = 0 dx4 f′′′ (x) = อนุพันธ์อันดับสาม คือ อนุพันธ์อันดับสี่ คือ อนุพันธและการอินทิเกรต 311 ... ฯลฯ การเขียนสัญลักษณ์ อนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็น dny dx n หรือ f(n)(x) แต่อันดับที่หนึ่ง สอง และสาม นิยมใช้เครื่องหมายขีด เป็น f′ (x), f′′ (x), f′′′ (x) ข้อสังเกต ตัวอย่างที่ยกมาเป็นพหุนามดีกรี 3 จะเห็นได้ว่า อนุพันธ์อันดับที่สี่ขึ้นไปล้วนมีค่าเป็น 0 3/ 2 ตัวอยาง ถา f (x) = (2x + 1) ใหหาคา f′′(4) วิธีคิด จาก f′(x) = 23 (2x + 1) ⋅ 2 = 3 (2x + 1) • 1/ 2 จะได 1 f′′(x) = 3 ( )(2x + 1)−1/ 2 ⋅ 2 2 เพราะฉะนั้น f′′(4) = = 3 2x + 1 1/ 2 (ดิฟลูกโซ) (ดิฟลูกโซอีกครั้งหนึ่ง) 3 = 1 2 (4) + 1 แบบฝึกหัด 15.2 (12) จงหาค่า f′ (x) เมื่อกําหนด f (x) ให้ดังนี้ (12.1) f (x) = 5 (12.2) f (x) = x (12.3) f (x) = −3x (12.4) f (x) = −3x2 (12.5) f (x) = x2+ x (12.6) f (x) = 3x2−5x + 1 (12.7) f (x) = (3x3−4x2) + (7x2−5) (12.8) f (x) = x5−x − 3 (12.9) f (x) = 1/ x (12.10) f (x) = 2/ x2 (12.11) f (x) = 6 x (12.12) f (x) = 1 / 3x x (13) จงหาค่า f′ (x) เมื่อกําหนด f (x) ให้ดังนี้ (13.1) f (x) = (6x2+ 4)(3x3+5) (13.2) f (x) = (2x4+1)(x2+ x + 1) (13.3) f (x) = 4x2+ 7x + 1 3x2+8 (13.4) f (x) = x2+ 4x + 7 3x − 1 (14) จงหาค่า f′ (x) เมื่อกําหนด f (x) ให้ดังนี้ (14.1) f (x) = (x + 3)2 (14.2) f (x) = (x2+1)3 (14.3) f (x) = (x3−x2+2x+ 1)2 (14.4) f (x) = (1−4x)4/ 5 (15) ตรวจสอบคําตอบข้อ (2), (3.3), (3.4), (4.4), (6), (7), (8.2) โดยใช้สูตรในการหาอนุพันธ์ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 312 (16) จงหาค่า f′ (x) เมื่อกําหนด f (x) ให้ดังนี้ (16.1) f (x) = (2x+ 3)(3x−4) (16.2) (16.3) (16.4) 4x5− 10x3+6x −8 2x2 1+ 3x f (x) = 1−3x f (x) = f (x) = (3x −5)3 (17) จงหาค่าของ (17.1) dy dx (17.2) x=1 f′ (1) เมื่อ เมื่อ y = f (x) = (2x + 1)2(3x −2)3 f (x) = 2 3 2 x −2x + 3 (17.3) ความชันเส้นสัมผัสโค้ง ณ จุดที่ x =1 เมื่อ f (x) = (17.4) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f (x) ณ จุดที่ x =1 เมื่อ (18) ให้หาค่าอนุพันธ์อันดับสูง f′′ (x), f′′′ (x) และ (18.1) f (x) = x4+ 3x3+5x2 −7x −3 (18.2) f (x) = x5+ 3x4−4x3 + x −1 (19) จงหาค่า f (−3), f′ (−3), f′′ (−3) (20) หาค่า (f′′+ g′′)(1) (21) จงหา f (n)(x) เมื่อ เมื่อ f (x) = f(4)(x) x2+8(x2− 3)4 f (x) = x2− 1 ของฟังก์ชันต่อไปนี้ เมื่อ f (x) = x2 + x − 3 2− x และ g(x) = (1− 3x)2 f (x) = 1/ x 15.3 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด ความหมายของฟังก์ชันเพิ่มคือ เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f (x) ก็จะเพิ่มขึ้นด้วย หรือกล่าวว่า ความชันเป็นบวก ส่วนฟังก์ชันลดนั้น เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f (x) กลับลดลง หรือกล่าวว่า ความชัน เป็นลบนั่นเอง ดังนั้นเมื่อพิจารณาถึงอนุพันธ์ f′ (x) ซึ่งเป็นค่าความชันของกราฟ จะได้กฎว่า ช่วงที่ f′ (x) > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ f′ (x) < 0 เป็นฟังก์ชันลด และเนื่องจากตําแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด หรือจากลดไปเพิ่ม จะต้องมีการวกกลับของ กราฟ ซึ่งทําให้เกิดจุดยอด (จุดสุดขีด; Extreme Point) ขึ้น สามารถหาโดย f′ (x) = 0 เราเรียกค่า x ณ ตําแหน่งที่ f′ (x) = 0 ว่า ค่าวิกฤต (Critical Value) จุดสุดขีดมี 2 แบบคือจุดสูงสุดและจุดต่ําสุด ถ้าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม จะเกิดจุดต่ําสุด และ ถ้าความชันเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด ก็จะเกิดจุดสูงสุด หมายเหตุ 1. f′ (x) = 0 ไม่ได้เป็นจุดสูงสุดหรือต่ําสุดเสมอไป อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าเท่านั้น เราสามารถพิจารณาให้ละเอียดได้จาก อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน หรือ f′′ (x) หาก f′′ (x) > 0 แสดงว่าความชันมากขึ้นเรื่อยๆ (เปลี่ยนจากลบไปบวก) เกิดจุดต่ําสุด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 313 หาก f′′ (x) < 0 แสดงว่าความชันน้อยลงเรื่อยๆ (เปลี่ยนจากบวกไปลบ) เกิดจุดสูงสุด หาก f′′ (x) = 0 อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้า หรือจุดสูงสุด หรือจุดต่ําสุดก็ได้ 2. เราใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดต่ําสุด (Maximum & Minimum) ของฟังก์ชัน ในการคํานวณโจทย์ ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์จริง เช่น มีฟังก์ชันกําไร P (x) แล้วหาค่า x ที่ทําให้ได้กําไรมากที่สุด พิจารณากราฟต่อไปนี้ เพื่อทําความเข้าใจเรื่อง สัมพัทธ์ (Relative) และ สัมบูรณ์ (Absolute) ฟังก์ชันหนึ่งๆ หากมีการวกกลับของกราฟ ณ จุดใด ก็จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์ (แปลว่าเทียบกับจุดข้างเคียง จึงมีได้หลายจุด) และหากจุดใดมีค่าฟังก์ชันมากที่สุดหรือน้อยที่สุดของ กราฟแล้ว จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมบูรณ์ด้วย y C (สูงสุดกับต่ําสุด มีได้อย่างละ 1 จุด) A จุดสูงสุดสัมพัทธ์ได้แก่ จุด A, C, E B จุดสูงสุดสัมบูรณ์ คือจุด C เท่านั้น d e x จุดต่ําสุดสัมพัทธ์ได้แก่ จุด B, D a b c O จุดต่ําสุดสัมบูรณ์ ไม่มี E D ตัวอยาง f (x) เปนฟงกชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งหารดวย x + 1 แลวเหลือเศษ 6 ... สัมผัสกับ เสนตรง 12x + y + 7 = 0 ณ จุดตัดแกน y ... และมีคาวิกฤตคาหนึง่ เปน 1 ก. ใหหาฟงกชัน f (x) นี้ วิธีคิด โดยทั่วไปพหุนามกําลังสาม ตองมีลกั ษณะเปน Ax + Bx + Cx + D ซึ่งมีสมั ประสิทธิ์ 4 ตัว เรา จึงใชคําใบที่โจทยใหมา 4 อยาง ในการสรางระบบสมการเพือ่ หาสัมประสิทธิ์ 4 ตัวนี้ ... จากทฤษฎีเศษเหลือ (ในเนือ้ หาจํานวนจริง) จะไดวา f (−1) = 6 หรือ −A + B − C + D = 6 .....(1) ตัดแกน y ที่จุดเดียวกับ 12x + y + 7 = 0 คือจุด (0, −7) จะไดวา f (0) = −7 หรือ A (0) + B (0) + C (0) + D = −7 = D .....(2) มีความชันเทากับเสนตรง 12x + y + 7 = 0 ที่จุด (0, −7) จะไดวา f′(0) = −12 หรือ 3 A (0) + 2 B (0) + C = −12 = C .....(3) มีคาวิกฤตคาหนึง่ เปน 1 (คาวิกฤตคือคา x ณ จุดที่ความชันเปนศูนย) จะไดวา f′(1) = 0 หรือ 3 A + 2 B + C = 0 .....(4) แกสี่สมการรวมกัน ไดผลเปน A = 2 , B = 3 ... ดังนัน้ f (x) = 2x + 3x − 12x − 7 ข. ฟงกชันนี้มีคาสูงสุดสัมพัทธ และคาต่ําสุดสัมพัทธเปนเทาใด วิธีคิด จาก f (x) = 2x + 3x − 12x − 7 จะได f′(x) = 6x + 6x − 12 หาก f′(x) = 0 จะได 6x + 6x − 12 = 0 → x = −2, 1 เนื่องจาก f (−2) = 13 และ f (1) = −14 ดังนั้นคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ 13 และคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ −14 ค. ฟงกชันนี้เปนฟงกชันลดในชวงใดบาง วิธีคิด จาก f′(x) = 6x + 6x − 12 คือความชัน และเราตองการความชันติดลบ ก็คือ 6x + 6x − 12 < 0 → 6 (x + 2)(x − 1) < 0 ... ไดคาํ ตอบเปนชวงเปด (−2, 1) • 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 314 ตัวอยาง ตองการสรางถังรูปทรงกระบอกเพื่อเก็บน้ํามัน ปริมาตร 16π ลูกบาศกเมตร โดยสิน้ เปลือง วัสดุกอสราง (รวมฝาบนและลาง) ใหนอยทีส่ ุด ถังใบนี้จะตองมีรศั มีหนาตัดยาวเทาใด วิธีคิด ใหพืน้ ทีผ่ วิ เปน A และใหความสูง h , รัศมีหนาตัด r จะไดฟงกชัน A ในรูปของ h, r ดังนี้ ... A = 2πrh + 2 (πr ) ในขอนี้เราตองการหาคาต่ําสุดของ A (หาคา h, r ทีท่ ําใหคา A ต่ําที่สุด) ... เนื่องจากโจทยกําหนดปริมาตรคงที่ 16π = πr h → h = 16/r จึงไดฟงกชัน A = 2πr (16/r ) + 2 (πr ) = 32π/r + 2πr = 2π (16/r + r ) จากนั้น dA = 2π (−16/r + 2r) = 0 → 2r = 16/r dr S e¾ièÁeµiÁ! S → r = 2 แสดงวา A ทีต ่ ่ําที่สุดเกิดเมื่อ r = 2 เมตร ตอบ ¡ÒÃËÒ¤ÒÊÙ§Êu´ µèÒí Êu´ ¢o§¿§¡ªa¹ ´ÇÂo¹u¾a¹¸ µÒ§¨Ò¡ • 2 2 2 2 2 2 2 2 2 º·eÃÕ¹eÃ×èo§¡íÒ˹´¡ÒÃeªi§eʹ µÃ§·ÕèÇÒ º·¹aé¹ÁÕµaÇ æ»Ãµ¹ 2 µaǤ×o x æÅa y e»¹µaÇæ»Ãµ¹·a§é ¤Ù æÅa x ¡aº y ÁÕ¢o¨íÒ¡a´ÃÇÁ¡a¹ºÒ§oÂÒ§ (ã¹ÃÙ»oÊÁ¡Òà eʹµÃ§) 浺·¹ÕÁé ÕµaÇæ»Ãµ¹e»¹ x e¾Õ§µaÇe´ÕÂÇ... แบบฝึกหัด 15.3 1. µo§¡ÒÃËÒ¤Òã´µèÒí Êu´ËÃ×oÊÙ§Êu´ ãËe¢Õ¹¤Ò¹aé¹ã¹ÃÙ» ¿§¡ªa¹¢o§¤Òo×è¹æ (¤×oãËe»¹ y) æÅaµo§ÁÕµÇa æ»Ãµ¹ e¾Õ§oÂÒ§e´ÕÂÇ eª¹¶Ò x e»¹µaÇæ»Ãµ¹ ¡çµo §·íÒµaÇ æ»Ão×è¹æ ãËoÂÙã¹ÃÙ» x (22) จากกราฟในหน้าที่แล้ว ให้หาช่วงที่เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่เป็นฟังก์ชันลด (23) หาค่าสูงสุดและต่ําสุด ของฟังก์ชันต่อไปนี้ (23.1) f (x) = −x2− x (23.2) f (x) = x2−x −1 (23.3) f (x) = 3x +2 2. ËÒ¡ÁÕ¤ÒÇi¡ÄµËÅÒÂ¤Ò ãËe»ÃÕºe·ÕºÇÒ¤Òã´·Õè·Òí ãË e¡i´¨u´µèÒí Êu´ËÃ×oÊÙ§Êu´´a§·Õèµo§¡Òà (24) จงหาค่าสุดขีดทั้งหมด และระบุช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด สําหรับฟังก์ชันต่อไปนี้ (24.1) f (x) = x2−4x +5 (24.2) f (x) = x3−3x (24.3) f (x) = 2x3+ 3x2 −12x −7 (24.4) f (x) = x4−3x3+ 3x2− x (24.5) f (x) = x3 (24.6) f (x) = x2−2x + 1 ; x ∈ [−1, 2] (25) ให้หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ําสุดสัมพัทธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยไม่ต้องวาดกราฟ (25.1) f (x) = 3−x2 (25.2) f (x) = x2+ 3x +4 (25.3) f (x) = x3−3x +3 (25.4) f (x) = x4−2x2 +3 (25.5) f (x) = x3+ x2 −8x −1 (26) ให้เขียนกราฟและบอกค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ y = 2x5− 30x3 (27) วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง s = 3t2 −2t + 1 เมตร ในเวลา t วินาที จงหา (27.1) ความเร็ว v ของวัตถุ ขณะเริ่มต้น และขณะ t = 2 วินาที Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 315 (27.2) ระยะทางที่ไกลที่สุดจากจุดเริ่มต้นที่วัตถุเคลื่อนที่ไปถึง (ก่อนจะวกกลับ) (28) จงหาจํานวนเต็มบวกสองจํานวนซึ่งรวมกันได้ 8 โดยที่ผลบวกของกําลังสามมีค่าน้อยที่สุด 5 km (29) ชาวสวนปลูกมะม่วง 22 ต้นต่อไร่ จะได้ต้นละ 500 ผล และเขาพบว่าหากปลูกเพิ่มอีกไร่ละต้น จะทําให้ผลลดลงต้นละ 10 ผล ดังนั้นแล้วเขาควรจะปลูกไร่ละกี่ต้นจึงจะได้ผลมากที่สุด S (30) จากภาพ บริษัทก่อสร้างต้องการวางท่อจากจุด P ไปยัง Q ตามแนว Q PR และ RQ (โดยจุด R อยู่ทใี่ ดก็ได้บนเส้น TS) จงหาว่า R อยู่ที่ค่า x R เป็นเท่าใด จึงสิ้นเปลืองค่าวางท่อน้อยที่สุด กําหนดให้ค่าก่อสร้าง (หน่วย x เป็นล้านบาท) ระหว่าง P ถึง R เป็นสองเท่าของกําลังสองของระยะทาง และระหว่าง R ถึง Q เป็นสามเท่าของกําลังสองของระยะทาง P 3 km T 4 km (31) สามเหลี่ยมมุมฉากยาวด้านละ 90, 120, 150 หน่วย ให้หาว่าจะ บรรจุสี่เหลี่ยมมุมฉากลงไปภายในสามเหลี่ยมนี้ (ให้มีมุมฉากร่วมกัน ดังภาพ) ได้พื้นที่มากที่สุดเท่าใด (32) ให้คํานวณค่าต่างๆ เมื่อต้องการทําให้เกิดค่ามากที่สุด ในแต่ละรูปต่อไปนี้ (32.1) พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากมากที่สุด (32.4) ปริมาตรกล่องมากที่สุดที่พับได้ บรรจุในสามเหลี่ยมมุมฉาก ใช้มุมฉากร่วมกัน เมื่อตัดมุมกระดาษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออก กว้างยาว = ________ x = _________ x พื้นที่ = ___________ x a a b (32.2) พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากมากที่สุด บรรจุในวงกลมขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง d กว้างยาว = _______ พื้นที่ = __________ d a (32.5) ปริมาตรกรวยกลม มากที่สุด บรรจุในทรงกลมรัศมี r ความสูงกรวย = ________ หากเป็นครึ่งวงกลม จะได้พื้นที่ = _________ (32.3) พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากมากที่สุด บรรจุในพาราโบลา โดยวางด้านหนึ่งบนโฟกัส BF = _______ V B (32.6) ปริมาตรทรงกระบอกมากที่สุด บรรจุในกรวยกลมตรง สูง H ความสูงทรงกระบอก = _________ F Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 316 โจทย์ทบทวนเรื่องอนุพันธ์ f (x) = (33) [Ent’38] กําหนดให้ x = 1 3x + 1 2x − 1 g(x) = และ 3x2 + 1 อนุพันธ์ของ [f (x) + g (x)] ที่ เท่ากับเท่าใด (34) [Ent’38] สมการเส้นสัมผัสโค้ง f (x) = (35) [Ent’39] กําหนดให้ f′ (0) = 4 และ f′′ (0) = −8 y = 2x − a x +b 3 x2+2 x = 5 ที่จุดซึ่ง เป็นสมการใด โดยที่ a และ b เป็นจํานวนจริงซึ่งไม่ใช่ศูนย์ ถ้า แล้ว ค่าของ f (0) เป็นเท่าใด (36) [Ent’38] กําหนดให้ f (x) = x3+bx2+cx เมื่อ b, c เป็นจํานวนจริง ถ้า x = −2 เป็นค่า วิกฤตของฟังก์ชัน f และ f′′ (−1) = 6 แล้ว ข้อใดถูก ก. f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ข. f เป็นฟังก์ชันลด ค. x = −2 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ง. x = −1 ให้ค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ (37) [Ent’40] กําหนดให้ f (x) = ax3+bx2+ cx + d มี x −1 เป็นตัวประกอบหนึ่ง และ f′ (0) = 2 , f′′ (0) + f′′′ (0) = 1 ดังนั้น f (2) มีค่าเท่ากับเท่าใด (38) [Ent’37] ให้ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ และ h (x) = (f D g)(x) = ax2+bx + c ถ้า คือ 5 แล้วค่า g(1) เป็นเท่าใด f (x) = 3x − 10 x = −2 (39) [Ent’41] กําหนดให้ f (x) = (x2− 1)3 g(x) โดยที่ g(2) = f′ (2) = 3 f (0) = 0 , h (0) = 1 แล้ว จงหา และ h มี g′ (2) (40) [Ent’40] กําหนดให้ f (x) = (3x2+5x) g (x) ถ้า g เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ 5 ที่จุดซึ่ง x = 1 แล้ว f′ (1) มีค่าเท่าใด (41) [Ent’39] กําหนดให้ g (x) เป็นพนุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และ f (x) = (x − 1)2 g (x) ถ้า x −2 หาร f (x) เหลือเศษ 3 และ x −2 หาร f′ (x) เหลือเศษ 4 แล้ว ค่าของ g′ (2) เป็นเท่าใด (42) [Ent’36] ให้ f (x) = (43) [Ent’39] กําหนดให้ (44) [Ent’41] ถ้า ค่าเท่ากับเท่าใด x + x แล้ว จงหาเซตของจํานวนจริง x ซึ่งทําให้ f (x) = x 2/ 3(x2− 16) f (x) = x + 1 , g(x) = x จงหาเซต และ A = {x f′ (x) > 3 ∈ R | f′ (x) > 0 } F (x) = (f D g)(x) เมื่อ x > 1 แล้ว (F−1)′ (2) มี (45) [Ent’39] สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านทั้งสามยาว 3, 4, 5 นิ้ว ตามลําดับ สี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่มีพื้นที่มากที่สุดที่สามารถบรรจุลงในสามเหลี่ยมนี้ได้ จะมีพื้นที่กี่ตารางนิ้ว (46) [Ent’38] สินค้าชนิดหนึ่งขายราคาชิ้นละ 24 บาท ต้นทุนในการผลิต x ชิ้นเท่ากับ 16+6x + 0.2x 3/ 2 บาท ถ้า N เป็นจํานวนชิ้นของสินค้าที่ผลิตเพื่อให้ได้กําไรสูงสุดแล้ว ข้อใดเป็นจริง ข. 2000 < N < 4000 ก. 1 < N < 2000 ค. 4000 < N < 6000 ง. 6000 < N < 8000 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 317 15.4 สูตรในการอินทิเกรต การกระทําที่ตรงข้ามกับกระบวนการหาอนุพันธ์ เราเรียกว่า การอินทิเกรต (Integration) นั่นคือ ถ้า d F (x) = f (x) แล้ว (การหาอนุพันธ์) dx จะได้ว่า ∫ f (x) dx = F (x) (การอินทิเกรต) สัญลักษณ์ ∫ เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล และเรียก f (x) ว่า ตัวถูกอินทิเกรต (Integrand) สิ่งที่หาอนุพันธ์ได้ตรงตามค่าที่ต้องการ จะเรียกว่า ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น F(x) = x2 , F2(x) = x2+ 1 , F3(x) = x2+5 , F4(x) = x2− 7 1 ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f (x) = 2x เนื่องจากล้วนทําให้ d F (x) = f (x) dx เราพบว่า รูปทั่วไปของปฏิยานุพนั ธ์ของ f (x) = 2x คือ x2+ c เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆ เรียก “รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์” นี้ว่า อินทิกรัลไม่จํากัดเขต (Indefinite Integral) ของ f (x) และเขียนสัญลักษณ์เป็น ∫ f (x) dx ดังนั้นอินทิกรัลไม่จํากัดเขต ∫ f (x) dx = x2+ c นั่นเอง ข้อสังเกต ปฏิยานุพันธ์มีได้หลากหลาย แต่อินทิกรัลไม่จํากัดเขตมีแบบเดียวเสมอ บางตําราใช้คําว่า ปริพันธ์ แทนคําว่าอินทิกรัล สูตรในการหาอินทิกรัล 1. สูตรทั่วไป • ∫x n dx = 2. การบวกลบฟังก์ชัน • ∫ [ f (x) ± xn+1 + c n+ 1 g (x)] dx = • • ∫ f (x) dx ± ∫ k dx = kx + c ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ∫ g (x) dx การคูณและหาร ไม่มีสูตร 3. ฟังก์ชันประกอบ อาศัยเทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร • (เทคนิคการอินทิเกรตเป็นเรื่องที่เกินหลักสูตร จึงได้อธิบายไว้ในหน้าแถม ท้ายบทนี้) • ตัวอยางเชน ∫ (4t 3 ∫ (x 3 − 2x2 + 3) dx = − 3t2 + 2t − 1) dt 2x3+ 3x2+ 4 ) dx = x2 = x4 2x3 3x1 − + + C 4 3 1 4t4 3t3 2t2 1t1 − + − + C 4 3 2 1 ∫( ∫ (2x + 3 + 4x ∫ 6(x + 2)(x − 1) dx = 2 ∫ (6x −2 ) dx = − 6x + 12) dx = t4− t3+ t2− t + C 2x2 3x1 4x −1 4 + + + C = x2+ 3x + + C −1 2 1 x = 2x3− 3x2+ 12x + C n+ 1 หมายเหตุ สูตร ∫ x n dx = x + c ใช้ได้เมื่อ n ≠ −1 เท่านั้น n+ 1 −1 ส่วน ∫ (x ) dx จะไม่มีในหลักสูตร ม.ปลาย ... (ผลลัพธ์ที่ได้เป็น ln Math E-Book Release 2.2 x + C) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET • ตัวอยาง ถา วิธีคิด ′ F(x) = −2 − x x3 ′ F(x) = −2x −3 − x −2 โจทยใหคา F (−1) = 1 ... ดังนั้นตอบ F (x) = อนุพันธและการอินทิเกรต 318 และ F (−1) = 1 จะอินทิเกรตได จึงหาคา C ได ... 1 1 + + 1 x x2 จะไดฟงกชัน F (x) = F (x) เปนอยางไร −2x −2 x −1 − + C −2 −1 1 1 + + C = 1 2 (−1) (−1) 1 1 + + C x x2 = → C = 1 แบบฝึกหัด 15.4 (47) จงหาค่า F (x) ที่ทําให้ F′ (x) = (47.1) f (x) = x (47.2) f (x) = 2x (47.3) f (x) = 7 (47.4) f (x) = 3x2 f (x) เมื่อกําหนดให้ (47.5) (47.6) (47.7) (48) ให้หาค่า ∫ f (x) dx เมื่อกําหนดให้ (48.1) f (x) = 5x4+ 3x2−2 (49) f (x) = x3 f (x) = x x f (x) = 1 / x5 (48.4) f (x) = x3− x −2 x3 3 + 4 x3 (48.2) f (x) = 2x − 1 x2 (48.5) f (x) = (48.3) f (x) = x2(x − 3) (48.6) f (x) = (4x2+ 1)(x − 1) f (x) = 3x2− 3 (50) [Ent’41] ถ้า และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f หาก dy = 5x4 + 3x2− 4x dx (51) โค้ง C มีความชันที่จุดใดๆ เป็น และ F (0) = 4 −y (1) = y (−1) x2+2x−3 F (1) แล้ว จงหาค่า แล้วจงหาค่าของ y (0) จงหาสมการโค้งนั้น ถ้าโค้งผ่านจุด (0, 1) (52) [Ent’ต.ค.43] ถ้าเส้นโค้ง y = f (x) ผ่านจุด (0, 1) และ (4, c) เมื่อ c เป็นจํานวนจริง และ ความชันของเส้นโค้งนี้ที่จุด (x, y) ใดๆ มีค่าเท่ากับ x − 1 แล้ว c มีค่าเท่าใด (53) [Ent’40] ถ้าเส้นโค้ง y = f (x) มีอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันที่จุด (x, y) ใดๆ บนโค้ง เป็น 2x −1 และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1, 2) ตั้งฉากกับเส้นตรง x +2y −1 = 0 แล้ว ความชันของโค้ง นี้ที่จุดซึ่ง x = 0 เท่ากับเท่าใด (54) [Ent’30] จุดตัดระหว่างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 1) รัศมี จุด (3, 10) และมีความชันที่จุด (x, y) ใดๆ เป็น 2x จะอยูใ่ นจตุภาคใด (55) [Ent’ต.ค.41] กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง x แล้ว f (0) มีค่าเท่าใด 2 f (2) = −1 , f′ (1) = −3 , หน่วย กับเส้นโค้งที่ผ่าน และ f′′ (x) = 3 ทุกๆ ค่า (56) ในเวลา t วินาที รถไฟวิ่งด้วยความเร่ง a ฟุตต่อวินาที2 โดย a = 12t2+6t +10 หากเมื่อเวลา เริ่มต้นพบว่าระยะทางเป็น 10 ฟุต และความเร็วเป็นศูนย์ จงหาระยะทางเมื่อเวลาผ่านไป 5 วินาที Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 319 (57) [Ent’40] ถ้าวัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่งขณะเวลา t ใดๆ เป็น 24t2 เมตร/วินาที2 และ ขณะเวลาเป็น t = 1 วินาที มีความเร็ว 16 เมตร/วินาที และเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 8 เมตร แล้วเมื่อ เวลา t = 2 วินาที วัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางเท่าไร (58) [Ent’28] ถ้ากําลังคนของบริษัทแห่งหนึ่งที่มีในปัจจุบันทําให้ได้ผลผลิต 3,000 ชิ้นต่อวัน และ เมื่อคนเพิ่ม x คน จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงผลผลิต 80 − 6 x ชิ้นต่อวัน ถามว่าเมื่อเพิ่มคน 25 คน บริษัทแห่งนี้จะได้ผลผลิตกี่ชิ้นต่อวัน 15.5 อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้ง อินทิกรัลจํากัดเขต (Definite Integral) จะมีการระบุช่วงของ x ที่เครื่องหมายอินทิกรัล b b โดยมีค่าเป็น a ∫ f (x) dx = F (x) ba = F (b) − F (a) ดังสัญลักษณ์ a ∫ f (x) dx • f (x) = x2 − 1 ตัวอยาง กําหนดให วิธีคิด ∫ 3 0 ⎡ x3 ⎤ − x + C⎥ f (x) dx = ⎢ ⎣3 ⎦ จะได ∫ 0 3 3 f (x) dx = (6 + C) − (C) = 6 0 +C (ขอสังเกตคือ การอินทิเกรตแบบจํากัดเขตไมตองเขียน • ตัวอยาง กําหนดฟงกชนั วิธีคิด จาก −a ∫ 3 2a 3 ดังนั้น a = 18 f (x) = x2 − 4x ⎡ x3 ⎤ − 2x2 ⎥ f (x) dx = ⎢ ⎣3 ⎦ → a3 = 27 มีคาเทากับเทาใด a x = −a → a = 3 a ใหหาคา ... ตอบ ก็ได เพราะจะลบกันหมดเสมอ) ทีท่ ําให - a ∫ a f (x) dx = 18 ⎛ a3 ⎞ ⎛ a3 ⎞ − 2a2 ⎟ − ⎜ − − 2a2 ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ = ⎜ = 2a3 3 ... ตอบ ค่าของอินทิกรัลจํากัดเขตที่คํานวณได้ ก็คือพื้นที่ระหว่างโค้ง f (x) กับแกน x ตั้งแต่ x = a จนถึง b โดยหากส่วนใดของโค้งนั้นอยู่ใต้แกนก็จะได้ผลเป็นค่าติดลบ หากเราต้องการหาพื้นที่ระหว่างโค้ง f (x) กับแกน x ที่แท้จริง จะต้องตรวจสอบว่ามีช่วงใดของโค้งที่ อยู่ใต้แกน x ก่อน เพื่อแยกชิ้นส่วนในการคํานวณ ไม่ให้พื้นที่บริเวณใดมีค่าติดลบ 3 ... เช่นในตัวอย่างที่แล้ว f (x) = x2 − 4x พบว่า −3 ∫ f (x) dx = 18 แต่เนื่องจากจุดตัดแกน x คือ 0 กับ 4, ซึ่ง 0 อยู่ภายในช่วง (−3, 3) แสดงว่าพื้นที่ไม่น่าจะเป็น 18 ตารางหน่วย จากกราฟที่สมมติขึ้นนี้ จะคํานวณได้ค่า และ ∫ 4 3 ∫ 4 f (x) dx = −2 1 ∫ 3 f (x) dx = 5 5 ตร.หน่วย และหากคํานวณพร้อมกันจะได้ f (x) dx = 3 ซึ่งถ้าต้องการหาพื้นที่ที่แรเงาที่แท้จริงจะต้องคิด จาก 5 + 2 = 7 ตารางหน่วย (คืออินทิเกรตทีละชิ้นส่วน ซึ่งจะมี บางส่วนที่ได้ค่าติดลบ แต่ให้คิดขนาดพื้นที่เป็นค่าบวกเสมอ) 1 f(x) Math E-Book Release 2.2 O (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1 3 4 2 ตร.หน่วย x คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 320 2 ตัวอยาง จากตัวอยางที่แลว f (x) = x − 1 พื้นทีท่ ี่ปดลอมดวยเสนโคง y = f (x) และแกน x ในชวง • x=0 ถึง x=3 มีขนาดเทาใด 3 วิธีคิด ถึงแม ∫ f (x) dx = 6 แตพื้นที่ปด ลอมในชวง x = 0 ถึง x = 3 อาจไมเทากับ 6 เราตองตรวจสอบวามีจุดตัดแกน x อยูภายในชวง (0, 3) หรือไม หาจุดตัดแกน x จาก f (x) = x − 1 = 0 → x = 1, −1 (มีสองจุด แตเราสนใจที่ x = 1 ) จึงทราบวาในชวง (0, 1) กับชวง (1, 3) นัน้ กราฟชวงหนึ่งอยูเหนือแกน อีกชวงอยูใตแกน (ตองการทราบวาชวงใดเหนือแกน ชวงใดใตแกน ทําไดโดยลองหาคา f (x) บริเวณนั้น) 0 2 1 ฉะนั้น อินทิเกรตแยกชิ้น ... ∫ f (x) dx 0 = −2/3 (คาที่ไดตดิ ลบ บงบอกวากราฟอยูใ ตแกน) 3 และ ∫ f (x) dx = 20/3 (กราฟสวนนี้ตองอยูเหนือแกน) ... พื้นที่ทีไ่ ดคือ 2/3 + 20/3 = 22/3 ตารางหนวย ... ตอบ 1 หมายเหตุ 1. ถ้ากราฟไม่มีจุดตัดแกน x ภายในช่วง 2. เนื่องจาก 1 0 ∫ f (x) dx + ∫ 1 ดังนั้นถ้าบังเอิญเราคํานวณ เราก็จะทราบว่า • 1 3 ∫ ตัวอยาง กําหนด 0 3 f (x) dx ∫ 3 จะต้องมีค่าเท่ากับ f (x) dx = 6 f (x) dx = 20/3 (0, 3) 0 จะตอบ 6 ตารางหน่วยได้ทันที ∫ 3 f (x) dx ไว้แล้ว และคํานวณ พอดี.. 1 0 ∫ f (x) dx = −2/3 โดยไม่ต้องแทนค่าอินทิเกรตอีกครั้ง ⎧ x −3,x > 2 f (x) = ⎨ ⎩ −1 ,x < 2 ใหหา ∫ 0 6 f (x) dx วิธีคิด วิธีแรก อินทิเกรตทีละชวงโดยตรง 2 0 ∫ f (x) dx และ ∫ 6 2 = 2 0 ∫ (−1) dx f (x) dx ดังนั้น ∫ 6 0 f (x) dx = = [−x] 6 2 ∫ (x − 3) dx = 2 = [x2/2 − 3x] 2 0 = (−2) − (0) 0 ∫ f (x) dx + ∫ 2 6 f (x) dx 6 2 = −2 = (0) − (−4) = −2 + 4 = 2 = 4 ... ตอบ วิธีคิด วิธีทีส่ อง คิดจากพืน้ ทีใ่ นกราฟ (เนื่องจากเห็นวาเปนสมการเสนตรง) กราฟตัดแกน x ที่ x = 3 และมีลกั ษณะดังรูป y 4.5 ตร.หน่วย พื้นที่ชนิ้ ลาง (สี่เหลี่ยมคางหมู) 2.5 ตารางหนวย 3 พื้นที่ชนิ้ บน (สามเหลี่ยม) 4.5 ตารางหนวย 23 O (คํานวณจากสูตรพื้นที่ตามปกติ) x ดังนั้น ∫ 0 6 f (x) dx = −2.5 + 4.5 = 2 ... ตอบ -1 6 2.5 ตร.หน่วย (โจทยไมไดถามพื้นที่ แตถามคาอินทิเกรต ดังนั้นชิ้นสวนที่อยูใตแกนจะตองติดลบ แตถาโจทยถามพื้นที่ คําตอบจะกลายเปน 2.5 + 4.5 = 7 ตารางหนวย) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 321 แบบฝึกหัด 15.5 (59) จงหาค่าของ 4 (59.1) 0 ∫ (3− x) dx (59.3) พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง (59.4) พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง 2 y y (59.2) −2 ∫ (2x −1) dx = 3− x กับแกน x ในช่วง x = 0 ถึง 4 = 2x − 1 กับแกน x ในช่วง x = −2 ถึง 2 (60) จงหาค่าของ 2 (60.1) −1∫ (3x2−2x) dx (60.3) 3 (60.2) −1∫ (x3−4x) dx (60.4) พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง (60.5) พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง (60.6) พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง 4 −1 ∫ (6+ x −x ) dx 2 y = 3x2−2x กับแกน x ในช่วง x = −1 ถึง 2 = x − 4x กับแกน x ในช่วง x = − 1 ถึง 3 = 6+ x − x2 กับแกน x ในช่วง x = − 1 ถึง 4 3 y y (61) จงหาพื้นที่ที่ล้อมด้วยโค้ง f (x) = x2−1 กับแกน x ในช่วงที่กําหนดให้ต่อไปนี้ (61.1) ในช่วง x = 1 ถึง 2 (61.2) ในช่วง x = −1 ถึง 1 (61.3) ในช่วง x = −2 ถึง 0 (62) [Ent’40] ค่าของ 1 ⎛ x4 + 1 ⎞ dx + (4 − x)2 dx ⎟ 0 x2 ⎠ 2 1 ∫ ⎜⎝ ∫ (63) [Ent’ต.ค.41] พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง เหนือแกน x เท่ากับเท่าใด y = x2− 3x +2 เท่ากับเท่าใด จาก x = 0 ถึง x = 2 เฉพาะส่วนที่อยู่ (64) [Ent’ต.ค.42] ให้ f (x) = x2−c โดย c เป็นค่าคงตัวซึ่ง c > 4 ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้ง y = f (x) จาก x = −2 ถึง x = 1 เท่ากับ 24 ตารางหน่วย แล้ว c มีค่าเท่าใด y (65) กําหนดให้ f (x) มีกราฟเป็นครึ่งวงกลมดังภาพ (2,7) (8,7) 8 จงหาค่า 5 ∫ f (x) dx (66) [Ent’39] กําหนดฟังก์ชัน y = f (x) มีกราฟเป็นเส้นตรง ตัดแกน x ที่จุด (−1, 0) และผ่านจุด (3, 6) แล้วค่าของ −1 ∫ 3 f (x) dx (67) f (x) x เท่ากับเท่าใด เป็นกราฟเส้นตรงที่ผ่านจุด (68) [Ent’มี.ค.42] ถ้า (69) [Ent’40] ถ้า 1 ∫ θ∈ R sin θ และ x2 dx = − 2 3 (3, 5) และ (−2, 2) จงหาค่า 1 sin θ ∫ (4x −3) dx = 0 แล้ว ค่า แล้ว 1 + sin θ + cos θ Math E-Book Release 2.2 −2 ∫ 3 f (x) dx cos 2θ เท่ากับเท่าใด (คณิต มงคลพิทักษสุข) เป็นเท่าใด คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 322 (70) [Ent’39] ถ้า ∫ (f D g)(x) dx 1 ของ 0 ∫ g (x) dx เป็นเท่าใด = x2+5x + c โดยที่ c เป็นค่าคงตัว และ f (x) = 4x − 3 แล้วค่า (71) [Ent’41] ให้ b, c เป็นจํานวนจริง ถ้าเส้นโค้ง y = x2+bx + c มีจุด (−1, −4) เป็นจุดต่ําสุด สัมพัทธ์แล้ว จงหาพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้งนี้และแกน x จาก x = −1 ถึง x = 1 เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) 16 5 5 1− 4x (24.6) ต่าํ สุดสัมพัทธ์และ สัมบูรณ์ 0 สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มี สูงสุดสัมบูรณ์ 4 ฟังก์ชันลด (−1, 1) ฟังก์ชันเพิ่ม (1, 2) (25.1) สูงสุด 3 เมื่อ x = 0 (25.2) ต่ําสุด 7 เมื่อ x = − 3 (1) 7 (2.1) 4x + 3 (2.2) 19 (3.1) 2x1 +h (3.2) 23 (3.3) 2x1 (3.4) 20 (4.1) –1/20 (4.2) –1/18 (4.3) − 1 (14.4) − (16.1) 12x + 1 (16.2) 6x2−5− (4.4) –1/16 (5) 76π ลบ.หน่วย ต่อหน่วย (25.3) ต่าํ สุด 1 เมื่อ x = 1 และสูงสุด 5 เมือ่ x = −1 (25.4) ต่ําสุด 2 เมื่อ x = 1, −1 และสูงสุด 3 เมือ่ x = 0 (25.5) ต่ําสุด –203/27 เมื่อ x = 4 / 3 และสู งสุด 11 เมือ่ x = −2 3 (19) 3, –5, 2 (20) 17 (26) ต่าํ สุด –324 เมื่อ x = 3 4 และสูงสุด 324 เมื่อ x = −3 (−1)n ⋅ n! (21) โดยมีจุดเปลี่ยนเว้าที่ (0, 0) xn+1 (22) เพิ่ม (−∞, a) ∪ (b, c) ∪ (d, e) (27.1) -2 เมตร/วินาที และลด (a, b) ∪ (c, d) ∪ (e, ∞) และ 10 เมตร/วินาที (23.1) สูงสุด 1/4 ต่ําสุดหาค่าไม่ได้ (27.2) 2 เมตร (28) 4, 4 3 (23.2) สูงสุดหาค่าไม่ได้ ต่าํ สุด -5/4 (23.3) สูงสุดและต่ําสุดหาค่าไม่ได้ (29) 36 ต้น (30) 3 กม. (24.1) ต่าํ สุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ 1 (31) 2,700 ตร.หน่วย สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มี สูงสุดสัมบูรณ์หา (32.1) a , b และ ab 2 2 4 ค่าไม่ได้ ฟังก์ชันลด (−∞, 2) d d , และ (32.2) ฟังก์ชนั เพิ่ม (2, ∞) 2 2 (24.2) ต่ําสุดสัมพัทธ์ –2 ต่าํ สุด d2 d2 2 สัมบูรณ์หาค่าไม่ได้ สูงสุดสัมพัทธ์ 2 2 และ 4 (32.3) 3 VF สูงสุดสัมบูรณ์หาค่าไม่ได้ (32.4) a/6 (32.5) 4r/3 ฟังก์ชนั ลด (−1, 1) ฟังก์ชันเพิ่ม (32.6) H/3 (33) –7/2 (−∞, −1) ∪ (1, ∞) (34) 10x −27y + 31 = 0 (24.3) ต่าํ สุดสัมพัทธ์ –14 ต่ําสุด (35) –2 (36) ก. (37) 1 สัมบูรณ์หาค่าไม่ได้ สูงสุดสัมพัทธ์ (38) 2 (39) 11 (40) 55 13 สูงสุดสัมบูรณ์หาค่าไม่ได้ (41) –2 (42) (0, 1 ] ฟังก์ชนั ลด (−2, 1) ฟังก์ชันเพิ่ม 16.04 3 (6.1) 10 ตร.ซม. ต่อ ซม. (6.2) 20π ตร.นิ้ว ต่อนิ้ว (7.1) 2 πrH (7.2) 1 πr2 3 3 (8.1) –2.3 ลบ.ม. ต่อนาที (8.2) –2.2 ลบ.ม. ต่อนาที (9.1) 4x, 8 (9.2) 2x–2, 2 (9.3) 0, 0 (9.4) 0, 0 (10.1) –7 (10.2) y = −7x +8 (11) y = 3x +2 (12.1) 0 (12.2) 1 (12.3) –3 (12.4) –6x (12.5) 2x + 1 (12.6) 6x −5 (12.7) 9x2+6x (12.8) 5x4+ 3x−4 (12.9) −1 / x2 (12.10) −4 / x3 (12.11) 3 / x (12.12) −1 / 2x2 x (13.1) 90x4+ 36x2+60x (13.2) 12x5+ 10x4+8x3+2x + 1 (13.3) −21x2+58x +56 (3x2+8)2 (13.4) 3x2−2x −25 (3x − 1)2 (14.1) 2x +6 (14.2) 6x (x2+ 1)2 (14.3) 2(x − x +2x + 1)(3x −2x +2) 3 2 2 (15) ... 3 8 + 3 x2 x (16.3) 6 /(1−3x)2 (16.4) 9(3x −5)2 (17.1) 93 (17.2) 0 (17.3) –186.67 (17.4) หาค่าไม่ได้ (18.1) 12x2+ 18x + 10 , 24x + 18 , 24 (18.2) 20x3+ 36x2−24x , 60x2+ 72x −24 , 120x + 72 2 16 (−∞, −2) ∪ (1, ∞) Math E-Book Release 2.2 4 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (43) (−2, 0) ∪ (2, ∞) (44) 2 (45) 3 (46) ข. (47.1) x2 / 2 + c (47.2) x2+ c (47.3) 7x+ c (47.4) x3+ c (47.5) x4 / 4 + c (47.6) 2 x 5/ 2 / 5 + c (47.7) −1 / 4x4 + c (48.1) x5+ x3−2x + c (48.2) x2+ 1/ x + c 4 (48.3) x − x3+ c 4 (48.5) − 1 x + 1 x 2 +c (48.6) (59.1) 4 (59.2) –4 (59.3) 4.5 + 0.5 = 5 ตร.หน่วย (59.4) 6.25 + 2.25 = 8.5 ตร.หน่วย (60.1) 6 (60.2) 4 (60.3) 95/6 (60.4) 2 + 4 + 4 4 = 6 8 ตร.หน่วย 4 x 3 + + 4x + c 4 2x2 (48.4) (49) 2 (50) 2 (51) อนุพันธและการอินทิเกรต 323 4 x − y = 4x 3 3 + x 2 2 27 27 1 1 + 4 + 6 = 12 4 4 112 17 + = 21.5 6 6 3 (60.5) (60.6) −x+c 27 ตร.หน่วย ตร.หน่วย (61) 4/3, 4/3, 2 ตร.หน่วย (62) 14 (63) 5 (64) 9 (65) 21 − 9π ≈ x3 + x2− 3x + 1 3 6 (52) 7/3 (53) 2 (54) จุด (±1, 2) → จตุภาคที่ 1 และ 2 (55) 5 (56) 885 ฟุต (57) 46 เมตร (58) 4,500 4 7.07 (66) พท. + ได้ 12 (67) พท. , ได้ 17.5 (68) –1 หรือ 1/2 (69) 0 (70) 2.25 (71) 16/3 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) Δy f(5) − f(3) 21 − 7 = = = 7 Δx 5−3 2 Δy f(x + h) − f(x) (2.1) Δlim = lim x → 0 Δx h→0 h (1) ⎡2(x + h)2 + 3(x + h) − 4⎦⎤ − ⎡⎣2x2 + 3x − 4⎤⎦ = lim ⎣ h→0 h 4xh + 2h2 + 3h = lim = lim(4x + 2h + 3) h→0 h→0 h = 4x + 3 Δy f(2 + h) − f(2) = lim (2.2) Δlim x → 0 Δx h→0 h ⎡3(2 + h)2 + 7(2 + h) + 1⎤⎦ − ⎡⎣3(2)2 + 7(2) + 1⎤⎦ = lim ⎣ h→0 h 12h + 3h2 + 7h = lim = lim(19 + 3h) = 19 h→0 h→0 h [หรือคิดเป็น x ก่อน แล้วแทนค่า x ด้วย 2 ก็ได้] (3.1) Δy = f(x1 + h) − f(x1) Δx = h (x1 + h)2 − (x1)2 = 2x1 + h h (3.2) แทน (3.3) (3.4) (4.1) x1 = 10, h = 3 → (4.3) (4.4) ดูแนวโน้มจากข้อ 4.1 ถึง 4.3 จะได้ Δy = 23 Δx − 1⎤ ⎡ 1 ⎢4 + h − 4⎥ หรือคํานวณจาก hlim ⎢ ⎥ ก็ได้ →0 ⎣ h ⎦ 4 3 Δv V(3) − V(2) (5) V = πr → = 3 Δr 3−2 4 4 76 3 3 π3 − π2 = π ลบ.หน่วย/หน่วย = 3 3 3 (6.1) A = x2 → lim Δx → 0 10h + h2 = lim = 10 h→0 h (6.2) Δy = lim(2x1 + h) = 2x1 h→0 Δx Δy แทน x1 = 10 → Δlim = 20 x → 0 Δx 1 1 − 5 4 = − 1 5−4 20 lim Δx → 0 (4.2) 1 1 − 4.5 4 = − 1 4.5 − 4 18 1 1 − 1 4.01 4 = − 4.01 − 4 16.04 A= ΔA (5 + h)2 − 52 = lim h→0 Δx h ตร.ซม./ซม. πr2 π(10 + h)2 − π(10)2 ΔA = lim Δr → 0 Δr h→0 h π (20h + h2) = lim = 20π ตร.นิ้ว/นิ้ว h→0 h (7.1) V = 1 πr2H 3 → lim → ΔV lim = lim 3 Δr → 0 Δr h→0 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1 16 π(r + h)2H − h 1 3 πr2H คณิตศาสตร O-NET / A-NET 1 3 = lim h→0 (7.2) = 1 3 2 = πrH h 3 1 2 πr (H + h) − 1 ΔV 3 3 = lim lim ΔH → 0 ΔH h→0 h ΔQ Q(t + h) − Q(t) = Δt h 2 → y + 6 = −7(x − 2) → y = −7x + 8 dy (x + h)3 − x3 = lim h→0 dx h 3x2h + 3xh2 + h3 = lim = 3x2 h→0 h ความชันหาจาก dy = 3 dx x = −1 πr2H (11) สมการเส้นสัมผัสคือ 2 t + h⎞ t ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ 12 − ⎟ − ⎜ 12 − ⎟ 10 ⎠ 10 ⎠ ⎝ = ⎝ h 12 t h = − + + 5 50 100 y + 1 = 3(x + 1) → y = 3x + 2 ที่ t = 10 นาที จะได้ ΔQ 12 10 → lim = − + = −2.2 Δt → 0 Δt 5 50 2(x + h)2 − 2x2 (9.1) dy = hlim 0 → dx h ∴ ที่ = lim h→0 (9.2) 4xh + 2h2 = 4x → h dy dx = lim dy dx ลบ.ม./นาที x =2 = 8 [(x + h) − 2(x + h) + 4] − [x 2 h→0 2xh + h2 − 2h = 2x − 2 h dy = 2 dx x = 2 2 − 2x + 4 ] h = lim f′(x) = −3x0 = −3 f′(x) = −6x f′(x) = 2x + 1 f′(x) = 6x − 5 f′(x) = 9x2 − 8x + 14x = 9x2 + 6x f′(x) = 5x4 + 3x −4 f(x) = x −1 → f′(x) = −x −2 = − 1 x2 (12.10) f(x) = 2x −2 → f′(x) = −4x −3 = − (12.11) f(x) = 6x 2 → f′(x) = 3x (12.12) f(x) = = − 1 1 2x2 x − 3 1 2 = 4 x3 3 x 5 1 −2 1 − x → f′(x) = − x 2 3 2 f′(x) = (6x2 + 4)(9x2) + (3x3 + 5)(12x) = 90x4 + 36x2 + 60x f′(x) = (2x4 + 1)(2x + 1) + (x2 + x + 1)(8x3) (13.2) dy 3−3 = lim = lim 0 = 0 h→0 h→0 dx h และเพราะไม่มี x ใน f(x) เลยดังนั้น dy dx = 12x5 + 10x4 + 8x3 + 2x + 1 (9.3) x =2 = 0 2 − 3t − 2 − 3t (9.4) dy = hlim = lim 0 = 0 →0 h→0 dx h = 0 และเพราะไม่มี x ใน f(x) เลยดังนั้น dy dx x = 2 ⎡⎣(x + h) − 2(x + h)2 ⎤⎦ − ⎡⎣ x − 2x2 ⎤⎦ (10.1) dy = hlim 0 → dx h h + 4xh − 2h2 = lim = 1 − 4x h→0 h เป็นความชัน ณ x ใดๆ ดังนัน้ ความชันที่จดุ (2,-6) เท่ากับ f′(x) = 1x0 = 1 (13.1) h→0 และ f′(x) = 0 (12.1) (12.2) (12.3) (12.4) (12.5) (12.6) (12.7) (12.8) (12.9) t = 0 ถึง 10 นาที จะได้ ΔQ 12 0 10 → = − + + = −2.3 ลบ.ม./นาที Δt 5 50 100 ΔQ t h ⎞ ⎛ 12 (8.2) Δlim = lim ⎜ − + + ⎟ t → 0 Δt h→0 ⎝ 5 50 100 ⎠ 12 t = − + 5 50 ∴ y − y1 = m(x − x1) (10.2) π (2rh + h2)H πr2 (8.1) อนุพันธและการอินทิเกรต 324 dy dx x =2 = −7 (13.3) = f′(x) = 2 2 2 (3x + 8) 2 −21x + 58x + 56 (3x2 + 8)2 (13.4) = 2 (3x + 8)(8x + 7) − (4x + 7x + 1)(6x) f′(x) = (3x − 1)(2x + 4) − (x2 + 4x + 7)(3) (3x − 1)2 2 3x − 2x − 25 (3x − 1)2 (14.1) (14.2) (14.3) f′(x) = 2(x + 3)(1) = 2x + 6 (14.4) f′(x) = Math E-Book Release 2.2 f′(x) = 3(x2 + 1)2(2x) = 6x(x2 + 1)2 f′(x) = 2(x3 − x2 + 2x + 1)(3x2 − 2x + 2) 1 − 4 −16 (1 − 4x) 5(−4) = 5 5 5 1 − 4x (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (15) ..(2.1) (2.2) dy = 4x + 3 dx dy = (6x + 7) dx x = 2 1 2 (x − 1)−1/ 2(2x) 2 1 1 → f′(1) = (0)−1/ 2(2) = → หาค่าไม่ได้ 2 0 (18.1) f′(x) = 4x3 + 9x2 + 10x − 7 (17.4) x =2 = 19 (3.3) dy dx (3.4) dy dx x = 10 (4.4) dy dx x=4 (6.1) dA dx (6.2) dA d(πr2) = = (2πr) r = 10 = 20π dr r = 10 dr r = 10 (7.1) (7.2) (8.2) x = x1 = (2x) = (2x) x = x1 x = 10 ⎛ 1 ⎞ = ⎜− 2 ⎟ ⎝ x ⎠ d(x2) = dx x =5 = 2x1 = 20 x=4 x =5 = − = (2x) 1 16 x =5 t ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ = ⎢2 ⎛⎜ 12 − ⎟ ⎜− ⎟ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎥⎦ t = 10 ⎣ ⎝ ⎛ 1 ⎞ = 2(12 − 1) ⎜ − ⎟ = −2.2 ⎝ 10 ⎠ (16.1) (16.2) = 10 t = 10 f′(x) = (2x + 3)(3) + (3x − 4)(2) = 12x + 1 x=1 f′′′(x) = 24x + 18 → ความชันโค้ง ณ x = 1 • อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) ณ x (17.1) f′(x) = (2x + 1)2(3)(3x − 2)2(3) = 1 + (3x − 2)3(2)(2x + 1)(2) ∴ f′(1) = (9)(3)(1)(3) + (1)(2)(3)(2) = 93 f(x) = 2(x2 − 2x + 3)−1/ 3 2 → f′(x) = − (x2 − 2x + 3)−4 / 3(2x − 2) 3 2 ⎞ −4 / 3 ⎛ ∴ f′(1) = ⎜ − ⎟ (2) (0) = 0 ⎝ 3⎠ (17.2) f′(x) = ( x2 + 8)(4)(x2 − 3)3(2x) 1 + (x2 − 3)4( )(x2 + 8)−1/ 2(2x) 2 ∴ f′(1) = (3)(4)(−8)(2) + (16)(1/2)(1/3)(2) = −192 + 16/3 = −186.67 f(4)(x) = 24 f′(x) = 5x4 + 12x3 − 12x2 + 1 → f′′(x) = 20x3 + 36x2 − 24x → f′′′(x) = 60x2 + 72x − 24 → f(4)(x) = 120x + 72 (19) f(−3) = (−3)2 + (−3) − 3 = 3 f′(−3) = (2x + 1) f′′(−3) = (2) f′(x) = ∴ f′′(x) = x = −3 x = −3 = 2(−3) + 1 = −5 = 2 1 1 (2 − x)−1/ 2(−1) = − (2 − x)−1/ 2 2 2 3 − 1 (2 − x) 2 (−1) → 4 f′′(1) = − g(x) = (1 − 3x)2 ′ → g(x) = 2(1 − 3x)(−3) = −6 + 18x จาก ดังนัน้ ตอบ 1 4 g′′(x) = 18 → g′′(1) = 18 1 3 + 18 = 17 4 4 (21) f(x) = 1 → f′(x) = − 12 x x 2 6 → f′′(x) = 3 → f′′′(x) = − 4 x x − → f(4)(x) = • f′(1) • (17.3) → → (16.4) f′(x) = 3(3x − 5)2(3) = 9(3x − 5)2 (17) คําถามทั้งสี่ขอ้ ก็คอื อย่างเดียวกัน dy dx f′′(x) = 12x2 + 18x + 10 (20) (f′′ + g′′)(1) = f′′(1) + g′′(1) จาก f(x) = (2 − x)1/ 2 f(x) = 2x3 − 5x + 3x −1 − 4x −2 3 8 → f′(x) = 6x2 − 5 − 2 + 3 x x (16.3) f′(x) = (1 − 3x)(3) − (1 +23x)(−3) = 6 2 (1 − 3x) (1 − 3x) • f′(x) = → (18.2) dV d ⎛1 2 ⎞ 2 = ⎜ πr H ⎟ = πrH dr dr ⎝ 3 3 ⎠ dV d ⎛1 2 ⎞ 1 2 = ⎜ πr H ⎟ = πr dH dH ⎝ 3 3 ⎠ dQ dt อนุพันธและการอินทิเกรต 325 (−1)n ⋅ n ! 24 ... จะได้วา่ f(n)(x) = 5 xn + 1 x (22) เป็นฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง (−∞, a) ∪ (b, c) ∪ (d, e) และลดในช่วง (a, b) ∪ (c, d) ∪ (e, ∞) (23.1) f′(x) = −2x − 1 = 0 → x = 1/2 แสดงว่า มีการวกกลับที่ x = 1/2 หนึ่งครั้ง แทนค่า f(1/2) ได้ 1/ 4 และลองแทน x ค่าอืน่ เช่น x = 0 เพือ่ ดูว่าเป็นกราฟ (1/2,1/4) หงายหรือคว่ํา จะวาดได้ดงั ภาพ (คว่ํา) ดังนัน้ ค่าสูงสุดของฟังก์ชนั =1/4 และค่าต่าํ สุด หาค่าไม่ได้ [หรือจัดรูปสมการแบบภาคตัดกรวยก็ได้(พาราโบลา)] (23.2) f′(x) = 2x − 1 = 0 → x = 1/2 → f(1/2) = −5/ 4 วาดกราฟ [แทน x = 0 ได้ y = −1 แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย] (1/2,-5/4) ตอบ ค่าสูงสุด หาค่าไม่ได้, ค่าต่าํ สุด -5/4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 326 (23.3) f′(x) = 3 → เป็นกราฟเส้นตรง ความชัน 3 (24.5) f′(x) = 3x2 = 0 → x = 0, 0 ไม่มีการวกกลับ (เปลี่ยนความเว้า) m=3 + - + ∴ ค่าสูงสุดและต่าํ สุด f′(x) 2 (0,0) หาค่าไม่ได้ เพิ่ม 0 0 เพิ่ม ตอบ สูงสุดและต่ําสุดสัมพัทธ์ ไม่มี, (24.1) f′(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2 สัมบูรณ์ หาค่าไม่ได้ และเป็นฟังก์ชันเพิ่มใน R (x ทุกค่า) f(2) = 1 และทดลองคิด f(0) = 5 f′(x) = 2x − 2 = 0 → x = 1 (24.6) วาดกราฟได้ดังรูป ตอบ สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มี ซึ่ง f(1) = 0 , f(−1) = 4 , (2,1) สูงสุด (สัมบูรณ์) หาค่าไม่ได้ และ f(2) = 1 (-1,4) (2,1) ต่ําสุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ = 1 ตอบ สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มี ฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง (2, ∞) ลดในช่วง (−∞, 2) สูงสุดสัมบูรณ์ 4 (1,0) (24.2) f′(x) = 3x2 − 3 = 0 → x = −1, 1 ต่ําสุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ 0 f(−1) = 2 , f(1) = −2 เป็นฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง (1, 2) ลดในช่วง (−1, 1) (-1,2) ตอบ สูงสุดสัมบูรณ์และ (25.1) f′(x) = −2x = 0 → x = 0 ต่ําสุดสัมบูรณ์ หาค่าไม่ได้ f(0) = 3 → และเนื่องจาก f(1) = 2 (1,-2) สูงสุดสัมพัทธ์ = 2 แสดงว่าเป็นพาราโบลาคว่ํา ต่ําสุดสัมพัทธ์ = −2 ดังนัน้ สูงสุดสัมพัทธ์ = 3 , ต่ําสุดสัมพัทธ์ ไม่มี ฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง (−∞, −1) ∪ (1, ∞) (25.2) f′(x) = 2x + 3 = 0 → x = −3/2 ลดในช่วง (−1, 1) f(−3/2) = 7/ 4 → และเนื่องจาก f(0) = 4 (24.3) f′(x) = 6x2 + 6x − 12 = 0 → x = 1, −2 แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย f(1) = −14 และ f(−2) = 13 สูงสุดสัมพัทธ์ ไม่มี , ต่าํ สุดสัมพัทธ์ 7/4 ตอบ สูงสุดสัมบูรณ์และ (-2,13) (25.3) f′(x) = 3x2 − 3 = 0 → x = 1, −1 ต่ําสุดสัมบูรณ์ หาค่าไม่ได้ ซึ่ง f(1) = 1, f(−1) = 5 สูงสุดสัมพัทธ์ = 13 (1,-14) ดังนัน้ สูงสุดสัมพัทธ์ 5 , ต่ําสุดสัมพัทธ์ 1 ต่ําสุดสัมพัทธ์ = −14 (25.4) f′(x) = 4x3 − 4x = 0 → x = −1, 0, 1 ฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง (−∞, −2) ∪ (1, ∞) → f(−1) = f(1) = 2, f(0) = 3 ลดในช่วง (−2, 1) ∴ สูงสุดสัมพัทธ์ 3 , ต่ําสุดสัมพัทธ์ 2 (24.4) f′(x) = 4x3 − 9x2 + 6x − 1 = 0 (25.5) f′(x) = 3x2 + 2x − 8 = 0 (4x − 1)(x − 1)2 = 0 ดังนั้น x = 1/ 4, 1, 1 → (3x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4/ 3, −2 ซึ่ง f( 1) = − 27 และ f(1) = 0 ซึ่ง f(4/ 3) = −203/27, f(−2) = 11 4 256 มีการวกกลับที่ x = 1 สองครั้ง ดังนั้นที่ x = 1 เป็น ดังนัน้ สูงสุดสัมพัทธ์ 11 , ต่ําสุดสัมพัทธ์ −203/27 เพียงจุดเปลี่ยนความเว้า ไม่ใช่จุดสูงสุดต่าํ สุด (ดูจาก (26) dy = 10x4 − 90x2 = 0 dx เครื่องหมายบนเส้นจํานวน) f′(x) - ลด 1/4 เพิ่ม 1 ตอบ สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มี สูงสุดสัมบูรณ์ หาค่าไม่ได้ ต่ําสุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ = −27 / 256 ฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง ลดในช่วง 1 (−∞, ) 4 + 1 ( , ∞) 4 - + 1 เพิ่ม → 10x2(x2 − 9) = 0 → x = 0, 0, 3, −3 ซึ่ง f(3) = −324, f(0) = 0, f(−3) = 324 (ที่ x=0 เป็นจุดเปลี่ยนความเว้า ดังรูป) (-3,324) (1,0) (1/4,-27/256) O (3,-324) ตอบ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ 324, ค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ -324 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 327 (27) ความเร็ว คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ ระยะทาง เทียบกับเวลา (27.1) v = dS = 6t − 2 m/ s (32.1) พิจารณา Δ คล้าย (ทําเช่นเดียวกับข้อ 31) dt v(0) = −2 m/ s (27.2) หา ได้ t = และ Smax → 1 s. 3 ดังนัน้ v(2) = 10 m/s dS = 0 → 6t − 2 = 0 dt 1 2 Smax = S ( ) = m. 3 3 (28) ให้จาํ นวนที่ตอ้ งการเป็น x กับ 8-x จะได้ผลบวก y = x3 + (8 − x)3 → dy ymin หาจาก = 3x2 + 3(8 − x)2(−1) = 0 อนุพันธและการอินทิเกรต (32.2) ต้องการ ดังนัน้ ค่า x ควรเป็น 3 km จึงเสียเงินน้อยสุด (31) สมมติด้านนอนเป็น x หน่วยดังรูป → หา ความสูง h ในรูปของ x โดยพิจารณา Δ คล้าย 120 − x 120 = x h 90 90 3 → h = 90 − x 4 ∴ พืน ้ ทีส่ ี่เหลี่ยม A = xh 3 ⎞ 3 ⎛ = x ⋅ ⎜ 90 − x ⎟ = 90x − x2 ⎝ 4 ⎠ 4 ต้องการ Amax 150 h 120 คิดจาก dA 3 → = 90 − x = 0 → x = 60 dx 2 3 ∴ h = 90 − (60) = 45 หน่วย 4 และ พื้นที่ Amax = 60 ⋅ 45 = 2,700 หน่วย d2 − x2 h = ดังนัน้ x = 4 เป็นค่าทีท่ ําให้เกิดค่า y ต่าํ สุดตาม ต้องการ ตอบ 4 กับ 4 (29) สมมติปลูกเพิ่ม ไร่ละ x ต้น จะได้ ผล y = (22 + x)(500 − 10x) → ต้องการ ymax จึงคิดจาก dy = 4x + 6(5 − x)(−1) = 0 → x = 3 dx h a a b A = x ⎛⎜ a − x ⎞⎟ = ax − x2 b ⎠ b ⎝ dA 2a b = a− และจะได้ h = a x = 0 → x = dx b 2 2 a b ab ∴ ตอบ กว้างยาว พืน้ ที่ = , 4 2 2 → A = x⋅ ต้องการ ตอบ ปลูกไร่ละ 22+14 = 36 ต้น (30) ค่าก่อสร้าง y = 2(32 + x2) + 3(42 + (5 − x)2) ต้องการ ymin คิดจาก a พื้นที่ dx → 3(−64 + 16x) = 0 → x = 4 dy = (22 + x)(−10) + (500 − 10x)(1) = 0 dx → x = 14 ต้น เป็นค่าทีท ่ ําให้เกิด ymax ตาม x b−x b a = → h = a− x h a b d2 − x2 Amax d x h คิดจาก dA 1 ⎛ = (x) ⎜ ⎜ 2 d2 − x2 dx ⎝ ⎞ (−2x) + ⎟⎟ ⎠ ( ) d2 − x2 (1) = 0 → − x2 + d2 − x2 = 0 → x = d 2 และจะได้ h = d d , 2 2 ตอบ กว้างยาว d 2 พืน้ ที่ d2 4 (32.3) สมมติสมการ y2 = 4cx จะได้วา่ พืน้ ที่ A = (c − x)(2y) 2 y )(2y) 4c y3 = 2cy − → 2c = (c − (x,y) y x y c-x dA 3y2 2c ∴ = 2c − = 0 → y = dy 2c 3 c 2 และจะได้ x = → ∴ BF = VF 3 3 (32.4) ปริมาตร 2 V = (a − 2x)2(x) 2 = a x − 4ax + 4x3 dV = a2 − 8ax + 12x2 = 0 dx a หรือ a → (a − 6x)(a − 2x) = 0 → x = 2 6 a แต่ถ้า x = จะได้ V = 0 (Vmin) 2 ดังนัน้ คําตอบคือ x = a 6 ต้องการ Vmax คิดจาก ตร.หน่วย (32.5) ปริมาตรกรวย ∗ หมายเหตุ ข้อ (27.2) ถึง (31) เนือ ่ งจากได้คา่ V = 1 πx2(r − y) 3 วิกฤต (x) เพียงค่าเดียวเท่านั้น จึงสรุปได้เลยว่าเป็น [ใช้ r-y เพราะค่า y ติดลบ] ค่าที่โจทย์ตอ้ งการ (โดยไม่ต้องตรวจสอบว่าเป็น แต่ x2 + y2 = r2 ดังนั้น จุดสูงสุด หรือ ต่าํ สุด) 1 V = π(r2 − y2)(r − y) 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) } r }y x (x,y) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ต้องการ dV 1 = dy 3 Vmax คิดจาก π ⎡⎣(r2 − y2)(−1) + (r − y)(−2y)⎤⎦ = 0 → 3y2 − 2ry − r2 = 0 → (3y + r)(y − r) = 0 → y = − y = r แต่ r ,r 3 ตอบ (36) f′(x) = 3x2 + 2bx + c → ดังนัน้ 12 − 4b + c = 0 .....(1) f′′(x) = 6x + 2b → −6 + 2b = 6 (32.6) พิจารณา r 3 คือ ส่วนสูง .....(2) ถ้า r 4 r − ⎛⎜ − ⎞⎟ = r 3 ⎝ 3⎠ f′(x) = 0 → 3x2 + 12x + 12 = 0 → x = −2, −2 แสดงว่า มีการเปลี่ยนเว้าที่ + f′(x) - + x = −2 เพิ่ม -2 -2 เพิ่ม คล้าย Δ ดังนั้น ∴ f(x) = x3 + 6x2 + 12x ไม่ได้ เพราะส่วนสูงจะกลายเป็น y = − f′′(−1) = 6 f′(−2) = 0 b = 6, c = 12 ได้ r − y = r − r = 0 (Vmin) ∴ อนุพันธและการอินทิเกรต 328 ⎫ H−h H R ⎪ ดังนัน้ ตอบ ก. f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (ไม่มีจุดวกกลับ) = → r = R− h r r R H ⎬ H (37) หา a, b, c, d เช่นเดิม โดยสมการ h ⎪ f(1) = 0, f(0) = 0, f′(0) = 2, และ f′′(0) + f′′′(0) = 1 ⎭ ดังนัน้ ปริมาตร V = πr2h จะได้ d = 0, c = 2, a = 5/ 4, b = −13/ 4 2 2 3 R ⎞ 2h h ⎞ R ⎛ 2 ⎛ = π ⎜ R − h ⎟ h = πR ⎜ h − + 2⎟ ดังนัน้ f(2) = 1 ⎝ H ⎠ H ⎝ H ⎠ (38) หา a, b, c จากสมการ ต้องการ Vmax คิดจาก dV = dh ′ −2) = 0 h(0) = 1, h(−2) = 5, h( 4 3 πR ⎛⎜ 1 − h + 2 h2 ⎞⎟ = 0 H H ⎝ ⎠ 2 ได้ H2 − 4Hh + 3h2 = 0 → (H − 3h)(H − h) = 0 → h = H/3, H แต่ h = H ไม่ได้ เพราะ r = 0 → V ตอบ h = H / 3 ′ (33) [f(x) + g(x)]′ = f′(x) + g(x) → f′(x) = = 0 (Vmin) ′ g(x) = (34) ความชัน = 1 3 2 − (27) 3(10) dy dx = ตอบ 3 7 −5 + = − 2 2 2 x =5 10 → 27 = − 1 2 (x + 2) 3(2x) 3 x =5 สร้างสมการ (35) f′(x) = (x + b)(2) − (2x2 − a)(1) (x + b) 2b + a 2b + a = → f′(0) = 4 → = 4 2 (x + b) b2 −2(2b + a) f′′(x) = → f′′(0) = −8 (x + b)3 −2(2b + a) = −8 b3 จะได้ = (fog)(x) = 3(g(x)) − 10 ∴ g(x) = − .....(2) −a b = 1, a = 2 → f(0) = = −2 b x2 4x 11 − + 3 3 3 f′(2) = จะได้ g(1) = 2 2 2 2 3 ′ (g(2))(3)(2 − 1) (2)(2) − (2 − 1) ⋅ g(2) [g(2)]2 ′ (3 ⋅ 3 ⋅ 9 ⋅ 4) − (27)g(2) ′ = 11 3 = ∴ g(2) 9 ′ )= 0 (40) g(1) = 5, g(1 ′ )] + [g(1)] [6(1) + 5] f′(1) = [3(1)2 + 5(1)] [g(1 → = 8 ⋅ 0 + 5 ⋅ 11 = 55 (41) f(2) = 3, f′(2) = 4 → หา g(2) โดย 2 f(2) = 3 = (2 − 1) ⋅ g(2) → g(2) = 3 ′ + g(2) ⋅ 2(2 − 1)(1) → f′(2) = (2 − 1)2 ⋅ g(2) ′ + 3 ⋅ 2 → ∴ g(2) ′ = −2 → 4 = g(2) ผ่านจุด (5, 3) → y − 3 = 10 (x − 5) 27 → 10x − 27y + 31 = 0 → → h(x) = −x2 − 4x + 1 (39) (2x − 1)(3) − (3x + 1)(2) → f′(1) = −5 (2x − 1)2 1 (3x2 + 1)−1/ 2(6x) 2 1 1 3 ′ ) = ⎛⎜ ⎞⎟ (6) = → g(1 2 ⎝2⎠ 2 c = 1, a = −1, b = −4 (42) → .....(1) f′(x) = 1 +1→ 2 x 1 >2 → 2 x ตอบ (0, 1 ] ... 16 x < 1 + 1> 3 2 x 1 1 → 0 < x < 4 16 [เป็น 0 ไม่ได้ เพราะเป็นตัวส่วน] f(x) = x8/ 3 − 16x2/ 3 8 32 −1/ 3 x → f′(x) = x5/ 3 − 3 3 → f′(x) > 0 จะได้ x5/ 3 − 4x −1/ 3 > 0 (43) นํา x4 / 3 คูณตลอด กลายเป็น ตอบ (−2, 0) ∪ (2, ∞) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) x3 − 4x > 0 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (44) x + 1 → F−1(x) = (x − 1)2 F(x) = อนุพันธและการอินทิเกรต 329 → (F−1)′ (x) = 2(x − 1)(1) y = (50) ∫ (5x 4 + 3x2 − 4x) dx = x5 + x3 − 2x2 + c −1 ∴ (F )′ (2) = 2 (45) วิธีคดิ เช่นเดียวกับข้อ (31) และ (32.1) จะ ได้ว่า พืน้ ที่ , = 3 ⋅ 4 = 3 ตร.นิว้ 2 2 (46) ต้องการกําไรสูงสุด ∴ ให้ y = กําไร = รายรับ - ต้นทุน = 24x − (16 + 6x + 0.2x3/ 2) dy = 0 → 24 − 6 − 0.3x1/ 2 = 0 dx โจทย์บอกใบ้ −y(1) = y(−1) จะได้ −c = −4 + c ∴ c = 2 = y(0) (51) ความชัน = dy = x2 + 2x − 3 dx ∴y = 2 ∫ (x (0, 1) โค้งผ่านจุด ∴c = 1 x3 + x2 − 3x + c 3 3 x + x2 − 3x + 1 3 y = ตอบ + 2x − 3) dx = → x1/ 2 = 60 → x = 3,600 ชิ้น (52) เช่นเดียวกับข้อ (51) คือ ∴ ค่า N = จํานวนชิ้นที่ได้กาํ ไรสูงสุด = 3,600 ชิ้น 2 2 → y = ∫ ( x − 1) dx = x3 / 2 (47.1) ∫ f(x) dx = ∫ x dx = x + c 3 2 (0, 1) ∴ K = 1 โค้ ง ผ่ า นจุ ด 2 (47.2) ∫ f(x) dx = 2x + c = x2 + c 2 3/ 2 2 (47.3) ∫ f(x) dx = 7x + c (47.4) ∫ f(x) dx = (47.5) ∫ f(x) dx = (47.6) ∫ 3 x2 dx = → y = 3x3 + c = x3 + c 3 x4 +c 4 x 2 +c = 5/2 5 5 x2 +c = x5 + x3 − 2x + c (48.2) ∫ (2x − x−2) dx (48.3) ∫ (x3 2 −1 2x x − +c 2 −1 1 = x2 + + c x = − 3x2) dx = (48.4) ∫ (x3 − 3x−3 + 4) dx (48.5) ∫ (x−2 − 2x−3) dx x4 − x3 + c 4 x4 3x −2 − + 4x + c 4 −2 x4 3 = + + 4x + c 4 2x2 = −1 −2 x 2x − +c −1 −2 1 1 = − + 2 +c x x = (48.6) ∫ (4x3 − 4x2 + x − 1) dx = x4 − (49) F(x) = → F(0) = 4 และจะได้ 4 3 x2 x + −x+c 3 2 2 ∫ (3x x −1 −x+K −x+1 โจทย์ถาม c = y(4) = 7 / 3 (53) อัตราการเปลี่ยนแปลงความชัน คือ [เพราะความชันคือ f′(x) ] f′′(x) ∴ f′′(x) = 2x − 1 5/ 2 x −4 1 dx = +c = − +c 4x4 −4 (47.7) ∫ x−5 (48.1) ∫ f(x) dx x 3 dy = dx − 3) dx = x3 − 3x + c ∴c = 4 → f′(x) = หาค่า กับ C1 ∫ (2x − 1) dx โดยคําใบ้ที่วา่ ที่จุด x + 2y − 1 = 0 f′(1) = 2 = x2 − x + C1 (1, 2) 1⎤ ⎡ ⎢⎣m = − 2 ⎥⎦ ความชันตั้งฉาก ดังนัน้ [เพราะความชันคูณกันต้องได้ -1] → ∴ C1 = 2 → f′(x) = x2 − x + 2 โจทย์ถามความชันที่ x = 0 คือ f′(0) = 2 (54) สมการวงกลมคือ (x)2 + (y − 1)2 = 2 และสมการโค้งคือ y = ∫ (2x) dx = x2 + c (ผ่านจุด (3, 10) ∴ c = 1 ) → y = x2 + 1 แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้เป็น (y − 1)2 + (y − 1) − 2 = 0 → (y − 1 + 2)(y − 1 − 1) = 0 จะได้ y = −1 → x = เป็นไปไม่ได้ หรือ y = 2 → x = ±1 ดังนัน้ จุดตัดคือ (1,2), (-1,2) อยู่ใน Q1 และ Q2 (55) f′′(x) = 3 → f′(x) = 3x + C1 แต่ f′(1) = −3 ∴ C1 = −6 → f′(x) = 3x − 6 → f(x) = แต่ 3x2 − 6x + C2 2 f(2) = −1 ∴ C2 = 5 → F(1) = 1 − 3 + 4 = 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) f(0) = 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (56), (57) ต้องทราบว่า ds dt จึงจะแก้ปญ ั หาได้ (56) a = 12t2 + 6t + 10 → v = แต่ 3 ∫ v dt = v, dv = a dt ∴ C1 = 0 จะได้ S(5) = 625 + 125 + 125 + 10 = 885 ฟุต (57) a = 24t2 → v = 8t3 + C1 แต่ v(1) = 16 → C1 = 8 → S = 2t4 + 8t + C2 แต่ S(1) = 8 ∴ C2 = − 2 → S = 2t4 + 8t − 2 → ∴ S(2) = 32 + 16 − 2 = 46 เมตร (58) ให้ y แทนปริมาณผลผลิตทีไ่ ด้ เมื่อเพิ่ม x คน อัตราการเปลี่ยนแปลงผลผลิต dy 80 − 6 x ชิ้นต่อวัน = dx 3/2 ∫ (80 − 6 x) dx = 80x − 4x +C แต่โจทย์ใบ้ว่า ถ้าไม่เพิ่มคนเลย (x = 0) จะได้ 3,000 ชิ้นต่อวัน → C = 3,000 ตอบ y(25) = 80 ⋅ 25 − 4 ⋅ 125 + 3,000 = 4,500 ชิน้ ต่อวัน (59.1) 0 ∫ 4 4 2 ⎡ x ⎤ (3 − x) dx = ⎢3x − ⎥ ⎣ 2⎦ −2 ∫ 2 (2x − 1) dx = [ x2 − x ] พื้นที่ = 1 2 ×3×3 + = 4.5 + 0.5 = 5 1 −2 ตร.หน่วย [ข้อ 59.1 คิดจาก 4.5 − 0.5 = 4 ก็ได้] (59.4) y = 2x − 1 2.25 1 6.25 มีจุดตัดแกน x ที่ ( , 0) 3 ดังภาพ พื้นที่ = 1 2 × 2.5 × 5 + 1 2 = 6.25 + 2.25 = 8.5 [ข้อ 59.2 คิดจาก 4 3 −1 ⎡ x2 x3 ⎤ (6 + x − x ) dx = ⎢6x + − ⎥ 2 3⎦ ⎣ 2 64 ⎞ ⎛ 1 1⎞ 95 ⎛ = ⎜ 24 + 8 − ⎟ − ⎜ −6 + + ⎟ = 3 ⎠ ⎝ 2 3⎠ 6 ⎝ (60.4) y = 3x2 − 2x มีจุดตัดแกน x ที่ x = 0, 2/ 3 ดังภาพ 2 −1 ∫ 0 f (x) dx − 0 ∫ 2/ 3 f (x) dx + -2 × 1.5 × 3 0.5 2 -5 4+4/27 2 2 /3 ∫ f (x) dx (ใส่ลบตรงส่วนทีอ่ ยู่ใต้แกน เพือ่ ให้คา่ กลายเป็นบวก) = (x3 − x2) 0 −1 − (x3 − x2) 2/ 3 0 + (x3 − x2) 4 8 ⎛ 4 ⎞ = 2 − ⎜− = 6 ⎟+4 27 27 27 ⎝ ⎠ พื้นที่ = 0 −1 ถูกต้อง] 6+1/4 4 -1 0 2 3 2 3 ∫ f (x) dx − ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx 0 3 1 = 1 − (−4) + 6 = 4 4 [เช็คข้อ 60.2 จะได้ 1 2 12 ตร.หน่วย 3 1 −4+6 = 4 4 4 (60.6) y = 6 + x − x2 มีจุดตัดแกน x ที่ x = −2, 3 ดังภาพ -2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ถูกต้อง] 112/6 -1 3 17/6 ก็ได้] Math E-Book Release 2.2 2 2/ 3 ตร.หน่วย 4 4 +4 = 6 27 27 2− -2 ตร.หน่วย −6.25 + 2.25 = −4 −1 2/3 2 การหาพืน้ ที่ปดิ ล้อม ต้องแยกคิดทีละช่วง เพราะช่วง 0 ถึง 2/ 3 จะได้ติดลบ (ต้องเอาเครือ่ งหมายลบออก) = 4 4/27 -1 0 3 4 0.5 ตร.หน่วย 2 −1 ⎛ x4 ⎞ (x3 − 4x) dx = ⎜ − 2x2 ⎟ ⎝ 4 ⎠ 4.5 ตร.หน่วย 3 O -1 × 1× 1 2 3 (60.5) y = x3 − 4x มีจุดตัดแกน x ที่ 0, 2, −2 1+3/4 ดังภาพ 2 = (4 − 2) − (4 + 2) = −4 (59.3) y = 3 − x มีจุดตัดแกน x (แทน y=0) ที่จดุ (3, 0) ดังภาพ 2 (3x2 − 2x) dx = (x3 − x2) [เช็คข้อ 60.1 จะได้ 0 = (12 − 8) − (0 − 0) = 4 (59.2) −1 ∫ 2 = (8 − 4) − (−1 − 1) = 6 (60.3) −1∫ ∴ C2 = 10 → S = t4 + t3 + 5t2 + 10 ∴ y = −1 ∫ ⎛ 81 ⎞ ⎛1 ⎞ = ⎜ − 18 ⎟ − ⎜ − 2 ⎟ = 4 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ = t4 + t3 + 5t2 + C2 S(0) = 10 (60.1) (60.2) 2 = 4t + 3t + 10t + C1 v(0) = 0 S = แต่ ∫ a dt อนุพันธและการอินทิเกรต 330 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET พื้นที่ = 3 −1 4 (65) ∫ f (x) dx − ∫ f (x) dx 8 3 112 ⎛ 17 ⎞ = − ⎜− ⎟ = 6 ⎝ 6⎠ 5 21.5 ตร.หน่วย 112 17 95 − = 6 6 6 [เช็คข้อ 60.3 จะได้ 2 (61) y = x − 1 มีกราฟดังภาพ (61.1) 1 (61.2) ∫ − −1 (61.3) −2 ⎛ x3 ⎞ (x − 1) dx = ⎜ − x⎟ ⎝ 3 ⎠ ∫ 1 (62) 1 ∫ −1 0 ∫ 1 (4 − 0 f (x) dx − −1 2 1 1 = −1 ∫ ตร.น. 4 ตร.น. 3 0 ∫ 1 (x2 + x −2) dx (16 − 8 x + x) dx ⎡ 16 3 / 2 x2 ⎤ = ⎢16x − x + ⎥ 3 2⎦ ⎣ 1 = 11 ตอบ 14 6 1 0 16 1 ⎞ ⎛ = ⎜ 16 − + ⎟ 3 2⎠ ⎝ (63) พิจารณากราฟ พื้นที่เหนือแกน x เท่ากับ 0 ∫ 1 1 ⎛ x3 ⎞ → ⎜ − cx ⎟ ⎝ 3 ⎠ 0 1 2 0 (64) y = x2 − c ถ้า c > 4 แสดงว่า ตัดแกน x ที่ ±c เกิน ±2 ดังภาพ 1 ดังนัน้ −2 ∫ (x2 − c) dx = 21 − −1 9π ≈ 7.07 4 3 6 -1 3 1 × 4 × 6 = 12 2 = (67) เช่นเดียวกับข้อ (66) คือ 3 f (x) dx = พื้นที่ , คางหมู ∫ −2 2 = -2 1 × 5 × (2 + 5) = 17.5 2 sin θ ∫ 1 5 (4x − 3) dx = [2x2 − 3x ] 3 1 sin θ 2 = −1 − 2 sin θ + 3 sin θ = 0 → (2 sin θ − 1)(sin θ − 1) = 0 → sin θ = 1 , 1/2 → cos 2θ = 1 − 2 sin2 θ = −1 (69) 1/2 หรือ 1 ∫ sin θ ⎡ x3 ⎤ x2 dx = ⎢ ⎥ ⎣3⎦ sin θ 1 3 sin θ 1 2 − = − → sin θ = −1 3 3 3 ∴ 1 + sin θ + cos θ = 1 − 1 + 0 = 0 = ∴ 0 ∫ 1 2 ⎛x ⎞ x ( + 2) dx = ⎜ + 2x ⎟ 2 ⎝4 ⎠ 2 1 0 = 1 + 2 = 2.25 4 f(−1) = −4, f′(−1) = 0 → (71) หา b, c จาก ได้ b = 2, c = −3 y = x2 + 2x − 3 วาดกราฟได้ดังรูป -2 -3 -1 1 = −24 1 −2 4 7 พื้นที่วงกลม (70) (fog)(x) = 2x + 5, f(x) = 4x − 3 → แก้ฟังก์ชัน หา g(x) ได้เป็น g(x) = x + 2 (x2 − 3x + 2) dx ⎡ x3 ⎤ 3x2 = ⎢ − + 2x ⎥ 2 ⎣3 ⎦ 1 3 5 = − +2 = 3 2 6 π32 1 4 ∫ f (x) dx (68) 1⎞ ⎛ 1 5 ⎛8 ⎞ = ⎜ − ⎟ − ⎜ − 1⎟ = 2 6 ⎝ 3 2⎠ ⎝ 3 ⎠ x)2 dx = − 3 → ∫ f (x) dx 2 พืน้ ที่ , = พืน้ ที่ใต้กราฟ (66) ไม่จําเป็นต้องสร้าง สมการเส้นตรงเพื่ออินทิเกรต เพราะเป็นรูป Δ ตร.หน่วย x4 + 1 dx = 1 x2 ⎡ x3 1⎤ = ⎢ − ⎥ x⎦ ⎣3 1 4 = 3 ⎛ x3 ⎞ (x2 − 1) dx = − ⎜ − x⎟ ⎝ 3 ⎠ 4 ⎛ 2⎞ = − ⎜− ⎟ = 2 3 ⎝ 3⎠ 2 2 ∫ f (x) dx = = 7×3− 1 2 2 ∫ ถูกต้อง] 4/3 4/3 4/3 -2 1 2 อนุพันธและการอินทิเกรต 331 = −24 พื้นที่ = − −1 ∫ 1 (x2 + 2x − 3) dx ⎛ x3 ⎞ = −⎜ + x2 − 3x ⎟ ⎝ 3 ⎠ 1 −1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 8 → ⎜ − c ⎟ − ⎜ − + 2c ⎟ = −24 → c = 9 ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) = 16 / 3 1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET อนุพันธและการอินทิเกรต 332 eÃ×èo§æ¶Á เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลีย่ นตัวแปร.. ฟังก์ชนั ประกอบที่หาอนุพันธ์ไว้โดยใช้กฎลูกโซ่ (หรือดิฟก้อน) เมือ่ เราต้องการจะอินทิเกรตกลับไปต้องอาศัย เทคนิค การเปลี่ยนตัวแปร (Substitution) มิฉะนัน้ จะอินทิเกรตไม่ได้ ตัวอย่างเช่น f (x) = (3x3 + 4)10 มีอนุพันธ์เป็น f′ (x) = 10(3x3 + 4)9(9x2) = 90x2(3x3 + 4)9 ถ้าเราต้องการหาค่า ∫ 90 x2(3x3 + 4)9 dx เราไม่สามารถกระจายฟังก์ชนั กําลัง 9 ได้ จึงต้องใช้เทคนิค เปลี่ยนตัวแปร x ให้เป็น u ที่เหมาะสม ... ในตัวอย่างนี้ให้ u = 3x3 + 4 จะได้ du = 9x2 dx นัน่ คือ dx = du 9x2 (ย้ายข้างสมการ) แทนค่าตัวแปรใหม่ลงไปใน ∫ 90 x2(3x3 + 4)9 dx ได้เป็น ∫ 90 x2(u)9 du2 9x 9 เศษส่วนหารกันได้ ∫ 10 (u) du จะพบว่าเหลือตัวแปร u ล้วนๆ และอยู่ในรูปทีอ่ นิ ทิเกรตได้ (แสดงว่าเลือกตัวแปร u ได้ถูกต้อง) ผลที่ได้คอื u10 + C = (3x3 + 4)10 + C นั่นเอง.. หลักในการเลือกว่าให้ก้อนใดเป็น u ก็คอื ต้องเลือกก้อนที่เมือ่ ดิฟแล้วออกมาคล้ายส่วนที่เหลือ (เพื่อให้สามารถกําจัด x ที่ยังคงเหลือไปให้หมด) เช่น จาก ∫ t (1−2t2)8 dt เราเลือก u = 1−2t2 เพราะเมือ่ ดิฟแล้วได้ −4t มาตัดกับ t ที่เหลือได้พอดี หรือ จาก ∫ x3(4− x2)3 dx ถ้าเลือก u = x3 เมื่อดิฟแล้วจะได้ 3x2 ไม่สามารถไปตัดกับ 4 − x2 ได้ จึงต้องเลือก u = 4 − x2 เมื่อดิฟแล้วได้ −2x ตัดกับ x3 เหลือ x2 ซึ่งสามารถเปลี่ยนเป็น x2 = 4 − u ได้ จาก ∫ x3(4− x2)3 dx ให้ u = 4 − x2 → du = −2x dx จะได้ ∫ x3u3dx 1 1 1 1 2 3 3 3 4 ∫ x u du = − 2 ∫ (4 − u)u du = − 2 ∫ (4u − u ) du = − 2 2 1⎡ (4 − x2)5 ⎤ = − ⎢(4 − x2)4 − ⎥ + C 2⎣ 5 ⎦ = − = 3 3 ∫x u du −2x ⎡ 4 u5 ⎤ ⎢u − ⎥ + C 5⎦ ⎣ ทดลองทําดูนะครับ ก. ∫ t (1−2t2)8 dt เฉลย ก. − ข. ∫ (3x2+2) 2x3+ 4x + 1 dx ค. ∫ x + 3 (x + 1)2 dx ข. 1 3/ 2 u + c 3 ค. 2 2 8 2 8 2 u − u + u + c 7 5 3 ง. −6u3 + จ. 1 + c 2 u4 ง. ∫ 2x2/ 3 dx (1− x) จ. ∫ 18+ 12x2 5 dx (4−9x − 3x ) Math E-Book Release 2.2 u9 + c 36 เมื่อ u = 1−2t2 เมื่อ u = 2x3+ 4x + 1 7 5 1 3 3 u + c 2 4 เมื่อ 3 เมื่อ เมื่อ u = x+3 u = 1− x u = 4 −9x − 3x2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 333 Pr,o + b! º··Õè 16 ¤ÇÒÁ¹Ò¨ae»¹ ความน่าจะเป็นและสถิติ เป็นวิชาที่มีบทบาท สําคัญทั้งในทางพาณิชยศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ รวม ไปถึงการแพทย์และจิตวิทยาด้วย ทฤษฎีมากมายใน ปัจจุบัน ถูกพัฒนาขึ้นจากหลักการของความน่าจะเป็น นอกจากประโยชน์ดังกล่าวแล้ว เรายังปรับใช้ความ น่าจะเป็นในชีวิตประจําวันได้โดยอาจไม่รู้ตัว เช่น การ นับจํานวนแบบที่เป็นไปได้ การคาดคะเนโอกาสที่ เหตุการณ์หนึ่งๆ (หรือหลายเหตุการณ์) จะเกิดขึ้น 16.1 หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ ถ้าเราต้องทํางาน k อย่าง โดยที่งานอย่างแรกมีทางเลือกทําได้ n1 แบบ และในแต่ละแบบก็ เลือกทํางานอย่างที่สองได้ n2 แบบ และในแต่ละแบบ... (ไปเรื่อยๆ) จะมีจํานวนวิธีเลือกทํางานจน ครบทุกอย่าง เท่ากับ n1 × n2 × ... × nk วิธี เรียกกฎนี้ว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ (Fundamental Principles of Counting) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 334 ตัวอยาง มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว จะจัดเปนชุดที่ไมซ้ํากันเลยไดกี่แบบ ตอบ 3 × 4 = 12 แบบ เขียนเปนแผนภาพตนไม (Tree Diagram) ไดดังรูป ส1 ส2 ตัวอยาง มีเรือวิง่ ขามฟาก 3 ลํา จะนั่งเรือไปและกลับไมใหซ้ําลํากัน ไดกี่วิธี ตอบ 3 × 2 = 6 วิธี ส3 ตัวอยาง ทอดลูกเตา 2 ครั้ง จะมีผลออกมาไดกี่แบบ ตอบ 6 × 6 = 36 แบบ ก1 (ส1,ก1) ก2 (ส1,ก2) ก3 (ส1,ก3) ก4 (ส1,ก4) ก1 (ส2,ก1) ก2 (ส2,ก2) ก3 (ส2,ก3) ก4 (ส2,ก4) ก1 (ส3,ก1) ก2 (ส3,ก2) ก3 (ส3,ก3) ก4 (ส3,ก4) แบบฝึกหัด 16.1 การเดินทาง รถยนต์ เรือ รถไฟ ได้ ไม่ได้ ได้ ก → ข ได้ ได้ ไม่ได้ ข → ค ไม่ ไ ด้ ได้ ได้ ค → ง (2) มีหีบ 5 ใบวางเรียงกัน จะมีวิธีเอาบอล 3 ลูกใส่ในหีบ ทีละลูกๆ ทั้งหมดกี่วิธี (1) จากตาราง เรามีวิธีเดินทางจาก เมือง ก ไปเมือง ง โดยผ่านทุก เมืองได้กี่วิธี เครื่องบิน ได้ ไม่ได้ ได้ (3) ร้านฟาสต์ฟู้ดมีเบอร์เกอร์อยู่ 6 ชนิดและเครื่องดื่ม 4 ชนิด โดยเครื่องดื่มแต่ละชนิดนั้นมี 3 ขนาด จะมีวิธีจัดชุดอาหารกับเครื่องดื่มคู่กันกี่แบบ (4) นําอักษรจากคําว่า SPECIAL มาสลับเป็นคําได้ทั้งหมดกี่แบบ (ไม่คํานึงถึงความหมาย) (5) มีถุง 2 ใบ ใบแรกมีบอลสีแดง 3 ลูก สีดํา 2 ลูก สีขาว 1 ลูก (ซึ่งแต่ละลูกถือว่าต่างกัน) ใบที่ สองมีบอลสีแดง 2 ลูก สีดํา 2 ลูก สีขาว 2 ลูก หยิบลูกบอลจากใบแรกไปใส่ในใบที่สอง 1 ลูก และ หยิบจากใบที่สองออกมา 1 ลูก มีกี่วิธีซึ่งบอลที่หยิบจากใบแรกเป็นสีแดง และบอลที่หยิบออกจากใบที่ สองไม่ใช่สีขาว (6) ข้อสอบฉบับหนึ่งประกอบด้วย โจทย์ปัญหาแบบถูก-ผิด 5 ข้อ และปรนัย (ก,ข,ค,ง) อีก 7 ข้อ จะมีวิธีเดาข้อสอบที่ไม่ซ้ํากันเลยได้กี่แบบ (7) กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากเลข 0 ถึง 9 อย่างละใบ ถ้า หยิบมา 2 ใบ (ทีละใบโดยไม่ใส่คืน) จะมีกี่วิธีที่ผลรวมเลข เป็นจํานวนคี่ (8) [Ent’24] ใช้ตัวเลข 0 ถึง 5 มาสร้างจํานวน 3 หลัก จะสร้างได้กี่จํานวน ถ้ากําหนดให้ (8.1) แต่ละหลักไม่ซ้ํากัน (8.2) เป็นจํานวนคี่ และแต่ละหลักไม่ซ้ํากัน (8.3) มีค่ามากกว่า 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ํากัน (8.4) หาร 10 ลงตัว Math E-Book Release 2.2 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S o¨·Âº·¹ÕéÇi¸¤Õ i´Êaé¹ÁÒ¡æ 浡çµoº¼i´ä´§Ò ¹o§æ ËÅÒ¤¹eËç¹µaÇeÅ¢ã¹o¨·Â¡çËÂiºÁÒ¤Ù³¡a¹ ËÃ×o¡¡íÒÅa§¡a¹´×éoæ eÅ 溺¹ÕéäÁ¤ÇäÃaº Áa¹äÁä´ e»¹æºº¹aé¹·u¡¢o oÂÙ·èÊÕ ¶Ò¹¡Òóã¹o¨·Â´ÇÂ.. Çi¸Õ·è´Õ Õ·èÊÕ u´¤×o¤oÂæ ¹Ö¡ÇÒ ¢o¹ÕéÁÕ¡Ò÷íÒ§Ò¹ (ËÃ×o¡Òõa´Êi¹ã¨) ¡Õ袹éa µo¹ ¨aä´eoÒ¨íҹǹ·Ò§eÅ×o¡ ã¹æµÅa¢aé¹µo¹ÁÒ¤Ù³¡a¹ä´¶¡Ù µo§ ».Å. äÁ¤Ç÷o§ÊÙµÃÅa´»ÃaeÀ·ÇÒ Êiè§ÁÕªÇÕ iµ äÁÁÕ ªÕÇiµ ã¤ÃÁÒ¡¡íÒÅa§ã¤Ã ÏÅÏ e¾ÃÒaÁa¹¼i´§ÒÂæÅa㪠äÁä´eÊÁo仹a¤Ãaº ¤i´µÃ§æ ªaÇÃÊu´! (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 335 (9) ต้องการเลือกประธาน รองประธาน และเหรัญญิก ตําแหน่งละ 1 คน โดยเลือกจากนักเรียน ชาย 5 คน หญิง 4 คน จะเลือกได้กี่ชุด หากกําหนดว่าประธานและรองประธานเป็นเพศเดียวกัน และคนละเพศกับเหรัญญิก 16.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยน จํานวน วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) สิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง จะมี n! วิธี แต่ถ้าเอามาเรียงเพียงแค่ r สิ่ง จะมี n! วิธี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn,r หรือ (n−r)! nPr เครื่องหมาย ! เรียกว่า แฟคทอเรียล (Factorial) มีนิยามว่า n! = n ⋅ (n−1) ⋅ (n−2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 เมื่อ n เป็นจํานวนนับ และกําหนดให้ 0 ! = 1 เพื่อให้สอดคล้องกับสมการ Pn,n = n! P7, 3 = 8! 8 × 7 × 6! = = 56 6! 6! 3! = 3 × 2 × 1 = 6 ตัวอยาง 7! = 7×6×5 4! ตัวอยาง จัดคน 3 คน ใหยืนเรียงแถวเปนเสนตรง ไดกี่วิธี ตอบ คิดแบบการนับ ได 3 × 2 × 1 = 6 วิธี หรือคิดแบบเรียงสับเปลี่ยน P3,3 = 3 ! = 6 วิธี ตัวอยาง มีธง 5 ผืน ผืนละสีไมซ้ํากัน จะมีวิธีสงสัญญาณโดยเอาธง 3 ผืนมาวางเรียงกัน ไดกี่วิธี ตอบ คิดแบบการนับ 5 × 4 × 3 = 60 วิธี หรือคิดแบบเรียงสับเปลี่ยน P5,3 = 5! = 60 วิธี 2! จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้งหมด n สิ่ง ที่มีสิ่งของซ้ํากัน n! จะเรียงได้ วิธี k1 สิ่ง, k2 สิ่ง, ... k1 ! ⋅ k2 ! ⋅ ... (แต่ถ้าไม่นํามาเรียงครบทั้ง n สิ่ง ก็จะต้องพิจารณาการซ้ํากันนั้น แยกเป็นหลายๆ กรณี) จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง เป็นรูปวงกลม (Circular Permutation) จะ ทําให้ไม่มีหัวแถวหรือปลายแถว ดังนั้นจํานวนวิธีจึงลดลง ให้คิดว่าระบุตําแหน่งเจาะจงก่อน 1 สิ่ง แล้ว ที่เหลือจึงจัดแบบเส้นตรงปกติ นั่นคือ (n−1)! วิธี (แต่หากการจัดนี้สามารถมองได้สองด้าน จํานวนวิธีจะลดลงอีก เหลือ (n−1)! วิธี) 2 แบบฝึกหัด 16.2 (10) ให้หาค่าของ (11) ถ้า 10 ! 6! 3 ! , , P4,3 , 7! 4! 7! (n+ 3)! = 30 (n+ 1)! และ P7,3 จงหาค่า n Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (12) ให้หาค่า n ซึ่งทําให้ ความนาจะเปน 336 2 Pn,2 + 50 = P2n,2 (13) ของต่างๆ กัน 4 ชิ้น นํามาจัดเป็นแถวได้กี่วิธี ถ้า (13.1) ใช้ทุกชิ้นเท่านั้น (13.2) ใช้มากกว่า 1 ชิ้น (14) นําอักษรจากคําว่า STAND มาเรียงเป็นคําได้กี่แบบ ถ้า (14.1) ใช้ทุกตัว (14.2) เลือกมาเพียง 3 ตัว (15) คําว่า HONESTY สามารถนําอักษรมาเรียงเป็นคําได้กี่คํา หาก (15.1) S และ T ต้องติดกันเสมอ (15.2) S และ T ต้องไม่ติดกัน S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ÂéÒí oÕ¡·ÕÇÒ ÁÒ¶Ö§ËÂiºµaÇeÅ¢·ÕèeËç¹ä»¤Ù³ ËÃ×o ¡¡íÒÅa§ ËÃ×oãÊ濤·oeÃÕÂÅæËÅ¡eÅÂäÁä´¹a ¤Ãaº µo§¤oÂæ ¤i´eËÁ×o¹ËaÇ¢o·ÕèæÅÇ¡o¹.. æÅa ¶Òºa§eoiÁa¹ÁÕeÅ¢e´ÕÂÇ¡a¹¤Ù³¡a¹«éÒí æ Áa¹¡çe¡i´ ¡Òá¡íÒÅa§¢Öé¹eo§ ËÃ×o¶Ò¤Ù³æÅÇeÅ¢¤oÂæ Ŵŧæ Áa¹¡çe¡i´æ¿¤·oeÃÕÂÅ¢Öé¹eo§ ¤×o¡Òäi´µÃ§æ ÁÒ¡o¹ æÅÇe¢Õ¹¤íÒµoºãË ÊǧÒÁã¹Ãٻ¡¡íÒÅa§ ËÃ×o濤·oeÃÕÂÅ¡ç¤oÂÇÒ ¡a¹ËÅa§¨Ò¡¹a鹤Ãaº.. (16) มีชาย 3 คน หญิง 2 คน จะจัดคนทั้ง 5 มายืนเรียงแถว โดยผู้ชายยืนติดกันและผู้หญิงยืน ติดกัน ได้กี่วิธี และถ้าบังคับให้ยืนสลับกันจะได้กี่วิธี (17) จงหาจํานวนวิธีที่จะจัดชาย 5 คน หญิง 4 คน นั่งบนเก้าอี้เรียงยาว โดยต้องไม่มีผู้หญิงคนใดนั่ง ติดกัน (18) มีชาย 3 คน หญิง 2 คน โดยใน 2 คนนี้มี ด.ญ.อ้อ รวมอยู่ด้วย จะจัดแถวได้กี่แบบ ถ้า ด.ญ. อ้อ ต้องยืนหัวแถวหรือท้ายแถวเสมอ (19) อักษรคําว่า TRIANGLE นํามาจัดเป็นคําได้กี่คํา หากต้องขึ้นต้นด้วย T และลงท้ายด้วย E (20) สลับที่ตัวอักษรจากคําว่า AMPLITUDE (โดยไม่คํานึงถึงความหมาย) ได้กี่คํา เมื่อ (20.1) สระไม่ติดกัน (20.2) พยัญชนะไม่ติดกัน (20.3) ต้องขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ และสระต้องไม่ติดกัน (20.4) ต้องขึ้นต้นด้วยสระ และสระต้องไม่ติดกัน (21) นําอักษรในคําว่า MISSISSIPPI มาเรียงสับเปลี่ยนได้กี่แบบ (22) นําอักษรในคําว่า TROTTING มาเรียงสับเปลี่ยนได้กี่แบบ ถ้าบังคับว่า ต้องขึ้นต้นด้วยสระ และ ลงท้ายด้วยตัว T (23) นําอักษรในคําว่า ALGEBRA มาเรียงสับเปลี่ยนได้กี่แบบ ถ้าต้องรักษาลําดับของสระและ พยัญชนะให้เป็นแบบเดิม B (24) มีวิธีเดินทางจาก A ไป B ได้กี่แบบ ถ้าเดินทางได้ตาม N เส้นที่กําหนดเท่านั้น และเดินทางได้เฉพาะทิศเหนือ กับทิศ ตะวันออก (25) นําอักษรจากคําว่า ARRANGE มา 3 ตัวเพื่อจัดเป็นคํา A จะจัดได้กี่แบบ (26) จัดคน 4 คน คือ ก, ข, ค, ง นั่งล้อมเป็นวงกลมได้กี่วิธี ให้ตรวจสอบคําตอบโดยการเขียนวิธี ทั้งหมด (27) จัดลูกปัด 4 สี มาร้อยเป็นวงได้กี่วิธี ให้ตรวจสอบคําตอบโดยการเขียนวิธีทั้งหมด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 337 (28) มีชาย 3 คน หญิง 3 คน จะนั่งสลับชายหญิงรอบโต๊ะอาหารวงกลมได้กี่แบบ (29) ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งรอบโต๊ะกลม โดยชายหญิงต้องสลับกันครั้งละ 2 คน จะมีวิธีจัดกี่ แบบ (30) สามีภรรยาเชิญแขกมารับประทานอาหาร 4 คน จะจัดที่นั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่แบบ หากสามี ภรรยาต้องนั่งติดกันเสมอ (31) มีวิธีจัดชาย 5 คน หญิง 4 คน นั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี ถ้าไม่มีหญิงคนใดนั่งติดกันเลย 16.3 วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม วิธีจัดหมู่ (Combination) ต่างจากเรียงสับเปลี่ยน ตรงที่จะไม่คํานึงถึงลําดับก่อนหลัง เช่น สมมติมีตัวอักษร 3 ตัว คือ ABC จะได้ว่า P3,2 = 6 ได้แก่ AB, AC, BA, BC, CA, CB แต่ C3,2 = 3 ได้แก่ AB, AC, BC AB กับ BA การเรียงสับเปลี่ยนถือว่าต่างกัน แต่การจัดหมู่ถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน จํานวนวิธีจัดหมู่สิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง โดยทีค่ ัดออกมา r สิ่ง จะมี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Cn,r หรือ n Cr และนิยมเขียนเป็น ⎛ n⎞ ⎜r ⎟ ⎝ ⎠ n! (n−r)! ⋅ r ! อ่านว่า “n เลือก(choose) r” ข้อสังเกต สูตรการจัดหมู่ คิดโดยนําการเรียงสับเปลี่ยนมาแล้วหารลําดับทิ้งไป คือ n Cr ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีที่จะหยิบสลาก 5 ชิ้น ออกมาจากกองทีม่ ีอยู 12 ชิ้น 12 ! ⎞ = = 792 วิธี ตอบ ⎛⎜ 12 5⎟ 7 ! ⋅ 5! ⎝ ขอสังเกต ⎠ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎜5⎟ = ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ หรือ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ r ⎟ = ⎜ n −r ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ตัวอยาง ดินสอสี 1 โหล มีสีตางๆ กัน ตองการหยิบ 5 แทง ตามเงือ่ นไขตอไปนี้ จะไดกี่วิธี (ก) แตละครั้งตองมีสีแดง ตอบ ⎛⎜ 11⎞⎟ ⎛⎜ 114 ⎞⎟ = 330 วิธี (ข) แตละครั้งตองไมมีสีแดง ตอบ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 11⎞ ⎜ 5 ⎟ = 462 ⎝ ⎠ ⎛ 12 ⎞ ⎜ 5 ⎟ − 330 = 462 ⎝ ⎠ วิธี หรือ คิดจาก จํานวนวิธีทั้งหมด ลบดวยจํานวนวิธีที่มีสีแดง ก็ได 5! ⋅ 7 ! ขยายผลออกไปถึงการแบ่งของ 12 ชิ้น เป็นสามกอง ดังนี้ (คณิต มงคลพิทักษสุข) วิธี 5 จากการหยิบของ 5 ชิ้น ออกจากกองที่มี 12 ชิ้น 12 ก็เหมือนการแบ่งแยกของออกเป็นสองกลุ่ม กลุ่มละ 5 และ 7 ชิ้น ซึ่งแบ่งกลุ่มได้ 12 ! วิธี เรียกว่า กฎการแบ่งกลุ่ม (Partitioning Law) Math E-Book Release 2.2 วิธี 7 12 5 4 3 = nPr r! คณิตศาสตร O-NET / A-NET ก็จะมีจํานวนวิธีเป็น ความนาจะเปน 338 12 ! 5! ⋅ 4 ! ⋅ 3 ! วิธี (พิสูจน์ได้จาก ⎛ 12 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 3⎟ ) ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ แต่ถ้ามีกองใดที่จํานวนเท่ากัน ที่ถือว่าไม่แตกต่างกัน จํานวนวิธีจะ ลดลงโดยคิดเช่นเดียวกับการสับเปลี่ยน เช่น จากแผนภาพด้านขวานี้ 12 ! จะแบ่งได้ วิธี 3 12 (2 !) ⋅ 3 ! ⋅ 1! ⋅ 5 ! 2 2 2 1 5 3! ที่เพิ่มเข้ามา เนื่องจากมี 3 กองที่สลับกันเองไม่มีความหมาย จํานวนวิธีจึงต้องลดลง ตัวอยาง มีคน 4 คน จัดเปนสองกลุม กลุมละ 2 คน ไดกี่แบบ ตอบ (2 !)4 !⋅ 2 ! = 3 แบบ 2 ตัวอยาง คน 12 คน แบงเปน 5 กลุม ทีม่ ีจํานวน 2, 2, 2, 3, 3 คน ไมใหซ้ําแบบกันเลยไดกี่แบบ ! = 138, 600 แบบ ตอบ (2 !) ⋅ 312 ! ⋅ (3 !) ⋅ 2 ! 3 2 แบบฝึกหัด 16.3 (32) ถ้า C18,r = C18,r + 2 จงหาค่า r (33) [Ent’20] มีนวนิยายที่น่าอ่านวางอยู่ 10 เล่ม ขอยืมไปอ่าน 3 เล่ม จะมีวิธีเลือกหนังสือกี่วิธี (34) จุด 6 จุด กระจายกันอยูบ่ นเส้นรอบวงกลม จะสร้างสามเหลี่ยมจากจุดเหล่านี้ได้กี่รูป (35) หาจํานวนวิธีเลือกกรรมการชุดละ 8 คน จากนักเรียนหญิง 6 คน ชาย 10 คน โดย (35.1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม (35.2) ต้องมีหญิง 2 คนเท่านั้น (35.3) ต้องมีหญิงอย่างน้อย 5 คน (35.4) ต้องมีหญิงมากกว่า 1 คน (36) ถุงใบหนึ่งมีบอลสีขาว 6 ลูก สีดํา 5 ลูก จะมีกี่วิธีที่หยิบบอลออกมา 4 ลูกพร้อมกัน และได้สี ขาวกับดํา อย่างละ 2 ลูก (37) ในการประชุม มีนักธุรกิจ 3 คน นักวิชาการ 8 คน และอาชีพอื่นๆ 10 คน ต้องการเลือก กรรมการ 4 คน โดยต้องมีนักธุรกิจรวมอยู่อย่างน้อยครึ่งหนึ่ง จะมีวิธีจัดกรรมการกี่แบบ (38) รถโรงเรียน 2 คัน มี 6 และ 9 ที่นั่ง ตามลําดับ จะจัด นักเรียน 13 คน ประจํารถได้กี่แบบ (มีที่ว่าง 2 ที่) (39) มีอักษร A, B, C, m, p, q, r, s, a, e, o, u นําอักษร ทั้งหมดมาจัดเป็นคําโดยให้มีอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ขึ้นต้น และ พยัญชนะตัวเล็ก 3 ตัว สระ 2 ตัว ได้กี่คํา (40) อักษรชุดหนึ่งได้แก่ a, a, a, b, b, c, c, d, d, e, f นํามาจัดเป็นคําที่มีความยาว 4 ตัวอักษร ได้กี่แบบ Math E-Book Release 2.2 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¤Ò¢o§ () 7 2 ¡aº ( 71 ) (61 ) äÁe·Ò¡a¹¹a¤Ãaº eÃÒµo§eÅ×o¡ãªã˶١溺 ...¤ÇÒÁ浡µÒ§¤×o ( 71 ) (61 ) ¹aé¹ÁÕÅíÒ´aºe¡i´¢Öé¹´Ç (Êi觷ÕèeÅ×o¡ÁÒä´ ã¹æµÅa¢aé¹µo¹¶×oÇÒÊÅaº¡a¹æÅǼÅÅa¾¸e»ÅÕÂè ¹) æµ (27 ) ¹aé¹eÅ×o¡¾ÃoÁæ ¡a¹ o´ÂäÁ¤Òí ¹Ö§ÅíÒ´aº ¡o¹ËÅa§ (Êo§ªi¹é ·ÕèeÅ×o¡ÁÒ¶×oÇÒÈa¡´iìÈÃÕe·Ò¡a¹) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 339 (41) การแข่งขันเทนนิสมีนักกีฬาเข้าร่วมแข่งขัน 10 คน เป็นการแข่งแบบพบกันหมด หากใน 1 วัน จัดแข่งได้ 4 คู่ จะต้องใช้เวลาทั้งหมดกี่วัน (42) มีคน 9 คน แบ่งเป็น 3 กลุ่ม ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่วิธี (42.1) 4, 3, 2 คน (42.2) กลุ่มละ 3 คน (43) นักกีฬาเทนนิส 9 คน ถูกแบ่งเป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 3 คน เพื่อไปแข่งที่สหรัฐอเมริกา, อังกฤษ , ฝรั่งเศส จะแบ่งได้กี่วิธี (44) นักเรียน 7 คน เข้าห้องพัก 3 ห้อง ซึ่งมีขนาด 3, 2, 2 คน แต่ละห้องถือว่าต่างกัน จะจัดได้กี่ วิธี (ลองคิดแบบแบ่งกลุ่มก่อน แล้วค่อยจัดเข้าห้อง) 16.4 การนับในกรณีอื่นๆ การนับรูปเรขาคณิต 1. จํานวนเส้นตรง จุด 5 จุด (ที่ไม่มีสามจุดใดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน) สร้างเส้นตรงได้ แต่ถ้ามี 3 จุดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน สร้างเส้นตรงได้ หมายเหตุ การลบ ⎛ 3⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ แล้วบวก 1 ⎛5⎞ ⎛ 3⎞ ⎜2⎟ − ⎜2 ⎟ + 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛5⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ เส้น เส้น หมายความว่า จุดสามจุดในแนวเดียวกันทําให้จํานวนเส้นตรงที่ ได้นั้นหายไปหมด เหลือเพียงเส้นเดียว จึงลบเส้นตรงที่เกิดจากสามจุดนี้ออกให้หมด แล้วบวกกลับไป เพียง 1 เส้น 2. จํานวนสามเหลี่ยม จุด 5 จุด (ที่ไม่มีสามจุดใดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน) สร้างสามเหลี่ยมได้ แต่ถ้ามี 3 จุดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน สร้างสามเหลี่ยมได้ 3. จํานวนจุดตัดของเส้นตรง กับวงกลม เส้นตรง 8 เส้น จะมีจุดตัดเกิดขึ้นได้มากที่สุด ⎛8⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎛5⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ 3⎟ − ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛5⎞ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ รูป รูป จุด ⎛5⎞ 2 ⋅ ⎜ ⎟ จุด ⎝2⎠ เกิดจุดตัดมากที่สุด ⎛⎜ 82 ⎞⎟ + 2 ⋅ ⎛⎜ 52 ⎞⎟ + 2 ⋅ ⎛⎜ 81 ⎞⎟ ⎛⎜ 51 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ วงกลม 5 วง รัศมีต่างๆ กัน จะมีจุดตัดเกิดขึ้นมากที่สุด เส้นตรง 8 เส้นกับวงกลม 5 วง ตัดกัน 4. จํานวนสี่เหลี่ยม เส้นขนานสองชุด จํานวน 5 เส้น กับ 4 เส้น ดังภาพ จะเกิดรูปสี่เหลี่ยมขึ้น ⎛⎜ 52 ⎞⎟ ⎛⎜ 24 ⎞⎟ รูป ⎝ ⎠⎝ ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) จุด คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 340 การจัดหมู่สิ่งของที่เหมือนกันหมด (Stars and Bars) กรณีที่สิ่งของที่เราจะจัดหมู่นั้นเหมือนกันหมด เช่น การแจกลูกอมให้เด็กๆ และต้องการคิด ว่าแบ่งเป็นปริมาณต่างๆ กันได้กี่ลักษณะ จะต้องใช้หลัก Stars and Bars ดังตัวอย่างนี้ ตัวอยาง มีลูกอมที่เหมือนกัน 9 เม็ด ตองการแบงใหเด็ก 3 คน ตามเงื่อนไขตอไปนี้ จะไดกี่วิธี (ก) ทุกคนตองไดรับ (อยางนอยคนละ 1 เม็ด) วิธีคิด นําลูกอมมาวางเรียงแถวกัน 9 เม็ด จะเกิดชองวาง 8 ชอง (เปรียบเทียบลูกอมเหมือน ดวงดาว) ใหเราเอาไม 2 อันไปวางกั้นในชองสองชองใดๆ ก็จะไดลูกอมเปน 3 กองพอดี นั่นคือ ⎛⎜ 82 ⎞⎟ วิธี ⎝ ⎠ (ข) บางคนอาจจะไมไดรับ (คือแบงอยางไรก็ได) วิธีคิด ใหเพิ่มลูกอมเขาไปเทาจํานวนคนกอน กลายเปน 12 เม็ด มีชอง 11 ชอง แบงใหคนสาม คนตามหลัก Stars and Bars ในขอ (ก) ซึ่งทุกคนจะไดอยางนอย 1 เม็ด แลวไมวาจะแบงวิธีใดก็เอาคืนมา จากเด็กคนละเม็ด (เหลือ 9 เม็ดเทาเดิม) จะทําใหบางคนไมมีลูกอมอยูเลย ดังนัน้ แบงได ⎛⎜ 112⎞⎟ วิธี ⎝ ⎠ การแบ่งของแบบ Stars and Bars นั้น ของแต่ละกลุ่มที่ได้ถือว่าต่างกัน (มีลําดับเกิดขึ้น) เช่น เป็นการแบ่งลูกอมให้เด็ก 3 คน ชื่อ ก, ข, ค ตามลําดับ.. แต่หากจะแบ่งลูกอมเป็นกองๆ 3 กอง (ซึ่งสลับกันไม่มีความหมาย) จะใช้ Stars and Bars ไม่ได้ ต้องนับเอาโดยตรง การนับ “จํานวนเต็มที่หารลงตัว” เราสามารถนําการนับเบื้องต้นผสมกับการสังเกต เพื่อนับจํานวนเกี่ยวกับการหารลงตัวได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 8 = 23 มีจํานวนเต็มบวกที่หารลงตัว 4 จํานวน คือ 20 , 21, 22 , 23 25 = 52 มีจํานวนเต็มบวกที่หารลงตัว 3 จํานวน คือ 50 , 51, 52 120 = 23 × 31 × 51 มีจํานวนเต็มบวกที่หารลงตัว 16 จํานวน (4x2x2) คือ 20 × 30 × 50 | 20 × 30 × 51 | 20 × 31 × 50 | 20 × 31 × 51 21 × 30 × 50 | 21 × 30 × 51 | 21 × 31 × 50 | 21 × 31 × 51 22 × 30 × 50 | 22 × 30 × 51 | … | 23 × 31 × 51 แบบฝึกหัด 16.4 (45) จุด 6 จุด ไม่มี 3 จุดใดที่อยู่ในแนวเดียวกันเลย จะสร้างเส้นตรงได้กี่เส้น และสร้างรูปเหลี่ยม ใดๆ ได้กี่รูป (46) จุด 7 จุด มี 4 จุดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน และอีก 3 จุดก็อยู่ในแนวเส้นตรงเช่นกัน จะ สามารถลากเส้นตรงได้กี่แบบ และสร้างสามเหลี่ยมได้กี่รูป (47) รูปหกเหลี่ยม มีจุดยอด 6 จุด จุดกึ่งกลางด้านอีก 6 จุด จะลากเส้นเชื่อมจุดได้กี่เส้น (48) รูป 20 เหลี่ยมด้านเท่า มีเส้นทแยงมุมกี่เส้น (49) เส้นตรง 5 เส้นไม่ขนานกัน กับวงกลมรัศมีต่างๆ กัน 4 วง จะเกิดจุดตัดมากที่สุดเท่าใด (50) เส้นขนานชุดหนึ่งมี 6 เส้น อีกชุดมี 3 เส้น ตัดกันจะเกิดสี่เหลี่ยมด้านขนานกี่รูป Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 341 (51) [พื้นฐานวิศวะ '39] รูปที่กําหนดให้นี้ มีรูปสี่เหลี่ยมอยู่ทั้งหมดกี่รูป (52) มีบอล 6 ลูกซึ่งเหมือนกัน แบ่งให้ นาย ก และ ข จะแบ่งได้กี่วิธี หากกําหนดว่า (52.1) แต่ละคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 ลูก (52.2) บางคนอาจไม่ได้รับ (53) มีบอล 6 ลูกซึ่งเหมือนกัน แบ่งออกเป็น 2 กอง จะแบ่งได้กี่วิธี หากแต่ละกองต้องมีอย่างน้อย 1 ลูก เทียบผลกับข้อ (52.1) (54) ลูกอมแบบเดียวกัน 7 เม็ด แบ่งให้เด็ก 4 คน ได้กี่วิธี (54.1) แต่ละคนได้อย่างน้อย 1 เม็ด (54.2) แบ่งอย่างไรก็ได้ (55) ลูกอมแบบเดียวกัน 7 เม็ด แบ่งเป็น 4 กอง ได้กี่วิธี ถ้าแต่ละกองต้องมีอย่างน้อย 1 เม็ด เทียบผลกับข้อ (54.1) (56) มีจํานวนเต็มบวกที่หาร 100,000 ลงตัวกี่จํานวน (57) มีจํานวนที่หาร 120 ลงตัว กี่จํานวน (จํานวนเต็มบวก, เต็มลบ) (58) มีจํานวนที่หาร xayb ลงตัวกี่จํานวน ถ้า x, y เป็นจํานวนเฉพาะ 16.5 ทฤษฎีบททวินาม สามเหลี่ยมของปาสคาล 1 (a + b)0 = 1 1 (a + b)1 = a + b 2 2 3 3 2 (a + b) = a + 2ab + b 2 1 2 (a + b) = a + 3a b + 3ab + b 3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 1 1 2 3 4 1 3 6 1 4 1 ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) คือ ทฤษฎีที่กล่าวถึงการกระจายทวินาม เมื่อ a และ b เป็นจํานวนจริง, n และ r เป็นจํานวนนับ โดย 0 < r < n จะได้ (a + b)n = ⎛⎜ 0n ⎞⎟ anb0 + ⎛⎜ n1 ⎞⎟ an − 1b1 + ⎛⎜ 2n ⎞⎟ an − 2b2 + ... + ⎛⎜ nn ⎞⎟ a0bn ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ เรียกพจน์ที่ r+1 เป็นพจน์ทั่วไป ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tr + 1 ⎛n⎞ = ⎜ ⎟ an − rbr ⎝r ⎠ และเรียก ข้อสังเกต 1. จํานวนพจน์ทั้งหมดจะมี n+1 พจน์ คือเริ่มจากสัมประสิทธิ์ ⎛n⎞ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ (a + b)n ⎛n⎞ ⎜r ⎟ ⎝ ⎠ ใดๆ ว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม ถึง ⎛ n⎞ ⎜ n⎟ ⎝ ⎠ กําลังของ a ค่อยๆ ลดลง ในขณะที่กําลังของ b เพิ่มขึ้น และนํากําลังมารวมกันจะได้ n เสมอ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 342 2. สัมประสิทธิ์ทวินามอาจไม่ใช่สัมประสิทธิ์จริงๆ ของพจน์นั้น (หากใน a หรือ b มีสัมประสิทธิ์อยู่อีก) 3. ⎛⎜ 0n ⎞⎟ + ⎛⎜ n1 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2n ⎞⎟ + ... + ⎛⎜ nn ⎞⎟ = 2n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ดังเช่นเคยพบตอนที่หาจํานวนสับเซตทั้งหมด ของเซตที่มีสมาชิก n ตัว แบบฝึกหัด 16.5 (59) จงกระจายโดยอาศัยทฤษฎีบททวินาม (59.1) (a + b)5 (59.2) (2x − 3y)4 (59.3) (1 − 2x + x2)4 (60) จากการกระจาย (3x + 18 ) y จงหา (60.1) พจน์ที่ 4 (60.2) สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์ที่ 6 (60.3) สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์ที่มี x6 (60.4) สัมประสิทธิ์ของพจน์กลาง (61) จากการกระจาย (x2 + 3 12 ) x4 จงหา (61.1) พจน์ที่ 6 (61.2) สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์ที่ 6 (61.3) สัมประสิทธิ์ของ x6 (61.4) พจน์ที่ไม่มีตัวแปร x (62) จงหาค่าโดยประมาณของ (2.001)7 โดยบอกทศนิยม 6 ตําแหน่ง [ Hint : (2 + 0.001)7 ] * (63) จากการกระจาย (2x + 3y)7 จงหา (63.1) ผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินามของทุกพจน์ (63.2) ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์ โจทย์ทบทวนเรื่องเทคนิคการนับ (64) หาจํานวนวิธีในการแบ่งหนังสือ 12 เล่มต่างๆ กัน ออกเป็นกองๆ 3 กอง (64.1) กองละ 3, 4, 5 เล่ม (64.2) ทุกกองจํานวนเท่ากัน (65) หนังสือ 9 เล่ม แบ่งให้นาย ก, ข, ค ได้กี่วิธี ถ้าหาก (65.1) คนหนึ่งได้ 2 เล่ม อีกคนได้ 3 เล่ม อีกคนได้ 4 เล่ม (65.2) คนหนึ่งได้ 5 เล่ม อีก 2 คนได้เท่ากัน (65.3) หนังสือทั้ง 9 เล่มเหมือนกันหมด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 343 (66) เด็กคนหนึ่งมีบอลต่างๆ กัน 10 ลูก จะแบ่งเป็น 5 กอง โดยมี 3 กองที่กองละ 2 ลูก และอีก 2 กองมีกองละลูก ได้กี่วิธี (67) เด็กคนหนึ่งมีบอลต่างๆ กัน 10 ลูก จะแบ่งให้เพื่อน 5 คน โดยมี 3 คนได้คนละ 2 ลูก และ อีก 2 คนได้คนละลูก ได้กี่วิธี (68) แบ่งชาย 5 คน หญิง 3 คน เข้าพักในห้อง 3 ห้องที่มีขนาด 3, 3, 2 คน (ห้องต่างกัน) จงหา จํานวนวิธีแบ่ง เมื่อ (68.1) ใครอยู่ห้องไหนก็ได้ (68.2) ผู้หญิง 3 คนต้องอยู่ดว้ ยกัน (68.3) ผู้หญิง 3 คนต้องอยู่คนละห้องกัน (69) จงหาจํานวนวิธีแบ่งพนักงาน 6 คนเป็น 3 กลุ่ม (กลุ่มละกี่คนก็ได้) เพื่อไปทํางาน 3 อย่าง (69.1) ที่แตกต่างกัน (69.2) ที่เหมือนกัน (70) ครูมีหนังสือ 8 เล่มที่ต่างกัน จะแบ่งให้เด็ก 3 คน อย่างน้อยคนละเล่ม ได้กี่วิธี (71) นักเรียน 12 คน ในจํานวนนี้มีนาย ก, ข, ค ด้วย แบ่งเป็น 3 กลุ่ม เท่าๆ กัน จะแบ่งได้กี่วิธี ถ้า (71.1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม (71.2) นาย ก, ข, ค อยู่ด้วยกัน (71.3) นาย ก, ข, ค อยู่แยกกันหมด (72) เด็กคนหนึ่งมีลูกแก้วเหมือนกัน 12 ลูก ต้องการแบ่งให้เพื่อน 3 คน จงหาจํานวนวิธี เมื่อ (72.1) แต่ละคนได้อย่างน้อย 1 ลูก (72.2) แต่ละคนได้อย่างน้อย 2 ลูก (72.3) อาจมีบางคนไม่ได้รับเลย (73) จดหมายเหมือนกัน 9 ฉบับ ต้องการใส่ตู้ไปรษณีย์ 5 ตู้ จะมีกี่วิธี เมื่อ (73.1) ทุกตู้ต้องมีจดหมาย (73.2) ใส่เพียง 3 ตู้เท่านั้น (74) ชายคนหนึ่งประกอบรถยนต์จําหน่าย เขามีตัวถังรถ 4 ชนิด เครื่องยนต์ 2 ชนิด สีพ่นรถ 5 สี เขาจะผลิตรถยนต์ต่างๆ กันได้กี่แบบ (75) ผู้ตรวจงานจะต้องตรวจเครื่องจักร 6 เครื่องทุกวัน เขาพยายามเปลี่ยนลําดับก่อนหลังในการ ตรวจ เพื่อไม่ให้พนักงานรู้ตัว จงหาวิธีทั้งหมดที่จะใช้ได้ (76) สารเคมีชนิดหนึ่งเกิดจากสาร 5 ชนิดผสมกัน โดยเทสารผสมทีละอย่าง จงหาว่ามีวิธีผสมกี่วิธี ถ้าสมมติว่าเทสารใดก่อนหลังก็ได้ (77) ในการจัดแถวเด็กชาย 5 คน ซึ่งมี ด.ช.บอย รวมอยู่ด้วย และมีเด็กหญิงอีก 5 คน จงคํานวณ วิธีจัด ถ้า (77.1) ด.ช.บอย ต้องยืนหัวแถวเสมอ (77.2) ด.ช.บอยยืนหัวแถว และสลับชายหญิง (78) เซต A = { 3, 4, 5 } จงหาว่ามีเลขกี่จํานวนซึ่งประกอบด้วยเลขจากเซต (78.1) มีค่าน้อยกว่า 500 (78.2) มีค่าน้อยกว่า 500 และเป็นจํานวนคู่ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) A และ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 344 (79) มีกี่จํานวนที่ประกอบจากเลข 2, 4, 6, 8 (ใช้ได้เพียงตัวละครั้ง) แล้วมีค่ามากกว่า 999 (80) นําอักษรในคําว่า SPECTRUM มาเรียงเป็นคําที่มี 4 อักษร โดยอักษรในคําไม่ซ้ํากัน (80.1) ได้กี่คํา (80.2) ถ้าตัวสุดท้ายเป็นสระเสมอ ได้กี่คํา (81) จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดนักเรียน 6 คน นั่งล้อมรอบโต๊ะกลม โดยที่นาย ก และ ข ซึ่งอยู่ ในจํานวน 6 คนนั้น จะต้องนั่งติดกันเสมอ (82) มีจุด 10 จุดบนเส้นรอบวงกลม จะสร้างหกเหลี่ยมได้กี่รูป (83) มีจํานวนบวก 6 จํานวน, จํานวนลบ 8 จํานวน, ถ้าเลือกมา 4 จํานวนโดยการสุ่ม จงหาจํานวน วิธีที่เลข 4 จํานวนนั้นคูณกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็นบวก (84) มีหนังสือบนชั้น 12 เล่ม จงหาจํานวนวิธีแบ่งหนังสือให้นาย ก 4 เล่ม และนาย ข 3 เล่ม (85) ตะกร้าใบหนึ่งบรรจุบอลสีแดง 5 ลูก ขาว 4 ลูก ถ้าหยิบมา 3 ลูก จะมีกี่วิธีที่บอล 3 ลูกนั้นมี สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก เมื่อ (85.1) หยิบออกมาทีละลูก โดยไม่ใส่คืน (85.2) หยิบพร้อมกันทั้ง 3 ลูก (86) จงหาจํานวนวิธีเลือกไพ่ 4 ใบจากไพ่สํารับหนึ่ง แล้วได้ A, K, Q, J โดยที่ไพ่เหล่านี้ (86.1) มาจากชุดต่างกันหมด (86.2) มาจากชุดเดียวกันหมด (86.3) มาจากชุดใดก็ได้ หมายเหตุ ชุดของไพ่ มี 4 ชุด (ดอก) และ ชนิดของไพ่ มี 13 ชนิด (เลข) (87) แจกไพ่ทีละ 5 ใบ จงหาจํานวนวิธีทั้งหมด ที่ไพ่ในมือหนึ่งจะเป็นชุดเดียวกันทั้ง 5 ใบ (88) หาวิธีที่ไพ่ในมือหนึ่งมีโพดํา 5 ใบ โพแดง 5 ใบ และ ข้าวหลามตัด 5 ใบ (89) หาวิธีที่ไพ่ในมือหนึ่งซึ่งมี 5 ใบ จะมีชนิดเดียวกัน 3 ใบ และอีกชนิด 2 ใบ เช่น AAA22 (90) หาวิธีที่ไพ่ในมือหนึ่งซึ่งมี 5 ใบ จะมีชนิดเดียวกัน 2 ใบ อีกชนิด 2 ใบ และอีกชนิด 1 ใบ เช่น AA223 (91) ชาย 5 คน หญิง 5 คน ถ่ายรูปร่วมกัน โดยผู้ชายยืนแถวหลัง ผู้หญิงนั่งแถวหน้า ได้กี่แบบ (92) จงหาจํานวนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ จากการยิงปืน 10 นัดไปยังเป้าที่แบ่งเป็น 5 ส่วน (93) ทีมฟุตบอล 10 ทีม จัดประกบคู่กัน 5 คู่ โดยแข่งวันละคู่ จะมีการจัดที่เป็นไปได้กี่แบบ (94) ระบายสี 6 สีบนลูกเต๋า ด้านละสี ได้กี่แบบ (95) ระบายสี 5 สีบนลูกเต๋า ด้านละสี โดยไม่ให้สีเดียวกันอยู่ติดกัน ได้กี่แบบ (96) ระบายสีบนลูกบาศก์หน้าเกลี้ยง ด้านละสี ได้กี่แบบ ถ้า (96.1) ระบาย 6 สี (96.2) ระบาย 5 สี โดยสีเดียวกันต้องไม่อยู่ติดกัน (96.3) ระบาย 4 สี โดยสีเดียวกันต้องไม่อยู่ติดกัน (97) นาย ก และ ข อยู่ในหมู่ 7 คน จงหาวิธจี ัด 7 คนนั่งล้อมวง โดยไม่ให้ 2 คนนี้อยู่ติดกัน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 345 (98) จํานวนเต็มบวกที่หาร 25,000,000 ลงตัว มีกี่จํานวน B (99) เส้นทางการเดินทางจากเมือง A ไป B เป็นดังรูป ถ้า ไปได้ทางทิศเหนือกับตะวันออกเท่านั้น จะไปได้กี่เส้นทาง และหากต้องแวะเติมน้ํามันที่จุด F ด้วย จะเหลือกี่เส้นทาง (100) คณะผู้แทนไทย 25 คนไปเยี่ยมประเทศจีน และมี เจ้าภาพมาต้อนรับ 15 คน ถ้าผู้แทนทุกคนต้องทักทาย เจ้าภาพให้ครบทุกคนด้วย จะมีการทักทายเกิดขึ้นทั้งหมดกี่ครั้ง N F A (101) ในงานเลี้ยงศิษย์เก่า มีผู้ไปงาน 150 คน ถ้าทุกคนทักทายกันและกัน จะมีการทักทายกี่ครั้ง (102) มีกี่จํานวนที่สร้างจาก 0 0 1 1 2 3 3 แล้วมีค่าเกิน 1 ล้าน (103) จัดคน 5 คน เข้าพักในห้อง 3 ห้องต่างๆ กัน ซึ่งจุห้องละ 2 คน ได้ทั้งหมดกี่วิธี (104) แบ่งนักเรียน ชาย 3 คน หญิง 5 คน ออกเป็น 2 กลุ่มเท่ากัน เป็นกลุ่ม A และ B โดยแต่ ละกลุ่มต้องมีผู้ชายอยู่ด้วย ได้กี่แบบ (105) ชาย 5 คน หญิง 5 คน ยืนสลับกันในแถวตรง โดยนาย ก กับนางสาว ข ต้องอยู่ติดกันเสมอ ได้กี่แบบ (106) นักเรียน 10 คน เรียงแถวเป็นวงกลม โดยมี 1 คนอยู่กลางวง ได้กี่แบบ (107) แจกของเล่น 5 ชิ้นต่างๆ กัน ให้เด็ก 3 คน (ทุกคนต้องได้อย่างน้อย 1 ชิ้น) ได้กี่วิธี (108) แบ่งทอฟฟี่ 5 ชนิด ชนิดละ 2 เม็ด ให้เด็ก 2 คน คนละ 5 เม็ด ได้กี่แบบ (109) บ้านพักมี 5 ห้อง เป็นห้องคู่ 3 ห้อง และห้องเดี่ยว 2 ห้อง สามารถจัดคน 8 คนเข้าพักโดย ในจํานวนนี้มีสามีภรรยาคู่หนึ่งต้องพักด้วยกัน ได้ทั้งหมดกี่วิธี (110) ลูกเต๋า 2 ลูกที่ต่างกัน นํามาวางประกบกันได้ทั้งหมดกี่แบบ (111) นาย ก และนาย ข เข้าไปจอดรถในที่จอดซึ่งเป็นแถวยาว จอดได้ n คัน โดย ก และ ข ต้อง จอดห่างกันเว้น 1 ช่อง สามารถทําได้กี่แบบ (ขณะนั้นไม่มีรถคันอื่นอยู่เลย) * (112) กําหนด A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7} ถ้าให้ C = { E | E ⊂ A และ E ∩ B ≠ ∅ } จงหาจํานวนสมาชิกของเซต C * (113) A = {1, 2, 3, 4} (113.1) มีความสัมพันธ์ภายใน A ทั้งหมดกี่แบบ (113.2) มีความสัมพันธ์ภายใน A ที่มี A เป็นโดเมน ทั้งหมดกี่แบบ (113.3) มีฟังก์ชันจาก A ไป A ทั้งหมดกี่แบบ (113.4) มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก A ไปทั่วถึง A ทั้งหมดกี่แบบ 16.6 ความน่าจะเป็น การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือการกระทําที่เราไม่สามารถบอกได้ว่าแต่ละครั้ง จะเกิด ผลลัพธ์ (Outcome) อะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้างที่เป็นไปได้ เซตของ “ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด” เรียกว่า ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space; S) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 346 และเซตของ “ผลลัพธ์ใดๆ ที่เราสนใจ” เรียกว่า เหตุการณ์ (Event; E) ดังนั้น E ⊂ S ตัวอยาง การทดลองสุม โยนเหรียญ 1 อัน 3 ครัง้ มีผลลัพธที่เปนไปไดตางๆ กัน 8 แบบ ดังนั้น ปริภูมิตัวอยาง S = { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT } มีเหตุการณ E ⊂ S ที่เปนไปได 2 = 256 แบบ เชน E = ออกหัวเกิน 1 ครั้ง = { HHH, HHT, HTH, THH } S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ÃaÇa§ÊaºÊ¹ÃaËÇÒ§¤íÒÇÒ e˵u¡Òó ¡aº¤íÒÇÒ E = ออกอยางใดอยางหนึ่งลวน = { HHH, TTT } ¼ÅÅa¾¸ ¹a¤Ãaº µo§¤i´ãËÃoº¤oºÇÒo¨·Â E = ออกกอยในครั้งที่สอง = { HTH, HTT, TTH, TTT } ¶ÒÁoaäà E = ออกหัวและกอยเทาๆ กัน = ∅ 8 1 2 3 4 ความน่าจะเป็น (Probability) ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ จะหาได้เฉพาะเหตุการณ์ที่เป็นการทดลองสุ่มซึ่งโอกาสเกิดแต่ละผลลัพธ์มีค่าเท่าๆ กันเท่านั้น โดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ใช้สัญลักษณ์ P (A) จะคํานวณได้จาก P (A) = n(A) n(S) เมื่อ n(A) คือจํานวนผลลัพธ์ที่อยู่ใน A และ n(S) คือจํานวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ สมบัติของความน่าจะเป็น 1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น 0 < P (A) < 1 P (∅) = 0 โดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีผลลัพธ์เลย มีค่าเป็น 0 P (S) = 1 และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์ได้ทุกแบบ มีค่าเป็น 1 2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ รวมกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหลือ (ที่เราไม่ P (A) = 1 − P (A ') สนใจ) จะได้ 1 เสมอ 3. ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ หาได้จาก P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ซึ่งจากสมบัติข้อ 2 และ 3 ทําให้เราสามารถใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ช่วยคํานวณได้ หมายเหตุ ความหมายของ A ∩ B ก็คือเหตุการณ์ “A และ B” (เกิดขึ้นครบทั้งสองอย่าง) ส่วน A ∪ B ก็คือเหตุการณ์ “A หรือ B” (เกิดขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่างก็ได้) หากเหตุการณ์สองเหตุการณ์ มีลักษณะดังนี้ A ∩ B = ∅ เราจะเรียกเหตุการณ์ A และ B ว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน (Mutually Exclusive) (หรือ Disjoint) และจะทําให้ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) แต่หากเหตุการณ์สองเหตุการณ์มีลักษณะดังนี้ P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) เราจะเรียกเหตุการณ์ A และ B ว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกัน หรือ อิสระจากกัน (Independent) และจะทําให้ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A) ⋅ P (B) แบบฝึกหัด 16.6 (114) โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน สนใจผลรวมแต้มของลูกเต๋า จงหาปริภูมิตัวอย่าง (115) ผลลัพธ์ของหน้าลูกเต๋าสองลูก (ลูกเต๋าไม่ต่างกัน) ที่โยนพร้อมๆ กัน มีกี่แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 347 (116) โยนเหรียญ 1 อัน และสนใจหน้าเหรียญที่หงายขึ้น จะมีเหตุการณ์กี่แบบ อะไรบ้าง (117) ถ้า P (A) = จงหา P (A ∪ B) , 0.48 , P (B) = 0.32 , และ P (A ∩ B) = P (A − B) , P (A ') , และ P (B ') (118) ถ้า P (A) = 0.4 , P (B) = 0.55 , และ P (A ∩ B) = (118.1) เหตุการณ์ A และ B (118.2) เหตุการณ์ A หรือ B (118.3) เหตุการณ์ที่ไม่ใช่ทั้ง A และ B 0.25 0.15 จงหาความน่าจะเป็นของ (119) [Ent’39] ความน่าจะเป็นที่สมศักดิ์จะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ และเคมี เป็น ตามลําดับ ถ้าความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านทั้งสองวิชา เป็น (119.1) P {ผ่านอย่างน้อย 1 วิชา} (119.2) P {ผ่านเพียงวิชาเดียว} (119.3) P {ไม่ผ่านทั้ง 2 วิชา} 1 4 2 3 และ 4 9 จงหา (120) [Ent’39] ลูกเต๋าลูกหนึ่ง ถูกถ่วงน้ําหนักให้แต้มคู่แต่ละหน้ามีโอกาสเกิดเป็น 2 เท่าของแต้มคี่ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ในการโยนแต่ละครั้ง (120.1) ได้แต้มคู่ (120.2) ได้แต้มคี่ (120.3) ได้จํานวนเฉพาะ (120.4) ได้แต้ม 1 หรือแต้มคู่ (121) โยนลูกเต๋าที่แตกต่างกัน 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (121.1) ผลรวมแต้มได้ 8 (121.2) ผลรวมแต้มเป็นจํานวนเฉพาะ (121.3) ผลรวมแต้มเป็นจํานวนคู่ (122) ถ้าสลับอักษรในคําว่า STATISTICS อย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่คําที่ได้นั้นจะ (122.1) มีตัว T ติดกัน 3 ตัว (122.2) มีตัว T ติดกัน 2 ตัว (123) กล่องใส่ลูกบอลสองใบ ใบแรกมีบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 3 ลูก และกล่องที่สองมีบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 4 ลูก ถ้าสุ่มหยิบบอลอย่างสุ่มออกมากล่องละ 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ (123.1) ได้สีแดงทั้ง 4 ลูก (123.2) ได้สีขาวทั้ง 4 ลูก (123.3) ได้สีแดงอย่างน้อย 1 ลูก (123.4) ได้สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก (123.5) ได้สีละ 2 ลูก (124) [Ent’38] ในการประกวดร้องเพลงครั้งหนึ่ง มีผู้เข้ารอบ 3 คน แต่ละคนต้องสุ่มเลือกเพลงที่จะ ร้อง 1 เพลง จากเพลงบังคับที่มีอยู่ 5 เพลง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ (124.1) เลือกร้องเพลงเดียวกันทั้ง 3 คน (124.2) เลือกร้องเพลงเดียวกันเพียง 2 คน (124.3) มีคนร้องเพลงซ้ํากัน (124.4) ไม่มีคนร้องเพลงซ้ํากัน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 348 (125) [Ent’37] มีเลข 9 จํานวน ซึ่งเป็นบวก 6 จํานวน ลบ 2 จํานวน และศูนย์ 1 จํานวน ใน จํานวนบวกมีเลขคู่กับคี่เท่าๆ กัน ในจํานวนลบก็เช่นกัน ถ้าสุ่มเลขดังกล่าวมา 4 จํานวน จงหา (125.1) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน เป็นศูนย์} (125.2) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน มากกว่าศูนย์} (125.3) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน น้อยกว่าศูนย์} (125.4) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน มากกว่าศูนย์และเป็นจํานวนคู่} (125.5) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน น้อยกว่าศูนย์และเป็นจํานวนคี่} (126) นักเรียน ม.4, 5, 6 ส่งตัวแทนชายหญิงมาชั้นละคู่ หากสุ่มเลือกตัวแทนออกมา 2 คน ความ น่าจะเป็นที่จะได้ชายและหญิงที่มาจากชั้นต่างกัน เป็นเท่าใด (127) ครูมีหนังสือเรียน 5 วิชา วิชาละ 2 เล่ม (ที่เหมือนกัน) นํามาแบ่งให้นักเรียน 2 คน คนละ 5 เล่มอย่างสุ่ม ให้หาความน่าจะเป็นที่นักเรียนแต่ละคนจะได้หนังสือครบทุกวิชา (128) จากการกระจาย (4a + 5b)8 ถ้าสุ่มหยิบสัมประสิทธิ์ทวินามออกมา 2 จํานวน ให้หาความ น่าจะเป็นที่จํานวนทั้งสองจะมีค่าไม่เท่ากัน (129) กล่องใบหนึ่งมีสลากตัวเลขจํานวนเต็มที่ไม่ซ้ํากัน ทุกใบเป็นจํานวนที่หารด้วย 4 หรือ 6 ลงตัว และมีค่ามากกว่า 10 แต่ไม่เกิน 100 หากสุ่มหยิบสลากออกมา 1 ใบ ให้คํานวณหาโอกาสที่ตัวเลข นั้นจะหารด้วย 4 ไม่ลงตัว หรือหารด้วย 6 ไม่ลงตัว (130) กําหนดเมตริกซ์ ⎡k − 4 1 ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣ k k −6⎦ และเซต B = { x ∈ I | x2 < 21x } สุ่มสมาชิกจาก B มา 1 ตัว เพื่อแทนค่า k ในเมตริกซ์ A จงหาโอกาสที่ A จะเป็นนอนซิงกูลาร์เมตริกซ์ (131) ตารางขนาด 12 ช่องนี้ ถูกทาสีลงไปตามลําดับทีละช่องอย่างสุ่ม โดยการโยนเหรียญ คือถ้าเหรียญออกหัวจะทาสีแดง และถ้าออกก้อยจะ ทาสีเขียว ทําเช่นนี้จนครบทุกช่อง จงหาความน่าจะเป็นที่ช่อง A, B, C, D จะเป็นสีแดงหมดทั้งสี่ช่อง A B C D (132) สลากเลข 1 ถึง 4 อยู่ในกล่อง สุ่มหยิบขึ้นมาทีละใบจนครบทุกใบ ให้หาความน่าจะเป็นที่จะได้ เลขเรียงจากน้อยไปมากพอดี (ลองคิดทั้งแบบการนับ และแบบความน่าจะเป็นคูณกัน) (133) ในโรงพยาบาลมีผู้ป่วยโรคหืดหรือหอบ 60% เป็นหืด 41% เป็นหอบ 28% ถ้าสุ่มเลือกผู้ป่วย มา 1 คน ให้หาความน่าจะเป็นที่คนไข้คนนี้จะเป็นโรคหืดเพียงอย่างเดียว เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (15) 6 ! 2 ! , 7 !− 6! 2 ! (1) 18 (2) 125 (3) 72 5 7 (16) 24, 12 (17) 5! × P6,4 (4) 7 ! (5) 15 (6) 2 4 (7) (5×5) + (5×5) (8) 100, (18) 4 ! × 2 (19) 6 ! 48, 43, 30 (9) 140 (20) 5! ×P6,4 , 4 ! 5! , 5! ×P5,4 , (10) 720, 1/28, 24, 210 11! (11) 3 (12) 5 (13) 4 ! , 4×5! ×P5,3 (21) 4 ! 4 ! 2 ! P4,2+P4,3 +P4,4 = 60 (14) 5! , 5! 2! (22) (24) 6! (23) 3 ! 4 ! ×1 2× 2! 2! 7! 3! (25) (2×4× ) + P5,3 4! 3! 2! Math E-Book Release 2.2 (26) 3! (27) 3! 2 (28) 2! 3! (29) 2 × 5! 6 ! (30) 2 ! 4 ! (31) 4 ! × P5,4 (32) 8 (33) ( ) 10 3 (34) ( ) (35) ( ) , 6 3 16 8 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 10 ⎞ , ⎛ 6 ⎞ ⎛ 10 ⎞ + ⎛ 6 ⎞ ⎛ 10 ⎞ , ⎜ 2 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜5⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜6⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 16 ⎞ − ⎛ 6 ⎞ ⎛ 10 ⎞ − ⎛ 10 ⎞ ⎜ 8 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 349 ⎛6⎞ ⎛5⎞ ⎞ + (37) ⎛⎜ 23 ⎞⎟ ⎛⎜ 18 ⎜2 ⎟ ⎜2⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 2 ⎠ ⎛ 13 ⎞ + ⎛ 13 ⎞ + ⎛ 13 ⎞ (39) ⎜6⎟ ⎜5⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎜ 3⎟ ⎜ 1 ⎟ (74) 40 (75) 6 ! (76) 5 ! ⎝ ⎠⎝ ⎠ (77) 9 ! , 5! 4 ! (78) 30, 10 (79) 4 ! 5 4 ⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5! (38) ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 2 ⎟ P8, 4 , 7×6×5×2 (80) (81) 2 ! 4 ! ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎞ ÷ 4 → 12 ⎞ (40) 20 + 36 + 480 + 360 (41) ⎛⎜ 10 ⎟ (83) ⎛⎜ 64 ⎞⎟ + ⎛⎜ 62 ⎞⎟ ⎛⎜ 82 ⎞⎟ + ⎛⎜ 84 ⎞⎟ (82) ⎛⎜ 10 ⎟ ⎝2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝6⎠ 9! 9! 9! 12 ! (42.2) (43) (42.1) (84) (85.1) 9×8×7 − 5×4×3 4! 3!2! (3 !)3 3 ! (3 !)3 3 ! 4 ! 5! (45) ⎛⎜ 62 ⎞⎟ , ⎛⎜ 63 ⎞⎟ + ⎛⎜ 64 ⎞⎟ + ⎛⎜ 65 ⎞⎟ + ⎛⎜ 66 ⎞⎟ (85.2) ⎛⎜ 93 ⎞⎟ − ⎛⎜ 53 ⎞⎟ (86) 4 ! , 4 , 44 (44) 7 ! 3!2!2! ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 7⎞ ⎛ 4⎞ 7 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 13 ⎛ ⎞ × 4 (88) ⎛ 13 ⎞ (46) ⎜ 2 ⎟ −⎜ 2 ⎟ + 1−⎜ 2 ⎟ + 1 , ⎜ 3 ⎟ −⎜ 3 ⎟ −⎜ 3 ⎟ (87) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠ 12 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 20 ⎞ ⎛ ⎛ (47) ⎜ 2 ⎟ −6 ⎜ 2 ⎟ +6 (48) ⎜ 2 ⎟ −20 (89) ⎛⎜ 131 ⎞⎟ ⎛⎜ 43 ⎞⎟ ⎛⎜ 121 ⎞⎟ ⎛⎜ 24 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 11⎞ ⎛ 4 ⎞ (49) ⎛⎜ 52 ⎞⎟ +2 ⎛⎜ 24 ⎞⎟ +2 ⎛⎜ 51 ⎞⎟ ⎛⎜ 41 ⎞⎟ (50) ⎛⎜ 62 ⎞⎟ ⎛⎜ 23 ⎞⎟ (90) ⎜ 13 (91) 5! 5! ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ (51) ⎛⎜ 52 ⎞⎟ ⎛⎜ 23 ⎞⎟ + ⎛⎜ 23 ⎞⎟ ⎛⎜ 24 ⎞⎟ −⎛⎜ 23 ⎞⎟ ⎛⎜ 23 ⎞⎟ (52) ⎛⎜ 51 ⎞⎟ , ⎛⎜ 71 ⎞⎟ (92) 610 (93) 10 !5 (94) 6 ! ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2 !) 6 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ (53) 3 (54) ⎜ 3 ⎟ , ⎜ 3 ⎟ (55) 3 (56) 36 (95) ⎛⎜ 51 ⎞⎟ ⎛⎜ 31 ⎞⎟ 4 ! (96) ⎛⎜ 51 ⎞⎟ 3 ! , ⎛⎜ 51 ⎞⎟ 3 ! ÷ 2 , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (57) 32 (58) 2 (a+ 1)(b + 1) ⎛ 4⎞ (97) 6!− 2 ! 5! (98) 63 ⎜2⎟ ⎝ ⎠ (59.1) a5+5a4b + 10a3b2+ 10a2b3+5ab4 −56x3+b5 (59.2) 16x4−96x3y +216x2y2−216xy3+81y4 (98) 10 ! , 4 ! × 6 ! (100) 25 × 15 5! 5! 2 ! 2 ! 3 ! 3 ! (59.3) 1−8x +28x2 + 70x4−56x5+28x6−8x7+ x8 ⎞ (101) ⎛⎜ 150 (102) 450 ⎟ 8⎞ 8⎞ 8⎞ ⎛ 5 1 3 ⎛ ⎛ ⎝ 2 ⎠ (60.1) ⎜ 3 ⎟ (3x) ( ) (60.2) ⎜ 5 ⎟ (60.3) ⎜ 2 ⎟ y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5! × 3 ! (104) 60 (103) 3 8 12 1!(2 !)22 ! (60.4) ⎛⎜ 4 ⎞⎟ (34) (61.1) ⎛⎜ 5 ⎞⎟ (x2)7( 4 )5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x (105) 9(4 ! 4 !) × 2 (106) 10 × 8 ! 12 ⎞ 3 12 ⎞ ⎛ ⎛ (61.2) ⎜ 5 ⎟ (61.3) พจน์ที่ 4 → ⎜ 3 ⎟ (3 ) (107) ⎛⎜ 5!2 + 25! ⎞⎟ 3 ! ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1!(2!) 2! (1!) 2! 3 ! ⎠ ⎞ (x2)8( 3 )4 (61.4) พจน์ที่ 5 → ⎛⎜ 12 ⎟ ⎝4⎠ x4 (108) ⎛⎜ 52 ⎞⎟ ⎛⎜ 31 ⎞⎟ + ⎛⎜ 51 ⎞⎟ ⎛⎜ 43 ⎞⎟ + 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 7 7 (62) 128.448673 (63.1) 2 (63.2) 5 (109) 62 ! 2 × 3 (110) ⎛⎜ 61 ⎞⎟ ⎛⎜ 61 ⎞⎟ × 4 (64) 12 ! , 123! (65) 9! 3 ! , ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2 !) (1!) 3 ! 4 ! 5! (4 !) 3 ! 2! 3! 4! 6 3 (111) 2 (n−2) (112) 2 − 2 9! 8! 8 ⎞ (66) ⎛⎜ 10 3 ! , ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎟ 2 3 2 8 (113) 216 , 154 , 44 , 4 ! ⎝ ⎠ 5!(2 !) 2 ! ⎝ ⎠ (2 !) 3 !(1!) 2 ! (114) S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (67) ข้อที่แล้ว × 5 ! (68) 8 ! , 5 ! 2 ! , 5! 3 ! 3 ! 3 ! 2 ! 3 ! 2 ! 1! 2 ! 2 ! (115) 21 แบบ (116) 4 แบบ 6! 6! 6! ⎞ E1 = ∅ , E2 = { H} , E3 = { T } , ⎛ คื อ + + (69.1) ⎜ 2 ⎟ × 3! 3 ⎝ (1!) 2! 4 ! 1! 2 ! 3 ! (2!) 3 ! ⎠ E4 = { H, T } (117) 0.55, 0.23, 0.52, 0.68 (69.2) เหมือนข้อที่แล้ว แต่ไม่ตอ้ งคูณ 3 ! (118) 0.15, 0.8, 0.2 (70) ⎛⎜ 28 ! + 8 ! + 8 ! + 28 ! + 8 ! 2 ⎞⎟ 3 ! (119) 31/36, 11/18, 5/36 ⎝ (1!) 2 ! 6 ! 1! 2 ! 5 ! 1! 3 ! 4 ! (2 !) 2 ! 4 ! 2 !(3 !) 2 ! ⎠ (120) 2/3, 1/3, 4/9, 7/9 9! 9! (71) 123! , , 3 ! (121) 5/36, 15/36, 18/36 (4 !) 3 ! (4 !)22 ! 1! (3 !)3 3 ! (36) (72) ⎛ 11⎞ , ⎛ 8 ⎞ , ⎛ 14 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (73) ⎛8⎞ , ⎛5⎞ ⎛8⎞ ⎜ 4⎟ ⎜ 3⎟ ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Math E-Book Release 2.2 (122) 1/15, 7/15 (123) 1/70, 3/35, 32/35, 69/70, 29/70 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 350 (124) 1/25, 12/25, 13/25, 12/25 (125) 4/9, 5/21, 20/63, 5/21, 1/126 (126) 2/5 (127) 1/51 (128) 8/9 (129) 1 – (8/30) (130) 9/10 (131) 1/16 (132) 1/24 (133) 32% เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1) มีการเลือกอยู่ 3 ขั้นตอน (ก ไป ข, ข ไป ค, ค ไป ง) จํานวนวิธีของขัน้ ตอนแรก คือ 3 วิธี ขั้นตอนสอง คือ 2 วิธี และขั้นตอนสามคือ 3 วิธี จึงได้วา่ 3 × 2 × 3 = 18 วิธี (2) มี 3 ขัน้ ตอน คือ - บอลลูกแรกใส่หีบไหนดี (5 วิธ)ี - บอลลูกสองใส่หีบไหนดี (5 วิธ)ี - บอลลูกสามใส่หีบไหนดี (5 วิธ)ี ตอบ 5 × 5 × 5 = 125 วิธี (3) 6 × 4 × 3 = 72 แบบ (4) เอาตัวไหนมาวางหน้าสุด เลือกได้ 7 วิธี ตัวถัดมาเหลือ 6 วิธี เพราะห้ามใช้ตัวซ้าํ ถัดมาก็เหลือ 5, 4, 3 ไปเรื่อยๆ จนถึง 1 ดังนัน้ คําตอบคือ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040 แบบ (5) หยิบสีแดงจากถุงใบแรก ได้ 3 วิธี หยิบจากถุงใบสองได้ 5 วิธี (ถุงใบสองมีสีแดง 3 ลูก แล้ว และมีสดี ํา 2 ลูก) ดังนัน้ 3 × 5 = 15 วิธี (6) มีการตัดสินใจเลือกอยู่ 12 ครั้ง ดังนี้ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4 × 4 × 4 × 4 × ... × 4
ถูก-ผิด = 25 ⋅ 47 = 16,416 ก,ข,ค,ง แบบ (7) คิดแบบแยกกรณี • กรณีแรก คู่ + คี่ = 5 × 5 = 25 • กรณีสอง คี่ + คู่ = 5 × 5 = 25 รวม 50 วิธี หรือคิดแบบไม่ตอ้ งแยกกรณีก็ได้ ดังนี้ ใบแรกเป็นใบไหนก็ได้ = 10 วิธี ไม่ว่าใบแรกจะเป็นเลขใด ใบทีส่ องก็จะเลือกได้ 5 วิธี จึงได้ 10 × 5 = 50 วิธี (8.1) หลักร้อยห้ามเป็นเลข “0” จะเลือกได้ 5 แบบ หลักสิบห้ามซ้าํ กับหลักร้อย จึงเหลือให้เลือก 5 แบบ (รวม 0 ด้วย, ใช้ 1 ถึง 5 ไปแล้วในหลักร้อย 1 ตัว) หลักหน่วย เหลือให้เลือก 4 แบบ จึงได้ 5 × 5 × 4 = 100 จํานวน (8.2) เลือกหลักหน่วย ได้ 3 แบบ หลักร้อย เหลือ 4 แบบ แล้วมาหลักสิบ ก็ 4 แบบ จึงได้ 3 × 4 × 4 = 48 จํานวน (สังเกต ควรคิดจากหลักที่มีเงื่อนไขมากๆ ก่อน) (8.3) • กรณีหลักร้อยเป็น 3 หลักร้อยได้ 1 วิธี คือ 3, หลักสิบได้ 1 วิธีคือ 5 หลักหน่วย 3 วิธี (ต้องไม่เป็น 0 เพราะจะได้ 350) จึงได้ 1 × 1 × 3 = 3 • กรณีหลักร้อยเป็น 4 หรือ 5 หลักร้อยเลือกได้ 2 วิธ,ี หลักสิบกับหลักหน่วยเป็น อะไรก็ได้ จึงได้ 2 × 5 × 4 = 40 ∴ ตอบ 43 จํานวน (นําผลแต่ละกรณีมาบวกกัน) (8.4) ไม่ได้บอกว่าแต่ละหลักห้ามซ้ํากัน! หลักหน่วย ได้ 1 วิธี คือ 0, หลักร้อยได้ 5 วิธี คือ 1 ถึง 5, หลักสิบ เป็นอะไรก็ได้ คือ 6 วิธี จึงได้ 1 × 5 × 6 = 30 (9) • กรณี ช ญ ช 5 × 4 × 4 = 80 • กรณี ญ ช ญ 4 × 5 × 3 = 60 รวม 140 ชุด 10 ! 10 × 9 × 8 × 7 ! (10) = = 720 7! 7! 6! 3! 1 1 4! = = P4, 3 = = 24 4!7! 4⋅7 28 1! 7! P7, 3 = = 7 × 6 × 5 = 210 4! (11) (n + 3)(n + 2) = 30 → n2 + 5n − 24 = 0 → (n + 8)(n − 3) = 0 → n = 3 เท่านัน้ จะทําให้หน้าแฟคทอเรียลติดลบ) (เพราะถ้า n = − 8 (12) 2 (n)(n − 1) + 50 = (2n)(2n − 1) → 50 = 2n2 → n = 5 เท่านัน ้ (13.1) 4 × 3 × 2 × 1 ( = P4, 4) = 24 วิธี (13.2) • ใช้ 2 ชิ้น 4 × 3 ( = P4, 2) = 12 • ใช้ 3 ชิน ้ 4 × 3 × 2 ( = P4, 3) = 24 • ใช้ 4 ชิน ้ P4, 4 = 24 ดังนั้นได้ 60 วิธี (14.1) P5, 5 = 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 (14.2) P5, 3 = 5 × 4 × 3 = 60 (15.1) มอง S กับ T ติดกัน จะเหลืออักษรเพียง 6 ตัว คือ H, O, N, E, ST, Y สลับได้ 6 ! แบบ แต่ในทุกแบบสามารถสลับภายใน ST ได้ 2 ! แบบ ด้วย (คือ ST, TS) ∴ ตอบ 6 ! × 2 ! = 1,440 คํา (15.2) ใช้วิธีลบออก ดังนี้ ST ไม่ติดกัน = วิธีทงั้ หมด - ST ติดกัน = 7 ! − 6 ! 2 ! = 3,600 คํา Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 351 (16) ยืนติดกัน ชายสลับกันเอง 3 ! , หญิงสลับกันเอง และนํามาวางต่อกันได้อีก 2 ! แบบ (คือ ชชชญญ กับ ญญชชช) ∴ ตอบ 3 ! 2 ! 2 ! = 24 วิธี ยืนสลับกัน (22) เลือกสระหน้าสุดได้ 2 แบบ นําตัว T ไปวาง หลังสุดได้ 1 แบบ (ไม่ต้องเลือกเพราะ T ทั้งสามตัว ถือว่าเหมือนกัน) และเหลือตรงกลาง 6 ตัวซึง่ มี T ซ้ํากันอยู่ 2 ตัว จะได้ 2 × 1 × 6 ! = 720 แบบ 3 × 2 × 2 × 1× 1 2! ช ญ ช ญ ช หรือมองเฉพาะชาย 3 ! , หญิง 2 ! ก็ได้ (นํามาต่อกันได้เพียง 1 แบบ คือ ชญชญช) ∴ ตอบ 3 ! 2 ! = 12 วิธี (17) ความนาจะเปน 2! (23) ส พพ ส พพ ส เรียงพยัญชนะสลับกันเอง ได้ 4 ! แบบ เรียงสระได้ 3 ! ← (มี A ซ้ํากัน) 2! 3! = 72 4!× 2! ตอบ แบบ (24) ไม่ว่าจะไปด้วยเส้นทางใด จะต้องมีการขึ้นเหนือ (N) 3 ครั้ง และไปทางตะวันออก (E) 4 ครั้ง ∴ เปรียบเหมือนการสลับลําดับในคําว่า NNNEEEE ∗ ¢o¹Õé¤ÇÃÈÖ¡ÉÒe·¤¹i¤¡Òäi´ãË´Õ ∗ ¼ÙËi§ 4 ¤¹ËÒÁµi´¡a¹ ¨a¤i´æººÊaºËÇÒ§ eËÁ×o¹¢o 16 ตอบ 7 ! = 35 แบบ 3! 4! äÁä´ e¾ÃÒa¡ÒÃËÒÁËi§µi´¡a¹¹aé¹ ªÒµi´¡a¹ä´ ... ËÃ×o¶Ò¨a¤i´ (25) • กรณี 1-1-1 (ไม่ใช้อักษรซ้าํ เลย) 溺ź¡a¹eËÁ×o¹¢o 15.2 ¡çäÁä´ e¾ÃÒaµo§ÅºËÅÒÂ¡Ã³Õ มี A,R,N,G,E → 5 × 4 × 3 = 60 แบบ (P5, 3) æÅa¤íҹdzÂÒ¡ (·a§é ËÁ´ - µi´ 4 ¤¹ - µi´ 3 ¤¹ - µi´ 2 ¤¹) • กรณี 2-1 (ใช้อักษรซ้าํ 1 คู่) เทคนิคการคิด คือ วางผู้ชาย 5 คนเป็นแถวก่อน มีทั้งหมด 8 กรณี ได้แก่ AAR, AAN, AAG, AAE, ได้ 5 4 3 2 1 = 5 ! วิธี RRA, RRN, RRG, RRE (คิดจาก 2x4 ก็ได้) จะมีช่องว่าง 6 ช่อง (นับช่องหน้าสุดและหลังสุดด้วย) ในแต่ละแบบสลับที่ได้ → 3 ! = 3 แบบ 2! จะให้ผหู้ ญิง 4 คน เลือกอยู่กนั คนละช่อง (เพื่อจะได้ ∴ ตอบ 60 + 8 (3) = 84 แบบ ไม่ติดกัน) ได้ 6 × 5 × 4 × 3 (26) = 3 ! = 6 วิธี ได้แก่ ∴ ตอบ 5 ! × P6, 4 = 43,200 วิธี ก ก ก (18) สลับคน 4 คน ได้ 4! แบบ ค ข ง ค ง ง ข้อนีเ้ กิดได้ 2 กรณี คือ อ้ออยูห่ วั / อยู่ท้าย ข ข ค ดังนัน้ คําตอบคือ 4 ! × 2 = 48 แบบ ก ก ก ข ค ค ข ง ข (19) T 6 ตัว E ง ง ค T กับ E สลับไม่ได้ ก็จะเหลือเพียง 6 ตัวที่สลับกันได้ (27) 3 ! (หาร 2 เพราะพลิกด้านได้) = 3 วิธี ดังนัน้ จะได้ 6 ! = 720 คํา 2 A A A (20) คิดเหมือนข้อ 17 คือ ... ได้แก่ B D C D B C (20.1) วางพยัญชนะ 5 ! D B C วางสระ 6 × 5 × 4 × 3 ตอบ 5 ! × P6, 4 คํา (28) ไม่ต้องเลือก (ใครก็ได้ เพศใดก็ได้) (20.2) วางสระ 4 ! 3 ! 2 ! = 24 แบบ วางพยัญชนะ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ตอบ 4 ! 5 ! คํา (สังเกต ใช้ครบทุกช่องพอดี = สับหว่าง) (20.3) พยัญชนะตัวหน้าสุด เลือกได้ 5 แบบ เหลือพยัญชนะกับสระอย่างละ 4 ตัว (29) มี 2 กรณีดังรูป จึงตอบ 5 × 4 ! × 5 × 4 × 3 × 2 = 5 ! × P5, 4 คํา จึงได้ 6 ! 5 ! × 2 (20.4) สระตัวหน้าสุด เลือกได้ 4 แบบ = 172,800 แบบ เหลือพยัญขนะ 5 และสระ 3 ตัว (30) จึงตอบ 4 × 5 ! × 5 × 4 × 3 = 4 × 5 ! × P5, 3 คํา ส ภ 2 ! × 4 ! = 48 แบบ (เราเริ่มเลือกช่องจาก 5 ช่องเท่านั้น เพราะช่องแรก สุดห้ามใช้ มิฉะนั้นสระอาจจะติดกัน) (21) 11! = 34,650 แบบ ∴ 4! 4!2! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 352 (31) วิธีคล้ายข้อ 17 แต่เปลี่ยนเป็นวงกลม วางผู้ชายเป็นวงกลมก่อน = 4 ! วิธี พบว่ามีชอ่ งว่าง 5 ช่อง ผู้หญิงจึงเลือกทีอ่ ยู่ได้ 5 × 4 × 3 × 2 วิธี ∴ ตอบ 4 ! × P5, 4 = 2,880 วิธี ⎛ 18 ⎞ (32) ( 18 r ) = ⎜ r + 2 ⎟ แสดงว่า (40) เลือก ⎝ r + (r + 2) = 18 (33) • กรณี 1-1-1-1 6 a, b, c, d, e, f → ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ สลับ กรณี 2-1-1 เลือก a, b, c, d → ⎛⎜ 41 ⎞⎟ • ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ 4 ! → 360 สลับ 4! → 480 2! สลับ 4! → 20 3! 1 คู่ เดี่ยว 2 ⎠ ∴r = 8 ⎛ 10 ⎞ = 10 ! = 10 × 9 × 8 = 120 ⎜3⎟ ⎝ ⎠ 7! 3! 3×2 ความนาจะเปน กรณี 3-1 เลือก a → ⎛⎜ 11⎞⎟ • แบบ ⎛5⎞ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 สาม เดีย่ ว 1 [เป็น C10, 3 ไม่ใช่ P10, 3 เพราะเราไม่สนใจลําดับการ • กรณี 2-2 สลับกัน, แต่ถา้ ต้องเลือกยืมวันจันทร์ อังคาร พุธ ที เลือก a, b, c, d → ⎛ 4 ⎞ สลับ 4 ! → 36 ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 2!2! ละเล่ม แบบนีล้ ําดับถือว่าสําคัญ ต้องใช้ P10, 3 ] 2 คู ่ (34) สามเหลี่ยมรูปหนึ่งเกิดจากการเลือกจุดมา 3 จุด และแน่นอนว่าไม่คาํ นึงลําดับ เช่น Δ ABC กับ ∴ ตอบ 896 แบบ ⎞ Δ BCA ถือเป็นรูปเดียวกัน (41) จํานวนคูท่ เี่ กิดขึน้ = ⎜⎛ 10 ⎟ = 45 คู่ ⎝2⎠ ดังนัน้ จะได้ ⎛⎜ 63 ⎞⎟ = 6 ! = 20 รูป ∴ ใช้เวลา 12 วัน ⎝ ⎠ 3! 3! 9! = 1,260 วิธี (35.1) ⎛ 16 ⎞ [เลือกทีเดียว 8 คน และไม่มีลําดับ] (42.1) กฎการแบ่งกลุ่ม ⎜8⎟ ⎝ ⎠ (35.2) (42.2) กฎการแบ่งกลุ่ม ⎛ 6 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎜2⎟ × ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ญ ช (35.3) ญ 5 + ญ 6 6 10 6 10 = ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ 6 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (35.4) ใช้วิธีบวกกันจะยาว (ญ2 + ญ3 + ญ4 + ญ5 + ญ6) จึงใช้ วิธที ั้งหมด ลบด้วย ญ1 และลบด้วย ญ0 16 6 10 6 10 = ⎛⎜ 8 ⎞⎟ − ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 7 ⎞⎟ − ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎛⎜ 8 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (36) ⎛6⎞ ⎛5⎞ ⎜2⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 7 ⎞ + ⎛ 13 ⎞ + ⎛ 13 ⎞ ⎜7⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (39) การคิดจะเริ่มจาก “เลือก” แล้วค่อย “สลับ” เลือก ⎛⎜ 31 ⎞⎟ ⎛⎜ 53 ⎞⎟ ⎛⎜ 24 ⎞⎟ → สลับ 1 × 5 ! ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ใหญ่ เล็ก สระ ∴ วิธี จัดกลุ่ม สลับเข้าห้อง หมายเหตุ การสลับเข้าห้องเป็น 2 ! เพราะกลุ่ม ขนาด 3 คนนั้นนําไปใส่เข้าห้องขนาดเล็กไม่ได้) (45) ⎛⎜ 62 ⎞⎟ เส้น, ⎛⎜ 63 ⎞⎟ + ⎛⎜ 64 ⎞⎟ + ⎛⎜ 65 ⎞⎟ + ⎛⎜ 66 ⎞⎟ รูป ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ตอบ ⎛ 3⎞ ⎛5⎞ ⎛ 4⎞ 5 ! ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ รูป ⎛ 12 ⎞ − 6 ⋅ ⎛ 3 ⎞ + 6 ⎜2⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ เส้น (มีแนวเดียวกันอยู่ 6 แนว) ไม่ตอ้ งคิด] หรือถ้ามองอีกคันหนึ่งเป็นหลัก อาจตอบในรูป ⎛ 13 ⎞ + ⎛ 13 ⎞ + ⎛ 13 ⎞ ก็ได้ ⎜7⎟ ⎜8⎟ ⎜9⎟ ⎝ = 1,680 3 !(2 !) ⋅ 2 ! (47) ⎛ 7 ⎞ ⎛8⎞ ⎛9⎞ ⎜ 7 ⎟ , ⎜8⎟ , ⎜9⎟ = 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3! เลือกกลุ่ม (C) สลับประเทศ (P) 7! × 2! (44) 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 7 ⎞ − ⎛ 4⎞ − ⎛ 3⎞ ⎜ 3⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 67 + 58 + 49 [หมายเหตุ × วิธี (สามเหลี่ยม + สี่เหลี่ยม + ห้าเหลี่ยม + หกเหลีย่ ม) (46) ⎜⎛ 27 ⎟⎞ − ⎜⎛ 24 ⎟⎞ + 1 − ⎜⎛ 23 ⎟⎞ + 1 เส้น 3 18 3 18 = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 13 = ⎛⎜ 6 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 9! (3 !)3 ⋅ 3 ! ⎝ ⎠ (37) นักธุรกิจ 2 + นักธุรกิจ 3 (38) (43) 4! 3!2! 9! = 280 (3 !)3 3 ! (48) เลือกจุดสองจุดใดๆ จะสร้างเส้นตรงได้ 1 เส้น แต่ถ้าไปเลือกโดนจุดทีต่ ิดกัน จะเกิดเส้นรอบรูป ไม่ใช่ เส้นทแยงมุม (มีเส้นรอบรูป 20 เส้น) ⎞ ดังนัน้ ตอบ ⎛⎜ 20 2 ⎟ − 20 เส้น (49) ⎝ ⎠ 5 ⎛ ⎞ + 2 ⎛ 4 ⎞ + 2 ⎛5⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜2⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (50) ⎛6⎞ ⎛ 3⎞ ⎜2⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ความนาจะเปน 353 (60.1) รูป (51) คิดด้วยวิธดี ังรูป (คล้ายสูตรในเรือ่ งเซต) = + 4 3 3 5 3 3 = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ − ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 39 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (60.2) - (60.3) รูป (60.4) 1 8 T4 = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ (3x)5( )3 ⎝ ⎠ y ⎛8⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ ⎛8⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ [มาจาก 1 8 T3 = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ (3x)6( )2 ] ⎝ ⎠ y ⎛ 8 ⎞ (34) ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ (52.1) stars&bars 6 : 2 5 → ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 5 วิธี ได้แก่ 5,1 4,2 3,3 2,4 1,5 [สัมประสิทธิ์ ไม่เหมือนกับสัมประสิทธิ์ทวินาม] ⎞ 27 3 5 (61.1) T6 = ⎛⎜ 12 5 ⎟ (x ) ( 4 ) (52.2) stars&bars 8 : 2 (ใส่เผื่อเข้าไป 2 ลูก เพื่อจะดึงออกคนละลูกทีหลัง) 7 → ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 7 วิธี (61.2) ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ได้แก่ 6,0 5,1 4,2 3,3 2,4 1,5 0,6 (53) ต้องใช้วิธนี ับเอาเท่านัน้ (เพราะ stars&bars จะต้องมีคนรอรับของแล้ว) ได้เป็น 5, 1 4, 2 3, 3 → 3 วิธี (54.1) stars&bars 7 : 4 → ⎛⎜ 63 ⎞⎟ = 20 วิธี ⎝ ⎠ x ⎠ ⎛ 12 ⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ (61.3) หาว่าพจน์ใดเป็น x6 ก่อน r โดย Tr = ( 12r ) (x2)12 − r ⎛⎜ 34 ⎞⎟ มองทีก่ ําลังของ x → 2 (12 − r) − 4r = 6 ตอบ สัมประสิทธิ์ ⎝x ⎠ ∴r = 3 12 = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ (33) ⎝ ⎠ x0 → 2 (12 − r) − 4r = 0 ∴ r = 4 (61.4) หาว่าพจน์ใดเป็น ⎞ (34) หมายเหตุ อาจคิดอีกวิธีโดย ตอบ พจน์นนั้ = ⎛⎜ 12 [ไม่มี x ในพจน์น]ี้ ⎟ ⎝4⎠ 1, 1, 1, 4 สลับได้ 4 !/ 3 ! = 4 วิธี (62) (2 + 0.001)7 = ⎛⎜ 07 ⎞⎟ (2)7 + ⎛⎜ 71 ⎞⎟ (2)6(0.001) + 1, 1, 2, 3 สลับได้ 4 !/ 2 ! = 12 วิธี ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1, 2, 2, 2 สลับได้ 4 !/ 3 ! = 4 วิธี รวม = 20 วิธี ⎛ 7 ⎞ (2)5(0.001)2 + ⎛ 7 ⎞ (2)4(0.001)3 + ... ⎜2⎟ ⎜ 3⎟ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (54.2) stars&bars 11 : 4 → ⎛⎜ 10 3 ⎟ = 120 วิธี ⎝ ⎠ (55) 1, 1, 1, 4 1, 1, 2, 3 1, 2, 2, 2 → 3 วิธี (56) 100,000 = 25 ⋅ 55 → ตอบ 6 × 6 = 36 (57) 120 = 23 × 31 × 51 ดังนัน้ จํานวนเต็มบวกมีอยู่ 4 × 2 × 2 = 16 จํานวน ตอบ 32 (เพราะมีจํานวนเต็มลบอีก 16 จํานวน) (58) 2 (a + 1)(b + 1) (คูณ 2 เพราะต้องนับจํานวนลบด้วย) (59.1) ⎛⎜ 50 ⎞⎟ a5b0 + ⎛⎜ 51 ⎞⎟ a4b1 + ⎛⎜ 52 ⎞⎟ a3b2 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 5 ⎞ a2b3 + ⎛ 5 ⎞ a1b4 + ⎛ 5 ⎞ a0b5 ⎜ 4⎟ ⎜5⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ตอบ a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 (59.2) ⎜⎛ 04 ⎟⎞ (2x)4 + ⎜⎛ 41 ⎟⎞ (2x)3(−3y) + ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ (2x)2(−3y)2 + ⎛ 4 ⎞ (2x)(−3y)3 + ⎛ 4 ⎞ (−3y)4 ⎜ 4⎟ ⎜2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ตอบ 16x4 − 96x3y + 216x2y2 − 216xy3 + 81y4 (59.3) ⎡⎣(1 − x)2 ⎤⎦4 = (1 − x)8 2 3 4 5 6 7 = 1 − 8x + 28x − 56x + 70x − 56x + 28x − 8x + x 8 = 128 + 0.448 + 0.000672 + 0.000000560 + ... = 128.448673 (63.1) ⎛ 7 ⎞ + ⎛ 7 ⎞ + ⎛ 7 ⎞ + ⎛ 7 ⎞ + ... + ⎛ 7 ⎞ ⎜7⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 27 = 128 [พิสูจน์ จาก () () () n n n (a + b)n = 0 anb0 + 1 an − 1b1 + ... + n a0bn a = b = 1 จะได้วา่ n n n n 2 = 0 + 1 + 2 + ... + n แทน n () () () () เช่นข้อนี้ ให้ 2x = 1, 3y = 1 ] (63.2) อยากทราบค่าผลบวกสัมประสิทธิ์ ก็ทาํ คล้ายๆ ข้อ 63.1 แต่เราจะแทนเพียง x และ y ด้วย 1 ... ก็จะได้วา่ 7 7 (2 + 3)7 = ⎜⎛ 0 ⎟⎞ (2)7(3)0 + ⎜⎛ 1 ⎟⎞ (2)6(3)1 + ... ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ นั่นคือ ผลบวกสัมประสิทธิ์เท่ากับ (2 + 3)7 = 57 (64-71) ใช้กฎการแบ่งกลุ่ม (แล้วจะคูณการสลับ ลําดับอีกหรือไม่ ก็แล้วแต่สถานการณ์ข้อนั้น) (64.1) 12 ! 3! 4!5! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (64.2) (65.1) (65.2) 12 ! (4 !)3 3 ! 9! × 3 ! (3! 2! 3! 4! 9! × 3! 5 !(2 !)2 2 ! (65.3) stars&bars ความนาจะเปน 354 (72.3) ใส่เพิ่ม 3 ลูกเป็น 15 (แล้วค่อยดึงออกคนละลูกทีหลัง) เกิดจากการสลับให้คน) (73.1) stars&bars (73.2) ⎛8⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎛5⎞ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ × ∴ ได้ ⎛ 14 ⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ วิธี 8 9 : 5 → ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎛8⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ เลือกตู้ stars&bars 9 : 3 (74) 4 × 2 × 5 = 40 (75) 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 ! (76) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 ! (67) นําคําตอบข้อ 66 มาคูณ 5 ! (77.1) บอย 9 คน = 9 ! 8! (77.2) บอย ญชญชญชญชญ = 5 ! 4 ! × 2! (68.1) (3 !)2 2 ! 2 ! (78) การดึงเลขจากเซต ใช้ซา้ํ ได้ จัดกลุ่มคน สลับห้อง และระวัง.. โจทย์ไม่ได้บอกว่าต้องเป็นเลข 3 หลัก (68.2) หญิง 3 คน ไม่ตอ้ งแบ่งกลุ่ม ฉะนั้น มี 3 กรณี ดังนี้ ชาย 5 คน ต้องแบ่งเป็น 3 และ 2 คน (78.1) • 3 หลัก 2 × 3 × 3 = 18 5! (2! เกิดจากการสลับห้อง) × 2! ตอบ • 2 หลัก 3 × 3 = 9 3!2! • 1 หลัก 3 = 3 ตอบ 30 จํานวน (68.3) ชาย 5 คน แบ่งกลุ่มเป็น 2, 2, 1 คน 5! (78.2) 2 × 3 × 1 + 3 × 1 + 1 = 10 จํานวน → × 3! × 2! (2 !)22 ! 1! (79) ประกอบยังไงก็มากกว่า 999 อยู่แล้ว ถ้ามี 4 จัดหญิงลงกลุ่ม สลับห้อง หลัก ... ดังนั้น ตอบ 4 ! (69.1) อาจแบ่ง 6 คน เป็น 1,1,4 หรือ 1,2,3 หรือ (80.1) 8 × 7 × 6 × 5 = P8, 4 หรือ ⎛⎜ 84 ⎞⎟ × 4 ! ก็ได้ 2,2,2 จึงได้วา่ ⎝ ⎠ 6! 6! 6! ⎞ ⎛ 2 × 7 × 6 × 5 (81) 2!× 4! (80.2) ⎜ (1!)22 ! 4 ! + 1! 2 ! 3 ! + (2 !)3 3 ! ⎟ × 3 ! ⎝ ⎠ ตัวสุดท้าย 3 ตัวแรก ก ข จัดกลุ่มคน มอบหมายงาน (69.2) ข้อนี้งานเหมือนกันหมด ⎞ (82) ⎛⎜ 10 ⎟ จึงตอบเหมือนข้อ 69.1 โดยไม่ตอ้ งคูณ 3! ⎝6⎠ (70) หนังสือต่างกัน จึงไม่ใช่ stars&bars (83) มี 3 กรณี คือ แต่ตอ้ งคิดแยกกรณีตรงๆ เหมือนข้อ 69.1 คือ อาจ บวกทั้งหมด, บวก 2 ลบ 2, ลบทั้งหมด แบ่งเป็น 1,1,6 หรือ 1,2,5 หรือ 1,3,4 หรือ 2,2,4 ∴ ตอบ ⎛⎜ 6 ⎞⎟ + ⎛⎜ 6 ⎞⎟ ⎛⎜ 8 ⎞⎟ + ⎛⎜ 8 ⎞⎟ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 4⎠ ∴ ตอบ หรือ 2,3,3 8! 8! 8! 8! 8! (84) 7 แบ่งเป็น 4 (ก) กับ 3 (ข) + + + + × 3! (66) สังเกต จึงต้องได้เป็น ( 2 (1!) 2!6! 2 +2 +2 + 1+ 1 = 8 8! ⎛ 10 ⎞ ⎜8⎟ ⎝ ⎠ (2 !)3 3 !(1!)22 ! 1!2!5! (71.1) แบ่ง (71.2) แบ่ง 1!3!4! 2 (2!) 2!4! ลูกเท่านัน้ 2 2!(3!) 2! ) 12 คน เป็น 4,4,4 จะได้ 123! (4 !) 3 ! 9 คน เป็น 1,4,4 จะได้ 9 !2 1!(4 !) 2 ! (กลุ่มที่มี 1 คน จะถูกเติม ก,ข,ค ลงไปด้วย) (71.3) แบ่ง 9 เป็น 3,3,3 จะได้ 93! × 3 ! (3 !) 3 ! 12 ! ⎛ 12 ⎞ × 7 ! = ⎜7⎟ ⎝ ⎠ 4! 3! 5! 4! 3! หรือมองเป็น 12 แบ่งเป็น 5 (เก็บ), 4 (ก), 3 (ข) ก็ได้ 12 ! เช่นกัน 5! 4! 3! (85.1) วิธที ั้งหมด - วิธที ี่ไม่มีสขี าวเลย = 9×8×7 −5×4×3 (85.2) ⎛⎜ 93 ⎞⎟ − ⎛⎜ 53 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3! เกิดจากการเลือกใส่ ก,ข,ค ลงไปกลุ่มละ 1 คน) ⎞ (86.1) (72.1) stars&bars 12 : 3 → ⎛⎜ 11 2⎟ J ? = 4 ! = 24 วิธี (86.2) ⎛ 4⎞ = 4 ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ (86.3) 4 × 4 × 4 × 4 = 44 = 256 วิธี ⎝ ⎠ (72.2) แจกไปก่อนเลยคนละ 1 ลูก, แล้วจึงคิดแบบ stars&bars 9 : 3 → ⎛8⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ Math E-Book Release 2.2 A ? K ? Q ? วิธี (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 355 ความนาจะเปน [สังเกตความต่างของแต่ละข้อ จะเป็น (96.3) 4 ด้านแรก (2 คู่) เลือกสีทจี่ ะใช้ซ้ํา ได้ ⎛ 4 ⎞ แบบ ⎜2⎟ 4 × 3 × 2 × 1 → 4 × 1× 1× 1 → 4 × 4 × 4 × 4 ] (87) ดอกเดียวกัน 5 ใบ ⎛ 4⎞ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 13 ⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ เลือกดอก เลือกเลข (88) ความหมายของโจทย์คือ ถือไพ่อยู่ 15 ใบ เราต้องเลือกเลขสําหรับแต่ละดอก ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ดังนัน้ ตอบ ⎛⎜ 13 5⎟⎜5⎟⎜5⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ อีก 2 ด้านที่เหลือ ทา 2 สีได้เลย (สลับกันไม่นับ เพราะพลิกด้านได้ เกิดสภาพเดิม) 4 ∴ ตอบ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 6 วิธี ⎛ 12 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (97) วิธที ั้งหมด - สองคนติดกัน = 6 ! − 2 ! 5 ! (98) 25,000,000 = 26 ⋅ 58 สําหรับ 3 ตัวซ้ํา สําหรับ 2 ตัวซ้ํา ดังนัน้ ตอบ 7 × 9 = 63 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ × ⎛ 11⎞ ⎛ 4 ⎞ (90) ⎛⎜ 13 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ (99) จาก A ไปถึง B (N5, E5) → 10 ! เส้นทาง 5!5! สําหรับ 2 คู่ สําหรับ 1 เดี่ยว จาก A ไปถึ ง F (N2E2) และ F ไปถึ ง B (N3E3) ⎞ ไม่ได้นะครับ! หมายเหตุ ใช้ ⎛⎜ 131 ⎞⎟ ⎛⎜ 121 ⎞⎟ แทน ⎛⎜ 13 4 ! 6 ! ⎟ เส้นทาง → × ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝2⎠ 2!2! 3! 3! (91) 5 ! 5 ! [ถ้าโจทย์ถามเส้นทางที่ไม่ผ่าน F, ก็เอาคําตอบที่ได้ลบกัน] (92) 6 × 6 × 6 × ... × 6 = 610 ⎞ (100) 25 × 15 (101) ⎛⎜ 150 ⎟ ⎝ 2 ⎠ [นับแต่ละครั้งเป็น 6 แบบ เพราะมีการยิงไม่โดนด้วย] [สังเกตความแตกต่างของข้อ 100 กับ 101 นะครับ] (93) 105! × 5 ! (2 !) 5 ! (102) ต้องใช้ครบทุกเลข จัดกลุ่ม เลือกวันแข่ง 6! • หลักล้านเป็น 1 หรือ 3 → 2× 2!2! (94) เนื่องจากลูกเต๋ามีหมายเลขกํากับ จึงมองเป็น 6! การจับคู่หมายเลข 1 ถึง 6 เข้ากับสี 6 สี → 6 ! • หลักล้านเป็น 2 → 1 × 2!2!2! (95) เลือกสีที่จะใช้สองครั้ง ได้ 5 วิธี เลือกด้านคูต่ รงข้ามกันเพือ่ ทีจ่ ะทาสีซา้ํ นัน้ ได้ 3 วิธี บวกกัน = 450 หรือคิดจาก วิธที ั้งหมด - วิธที ี่ขนึ้ ด้วย 0 เหลือ 4 ด้าน 4 สี จับคู่กนั ได้ 4 ! 7! 6! 5 × 6! ดังนัน้ จะได้ 5 × 3 × 4 ! = − = = 450 2!2!2! 2!2! (2 !)3 (96) ลูกบาศก์หน้าเกลี้ยง จะคิดต่างจากลูกเต๋า (103) แบ่ง 5 เป็น 2,2,1 เนื่องจากไม่มีหมายเลขประจําด้าน (แต่ละด้านไม่ ต่างกัน) และลูกบาศก์เป็นทรงสามมิติทหี่ มุนได้และ → 52 ! × 3 ! (คูณ 3! = เข้าห้อง) (2 !) 2 ! 1! พลิกด้านได้ ต้องคิดคล้ายการจัดแบบวงกลม ดังนี้ (104) แบ่งชาย 3 คน เป็น 1,2 (96.1) ไม่ตอ้ งนับด้านแรก ใช้สีใดก็ได้ทาด้านใดก็ได้ไปก่อน แบ่งหญิง 5 คน เป็น 3,2 (แล้วชายกับหญิงก็จะรวมกัน 1+3 และ 2+2 คน) ด้านตรงข้าม ดังนัน้ ตอบ 3 ! × 5 ! × 2 ! = 60 เลือกสีได้ 5 แบบ 1! 2 ! 3 ! 2 ! เหลือด้านรอบๆ 4 ด้าน (2! คือ การให้ชอื่ กลุ่ม) สลับสีเป็นวงกลม 3 ! แบบ หรือคิดจาก วิธที ั้งหมด - วิธที ี่ชายอยูก่ ลุ่มเดียวกัน ∴ ตอบ 5 × 3 ! = 30 วิธี (แบ่งหญิง 5 คน เป็น 4,1 ชาย 3 คนไม่ตอ้ งแบ่ง) (96.2) คู่แรกเลือกสีทจี่ ะใช้ซา้ํ 5! ⎤ ⎡ 8! ได้ 5 แบบ แล้วก็ทาลงไป → ⎢⎣(4 !)22 ! − 4 ! 1!⎥⎦ × 2 ! = 60 เหลือ 4 ด้านรอบๆ (105) กข + 8 คนสลับกัน สลับสีเป็นวงกลม ได้ จัดคน 8 คนสลับกัน ได้ 4!4! x 2 แบบ 3 ! ÷ 2 แบบ [คูณ 2 เพราะมี 2 กรณี] [หาร 2 เพราะวงกลมพลิกด้านแล้วเกิดสภาพเดิม] และให้ ก, ข ไปอยู่ในช่องว่าง ได้ 9 ช่อง 3! ดังนัน้ ตอบ 4 ! 4 ! × 2 × 9 ∴ ตอบ 5 × = 15 วิธี (89) × 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 356 (106) เลือกตรงกลางวงได้ 10 แบบ นอกนั้นจัดแบบวงกลมได้ 8! แบบ จึงตอบ 10 ⋅ 8 ! (107) คิดเหมือนข้อ 70 → แบ่ง 5 เป็น 1,1,3 หรือ 1,2,2 ตอบ ⎡⎢ 25 ! + 5 !2 ⎤⎥ × 3 ! (116) S = {H, T} → n(S) = 2 ∴ เหตุการณ์ E จะมี 22 = 4 แบบ ได้แก่ ∅, {H}, {T}, {H, T} (117) P(A ∪ B) = 0.48 + 0.32 − 0.25 = 0.55 ⎣(1!) 2 ! 3 ! ความนาจะเปน P(A − B) = 0.48 − 0.25 = 0.23 P(A') = 1 − 0.48 = 0.52 1!(2 !) 2 ! ⎦ (108) • กรณีไม่ซ้ําเลย = 1 แบบ 5 4 • กรณีซา้ํ 1 คู่ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 20 แบบ P(B') = 1 − 0.32 = 0.68 (118.1) P(A ∩ B) = 0.15 (118.2) P(A ∪ B) = 0.4 + 0.55 − 0.15 = 0.8 (118.3) P [(A ∪ B)'] = 1 − 0.8 = 0.2 • กรณีซา้ํ 2 คู่ แบบ (119) ให้ M = คณิตศาสตร์, C = เคมี จะได้ว่า.. ∴ ตอบ 51 วิธี 2 4 1 31 (109) แบ่ง 6 คนเป็น 2,2,1,1 และอีกกลุ่มเป็นสามี (119.1) P(M ∪ C) = 3 + 9 − 4 = 36 ภรรยา (2 คน) (119.2) P [(M − C) ∪ (C − M)] 6! 1⎞ ⎛4 1⎞ 11 ⎛2 จะได้ × 3!2! 2 2 = ⎜ − ⎟+⎜ − ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ 5 3 = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 30 ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2 !) 2 !(1!) 2 ! ⎝3 4⎠ ⎝9 4⎠ 18 (3!2! คือการสลับเข้าห้อง) (119.3) P [(M ∪ C)'] = 1 − 31 = 5 36 36 (110) เลือกหน้าทีจ่ ะชนกัน ได้ 6 x 6 แบบ จากนั้นแต่ละวิธยี ังบิดได้ 4 แบบ จึงตอบ 6 × 6 × 4 (120) แต้ม 1 2 3 4 5 6 โอกาส x 2x x 2x x 2x ... ก ข (111) ก ข ∴ x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1 → x = 1 / 9 1 n−2 (120.1) แต้มคู่ = 2x + 2x + 2x = 6/9 = 2 / 3 เลื่อนจากหัวถึงท้าย ได้ n − 2 ตําแหน่ง (120.2) แต้มคี่ = x + x + x = 1 / 3 ในแต่ละตําแหน่งยังสลับ ก,ข ได้อกี 2 แบบ (120.3) จํานวนเฉพาะ (2,3,5) ตอบ 2 (n − 2) = 2x + x + x = 4 / 9 (112) วิธที ั้งหมด - วิธที ี่ E ∩ B = ∅ (120.4) 1 หรือคู่ = x + 2x + 2x + 2x = 7 / 9 = 26 − 23 = 56 (121) วิธที ั้งหมด n(S) = 6 × 6 = 36 {1, 2, 3, ..., 6} {2, 4, 6} (113) ข้อนี้ให้ศกึ ษาจากเรือ่ งแถมท้ายบทนะครับ :] เรื่องของผลบวก ต้องนับจํานวนเอาโดยตรง (121.1) ผลรวมเป็น 8 ได้แก่ (113.1) 24 × 4 = 216 (2, 6) (6, 2) (3, 5) (5, 3) และ (4, 4) (113.2) (24 − 1)4 = 154 ∴ ความน่าจะเป็น = 5 / 36 (113.3) 4 × 4 × 4 × 4 = 44 (121.2) ผลรวมเป็น 2,3,5,7,11 ได้แก่ (113.4) 4 × 3 × 2 × 1 = 4 ! (1, 1) (1, 2) (2, 1) (1, 4) (4, 1) (114) S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} (2, 3) (3, 2) (1, 6) (6, 1) (2, 5) (115) ถ้าลูกเต๋าต่างกัน จะมี 6 × 6 = 36 แบบ (5, 2) (3, 4) (4, 3) (5, 6) (6, 5) คือ (1, 1) (1, 2) (1, 3) ไปจนถึง (6, 6) ∴ ความน่าจะเป็น = 15 / 36 = 5 / 12 แต่วา่ ลูกเต๋าไม่ต่างกัน ฉะนั้น (1, 2) ถือว่าซ้ํากับ (121.3) ผลรวมเป็นคู่ มีวิธอี ยู่ 6 × 3 = 18 แบบ (2, 1) ... ฯลฯ ผลลัพธ์จะลดลงเหลือเพียง 21 แบบ ∴ ความน่าจะเป็น = 18 / 36 = 1 / 2 (ลองเขียนแล้วนับดู จะรูว้ ่าทําไมไม่ใช่ 18) (122) วิธที ั้งหมด = 10 ! (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) 3! 3!2! (122.1) มอง T เป็น 1 ตัวติดกัน จะได้ 8 ! 3!2! (ไม่ต้องสลับ T ภายใน, เพราะ T ถือว่าเหมือนกัน) จะได้ ความน่าจะเป็น = 8 ! / 3 ! 2 ! = 1 Math E-Book Release 2.2 10 ! / 3 ! 3 ! 2 ! (คณิต มงคลพิทักษสุข) 15 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 357 (122.2) วิธที ั้งหมด - T ติดกัน 3 ตัว - T ไม่ติดเลย (125.5) น้อยกว่าศูนย์และเป็นคี่ เป็นไปได้ 7! 8 คือ + + + - (คี่ทุกตัว) = ⎛⎜ 33 ⎞⎟ ⎛⎜ 11⎞⎟ ÷ ⎛⎜ 94 ⎞⎟ = × ⎛⎜ 3 ⎞⎟ 1 1 7 7 = 1− − 3!2! ⎝ ⎠ = 1 − − = 15 10 ! / 3 ! 3 ! 2 ! 15 15 15 (123) วิธที ั้งหมด (123.1) ⎛2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜2⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (123.2) ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ ⎜2⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 5 7 = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 5 7 ÷ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ 70 3 5 7 ÷ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ 35 (123.3) วิธที ั้งหมด - วิธีที่ไม่มแี ดงเลย = 1 − 3/ 35 = 32 / 35 (123.4) 1 − 1/ 70 = 69 / 70 (123.5) มี 3 กรณี คือ ดด/ขข ดข/ดข ขข/ดด ∴ จะได้ ⎛2⎞ ⎛ 4⎞ + ⎛2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ + ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜2⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 29 70 ⎛5⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎜2⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (124) วิธที ั้งหมด = 5 × 5 × 5 (124.1) ⎛⎜ 51 ⎞⎟ ÷ (5 × 5 × 5) = 1 25 ⎝ ⎠ (124.2) วิธที ั้งหมด - ซ้าํ 3 - ไม่ซ้ําเลย 1 5×4×3 12 − = 25 5 × 5 × 5 25 (124.3) 1 − 5 × 4 × 3 = 13 5×5×5 25 6×2 = 6 2! (6 คือใครก็ได้, แต่ไม่ว่าคนแรกจะเป็นใคร คนทีส่ อง จะเหลือเพียง 2 วิธ,ี จากนั้น หาร 2! เพื่อกําจัด ลําดับทิ้งไป) ∴ ตอบ = 6 / 15 = 2 / 5 3 × 2 ! ก็ได้ → หรือคิดจาก ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ เลือกชั้น ม.4,5,6 สลับเพศ (127) ใช้ผลจากข้อ 108 • ไม่ซ้ําเลย 1 แบบ • ซ้ํา 1 คู่ 20 แบบ • ซ้ํา 2 คู่ 30 แบบ 1 1 ∴ ตอบ = 1 + 20 + 30 (128) สปส.ทวินามได้แก่ 51 ⎛ 8 ⎞ , ⎛ 8 ⎞ , ⎛ 8 ⎞ , ..., ⎛ 8 ⎞ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟ ⎜8⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ซึ่งมี 9 ตัว และมีค่าเท่ากันเป็นคูๆ่ 4 คู่ (ตรงกลางคือ ⎛⎜ 84 ⎞⎟ ไม่เท่ากับตัวอื่นเลย) = 1− (129) 4 1 8 9 → ⎛⎜ 1⎞⎟ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ÷ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 (125.2) ต้องเป็น + + + + หรือ + + - 5 6 2 ⎞ 9 ⎛ 6 → ⎜ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎟ ÷ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ = 21 ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ (125.3) ต้องเป็น + + + - เท่านัน้ 20 6 2 9 → ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ÷ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 63 4 5 20 − = 1− 9 21 63 = 6 = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 15 ⎝ ⎠ หยิบ 2 ตัวแล้วไม่เท่ากัน คิดง่ายๆ จาก วิธีทงั้ หมด - หยิบ 2 ตัวแล้วเท่ากัน (ซึ่งมี 4 คู่) 9 = ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ (125.1) ต้องมีศูนย์ วิธีทสี่ นใจ 1 126 → 5×4×3 12 = 5×5×5 25 (125) วิธที ั้งหมด (126) วิธที ั้งหมด ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 1− (124.4) ⎝ ⎠⎝ ⎠ 4 = 1 − 1/ 9 = 8 / 9 9 ⎛ ⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ U ก ข ค ง หาร4 หาร6 ให้ F = หาร 4 ลงตัว และ S = หาร 6 ลงตัว → ชิ้น ข คือ F ∩ S หาจํานวนจาก “หาร 12 (ค.ร.น.ของ 4 กับ 6) ลงตัว” คือ 12, 24, 36, ..., 96 → 8 ตัว → n(F) = 23, n(S) = 15 ∴ n(F ∪ S) = 23 + 15 − 8 = 30 ตัว → โจทย์ถาม “หาร 4 หรือ 6 ไม่ลงตัว” (125.4) การคูณกันแล้วเป็นจํานวนคู่ แปลว่า ต้องมี คือ ก + ค → ตอบ 1 − 8 / 30 = 11 / 15 เลขคูอ่ ย่างน้อย 1 ตัว แต่ถา้ คูณกันได้จาํ นวนคี่ แสดง (130) จาก x2 < 21x → x (x − 21) < 0 ว่า เป็นเลขคี่ทั้งหมด → B = {1, 2, 3, ..., 20} ∴ คิดจาก มากกว่าศูนย์ - มากกว่าศูนย์และเป็นคี่ และพบว่า A ≠ 0 ก็เมือ่ (k − 4)(k − 6) − k ซึ่งพบว่า มากกว่าศูนย์และเป็นคีน่ ั้น เป็นไปไม่ได้ แก้สมการกําลังสอง ได้ k ≠ 3, 8 จึงตอบ 5 / 21 ดังนัน้ ตอบ 1 − 2 / 20 = 9 / 10 หรือคิดจาก ก็ได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ≠ 0 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ความนาจะเปน 358 (131) พิจารณาเฉพาะ 4 ช่อง A-B-C-D (เพราะช่อง คิดแบบความน่าจะเป็น แต่ละขัน้ ตอน อื่นไม่มีผลต่อการคํานวณ) จะได้ว่า โอกาสที่แต่ละ โอกาสทีจ่ ะหยิบถูกทุกครั้ง = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 4 3 2 24 ช่องจะเป็นสีแดง = 1 / 2 (จากการโยนหัวก้อย) 1 1 1 1 1 (133) U ∴ ตอบ × × × = 2 2 2 2 16 ก + ข = 41% ก ข ค 1 1 ง ข + ค = 28% หรือ คิดจากจํานวนวิธี = 2×2×2×2 16 ก + ข + ค = 60% หืด หอบ (คือสีแดงล้วน 1 วิธี และวิธที ั้งหมดสีต่างๆ 16 วิธี) P{หืดอย่างเดียว} = 60% − 28% = 32% (132) คิดแบบการนับ (ชิ้นส่วน ก) วิธีที่ถกู ต้อง มี 1 วิธี และวิธที ั้งหมดมี 4x3x2x1 วิธี จะได้ 1 1 = 4 × 3 × 2 × 1 24 eÃ×èo§æ¶Á เรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชัน.. (1) ความสัมพันธ์จาก A ไป B ... จะใช้ A กี่ตัวก็ได้ และ B กี่ตัวก็ได้ ดังนัน้ เราสร้างเซต AxB ขึ้นก่อน ซึ่งมีสมาชิกเป็นคู่อันดับจํานวน n(A)xn(B) คู่อนั ดับ แล้วความสัมพันธ์จาก A ไป B จะเลือกคู่อนั ดับไปจากเซตนี้กคี่ ู่อนั ดับก็ได้ เปรียบเหมือนสับเซตของ AxB นัน่ เอง จะมีทั้งหมด 2 n(A)× n(B) แบบ (2) ความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่งบังคับว่าโดเมนเท่ากับ A ... แปลว่าต้องใช้สมาชิก A ให้ครบทุกตัว เราจะพิจารณาสมาชิกในโดเมนทีละตัว สมาชิกตัวหนึ่งสามารถจับคูก่ ับสมาชิกของ B กี่ตัวก็ได้ (แต่ไม่จับเลย ไม่ได้) สมาชิกตัวนี้จงึ เลือกคู่ได้ 2 n(B) − 1 แบบ แต่ตอ้ งใช้สมาชิกทุกตัวของ A ให้ครบ แสดงว่าต้องคูณกัน n(A) ครั้ง ...ดังนั้น จะมีทงั้ หมด (2 n(B) − 1)n(A) แบบ (3) ฟังก์ชนั จาก A ไป B ... จะต้องใช้ A ให้ครบเสมอ แต่ใช้สมาชิก B กี่ตัวก็ได้ และด้วยความเป็นฟังก์ชัน สมาชิกใน A แต่ละตัวจึงจับคูส่ มาชิก B ได้เพียง 1 ตัวเท่านั้น คือ n(B) แบบ เราจึงคิดจํานวนฟังก์ชนั โดยการคูณ n(B) เป็นจํานวน n(A) ครั้ง... ดังนั้นคําตอบคือ (n(B))n(A) แบบ (4) ฟังก์ชนั หนึ่งต่อหนึง่ จาก A ไป B ... นอกจากเงื่อนไขของฟังก์ชันจาก A ไป B ในข้อที่แล้ว ยังต้องเพิ่มเงื่อนไขว่าสมาชิกใน B ต้องไม่ถูกเลือกซ้ํา (แสดงว่า n(B) ต้องไม่น้อยกว่า n(A)) ⋅ (n(B) − 1) ⋅ (n(B) − 2) ⋅ ... คําตอบที่ได้คอื n(B) n(A) ตัว (5) ฟังก์ชนั จาก A ไปทั่วถึง B ... ใช้วิธลี บออก คือจํานวนแบบทั้งหมดลบด้วยจํานวนแบบที่ไม่ทวั่ ถึง ตัวอย่าง กําหนด A = {1, 2, 3} , B = {2, 3} , และ C = {−1, 0, 2, 5} * ความสัมพันธ์จาก A ไป B มีทั้งหมด 2 3 × 2 = 64 แบบ * ความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่งมีโดเมนเป็น A มีทั้งหมด 3 × 3 × 3 = 27 แบบ * ความสัมพันธ์ภายใน A (แปลว่าจาก A ไป A) มีทั้งหมด 2 3 × 3 = 512 แบบ * ความสัมพันธ์ภายใน A ซึ่งมีโดเมนเป็น A มีทั้งหมด 7 × 7 × 7 = 343 แบบ * ฟังก์ชันจาก C ไป B มีทั้งหมด 2 × 2 × 2 × 2 = 16 แบบ * ฟังก์ชันจาก C ไปทั่วถึง B มีทงั้ หมด 16 − 2 = 14 แบบ * ฟังก์ชันหนึง่ ต่อหนึ่งจาก A ไป C มีทั้งหมด 4 × 3 × 2 = 24 แบบ * ฟังก์ชันจาก A ไป C ซึ่ง f (x) < x (แปลว่าตัวหลัง < ตัวหน้า) มีทั้งหมด 2 × 3 × 3 = 18 แบบ หมายเหตุ ไม่ควรท่องเป็นสูตรเพราะในข้อสอบอาจจะเพิ่มเงือ่ นไขให้แปลกไป ควรทําความเข้าใจในวิธีคิด :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 359 stat º··Õè 17 ʶiµi สถิติศาสตร์ (Statistics) คือวิชาที่เกี่ยวกับการ เก็บรวบรวม นําเสนอ และวิเคราะห์ข้อมูล เมื่อเรามี ข้อมูล (Data) จํานวนหนึ่ง เรามักจําเป็นต้องวิเคราะห์ ข้อมูลก่อนถึงจะนําไปใช้ประโยชน์ (เพื่อการตัดสินใจ หรือการวางแผน) ต่อได้ การวิเคราะห์ข้อมูลแบ่งเป็น การวิเคราะห์เบื้องต้น เช่น การแจกแจงความถี่, การ หาค่ากลาง, การหาค่าการกระจาย และการวิเคราะห์ ขั้นสูง เช่น การประมาณค่า, การหาความสัมพันธ์ ระหว่างข้อมูลสองชุด โดยสิ่งทีไ่ ด้จากการวิเคราะห์จะ เรียกว่า สารสนเทศ หรือ ข่าวสาร (Information) ลักษณะของข้อมูล 1. ข้อมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data) เป็นข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณที่วัดเป็นตัวเลข เช่น น้ําหนัก ส่วนสูง คะแนนสอบ ... สามารถนําไปคํานวณหรือเปรียบเทียบได้โดยตรง อาจเป็นข้อมูลที่ ต่อเนื่อง (เช่นส่วนสูง จะมีค่าทศนิยมเท่าใดก็ได้) หรือไม่ต่อเนื่อง (เช่นยอดขายสินค้า จะต้องเป็น จํานวนนับเท่านั้น) 2. ข้อมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) ไม่ได้เป็นตัวเลข เช่น เพศ ศาสนา สี ความพึงพอใจ ... หากเราต้องการวิเคราะห์อาจจะต้องกําหนดตัวเลขเพื่อใช้แทนข้อมูลเหล่านี้ก่อน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 360 17.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล ประเภทข้อมูลแบ่งตามแหล่งที่มา 1. ข้อมูลปฐมภูมิ (Primary Data) คือข้อมูลที่ได้จากการสํารวจเองโดยตรง (ไม่ว่าจะเป็นการนับ การวัด การทดลอง การสอบถาม การสังเกต) ซึ่งจะเก็บรวบรวมได้ใน 2 ระดับ คือ - ระดับประชากร (Population) เก็บข้อมูลจากทุกๆ สิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า การสํามะโน (Census) - ระดับตัวอย่าง (Sample) เก็บข้อมูลจากสิ่งที่สุ่มเลือกมา เรียกว่า การสํารวจตัวอย่าง (Sample Survey หรือ Sampling) 2. ข้อมูลทุติยภูมิ (Secondary Data) คือข้อมูลที่มีผู้รวบรวมไว้แล้ว (และมักผ่านการวิเคราะห์ ขั้นต้นแล้วด้วย) ผู้ใช้ไม่ต้องทําการสํารวจเอง เช่น ข้อมูลจากหน่วยงานราชการ องค์กรของรัฐ รายงานและบทความจากหนังสือ การนําเสนอข้อมูล 1. ข้อความ บทความ ใช้เมื่อข้อมูลที่ต้องการนําเสนอมีไม่มากนัก บางครั้งอาจมีการจัดตัวเลขเรียงเป็นแถวคล้าย ตารางเพื่อให้อ่านง่าย 2. ตาราง 2.1 การนําเสนอข้อมูลโดยใช้ ตาราง (Table) เป็นการจัดระเบียบข้อมูลตามลักษณะต่างๆ ที่น่าสนใจ ทําให้เปรียบเทียบข้อมูลได้สะดวกกว่าการนําเสนอด้วยข้อความ ... ซึ่งตารางที่ใช้ อาจเป็น ตารางแบบทางเดียว แบบสองทาง (จําแนกข้อมูลเป็นสองแถว) หรือแบบหลายทาง (จําแนกย่อยลง ไปมากกว่าสองแถว) 2.2 การสร้าง ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution Table) คือการจัดข้อมูลที่ มีอยู่ให้เป็นกลุ่มๆ โดยให้ข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกันอยู่ด้วยกัน เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์และ การจัดเก็บ ... มีขั้นตอนดังนี้ (1) แบ่งค่าข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดออกเป็นช่วงๆ ตามที่ต้องการ เรียกแต่ละช่วงว่า อันตร ภาคชั้น (Class Interval) เช่น “30 – 39”, “40 – 49”, “50 – 59” (2) พิจารณาว่าบรรดาข้อมูลที่มีนั้น มีค่าตกอยู่ในแต่ละช่วงเป็นปริมาณเท่าใด เรียกปริมาณ ข้อมูลที่ปรากฏในแต่ละช่วงว่า ความถี่ (Frequency) มักเขียนอันตรภาคชั้นและความถี่ของแต่ละชั้น ในรูปตารางขนาดประมาณ 5 ถึง 20 ชั้น และมักกําหนดความกว้างแต่ละชั้นเท่าๆ กัน ... แม้โดยทั่วไปไม่จําเป็นต้องเท่ากันก็ได้ อีกทั้งอันตร ภาคชั้นต่ําสุดหรือสูงสุดอาจเป็น อันตรภาคชั้นเปิด (Open-Ended Class Interval) ก็ได้ เช่น “น้อย กว่า 30”, “มากกว่า 60” ตัวอย่างเช่น ข้อมูลน้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 40 คนในชั้นเรียน ได้แก่ 40 45 46 46 50 51 49 52 50 55 51 53 54 40 43 48 58 62 64 61 50 48 48 56 59 64 63 68 59 65 61 67 หากต้องการตารางแจกแจงความถี่ขนาด 6 ชั้น อาจเขียนได้ดังนี้ • Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 42 53 58 66 41 55 58 64 คณิตศาสตร O-NET / A-NET น้ําหนัก (กก.) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 รวม สถิติ 361 จํานวนนักเรียน 5 7 9 8 7 4 40 • อันตรภาคชั้น ได้แก่ 40 – 44, 45 – 49, 50 – 54, 55 – 59, 60 – 64, และ 65 – 69 โดยมี ความถี่ของแต่ละชั้น ได้แก่ 5, 7, 9, 8, 7, และ 4 ตามลําดับ • ค่า ขอบล่าง (Lower Boundary) และ ขอบบน (Upper Boundary) คือค่ากึ่งกลางระหว่างรอยต่อ อันตรภาคชั้น เช่น ชั้น 45 – 49 มีค่า 44.5 เป็น ขอบล่าง ซึ่งค่า 44.5 ก็เป็นขอบบนของชั้น 40 – 44 ด้วย • ความกว้างอันตรภาคชั้น หาได้จาก “ผลต่างของขอบบนและขอบล่างของชั้นนั้น” ในตัวอย่างนี้ ความกว้างแต่ละชั้นเป็น 5 เท่ากันหมด ความถี่สะสม (Cumulative Frequency; CF หรือ Σf) คือ “ผลรวมความถี่ชั้นนั้น กับ ความถี่ชั้นที่มีค่าข้อมูลต่ํากว่าทั้งหมด” ในบางครั้งอาจให้ความถี่สะสมเป็นผลรวมความถี่ชั้นนั้นกับชั้น ที่ค่าข้อมูลสูงกว่าทั้งหมดก็ได้ แต่ไม่เป็นที่นิยม ความถี่สัมพัทธ์ (Relative Frequency) และ ความถี่สะสมสัมพัทธ์ (Relative Cumulative Frequency) ก็คืออัตราส่วนความถี่หรือความถี่สะสม เทียบกับความถี่รวม (N) ดังนั้นความถี่สัมพัทธ์ รวมทุกชั้นต้องได้ 1 เสมอ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ของชั้นสูงสุดก็ต้องเป็น 1 เช่นกัน (บางครั้งจะใช้ เป็นหน่วย “ร้อยละ” ซึ่งจะปรับให้ผลรวมความถี่เป็นร้อยละ 100) 3. แผนภูมิ กราฟ การนําเสนอข้อมูลแบบนี้สะดวกที่สุด เมื่อต้องการผลสรุปในเชิงเปรียบเทียบ 3.1 แผนภูมิแท่ง (Bar Chart) และ แผนภูมิเชิงเส้น (Line Chart) นิยมใช้แสดงข้อมูลที่ เปลี่ยนไปตามเวลา เช่น ยอดขายผลิตภัณฑ์ชนิดหนึ่งในแต่ละเดือน ... ส่วน แผนภูมิวงกลม (Pie Chart) นิยมใช้แสดงสัดส่วนข้อมูลเป็นร้อยละ เช่น ส่วนแบ่งตลาดของผลิตภัณฑ์แต่ละยี่ห้อ 3.2 ฮิสโทแกรม (Histogram) คือแผนภูมิแท่งสี่เหลี่ยมวางเรียงชิดกัน ใช้แสดงข้อมูลจาก แต่ละอันตรภาคชั้น โดยให้แกนนอนแทนค่าข้อมูล x เขียนกํากับด้วยขอบบน-ขอบล่างของชั้น หรือ ด้วย จุดกึ่งกลางชั้น (Midpoint) ก็ได้ และให้แกนตั้งแทนค่าความถี่ f … ความสูงของแท่งสี่เหลี่ยม จะแปรตามความถี่ชั้นนั้นๆ รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ (Frequency Polygon) คือรูปที่เกิดจากการลากเส้นตรงเชื่อม จุดกึ่งกลางยอดแท่งสี่เหลี่ยมของฮิสโทแกรมแต่ละแท่ง (โดยสมมติให้มีอันตรภาคชั้นก่อนหน้าและ หลังอันตรภาคชั้นทั้งหมดที่มีอยู่ ฝั่งละ 1 ชั้น และลากเส้นตรงไปบรรจบแกนนอนที่กึ่งกลางชัน้ ทั้งสอง นี้ เพื่อให้เป็นรูปปิดที่มีพื้นที่เท่ากับฮิสโทแกรมเดิม) เส้นโค้งของความถี่ (Frequency Curve) คือรูปที่เกิดจากการปรับเส้นตรงในรูปหลาย เหลี่ยมของความถี่ ให้เป็นเส้นโค้งเรียบ และพยายามให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งมีขนาดใกล้เคียงพื้นที่รูปเดิม ที่สุด ถ้าเราสร้างฮิสโทแกรมโดยใช้ความถี่สะสม และปรับให้เป็น เส้นโค้งของความถี่สะสม (Ogive) จะได้เส้นโค้งที่เริ่มจาก 0 ขึ้นไปถึง N เสมอ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 362 น้ําหนัก (กก.) ความถี่ ความถี่สะสม 40 – 44 5 5 45 – 49 7 12 50 – 54 9 21 55 – 59 8 29 60 – 64 7 36 65 – 69 4 40 รวม 40 f (ความถี่) 8 6 4 2 O 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 f (ความถี่) f (ความถี่) 8 6 4 2 8 6 4 2 O x 42 47 52 57 62 67 (กก.) ฮิสโทแกรม (2) แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คน O x 37 42 47 52 57 62 67 72 (กก.) รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คน cf (ความถี่สะสม) f (ความถี่) 40 8 6 4 2 O x (กก.) ฮิสโทแกรม (1) แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คน 30 20 x 37 42 47 52 57 62 67 72 (กก.) เส้นโค้งของความถี่ แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คน 10 O x 37 42 47 52 57 62 67 72 (กก.) เส้นโค้งของความถี่สะสม (Ogive) แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คน 3.3 แผนภาพลําต้น-ใบ (Stem-and-Leaf Diagram) ใช้จัดข้อมูลให้เป็นกลุ่มเพื่อเห็นลักษณะคร่าวๆ และมีข้อดีคือข้อมูลดิบแต่ละค่าไม่สูญหายไป (การ สร้างตารางแจกแจงความถี่ หรือสร้างฮิสโทแกรม จะทําให้รายละเอียดของข้อมูลสูญหายไป) การเขียนแผนภาพลําต้น-ใบ จะตัดเลขในหลักขวาออกก่อน (กี่หลักแล้วแต่ความเหมาะสม) แล้วนําหลักที่เหลือมาเรียงไว้เป็นลําต้นในแนวตั้ง จากนั้นจึงนําเลขที่ตัดออกมาเขียนต่อท้ายในบรรทัด เดียวกัน เรียกว่าใบ (ควรเรียงลําดับจากน้อยไปมากด้วย เพื่อให้เป็นระเบียบและวิเคราะห์ข้อมูลได้ สะดวก) ในตัวอย่างข้างต้น จะเขียนแผนภาพลําต้น-ใบ ได้ดังนี้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 363 ต้น ใบ 4 0 0 1 2 3 5 6 6 8 8 8 9 5 0 0 0 1 1 2 3 3 4 5 5 6 8 8 8 9 9 6 1 1 2 3 4 4 4 5 6 7 8 จากแผนภาพต้น-ใบ อาจวิเคราะห์ข้อมูลคร่าวๆ ได้ว่า (1) มองเป็นแผนภูมิแท่งแนวนอน จะได้ว่า ช่วงข้อมูล 50 – 59 มีความถี่มากที่สุด (2) ข้อมูลที่ต่ําที่สุดคือ 40 และสูงที่สุดคือ 68 ... มีค่าต่างกันอยู่ 28 (3) ข้อมูลตรงกลางมีค่าประมาณ 53 หรือ 54 ตัวอย่าง ข้อมูลคะแนนสอบของนักเรียน 20 คนในห้อง ก และ ข ได้แก่ ก 158 162 164 161 150 148 180 156 ข 180 163 160 158 162 167 181 175 เราสามารถเขียนแผนภาพของข้อมูลสองชุดนี้ด้วยกัน ดังนี้ • ใบ (ห้อง 5 0 6 8 1 2 145 175 158 172 ก) 8 8 4 ต้น ใบ (ห้อง ข) 14 15 8 16 0 2 3 7 17 2 5 5 0 18 0 1 จากแผนภาพต้น-ใบ อาจวิเคราะห์ข้อมูลคร่าวๆ ว่า (1) นักเรียนห้อง ก ส่วนมากได้คะแนน 150 – 159 และห้อง ข ส่วนมากได้คะแนน 160 – 169 (2) คะแนนต่ําสุดของแต่ละห้อง คือ 145 และ 158, คะแนนสูงสุดคือ 180 และ 181 (3) ห้อง ก มี ข้อมูลที่ผิดปกติ (Outlier) คือ 180 (4) คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้อง ข น่าจะสูงกว่าห้อง ก 17.2 ค่ากลางของข้อมูล ค่ากลางของข้อมูล (Central Value) เป็นตัวเลขที่ใช้แทนข้อมูลทั้งหมด จะช่วยให้วิเคราะห์ข้อมูลได้ อย่างกว้างๆ ซึ่งค่ากลางที่นิยมใช้ มี 3 ชนิด ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล x1, x2 , x3 , ..., xN ใช้สัญลักษณ์ว่า X (อ่านว่า x-bar) เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับ ค่าของข้อมูล โดยตรง จึงเหมาะกับชุดข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกันทุกค่า ไม่มีค่าใดสูงหรือต่ําผิดปกติไปจากค่าอื่นๆ (มิฉะนั้นค่าที่ได้จะไม่มีคุณภาพ) ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungrouped Data) N X = xi x1 + x2 + x3 + ... + xN = N ∑ xi i=1 N คือข้อมูลตัวที่ i, และมีจาํ นวนข้อมูล (Units) ทัง้ หมดเท่ากับ N ตัว Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 364 ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ คิดแบบถ่วงน้ําหนัก (Weighted) N X = w1x1 + w2x2 + w3x3 + ... + wNxN = w1 + w2 + w3 + ... + wN ∑ w i xi i=1 N ∑ wi i=1 xi คือข้อมูลตัวที่ i, wi คือน้าํ หนักของข้อมูลตัวที่ i, และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว (Grouped Data) k f x + f2x2 + f3x3 + ... + fk xk = X = 1 1 f1 + f2 + f3 + ... + fk ∑ fx i i i=1 k ∑ fi k = ∑ fx i i i=1 N i=1 xi กึ่งกลางชั้นที่ i, fi คือความถี่ชั้นที่ i, มีทั้งหมด k ชั้น, และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว (สูตรลดทอน) k X = a + ID D = เมื่อ ∑ fd i i i=1 N a คือกึ่งกลางของชั้นใดชัน้ หนึ่งที่เลือก (ชั้นใดก็ได้), I คือความกว้างชั้น (เท่ากันทุกชั้น) di เป็นจํานวนเต็ม โดยให้ชน ั้ ที่มคี ่า a นัน้ เป็น d = 0 และชั้นที่มีขอ้ มูลน้อยลง d = −1, −2, ... ไปเรือ่ ยๆ ส่วนชัน้ ทีข่ ้อมูลสูงขึ้น d = 1, 2, ... ไปเรื่อยๆ หมายเหตุ สัญลักษณ์ ∑ (Capital Sigma) อ่านว่า Summation ใช้แทนผลรวมของพจน์ต่างๆ โดยมีตัวแปร i กํากับไว้ว่าในแต่ละพจน์จะแปรค่าจากเท่าใดจนถึงเท่าใด (เช่น i = 1 ถึง N) สมบัติของ ∑ ที่ควรทราบมีดังนี้ • • N ∑c i=1 = N⋅c N ∑ c xi i=1 = c⋅ N ∑ (xi ± yi) • N ∑ xi i=1 = N ∑ xi i=1 ± N ∑ yi i=1 c เป็นค่าคงที่ i=1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean) ของข้อมูลหลายๆ ชุด k (∑ x)c N x + N2x2 + N3x3 + ... + Nk xk Xc = = 1 1 = Nc N1 + N2 + N3 + ... + Nk ∑ Nixi i=1 k ∑ Ni i=1 xi คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ i, Ni คือจํานวนข้อมูลชุดที่ i จากทัง้ หมด k ชุด หมายเหตุ อาจมองในแง่ว่า เป็นการนําค่าเฉลี่ยแต่ละชุด มาถ่วงน้าํ หนักด้วยจํานวนข้อมูลก็ได้ ในตําราสถิติ นิยมใช้สัญลักษณ์แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น μ (Mu) และ X โดยให้นิยามว่า μ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งหมด (Population Mean) เป็นค่าแท้จริง และ X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง (Sample Mean) เป็นค่าประมาณ นั่นคือ ถ้า N คือจํานวนข้อมูลทั้งหมด และถูกสุ่มมาเป็นตัวอย่างจํานวน n ข้อมูล จะได้ N μ = ∑ xi i=1 N n และ แต่ในหนังสือเล่มนี้จะใช้สัญลักษณ์ X = X ∑ xi i=1 n กล่าวรวมถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั้งสองแบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 365 2. มัธยฐาน (Median; Med) มัธยฐาน คือค่าที่มีตําแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด (เมื่อเรียงลําดับข้อมูลจากน้อยไป มาก หรือมากไปน้อย) เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับ ลําดับของข้อมูล (บอกให้ทราบว่ามีข้อมูลที่มี ค่ามากกว่าค่านี้ กับน้อยกว่าค่านี้ อยู่ปริมาณเท่าๆ กัน) จึงยังคงใช้ได้ดีกับข้อมูลชุดที่มีบางค่าสูงหรือ ต่ํากว่าค่าอื่นอย่างผิดปกติ ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ Med คือข้อมูล ในตําแหน่งที่ N + 1 2 (ตําแหน่งกึ่งกลาง) เมื่อมีข้อมูลทัง้ หมด N ตัว และเรียงลําดับแล้ว ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ⎛N ⎞ − ∑ fL ⎟ Med = L + I ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎝ fMed ⎠ ข้อสังเกต ใช้ N/2 โดยไม่ต้องบวกหนึ่ง L คือขอบล่างชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ (ตัวที่ N/2) ซึ่งชัน้ นัน้ มีความกว้าง I และมีความถี่เป็น ∑ fL คือความถีส ่ ะสมจนถึงขอบล่าง หมายเหตุ บางตําราใช้สัญลักษณ์ fMed i Med = X 3. ฐานนิยม (Mode; Mo) ฐานนิยม คือค่าข้อมูลตัวที่ปรากฏบ่อยครั้งที่สดุ (มีความถี่สูงที่สุด) เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับ ความถี่ของข้อมูล จะเหมาะสมที่สุดกับข้อมูลเชิงคุณภาพ เช่น การลงคะแนนเลือกตั้ง ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ Mo คือข้อมูลตัวที่มีความถี่มากที่สุด หมายเหตุ โดยทัว่ ไปจะเป็นฐานนิยมร่วมกันได้ไม่เกิน 2 ค่า ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ⎛ dL ⎞ Mo = L + I ⎜ ⎟ ⎝ dL + dU ⎠ L คือขอบล่างชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ (ชั้นที่ความถี่สงู สุด) ซึ่งทุกๆ ชั้นมีความกว้าง I dL คือผลต่างความถี่ ชั้นนัน ้ กับชั้นทีค่ ่าข้อมูลน้อยลง (ขอบล่าง) dU คือผลต่างความถี่ ชั้นนัน ้ กับชั้นทีค่ ่าข้อมูลมากขึน้ (ขอบบน) หมายเหตุ บางตําราใช้สัญลักษณ์ l Mo = X • ตัวอยาง ขอมูลน้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 9 คนเปนดังนี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 ใหหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของขอมูลชุดนี้ + 51 + 49 + 52 + 42 = 46.78 กก. ตอบ ก. คาเฉลีย่ เลขคณิต X = 40 + 45 + 46 + 46 + 50 9 ข. มัธยฐาน (ตองเรียงลําดับขอมูลกอน กลายเปน 40 42 45 46 46 49 50 51 52) อยูตําแหนงกึ่งกลาง คือตําแหนงที่ 9 2+ 1 = 5 S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ¤ Ò (N+1)/2 e»¹µíÒæ˹§¢o§Áa¸Â°Ò¹ äÁãª¤Ò มีคาเปน Med = 46 กก. ¢o§Áa¸Â°Ò¹o´ÂµÃ§ ´a§¹aé¹ ËÒÁe¢Õ¹ÇÒ Med = ค. ฐานนิยม (ดูจากขอมูลที่ปรากฏบอยครั้งที่สุด) (9+1)/2 = 5 ¹a¤Ãaº e¾ÃÒa·Õè¨Ãi§ Med = 46 มีคาเปน Mo = 46 กก. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 366 • ตัวอยาง ขอมูลน้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 10 คนเปนดังนี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 50 ใหหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของขอมูลชุดดังกลาว ตอบ ก. คาเฉลีย่ เลขคณิต X = 40 + 45 + 46 + 46 + 5010+ 51 + 49 + 52 + 42 + 50 = ข. มัธยฐาน (เรียงลําดับขอมูลไดเปน 40 42 45 46 46 49 50 50 51 52) อยูตําแหนงกึ่งกลาง คือตําแหนงที่ 102+ 1 = 5.5 ... แปลวากึ่งกลางระหวาง 46 และ 49 47.1 ดังนั้นมีคาเปน Med = 46 2+ 49 = 47.5 กก. (ใชวิธีเฉลี่ยแบงครึ่งเอา) ค. ฐานนิยม ในตัวอยางนี้มีคาเปน Mo = 46 และ 50 กก. หมายเหตุ มีขอมูลที่เปนฐานนิยมรวมกันได 2 คา (หากเกินจะถือวาขอมูลชุดนี้ไมมีฐานนิยม) • ตัวอยาง ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียนจํานวน 100 คน เปนดังนี้ คะแนน จํานวนนักเรียน คะแนน จํานวนนักเรียน 20 – 29 2 60 – 69 30 30 – 39 9 70 – 79 15 40 – 49 13 80 – 89 10 50 – 59 20 90 – 99 1 ก. ใหหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ วิธีคิด การหาคาเฉลี่ยเลขคณิต จะใชวิธีถวงน้ําหนักโดยตรงก็ได แตคํานวณยากมาก 44.5(13) + ... + 94.5(1) นั่นคือ X = 24.5(2) + 34.5(9) +100 = 60.2 คะแนน (สังเกต : คาขอมูลทีใ่ ชเปนตัวแทนของแตละชั้น คือกึ่งกลางของชั้นนั้น) เราสามารถใชวิธีลัดในการหาคาเฉลี่ยเลขคณิตไดเสมอ โดยตองเพิม่ ชอง d กอนดังนี้ x 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 f 2 9 13 20 d -4 -3 -2 -1 x 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 f 30 15 10 1 หลักในการกําหนดคา d คือ เลือกชั้นใดก็ได 1 ชั้น กําหนดคา d = 0 จากนั้นพิจารณาชั้นที่มีคาขอมูล (คา x ) สูงขึ้น ให d = 1, 2, 3, ... ตามลําดับ สวนชั้นที่มีคาขอมูล (คา x ) ต่ําลง ก็ให d = − 1, −2, −3, ... ตามลําดับเชนกัน วิธีคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ X = a + I D โดย a คือกึ่งกลางของชั้นที่ d = 0 ดังนั้นในตัวอยางนี้ a = 64.5 ... I = ความกวางชั้น = 10 ... + 0(30) + 1(15) + 2(10) + 3(1) และ D = − 4(2) − 3(9) − 2(13) − 1(20)100 = −0.43 จึงสรุปไดวา X = 64.5 + (10)(−0.43) = 60.2 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) d 0 1 2 3 กก. คณิตศาสตร O-NET / A-NET จะเห็นวาวิธีคํานวณ การประมาณ) X ดวย สถิติ 367 D นี้ ทําใหสะดวกมากขึน้ และผลลัพธที่ไดจะถูกตองเสมอ (ไมใชคําตอบจาก S ¢o¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤Òe©ÅÕèÂeÅ¢¤³iµ¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËÃaÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò¹ (Áҡ仹oÂ) ËÃ×oäÁ 2. ¤Òe©ÅÕèÂeÅ¢¤³iµ·Õè¤Òí ¹Ç³ä´ äÁ¨Òí e»¹µo§ÁÕ¤ÒoÂÙ㹪aé¹·ÕèeÅ×o¡ d = 0 eÊÁoä» e¾ÃÒa·Õè¨Ãi§¨aeÅ×o¡ªaé¹ã´¡çä´ ä´¤íÒµoºe·Ò¡a¹ (·aèÇä»Áa¡eÅ×o¡ªaé¹·Õè¤ÇÒÁ¶ÕèÊÙ§Êu´ e¾×èoãˤi´eÅ¢§ÒÂ) 3. Êٵà X = a + I D ¹Õéãªä´eÁ×èo¤ÇÒÁ¡ÇÒ§ (I) ·u¡æ ªaé¹e·Ò¡a¹e·Ò¹aé¹ ข. ใหหามัธยฐานของคะแนนสอบ วิธีคิด มัธยฐาน อยูตําแหนงที่ 100 ่ จกแจงความถี่แลว จะใช N2 ) = 50 (สําหรับขอมูลทีแ 2 การหาคามัธยฐาน ตองเพิ่มชองความถี่สะสมกอน ดังนี้ x f cf x f 20 – 29 2 2 60 – 69 30 30 – 39 9 11 70 – 79 15 40 – 49 13 24 80 – 89 10 50 – 59 20 44 90 – 99 1 จะพบวา มัธยฐาน (คือตัวที่ 50) นั้นอยูใ นชั้น “60 – 69” (เพราะเกินตัวที่ 44 แตยงั ไมถึง 74) ดังนั้น มัธยฐาน ⎛N ⎞ − ∑ fL ⎟ 50 − 44 Med = L + I ⎜ 2 ) = 61.5 = 59.5 + (10)( ⎜ ⎟ 30 f Med ⎝ ⎠ cf 74 89 99 100 คะแนน L คือขอบลางของชั้นที่มัธยฐานอยู คือ 59.5 ซึ่งชั้นนั้นมีความกวาง I คือ 10 และมีความถี่เปน สวน ∑ f คือความถีส่ ะสมที่ขอบลาง คือ 44 fMed คือ 30 L S ¢o¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤ÒÁa¸Â°Ò¹¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËÃaÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò¹ (Áҡ仹oÂ) ËÃ×oäÁ 2. ãËʧa e¡µÇÒ¤ÒÁa¸Â°Ò¹·Õè¤Òí ¹Ç³ä´ oÂÙ㹪aé¹ 60 – 69 ¨Ãi§ËÃ×oäÁ ¶ÒäÁãªæÊ´§ÇÒ¤i´¼i´ ค. ใหหาฐานนิยมของคะแนนสอบ วิธีคิด ฐานนิยมจะคํานวณงายทีส่ ุดในบรรดาคากลางทั้งสามอยาง เพราะไมตองเพิม่ ชองในตาราง ... ฐาน นิยมจะอยูในชัน้ ที่มีความถี่สูงสุด ในตัวอยางนีก้ ็คือชั้น “60 – 69” คะแนน 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 คํานวณจาก L จํานวนนักเรียน 2 9 13 20 คะแนน 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 จํานวนนักเรียน 30 15 10 1 10 ⎛ dL ⎞ Mo = L + I ⎜ ) = 63.5 ⎟ = 59.5 + (10)( 10 + 15 ⎝ dL + dU ⎠ คะแนน คือขอบลางของชั้นที่ฐานนิยมอยู คือ 59.5 ... ซึ่งชั้นนั้นมีความกวาง I คือ 10 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 368 สวน d คือผลตางความถี่ ชั้นนัน้ กับชั้นที่คาขอมูลนอยลง (ขอบลาง) คือ 30-20 = 10 d คือผลตางความถี่ ชั้นนั้นกับชัน ้ ทีค่ าขอมูลมากขึ้น (ขอบบน) คือ 30-15 = 15 L U S ¢o¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤Ò°Ò¹¹iÂÁ¨Ò¡µÒÃÒ§! S 1. ãËÃaÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕ§¡Åaº´Ò¹ (Áҡ仹oÂ) ËÃ×oäÁ 2. ãËʧa e¡µÇÒ¤Ò°Ò¹¹iÂÁ·Õè¤Òí ¹Ç³ä´ oÂÙ㹪aé¹ 60 – 69 ¨Ãi§ËÃ×oäÁ ¶ÒäÁãªæÊ´§ÇÒ¤i´¼i´ ง. เมื่อนําความถีใ่ นตารางไปสรางเสนโคงของความถี่ จะพบวามีการแจกแจงแบบใด (ขอ ง. นี้ ใชความรูในบทเรียนสถิติ (2) ประกอบดวย) ตอบ มีวิธีคิดสองแบบ คือดูแนวโนมจากคาความถี่ในตาราง พบวาซีกขวาสูงกวาซีกซาย ก็ได หรือจะดู จากคาที่คํานวณไวในขอ ก. ถึง ค. ก็ได ... X < Med < Mo แสดงวาเปนโคงเบซาย จ. หากตัดอันตรภาคชั้น 20 – 29 และ 30 – 39 ทิ้งไป ใหเหลือขอมูลเพียง 89 จํานวน แลว คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม จะเปลีย่ นแปลงอยางไร ตอบ คาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน จะเพิ่มขึน้ (คิดงายๆ วาถาเพิ่มขอมูลในชั้นลางสุดมากๆ คาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐาน ยอมถูกดึงใหลดลง ดังนั้น ในทางกลับกัน ถาตัดชั้นลางสุดทิ้งไป คาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐาน ก็ยอ มเพิ่มขึ้น) สวนฐานนิยมนัน้ เทาเดิม สังเกตไดจากสองชั้นลางสุดไมไดมีผลในการคํานวณฐานนิยมเลย นอกจากการคํานวณจากข้อมูลโดยตรงแล้ว เรายังสามารถหาค่ามัธยฐานได้จากเส้นโค้งของ ความถี่สะสม และหาฐานนิยมได้จากฮิสโทแกรม ดังภาพ cf (ความถีส่ ะสม) N f (ความถี)่ การหาค่ามัธยฐานจาก เส้นโค้งของความถี่สะสม การหาค่าฐานนิยมจากฮิสโทแกรม N/2 O x Med O x Mo แจกแจง แล้ว ยังไม่ แจกแจง ในการคํานวณค่ากลาง จะพบว่าข้อมูลบางลักษณะไม่เหมาะสมกับค่ากลางบางชนิด ซึ่งมี ผลสรุปไว้คร่าวๆ ดังตารางนี้ - ลักษณะข้อมูล ข้อมูลเชิงคุณภาพ เกาะกลุ่มกันปกติ บางค่าต่างไปจนผิดปกติ ทุกชัน้ กว้างเท่ากัน มีอันตรภาคชั้นเปิด บางชั้นกว้างไม่เท่ากัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ไม่เหมาะสม ใช้ได้ ไม่เหมาะสม ใช้ได้ ไม่เหมาะสม ไม่เหมาะสม Math E-Book Release 2.2 มัธยฐาน ไม่เหมาะสม ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้ (คณิต มงคลพิทักษสุข) ฐานนิยม ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้ ไม่เหมาะสม คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 369 สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต N (1) N X = ∑ xi ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คูณกับจํานวนข้อมูล จะได้เป็นผลรวมข้อมูลทั้งหมด i=1 N (2) ∑ (xi − X) = i=1 0 ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนทั้งหมดเป็นศูนย์ N (3) ∑ (xi − K)2 จะน้อยทีส่ ุด ก็เมื่อ i=1 สมบัติของมัธยฐาน N ∑ xi − K จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ K = X K = Med i=1 (คล้ายข้อ 3 ของ X) สมบัติของค่ากลางทั้ง 3 ชนิด (1) ค่ากลางที่ได้ จะมีค่าอยู่ระหว่างข้อมูลที่น้อยที่สุดกับมากที่สุด เสมอ (2) ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆ ตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ yi = m xi + c จะได้ว่า (ค่ากลางของY) = m ⋅ (ค่ากลางของX) + c ด้วย เช่น Y = m X + c 5 ตัวอยาง ใหหาคา a และหาคา b ที่ทําให ∑ ตอบ คา a ก็คือ • สวนคา b ก็คือ ที่ทําให 8 i=1 X 2 i=1 b − yi 5 8 เพราะ y มีคานอยที่สดุ สําหรับขอมูล ∑ i=1 2 ∑ (a − xi) นั่นเอง เพราะ Medy มีคา นอยทีส่ ุด สําหรับขอมูล x : 2, 3, 6, 12, 20 ∑ (a − xi) i=1 b − yi : 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 5 ก็เหมือนกับ 8 เหมือนกับ ∑ i=1 2 ∑ (xi − a) i=1 yi − b ดังนั้น ดังนั้น a = 8.6 b = 7.5 • ตัวอยาง ในการวัดความสูงของนักเรียนกลุมหนึง่ ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 155 ซม. แตพบวาไมเมตรที่ ใชในการวัดมีขอผิดพลาด สวนสูงจริงของแตละคนตองเพิม่ ขึ้น 3 ซม. แสดงวาคาเฉลี่ยเลขคณิตที่แทจริง เปนเทาใด ตอบ ขอมูลทุกตัวถูกบวก 3 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตก็บวก 3 เปน 158 ซม. • ตัวอยาง ในการวัดความสูงของนักเรียนกลุมหนึง่ ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 155 ซม. แตพบวาไมเมตรที่ ใชในการวัดมีขอผิดพลาด สวนสูงจริงของแตละคนตองเพิม่ ขึ้นเปน 1.02 เทา แสดงวาคาเฉลี่ยเลขคณิตที่ แทจริงเปนเทาใด ตอบ ขอมูลทุกตัวถูกคูณ 1.02 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตก็คูณ 1.02 เปน 158.1 ซม. ตัวอยาง สมการแทนความสัมพันธระหวางน้ําหนัก ( W : กก.) กับสวนสูง ( H : ซม.) ของนักเรียน กลุมหนึ่ง เปน W = H3 − 2 ถาทราบวาสวนสูงเฉลี่ย เทากับ 162 ซม. แลวน้ําหนักเฉลี่ยจะเปนเทาใด • ตอบ เนื่องจาก ดังนั้น W = W = H −2 3 H −2 3 เสมอ ทุกๆ คา ดวย ... สรุปวา W = H 162 − 2 = 52 3 Math E-Book Release 2.2 กก. (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 370 4. ค่ากลางอื่นๆ (ไม่นิยมใช้) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean; GM) ใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต ในกรณีที่มีข้อมูลบางตัวค่าสูงหรือต่ําผิดปกติ เพราะค่าเหล่านี้มีผล เปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยเรขาคณิตไม่มากนัก GM = ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ xi N x1x2x3...xN = N N ∏ xi i=1 คือข้อมูลตัวที่ i, และมีขอ้ มูลทั้งหมด N ตัว โดยทุกข้อมูลเป็นจํานวนจริงบวก k GM = ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ∑ fi i=1 x1f1 x2f2 x3f3 ...xkfk = N k ∏ xif i i=1 xi กึ่งกลางชั้นที่ i, fi คือความถี่ชั้นที่ i, มีทั้งหมด k ชั้น, และมีข้อมูลทัง้ หมด N ตัว โดยทุกข้อมูลเป็นจํานวนจริงบวก หมายเหตุ 1. สัญลักษณ์ ∏ (Pi) ใช้แทนผลคูณ โดยมีตัวแปร i กํากับไว้ว่าในแต่ละตัวคูณจะแปรค่า จากเท่าใดจนถึงเท่าใด (เช่น i = 1 ถึง N) คล้ายสัญลักษณ์ ∑ (Sigma) 2. นิยมใช้สมบัติของ log ช่วยในการคํานวณรากที่ N ดังนี้ ... 1 N 1 N log GM = ∑ log xi และ log GM = ∑ fi log xi n i=1 n i=1 ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก (Harmonic Mean; HM) ใช้หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่เป็นอัตราส่วน เช่น กิโลเมตรต่อชั่วโมง, ราคาต่อชิ้น ฯลฯ HM = ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ xi N = 1 1 1 1 + + + ... + x1 x2 x3 xN N ⎛ 1⎞ ∑⎜ ⎟ i = 1 ⎝ xi ⎠ N คือข้อมูลตัวที่ i, และมีขอ้ มูลทั้งหมด N ตัว k f1 + f2 + f3 + ... + fk = HM = f1 f f f + 2 + 3 + ... + k x1 x2 x3 xk ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว xi กึ่งกลางชั้นที่ i, fi Midrange = xmax ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว Umax i=1 ⎛f ⎞ ∑ ⎜ xi ⎟ i=1 ⎝ i ⎠ k = N ⎛f ⎞ ∑ ⎜ xi ⎟ i=1 ⎝ i ⎠ k คือความถี่ชั้นที่ i, มีทั้งหมด k ชั้น, และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว กึ่งกลางพิสัย (Midrange) ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ ∑ fi คือข้อมูลที่มคี ่าสูงทีส่ ุด, xmax + xmin 2 Xmin คือข้อมูลที่มีคา่ ต่าํ ที่สดุ U + Lmin Midrange = max 2 คือขอบบนของชั้นที่คา่ ข้อมูลสูงทีส่ ุด, Lmin คือขอบล่างของชั้นที่คา่ ข้อมูลต่าํ ที่สดุ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 371 แบบฝึกหัด 17.2 (1) ส่วนสูงนักเรียน 8 คน วัดได้ดังนี้ 112, 120, 114, 122, 112, 110, 114, 112 ซม. จงหาค่าเฉลี่ย เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม (2) [Ent’38] จากข้อมูลที่กําหนดให้ ชุด A: 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3 และชุด B: 1, 2, 4, 1, 2, 5, 2, 5, 1, 5, 5, 3 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองชุดนี้ เท่ากัน ข. มัธยฐานของข้อมูลสองชุดนี้ เท่ากัน (3) [Ent’31] ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 5, 1, 3, 2, 5, 4, 2, 7, 8, 3, 2, 1, 9, 8, 3, 5, 6, 9, 4, 3 แล้วข้อมูลชุดนี้มีการแจกแจงแบบใด ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมเป็นเท่าใด (4) จงหาข้อมูล 4 จํานวน ซึ่งมีฐานนิยมและมัธยฐานเป็น 70 เท่ากัน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 75 และพิสัยเป็น 80 (5) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คน เป็น 65 คะแนน ถ้านักเรียน 7 คนแรก มีคะแนนสอบดังนี้ 55, 43, 67, 80, 85, 74, 38 คะแนน ส่วนอีก 3 คน มีคนได้คะแนนเท่ากัน 2 คน และมากกว่าอีกคนหนึ่งอยู่ 11 คะแนน จงหามัธยฐาน และฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คนนี้ (6) [Ent’ต.ค.41] ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลําดับจากน้อยไปมากได้ 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถ้าฐานนิยมและมัธยฐานเป็น 30 และ 40 ตามลําดับแล้ว ข้อมูลชุดต่อไปนี้จะมีค่าเฉลี่ยเลข คณิตเท่าใด 11, 22, 33, 34, a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 (7) [Ent’40] คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีเส้นโค้งความถี่เป็นโค้งเบ้ซ้าย โดยที่ 80 เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนทั้งหมดสอบได้คะแนนเท่ากันคือ 75 คะแนน สมชายสอบได้คะแนนเท่ากับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ โดยที่คะแนนของสมชายต่างจากฐานนิยมอยู่ 6 คะแนน สมชาย สอบได้คะแนนเท่าใด (8) ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 5 คน คนโตอายุ 15 ปี คนสุดท้องอายุ 4 ปี ค่าเฉลี่ยอายุบุตรทุกคนเป็น 11 ปี มัธยฐานเป็น 12 ปี หากบุตรคนที่ 4 อายุน้อยกว่าคนที่ 2 อยู่ 4 ปี จงหาค่าเฉลี่ยของอายุบุตร ในอีก 3 ปีข้างหน้า (9) [Ent’41] ความสัมพันธ์ระหว่างกําไร (y) และราคาทุน (x) ของสินค้าชนิดหนึ่งเป็น y = 7 + 0.25 x ถ้าราคาทุนของสินค้า 5 ชิ้นเป็น 32, 48, 40, 56, 44 บาท แล้ว จงหา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกําไรของสินค้า 5 ชิ้นนี้ (10) [Ent’22] จากการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างน้ําหนัก (กก.; W) กับส่วนสูง (ซม.; H) ของ คน 15 คน พบว่าเป็นไปตามสมการ 3 W = H − 15 ถ้าค่าเฉลี่ยของส่วนสูง 6 คนแรกเป็น 159 ซม. และของอีก 9 คนที่เหลือเป็น 156 ซม. ให้หาค่าเฉลี่ยของน้ําหนักคน 15 คนนี้ (11) ข้อมูลชุดหนึ่งมี เดิมมีข้อมูลอยู่กี่ตัว X เป็น 11 ถ้ามีข้อมูลค่า 29 เพิ่มอีกตัว จะทําให้ X กลายเป็น 13 ให้หาว่า (12) ข้อมูล N จํานวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 15 ภายหลังพบว่าอ่านข้อมูลผิด คือจาก 21 อ่านผิด เป็น 12 จึงทําการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่ได้เป็น 16 จงหาจํานวนข้อมูล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 372 (13) จากการหาตัวกลางเลขคณิต หรือ X ของข้อมูล 10 ตัว ได้ค่าเป็น 12 แต่ปรากฏว่าอ่านข้อมูล ผิดไป จากข้อมูลจริงคือ 3 แต่อ่านเป็น 8 ดังนั้นค่า X ที่แท้จริงคือเท่าใด (14) น้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนชายเป็น 70 กก. นักเรียนหญิงเป็น 55 กก. และน้ําหนักเฉลี่ยของ นักเรียนทั้งหมด 150 คน เป็น 60 กก. ให้หาจํานวนนักเรียนชาย และนักเรียนหญิง (15) จากผลสอบของนักเรียน 30 คนในห้องหนึ่ง พบว่าค่าเฉลี่ยของคะแนนนักเรียนชายเท่ากับ จํานวนนักเรียนชายพอดี และค่าเฉลี่ยของคะแนนนักเรียนหญิงก็เท่ากับจํานวนนักเรียนหญิงด้วย หาก ค่าเฉลี่ยรวมทั้งห้องเป็น 50/3 คะแนน และจํานวนนักเรียนชายน้อยกว่านักเรียนหญิง จงหาจํานวน นักเรียนชาย (16) คนกลุ่มหนึ่งเป็นชาย 40 คน และหญิง 60 คน เงินรวมกัน 18,630 บาท ถ้าค่าเฉลีย่ ของเงินที่ ผู้หญิงมีน้อยกว่าค่าเฉลี่ยของเงินที่ผู้ชายมี อยู่ 10 บาท จงหาผลรวมของค่าเฉลี่ยทั้งสองนี้ (17) [Ent’41] ตารางต่อไปนี้เป็นเกณฑ์การคิดคะแนนที่ผู้สอนกําหนดไว้ และผลการเรียนของ นักเรียนคนหนึ่ง ถ้านักเรียนคนนี้ได้คะแนนเฉลี่ยตลอดภาคเป็น 79% แล้ว ให้หาคะแนนสอบปลาย ภาคที่นักเรียนคนนี้ได้รับ สอบย่อย ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 20% 30% 84 63 การบ้าน เกณฑ์ คะแนนที่ได้ (100) 20% 92 สอบปลายภาค 30% (18) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ x1, x2 , ..., x10 มีค่าเป็น 5, 6, a , 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลําดับ โดยที่ a < 15 ถ้าพิสัยของข้อมูลชุดนี้คือ 12 10 b เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ ∑ (xi − b)2 มีค่าน้อยที่สุด i=1 10 และ c เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ ∑ i=1 xi − c มีค่าน้อยที่สุด แล้ว a + b + c มีค่าเท่าใด (19) [Ent’มี.ค.43] ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x1, x2 , ..., x20 โดยมีสมบัติดังนี้ 20 20 และ ∑ (xi − b)2 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ ∑ xi − a มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a = 5 i=1 i=1 b = 8 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่ามัธยฐาน ข. ผลรวมของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมด เท่ากับ 100 3 3 (20) กําหนดให้ ∑ (xi + yi) = 9 และ ∑ (xi − yi) = i=1 i=1 เท่าที่เป็นไปได้ a ต้องมีค่าเท่าใด 7 3 หากต้องการให้ ∑ (xi − a)2 มีค่าน้อยที่สุด i=1 (21) กําหนดข้อมูลชุดหนึ่งเป็น x1, x2 , x3 , ..., xN และกําหนดเงื่อนไขต่อไปนี้ จงหาค่า 20 20 (21.1) ∑ (xi + 1)2 = ∑ (xi − 3)2 i=1 8 i=1 2 (21.2) ∑ (xi + 1) i=1 N (21.3) ∑ x2i i=1 = A = 1 8 และ ∑ (xi + 2)2 i=1 N และ ∑ (xi + 2)2 i=1 = 9 = B Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) X คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 373 (22) ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของข้อมูลตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ (22.1) ข้อมูล (22.2) คะแนน ความถี่ ความถี่ 3–5 6–8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 (22.3) อันตรภาคชั้น 10 15 20 25 30 – – – – – 14 19 24 29 34 (22.5) อันตรภาคชั้น 0–9 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 รวม 0 – 19 20 – 39 40 – 59 60 – 79 80 – 99 10 12 15 5 3 (22.4) ความถี่ 10 12 15 9 4 ความถี่ 5 8 7 12 28 20 10 10 100 5 10 15 25 20 อันตรภาคชั้น 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 รวม ความถี่ 1 2 6 20 21 8 2 60 (22.6) รายได้ (บาท) 2,100 – 2,199 2,000 – 2,099 1,900 – 1,999 1,800 – 1,899 1,700 – 1,799 1,600 – 1,699 1,500 – 1,599 รวม จํานวนคน 1 2 6 10 12 7 2 40 (22.7) ราคา (บาท) จํานวนร้านค้า 90 – 94 5 95 – 99 20 100 – 104 30 105 – 109 35 110 – 114 10 60 – 62 0.05 63 – 65 0.18 66 – 68 0.42 69 – 71 0.27 72 – 74 0.08 (22.8) น้ําหนัก (กก.) ความถี่สัมพัทธ์ (23) [Ent’30] ความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่สังเกตได้ กับร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ของค่าเหล่านี้ เป็นไปตามตาราง ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล x y -4 30 -3 50 1 60 2 80 3 100 (24) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของคะแนนสอบ จากผลสอบดังต่อไปนี้ น้อยกว่า 10 คะแนน 5 คน น้อยกว่า 50 คะแนน 60 คน น้อยกว่า 20 คะแนน 13 คน น้อยกว่า 60 คะแนน 80 คน น้อยกว่า 30 คะแนน 20 คน น้อยกว่า 70 คะแนน 90 คน น้อยกว่า 40 คะแนน 32 คน น้อยกว่า 80 คะแนน 100 คน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 374 (25) [Ent’มี.ค.42] เมื่อสร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียน 36 คน โดยใช้ความ กว้างแต่ละอันตรภาคชั้นเป็น 10 แล้ว ปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในช่วง 50 – 59 ถ้า มีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ํากว่า 49.5 อยู่ 12 คน และต่ํากว่า 59.5 อยู่ 20 คน แล้ว มัธยฐาน ของคะแนนสอบมีค่าเท่าใด (26) [Ent’38] อายุของเด็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงดังนี้ ถ้ามัธยฐานเป็น 7 ปีแล้ว a มีค่าเท่าใด อายุ (ปี) จํานวนเด็ก 1–3 3 4–6 a 7–9 6 10 – 12 4 (27) ตารางต่อไปนี้แสดงรายจ่ายต่อเดือนของครอบครัวจํานวน 100 ครัวเรือน หากมัธยฐานเป็น 49.5 แล้วค่า f1 , f2 เป็นเท่าใด รายจ่าย (ร้อยบาท) จํานวนครัวเรือน 0 – 19 14 20 – 39 f1 40 – 59 28 60 – 79 f2 80 – 99 15 (28) [Ent’35] ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียน 25 คน สมัยเป็นนักเรียนคนหนึ่งที่เข้าสอบ พบว่าได้ 62 คะแนน เป็นมัธยฐานพอดี และมี 8 คนที่ได้สูงกว่า 69 คะแนน ถ้ามีการจัดกลุ่ม คะแนนสอบเป็นช่วงๆ กว้างเท่ากัน และคะแนนของสมัยตกอยู่ในอันตรภาคชั้น 60 – 69 แล้ว จํานวนนักเรียนที่สอบได้ในช่วง 60 – 69 คะแนน เป็นเท่าใด 17.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล ในหัวข้อที่แล้วเราได้ศึกษาการหาค่ากลางของข้อมูล ซึ่งเป็นตัวเลขที่ใช้แทนค่าข้อมูลทั้งหมด ที่นิยมใช้มี 3 ชนิด ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม โดยที่ มัธยฐาน เป็นค่าข้อมูลใน ตําแหน่งกึ่งกลางเมื่อถูกเรียงลําดับจากน้อยไปมากแล้ว ค่ามัธยฐานบอกให้ทราบว่า มีข้อมูลที่ค่าสูง กว่าค่านี้ และค่าต่ํากว่าค่านี้ อยู่เป็นปริมาณเท่าๆ กัน เมื่อเรียงลําดับข้อมูลจากน้อยไปมากแล้ว นอกเหนือจากการระบุตําแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล (คือแบ่งข้อมูลออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน) เรายังสามารถระบุตําแหน่งใดๆ ของข้อมูลก็ได้ (คือแบ่ง ข้อมูลออกเป็นกี่ส่วนก็ได้) ถ้าเราแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน จุดแบ่งทั้งสามจุดนั้นจะเรียกว่า ควอร์ไทล์ (Quartile) ที่ 1 หรือ Q 1 , ควอร์ไทล์ที่ 2 ( Q 2 ), และควอร์ไทล์ที่ 3 ( Q 3 ) ตามลําดับ ความหมายของควอร์ไทล์ที่ 1 คือมีข้อมูลที่ต่ํากว่าค่านี้อยู่เป็นปริมาณ 1/4 และมากกว่าค่านี้อยู่อีก 3/4 โดยประมาณ Med Q1 D1 น้อย D2 Q2 D3 D4 D5 Q3 D6 D7 D8 x (ข้อมูล) D9 มาก การบอกตําแหน่งข้อมูลที่นิยมใช้กันมีอีก 2 ชื่อ นั่นคือ เดไซล์ (Decile; D) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น 10 ส่วน และ เปอร์เซ็นไทล์ (Percentile; P) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น 100 ส่วน ทั้งมัธยฐาน ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ เรียกว่า ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล (Relative Standing) การคํานวณหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ เป็นแบบ เดียวกับการคํานวณหามัธยฐาน ดังสรุปได้ดังนี้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ Qr Pr สถิติ 375 คือข้อมูล ในตําแหน่งที่ คือข้อมูล ในตําแหน่งที่ r (N + 1) 4 r (N + 1) 100 Dr คือข้อมูล ในตําแหน่งที่ r (N + 1) 10 เมื่อมีข้อมูลทัง้ หมด N ตัว และเรียงลําดับจากน้อยไปมากแล้ว ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ⎛ r N − ∑f ⎞ L ⎟ Dr = L + I ⎜ 10 ⎜ ⎟ fDr ⎝ ⎠ ⎛r N − ∑f ⎞ L ⎟ Qr = L + I ⎜ 4 ⎜ ⎟ fQr ⎝ ⎠ ⎛ r N − ∑f ⎞ L ⎟ Pr = L + I ⎜ 100 ⎜ ⎟ fPr ⎝ ⎠ r r r N, N, N 4 10 100 ข้อสังเกต ใช้ โดยไม่ต้องบวกหนึง่ L คือขอบล่างชั้นที่มีควอร์ไทล์ (หรือเดไซล์หรือเปอร์เซ็นไทล์) ทีต่ อ้ งการอยู่ ซึ่งชั้นนั้นมีความกว้าง I และมีความถี่เป็น fQr (หรือ fDr หรือ fPr ) ∑ fL คือความถีส ่ ะสมที่ขอบล่าง cf (ความถีส่ ะสม) และสามารถหาค่าได้จากเส้นโค้งของความถี่สะสม N ด้วยเช่นกัน ภาพด้านขวาเป็นตัวอย่างการหาค่า ควอร์ไทล์ที่ 1, 2, และ 3 จากกราฟ 3N/4 2N/4 N/4 O x (ข้อมูล) Q1 Q2 Q3 • ตัวอยาง ขอมูลน้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 9 คนเปนดังนี้ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 ใหหาคามัธยฐาน ควอรไทลที่ 3 และเปอรเซ็นไทลที่ 14 ของขอมูลชุดดังกลาว ตอบ (ตองเรียงลําดับขอมูลกอน กลายเปน 40 42 45 46 46 49 50 51 52) ก. มัธยฐาน อยูต ําแหนงกึ่งกลาง คือตําแหนงที่ 9 2+ 1 = 5 ... มีคาเปน Med = 46 กก. ข. ควอรไทลที่ 3 อยูตําแหนงที่ 3 (9 + 1) = 7.5 4 14 (9 + 1) = 1.4 100 ... มีคาเปน ค. เปอรเซ็นไทลที่ 14 อยูตําแหนงที่ Q3 = 50 + 51 = 50.5 2 กก. ... มีคาเปน P14 = 40 + 0.4 (42 − 40) = 40.8 กก. ขอสังเกต : เมื่อตําแหนงที่ตองการนั้นไมลงตัว (เปนทศนิยม) จะใชวิธีเทียบสัดสวนเอา เชน ขอมูลตําแหนงที่ 1.4 หาโดย นําขอมูลตําแหนงที่ 1 มาบวกเพิ่มไป 0.4 ของระยะหาง S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ÊÁÁµiÇÒÁÕ¤aæ¹¹¢o§¹a¡eÃÕ¹oÂÙ 200 ¤¹ e»oÃe«ç¹ä·Å·èÕ 75 ËÁÒ¶֧Êoºä´·èÕ 150 ãªÃÖe»ÅÒ¤Ãaº ... ¶Ò¿§e¼i¹æ ¡çeËÁ×o¹¨a㪠海è¨Õ Ãi§æÅÇäÁ㪹a¤Ãaº e¾ÃÒae»oÃe«ç¹ä·Å¹é¹a eÃÕ§¨Ò¡¤aæ¹¹¹oÂä»ÁÒ¡ æµÊoºä´·èeÕ ·Òã´¹aé¹eÃÕ§¨Ò¡¤aæ¹¹Áҡ仹o ©a¹aé¹µo§µoºÇÒÊoºä´·èÕ 50 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 376 • ตัวอยาง สวนสูงของนักเรียนกลุม หนึ่งเปนดังนี้ (กอนศึกษาตัวอยางนี้ ใหทบทวนการหามัธยฐานของ ขอมูลแบบตาราง ในตัวอยางหัวขอที่แลว) สวนสูง (ซม.) จํานวนคน ความถี่สะสม 150 – 154 5 5 155 – 159 10 15 160 – 164 12 27 ก. สมชายและสมหญิงเปนนักเรียนในกลุม 165 – 169 14 41 นี้ โดยสมชายมีสว นสูงอยูในตําแหนงควอรไทลที่ 3 170 – 174 8 49 175 – 179 7 56 และสมหญิงมีสวนสูงอยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 180 – 184 4 60 45 ดังนัน้ สมชายสูงกวาสมหญิงอยูเทาใด วิธีคิด การวัดตําแหนงของขอมูล (มัธยฐาน ควอรไทล เดไซล และเปอรเซ็นไทล) จะตองเพิ่มชองความถี่ สะสม (ซึ่งในตารางนี้มีแลว) ... ควอรไทลที่ 3 อยูต ําแหนงที่ 43 × 60 = 45 จะพบวา ควอรไทลที่ 3 (คือตัวที่ 45) นัน้ อยูในชัน้ “170 – 174” ดังนั้น ⎛3 ⎞ N − ∑ fL ⎟ 45 − 41 = 169.5 + (5)( Q3 = L + I ⎜ 4 ) = 172 ⎜ ⎟ 8 f Q3 ⎝ ⎠ ซม. * ขอสังเกต : ตําแหนงที่ตองการ (45) อยูกึ่งกลางระหวาง 41 กับ 49 พอดี จึงทําใหขอมูลทีค่ ํานวณได เปนกึ่งกลางชั้น (ระหวาง 170 – 174) และจะเปนแบบนี้เสมอ ดังนั้นถาพบวาตําแหนงที่ตองการอยูตรงกลางพอดี ก็ใหตอบกึ่งกลางชั้นไดเลย ... ไมตองใชสูตร 45 ตอมา หาเปอรเซ็นไทลที่ 45 พบวาอยูตําแหนงที่ 100 × 60 = 27 ซึ่งตําแหนงนี้อยูต ัวสุดทายของชัน้ “160 – 164” พอดี! จึงไดคาเปนขอบบนของชั้น ดังนั้น P = 164.5 ซม. (ไมตองใชสูตรเชนกัน) ถาลองคํานวณจากสูตรก็จะไดผลเทากัน P = 159.5 + (5)(27 12− 15) = 164.5 ซม. สรุปวา สมชายสูงกวาสมหญิงอยู 172 − 164.5 = 7.5 ซม. 45 45 ข. สวนสูง 159.5 เซนติเมตร คิดเปนเดไซลที่เทาใด วิธีคิด สวนสูง 159.5 ซม. อยูขอบบนของชั้น “155 – 159” พอดี แปลวามีจํานวนคนทีส่ วนสูงนอยกวานี้ อยู 15 คน และมากกวานีอ้ ยู (ที่เหลือ) 45 คน 15 ดังนั้น สวนสูง 159.5 ซม. คิดเปนเดไซลที่ 60 × 10 = 2.5 (คือเทียบสัดสวน วาจํานวนคน 15 ใน 60 นั้น คิดเปนเทาใดใน 10 สวน) แผนภาพชนิดหนึ่งช่วยให้มองการกระจายของข้อมูลในแต่ละส่วนย่อยๆ ได้ เรียกว่า แผนภาพกล่อง (Box-and-Whisker Plot) ... เขียนได้โดยอาศัยข้อมูลต่ําสุด, ข้อมูลสูงสุด, และข้อมูล ในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 1, 2, 3 เช่น น้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 9 คนได้แก่ 40 45 46 46 50 51 49 52 42 พบว่า xmin = 40 , Q1 = 43.5 , Q2 = 46 , Q3 = 50.5 , และ xmax = 52 จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้ (บริเวณ 40 – 43.5 และ 50.5 – 52 เรียกว่าหนวด หรือ Whisker, บริเวณ 43.5 – 50.5 เรียกว่ากล่อง หรือ Box) 40 42 44 46 48 50 52 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 377 ทําให้เราทราบว่า (1) ข้อมูลในช่วง 40 – 43.5 และในช่วง 50.5 – 52 มีปริมาณเท่ากัน (2) ข้อมูลในช่วง 43.5 – 50.5 มีปริมาณเป็นครึ่งหนึ่งของทั้งหมด คือ 40 – 52 (3) ข้อมูลในช่วง Q2 – Q3 มีการกระจายมากที่สุด และช่วง Q3 – Q4 มีการกระจายน้อยที่สุด แบบฝึกหัด 17.3 (29) “สมพรสอบได้คะแนนคิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 จากจํานวนผู้สอบ 4,000 คน” ข้อใดถูกต้อง ก. สมพรสอบได้ที่ 80 ข. สมพรสอบได้ 80% ของคะแนนเต็ม ค. ผู้ที่ได้คะแนนน้อยกว่าสมพร มีประมาณ 80 คน ง. ผู้ที่ได้คะแนนมากกว่าสมพร มีประมาณ 800 คน (30) ผลคะแนนสอบของนักเรียน 15 คนเป็นดังนี้ 16, 19, 32, 30, 4, 9, 4, 12, 20, 26, 12, 31, 20, 17, 24 จงหาคะแนนที่ตรงกับควอร์ไทล์ที่ 3, เดไซล์ที่ 6, และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 (31) จากข้อมูลชุดหนึ่งได้แก่ 4, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 19, 23 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ D 2 , P 60 และ Q 3 P 10 , (32) ข้อมูลที่เรียงลําดับแล้วเป็นดังนี้ 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, x, 23, 24, 27, 28, 30 ถ้าทราบว่า D6 = 20 แล้วจงหาค่า x (33) กําหนดข้อมูลชุดหนึ่งเป็น 28, 15, 19, 11, 29, 12, 27, 24, 30 จงหาว่า (33.1) 28 คิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด Y (ความถี่สะสม) (33.2) 15 คิดเป็นควอร์ไทล์ที่เท่าใด (34) ผลสอบของนักเรียน 32 คน เขียนเป็น กราฟของความถี่สะสมได้ดังภาพ โดย เส้นโค้งนี้ตรงกับสมการ Y = 4 log2 X จงหาว่าควอร์ไทล์ที่ 3 กับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 มีค่าต่างกันอยู่เท่าใด น้ําหนัก (กก.) 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 จํานวน (คน) 3 7 24 10 5 1 32 O 1 256 X (คะแนน) (35) จากการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนได้ผลดังตาราง จงหาเดไซล์ที่ 6 และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 92 (36) ผลการสอบของนักเรียน 40 คนเป็นดังตาราง หาก อาจารย์ต้องการตัดเกรดเพียง 3 เกรดคือ A, B, F โดย ต้องการให้เกรด A มีจํานวนนักเรียน 20% เกรด B มีจํานวน 40% และที่เหลือได้เกรด F ถามว่าจะต้องตัดเกรดที่คะแนน เท่าใด และหากได้ 71 คะแนนจะได้เกรดใด Math E-Book Release 2.2 คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 (คณิต มงคลพิทักษสุข) จํานวนคน 2 5 6 11 11 4 1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ค่าจ้าง (บาท) 81 – 85 86 – 90 91 – 95 96 – 100 101 – 105 106 – 110 111 – 115 116 – 120 สถิติ 378 (37) [Ent’37] กําหนดค่าจ้างรายวันของคนงานกลุ่มหนึ่งมีการ แจกแจงดังตาราง ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 เป็น 100.5 บาท และควอร์ไทล์ที่ 3 เป็น 110.5 บาทแล้ว จํานวน คนงานที่ได้ค่าจ้างรายวันต่ํากว่า 105.5 บาท เท่ากับเท่าใด จํานวนคน 1 3 x 5 8 y 10 4 17.4 ค่าการกระจายของข้อมูล พิจารณาข้อมูลสองชุดได้แก่ ชุดที่ 1; 8, 10, 12, 20, 5, 1, 7, 7 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 7.5 และชุดที่ 2; 8, 7, 7, 8, 7, 8, 8, 7 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 7.5 เท่ากัน จะเห็นว่าค่ากลางของข้อมูล นั้นไม่สามารถบอกลักษณะข้อมูลชุดต่างๆ ได้อย่างสมบูรณ์ ควรใช้อีกค่าหนึ่งร่วมกันด้วย นั่นคือค่า การกระจาย (Dispersion) ค่าการกระจายยิ่งมาก แสดงว่าข้อมูลยิ่งแตกต่างกัน ไม่เกาะกลุ่มกัน เช่น ในตัวอย่างข้างต้น ข้อมูลชุดที่ 1 จะมีค่าการกระจายมากกว่าชุดที่ 2 การวัดการกระจายแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) ซึ่งใช้สําหรับข้อมูลชุดนั้นเพียงชุดเดียว และการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) ซึ่งใช้ เปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลสองชุดได้ การกระจายสัมบูรณ์ที่นิยมใช้ มี 4 แบบ ดังนี้ 1. พิสัย (Range) เป็นค่าที่วัดได้รวดเร็ว แต่จะมีข้อผิดพลาดมากหากข้อมูลบางจํานวนมีค่าสูงเกินไป หรือต่ําเกินไปแบบ ผิดปกติ จึงเหมาะกับการวัดโดยคร่าวๆ ที่ไม่ต้องการความแม่นยํามากนัก ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ Range = xmax − xmin xmax คือข้อมูลที่มคี ่าสูงทีส่ ุด, ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว xmin คือข้อมูลที่มีคา่ ต่าํ ที่สดุ Range = Umax − Lmin Umax คือขอบบนของชั้นที่คา่ ข้อมูลสูงที่สดุ , Lmin คือขอบล่างของชัน้ ทีค่ ่าข้อมูลต่าํ ทีส่ ุด 2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Quartile Deviation; QD) บางครั้งเรียกว่า กึ่งพิสัยควอร์ไทล์ (Semi-interquartile Range) ถึงแม้ว่าการวัดที่ได้จะไม่ละเอียดนัก เพราะใช้เพียงข้อมูลที่ใกล้เคียงกับควอร์ไทล์ที่ 1 และ 3 เท่านั้น แต่ก็มีส่วนดีเนื่องจากใช้ได้กับการแจกแจงความถี่ที่มี่อันตรภาคชั้นเปิด และใช้ได้กับข้อมูลชุดที่มีบาง จํานวนค่าสูงหรือต่ําเกินไปแบบผิดปกติ ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ หรือข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว QD = Q3 Q3 − Q 1 2 คือข้อมูลในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 3, Q1 คือข้อมูลในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 379 3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation; MD หรือ Average Deviation) เป็นค่าที่วัดได้ละเอียดกว่าสองแบบแรกเพราะคํานวณจากข้อมูลทุกตัว แต่มีข้อเสียที่การคํานวณ ยุ่งยากกว่า ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ MD = N xi คือข้อมูลตัวที่ i จากทัง้ หมด N ตัว, ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว MD = N x1 − X + x2 − X + ... + xN − X X xi − X ∑ i=1 = N คือค่าเฉลีย่ เลขคณิตของข้อมูล k f1 x1 − X + f2 x2 − X + ... + fk xk − X = f1 + f2 + ... + fk ∑ fi i=1 xi − X N xi กึ่งกลางชั้นที่ i จาก k ชั้น ซึ่งมีความถี่ fi , และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว, X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต 4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation; SD หรือ s) เป็นค่าที่นิยมใช้มากที่สุด เนื่องจากมีความละเอียด เชื่อถือได้ สามารถคํานวณได้ง่ายกว่าส่วน เบี่ยงเบนเฉลี่ย (โดยใช้สูตรที่จัดรูปแล้ว) และนําไปใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลขั้นสูงได้ ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ N s = ∑ (xi − X)2 (x1 − X)2 + (x2 − X)2 + ... + (xN − X)2 = N i=1 N N หรือจัดรูปได้ว่า s = ∑ x2i i=1 N xi − X2 คือข้อมูลตัวที่ i จากทัง้ หมด N ตัว, ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว X คือค่าเฉลีย่ เลขคณิตของข้อมูล k s = 2 2 2 f1(x1 − X) + f2(x2 − X) + ... + fk(xk − X) f1 + f2 + ... + fk N หรือจัดรูปได้ว่า s = xi 2 ∑ fx i i i=1 N 2 ∑ f(x i i − X) i=1 = N N − X2 = I ⋅ 2 ∑ fd i i i=1 N k − D2 เมื่อ D = กึ่งกลางชั้นที่ i จาก k ชั้น ซึ่งมีความถี่ fi , และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว, X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต di เป็นจํานวนเต็ม โดยให้ชน ั้ ที่มคี ่า a นัน้ เป็น d = 0 และชั้นที่มีขอ้ มูลค่าน้อยลง d = −1, −2, ... ไปเรือ่ ยๆ ส่วนชั้นที่ขอ้ มูลค่าสูงขึน้ ∑ fd i i i=1 N d = 1, 2, ... ไปเรื่อยๆ ในตําราสถิติ นิยมใช้สัญลักษณ์แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น σ (Sigma) และ s โดยให้นิยามว่า σ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้งหมด เป็นค่าแท้จริง และ s คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง เป็นค่าประมาณ นั่นคือ ถ้า N คือจํานวนข้อมูลทั้งหมด และถูกสุ่มมาเป็นตัวอย่างจํานวน n ข้อมูล จะได้ N σ = ∑ (xi − μ)2 i=1 N N = ∑ x2i i=1 N n − μ2 และ s = Math E-Book Release 2.2 ∑ (xi − X)2 i=1 n − 1 N = (คณิต มงคลพิทักษสุข) ∑ x2i i=1 n − 1 − n X2 n − 1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 380 ข้อสังเกต 1. ในระดับประชากรใช้ตัวหารเป็น N แต่ในระดับตัวอย่างใช้ตัวหารเป็น n – 1 ซึ่งกําหนดเช่นนี้เพื่อให้สนับสนุนสมบัติต่างๆ ในสถิติขั้นสูง (และยังไม่กล่าวถึงในระดับ ม.ปลาย) แต่ จะสังเกตได้ว่า ยิ่งมีจํานวนข้อมูลมากๆ การใช้ตัวหาร N กับ n – 1 จะยิ่งให้ผลใกล้เคียงกัน 2. ในทางปฏิบัตินิยมใช้ตัวหารเป็น n – 1 เพราะมักเป็นการคํานวณในระดับตัวอย่าง แต่การศึกษาระดับชั้นนี้ เราใช้ตัวหารเป็น N เพราะในโจทย์จะบอกข้อมูลให้เราทราบครบทุกตัว และในหนังสือเล่มนี้จะใช้สัญลักษณ์ s กล่าวรวมถึงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสองแบบ • ตัวอยาง อายุของสมาชิกในครอบครัวหนึ่งซึ่งมี 5 คน ไดแก 15, 35, 35, 35, 55 ป ใหหาคาการกระจายของขอมูลชุดนี้ ในแบบตางๆ ก. พิสัย ตอบ Range = 55 − 15 = 40 ป ข. สวนเบี่ยงเบนควอรไทล ตอบ การหาคาสวนเบี่ยงเบนควอรไทล จะตองรู Q และ Q กอน 15 + 35 1 Q อยูในตําแหนงที่ × (5 + 1) = 1.5 ... ดังนั้น Q = = 25 ป 4 2 1 3 1 1 Q3 3 × (5 + 1) = 4.5 4 Q − Q1 45 − 25 QD = 3 = = 10 2 2 อยูในตําแหนงที่ สรุปวา ... ดังนั้น ค. สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ตอบ การหาคาสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ตองรู X Q3 = 35 + 55 = 45 2 ป ป กอน ... X = 15 + 35 + 35 + 35 + 55 = 35 5 จากสูตร MD = 20 + 0 + 50 + 0 + 20 = 8 ป (นําผลตางระหวาง ขอมูลแตละตัว กับ x มาเฉลี่ยกัน) ง. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตอบ การหาคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตองรู X กอน ... คํานวณแลวในขอ ค. ได 2 2 2 2 X = 35 ป 2 จากสูตร SD = 20 + 0 + 05 + 0 + 20 = 160 ≈ 12.65 ป (วิธีหา SD คลายกับ MD ... แตผลตางที่ได ตองนํามายกกําลังสองทุกตัว และถอดรูท ตอนจบ) ขอสังเกต : คา QD, MD, SD ที่ได จะใกลเคียงกันเสมอ สมบัติของค่าการกระจายสัมบูรณ์ (1) ค่าการกระจายเป็นบวกหรือศูนย์เสมอ โดยเป็นศูนย์ก็เมื่อข้อมูลทุกค่าเหมือนกันหมด (2) ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆ ตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ yi = m xi + c จะได้ว่าค่าการกระจายของข้อมูลชุด Y เป็น m เท่าของชุด X ข้อสังเกต ค่ากลาง ถูกกระทบทั้งการบวกและคูณ แต่ ค่าการกระจาย ถูกกระทบเฉพาะการคูณ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ป คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 381 สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน N (1) จากสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต ที่ว่า ∑ (xi − K)2 จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ i=1 ทําให้เราทราบว่า ค่า (2) ค่า s2 M = ⎛N 2⎞ ⎜ ∑ (xi − K) ⎟ ÷ N ⎝i=1 ⎠ จะน้อยที่สุดก็เมื่อ K = X M = SD (K = X) หรือ σ 2 เรียกว่า ความแปรปรวน (Variance; Var) ความแปรปรวนรวม (Combined Variance หรือ Pooled Variance) ของข้อมูลหลายชุด คํานวณจาก k s2p + X2c = N1(s21 + X21 ) N2(s22 X22) + + + ... + N1 + N2 + ... + Nk Nk(s2k X2k ) + = 2 2 ∑ N(s i i + Xi ) i=1 k ∑ Ni i=1 Xi Ni s2i คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ i, คือความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ i คือจํานวนของข้อมูลชุดที่ i จากทั้งหมด k ชุด ส่วนการกระจายสัมพัทธ์ มี 4 แบบ คํานวณได้จากการกระจายสัมบูรณ์ โดยใช้คําว่า สัมประสิทธิ์ของ... (Coefficient of…) นําหน้า ได้แก่ สัมประสิทธิ์ของพิสัย = xmax − xmin xmax + xmin สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = = MD X สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน Q3 − Q 1 Q3 + Q1 = s X ซึ่งสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนี้ เป็นค่าการกระจายสัมพัทธ์ที่นิยมใช้มากที่สุด เรียกสั้นๆ ว่า สัมประสิทธิ์การแปรผัน (Coefficient of Variation; CV) ข้อสังเกต ค่ากลาง และ ค่าการกระจายสัมบูรณ์ มีหน่วยอย่างเดียวกับข้อมูล ความแปรปรวน มีหน่วยเหมือนข้อมูลยกกําลังสอง แต่ ค่าการกระจายสัมพัทธ์ ไม่มีหน่วย • ตัวอยาง (ตัวอยางนี้มีการทบทวนเนื้อหาเรื่องสมบัติของคากลางดวย) ในการสอบครั้งหนึ่ง คาเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนักเรียน เปน 14 คะแนน และ 1.4 คะแนน2 ตามลําดับ ก. หากผูส อนเพิม่ คะแนนเก็บใหทุกคน คนละ 5 คะแนน แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตและความ แปรปรวนของคะแนนชุดใหม เปนเทาใด ตอบ ขอมูลทุกตัวถูกบวก 5 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตก็บวก 5 เปน 19 คะแนน แตการบวกไมมีผลตอคาการกระจาย ดังนั้น ความแปรปรวนยังคงเปน 1.4 คะแนน2 ข. หากผูสอนปรับคะแนนเต็มจากเดิม 20 คะแนน ใหกลายเปน 60 คะแนน แลวคาเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนของคะแนนชุดใหม เปนเทาใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 382 ตอบ ขอมูลทุกตัวถูกคูณ 3 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตก็คณู 3 เปน 52 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( s ) ก็จะกลายเปน 3 เทาจากเดิมดวย แตขอนี้คิดความแปรปรวน ( s ) ดังนั้นจะตองเพิม่ ขึ้นเปน 1.4 × 3 = 12.6 คะแนน2 หมายเหตุ : สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 3s ทําใหความแปรปรวน s = (3s ) = 3 s 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 แบบฝึกหัด 17.4 (38) ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่า 12, 14, 14, 17, 18, 21 จงหาค่าการกระจายสัมบูรณ์ทั้งสี่แบบ (39) โค้งความถี่สะสมของคะแนนนักเรียนจํานวน 400 คน เป็นไปตามสมการ F = 100 log4 X จง หาค่าส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (40) ข้อมูลชุดหนึ่งมีส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็น 2 และสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็น 2/3 จงหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 (41) [Ent’38] ข้อมูล 4 จํานวนมีค่าดังนี้ 5, a, b, 1 โดยที่ 1 < a < b ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ย เลขคณิตเท่ากับ 4 และความแปรปรวนเท่ากับ 5 แล้ว จงหาค่าของ b – a (42) [Ent’37] ข้อมูล 7 จํานวนมีค่าต่างกันดังนี้ 9, 6, 15, a, 2, 4, 12 โดยที่ 2 < a < 12 ถ้า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลเป็น 2 เท่าของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ค่า a จะเป็นเท่าใด (43) ในการวัดความสูงของนักเรียน คํานวณค่า s ได้ 10 ซม. แต่พบว่าสเกลของไม้เมตรผิดพลาด ขาดไป 10% ของส่วนสูงจริง ดังนั้นค่า s ที่ถูกต้องคือเท่าใด (44) นักเรียนคนหนึ่งคิดว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 42 จึงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 6 แต่มาพบว่า ที่จริงค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 40 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงเป็นเท่าใด (45) จงหาค่าความแปรปรวนของข้อมูลแต่ละชุด และความแปรปรวนรวมของทั้งสองชุด ชุดที่ 1; 3, 6, 9, 12, 15 ชุดที่ 2; 3, 9, 15 (46) ข้อมูลสองชุดมีจํานวนเท่ากัน ชุดแรกมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0 และชุด ที่สองมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 3 ถ้าพบว่าข้อมูลรวมมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 3 จงหาส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานของข้อมูลชุดที่ 2 (47) นักเรียนชาย m คน ทุกคนอายุ x ปี และนักเรียนหญิง n คน ทุกคนอายุ y ปี จงหาความ แปรปรวนรวมของอายุนักเรียนทั้งหมด (48) [Ent’36] ในการสอบของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมี 60 คน ได้คะแนนรวม 1,320 คะแนน โดยมี ความแปรปรวนเป็น 100 คะแนน2 ถ้ามีนักเรียนได้ 32 คะแนนอยู่ 10 คน จงหาความแปรปรวนของ คะแนนของนักเรียน 50 คนที่เหลือ (49) [Ent’36] ถ้านักเรียน 20 คนมีส่วนสูงเฉลี่ย 150 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 3 ซม. นักเรียนชายซึ่งมี 12 คนมีส่วนสูงเฉลี่ย 150 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 ซม. ถามว่าส่วนสูง ของนักเรียนหญิงหรือชายมีการกระจายมากกว่ากัน และมากกว่ากันกี่เท่า 10 (50) จงหาความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึ่ง ซึ่งมี ∑ xi i=1 = 60 Math E-Book Release 2.2 10 และ ∑ (xi − 5)2 i=1 (คณิต มงคลพิทักษสุข) = 370 คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 383 (51) จากการสํารวจอายุการใช้งานแบตเตอรี่ 2 ยี่ห้อ ได้ผลดังนี้ ยี่ห้อ A; 30, 26, 32, 46, 21 เดือน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 31 ยี่ห้อ B; 28, 53, 40, 18, 34, 31 เดือน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 34 อยากทราบว่ายีห่ ้อใดมีคุณภาพดีกว่ากัน [คุณภาพดี หมายถึงผลิตออกมาใช้งานได้ใกล้เคียงกันทุกชิ้น] คะแนน 50 60 70 80 90 (52) กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบนักเรียน 100 คน จงหาค่าการกระจายสัมบูรณ์ทั้งสี่แบบ – – – – – 59 69 79 89 99 ความถี่ 15 20 40 15 10 17.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ สมมตินาย ก สอบวิชาภาษาไทยได้ 80% และสอบวิชาภาษาอังกฤษได้ 87% ยังสรุปไม่ได้ ทันทีว่าเขาสอบวิชาใดได้ดีกว่ากัน เพราะต้องคํานึงถึงค่าเฉลี่ย และค่าการกระจายของคะแนนแต่ละ วิชาประกอบกันด้วย ค่ามาตรฐาน (Standard Score หรือ Z-Score; z) เป็นค่าที่ใช้เทียบข้อมูลที่ดึงมาจากต่าง ชุดกันได้ เพราะเป็นการปรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานให้เท่ากัน zi = xi − X s i = 1, 2, 3, ..., N ข้อสังเกต 1. ค่า z ไม่มีหน่วย 2. ค่า z ของข้อมูลที่ค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะเครื่องหมายบวก, น้อยกว่าค่าเฉลี่ยจะเป็นลบ, ตรงกับค่าเฉลี่ยพอดี จะเป็น 0 3. สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์อีกแบบได้เป็น zi = xi − μ โดย i σ = 1, 2, 3, ..., N 4. อาจเขียนข้อมูลที่ตําแหน่ง z = c ในรูปแบบ x = X + c s ก็ได้ เช่น X − 2 s หมายถึงข้อมูลที่มีค่า z = −2 , หรือ X + 0.5 s หมายถึงข้อมูลที่มีค่า z = 0.5 สมบัติของค่ามาตรฐาน N (1) ∑ zi = 0 (ผลรวมของข้อมูลชุด z ใดๆ เป็น 0 เสมอ) i=1 (2) Z = 0 เสมอ (ผลจากข้อ 1) และ sz = 1 เสมอ (3) The 95% Rule : “โดยทัว่ ไปข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z = −2 ถึง z = 2 จะมีปริมาณร้อยละ 95 ของจํานวนข้อมูลทั้งหมด” ... หมายความว่าข้อมูลเกือบทุกค่าจะอยู่ในช่วง (X − 2 s, X + 2 s) และ เราอาจประมาณ Range ≈ 4 s ก็ได้ (คือเมื่อทราบค่าพิสัย จะประมาณค่า s ได้) • ตัวอยาง ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ปรากฏวาคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวน เบี่ยงเบนมาตรฐาน เปน 60 และ 10 คะแนน ตามลําดับ โดยที่นาย ก ไดคะแนนคิดเปนคามาตรฐานเทากับ 1.3 และนาย ข ไดคะแนนนอยกวานาย ก อยู 8 คะแนน ก. นาย ข ไดกี่คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 384 − 60 วิธีคิด คํานวณหาคะแนนของนาย ก จากสมการ zก = xก s− X → 1.3 = xก 10 ไดเปน xก = 73 คะแนน ... ดังนัน้ คะแนนของนาย ข เทากับ xข = 73 − 8 = 65 คะแนน ข. เมื่อรวมคะแนนเก็บซึ่งทุกคนได 5 คะแนนเทากันแลว คะแนนรวมของนาย ข คิดเปนคา มาตรฐานเทากับเทาใด − 65 วิธีคิด คะแนนรวมของนาย ข คือ 70 คะแนน คิดเปนคามาตรฐาน zรวม,ข = 70 10 = 0.5 (สังเกต : X ตองเปลี่ยนเปน 65 เพราะขอมูลทุกตัวถูกบวก 5, แตการบวกไมมีผลกับ s ) การคํานวณเกี่ยวกับเส้นโค้งของความถี่ ลักษณะของเส้นโค้งของความถี่มี 3 แบบ (หรือกล่าวว่าลักษณะการแจกแจงมี 3 แบบ) คือ (1) โค้งปกติ (Normal Curve) หรือ โค้งรูประฆัง (Belled-Shaped Curve) เป็นโค้งของข้อมูลที่พบ บ่อยที่สุดโดยเฉพาะข้อมูลจากธรรมชาติ เช่น ส่วนสูง น้ําหนัก ปริมาณผลผลิตการเกษตร (2) โค้งเบ้ลาดทางซ้าย (หรือทางลบ) (Negatively Skewed Curve) (3) โค้งเบ้ลาดทางขวา (หรือทางบวก) (Positively Skewed Curve) ซึ่งโค้งแต่ละแบบ บอกความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ดังภาพ f f f โค้งเบ้ซ้าย โค้งเบ้ขวา โค้งปกติ O x = Med = Mo x O x x < Med < Mo เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งจะเท่ากับความถี่รวมพอดี (เป็นสิ่งที่ได้จากการสร้างฮิสโทแกรม) เราจึงสามารถคํานวณ เกี่ยวกับการวัดตําแหน่งของข้อมูล (มัธยฐาน, ควอร์ไทล์, เดไซล์, เปอร์เซ็นไทล์) ได้ โดยจะศึกษาเฉพาะโค้งปกติซึ่ง ใช้ตารางท้ายบทเรียนในการหาค่าพื้นที่ใต้โค้ง ในทางปฏิบัตินนั้ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างตารางหลายตาราง เพื่อใช้แทนข้อมูลที่มีค่ากลางและค่าการกระจายต่างๆ กัน ดังนั้น จึงต้องใช้วิธีเปลี่ยนค่า x ให้เป็นค่ามาตรฐาน z ก่อน (ค่าเฉลี่ย จะเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 ไม่ว่าจะเป็นข้อมูล ชุดใด) เรียกโค้งปกติที่ปรับค่าข้อมูลให้เป็นค่ามาตรฐานแล้วนี้ว่า โค้งปกติมาตรฐาน O Mo < Med < x S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S o¤§eº«ÒÂÂoÁÒ¨Ò¡ o¤§eºÅÒ´·Ò§«Ò o¤§eº ¢ÇÒÂoÁÒ¨Ò¡ o¤§eºÅÒ´·Ò§¢ÇÒ ... ¶Ò¶ÒÁÇÒÃÙ» ä˹e»¹o¤§eº«Ò ÃÙ»ä˹o¤§eº¢ÇÒ ¹o§æ ÊǹÁÒ¡¨ae´ÒÊÅaº¡a¹ ©a¹aé¹ãËÊa§e¡µ´Õæ ¹a¤Ãaº ¾oeÃÕ¡ÂoæÅÇoÒ¨·íÒãËe¢Ò㨤ÇÒÁËÁÒ¼i´ä» X -3 -2 -1 0 1 2 3 สิ่งสําคัญในตารางแสดงพื้นที่ใต้กราฟของโค้งปกติมาตรฐาน 1. พื้นที่ใต้โค้งรวมกันทั้งหมด (ความถี่รวม) จะมีค่าเท่ากับ 1.00 พอดี 2. ค่าที่ระบุในตาราง แสดงพื้นที่ที่วัดระหว่าง z=0 ไปถึง z ใดๆ โดยมีเพียงค่า z เป็นบวก เท่านั้น (ซีกขวาของโค้ง) เราสามารถหาพื้นที่ซีกซ้ายได้โดยอาศัยความสมมาตรของรูปกราฟ 3. หาค่าเปอร์เซ็นไทล์ (เดไซล์, ควอร์ไทล์) ได้โดยการนําพื้นที่ที่ต้องการไปเทียบเป็นค่า z Math E-Book Release 2.2 x (คณิต มงคลพิทักษสุข) x z คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 385 ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 65 มีค่าเท่าใด จากการเปิดตารางที่พื้นที่ 0.15 ซึ่งในตารางระบุว่า z=0.385 A = 0.3 (จากนั้นนําไปคํานวณกลับเป็นค่าข้อมูล x ได้) ในทํานองเดียวกัน เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 หาได้จากการเปิดตาราง ที่พื้นที่ 0.3 ได้ค่า z=0.841 แต่เนื่องจากเป็นพื้นที่ทางซีกซ้าย P20 -0.841 ค่า z ที่แท้จริงจึงเป็น -0.841 x ใช้สูตร ←⎯⎯⎯ → z เปิดตาราง ←⎯⎯⎯ → A เทียบสัดส่วน ←⎯⎯⎯ → A = 0.15 P65 0.385 x z P, D, Q • ตัวอยาง ถาคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวน เทากับ 60 และ 25 ตามลําดับ และผูสอบผานตองไดคะแนนไมนอยกวา 54 คะแนน สมมตินาย ก, นาย ข, และนาย ค ทราบวาตนเองไดคะแนนอยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 10, 15, และ 33 ตามลําดับ กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตโคงปกติ ตั้งแตคามาตรฐาน 0 ถึง z ดังนี้ z 0.35 0.40 0.44 1.20 A 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849 ก. นาย ค สอบไดกี่คะแนน วิธีคิด ขอนี้เราทราบตําแหนงเปอรเซ็นไทล ( P ) และตองการเทียบเปนขอมูลคะแนน ( xค ) เริ่มจากการเทียบ P เปนพื้นที่ จะพบวาอยูทางซีกซายของโคง และหางจากแกนกลางอยู 0.17 ซึ่งระบุ ในตารางวา คามาตรฐานเปน 0.44 เนื่องจากอยูทางซาย จึงตองไมลืมวา คามาตรฐานที่แทจริงเปน −0.44 ... จากนัน้ ทําการ คํานวณเปนคา xค ไดตามตองการ คือ −0.44 = xค −5 60 → xค = 57.8 คะแนน (อยาลืมวาตัวเลข 25 ที่โจทยใหมาเปนความแปรปรวน ตองถอดรูทกอนจึงเปนคา s ) 33 33 ข. นักเรียนสามคนนี้ ใครสอบผานบาง วิธีคิด นักเรียนที่สอบผานจะตองได 54 คะแนนขึ้นไป ฉะนัน้ ผลจากการคํานวณขอ ก. เราทราบแลววานาย ค สอบผาน ... ตอมาจะใชวิธีเดิมเพื่อคํานวณหาคะแนนนาย ก ( P ) และ ข ( P ) ดวย ... เริ่มจากการ เทียบ P และ P เปนพื้นที่ จะพบวาอยูทางซีกซายของโคง และหางจากแกนกลางอยู 0.40 และ 0.35 ตามลําดับ แตปรากฏวาในตารางไมไดกําหนดคามาให! (ขอควรระวัง : อยาดู z กับ A สลับชองกัน เชนในตารางมีคา z = 0.35, 0.40 มาให แตไมไดใช ... เพราะที่เราตองการคือ A = 0.35, 0.40 ซึ่งไมมีให) ดังนั้นขอนี้จึงตองคิดดวยวิธีอื่น คือแปลงจากคะแนน 54 คะแนน มาเปนเปอรเซ็นไทลบาง แบบนี้ ก็จะชวยใหเทียบวาใครสอบผาน ไดรวดเร็วกวาเดิมอีก ... การคํานวณเริ่มจากคิด 54 ใหเปนคามาตรฐาน 54 − 60 ้ ที่เทากับ 0.3849 (แตอยูซีกซายของโคง) นัน่ คือเปอรเซ็นไทล z = = −1.2 ดูในตาราง ไดพืน 5 ที่ 50 − 38.49 = 11.51 ... แสดงวาผูส อบผานตองไดเปอรเซ็นไทลที่ 11.51 ขึ้นไป ... สรุปวา นาย ข และนาย ค สอบผาน 10 10 15 54 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 15 คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 386 • ตัวอยาง คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรมีคาเฉลีย่ เลขคณิตเทากับ 64 คะแนน และการแจกแจงเปนโคงรูป ระฆัง ถามีนักเรียนสอบไดมากกวา 80 คะแนนอยู 15.87% และพื้นทีใ่ ตโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง 1 เทากับ 0.3413 แลว สัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบนี้เปนเทาใด วิธีคิด สัมประสิทธิ์การแปรผัน หาไดจาก s/ X ... เราทราบคา X แลว แตยังไมทราบ s สามารถหาคา s ไดจากคําใบที่วา “มีนกั เรียนสอบไดมากกวา 80 คะแนนอยู 15.87%” นั่นคือ คะแนน 80 อยูในตําแหนงพื้นที่ 0.5 − 0.1587 = 0.3413 ... ซึ่งระบุคา z = 1 ดังนั้น 1 = 80 −s 64 ไดคา s = 16 ... สรุปวา สัมประสิทธิ์การแปรผัน = 16/64 = 0.25 เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องการอินทิเกรต (บทที่ 15) นอกจากจะใช้ตารางแล้ว ยังหาพื้นที่ใต้กราฟอย่างละเอียดได้โดย ใช้เครื่องช่วยคํานวณอินทิเกรตสมการของเส้นโค้งปกติ คือ − 1 2 − 1 2 z 2 f (x) = e ⎛x−μ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S µo§·íÒ¤ÇÒÁe¢Òã¨eÃ×èo§ x, z, A ãË´Õæ ¹a¤Ãaº e¾×èo ¨aä´äÁe»´µÒÃÒ§ÊÅaº¡a¹ÃaËÇÒ§ z ¡aº A 2 ÷ σ 2π (ซึ่งจะพบว่ามีการเลื่อนแกน และความสูงของกราฟ ต่างๆ กันไปตามค่า μ และ σ ) และสมการของโค้งปกติมาตรฐาน ที่กลายเป็น f (z) = e ÷ 2π (ซึ่งจะไม่ขึ้นกับค่า μ และ σ ) แบบฝึกหัด 17.5 (53) นาย ก สอบวิชาภาษาไทยได้ 48 คะแนน และภาษาอังกฤษได้ 35 คะแนน โดยค่าเฉลี่ยของ คะแนนสอบวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษเป็น 45 กับ 32 คะแนนตามลําดับ และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานเป็น 12 กับ 10 คะแนนตามลําดับ ถามว่าเขาสอบวิชาใดได้ดีกว่ากัน (54) นักเรียน 40 คนมีอายุรวมกัน 640 ปี และมีค่าความแปรปรวนของอายุเป็น 4 ปี2 ถ้า ก และ ข อยู่ในกลุ่มนี้โดยที่ ก อายุ 18 ปี และค่ามาตรฐานของอายุ ก น้อยกว่า ข อยู่ 0.5 แล้ว จงหาอายุ ของ ข (55) คนงาน 100 คน มีอายุเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 25 และ 13 ปี ตามลําดับ ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของอายุคนงาน 99 คน เป็น -0.25 แล้ว อายุของคนงานอีก คนที่เหลือเป็นเท่าใด (56) ค่ามาตรฐานคะแนนสอบของ ก ข และ ค เป็น -1.6, 1.28, 2.4 ตามลําดับ ถ้า ก ได้คะแนน น้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตอยู่ 5 คะแนน และ ข ได้ 60 คะแนน ถามว่าคะแนนของ ค เป็นเท่าใด (57) [Ent’38] จากข้อมูลการสอบของนักเรียน 6 คนดังตาราง จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน คะแนน ค่ามาตรฐาน 30 -1.2 40 -0.8 45 -0.6 60 0 85 1.0 100 1.6 (58) [Ent’35] ในการสอบ นักเรียนที่ได้ 70 คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐาน 1 ถ้าสัมประสิทธิ์การแปร ผันคือ 30% แล้ว จงหาคะแนนเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน พร้อมทั้งบอกด้วยว่าคนที่ได้ค่า มาตรฐานเป็น -1 นั้นมีคะแนนสอบเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 387 ตารางต่อไปนี้แสดงค่าพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ระหว่าง z = 0 ถึง z = z ใช้สําหรับโจทย์แบบฝึกหัดตัง้ แต่ขอ้ 59 เป็นต้นไป (ยกเว้นข้อที่โจทย์ระบุคา่ มาให้) z A z A z A z 0.00 0.0000 0.72 0.2642 1.20 0.3849 1.96 0.44 0.1700 0.84 0.3000 1.25 0.3944 2.00 0.50 0.1915 1.00 0.3413 1.29 0.4000 2.03 0.67 0.2500 1.12 0.3686 1.50 0.4330 2.50 0.71 0.2612 1.19 0.3830 1.56 0.4400 3.00 A 0.4750 0.4773 0.4788 0.4938 0.4987 (59) ให้หาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ในช่วงค่า z ที่กําหนด (59.1) z = 0 ถึง 1.12 (59.4) z = 2 ถึง 3 (59.2) z = 0 ถึง -2.03 (59.5) z < -1.19 (59.3) z = -1.19 ถึง 2 (60) [Ent’40] คะแนนสอบที่มีการแจกแจงปกติชุดหนึ่งมีสัมประสิทธิ์การแปรผัน 24% และส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน ให้หาตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของนักเรียนที่ได้ 65 คะแนน (61) ผลการสอบของนักเรียน 300 คน มีการแจกแจงแบบปกติ ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบเป็น 72 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ผู้ที่สอบได้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 10 จะสอบได้กี่คะแนน (62) [Ent’36] ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาไทยมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 80 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน 15 คะแนน นักเรียนที่ได้คะแนนเป็นเดไซล์ที่ 3.3 จะมีผลสอบกี่คะแนน (63) [Ent’35] ในการสอบครั้งหนึ่งซึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ และมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ถ้า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 และความแปรปรวนเท่ากับ 100 ข้อใดต่อไปนี้มีค่าสูงที่สุด ก. คะแนน ณ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ข. คะแนนมาตรฐาน 1.50 ค. คะแนนดิบ 85 ง. คะแนน ณ เดไซล์ที่ 7 (64) [Ent’38] ข้อมูลที่แจกแจงแบบปกติชุดหนึ่งมีค่าสูงสุดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5, คะแนนต่ําสุด เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 10 ให้หาพิสัยของข้อมูลชุดนี้ (65) จากการสํารวจผู้สอบคณิตศาสตร์กลุ่มหนึ่ง พบว่าผลการสอบมีการแจกแจงแบบปกติ ค่าเฉลี่ย เลขคณิตเป็น 97 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 20 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของ คะแนนสอบเป็นเท่าใด [กําหนดพื้นที่ทางขวาของ z=0 เป็น 50%, z=0.25 เป็น 40.13%, z=0.5 เป็น 30.85%, z=0.675 เป็น 25.00%, และ z=0.75 เป็น 22.66%] (66) การแจกแจงความถี่ของรายได้พนักงานบริษัทแห่งหนึ่งเป็นแบบปกติ ผูม้ ีรายได้ต่อเดือนต่ํากว่า 3,000 บาทมีอยู่ 33% ผู้มีรายได้ในช่วง 3,000 ถึง 5,000 บาทมี 61% และที่เหลือได้มากกว่า 5,000 บาท จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของรายได้ทั้งหมดนี้ (67) [Ent’39] คะแนนสอบที่มีการแจกแจงเป็นโค้งรูประฆัง มีจํานวนนักเรียนได้ต่ํากว่า 40 คะแนน อยู่ 15.87% และสูงกว่า 70 คะแนนอยู่ 2.27% จงหาสัมประสิทธิ์การกระจายของคะแนนสอบกลุ่ม นี้ และหาว่ามีนักเรียนที่สอบได้มากกว่า 30 คะแนนอยู่ร้อยละเท่าใด (68) [Ent’40] ผลการสอบของนักเรียนห้องหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวน 9 ถ้า จํานวนนักเรียนที่ได้น้อยกว่า 60 คะแนนเท่ากับคนที่ได้มากกว่า 72 คะแนน ให้หาว่าจํานวนคนที่ได้ น้อยกว่า 60 คะแนนคิดเป็นร้อยละเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 388 (69) ผลสอบของ 500 คนเป็นการแจกแจงปกติ มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 คะแนน, ก และ ข เป็นนักเรียนในกลุ่มนี้โดย ก สอบได้ 40% ของคะแนนเต็ม และ ข สอบได้ 20% ของคะแนนเต็ม ถ้าการสอบนี้เต็ม 200 คะแนนและมีคนได้คะแนนน้อยกว่า ก อยู่ 450 คน ข้อใดถูกต้อง ก. คะแนนของ ก ได้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ข. คะแนนของ ข ได้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 ค. มีคนได้คะแนนน้อยกว่า ข 119 คน ง. ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยได้เพราะข้อมูลไม่พอ (70) คะแนนสอบของนักเรียน 1,000 คนมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 ถ้ามีนักเรียน 900 คนได้ต่ํากว่า 80 คะแนน (กําหนดพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z=0 ถึง 1.3 เป็น 0.4) ข้อใดผิด ก. คะแนนเฉลี่ยน้อยกว่า 80 ข. คะแนน 54 เป็นค่ามาตรฐาน -1.3 ค. คะแนน 54 เป็นเปอร์เซ็นไทล์ 10 ง. ผูไ้ ด้คะแนน 54 ถึง 80 มีมากกว่า 800 คน (71) [Ent’39] คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีสัมประสิทธิ์การแปรผัน 1/4 ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 3 แล้ว มัธยฐานเท่ากับเท่าใด (72) [Ent’39] กําหนดพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ z=0.67 เป็น 0.25 ถ้าข้อมูลชุด หนึ่งแจกแจงแบบปกติโดยส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็น 2 และสัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็น 2/3 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวน 17.6 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล หากเรามีคู่อันดับ (x, y) จํานวนหนึ่ง หลังจากสร้าง แผนภาพการกระจายตัว (Scatter Plot) เราจะเห็นลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x กับ y และสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y เป็นสมการในรูป y = f (x) “เพื่อใช้ทํานายค่า y” ที่ค่า x ตามต้องการได้ รูปแบบความสัมพันธ์ที่พบบ่อย ได้แก่ เส้นตรง พาราโบลา และเอกซ์โพเนนเชียล แต่ละรูปแบบเราจะต้องคํานวณหาค่าคงตัวทีบ่ ่งบอกลักษณะของกราฟ ดังนี้ y 1. ฟังก์ชันเส้นตรง รูปทั่วไป Y = mX + c หาค่าคงตัว m กับ c โดยสมการ Σy = mΣx + c N __________(1) Σxy = mΣx2 + cΣx ________(2) x (N คือจํานวนคูอ่ ันดับ หรือจํานวนจุด) O ¤Ò Σxy S ¨u´·Õè¼i´ºoÂ! S ≠ Σx ⋅ Σy ¹a¤Ãaº.. µo§¤Ù³ x⋅y ãˤú¡o¹æÅǨ֧ÃÇÁ 2. ฟังก์ชันพาราโบลา รูปทั่วไป Y = หาค่าคงตัว a, b และ c โดยสมการ Σy = aΣx2 + bΣx + c N ________(1) Σxy = aΣx3 + bΣx2 + cΣx ______(2) Σx2y = aΣx4 + bΣx3 + cΣx2 _____(3) y aX2 + bX + c Math E-Book Release 2.2 O (คณิต มงคลพิทักษสุข) x คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 389 รูปทั่วไป Y = abX หรือ log Y = log a + X หาค่าคงตัว log a กับ log b โดยสมการ Σ (log y) = N log a + log b Σx _______(1) Σ (x log y) = log a Σx + log b Σx2 _____(2) y 3. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล log b O x ข้อสังเกต สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการปกติ (Normal Equations) หาได้จากกระบวนการเดียวกันคือ สมการที่หนึ่ง เติมเครื่องหมาย Σ ทั้งสองข้างของสมการ สมการที่สอง นําสมการแรกมาเติมตัวแปรต้น คือ x ไว้ภายใน Σ ทุกพจน์ สมการต่อๆไป หากจํานวนสมการยังไม่ครบ ให้เพิ่ม x ไว้ภายใน Σ อีก ทีละตัวๆ การหาค่าคงตัวด้วยสมการเหล่านี้ เรียกว่า ระเบียบวิธีกําลังสองน้อยที่สุด (Method of Least Squares) เป็นวิธีที่ทําให้ค่า y ที่ได้ มี ความคลาดเคลื่อนกําลังสอง (Square Error หรือ l 2 ) น้อยที่สุด Σ (yi − Y) Y คือค่าจริง และ Yl (อ่านว่า y-hat) คือค่าที่ได้จากการประมาณด้วยฟังก์ชัน ... ซึ่งการ ทํานายค่าของ y ที่ค่า x ภายในพิสัยของข้อมูลที่มี เรียกว่า การพยากรณ์ในช่วง (Interpolation) และที่ค่า x นอกพิสัยที่มี เรียกว่า การพยากรณ์นอกช่วง (Extrapolation) ข้อควรระวัง สมการที่หาได้ไม่สามารถทํานายค่า x จาก y ได้ ... ถ้าต้องการประมาณค่า x ก็ต้อง เปลี่ยนฟังก์ชันทั้งหมด ให้เป็น x = f (y) แทน (คือให้ y เป็นตัวแปรต้น) ตัวอยาง จากการสอบถามรายจายของ 8 ครอบครัวในหมูบานหนึง่ ไดผลสัมพันธกับรายได ดังตาราง จงหาความสัมพันธที่ใชประมาณรายจายจากรายได และถามวาถาครอบครัวหนึ่งในหมูบานนีม้ ีรายได 4, 500 บาท จะมีรายจายประมาณเทาใด รายได (พันบาท) 1 3 4 6 8 9 11 14 รายจาย (พันบาท) 1 2 4 4 5 7 8 9 วิธีคิด โจทยตองการทํานายรายจาย จากรายได แสดงวาในที่นี้ Y คือรายจาย และ X คือรายได เมื่อวาง คูอันดับเหลานี้ลงในแกนพิกัดฉากแลวพบวา มีความสัมพันธกนั แบบเสนตรง ดังนัน้ สมการที่เราจะใชคือ Y = mX + c และดําเนินการหาคา m, c โดย.. → Σy = mΣx + c N และ Σxy = mΣx + cΣx แทนคา Σy = 40 , Σx = 56 , N = 8 , Σxy = 364 และ Σx = 524 จะได.. → 40 = 56m + 8c และ 364 = 524m + 56c แกระบบสมการ ไดคําตอบ m = 0.636 และ c = 0.545 (1) ความสัมพันธที่ใชประมาณรายจายจากรายได คือ Y = 0.636 X + 0.545 เมื่อ Y คือรายจาย (พันบาท) และ X คือรายได (พันบาท) ตอบ l (2) Y = 0.636(4.5) + 0.545 = 3.407 ดังนั้น ครอบครัวที่มีรายได 4, 500 บาท จะมีรายจายประมาณ 3, 407 บาท ตอบ • 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 390 ตัวอยาง จากตัวอยางที่แลว ถามวาถาครอบครัวหนึ่งในหมูบานนี้มีรายจาย 3, 500 บาท จะมีรายได ประมาณเทาใด * วิธีคิด โจทยตอ งการทํานายรายไดจากรายจาย แสดงวาหากเราจะใช Y เปนรายจาย และ X เปน รายไดเชนเดิม จะตองเปลี่ยนรูปสมการเปน X = mY + c และหาคา m, c โดย.. → Σx = mΣy + c N และ Σxy = mΣy + cΣy แทนคา Σx = 56 , Σy = 40 , N = 8 , Σxy = 364 และ Σy = 256 จะได.. 56 = 40m + 8c และ 364 = 256m + 40c แกระบบสมการ ไดคําตอบ m = 1.5 และ c = −0.5 ดังนั้น ความสัมพันธที่ใชประมาณรายไดจาก รายจาย คือ X = 1.5Y − 0.5 เมือ่ Y คือรายจาย (พันบาท) และ X คือรายได (พันบาท) จึงไดวา ครอบครัวที่มีรายจาย 3, 500 บาท จะมีรายไดประมาณ 4, 750 บาท ตอบ • 2 2 ตัวอยาง ถาความสัมพันธเชิงฟงกชันทีใ่ ชทํานายกําไร ( y : พันบาท) จากตนทุน ( x : รอยบาท) อยู ในรูป y = mx + c โดยมีสมการที่ไดจากระเบียบวิธีกําลังสองนอยทีส่ ุด ดังนี้ 19 = 30 m + 10 c ___ (1) และ 6.6 = 10 m + 4 c ___ (2) ก. เมือ่ ตนทุนเปน 400 บาท จะทํานายกําไรไดเปนกีบ่ าท วิธีคิด การทํานายกําไร ( y ) จากตนทุน ( x ) สามารถทําได แกระบบสมการ ได m = 0.5 และ c = 0.4 ... นัน่ คือสมการทีใ่ ชไดแก y = 0.5 x + 0.4 ... และเมื่อตนทุนเปน 400 บาท ( x = 4 ) จะได y = 0.5(4) + 0.4 = 2.4 ดังนั้นตอบวา กําไรเทากับ 2,400 บาท ข. เมื่อกําไรเปน 400 บาท จะสามารถทํานายตนทุนได ตองกําหนดคาใดเพิ่มเติมให วิธีคิด จากสมการที่โจทยใหมา คือสมการ Σy = mΣx + c N และ Σxy = mΣx + cΣx ซึ่งใชทํานายคา y จาก x ... แตถาตองการทํานายคา x จาก y ตองใชสมการ Σx = mΣy + c N และ Σxy = mΣy + cΣy ซึ่งเมื่อเทียบกันดูแลว พบวายังตองทราบเพิม่ อีกอยางหนึ่ง นั่นคือ Σy ค. ตนทุนเฉลี่ย X เทากับกี่บาท วิธีคิด จากขอ ข. เทียบกับสมการในโจทย ไดวา Σy = 6.6 , Σx = 10 , N = 4 , Σxy = 19 , และ Σx = 30 ... จากนัน้ หา X จาก Σx/N = 10/4 = 2.5 หรือตนทุนเฉลี่ยเทากับ 250 บาท • 2 2 2 2 ตัวอยาง ถาใหสมการแทนความสัมพันธเชิงฟงกชันที่ใชประมาณน้ําหนัก ( W : ก.ก.) จากสวนสูง ( H : ซม.) ของนักเรียนกลุมหนึ่ง เปน W = H3 − a โดยทีท่ ราบวาน้ําหนักเฉลี่ยและสวนสูงเฉลี่ย เทากับ 52 ก.ก. และ 162 ซม. ตามลําดับ ก. นักเรียนคนหนึ่งในกลุม นี้สูง 159 ซม. จะมีน้ําหนักประมาณเทาใด วิธีคิด จากสมการ W = H3 − a ยังทํานายนําหนักไมไดเพราะไมทราบคา a เราสามารถหาคา a ไดจากคําใบทีว่ า W = 52 และ H = 162 • จากความสัมพันธ W = H − a 3 ... แทนคา 52 = 162 − a 3 Math E-Book Release 2.2 ... จะได a = 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ดังนั้น นักเรียนทีส่ ูง 159 สถิติ 391 ซม. จะมีน้ําหนัก l = 159/3 − 2 = 51 W กก. (หมายเหตุ : การที่ถา W = H3 − a แลว W = H3 − a ดวย จะบอกถึงทีม่ าในแบบฝกหัดขอ 79) ข. หากนักเรียนคนหนึ่งสูงขึ้น 12 ซม. น้ําหนักจะเพิ่มขึ้นประมาณเทาใด * วิธีคิด ขอนี้หามคํานวณจาก W = 12/3 − 2 เด็ดขาด! เพราะการที่ H เพิ่มขึน้ 12 ซม. ไมไดแปลวา H = 12 ... วิธีคิดที่จริงคือ +W = +H/3 เทานัน ้ คือ +W = 12/3 = 4 กก. (หมายเหตุ ในกราฟเสนตรง สัดสวนการเปลี่ยนแปลงของ y และ x จะดูที่ความชัน m เทานั้น ... สวน คา c จะเปนเทาใด ก็เพียงทําใหกราฟยกขึ้นลง แตไมมีผลตอการเปลี่ยนแปลงเลย) ข้อมูลในรูปอนุกรมเวลา หากข้อมูลที่เราสนใจ (Y) เป็นข้อมูลที่ตัวแปรต้นมีช่วงห่างเท่าๆ กัน เช่น ตัวแปรต้นเป็นปี พ.ศ. ที่ห่างเท่าๆ กันแล้ว เราจะเรียกข้อมูล Y ชุดนั้นว่า ข้อมูลในรูปอนุกรมเวลา (Time Series Data) ซึ่งจะสามารถแทนค่าตัวแปรต้น X ด้วยตัวเลขค่าน้อยๆ ได้เพื่อให้สะดวกในการคํานวณ วิธีที่ นิยมที่สุดคือ ให้ข้อมูลตรงกลางเป็นเลข 0 แล้วนับขึ้นลงเป็น ±1, ± 2 ต่อไปจนครบทุกจุด เพราะวิธี นี้จะทําให้ Σx = 0 จึงแก้ระบบสมการหาพารามิเตอร์ได้ง่าย โดยเฉพาะสมการเส้นตรง กับสมการ เอ็กซ์โพเนนเชียล หากจํานวนข้อมูลเป็นจํานวนคู่ ไม่มีจุดตรงกลาง ก็จะให้ปีระหว่างกลางนั้นเป็น ±1 และคู่ ถัดไปเป็น ±3, ± 5 ไปเรื่อยๆ (เพื่อรักษาระยะห่างให้เท่าๆ กัน) แบบนี้ก็ยังได้ Σx = 0 เช่นกัน • ตัวอยาง จงสรางสมการทํานายประชากรในทองที่หนึ่ง ถากําหนดขอมูลที่สํารวจไดดังตาราง และจากนั้น ใหประมาณจํานวนประชากรในทองที่นีใ้ นป 2547 พ.ศ. 2535 2537 2539 2541 2543 จํานวนประชากร (พันคน) 0.8 0.9 1.1 1.4 2.0 วิธีคิด ให Y คือจํานวนประชากร และให X เปน −2, −1, 0, 1, 2 แทน พ.ศ. 2535, 2537, ... ตามลําดับ เมือ่ วางคูอันดับเหลานี้ลงในแกนพิกัดฉากแลวพบวา มีความสัมพันธกนั แบบเอ็กซโพเนนเชียล ดังนั้นสมการที่เราจะใชคือ log y = log a + x log b และจะหาคา log a, log b โดย.. Σ (log y) = N log a + log b Σx และ Σ (x log y) = log a Σx + log b Σx แทนคา Σ (log y) = 0.345 , Σx = 0 , N = 5 , Σ (x log y) = 0.988 และ Σx = 10 จะได.. → 0.345 = 5 log a และ 0.988 = 10 log b ไดคําตอบ log a = 0.069 และ log b = 0.0988 (1) ความสัมพันธที่ใชประมาณจํานวนประชากร คือ log Y = 0.069 + 0.0988 X เมื่อ Y คือจํานวน ประชากร (พันคน) และ X แทนเวลาตามที่ไดกําหนด ตอบ (2) ป พ.ศ. 2547 มีคา X = 4 จะได log Yl = 0.069 + 0.0988(4) = 0.4642 หรือ l = 10 Y = 2.912 … ในป พ.ศ. 2547 จะมีประชากรประมาณ 2, 912 คน ตอบ 2 2 0.4642 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 392 แบบฝึกหัด 17.6 y (73) [Ent’40] พิจารณาแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x และ y ดังรูป สมการที่ใช้แทนความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y อยู่ในรูปใดต่อไปนี้ ก. y = x − 1 ข. y = a − bx, a, b > 0 ค. y = a − bx2 , a, b > 0 ง. y = a + bx, a, b > 0 x O (74) [Ent’38] จากการทดลองวัดความสัมพันธ์ระหว่างเวลา t (วินาที) และระยะทาง s (เมตร) ของวัตถุที่เคลื่อนที่ ได้ผลดังนี้ t s 1 2 2 8 3 4 18 32 ถ้าความสัมพันธ์เป็นแบบเส้นตรงแล้ว เราจะทํานายระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ ในขณะที่ วินาทีได้เท่าใด t = 1.5 (75) [Ent’30] ในการประมาณความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเส้นตรง ของ x กับ y โดยวิธีกําลังสองน้อย ที่สุด เมื่อมีข้อมูล (x, y) ดังนี้ (0, 5) , (1, 2) , (2, 1) จงทํานายค่า y เมื่อ x = 1 3 (76) [Ent’ต.ค.43] ถ้า y = mx + c เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเพื่อการทํานายรายจ่ายหมวด บริการลูกค้า (y) จากจํานวนพนักงานของโรงแรม (x) ในจังหวัดหนึ่ง จํานวนข้อมูลที่นํามาสร้าง ความสัมพันธ์เท่ากับ 5 และมีสมการดังนี้ 28 = 5c + 10m และ 67 = 10c + 30m พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ข. x = 5.6 ก. ถ้า x = 5 ค่าประมาณของ y = 8.9 (77) [Ent’31,ต.ค.41] กําหนดให้ความสัมพันธ์ระหว่างรายได้ (x) และรายจ่าย (y) ต่อเดือนของ ครอบครัวที่อาศัยในอําเภอหนึ่งเป็น y = 200 + 0.85x ถ้าครอบครัว 2 ครอบครัวมีรายได้ต่างกัน 1,000 บาท จะมีรายจ่ายโดยประมาณ ต่างกันเท่าใด (78) [Ent’ต.ค.42] พิจารณาข้อมูลของ x และ y ดังนี้ x y -3 0 -1 a 0 a+3 1 a+4 3 a+6 เมื่อ a เป็นค่าคงที่ ให้ x และ y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟเส้นตรงความชัน 1.55 ถ้า x = 4 จะประมาณค่า y ได้เท่าใด (79) [Ent’มี.ค.43] ถ้าให้สมการที่ใช้แทนความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ใช้สําหรับประมาณจํานวนห้องพัก ที่มีแขกมาพัก (แทนด้วย y) จากจํานวนห้องพักที่มีการขอจองล่วงหน้า (x) คือ y = a + 0.75x โดยที่ X = 40 , Y = 60 ถามว่าถ้า x = 60 แล้ว จํานวนห้องพักที่มีแขกมาพักจริงโดยประมาณ เท่ากับเท่าใด [Hint : จากสมการที่ 1 ของสมการเส้นตรง นํา N หารสองข้าง จะได้ Y = mX + c ] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 393 (80) [Ent’37] จากการสอบถามครอบครัว n ครอบครัว ที่มีรายได้ต่อเดือน 5,000 ถึง 20,000 บาท เกี่ยวกับรายจ่ายต่อเดือน ปรากฏผลดังนี้ รายได้ (พันบาท) : x รายจ่าย (พันบาท) : y x 1 x 2 x 3 … xn y1 y2 y3 … yn และมีค่า X = 12 , Y = 5 โดยสมการเส้นตรงที่แทนความสัมพันธ์นี้ตัดแกน y ที่จุด ครอบครัวมีรายได้ 15,000 บาท จะมีรายจ่ายโดยประมาณเป็นเท่าใด (0, −3) ถ้า (81) [Ent’35] ถ้าค่าของตัวแปร x และ y คือ x y -1 1 0 0 1 1 2 3 3 10 y = kx2 และสมการที่ใช้ประมาณความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรนี้คือ จงหาค่า k (82) [Ent’36] จากการสอบถามถึงรายจ่ายของครอบครัว 8 ครอบครัว ที่มีรายได้ตั้งแต่ 1,000 ถึง 14,000 บาท ได้สมการที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ของรายได้ (X) และรายจ่าย (Y) คือ Y = 0.636 X + 0.545 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. เราสามารถใช้สมการข้างต้นประมาณ S ¢o¤ÇÃÃaÇa§! S รายได้ เมื่อทราบรายจ่าย 1. ¶ÒÁÕÊÁ¡Òà Y = ...X... æÊ´§ÇÒ㪷Òí ¹Ò Y eÁ×oè ºo¡¤Ò X ÁÒ ข. ถ้าเพิ่มข้อมูลอีก 7 ครอบครัว สมการที่ ãËe·Ò¹aé¹ äÁÊÒÁÒöeoÒä»ãª·Òí ¹Ò X ¨Ò¡¤Ò Y ä´ ¶ÒoÂÒ¡ ใช้แทนความสัมพันธ์ยังคงเป็นสมการเดิม ·íÒ¹Ò¨aµo§ãˤÙoa¹´aºÁÒe¾×èoÊÃÒ§ÊÁ¡ÒÃãËÁã¹ÃÙ» X = ...Y... (83) [Ent’33] สมการแสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน 2. ¶Òºo¡¤Ò X ·Õèe»ÅÕèÂ¹ä» (e¾ièÁ¢Öé¹ËÃ×oŴŧ¡çä´) ÁÒãË æÅÇ ระหว่างต้นทุน (Y: พันบาท) กับจํานวนสินค้าที่ผลิต ¶ÒÁ Y ·Õèe»ÅÕèÂ¹ä» ¨a¤i´e©¾Òa m e·Ò¹aé¹ ... e¾ÃÒa㹡ÃÒ¿ eʹµÃ§ Êa´Êǹ¡ÒÃe»ÅÕè¹æ»Å§¢o§ Y æÅa X ¨a¢Ö鹡aº¤ÇÒÁ (X: ร้อยชิ้น) คือ Y = 2X + 5 ข้อความต่อไปนี้ ªa¹ m e¾Õ§oÂÒ§e´ÕÂÇ (¤Ò c äÁÁ¼Õ Å) ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ถ้าต้นทุนเป็น 7,000 บาท คาดว่าผลิตได้ 100 ชิ้น ข. ถ้าผลิตเพิ่ม 200 ชิ้น คาดว่าต้นทุนเพิ่ม 4,000 บาท (84) [Ent’23] ตารางที่กําหนดให้นี้เป็นข้อมูลเกี่ยวกับเงินที่ใช้โฆษณาสินค้าต่อเดือน (X: หมื่นบาท) และเงินที่ได้จากการขายต่อเดือน (Y: แสนบาท) x y 5 10 1 3 3 6 4 7 2 4 หาค่าต่างๆ ได้ดังนี้ Σx = 15 , Σy = 30 , Σx2 = 55 , Σy2 = 210 , Σxy = 107 และ กําหนดให้สัมพันธ์กันแบบเส้นตรง หากต้องการขายสินค้าให้ได้เดือนละ 12,000,000 บาท ควร ลงทุนโฆษณาเท่าใด (85) [Ent’26] จากตารางซึ่งข้อมูลสัมพันธ์กันแบบเส้นตรง พิจารณาว่าข้อความใดถูกหรือผิดบ้าง x y 1 2 2 5 3 7 4 8 ก. ถ้า y = 10 ทํานาย x ได้ 4.75 (86) [Ent’34] ข้อมูลอนุกรมเวลา (Y) มีค่าดังนี้ พ.ศ. y 2526 20 2527 30 2528 20 ข. 2529 40 l = 2X + 0.5 Y 2530 60 ถ้า Y สัมพันธ์กับเวลาในลักษณะเส้นตรงแล้ว จะสามารถทํานายค่า Y ในปี 2535 ได้เท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 394 (87) [Ent’31] มูลค่าอุตสาหกรรมสิ่งทอส่งออกระหว่างปี 2520 ถึง 2524 เป็นดังนี้ พ.ศ. มูลค่า (ล้านบาท) 2520 1 2521 3 2522 4 2523 5 2524 9 ถ้าพยากรณ์โดยใช้ความสัมพันธ์เส้นตรงแบบกําลังสองน้อยที่สุด จงหามูลค่าส่งออกเฉลี่ย 6 เดือน แรก ของปี 2525 สูตรสําเร็จของสมการเส้นตรง ในกรณีทั่วๆ ไป ระบบสมการที่ใช้หาพารามิเตอร์นั้นมักจะแก้หาคําตอบได้ยาก (เนื่องจาก ความแตกต่างของตัวเลขสัมประสิทธิ์) สําหรับรูปแบบเส้นตรงนั้น เราใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการ ได้ผลเป็นสูตรสําเร็จดังนี้ 1. หาค่า m จากสูตร m = N Σ(xy)2 − Σx Σ2y N Σ(x ) − (Σx) 2. ต่อจากนั้นอาจหาค่า c โดยอาศัยสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ ใช้สมการ (สมการนี้ได้จาก นํา N ไปหารสมการปกติที่ (1) ของรูปแบบเส้นตรง นั่นเอง) Y = mX + c เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (59.1) 0.3686 (59.2) 0.4788 (59.3) 0.8603 (59.4) 0.0214 (59.5) 0.1170 (60) 89.44 (61) 59.1 คะแนน (62) 73.4 คะแนน (63) ค. (64) 24 (65) 13.5 คะแนน (66) 0.29 (67) 0.2, 97.73 (68) 2.27 (69) ค. (70) ง. (71) 12 (72) 3, 8.91 (73) ข. 2 2 2 (74) 5 เมตร (75) 4 4N (47) mx + ny − ⎛⎜ mx + ny ⎞⎟ (76) ก. ถูก และ ข. ผิด m + n ⎝ m + n ⎠ (22.1) 8.6, 8.6, 9.2 (77) 850 บาท (78) 11.2 (48) 96 (49) หญิง, 16.5 / 2 เท่า (22.2) 61.5, 65.5, 72.83 (79) 75 (80) 7,000 บาท (50) 36 (51) ยีห่ ้อ A (22.3) 20.5, 20.5, 21.17 (81) 1 (82) ก. และ ข. ผิด (22.4) 69.5, 69.98, 70.21 (52) 50, 7.5, 8.95, 11.52 (53) อังกฤษ (54) 19 ปี (83) ก. ผิด และ ข. ถูก (22.5) 44.50, 45.93, 46.17 (84) 676,000 บาทต่อเดือน (55) 28.25 ปี (22.6) 1802, 1791.17, 1770.93 บาท (85) ก. ผิด และ ข. ถูก (56) 63.5 คะแนน (22.7) 103.25, 103.67, 105.33 บาท (86) 97 (87) 4.9 ล้านบาท (57) 5/12 (22.8) 67.45, 67.43, 67.35 (58) 53.85, 16.15, 37.7 (23) –0.7 (24) 44.5, 45.93, 46.17 (1) 114.5, 113, 112 ซม. (25) 57 คะแนน (26) 5 คน (2) ก. ถูก ข. ผิด (27) 22, 21 (28) 6 คน (3) เบ้ขวา, 4.5, 4, 3 (29) ง. (30) 26, 20, 29.2 (4) 40, 70, 70, 120 (31) (4+5+15+18)/4=10.5 (5) 70, 73 คะแนน (6) 55.5 (7) 69 คะแนน (32) 18 (33) 70, 1.2 (34) 64-16=48 คะแนน (8) 14 ปี (9) 18 บาท (10) 47.4 กก. (11) 8 ตัว (35) 58.83, 74.5 กก. (36) 62.23, 76.77 คะแนน, เกรด B (12) 9 ตัว (13) 11.5 (14) 50, 100 คน (15) 10 คน (37) 22 คน (16) 192.3+182.3= 374.6 บาท (38) 9, 2.625, 2.67, 3 (39) (64-4)/2=30 (40) 5 (17) 83 คะแนน (18) 19 (19) ผิดทั้ง 2 ข้อ (20) 8/3 (41) 7–3=4 (42) 8 (43) 11.11 ซม. (44) 14.14 (21.1) 1 (21.2) –1 (45) 18, 24, 20.25 (46) 4 B−A − 1 (21.3) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET สถิติ 395 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคดิ ) (1) = X = 112 + 120 + 114 + 122 + 112 + 110 + 114 + 112 916 = 114.5 8 8 ซม. หรือใช้สมบัติของค่ากลางช่วยคิด โดยการลดทอน ตัวเลขลงให้คาํ นวณง่ายขึน้ เช่น นํา 115 ไปลบออก ทุกจํานวน กลายเป็น −3, 5, −1, 7, −3, −5, −1, −3 หาค่าเฉลี่ยได้เป็น −3 + 5 − 1 + 7 − 3 − 5 − 1 − 3 8 = −4 = −0.5 8 ดังนัน้ (บวก 115 กลับคืนไป) X = −0.5 + 115 = 114.5 ซม. Med → เรียงลําดับข้อมูลเป็น 110, 112, 112, 112, 114 , 114, 120, 122 Med Med = 113 ซม. (อยูต่ ําแหน่งตรงกลางพอดี) และ Mo = 112 ซม. (มีข้อมูลซ้ํามากทีส่ ุด) (2) A : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 → XA = 3 และ ∴ MedA = 3 B : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5 → XB = 3 และ MedB = 2.5 ดังนัน้ ก. ถูก และ ข. ผิด (3) เรียงลําดับข้อมูล 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9 X = 4.5 , Med = 4 , Mo = 3 ∴ ข้อมูลทัง้ หมด 10 จํานวน ได้แก่ 38, 43, 55, 62, 67, 73, 73, 74, 80, 85 ตอบ Med = (67 + 73) = 70 คะแนน, 2 Mo = 73 คะแนน (6) ฐานนิยม = 30 แสดงว่า a = 30 (เพราะต้องมี 30 อย่างน้อย 3 ตัว) มัธยฐาน = 40 แสดงว่า a + b = 40 ∴ b = 50 หา → X 2 ของข้อมูล 11, 22, 33, 34, 35, 46, 67, 68, 99, 130 555 → X = = 55.5 10 (7) ฐานนิยม = 75 เพราะมีผู้ได้คะแนน 75 เหมือนๆ กันอยูถ่ ึง 80% ของจํานวนคนทัง้ หมด สมชายได้คะแนน = X = 75 − 6 = 69 คะแนน [ใช้ 75-6 เพราะเป็นโค้งเบ้ซา้ ย ดังนั้น X < Mo ] (8) ไม่จําเป็นต้องคิดละเอียดถึงขนาดหาอายุของแต่ ละคน เพราะว่า X = 11 ปี → อีก 3 ปีข้างหน้าจะได้ X ใหม่ = 11 + 3 = 14 ปี [เป็นสมบัติของค่ากลาง คือ ถ้า y = mx + c แล้ว Y = mX + c ด้วย] (9) Y = 7 + 0.25 X ด้วย → ดังนัน้ หาค่า X ก่อนได้เลย → X = 32 + 48 + 40 + 56 + 44 = 44 5 การแจกแจงเป็นแบบ “เบ้ลาดทางขวา” ∴ Y = 7 + (0.25)(44) = 18 บาท (เพราะข้อมูลส่วนมากไปอยูท่ างค่าน้อย, หรืออาจมอง (10) 3W = H − 15 ด้วย จาก Mo < Med < X ก็ได้) ∑H (4) A, B, C, D → หา H โดย H = 15 Mo = 70, Med = 70 แสดงว่า B = C = 70 6(159) + 9(156) = = 157.2 ซม. จากนั้น หา A กับ D จากพิสยั และ X 15 157.2 − 15 → ∴ W = = 47.4 กก. โดย A + 70 + 70 + D = 75 .....(1) 3 และ 4 D − A = 80 .....(2) → แก้ระบบสมการ ได้ A = 20, D = 100 ∴ ตอบ ข้อมูล 4 จํานวนได้แก่ 20, 70, 70, 100 (5) N = 10, X = 65 → ∑ x = 65 × 10 = 650 คะแนน 7 คนแรกได้คะแนนรวม 55 + 43 + 67 + 80 + 85 + 74 + 38 = 442 ∴ 3 คนที่เหลือ มีคะแนนรวมกัน 208 คะแนน a , a + 11, a + 11 → 3a + 22 = 208 → a = 62 (11) จาก → 11 = X ใหม่ = → (12) Xเดิม = ∑ xเดิม N ∑ xเดิม N → ∑ xเดิม = 11 N ∑ xเดิม + 29 = 13 N+1 11N + 29 = 13 → N = 8 N+1 ∑ xผิด = 15N ตัว → ∑ xถูก = 15N − 12 + 21 = 15N + 9 ∴ 16 = Math E-Book Release 2.2 15N + 9 → N = 9 N (คณิต มงคลพิทักษสุข) ตัว คณิตศาสตร O-NET / A-NET (13) (21.3) ∑ x2 = A .....(1) และ ∑ x2 + 4 ∑ x + 4 N = B .....(2) แทนค่า (1) ใน (2) จะได้ A + 4 ∑ x + 4 N = B ดังนัน้ ∑ x = B − A − 4 N → X = B − A − 1 ∑ xผิด = 12 × 10 = 120 → ∑ xถูก = 120 − 8 + 3 = 115 115 = 11.5 10 N x +N x จาก Xรวม = ช ช ญ ญ Nช + Nญ ∴ Xถูก = (14) จะได้ 60 = สถิติ 396 Nช(70) + Nญ(55) 150 4 (22.1) .....(1) และโจทย์กําหนด Nช + Nญ = 150 .....(2) แก้ระบบสมการได้ Nช = 50 คน, Nญ = 100 คน (15) สมมติ Nช = Xช = A, Nญ = Xญ = B จะได้วา่ A + B = 30 .....(1) 2 2 และจากสูตร Xรวม จะได้ 50 = A + B .....(2) 3 30 4N ข้อมูล 3–5 6–8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 ความถี่ d 10 -2 12 -1 15 0 5 1 3 2 สําหรับคิด x สําหรับคิด Med CF 10 22 37 42 45 ⎛ −20 − 12 + 5 + 6 ⎞ X = a + I D = 10 + 3 ⎜ ⎟ 45 ⎝ ⎠ = 10 − 1.4 = 8.6 แก้ระบบสมการ ได้ A = 10, B = 20 (เพราะโจทย์ระบุว่า A < B ) ∴ ตอบ ชาย 10 คน [หมายเหตุ การคิด X อาจเลือกชัน้ ใดก็ได้ ไม่ (16) 18,630 = 40Xช + 60Xญ จําเป็นต้องคิดตรงตามนี้ แต่คาํ ตอบจะเท่ากันเสมอ] = 40Xช + 60 (Xช − 10) จะได้ Xช = 192.3 ∴ Xญ = 182.3 (17) บาท บาท รวมกันเป็น 374.6 บาท 20(92) + 20(84) + 30(63) + 30(x) 79 = 100 ∴ x = 83 คะแนน (18) พิสยั = 12 และ a < 15 → ดังนัน้ a = 3 ∑ (xi − b)2 น้อยสุด → ดังนั้น b = X = 8 ∑ xi − c น้อยสุด → ดังนั้น c = Medx = 8 ตอบ 3 + 8 + 8 = 19 (19) ก. a = Medx = 5, b = X = 8 ดังนั้น ก.ผิด ข. ∑ x = N X = (20)(8) = 160 ดังนัน้ ข.ผิด (20) ∑ x + ∑ y = 9 .....(1) ∑ x − ∑ y = 7 .....(2) ∴ ∑ x = 8, ∑ y = 1 ต้องการ ∑ (xi − a)2 น้อยสุด ดังนัน้ a = X = ∑x N = 8/3 หมายเหตุ ค่า N ได้มาจากบนซิกม่า (21.1) → 3 ∑ i=1 ∑ x2 + 2 ∑ x + ∑ 1 = ∑ x2 − 6 ∑ x + ∑ 9 8 ∑ x = ∑ 9 − ∑ 1 = 180 − 20 20 ∴ ∑ x = 20 → X = = 1 20 (21.2) ∑ x2 + 2 ∑ x + 8 = 1 .....(1) และ ∑ x2 + 4 ∑ x + 32 = 9 .....(2) (2)-(1) ; 2 ∑ x = −16 → ∑ x = −8 ( 22.5 − 22 ⎛ N/2 − ∑ fL ⎞ Med = L + I ⎜ ⎟ = 8.5 + 3 15 f Med ⎝ ⎠ = 8.5 + 0.1 = 8.6 ) ⎛ dL ⎞ ⎛ 3 ⎞ Mo = L + I ⎜ ⎟ = 8.5 + 3 ⎜ 3 + 10 ⎟ ≈ 9.2 + d d ⎝ ⎠ U⎠ ⎝ L [หมายเหตุ การคิด Med กับ Mo ต้องเลือกชัน้ ตามนี้ เท่านั้น] (22.2) X = 69.5 + 20 ⎛⎜ −15 − 20 − 15 + 20 ⎞⎟ 75 ⎝ = 69.5 − 8 = 61.5 ⎠ ⎛ 37.5 − 30 ⎞ Med = 59.5 + 20 ⎜ ⎟ = 59.5 + 6 25 ⎝ ⎠ = 65.5 ⎛ 10 ⎞ Mo = 59.5 + 20 ⎜ ⎟ = 59.5 + 13.33 = 72.83 ⎝ 10 + 5 ⎠ (22.3) X = 22 + 5 ( −20 − 12 + 9 + 8 = 20.5 50 ) = 22 − 1.5 ⎛ 25 − 22 ⎞ Med = 19.5 + 5 ⎜ ⎟ = 19.5 + 1 = 20.5 ⎝ 15 ⎠ ⎛ 3 ⎞ Mo = 19.5 + 5 ⎜ ⎟ ≈ 19.5 + 1.67 ≈ 21.17 ⎝ 3+6⎠ ⎛ −30 ⎞ X = 74.5 + 10 ⎜ ⎟ = 69.5 ⎝ 60 ⎠ ⎛ 30 − 29 ⎞ Med = 69.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 69.98 ⎝ 21 ⎠ (22.4) ⎛ 1 ⎞ Mo = 69.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 70.21 ⎝ 1 + 13 ⎠ → X = −8 / 8 = −1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (22.5) X = 44.5 + 10(0) = 44.5 (27) ⎛ 50 − 32 ⎞ Med = 39.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 45.93 ⎝ 28 ⎠ ⎛ 16 ⎞ Mo = 39.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 46.17 ⎝ 16 + 8 ⎠ → ⎛ 21 ⎞ X = 1,749.5 + (100) ⎜ ⎟ = 1,802 ⎝ 40 ⎠ ( 20 − 9 บาท ) ≈ 1,791.17 บาท 12 5 ⎞ ⎛ Mo = 1,699.5 + 100 ⎜ ⎟ ≈ 1,770.93 ⎝5+2⎠ บาท ⎛ −75 ⎞ X = 107 + 5 ⎜ ⎟ = 103.25 บาท ⎝ 100 ⎠ ⎛ 50 − 25 ⎞ Med = 99.5 + 5 ⎜ ⎟ ≈ 103.67 บาท ⎝ 30 ⎠ ⎛ 5 ⎞ Mo = 104.5 + 5 ⎜ ⎟ ≈ 105.33 บาท ⎝ 5 + 25 ⎠ (22.7) (22.8) X = 67 + 3(0.15) = 67.45 Med = 65.5 + 3 ( 0.50 − 0.23 0.42 0.24 กก. ≈ 67.43 กก. ) ⎞ ≈ 67.35 Mo = 65.5 + 3 ⎛⎜ ⎟ ⎝ 0.24 + 0.15 ⎠ (23) X = ข้อมูล -4 ความถี่ 30 -3 20 1 10 2 20 100 (24) แปลงข้อมูล เป็นตาราง แล้วจึงคํานวณ คะแนน 0–9 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 X = 44.5 + 10(0) = 44.5 Med = 39.5 + 10 ( 50 − 32 28 (26) Med = 49.5 + 10 ( คะแนน ) ≈ 45.93 คะแนน 18 − 12 8 คะแนน ) = 57 คะแนน ⎛ ⎛ 13 + a ⎞ ⎞ ⎟ − (3 + a) ⎟ ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟ 7 = 6.5 + 3 ⎜ 6 ⎝ ⎠ → a = 5 คน = −0.7 จํานวนคน 5 8 7 12 28 20 10 10 ⎛ 16 ⎞ Mo = 39.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 46.17 ⎝ 16 + 8 ⎠ (25) กก. 3 20 −4(30) − 3(20) + 1(10) + 2(20) + 3(20) ⎛ 50 − (14 + f1) ⎞ 49.5 = 39.5 + 20 ⎜ ⎟ 28 ⎝ ⎠ f1 = 22 คน ∴ f2 = 100 − (14 + 22 + 28 + 15) = 21 (22.6) ข้อนี้ระวัง ตาราง “ตีลงั กา” Med = 1,699.5 + 100 สถิติ 397 คน หรือ ถ้าสังเกตว่า 49.5 อยู่กึ่งกลางชัน้ พอดี แสดงว่าแบ่ง 28 ออกเป็น ฝัง่ ละ 14 คน คือ 14 + f1 + 14 = 50 คน (ซ้าย) และ 14 + f2 + 15 = 50 คน (ขวา) ก็จะได้ f1 = 22 , f2 = 21 โดยง่าย.. (28) ⎛ 12.5 − ( 17 − fMed ) ⎞ 62 = 59.5 + 10 ⎜ ⎟ fMed ⎝ ⎠ → fMed = 6 คน (29) P80 จาก 4,000 คน แปลว่ามีคนที่ได้คะแนน น้อยกว่าอยู่ 80% และมากกว่าอยู่ 20% ดังนัน้ ข้อ ง. จึงถูก (20% ของ 4,000 = 800 คน) ส่วนข้อ ข. นัน้ ไม่เกี่ยวข้องเลย ( P80 ไม่สามารถบอก ได้ว่าได้กี่คะแนน) (30) เรียงข้อมูล จากน้อยไปมาก เท่านัน้ 4, 4, 9, 12, 12, 16, 17, 19, 20, 20, 24, 26, 30, 31, 32 Q3 อยูต่ ําแหน่งที่ D6 อยูต่ ําแหน่งที่ 3 (15 + 1) = 12 4 6 (15 + 1) = 9.6 10 ดังนัน้ Q3 = 26 และ D6 = 20 P80 อยูต ่ ําแหน่งที่ 80 (15 + 1) = 12.8 100 ∴ P80 = 26 + (0.8)(4) = 29.2 (ในกรอบเป็นการเทียบสัดส่วน... 0.8 คือตําแหน่งที่ ต้องการ และ 4 คือผลต่างระหว่าง 26 กับ 30) (31) P10 อยูต่ าํ แหน่งที่ 10 (9 + 1) = 1 D2 อยูต่ ําแหน่งที่ 100 2 (9 + 1) = 2 10 ดังนัน้ P10 = 4 และ D2 = 5 และ P60 = 15, Q3 = 18 (คิดแบบเดียวกัน) ∴ ค่าเฉลีย ่ = 4 + 5 + 15 + 18 = 10.5 4 6 (13 + 1) = 8.4 10 ∴ 20 = x + (0.4)(23 − x) → x = 18 (32) D6 อยูต่ าํ แหน่งที่ (33.1) เรียงข้อมูลเป็น 11, 12, 15, 19, 24, 27, 28, 29, 30 28 อยูต่ ําแหน่งที่ 7 จาก 9 → ∴ r (9 + 1) = 7 → r = 70 100 (ในกรอบเป็นสมการบอก “ตําแหน่งที”่ ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) (P70) คณิตศาสตร O-NET / A-NET P25 = 100.5 และ Q3 = 110.5 ถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่า 100.5 กับ 110.5 เป็นขอบ ของชัน้ พอดี แสดงว่า ตารางโดนตัดแบ่งเป็น อัตราส่วน 1 : 2 : 1 ดังแสดงให้ดู ∴ จะหาค่า x ได้ จาก 1 + 3 + x + 5 = 10 + 4 และ ตอบ 1 + 3 + x + 5 + 8 = 14 + 8 = 22 คน [หมายเหตุ อาจจะหา x = 5 ก่อนก็ได้, และยัง สามารถหา y ได้โดย 8 + y = 2 (10 + 4) ด้วย] (38) Range = 21 − 12 = 9 QD = Q3 − Q1 → ต้องหาค่า Q3 , Q1 ก่อน (33.2) 15 อยูต่ าํ แหน่งที่ 3 จาก 9 r → ∴ (9 + 1) = 3 → r = 1.2 (Q1.2) 4 (34) Q3 อยูต่ าํ แหน่งที่ 3 (32) = 24 4 → 24 = 4 log2 x → x = 64 = Q3 50 (32) = 16 100 → 16 = 4 log2 x → x = 16 = P50 P50 อยูต่ ําแหน่งที่ ตอบ (35) ∴ 64 − 16 = 48 กก. 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 คะแนน คน 3 7 24 10 5 1 CF 3 10 34 44 49 50 3 (6 + 1) = 5.25 4 ∴ Q3 = 18 + (0.25)(3) = 18.75 Q3 อยูต่ ําแหน่งที่ (36) F 40% B 40% 100 → P40 = 59.5 + 10 P80 อยูต่ ําแหน่งที่ ( กก. กก. A 20% แสดงว่าต้องการทราบค่าคะแนนที่ตรงกับ P40 อยูต ่ ําแหน่งที่ 40 (40) = 16 16 − 13 11 P40 , P80 ) ≈ 62.23 คะแนน 80 (40) = 32 100 คะแนน ( 11 ) ∴ ตอบ ตัดเกรดที่ 62.23 กับ 76.77 คะแนน และถ้าได้ 71 คะแนน จะได้เกรด B (37) → P80 = 69.5 + 10 ≈ 76.77 18.75 − 13.5 = 2.625 2 X ก่อน 12 + 14 + 14 + 17 + 18 + 21 X = = 16 6 4 +2 +2 + 1+2+5 MD = = 2.67 6 MD กับ SD ต้องหาค่า 42 + 22 + 22 + 12 + 22 + 52 = 6 SD = 9 = 3 ข้อสังเกต QD, MD, SD จะต้องมีค่าใกล้เคียงกัน (39) Q3 อยูต่ าํ แหน่ง 300 → 300 = 100 log4 x → x = 64 = Q3 Q1 อยูต่ ําแหน่ง 100 → 100 = 100 log4 x → x = 4 = Q1 64 − 4 = 30 คะแนน 2 จาก Q3 − Q1 = 2 และ Q3 − Q1 = 2 Q3 + Q1 3 2 ∴ QD = (40) จะได้ (41) และ Q1 = 1, Q3 = 5 ดังนั้น P75 = Q3 = 5 1+ a +b +5 1, a, b, 5 → = 4 .....(1) 4 32 + (a − 4)2 + (b − 4)2 + 12 = 5 .....(2) 4 แก้ระบบสมการได้ a = 3, b = 7 (เพราะโจทย์กาํ หนด a < b ) → : 2 : 1 จํานวนคน 1 3 x 5 8 y 10 4 1 ค่าจ้าง (บาท) 81 – 85 86 – 90 91 – 95 96 – 100 101 – 105 106 – 110 111 – 115 116 – 120 32 − 24 อยูต่ ําแหน่งที่ → QD = P80 P40 อยูต่ ําแหน่งที่ 1 (6 + 1) = 1.75 4 ∴ Q1 = 12 + (0.75)(2) = 13.5 Q1 6 (50) = 30 10 ⎛ 30 − 10 ⎞ ∴ D6 = 50.5 + (10) ⎜ ⎟ ≈ 58.83 ⎝ 24 ⎠ P92 อยูต ่ ําแหน่งที่ 92 (50) = 46 100 ⎛ 46 − 44 ⎞ ∴ P92 = 70.5 + (10) ⎜ ⎟ = 74.5 5 ⎝ ⎠ D6 สถิติ 398 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ∴b −a = 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 399 (42) X = 2QD → หา X ได้เป็น 48 + a 7 หา QD ได้ 2 กรณี ดังนี้ ก. ถ้าเรียงข้อมูลเป็น 2, a , 4, 6, 9, 12 , 15 จะได้ QD = 12 − a → a = 4.5 (ผิด) (48) 2 4 < a < 12 ข. ถ้า จะได้ขอ้ มูลเป็น 2, 4 , 6 9 , 12 , 15 (a) (a) (a) (ค่า a อยูท่ ี่ใดทีห่ นึ่งใน 3 ช่องนี)้ ซึ่งพบว่า QD = 12 − 4 → a = 8 (ถูก) (43) 90% ของ และ ซม. ซม. ∑ x2 ∑ x2 − 422 → = 1,800 N N 6 = 1,800 − 402 = → sจริง = (45) sจริง = 10 100 = 11.11 90 → sจริง = 10 × (44) 2 200 ≈ 14.14 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 9 5 3 + 9 + 15 X2 = = 9 3 X1 = เนื่องจาก X1 = X2 ดังนัน้ สูตรหาความแปรปรวน รวม จะลดเหลือเพียง s2รวม = N1s21 + N2s22 N1 + N2 2 2 2 2 2 ซึ่งข้อนี้ = 6 + 3 + 0 + 3 + 6 = 18 5 2 2 2 6 + 0 + 6 และ s22 = = 24 3 จึงได้ s2รวม = 5(18) + 3(24) = 20.25 8 N(5) + N(3) (46) Xรวม = = 4 2N s21 สูตร s2รวม N(02 + 52) + N(s22 + 32) → 3 +4 = 2N 2 2 → s2 = 4 (47) Xช = x, Xญ = y, sช = 0, (เพราะทุกคนอายุเท่ากันหมด) จะได้ Xรวม = mx + ny สูตร m+n m(02 + x2) + n(02 + y2) = m+n 2 mx2 + ny2 ⎛ mx + ny ⎞ 2 = −⎜ ⎟ ปี m+n ⎝ m+n ⎠ s2รวม + ∴ s2รวม sญ = 0 X2รวม สถิติ 1,320 = 22 60 Xรวม = X1 = 32, s1 = 0 กลุ่ม 10 คน กลุ่ม 50 คน → → คะแนน 1,000 = 20, s2 = ? 50 10(02 + 322) + 50(s22 + 202) 100 + 222 = 60 สูตร → s22 = 96 (49) สูตร X2 = คะแนน 2 12(150) + 8(Xญ) Xรวม = 150 = 20 → Xญ = 150 s2รวม สูตร ซม. ด้วย ไม่ต้องคิด X เพราะสองกลุม่ เท่ากัน 12(22) + 8(s2ญ) → 32 = 20 ⎛s⎞ ⎜ ⎟ ⎝X⎠ สปส.การแปรผัน → Sญ = 16.5 16.5 2 ,ช = 150 150 ญ= จึงตอบว่า หญิงกระจายมากกว่าอยู่ 16.5 / 2 เท่า (50) ∑(x − 5)2 = ∑ x2 − 10 ∑ x + 250 = 370 แทนค่า ∑ x = 60 จะได้ ∑ x2 = 720 2 ความแปรปรวน s2 = ∑ x − X2 N 2 720 ⎛ 60 ⎞ = −⎜ ⎟ = 36 10 ⎝ 10 ⎠ (51) การวัดคุณภาพการผลิต ไม่ได้เทียบกันที่ X แต่จะเทียบกันทีก่ ารกระจาย ดังนั้นเราต้องหา s / X sA = → 2 2 2 2 2 1 + 5 + 1 + 15 + 10 70.4 ≈ 8.39 = 5 s 8.39 = = 0.27 31 X sB = 2 2 2 2 2 2 6 + 19 + 6 + 16 + 0 + 3 ≈ 10.79 6 → ≈ 116.33 s 10.79 = = 0.32 34 X ∴ ยี่หอ ้ A คุณภาพดีกว่า (เพราะค่าการกระจาย น้อยกว่า) (52) Range = 99.5 − 49.5 = 50 คะแนน QD → หา Q3 กับ Q1 ก่อน Q3 อยูต ่ ําแหน่งที่ 75 → Q3 = 79.5 (ขอบพอดี) Q1 อยูต ่ ําแหน่งที่ 25 → Q1 = 64.5 (กึ่งกลางชั้น พอดี) ∴ QD = 79.5 − 64.5 = 7.5 คะแนน Math E-Book Release 2.2 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET X ก่อน ⎛ −15 ⎞ → X = 74.5 + (10) ⎜ ⎟ = 73 ⎝ 100 ⎠ MD MD = ต้องหา (59.1) 0.3686 (59.3) 0.3830 + 0.4773 = 0.8603 (59.4) 0.4987 − 0.4773 = 0.0214 (59.5) 0.5 − 0.3830 = 0.1170 (59.2) 0.4788 คะแนน 15(18.5) + 20(8.5) + 40(1.5) + 15(11.5) + 10(21.5) = 8.95 และ SD กับ สถิติ 400 100 คะแนน SD = 2 2 2 2 2 15(18.5) + 20(8.5) + 40(1.5) + 15(11.5) + 10(21.5) 100 132.75 ≈ 11.52 คะแนน (53) z ไทย = 48 − 45 = 0.25 12 35 − 32 zอังกฤษ = = 0.3 10 = อังกฤษดีกว่า (54) X = 640 ∴ = 16 ปี s = 2 40 18 − 16 → zn = = 1 → zข = 1.5 2 x − 16 ∴ 1.5 = ข → xข = 19 ปี 2 ปี ∑ z = 0 ดังนัน ้ x − 25 = 0.25 = → x = 28.25 13 (55) จากสมบัตวิ ่า zคนสุดท้าย (56) จาก จะได้ จาก zก = −1.6 = ปี −5 → s = 3.125 s คะแนน 60 − X → X = 56 3.125 xค − 56 → xค = 63.5 3.125 คะแนน คะแนน (57) เลือกใช้ 2 ช่องใดๆ คํานวณก็ได้ แต่ถ้าเลือก z = 0 จะง่าย เพราะได้ x = X เลย นั่นคือถ้า z = 0 → 0 = 60 − X → X = 60 และจาก s 85 − 60 1.0 = → s = 25 s ดังนัน้ สัมประสิทธิ์การแปรผัน (58) 1= s = 12, → A = 0.3944 คิดเป็น xก − X s zข = 1.28 = ∴ 2.4 = s = 0.24 ∴ X = 50 X 65 − 50 x = 65 → z = = 1.25 12 (60) = 25/60 = 5 / 12 70 − X → 70 − X = s s s = 0.3 → s = 0.3X X .....(1) .....(2) แก้ระบบสมการได้ X = 53.85 คะแนน s = 16.15 คะแนน และ −1 = x − 53.85 → x = 37.7 คะแนน (61) P10 → A = 0.4 ทางขวา P89.44 ทางซ้าย x − 72 → z = −1.29 = 10 → x = 59.1 คะแนน (62) (เหมือนข้อที่แล้ว) D3.3 → A = 0.17 ทางซ้าย → z = −0.44 = → x = 73.4 x − 80 15 คะแนน (63) แปลงทุกข้อให้อยู่ในรูปเดียวกัน (เช่นแปลงเป็นค่า z ก็ได้) ก. P80 → A = 0.3 ทางขวา → z = 0.84 ข. z = 1.50 ค. z = 85 − 60 = 2.5 ง. ∴ D7 10 คือ P70 จึงน้อยกว่า ตอบ ค. 16.15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) P80 ในข้อ ก. แน่นอน คณิตศาสตร O-NET / A-NET (64) P97.5 → A = 0.475 → z = 1.96 = xmax − X 10 P33 → A = 0.17 (68) ทางขวา .....(1) ถ้า 20 (69) ก ได้ 80 คะแนน ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 450 × 100 = 90 → A = 0.4 (ก.ผิด, ง.ผิด) ข ได้ 40 คะแนน 0.44 0.33 0.17 A = 0.44 → z 5000 3,440 40 − 54.2 = −0.71 20 100 s จะได้ s = 1,000 และ X = 3,440 ดังนัน้ สัมประสิทธิ์การแปรผัน = 1,000 → zข = คะแนน ทางซ้าย ∴ คิดเป็น P23.88 (ข.ผิด) คือมีคนได้นอ ้ ยกว่า ข. 23.88 อยู่ × 500 = 119.4 คน (ค. ถูก) จึงต้องแก้ระบบสมการ 5,000 − X = 1.56 = .....(1) 3,000 − X s → z = 1.29 → A = 0.2612 x X, s A = 0.17 → z = −0.44 = ทางขวา 500 80 − X ∴ 1.29 = → X = 54.2 20 0.61 โจทย์ไม่บอกทั้ง 2 60 − 66 x = 60 → z = = −2 → 3 50 − 47.73 = 2.27% คะแนน 3000 x พื้นที่ = 0.4773 ซ้าย ∴ มีคนได้นอ ้ ยกว่า 60 คะแนนอยู่ ทางซ้าย = 13.5 72 พื้นที่ A = B แสดงว่า X อยู่กึ่งกลางระหว่าง 60 กับ 72 นั่นคือ X = 60 + 72 = 66 คะแนน .....(2) Q − 97 → z = −0.675 = 1 .....(2) 20 (1)-(2); Q3 − Q1 = 6.75 + 6.75 = 13.5 2 ดังนัน้ QD (66) x 60 (1)-(2); xmax − xmin = 19.6 + 4.4 = 24 ดังนัน้ พิสยั = 24 คะแนน (65) หา Q3 → A = 0.25 ทางขวา Q − 97 → z = 0.675 = 3 .....(1) Q1 → A = 0.25 B A ทางซ้าย xmin − X 10 → z = −0.44 = สถิติ 401 .....(2) (70) 900 คน ได้ต่ํากว่า 80 คะแนน แปลว่า P90 = 80 P90 → A = 0.4 ทางขวา ≈ 0.29 → z = 1.3 = 80 − X → X = 67 10 คะแนน 40 0.0227 0.4773 0.1587 0.3413 (67) 70 A = 0.4773 → z = 2 = A = 0.3413 → z = −1 = จะได้ s = 10, X = 50 ∴ สัมประสิทธิ์การแปรผัน 47.73 + 50 = 97.73% → z = 80 x 54 − 67 = −1.3 → 10 X P10 ∴ X = 12 4 และทําให้ = −2 0 คิดเป็น ∴ ก,ข,ค ถูก และ ง.ผิด (เพราะมีผู้ได้ 54 ถึง 80 ประมาณ 800 คนพอดี) (71) s = 1 และ s = 3 .....(2) 10 = 0.2 50 -2 67 พิจารณาที่ 54 คะแนน .....(1) 40 − X s ถ้า x = 30 → z = 30 − 50 10 แสดงว่ามีนักเรียนที่ ได้คะแนนมากกว่านีอ้ ยู่ 54 x 70 − X s = 0.4 0.4 z Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) Med = 12 ด้วย (โค้งปกติ) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (72) จาก จะได้ Q3 − Q 1 = 2 2 และ Q3 − Q1 2 = Q3 + Q1 3 Q3 = 5, Q1 = 1 ∴X = 5+1 = 3 2 พิจารณาที่ (ความสมมาตรของโค้งปกติ) Q3 → z = 0.67 → 0.67 = → s = 2.985 → s2 ≈ 8.91 5−3 s (73) มีแนวโน้มเป็นเส้นตรง ทีต่ ดั แกน y ทางบวก และความชันเป็นลบ จึงตอบข้อ ข. (74) ∑ y = m ∑ x + cN .....(1) → 60 = 10m + 4c ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 200 = 30m + 10c → m = 2/3 ˆ = 2 (15) − 3 = 7 → ∴Y 3 ตอบ 7,000 บาท (81) ∑ y = k ∑ x2 → 15 = k(15) → k = 1 (82) ก. ผิด (ต้องรู้ X ทํานาย Y เท่านั้น) ข. ผิด เพราะอีก 7 ครอบครัวไม่น่าจะอยู่บนเส้นตรง Y = 0.636X + 0.545 ทุกจุด หรือแบ่งฝั่งกันดึงให้ เส้นตรงคงอยู่ที่เดิมได้ (น่าจะดึงให้เบนไปจากเดิม) (83) ก. ผิด (ต้องรู้ X ทํานาย Y เท่านั้น) ข. ถูก ( Δy = 2 Δx = 2 (2) = 4 → 4,000 บาท) (84) รู้ Y จะทํานาย X ต้องเปลีย่ นตัวแปรเป็นดังนี้ ∑ x = m ∑ y + cN, ∑ xy = m ∑ y2 + c ∑ y .....(2) จะได้ ได้ m = 10, c = −10 ∴ Yˆ = 10X − 10 ดังนัน้ ที่ 1.5 วินาที Yˆ = 10(1.5) − 10 = 5 เมตร (75) ∑ y = m ∑ x + cN → 8 = 3m + 3c ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 4 = 5m + 3c 14 3 14 2 14 ˆ = −2X + ∴Y ⇒ − + = 4 3 3 3 ได้ สถิติ 402 15 = 30m + 5c กับ 107 = 210m + 30c 17 2 ,c = − 30 5 ดังนัน้ Xˆ = 17 Y − 2 30 5 17 2 ˆ = → X (120) − = 67.6 30 5 → ∴m = ตอบ 676,000 บาท ต่อเดือน (85) ก. รู้ Y ทํานาย X → 10 = 22m + 4c และ 65 = 142m + 22c m = −2, c = (76) ก. แก้ระบบสมการได้ m = 1.1, c = 3.4 ˆ = 1.1(5) + 3.4 = 8.9 ข้อ ก. ถูก Y ข. เทียบสมการที่โจทย์ให้มา กับสมการปกติ พบว่า ∑ y = 28, ∑ x = 10, ∑ xy = 67, ∑ x2 = 30 ∑x 10 = = 2 N 5 10 5 ,c = − 21 42 ˆ = 10 (10) − 5 ≈ 4.64 X 21 42 → m = ดังนัน้ ข. รู้ X ทํานาย Y ผิด → 22 = 10m + 4c และ 65 = 30m + 10c ข้อ ข. ผิด → m = 2, c = 0.5 ถูก หมายเหตุ ถ้าโจทย์ให้คํานวณความแปรปรวนก็ทาํ ได้ (86) 2 x -2 -1 0 1 2 โดยใช้สูตร s2 = ∑ x − X2 = 30 − 22 = 2 y 20 30 20 40 60 ∴X = (77) Δy = m Δx N → Δy = 0.85 (1,000) = (78) 5 จาก ∑ y = m ∑ x + cN จะได้ 170 = 5c → c = 34 และจาก ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x จะได้ 90 = 10m → m = 9 คิดปี 2535 เทียบเป็นค่า X ได้ 7; 850 บาท ∑ y = m ∑ x + cN → 4a + 13 = (1.55)(0) + (5)c ..... (1) 2 ∑ xy = m ∑ x + c ∑ x → 3a + 22 = (1.55)(20) + (0)c ได้ ˆ = 9(7) + 34 = 97 → Y .....(2) a = 3 → c = 5 ˆ = 1.55(4) + 5 = 11.2 ∴Y Y = a + 0.75X ด้วย (สมบัติของ X → 60 = a + 0.75(40) → a = 30 (79) ˆ = 30 + 0.75(60) = ∴Y 75 ห้อง (80) ตัดแกน y ที่ −3 → c = −3 จาก Y = mX + c จะได้ 5 = m(12) − 3 ) (87) กําหนด X = -2, -1, 0, 1, 2 เช่นเดิม จะได้ 22 = 5c → c = 4.4 และ 18 = 10m → m = 1.8 คิดปี 2525 เทียบเป็นค่า X ได้ 3; ˆ = 1.8(3) + 4.4 = 9.8 ล้านบาท → Y ดังนัน้ เฉลี่ย 6 เดือนแรก (ครึ่งปี) 9.8 = = 4.9 ล้านบาท 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอ 403 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa i2/15 桵ÒÁËaÇ¢o ข้อสอบฉบับที่ 7 ตอนที่ 2 ข้อที่ 15 บทที่ 1 เซต 1. นับจํานวนแบบของเซต d2/25 f1/1 n1/1 p1/10 2. หาจํานวนสมาชิกเกี่ยวกับเพาเวอร์เซต c1/1 d1/1 g2/1 k2/1 3. คิดชิ้นส่วนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ หรือโจทย์ปัญหา c2/21 g1/1 h2/1 i2/1 j2/1 l2/4 o2/1 q2/1 บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง 1. ทฤษฎีเศษและทฤษฎีตัวประกอบในพหุนาม c2/10 h2/3 i2/3 n1/3 o2/3 p2/1 2. แก้สมการและอสมการ ดีกรีสองขึ้นไป หรือมีค่าสัมบูรณ์, การดําเนินการเกี่ยวกับช่วง c2/2 d2/1 e2/2 g1/2 h2/4 i2/2 j2/2 k2/2 l1/1, 2/5 o2/2 p2/6 q2/3,24 3. ทฤษฎีจํานวนเกี่ยวกับการหารลงตัว, ห.ร.ม. และ ค.ร.น., วิธีของยูคลิด c2/14 d1/2 e2/3 f2/2 g2/2 j1/1 k2/3 n2/1 p1/7, 2/2 q1/10 บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 1. ค่าความจริงของรูปแบบประพจน์, ตรวจสอบการสมมูลกัน, ตรวจสอบสัจนิรันดร์ c2/3 d2/2 g1/3 h2/5 i2/5 j2/4 l2/2 o2/4 q2/6 2. การอ้างเหตุผล ... สมเหตุสมผลหรือไม่, ผลในข้อใดที่ทําให้สมเหตุสมผล c2/4 d2/3 e2/4 f2/4 l2/3 n2/2 3. หาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ, หานิเสธของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ e2/5 f2/3 h2/6 j2/3 k2/4,5 n2/3 o2/5 p2/8,9 q2/7 4. การให้เหตุผล (อุปนัย/นิรนัย) ยังไม่เคยมีในข้อสอบ เนื่องจากเป็นเนื้อหาในหลักสูตรใหม่ บทที่ 4 เรขาคณิตวิเคราะห์ 1. การสร้างสมการเส้นตรงจากสิ่งที่กําหนดให้ เช่น จุด, ความชัน, เส้นขนานหรือเส้นตั้งฉาก c1/2 l2/11 q2/2 2. ภาคตัดกรวยสองรูป ... โดยหาส่วนประกอบจากรูปแรกเพื่อใช้เป็นส่วนประกอบของอีกรูป c2/7 d2/8,9 f2/10 i2/11,12 k2/10 n2/7,8 o2/10 3. ภาคตัดกรวยรูปเดียว … หาจุด, พื้นที่, ถามนิยาม, หรือใช้เรื่องอื่นช่วยคิดเช่น อนุพันธ์, ตรีโกณฯ e1/1, 2/8 f2/9 g1/10,11 h2/11,12 j2/10,11 k2/11 l2/10 o1/3 p1/1, 2/4,7 q1/7,8 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอ 404 บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 1. นับจํานวนความสัมพันธ์จาก A ไป B, จํานวนคู่อันดับ c2/5 f2/1 2. หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ (อาจเป็นสมการภาคตัดกรวย), จัดรูปหา r −1 d2/4 f2/5 h2/7 i2/6 l2/8 n2/6 o2/6 3. นับจํานวนฟังก์ชันที่เป็นไปได้ ... เช่น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B c2/20,25 e2/21 g1/6 h2/2 i1/1 l2/1 q2/18 4. จัดรูปหา g D f , จัดรูปหา f − 1 , การใช้กราฟของฟังก์ชัน d2/5 e1/2 f2/25 h2/8 k1/1, 2/6,7,8 l2/7 n2/5 o2/8 p2/10,13 q2/15 5. การแก้ฟังก์ชัน (มี g D f กับ f − 1 ผสมด้วย) g1/7 i2/8 j2/8 l2/6 n1/2, 2/4 o2/7 6. หาโดเมนและเรนจ์ของ g D f , ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตจํานวนเต็ม c2/26 e2/1 g1/5 h2/9 i2/7 j2/6,7 o1/1 บทที่ 6 กําหนดการเชิงเส้น 1. คิดค่าสูงสุดต่ําสุด ... อาจเป็นโจทย์ปัญหาสถานการณ์ หรืออาจมีสมการมาให้เลย c2/13 d2/12 e2/12 f2/13 g1/15 i2/15 j2/15 l1/5 p1/4 q2/21 2. บอกค่าสูงสุดหรือต่ําสุดมาให้ แล้วให้ย้อนกลับไปหาค่าคงทีใ่ นสมการจุดประสงค์ h2/15 k2/14 n2/14 o2/13 บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1. พื้นฐานของตรีโกณมิติ e2/7 g1/8 j1/2 2. แก้สมการหรืออสมการ, ใช้สูตรผลบวกผลลบ ... อาจปนเรื่องอื่น เช่น อนุกรม, ฟังก์ชัน c2/27 d2/6 e2/6 i2/4,9,10 j2/9 n2/9 p2/15 q2/8 3. เกี่ยวกับ arc (ให้หาค่า หรือแก้สมการ) c1/3 d2/7 e2/26 f2/8 g1/9 k1/2 l2/9 n1/4 o1/2 q2/9 4. กฎของ sin, cos (อาจติดมุมผลบวกผลลบ หรือติด arc), การหาระยะทางและความสูง e2/9 f2/7 h2/10 k2/9 l1/2 o2/9 p1/3 บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม 1. การจัดรูปเลขยกกําลัง, ลอการิทึม, และโดเมน เรนจ์ c2/6 d1/3, 2/10,26 f2/11 j2/5 k1/3 2. แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม c2/8 e1/4, 2/10 f1/2 g1/4,12,13 i2/13 j1/3 l1/3 n2/10 o1/4 p1/2 q1/1 3. แก้อสมการ h2/1, 2/13 i1/2 j2/12 k2/12 l2/12 n2/11 o2/11 p2/14 q2/11 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอ 405 บทที่ 9 เมตริกซ์ 1. การหา det, การแก้สมการเกี่ยวกับ det, สมบัติของ det c2/12 e2/11 f2/12 g1/14, 2/3 h2/6 i2/14 k1/4 l1/4 2. ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์, การใช้โคแฟกเตอร์ช่วยหา det d1/4 e1/3 f1/3 h2/2 i1/3 n2/12 o2/12 p2/20 3. คํานวณเกี่ยวกับ adj A และ A−1 c2/11 h2/14 j2/13,14 k2/13 l2/13 n2/13 o1/5 4. การดําเนินการตามแถว และแก้ระบบสมการ d2/11 p1/5 q2/12,13 บทที่ 10 เวกเตอร์ 1. การเขียนเวกเตอร์ในรูปผลรวมของเวกเตอร์อื่น d2/14 e2/14 g2/4 h2/17 j2/17 n2/15 o2/14 p2/25 2. การคูณแบบดอท, การหามุมระหว่างเวกเตอร์ c1/4 f2/14 g1/16 h2/16 i2/17 j2/16 k2/16 l2/14 n1/5 o1/6 q1/5 3. สูตรของขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ (กฎของ cos) d2/13 e2/13 f2/15 i2/16 k2/15 l1/6 p2/5 4. เวกเตอร์ในสามมิติ และการคูณแบบครอส ยังไม่เคยมีในข้อสอบ เนื่องจากเป็นเนื้อหาในหลักสูตรใหม่ บทที่ 11 จํานวนเชิงซ้อน 1. การบวกลบคูณหาร, การยกกําลัง (เชิงขั้ว), การจัดรูปสมการ c2/9 e2/15 f2/16 g1/17 h2/18,19 i1/4 j2/18,19 k2/17 n2/16 o2/16 p1/6 2. การถอดราก (เชิงขั้ว) k2/18 l2/15 o2/15 p2/24 3. ค่าสัมบูรณ์, สมบัติของค่าสัมบูรณ์ d1/5 g1/18 n2/17 q1/9 4. รากคําตอบของสมการพหุนาม d2/15 e2/16 f2/17 i2/18 l2/16 p2/12 q2/10 บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟ ยังไม่เคยมีในข้อสอบ เนื่องจากเป็นเนื้อหาในหลักสูตรใหม่ บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม 1. ลําดับเลขคณิต, ลําดับเรขาคณิต, สูตรอนุกรม g1/20 h2/3, 2/20 j1/4 k2/19 p2/11 q1/4 2. สูตรของซิกม่า, อนุกรมที่ไม่ใช่เลขคณิตหรือเรขาคณิต d2/27 e2/17 f2/18 g1/21 n2/19 q2/14 3. ลิมิตของลําดับอนันต์ใดๆ c2/28 i1/5 o2/17 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอ 406 บทที่ 14 ลิมิตและความต่อเนื่อง 1. ลิมิตของฟังก์ชัน h2/4 k2/20 l2/17 n2/18 q2/16 2. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน c2/15 d2/16 e2/18 f2/26 i2/19 j2/20 l2/18 o2/18 บทที่ 15 อนุพันธ์และการอินทิเกรต 1. หาอนุพันธ์, ความชันเส้นโค้ง, การประยุกต์ของกฎลูกโซ่ c2/16 d1/6 e1/5 f2/6 g1/19,22 h2/7 i2/20 j2/21 k2/21,22 p2/3 q2/4 2. ค่าวิกฤต, จุดสูงสุดต่ําสุด, ช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มและลด, โจทย์ปัญหา d2/17 f2/19 h2/21 i2/21 l2/20 n1/6 o2/19,20 3. อินทิกรัลไม่จํากัดเขต c2/18 e2/19,25 f2/20,21 g1/23 h2/22 i2/22 j2/22 l2/19 n2/20 o1/7 4. อินทิกรัลจํากัดเขต d2/18 h2/23 k1/5, 2/23 l2/21 n2/22 o2/21 p2/16 (q2/5 พื้นที่ใต้กราฟ) 5. พื้นที่ใต้กราฟ c2/17 g2/5 i1/6 j1/5, 2/23 l2/22 n2/21 p2/23 q2/17 บทที่ 16 ความน่าจะเป็น 1. การนับเบื้องต้น และการเรียงสับเปลี่ยน c2/1,19 e1/6 f2/22,23 g2/6 h2/24 k1/6 o2/22 q1/3 2. การจัดหมู่ d2/20 i2/23 j2/24 l2/23 n1/8 p1/8 3. ทฤษฎีบททวินาม d2/19 h2/5 p1/9 q1/2, 2/25 4. ความน่าจะเป็นของการนับเบื้องต้น และการเรียงสับเปลี่ยน c1/6 d2/21 e2/27 f1/4, 2/27 g1/25 j1/6 k2/24,25 n2/24 o2/23 p2/21,22 q2/20 5. ความน่าจะเป็นของการจัดหมู่ e2/20 g1/24,26 i2/24 j2/25 l1/7, 2/24 n2/23 o2/24 q2/19 6. สมบัติของความน่าจะเป็น h2/25 i1/7 บทที่ 17 สถิติ 1. ค่ากลางของข้อมูล c2/23 d2/23 h2/8 i2/26 (l1/8 p2/17 q2/23 ปนกับควอร์ไทล์) q1/6 2. ค่าการกระจายของข้อมูล ... มักจะปนกับเรื่องค่ากลางด้วย d2/22 e2/23 f2/28 g1/28 i2/25 j2/26,27 k1/7, 2/26 n2/25 o2/26 p2/18 3. ค่ามาตรฐาน, สมบัติของค่ามาตรฐาน h2/26 j1/7 k2/28 l2/26 n2/26 o2/25 4. การคํานวณเกี่ยวกับพื้นที่ใต้โค้งปกติ c2/24d2/28e2/28f2/24g2/7h2/27i2/28j2/28k2/27l2/27n2/27o2/27q2/22 5. การประมาณความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน c1/5 e2/22 f1/5 g1/27 i2/27 l2/25 n1/7 o1/8 p2/19 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอ 407 ตารางสรุป แยกตามฉบับและบทเรียน หมายเหตุ : สําหรับข้อที่รวมเนือ้ หาหลายบทเรียนด้วยกัน จะจัดไว้ในบทเรียนที่เป็นประเด็นหลักของข้อนัน้ ๆ ฉบับ เรื่อง c d e f g h i j k l n o p q ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. 41 42 42 43 43 44 44 45 45 46 46 47 47 48 1/1 2/21 2/2 จํานวน 2/10 จริง 2/14 ตรรก 2/3 2/4 ศาสตร์ เรขาคณิต 1/2 วิเคราะห์ 2/7 2/5 ความสัม 2/20 พันธ์+ 2/25 ฟังก์ชัน 2/26 กําหนด 2/13 การเชิง เส้น ตรีโกณ 1/3 2/27 มิติ เซต 1/1 2/25 -- 1/1 1/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/4 1/1 1/2 2/1 2/2 2/3 2/2 1/2 2/2 2/3 2/4 2/2 2/3 1/1 2/2 2/2 2/3 1/1 2/5 1/3 2/1 2/2 2/4 2/3 1/3 2/5 2/5 2/3 2/5 2/4 2/6 2/8 1/1 2/9 1/10 2/11 2/11 2/9 2/8 2/10 1/11 2/12 2/12 1/1 2/1 1/5 2/2 2/4 1/2 2/7 2/6 2/1 2/5 1/6 2/5 2/21 2/25 1/7 2/8 2/7 2/9 2/8 2/3 2/4 2/10 2/11 2/4 2/5 2/10 2/11 1/1 2/6 2/6 2/7 2/7 2/8 2/8 2/2 2/3 2/10 2/11 2/1 2/6 2/7 2/8 2/2 2/3 2/7 2/8 1/2 2/4 2/5 2/6 1/2 2/11 1/3 2/11 2/13 2/14 2/15 2/16 1/3 2/12 2/14 2/15 2/16 2/17 2/15 2/16 2/18 2/26 -- เมตริกซ์ 2/11 2/12 เวกเตอร์ 1/4 จํานวน เชิงซ้อน ลําดับ+ อนุกรม ลิมิต+ ความ ต่อเนื่อง 2/9 2/6 2/7 1/3 2/10 2/26 1/4 2/11 2/13 2/14 1/5 2/15 2/6 2/7,9 2/26 1/4 2/10 2/28 2/27 2/17 2/18 2/6 2/8 2/7 2/8 2/6 1/6 1/5 2/19 อนุพันธ์+ 2/16 2/17 2/17 2/19 อินทิเกรต 2/18 2/18 2/25 2/20 2/21 1/4 1/6 2/19 1/6 2/22 ความน่า 2/1 2/20 2/20 จะเป็น 2/19 2/21 2/27 2/23 2/27 สถิติ เลขดัชนี --ยกเลิก-- 2/1 1/10 2/3 2/24 2/6 2/7 1/7 1/8 2/2 2/15 2/18 2/12 2/12 2/13 1/15 2/15 2/15 2/15 2/14 1/5 2/14 2/13 1/4 2/21 1/8 1/9 1/4 1/12 1/13 1/14 2/3 1/16 2/4 1/17 1/18 1/20 1/21 เอกซ์โพ+ ลอการิทึม 2/1 1/10 1/7 2/2 2/1 2/3 2/2 2/6 2/4 2/8 2/5 2/9 1/3 1/1 2/10 2/4 2/7 1/1 2/6 2/10 2/7 2/13 2/8 1/19 1/22 1/23 2/5 1/24 1/25 1/26 2/6 2/4 2/10 2/9 2/10 1/1 1/2 2/13 2/13 1/2 1/3 1/6 2/14 2/14 2/16 2/16 2/17 2/17 2/18 1/4 2/19 2/18 1/3 2/20 1/5 1/2 2/9 1/3 2/5 2/12 2/13 2/14 2/16 2/17 2/18 2/19 1/2 2/9 1/2 2/9 1/4 2/9 1/2 1/3 2/8 2/9 2/15 2/9 1/3 1/3 2/10 1/4 1/2 1/1 2/12 2/12 2/11 2/11 2/14 2/11 1/4 2/13 2/15 2/16 2/17 2/18 1/4 2/19 1/4 2/13 1/6 2/14 2/15 2/16 -- 2/12 2/13 1/5 2/15 2/16 2/17 1/5 2/12 1/6 2/14 2/15 2/16 1/5 2/20 2/5 2/25 1/6 2/12 2/24 2/19 2/17 2/11 2/17 2/18 2/18 1/4 2/19 2/20 2/20 2/18 1/7 2/21 2/22 2/23 1/6 2/20 2/21 2/22 1/5 2/21 2/22 2/23 1/5 2/21 2/22 2/23 2/19 2/20 2/21 2/22 1/6 2/20 2/21 2/22 1/5 1/7 1/6 1/6 1/7 1/8 2/24 2/23 2/24 2/24 2/23 2/23 2/25 2/24 2/25 2/25 2/24 2/24 1/7 1/5 2/22 2/22 1/5 1/27 1/8 2/25 2/26 2/23 2/23 2/23 2/24 1/28 2/26 2/26 2/27 2/27 2/24 2/28 2/28 2/28 2/7 2/27 2/28 2/28 2/22 2/24 2/24 1/6 2/8 2/28 1/8 1/8 1/7 2/26 2/27 2/28 1/8 1/8 2/25 2/26 2/27 2/28 เนื้อหาที่ยังไม่เคยมีในข้อสอบ เนื่องจากเพิ่งเพิ่มในหลักสูตรใหม่ คือ การให้เหตุผลแบบอุปนัย/นิรนัย, เวกเตอร์ใน 3 มิติ, ทฤษฎีกราฟ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) -- 2/12 2/13 1/5 1/9 2/10 1/4 2/14 2/16 1/7 2/3 2/4 2/19 2/16 2/5 2/20 2/23 2/17 2/21 1/2 2/22 1/8 1/3 1/9 2/23 2/21 2/19 2/24 2/22 2/20 2/25 1/8 2/17 1/6 2/25 2/22 2/26 2/18 2/27 2/19 2/23 1/7 2/25 2/26 2/27 2/28 2/28 -- -- คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 408 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.41 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. ถ้า A = {∅, 0, 1, {0}, {0, 1}} และ แล้ว เซต P (A) − A มีสมาชิกกี่ตัว P (A) เป็นเพาเวอร์เซตของ ( c) A 2. ถ้า L1 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (−2, 0) และ (−1, 2) และ L2 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกําเนิดและตั้ง ฉากกับ L1 แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นตรง L1 และเส้นตรง L2 เท่ากับกี่ตารางหน่วย 3. sec (2 arcsin 1 ) 3 มีค่าเท่ากับเท่าใด 4. ให้ u = a i + b j โดย a > 0 ถ้า u ตั้งฉากกับเวกเตอร์ − i + 2 j แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์ u กับเวกเตอร์ 3 i − j (มุมแหลม) มีขนาดกี่องศา 5. กําหนดให้ ความสัมพันธ์ระหว่างรายได้ ( x ) และรายจ่าย ( y ) ต่อเดือนของครอบครัวที่อาศัยใน อําเภอหนึ่งมีสมการเป็น y = 200 + 0.85x ครอบครัวสองครอบครัวในอําเภอนี้ซึ่งมีรายได้ต่างกัน 1,000 บาท จะมีรายจ่ายโดยประมาณต่างกันเท่าใด 6. ชาย 3 คน และหญิง 3 คน เข้าคิวในแถวเดียวกันเพื่อซื้อตั๋วภาพยนตร์ ความน่าจะเป็นที่หญิงทั้ง 3 คน จะยืนเรียงติดกันทั้งหมดในแถวมีค่าเท่ากับเท่าใด ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. จํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 210 ลงตัว มีจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 14 2. 15 3. 16 2. กําหนดให้ A และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ ตามลําดับ เซตในข้อใดเป็นสับเซตของ 1. {−1.6, 1.6} 3. {−1.8, 1.8} 3 − x2 > 0 x +2 และ 4. 2 − x2 < 2 B−A 2. 4. {−1.7, 1.7} {−1.8, 1.7} 3. ประพจน์ ~ p → (q → (r ∨ p)) สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ 2. p ∨ (~ q) ∨ r 1. (~ p) ∨ q ∨ r 4. p ∨ (~ q) ∨ (~ r) 3. p ∨ q ∨ (~ r) Math E-Book Release 2.2 17 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 409 4. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ เมื่อ ก. เหตุ 1) p ∨ (p ∧ ~ q) 2) p → q q ผล p, q และ r เป็นประพจน์ ข. เหตุ 1) ~ p → r 2) ~ r ∨ s 3) ~ s p ผล ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก สมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล 3. ก ไม่สมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล 5. กําหนดให้ และ S = {x | x เป็นจํานวนเต็ม และ 3 2 2 x − x − 4x + a x4 + bx + 4 f (x) = 2. ก สมเหตุสมผล ข ไม่สมเหตุสมผล 4. ก ไม่สมเหตุสมผล ข ไม่สมเหตุสมผล โดยที่ x < 5} a ∈ S, b ∈ S จํานวนคู่ลําดับ (a, b) ∈ S × S ทั้งหมดที่ทําให้ 2. 18 1. 15 f (1) = 0 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 20 6. กําหนดให้ f = {(x, y) | y = log (x + 1) + log (x + 2) − log (4 − x2) } และ g = {(x, y) | y = 2 x − 1 และ x > 0 } ถ้า Df = โดเมนของ f และ Rg = เรนจ์ของ g แล้ว Df ∩ Rg เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. [0, 1.5) 2. [0.5, 2.5) 3. [1, 3) 4. 22 4. [1.5, 4) 4. 1 ( , 1) 3 7. สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดเป็น (0, −1) และผ่านโฟกัสทั้งสองของวงรี 3x2 + 4y2 − 16y + 4 = 0 ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้ 1. ( 2 , 1) 3 2. 8. เซตคําตอบของสมการ 1. R − [−2, 2] ( 3 , 1) 2 1 ( , 1) 2 log 2 (x2 − x − 4)2 = log 0.1(0.01) 2. เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 3. [−4, 2] 4. [−3, 3] R − [−1, 3] 9. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง (1 + i)(z + 1) = เท่ากับข้อใด 2. 3 1. − 3 2 3. −1 แล้ว ส่วนจริงของจํานวนเชิงซ้อน 2 3. − 1 2 4. z (z − z)15 1 2 10. กําหนด p (x) = x6 + ax3 − x + b โดยที่ a และ b เป็นจํานวนจริง ถ้า x − 1 หาร p (x) เหลือเศษ −1 และ x + 1 หาร p (x) เหลือเศษ 1 แล้ว x หาร p (x) จะเหลือเศษเท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ 1. −1 2. 0 3. 1 4. 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 11. กําหนดให้ ⎡ 1 −1⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣2 1 ⎦ ข้อใดต่อไปนี้เป็นค่าของ 1. 6 ถ้า B B = 2A −1 เป็นเมตริกซ์ที่ แล้ว det (3 adj B) 9 2. 12. ในการสร้างเมตริกซ์ในรูปแบบ {−2, −1, 0, 1, 2} 1. 2 25 ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 410 3. ⎡ x2 − 1 y ⎤ ⎢ 0 2 + x⎥ ⎣ ⎦ 12 แบบสุ่ม โดย 4. x และ y เป็นสมาชิกของเซต ความน่าจะเป็นที่จะได้เมตริกซ์เอกฐาน มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 3 3. 2 4. 25 18 5 3 5 13. บริษัทผลิตโทรศัพท์แห่งหนึ่ง ได้ผลิตโทรศัพท์รุ่นใหม่ออกมา 2 รุ่น คือรุ่น P1 และ P2 โดยที่รุ่น P1 จะขายได้กําไรเครื่องละ 1,000 บาท และรุ่น P2 จะขายได้กําไรเครื่องละ 500 บาท ในแต่ละ วันบริษัทตั้งใจจะผลิตโทรศัพท์รุ่น P1 ไม่น้อยกว่า 80 เครื่อง และรุ่น P2 ระหว่าง 50 ถึง 100 เครื่อง ถ้าบริษัทมีความสามารถในการผลิตโทรศัพท์ทั้ง 2 รุ่นรวมกันในแต่ละวันไม่เกิน 150 เครื่อง แล้วบริษัทจะได้กําไรสูงสุดจากการผลิตโทรศัพท์ทั้ง 2 รุ่น เป็นจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 105,000 บาท 2. 115,000 บาท 3. 125,000 บาท 4. 130,000 บาท 14. จํานวนสมาชิกในเซต ต่อไปนี้ 1. 84 15. กําหนดให้ {100, 101, 102, ..., 600} 2. 92 3. 8 หรือ 12 100 ลงตัวเท่ากับข้อใด 4. 125 1 ⎧ ,0< x < 1 ⎪ 3x + 1 ⎪⎪ 1 , x = 1 f (x) = ⎨ ⎪2 − 5 − x ⎪ , x > 1 ⎪⎩ x − 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ f (x) = lim f (x) ก. xlim →1 x→1 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก − ข. + f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 1 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 16. กําหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ F′ (1) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 3 1. 1 2 ซึ่งหารด้วย 2 F (x) = (f(x))3 + 15 3. Math E-Book Release 2.2 ถ้า F (1) = f′ (1) = 4 8 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4. 24 แล้ว คณิตศาสตร O-NET / A-NET 17. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 3 ตารางหน่วย 3. 2 2 3 ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 411 y = x2 − 3x + 2 จาก 2. ตารางหน่วย 18. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง f (2) = ค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 6 1. 5 x = 0 4. −1 , f′(1) = −3 , 3. 1 6 5 6 และ ถึง x = 2 เฉพาะส่วนที่อยู่เหนือ ตารางหน่วย ตารางหน่วย f′′(x) = 3 12 ทุกค่า 4. x แล้ว f (0) มี 15 19. ถ้าจัดนักเรียน 6 คน ซึ่งมีเมตตาและปรานีรวมอยู่ด้วยให้เรียงแถวเป็น 2 แบบ แบบที่หนึ่ง นักเรียนทั้งหมดยืนเป็นแถวตรงโดยที่เมตตาและปรานียืนติดกัน และแบบที่สองนักเรียนทั้งหมดยืน เป็นวงกลมโดยที่เมตตาและปรานียืนตรงกันข้าม แล้วจํานวนวิธีของการจัดแต่ละแบบแตกต่างกัน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 96 2. 120 3. 196 4. 216 20. ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {a, b, c, d} แล้ว จํานวนสมาชิกของเซต { f : A > B | f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1−1 } เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 34 3. 30 4. 24 1. 40 21. จากการสํารวจแม่บ้านที่ดูละครโทรทัศน์จํานวน 200 คน ปรากฏว่ามี 65 คน ดูละครเรื่องที่ 1 90 คน ดูละครเรื่องที่ 2 45 คน ดูละครเรื่องที่ 2 เรื่องเดียว 35 คน ดูละครเรื่องที่ 3 เรื่องเดียว 15 คน ดูละครเรื่องที่ 1 และเรื่องที่ 3 35 คน ดูละครเรื่องที่ 2 และเรื่องที่ 3 และมี 30 คน ที่ไม่ได้ดูละครทั้ง 3 เรื่องนี้ ถ้าสุ่มเลือกแม่บ้านจากกลุ่มนี้มา 1 คน แล้วข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ที่ดูละครทั้ง 3 เรื่องนี้ เท่ากับ 0.05 2. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ที่ดูละครอย่างน้อยหนึ่งเรื่อง เท่ากับ 0.85 3. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ที่ดูละครเรื่องที่ 1 เรื่องเดียว เท่ากับ 0.2 4. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ที่ดูละครเรื่องที่ 3 เท่ากับ 0.45 22. ถ้าในปี 2538 นายเสริมได้รับเงินเดือน เดือนละ 16,000 บาท และในปี 2541 นายเสริมได้รับ เงินเดือนใหม่เป็น 24,000 บาท โดยที่ดัชนีราคาผู้บริโภคของปี 2541 เทียบกับปี 2538 มีค่าเท่ากับ 125 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้านายเสริมได้รับการปรับเงินเดือนขึ้นตามดัชนีราคาผู้บริโภค แล้วนายเสริมควรได้รับ เงินเดือนใหม่เท่ากับ 25,000 บาท ข. รายได้ที่แท้จริงของนายเสริมในปี 2541 เมื่อเทียบกับปี 2538 เท่ากับ 19,200 บาท ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 412 23. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลําดับจากน้อยไปมากได้เป็น 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถ้าฐานนิยมและมัธยฐานของคะแนนชุดนี้เป็น 30 และ 40 ตามลําดับ แล้วข้อมูลชุดต่อไปนี้คือ 11, 22, 33, 34, a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ ข้อใดต่อไปนี้ 1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.5 24. ถ้าน้ําหนักแรกเกิดของเด็กไทยมีการแจกแจงปกติ โดยในปี 2533 มีน้ําหนักเฉลี่ย 2,500 กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 250 กรัม และในปี 2540 มีน้ําหนักเฉลี่ย 3,240 กรัม และส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 200 กรัม น้ําหนักแรกเกิดของเด็กไทยที่อยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.73 ในปี 2533 จะอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ตามข้อใดต่อไปนี้ในปี 2540 กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติดังนี้ z A 1. 1.0 0.3413 11.51 2. 1.2 0.3849 38.49 2.0 0.4773 3. 2.2 0.4861 48.61 4. 61.51 ตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน 25. ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} แล้ว จํานวนฟังก์ชัน f : A > B ทั้งหมดซึ่ง f (1) ≠ 1 หรือ f (2) ≠ 2 หรือ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 530 2. 612 3. 702 26. ให้ g(x) = a 814 เป็นเซตของจํานวนเต็ม ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่งกําหนดโดย f (x) = 2x และ x − 1 ทุก x ∈ I แล้ว เรนจ์ของ (f D g) + f คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. { x ∈ I | x เป็นจํานวนเต็มคี่ } 2. { x ∈ I | x เป็นจํานวนเต็มคู่ } 2 ถ้า 4. I 2 3. เซตของจํานวนเต็มคี่ทั้งหมด 27. ให้ f (3) ≠ 3 S = (− π , π) และ F (x) = sin2 x + sin4 x + sin6 x + ... 2 2 เป็นสมาชิกของเซต 1. 0 4. เซตของจํานวนเต็มคู่ทั้งหมด S ที่น้อยที่สุดที่ทําให้ 2. 1 4 28. ให้ f (x) = x8 − x6 และ ถ้า {an} เป็นลําดับซึ่งมี nlim →∞ 1. 68 F (a) < 1 3. แล้ว 1 2 โดย F (a) x ∈ S มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 4. 1 f′ คืออนุพันธ์ของ f an = 1 แล้ว lim (f D f′)(an) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ n→∞ 2. 92 3. 150 4. 192 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 413 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 29 (2) 0.8 (3) 3 (4) 45 (5) 850 (6) 0.2 ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 3 (3) 2 (4) 1 (5) 3 (6) 2 (7) 1 (8) 4 (9) 4 (10) 1 (11) 3 (12) 4 (13) 3 (14) 1 (15) 2 (16) 2 (17) 4 (18) 1 (19) 4 (20) 1 (21) 4 (22) 3 (23) 2 (24) 1 ตอนที่ 3 (25) 3 (26) 1 (27) 4 (28) 4 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) P(A) มีสมาชิก 25 = 32 ตัว, A มีสมาชิก 5 ตัว แต่สมาชิกของ A ที่อยู่ใน P(A) นั้นมี 3 ตัว คือ φ, {0}, {0, 1} ∴ n [P(A) − A ] = 32 − 3 = 29 ตัว ตอบ (2) mL1 = 2 − 0 = 2 → ∴ mL2 = − 1 (−1) − (−2) แสดงว่าสมการ L2 (-8/5,4/5) -2 L1 คือ y = − 1 x 2 2 (4) หามุมระหว่าง โดยการดอทกัน ดอทด้วยตัวเลข 1 → cos θ = − 2 และเนือ่ งจาก 5 5 1 4 พื้นที่ Δ = × ( ) × (2) = 0.8 ตร.หน่วย 2 5 (3) หา cos(2 arcsin 1 ) ก่อน 3 1 ให้ arcsin = A จะได้ 3 2 ตอบ 1 ⎛ 1 ⎞ cos(2A) = 1 − 2 sin2 A = 1 − 2 ⎜ ⎟ = 3 3 ⎝ ⎠ 1 1 ∴ sec(2 arcsin = 3 )= cos(2A) 3 u ทํามุม −i + 2j 3i − j ก่อนเลย ดอทด้วยขนาดและมุม ∴ θ = 135° 90° ∴ u 45° สมการ L1 คือ y = 2(x + 2) = 2x + 4 หาจุดตัดของสองเส้นตรงได้ (− 8 , 4) กับ ( −1)(3) + (2)(−1) = (−1)2 + 22 32 + (−1)2 cos θ (ผ่านจุด O) O L2 − i + 2j 3i − j กับ − i + 2j มุมแหลมระหว่าง u กับ 3 i − j คือ 45° ตอบ (5) y = 200 + 0.85x ดังนั้น Δy = 0.85 Δx ถ้า Δx = 1,000 จะได้ Δy = 850 บาท ตอบ (6) วิธที ั้งหมด คือ 6! วิธีทตี่ อ้ งการคิด (ญ ติดกันหมด) คือ 4! 3! ช ช ช ญญญ (รวมผู้หญิงไว้ด้วยกัน สลับรวมกับผู้ชายภายนอกได้ 4! และสลับภายในกลุ่มผูห้ ญิงกันเอง 3!) ดังนัน้ ความน่าจะเป็น = 4 ! 3 ! = 0.2 ตอบ 6! ตอนที่ 2 (1) 210 = 21 × 31 × 51 × 71 ดังนัน้ จํานวนเต็มบวกที่หารลงตัว มีอยู่ 2 × 2 × 2 × 2 = 16 จํานวน ตอบ (หมายเหตุ วิธีคดิ จากเนือ้ หาเรื่องความน่าจะเป็น คือ แยกตัวประกอบให้เป็นจํานวนเฉพาะ แล้วนําเลขชี้ กําลังแต่ละตัวมาบวกหนึง่ แล้วคูณกันทัง้ หมด) 2 (2) A; x − 3 < 0 → (x − 3)(x + 3) < 0 x+2 x +2 เขียนเส้นจํานวนได้ A = (−∞, −2) ∪ [− 3, B; x2 − 2 < 2 → −2 < x2 − 2 < 2 3] → 0 < x2 < 4 → −2 < x < 2 → B = [−2, 2] จะได้ B − A คือช่วง [−2, − 3) ∪ ( 3, 2] ซึ่ง 3 ≈ 1.732 ดังนัน้ ตอบ ข้อ 3. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (3) ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 414 ~ p → (q → (r ∨ p)) ≡ p ∨ (~ q ∨ (r ∨ p)) ≡ p ∨ (~ q) ∨ r ตอบ (4) ก. ใช้วธิ ีตรวจสอบสัจนิรนั ดร์ ถ้าเหตุเป็นจริงทุก ข้อและผลเป็นเท็จได้ จะไม่สมเหตุสมผล ... จากผล q บังคับให้เป็นเท็จ นําไปคิดที่เหตุ 2 บังคับให้เหตุเป็นจริง จะได้ว่า p ต้องเป็นเท็จด้วย แต่ เมื่อนําค่าความจริงของ p กับ q ไปคิดที่เหตุ 1 พบว่า เป็นเท็จเสมอ ดังนั้นเราไม่สามารถทําเหตุเป็นจริงทุก ข้อและผลเป็นเท็จได้ ข้อนี้จึงสมเหตุสมผล ข. จากเหตุ 1 คือ ~ p → r รวมกับเหตุ 2 คือ ~ r ∨ s ≡ r → s จะได้ผลเป็น ~ p → s นําไปรวม กับเหตุ 3 คือ ~ s ได้ผลสรุปเป็น p ตรงกับที่ให้มา ในโจทย์ ดังนั้นข้อนีส้ มเหตุสมผล ตอบ ข้อ 1. (5) S = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 2 2 ถ้า f(1) = 0 → 1 − 1 − 4 + a = a − 4 = 0 1+b + 4 b+5 a เป็น 2 หรือ -2 และ b ห้ามเป็น -5 จํานวนวิธีเลือก a กับ b เป็น 2 กับ 10 ตามลําดับ จึงตอบ 2 × 10 = 20 ตอบ (6) Df; x + 1 > 0 และ x + 2 > 0 และ 4 − x2 > 0 (โดเมนของฟังก์ชัน log) แสดงว่า x > −1 และ x > −2 และ −2 < x < 2 อินเตอร์เซคกันได้เป็น Df = (−1, 2) Rg; จาก x > 0 จะได้ x − 1 > −1 ทําให้ 2x − 1 > 2−1 → y > 1/2 จึงได้วา่ Rg = [0.5, ∞) สรุป Df ∩ Rg = [0.5, 2) ตอบ ข้อ 2. (7) จัดรูปวงรีกอ่ น 3x2 + 4 (y2 − 4y + 4) = −4 + 16 log2(x2 − x − 4)2 = log0.1(0.1)2 = 2 (8) → (x2 − x − 4)2 = 22 = 4 x2 − x − 4 = 2 หรือ −2 2 นั่นคือ x − x − 6 = 0 หรือ x2 − x − 2 = 0 แยกตัวประกอบ ได้เป็น (x − 3)(x + 2) = 0 หรือ (x − 2)(x + 1) = 0 ดังนัน้ x = −1, −2, 2, 3 ตอบ ข้อ 4. (9) (z + 1) = − 1 → z + 1 = − 1+i 1+i −1 2 จะได้วา่ z (z − z)15 = ⎜⎛ − 3 − i ⎟⎞ (−i)15 ⎝ 2 2⎠ 3 i⎞ 3i 1⎞ ⎛ ⎛ ตอบ 1 = ⎜ − − ⎟ (i) = ⎜ − + ⎟ 2 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ → z = − 1 −1 1−i 1 1−i 3 i = − − 2 2 x −1 (10) หาร = − p(x) เหลือเศษ −1 → p(1) = −1 → 1 + a − 1 + b = −1 x+1 หาร p(x) เหลือเศษ .....(1) 1 → p(−1) = 1 → 1 − a + 1 + b = 1 .....(2) แก้ระบบสมการได้ a = 0, b = −1 ดังนัน้ p(0) = b = −1 ตอบ (11) หา adj B ก่อน โดย adj B = adj (2A−1) และข้อนี้ det (A) = 3 จาก → adj A A = A −1 → adj (2A −1) 22 / 3 ดังนัน้ = adj (2A −1) 2A −1 1 A 2 adj B = adj (2A −1) = x2 (y − 2)2 + = 1 4 3 = (2A −1)−1 2 A 3 โจทย์ถาม det (3 adj B) = det (2A) = 22(3) = 12 ตอบ จุดศูนย์กลาง (0,2) รีตามแกน x และมีระยะโฟกัส (12) det = 0 → (x2 − 1)(2 + x) = 0 c = 4−3 = 1 → x = 1 หรือ −1 หรือ −2 ดังนัน้ จุดโฟกัสได้แก่ (1,2) และ (-1,2) ดังนัน้ เลือก x ได้ 3 วิธี และ y เป็นอะไรก็ได้ (5 ต่อมาคิดพาราโบลา วิธี) ความน่าจะเป็น = 3 × 5 = 3 ตอบ จากรูปพบว่าเป็นพาราโบลาหงาย (-1,2) (1,2) 5×5 5 ตามสมการ y − k = 4c(x − h)2 (13) กําไร = 1,000x + 500y → y + 1 = 4cx2 เมื่อผลิต P1 x เครือ่ ง V(0,-1) หาค่า c โดยแทนจุดที่ผา่ น และ P2 y เครือ่ ง 100 (80,70) คือ (1,2) ลงไป ได้ 4c = 3 เงื่อนไขได้แก่ x > 80, 2 2 50 (100,50) สมการพาราโบลาเป็น y + 1 = 3x → y = 3x − 1 50 < y < 100, (80,50) x + y < 150 ตอบ ข้อ 1. → 3x2 + 4 (y − 2)2 = 12 → O 80 จากกราฟพบว่า (80, 70) → กําไร 115,000 บาท (100, 50) → กําไร 125,000 บาท (สูงสุด) ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 415 (14) (18) f′′(x) = 3 → f′(x) = 3x + C1 แต่ f′(1) = −3 ∴ C1 = −6 → f′(x) = B หาร12ลงตัว A หาร8ลงตัว → f(x) = ภายใน A มี 104, 112, 120, ..., 600 คือเริ่มจาก 8x13 ถึง 8x75 รวม 63 ตัว ภายใน B มี 108, 120, 132, ..., 600 คือเริ่มจาก 12x9 ถึง 12x50 รวม 42 ตัว และภายใน A ∩ B (คือหาร ค.ร.น.=24 ลงตัว) มี 120, 144, ..., 600 เริ่มจาก 24x5 ถึง 24x25 รวม 21 ตัว ตอบ n (A ∪ B) = 63 + 42 − 21 = 84 1 1 f (x) = lim = (15) xlim →1 x→1 − และ 3x + 1 − 2− lim f (x) = lim+ x → 1+ 4 5−x 1 1 = 2+2 4 f(1) = 1 แต่ ไม่เท่ากับ 1 4 ดังนัน้ ข. ผิด ตอบ 1 ′ = ((f(x))3 + 15)−1/ 2 ⋅ 3(f(x))2 ⋅ f′(x) (16) F(x) 2 แทนค่า x ด้วย 1 จะได้ 1 ′ ) = ((f(1))3 + 15)−1/ 2 ⋅ 3(f(1))2 ⋅ f′(1) F(1 2 หาค่า f(1) จาก F (1) = (f(1))3 + 15 = 4 ดังนั้น ′ )= F(1 (17) วาดกราฟคร่าวๆ ได้ดงั นี้ พื้นที่เหนือแกน x เท่ากับ 0 ∫ 1 (x2 − 3x + 2) dx 1 ⎡ x3 ⎤ 3x2 0 = ⎢ − + 2x ⎥ 2 ⎣3 ⎦ 0 1 3 5 ตารางหน่วย = − +2 = 3 2 6 1 2 H 30 B E C D F G “2” “3” 45 35 35 A + B + C + D = 65 แต่ C + D = และจะได้ว่า 15 ดังนั้น A + B = 50 200 − H = (A + B) + E + (D + F) + G + C 200 − 30 = 170 = 50 + 45 + 35 + 35 + C C =5 ∴ D = 10 → F = 25 จะได้ A = 40 200 f (1) = 1 1 3 (1 + 15)−1/ 2 ⋅ 3(1)2 ⋅ 4 = 2 2 หาจุดตัดแกน x ได้เป็น x = 1, 2 แทนค่า A หา B จาก 90 − 35 − 45 = 10 → 1. ดูทงั้ สามเรือ่ ง 10 = 0.05 ถูก (f(x))3 + 15 F (x) = 3x − 6x + C2 2 “1” ดังนัน้ ก. ถูก 3x − 6 2 แต่ f(2) = −1 ∴ C2 = 5 → f(0) = 5 ตอบ (19) จัดแถวตรงได้ 5!2! = 240 วิธี (5! คือสลับภายนอก และ 2! คือสลับภายในกันเอง) จัดวงกลมได้ 4! = 24 วิธี (สองคนวางตรงข้ามกันตรงไหนก็ได้ จัดเฉพาะคนอืน่ ที่เหลือเป็นเส้นตรง) ดังนัน้ ต่างกัน 216 วิธี ตอบ (20) วิธที ั้งหมด - วิธีที่เป็นหนึ่งต่อหนึง่ = (4 × 4 × 4) − (4 × 3 × 2) = 40 วิธี ตอบ (21) x−1 x→1 ⎛2 − 5 − x ⎞ ⎛2 + 5 − x ⎞ = lim+ ⎜ ⎟ ⎟⎜ x→1 ⎜ x − 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 + 5 − x ⎠⎟ ⎝ ⎛ 4−5+x ⎞ 1 = lim+ ⎜ ⎟ = lim+ x → 1 ⎝ (2 + 5 − x)(x − 1) ⎠ x → 1 (2 + 5 − x) = ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 ตอบ 170 = 0.85 ถูก 200 3. ดูเรื่องทีห่ นึง่ เท่านั้น 40 = 0.2 ถูก 200 5 + 35 + 35 = 0.375 ผิด 4. ดูเรือ่ งที่สาม 200 (22) ก. 16,000 × 125 = 20,000 บาท 100 100 ข. 24,000 × = 19,200 บาท 125 2. ดูอย่างน้อยหนึ่งเรือ่ ง ตอบ ก. ผิด ข. ถูก ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET 416 (23) 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ฐานนิยม = 30 แสดงว่า a = 30 (เพราะมี 60 อยู่สองตัว ดังนัน้ 30 ต้องมีมากกว่า สองตัว) มัธยฐาน = 40 = a + b ดังนั้น b = 50 (27) 2 11 + 22 + 33 + 34 + ... + 120 500 + 55 X = = 10 10 = 55.5 ตอบ (24) ปี 2533; z = 2.0 = ปี 2540; P97.73 x − 2500 250 → A = 0.4773 ดังนั้น x = 3000 → z = x ทางขวา = 3000 กรัม ขอสอบเขาฯ ต.ค.41 F (a) < 1 → sin2 a + sin4 a + sin6 a + ... < 1 sin2 a 40 , 2x + 3y < 60 , 0 < x < 24 , y > 0 ถ้า (a, b) เป็นจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจํากัด และให้ค่า P น้อยที่สดุ แล้ว a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 24 3. 25 1. 20 13. ให้ u+v = 5 2 1. 3 และ u−v = 2. 26 แล้ว 6 u⋅v 3. −3 4. 28 4. 12 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 8 CE = 2 ˜ BA 14. กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ และ E เป็นจุดที่ทําให้ ˜ ˜ ˜ BE = a CB + b CA เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว แล้ว b − a คือค่าในข้อใดต่อไปนี้ ถ้า ˜ 2. 2 3. 3 4. 5 1. −1 15. ให้ P (x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และสัมประสิทธิ์ของ x3 เป็น 1 ถ้า x − 2 หาร P (x) เหลือเศษ 5 และ (1+ 3 i) เป็นรากหนึ่งของ P (x) แล้วรากที่ เป็นจํานวนจริงของ P (x) คือค่าในข้อใดต่อไปนี้ 1. 3 2. 4 3. 5 4. 4 4 3 Math E-Book Release 2.2 4 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 420 , x < −1 ⎧ -3/2 ⎪2x2+ x − 1 ⎪ , −1 < x < 1 ⎪ f (x) = ⎨ 2 (x + 1) ⎪ 1− x ⎪ , x > 1 ⎪⎩ 1 − x 16. กําหนดให้ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. f ต่อเนื่องที่จดุ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. ถูก, ข. ถูก 3. ก. ผิด, ข. ถูก x = −1 ข. f ต่อเนื่องที่จุด x = 1 2. ก. ถูก, ข. ผิด 4. ก. ผิด, ข. ผิด 17. กําหนดให้ a, b, c, d เป็นจํานวนจริง และ f (x) = ax3+bx2+ cx + d โดยที่ f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เป็น 2 ที่ x = 1 และ f′′ (1) = −4 ถ้า f (0) = 1 แล้ว f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ที่จุดในข้อใดต่อไปนี้ 2. x = −1/3 1. x = −3 4. x = 3 3. x = 1/3 18. ถ้า 19. ถ้า แล้ว a b θ∈ R 1. 0 3. −1 a และ หรือ และ หรือ b 1 sin θ ∫ (4x − 3) dx = 0 แล้ว cos 2θ 3 2 1 2 เป็นสัมประสิทธิ์ของ x −2 และ x4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 0 4. −1 หรือ หรือ − 3 2 1 ของการกระจาย 1 ⎞ ⎛ 4 ⎜x − 2 ⎟ 2x ⎠ ⎝ 10 ตามลําดับ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. − 2 7 2. − 1 2 3. − 1 3 4. − 4 15 20. ในการเก็บตัวนักกีฬา ได้จดั ให้นักกีฬาพักรวมกันห้องละ 2 คน ถ้ามีนักกีฬาจากต่างจังหวัด 4 คน และจากกรุงเทพฯ 4 คน แล้วจํานวนวิธีที่จะจัดให้มีเพียง 2 ห้องเท่านั้นที่แต่ละห้องมีนักกีฬาจาก ต่างจังหวัดและนักกีฬาจากกรุงเทพฯ พักด้วยกัน มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 36 2. 72 3. 108 4. 144 21. ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกันอยู่ 10 ลูก เป็นสีแดง 3 ลูก สีขาว 5 ลูก สีดํา 2 ลูก สุ่มหยิบ ลูกแก้วจากถุงสองครั้งๆ ละลูกโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกที่สองเป็นสีแดงเท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ 2. 3 3. 27 4. 33 1. 1 3 10 100 100 22. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวน มีฐานนิยม มัธยฐาน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 15, 16 และ 17 ตามลําดับ และพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 5 ความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 24 3. 22 4. 19 1. 31 5 5 Math E-Book Release 2.2 5 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 421 23. เมื่อสร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียน 36 คน โดยใช้ความกว้างของแต่ละ อันตรภาคชั้นเป็น 10 แล้ว ปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในช่วง 50 – 59 ถ้ามีนกั เรียนที่ สอบได้คะแนนต่ํากว่า 49.5 คะแนน อยู่จํานวน 12 คน และมีนักเรียนได้คะแนนต่ํากว่า 59.5 คะแนน อยู่จํานวน 20 คน แล้วมัธยฐานของคะแนนการสอบครั้งนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด 1. 53 2. 54 3. 56 4. 57 24. ตัวแทนจําหน่ายหม้อหุงข้าวไฟฟ้ายี่ห้อหนึ่ง ขายหม้อหุงข้าวขนาด 1 ลิตร, 2 ลิตร, 3 ลิตร และ 4 ลิตร ในรอบ 2 ปีที่ผ่านมาด้วยราคาและปริมาณดังต่อไปนี้ ปริมาณหม้อ 2540 2541 300 250 220 230 200 200 150 130 ขนาดของ หม้อหุงข้าวไฟฟ้า 1 ลิตร 2 ลิตร 3 ลิตร 4 ลิตร ราคา 2540 400 500 600 1000 2541 400 450 a 950 ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2541 เมื่อเทียบกับ พ.ศ. 2540 เท่ากับ 96.00 แล้ว ดัชนีราคาแบบใช้ราคารวมโดยถ่วงน้ําหนักด้วยปริมาณในปีฐาน (วิธีของลาสไพเยอเรส) ของ พ.ศ. 2541 เมื่อใช้ พ.ศ. 2540 เป็นปีฐาน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 80.00 2. 86.80 3. 90.00 4. 96.30 ตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน 25. ถ้า A = {5, 6, 7, ..., 20} และ B = {1, 2, 3, ..., 15} แล้ว จํานวนสมาชิกในเซต { x | x เป็นสับเซตของ A และ x ไม่เป็นสับเซตของ B } เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 31 × 2 11 3. 31 × 2 10 4. 1. 7 × 2 10 26. กําหนด ถ้า ⎧1 , f (x) = ⎨ ⎩0 , x < 0 x > 0 g = {(x, y) | y = f (1 − e x) 1. Dg ⊂ R 'g 3. Dg ⊂ Rg ∪ [1, ∞) 27. ถ้า f (x) = x − 1 1. 9028 63 × 2 11 และ y > 0} แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก 2. D 'g ⊂ Rg 4. Rg ⊂ Dg ∩ [1, ∞) 30 แล้ว ∑ (f D f)(n2) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ n = 10 2. 9030 3. 9128 4. 9170 28. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 64 คะแนน ถ้านักเรียนที่สอบได้คะแนนมากกว่า 80 คะแนนมีอยู่ 15.87% แล้วสัมประสิทธิ์ของการ แปรผันของคะแนนสอบวิชานี้คือข้อใดต่อไปนี้ (พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z=0 ถึง z=1 คือ 0.3413) 1. 35% 2. 30% 3. 25% 4. 20% Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 422 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 ตอนที่ 2 (10) 3 (20) 2 ตอนที่ 3 (1) 7 (2) 14 (3) 1 (4) 6 (5) 0.2 (6) 0.62 (1) 3 (2) 1 (3) 4 (4) 2 (5) 3 (6) 1 (7) 2 (8) 2 (9) 4 (11) 4 (12) 1 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 1 (17) 2 (18) 3 (19) 1 (21) 2 (22) 3 (23) 4 (24) 4 (25) 2 (26) 4 (27) 3 (28) 3 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) A − B = {1, 2, 3, 4, 5} , ตอนที่ 2 (1) เส้นตรง B − A = {{1, 2}, {3, 4, 5}} → ตอบ 7 ตัว (2) จากการกระจาย (980 − p)3 = 9803 − 3(980)2(p) + 3(980)(p)2 − p3 y = mx ตัดกับวงกลม แสดงว่า จะต้องสามารถแก้ระบบสมการเพือ่ หาจุดตัดได้ x2 + y2 − 10x + 16 = 0 → x2 + (mx)2 − 10x + 16 = 0 → (m2 + 1)x2 − 10x + 16 = 0 พบว่าสามพจน์หลังย่อมหาร p ลงตัวเสมอ 10 ± 100 − 64(m2 + 1) (เพราะมี p คูณอยู่ในนัน้ ) → x = 3 3 2(m2 + 1) ∴ p | (980 − p) ก็ตอ ่ เมื่อ p | 980 จะมีคําตอบ (มีจดุ ตัด) เมือ่ 100 − 64 (m2 + 1) > 0 ซึ่ง 9803 = 26 × 53 × 76 ดังนัน้ A = {2, 5, 7} → ผลบวกเท่ากับ 14 ตอบ → m2 + 1 < 100 → m2 < 36 → − 6 < m < 6 64 64 8 8 (3) log10 28 − log10 325 + log10 91 6 3 = ตอบ ขอบเขตบนค่าน้อยทีส่ ุดคือ 1 −1 = log10 28 + log10 = log10( |A | = 1 C21 = 3 log10 91 ตอบ → 2x − y = 1 .....(1) .....(2) y 0 → − −x 1 = − y = 3 แก้ระบบสมการได้ y = −3, x = −1 0 −3 0 ∴ |A + I| = 1 3 0 = 6 −1 1 2 (5) 2 28 ⋅ 325 9100 ) = log10( ) 91 91 = log10 10 = 1 (4) 325 − −2 ตอบ |7 − 24 i| ⋅ |3 + 4 i| ⋅ |z|6 = |1| → 25 ⋅ 5 |z|6 = 1 → |z|6 = 1 125 1 ตอบ = 0.2 5 (32 + 1)f′(3) − f(3)[2(3)] ′ (6) g(3) = [32 + 1]2 (10)(5) − (−2)(6) = = 0.62 ตอบ 100 ∴ z z = |z|2 = (2) 8 4 ~ [~(p ∧ q) ∨ ~ q ∨ r] ≡ (p ∧ q) ∧ q ∧ ~r ≡ p ∧ q ∧ (~r) ซึ่งจากข้อ 1. นัน้ p ∧ ~(q → r) ≡ p ∧ (q ∧ ~r) ดังนัน้ ตอบ ข้อ 1. (3) ก. จากเหตุ 1 คือ p → (q → r) กับเหตุ 2 คือ p รวมกันได้ผลเป็น q → r นําไปรวมกับเหตุ 3 คือ ~r → q (ใช้ q เป็นตัวร่วม) ได้ผลคือ ~r → r เป็นจริง แสดงว่า r เป็นจริง แต่ผลในโจทย์คือ r → t เราสามารถทําให้เป็นเท็จได้ (โดยให้ t เป็นเท็จ) ดังนั้นข้อ ก. ไม่สมเหตุสมผล ข. จากเหตุ 2 คือ p ∧ s เราสามารถแยกเป็นเหตุ p และเหตุ s ไว้คนละข้อกันก็ได้ จากเหตุ 1 คือ p → (q → ~ s) ไปรวมกับเหตุ p ได้เป็น q → ~ s นําไปรวมกับเหตุ s จะได้ผล ~ q ซึ่งพบว่าตรงข้ามกับผลที่ให้มาในโจทย์ ดังนัน้ ข้อ ข. ไม่สมเหตุสมผล ตอบ ข้อ 4. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 2 1− x > 0 1 − x2 1 + x2 y = (4) หาโดเมน จาก (เพราะตัวส่วน จะได้เงื่อนไขว่า 2 1+ x > 0 2 ดังนัน้ x < 1 → −1 < x < 1 หาเรนจ์ (เพราะ Dr = Rr ) อยู่แล้ว) ∴ Dr = [−1, 1] −1 จัดรูป y2 = 1 − x2 1 + x2 → y2 + x2y2 = 1 − x2 → x2 + x2y2 = 1 − y2 → x2 = 2 1− y >0 1 + y2 ดังนัน้ เงือ่ นไขคือ ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 423 1 − y2 1 + y2 → 1 − y2 > 0 นั่นคือ y2 < 1 → −1 < y < 1 แต่อย่าลืมว่ามีการยกกําลังสองเอง ต้องมองเงื่อนไข รู้ทในโจทย์ คือ y > 0 เท่านัน้ ∴ Dr = [0, 1] ตอบ ข้อ 2. (5) f(x) = x (y > 0) กลายเป็น −1 f −1(x) = x2 (x > 0) (8) จัดรูปไฮเพอร์โบลา; 16 (x2 − 4x + 4) − 9y2 = 80 + 64 (x − 2)2 y2 − = 1 9 16 → จุดศูนย์กลาง (2, 0) , อ้อมแกน x, ระยะโฟกัส c = 9 + 16 = 5 จุดโฟกัสคือ (−3, 0) กับ (7, 0) และจุดปลายแกนสังยุคคือ (2, 4) , (2, −4) (2,4) (-3,0) (2,0) (7,0) (2,-4) ∴ สมการวงรีคอื (x − 2)2 (y)2 + = 1 25 16 → 16x2 − 64x + 25y2 − 336 = 0 ตอบ (9) (0,1) f(x) O (3,1) (5,1) f-1(x) จาก a = 3, c = 2 จะได้ b = 9 − 4 = 5 ดังนัน้ A = {x ∈ R | x2 + x − 2 = 0} = {1, −2 } → แกนโทยาว 2 5 หน่วย ( x = −2 ไม่ได้ เพราะจาก f −1 นัน้ ต้อง x > 0 ) ∴ สมการวงกลม คือ (x + 2)2 + (y − 1)2 = (2 5)2 สรุปว่า A = {1} → x2 + y2 + 4x − 2y − 15 = 0 ตอบ 2 ก. 1 − 1 − 6 ≠ 0 เท็จ หมายเหตุ ในข้อสอบพิมพ์คาํ ตอบผิดเป็น ข. 12 + 2 − 3 = 0 จริง ดังนัน้ ตอบ ข้อ 3. x2 + y2 − 4x − 2y − 15 = 0 ข้อนี้จงึ ให้คะแนนฟรี 1 = a (6) ยุบอนุกรมเรขา → (10) จัดรูปสมการแรกเป็น xlog 9 + ylog 4 = 16 1 − cos2 θ → x2 + y2 = 16 .....(1) นั่นคือ cos2 θ = ⎛⎜ a − 1 ⎞⎟ ⎝ a ⎠ สมการสอง log3 x + log3 y = log3 9 − log3 2 π → xy = 9 / 2 หรือ 2xy = 9 .....(2) โจทย์ถาม cos(π − 2θ) sin( − 2θ) 2 2 (1)+(2) จะได้ x + 2xy + y2 = 25 = [− cos(2θ)] ⋅ [cos(2θ)] = − cos2 2θ และ (1)–(2) จะได้ x2 − 2xy + y2 = 7 2 ⎡ ⎛ a − 1⎞ ⎤ 2 2 = − (2 cos θ − 1) = − ⎢2 ⎜ ⎟ − 1⎥ ∴ โจทย์ถาม |x2 − y2 | = |(x + y)(x − y)| ⎣ ⎝ a ⎠ ⎦ 2 = 25 ⋅ 7 = 5 7 ตอบ ⎛ a −2⎞ = −⎜ ตอบ ⎟ a (11) หา x ด้ ว ยกฎของคราเมอร์ ⎝ ⎠ 1 (7) cos (2 arcsin x) = −2 (1 − 2 sin2(arccos x)) 0 2 1 1 2 1 x1 = 5 1 −2 ÷ 3 1 −2 ให้ A = arcsin x, B = arccos x 9 −3 −3 2 −3 −3 จะได้ cos 2A = −2 cos 2B −9 + 30 − 15 − 36 3 → 1 − 2 sin2 A = −2 (2 cos2 B − 1) → 1 − 2x2 = −2 (2x2 − 1) x = 1 2 หรือ − ∴ ผลคูณ = −1 / 2 1 2 → 2x2 = 1 2 = 3 −2 + 18 − 6 − 3 − 9 − 8 3 + y 6⎤ ∴ A = ⎡⎢ 3 y ⎥⎦ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน ⎣ = ตรวจคําตอบพบว่าใช้ได้ทงั้ คู่ แสดงว่า |A | = 0 = 3y + y2 − 18 ผลบวกคําตอบคือ −3 ตอบ ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) → y = 3, −6 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 424 y (17) โจทย์กาํ หนด f(0) = 1 .....(1) และ f′′(1) = −4 .....(2) (15, 10) → P = 155 ประโยค “มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เป็น 2 ที่ x=1” แปลว่า (15,10) (20, 0) → P = 140 f(1) = 2 .....(3) และ f′(1) = 0 .....(4) (24,3) (24, 3) → P = 183 x จากสมการ (1); 0 + 0 + 0 + d = 1 → d = 1 (24, 0) → P = 168 O 20 24 แทนลงในสมการ (3); a + b + c + 1 = 2 ∴ Pmin = 140 เกิดเมื่อ (a, b) = (20, 0) ตอบ 20 จาก (4) จะได้ 3a + 2b + c = 0 และ (2) จะได้ 6a + 2b = −4 (13) จาก |u + v | = 5 2 จะได้ 2 2 แก้ระบบสมการได้ a = −1 , b = 1 , c = 1 |u| + |v | + 2 u ⋅ v = 50 .....(1) ∴ f(x) = −x3 + x2 + x + 1 และจาก |u − v | = 26 จะได้ หาค่าวิกฤตจาก f′(x) = −3x2 + 2x + 1 = 0 |u|2 + |v |2 − 2 u ⋅ v = 26 .....(2) → x = −1/ 3, 1 (1)-(2) จะได้ 4 u ⋅ v = 24 ดังนัน้ u ⋅ v = 6 ตอบ แต่โจทย์บอกว่าค่าสูงสุดเกิดที่ x = 1 ไปแล้ว (14) B ดังนัน้ ค่าต่าํ สุดต้องเกิดที่ x = −1/ 3 ตอบ 1 A (18) จาก (2x2 − 3x) |sin θ= 0 C (12) → (−1) − (2 sin2 θ − 3 sin θ) = 0 แก้สมการได้ sin θ = 1, 1/2 แทนลงในสูตร cos 2θ = 1 − 2 sin2 θ จะได้ cos 2θ = −1, 1/2 ตอบ (19) พจน์ทวั่ ไปจากการกระจาย E ˜ ˜ = −˜ CB + 2 ˜ BA ˜ ˜ ˜ ˜ = − CB + 2 (CA − CB) = −3 CB + 2 ˜ CA ˜ BE = BC + CE จะได้ b − a = 5 ตอบ เป็นรากหนึ่งของ P(x) แสดงว่า (สังยุค) เป็นรากด้วย (10r ) (x ) 1 r ) 2x2 ∴ a = −3, b = 2 = (15) 1 + 3 i ต้องมี 1 − 3 i นั่นคือ P(x) = (x − c)(x − 1 − หาพจน์ทเี่ ป็น จะได้ r = 7 x −2 หาพจน์ทเี่ ป็น 4 3 i)(x − 1 + 3 i) 2 = (x − c)(x − 2x + 4) หาค่า c จาก ทฤษฎีเศษ 5 = (2 − c)(4 − 4 + 4) (16) ก. P(2) = 5 lim + f(x) = lim + x → −1 c = 3/4 ดังนั้น x → −1 2 2x + x − 1 2(x + 1) (2x − 1)(x + 1) 3 = lim + = − x → −1 2(x + 1) 2 ซึ่ง ข. 3 ด้วย lim f(x) = f(−1) = − x → −1− 2 2(1) + 1 − 1 1 และ f(1) = = 2(2) 2 lim f(x) = lim+ x → 1+ x→1 (1 − ดังนัน้ ตอบ ข้อ 1. 1− x x)(1 + ตอบ จะได้ x) ดังนัน้ 4 10 − r r = 6 (− ∴ x ∴ = (10r ) ⎛⎜⎝ − 21 ⎞⎟⎠ x r 40 − 6r โดยบังคับให้ 40 − 6r = −2 7 ⎞ ⎛− 1⎞ = a สัมประสิทธิ์ = ⎜⎛ 10 ⎟ ⎜ ⎟ 7 ⎝ โดย ⎠ ⎝ 2⎠ 40 − 6r = 4 สัมประสิทธิ์ 6 10 ⎛ 1 ⎞ = ⎜⎛ 6 ⎟⎞ ⎜ − ⎟ = b ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 10 ⎞ ⎜7⎟ 10 ! 6 ! 4 ! ⎛ 1 ⎞ a ⎛ 1⎞ = ⎝ ⎠ ⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ b 7 ! 3 ! 10 ! ⎝ 2 ⎠ ⎛ 10 ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ = −2 / 7 ตอบ (ก. ถูก) (20) มีห้องดังนี้ กก ตต กต กต จึงแบ่งกรุงเทพ 4 คนออกเป็น 2, 1, 1 และแบ่งต่างจังหวัด 4 คนออกเป็น 2, 1, 1 ด้วย 4! 1 (ข. ถูก) ได้ส่วนละ 2 !(1!)22 ! วิธี = 2 ดังนัน้ คําตอบคือ 4! 4! ⋅ ⋅ 2 ! = 72 2 !(1!)22 ! 2 !(1!)22 ! (คูณ 2! เพราะกรุงเทพ 1 คน จับคู่กับต่างจังหวัด 1 คนนั้น สามารถเลือกสลับคู่ได้) ตอบ 72 วิธี หมายเหตุ ถ้าคิดว่าห้องต่างกันจะต้องเลือกห้องด้วย จะได้ 72 × 4 ! = 1,728 วิธี Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 425 (21) มี 2 กรณีคือ แดง-แดง กับ อื่น-แดง จึงได้ 3 × 2 + 7 × 3 = 3 ตอบ (26) หา Dg และ Rg จาก y = f(1 − ex) และ y > 0 แสดงว่า y = 1 เท่านัน้ (เพราะสิ่งที่ได้ออกมาจาก f มีเพียงเลข 0 กับ 1) สรุปว่า Rg = {1} x จาก f(1 − e ) = 1 จึงได้ว่า 1 − ex < 0 (22) สมมติให้เป็น A, B, C, D, E มัธยฐาน = 16 แสดงว่า C = 16 ฐานนิยม = 15 แสดงว่า A = B = 15 พิสัย = 5 แสดงว่า E = 20 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 17 แสดงว่า → ex > 1 → x > ln 1 สรุปว่า Dg = (0, ∞) ดังนัน้ ข้อที่ถูกคือ ข้อ 4. 15 + 15 + 16 + D + 20 = 17 → D = 19 5 ทราบครบทุกข้อมูลแล้ว หาความแปรปรวนได้ดังนี้ 22 + 22 + 12 + 22 + 32 22 s2 = = ตอบ 5 5 ⎛ N/2 − ∑ fL ⎞ (23) Med = L + I ⎜ ⎟ fMed ⎝ ⎠ ⎛ 18 − 12 ⎞ = 49.5 + 10 ⎜ ⎟ = 57 คะแนน ⎝ 20 − 12 ⎠ (24) จาก จะได้ 0.96 = a = 600 ตอบ 400 + 450 + a + 950 400 + 500 + 600 + 1,000 ดังนั้น IL (27) ∑ n = 10 (fof)(n2) = 400(300) + 500(220) + 600(200) + 1,000(150) X ⊄ B; B = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 15 } ∑ n = 10 30 = 9,455 − 285 − 42 = 9,128 (28) ที่ ตอบ f(n2 − 1) ∑ 30 ∑ n = 10 2 ตอบ x = 80 64 × 100 A = { 5, 6, 7, 8, ..., 15 , 16, 17, 18, 19, 20} , Rg ⊂ Dg ∩ [1, ∞) 30 9 ⎡ 30 ⎤ (n2 − 2) = ⎢ ∑ n2 − ∑ n2 ⎥ − ⎣n = 1 ⎦ n = 10 n=1 30(31)(61) 9(10)(19) = − − (21)(2) 6 6 = คํานวณได้จาก 400(300) + 450(220) + 600(200) + 950(150) = 96.30 ตอบ ตอนที่ 3 (25) X ⊂ A และ 30 → x > 0 0.1587 10 0.3413 10 × 9 ขอสอบเขาฯ มี.ค.42 80 x = 0.5 − 0.1587 = 0.3413 ทางขวา 80 − 64 → s = 16 z = 1 → 1= s สัมประสิทธิ์การแปรผัน = s = 16 = 0.25 64 X พื้นที่ จะได้ หรือ 25% ตอบ แสดงว่า 5 ถึง 15 จะอยู่ใน X กี่ตัวก็ได้ ไม่อยูก่ ็ได้ จัดได้ 211 แบบ แต่ 16 ถึง 20 บังคับว่าจะต้องอยู่ใน X ด้วย กีต่ วั ก็ ได้ แต่ไม่อยู่เลยไม่ได้ ..จัดได้ 25 − 1 แบบ ∴ ตอบ 211 ⋅ (25 − 1) = 31 × 211 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 426 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.42 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน (e ) 1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็น จุดกําเนิด และจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี x2 + 2y2 + 4x − 4y − 2 = 0 เท่ากับเท่าใด 2. ถ้า x ค่า ที่ทําให้ 3. ให้ ถ้า f (x) = 4x A g(x) = 2 x−1 (f D g)(x) = (g D f)(x) เป็นเมตริกซ์มิติ แล้ว เท่ากับเท่าใด 3×3 ⎡ −1 3⎤ ⎡ −1 1 ⎤ = ⎢ ⎥ , M 21 = ⎢ 2 4⎥ 1 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ M 13 det A และ และ ⎡ 2 1⎤ M 32 = ⎢ ⎥ ⎣ −1 0⎦ แล้ว มีค่าเท่ากับเท่าใด x− 2x 1 2 4. กําหนดให้ A = { x ∈ R | 5 3 + 3 = 255(3 )} ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ A มีค่าเท่ากับเท่าใด 5. ให้ และ u และ v x เป็นฟังก์ชันของ ′ u (3) = −9 , u(3) = 3 โดยที่ แล้ว ค่าของ v (x) = x2 − 2x f′(3) และ f (x) = u (x) v (x) เท่ากับเท่าใด 6. ในการประชุมครั้งหนึ่ง มีผู้แทนจาก 3 ประเทศเข้าร่วมประชุม โดยมีผู้แทนประเทศละ 3 คน จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดให้ผู้แทนแต่ละประเทศต้องนั่งติดกันในการประชุมโต๊ะกลม เท่ากับเท่าใด ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ ถ้า A = Dgof 1. 3. f (x) = และ x 1− x B = Dg และ แล้ว g(x) = (A ∪ B ') R − {−1, 1} 1 ( , 1) ∪ (1, ∞) 2 2. ให้ A = { x | x − 2 < 4 } และ แล้ว A ∩ B คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (−2, 3) ∪ (5, 6) 3. (0, 3) ∪ (3, 5) ∪ (5, 6) x2 − 1 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 2. (−1, ∞) 4. (−1, 1) ∪ (1, ∞) B = { x | 15x −2 − 8x −1 + 1 > 0 } 2. 4. (0, 3) ∪ (5, 6) (−2, 0) ∪ (0, 3) ∪ (5, 6) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 427 3. สําหรับจํานวนเต็ม a, b ใดๆ ให้ (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให้ A = {1, 2, 3, ..., 400} จํานวนสมาชิกของเซต { x ∈ A | (x, 40) = 5 } มีค่าเท่ากับข้อใด 2. 40 3. 60 4. 80 1. 30 4. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ข. เหตุ 1) (p ∧ q) → r ก. เหตุ 1) p → (q → ~ r) 2) ~ (r ∨ s) 2) q 3) p 3) r ผล p ผล ~q ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล 3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล 5. เอกภพสัมพัทธ์ 2 ที่กําหนดในข้อใดต่อไปนี้ที่ทําให้ประโยค x2 − 4x + 4 < 3 ] มีค่าความจริงเป็นจริง เซตของจํานวนเต็มบวกคู่ 2. U = เซตของจํานวนเต็มบวกคี่ เซตของจํานวนเต็มลบคู่ 4. U = เซตของจํานวนเต็มลบคี่ U ∃x [ 2x + x − 1 < 0 ∧ 1. 3. U = U = 6. ให้ f (x) = arcsin x , g(x) = cos x และ h (x) = (f D g)(x) พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. โดเมนของ h คือเซตของจํานวนจริง และ g(π − h (x)) = 2 ข. h เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 7. {cos A | 0 < A < 4π 3 และ 5 − 3 sin 3A 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด มีค่ามากที่สุด } เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. {− 1 , 0, 3 } 2 3. {0, g(x) 2 1 3 , } 2 2 2. {− 3 1 , − , 0} 2 2 4. {− 3 1 3 , , } 2 2 2 เป็นจุดบนวงกลม x2 + y2 + 4x − 6y + 11 = 0 ซึ่งอยู่ใกล้กับจุดโฟกัส F ของพาราโบลา x2 − 12x + 4y + 52 = 0 มากที่สุด แล้วระยะระหว่างจุด A กับ F มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 8 2 3. 7 2 − 2 4. 8 2 − 2 1. 7 2 8. ถ้า A Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 428 9. ให้ O เป็นจุดกําเนิด, A เป็นจุดบนแกน x และ B เป็นจุดในระนาบซึ่งทําให้เส้นตรง ความชันเท่ากับ 2 และเส้นตรง AB มีความชันเท่ากับ 1 ˆ ถ้า θ = ABO แล้ว sec2 θ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 11/9 3. 10 4. 11 1. 10/9 10. กําหนดให้ a, b เป็นคําตอบของสมการ log 3 x + 6 log x 3 = 5 โดยที่ a < b ถ้า A = { x ∈ I+ | x ∈ [a, b] และ 3 x } เมื่อ I+ เป็นเซตของจํานวนเต็มบวก แล้ว A มีจํานวนสมาชิกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 6 2. 7 3. 18 4. 11. กําหนดให้ ถ้า I ⎡ x 5 −1 ⎤ A = ⎢0 4 −2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 −x ⎥⎦ det A = −1 โดยที่ เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 2. 1. 4 3×3 แล้ว และ x 3. มี 19 เป็นจํานวนจริง det (2 (I − A) A t) 8 OB 12 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 4. 18 12. โรงงานแห่งหนึ่งต้องการผลิตสินค้า A และ B โดยที่มีราคาขายต่อชิ้นเป็น 10 และ 15 บาท ตามลําดับ ถ้าโรงงานนี้ผลิตสินค้า A ได้ x ชิ้น และผลิตสินค้า B ได้ y ชิ้น โดยมีอสมการ ข้อจํากัดดังนี้ x + y < 10 x > 0 0 < y < 5 และ 2x + y < 16 แล้วโรงงานจะขายสินค้าได้เงินมากที่สุดเป็นจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 125 3. 130 4. 150 1. 120 13. ถ้า u และ v ทํามุมกัน 60° และ แล้ว u + v มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 7 1. 5 u+v = 37 , 3. u−v = 13 37 4. 50 ˜ OA = 3 i + 4 j , OB = 5 i − 2 j 14. กําหนดให้ O เป็นจุดกําเนิด ˜ OB ที่จุด D แล้ว ˜ OD คือข้อใดต่อไปนี้ จากจุด A ลากเส้นตรงไปตั้งฉากกับ ˜ 7 2. 7 (5 i − 2 j) (5 i − 2 j) 1. 29 8 (5 i − 2 j) 29 3. 15. ถ้า z = −2 + 2 3 i 1. 1 4. เมื่อ i2= −1 2. 2 แล้ว z17 29 8 (5 i − 2 j) 29 อยู่ในควอดแรนต์ในข้อใดต่อไปนี้ 3. 3 4. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 429 16. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า A = { x ∈ R | (1+i) x3 + (1+2i) x2 − (1+i) x − (1+2i) = 0 } แล้ว ข. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง z 6 = 1 i แล้ว z เท่ากับ 1 8 2 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 17. ให้ a ถ้าพจน์ที่ คือ 1 + 38 a 1− a แล้วผลบวก n 1 + (n−2) a 1− a ของอนุกรมคือ m พจน์แรกของอนุกรมนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 40 + 740 a 1− a 2. 40 + 790 a 1− a 3. 20 + 720 a 1− a 4. 20 + 760 a 1− a 18. กําหนดให้ และ 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด เป็นจํานวนจริง กําหนดพจน์ที่ m f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ f (2) = a, f (−2) = b 1. 3. แล้ว A ⊆ [−1.5, 1.5] a และ a = 1, b = −3 a = −1, b = −3 b f (x) = x3− x2− 4x + 4 4 − x2 เมื่อ x ≠ ±2 เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้ 2. a = 1, b = 3 4. a = −1, b = 3 19. ถ้า f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีกราฟผ่านจุด (0, 2) และ แล้ว ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 2. 3 f′(x) = 3x2− 12x + 9 3. 6 4. 8 20. ในจํานวนเด็ก 12 คน มีเด็กถนัดซ้าย 4 คน ถ้าเลือกเด็ก 5 คนโดยการสุ่มจากเด็กเหล่านี้ แล้ว ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กถนัดซ้ายอยู่ในกลุ่มที่เลือกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 35 2. 47 3. 63 4. 92 99 99 99 99 21. ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {3, 4} ถ้า S = { f : A ∪ B > A × B | f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง } แล้วจํานวนสมาชิกของ S เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 120 2. 240 3. 360 22. พิจารณาข้อมูลของ x และ x y y 4. 480 ดังนี้ -3 0 -1 a 0 a+3 1 a+4 3 a+6 เมื่อ a เป็นค่าคงที่ ให้ x และ y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟเส้นตรง โดยที่ความชัน เท่ากับ 1.55 ถ้า x = 4 จะประมาณค่า y ได้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 10.8 3. 11.2 4. 12.8 1. 8.7 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 430 23. แผนภูมิวงกลมต่อไปนี้แสดงจํานวนนักเรียนทั้งหมด 500 คนของโรงเรียนแห่งหนึ่ง จําแนกตาม คะแนนสอบวิชาหนึ่ง 2 1. นักเรียนที่ได้คะแนน 1 – 20 คะแนน 40% 2. นักเรียนที่ได้คะแนน 21 – 40 คะแนน 24% 3 3. นักเรียนที่ได้คะแนน 41 – 60 คะแนน 20% 4. นักเรียนที่ได้คะแนน 61 – 80 คะแนน 1 10% 6% 5. นักเรียนที่ได้คะแนน 81 – 100 คะแนน 5 4 ถ้าความแปรปรวนของคะแนนสอบเท่ากับ 481.44 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ครึ่งหนึ่งของนักเรียนโรงเรียนนี้ได้คะแนนมากกว่า 40 คะแนน ข. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบวิชานี้เท่ากับ 0.50 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 24. ในปี พ.ศ. 2540 สุเมธมีรายได้เดือนละ 15,000 บาท โดยที่รายได้ต่อเดือนที่แท้จริงของเขาเป็น 12,500 บาท เทียบกับปี พ.ศ. 2538 ถ้าดัชนีราคาผู้บริโภคในปี พ.ศ. 2541 สูงกว่าปี พ.ศ. 2540 อยู่ 5% แล้วค่าครองชีพในปี พ.ศ. 2541 สูงกว่าปี พ.ศ. 2538 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (โดยคิดจากดัชนีราคาผู้บริโภค เมื่อใช้ปี พ.ศ. 2538 เป็นปีฐาน) 1. 20% 2. 25% 3. 26% 4. 30% ตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน 25. ให้ F (x) = f (g (x)) ถ้า เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 6 26. กําหนดให้ f (x) = g(x) = x3+ 2x + 2 2. x + 7⎞ ⎟ ⎝ 24 ⎠ π ⎛⎜ 5 3. เมื่อ −3 < x < 3 ถ้า g(x) = A + arcsin x โดยที่ A ∈ [0, π] และ แล้วค่าของ (g−1 D f)(5) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1 1. 1 10 และ ∫ F (x) dx 5 = 5x3+ 2x + c 4 4. f (x + 6) = f (x) และ แล้ว ค่าของ ทุกๆ f′(5) 3 x ∈ R cos A = 2/ 5 3. −1 5 4. −1 10 27. กล่องใบหนึ่งบรรจุขนมชั้น 24 ชิ้น แต่ละชิ้นมี 4 ชั้นๆ ละสี ซึ่งมีสีเขียว ขาว แดง เหลือง และ การเรียงลําดับสีของแต่ละชิ้นทั้ง 24 ชิ้นแตกต่างกันหมด ถ้าหยิบขนม 1 ชิ้นจากกล่องนี้โดยสุ่ม แล้ว ความน่าจะเป็นที่ชิ้นที่หยิบได้มีสองชั้นบนไม่ใช่สีแดงและไม่ใช่สีเหลืองเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 24 12 Math E-Book Release 2.2 6 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 431 28. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักศึกษาในมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมี คะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวนของคะแนนเท่ากับ 60 และ 25 ตามลําดับ และผู้สอนกําหนดว่า นักศึกษาที่จะสอบผ่านต้องได้คะแนนไม่น้อยกว่า 54 คะแนน ถ้านายขาว นายแดง และนายดํา สอบ ได้คะแนนอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไตล์ที่ 10, 15 และ 33 ตามลําดับ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. นายขาวสอบไม่ผ่าน แต่นายแดงและนายดําสอบผ่าน ข. นายดําสอบได้ 57.8 คะแนน ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด กําหนดตารางแสดงพืน้ ที่ใต้โค้งปกติดังนี้ พื้นที่จาก z=0 ถึง z=0.24 เท่ากับ 0.0948 พื้นที่จาก z=0 ถึง z=0.44 เท่ากับ 0.1700 พื้นที่จาก z=0 ถึง z=1.2 เท่ากับ 0.3849 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 2 (2) 0.2 (3) 15 (4) 1 (5) 5 (6) 432 ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 4 (3) 2 (4) 3 (5) 4 (6) 2 (7) 2 (8) 1 (9) 1 (10) 2 (11) 4 (12) 2 (13) 2 (14) 2 (15) 3 (16) 1 (17) 1 (18) 4 (19) 3 (20) 4 (21) 3 (22) 3 (23) 4 (24) 3 ตอนที่ 3 (25) 1 (26) 1 (27) 3 (28) 1 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) จัดรูปสมการ (3) สมมติ → (x + 2)2 + 2 (y − 1)2 = 8 จาก M13 จะได้ ⎡• • A = ⎢ −1 3 ⎢⎣ 1 2 จาก M21 จะได้ ⎡ • −1 1 ⎤ A = ⎢ −1 3 • ⎥ ⎢⎣ 1 2 4⎥⎦ (x2 + 4x + 4) + 2 (y2 − 2y + 1) = 2 + 4 + 2 → (x + 2)2 (y − 1)2 + = 1 8 4 เป็นวงรีตามแกน x จุดศูนย์กลาง (−2, 1) ระยะโฟกัส c = 8 − 4 = 2 ∴ จุดโฟกัสคือ (−4, 1) 2 2 กับ (0, 1) 1 พื้นที่ Δ = 1 ×4×1= 2 2 ตร.หน่วย ตอบ 2 ⎛ 2 ⎞ (fog)(x) = (gof)(x) → 4 ⎜ ⎟ = 4x − 1 ⎝ x − 1⎠ 8 2 → = → 8 (4x − 1) = 2 (x − 1) x−1 4x − 1 ดังนั้น M32 x = 0.2 ตอบ •⎤ •⎥ •⎥⎦ ⎡ 2 −1 1 ⎤ A = ⎢ −1 3 0 ⎥ ⎢⎣ 1 2 4⎥⎦ จะได้ det(A) = −3 − 4 + 24 − 2 = 15 32x + 3 (2) → 30x = 6 และจาก ⎡• • • ⎤ A = ⎢• • • ⎥ ⎢⎣• • • ⎥⎦ 10(3x − 1/ 2 ) ตอบ (4) จาก 5 = 5 เอาฐาน 5 เท่ากันออก จะได้ 32x + 3 = 10(3x − 1/ 2) ให้ 3x = A จะได้ A2 + 3 = 10 A 3 → 3A2 − 10A + 3 3 = 0 → ( 3A − 1)(A − 3 3) = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ดังนัน้ 1 3 A = − → 3x = 3 1 2 หรือ 3 3 3 หรือ 32 จะได้ ตอบ ผลบวกคําตอบคือ 1 ′ − u(3)v′(3) (5) f′(3) = v(3)u(3) 2 x = − 1 3 , 2 2 [ v(3)] (3)(3) − (−9)(2(3) − 2) = = 5 (3)2 (6) ตอบ มองเป็นกลุ่มละ 3 คน จํานวน 3 กลุ่ม สลับวงกลม (ภายนอก) ได้ 2! แบบ สลับกันเองภายในแต่ละกลุ่ม ได้ 3! แบบ ดังนัน้ ตอบ 2 ! × (3 !)3 = 432 วิธี ตอนที่ 2 (1) หา Dg ก่อน จากเงือ่ นไขรู้ท x2 − 1 > 0 → (x − 1)(x + 1) > 0 ดังนัน้ B = Dg = (−∞, −1] ∪ [1, ∞) ต่อมา หา Dgof จาก (gof)(x) = (f(x))2 − 1 แสดงว่า f(x) ต้องอยู่ในช่วง (−∞, −1] ∪ [1, ∞) กรณีซ้าย x < −1 → x + 1 − x < 0 1− x ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 432 1− x 1 > 0 จะได้ x > 1 x−1 กรณีขวา x > 1 → x − 1 + x > 0 1− x 1− x 2x − 1 < 0 จะได้ 1/2 < x < 1 → x−1 ก็จะได้ผลสรุปคือ ~p แต่ผลที่ให้มาในโจทย์คือ p ตรงข้ามกับผลที่เราได้ ดังนัน้ ข้อ ก. ไม่สมเหตุสมผล ข. จากเหตุ 2 คือ ~r ∧ ~ s สามารถแยกข้อเป็นเหตุ ~r และเหตุ ~ s ได้ นําเหตุ ~r ไปรวมกับเหตุ 1 คือ (p ∧ q) → r จะ ได้ผลเป็น ~ (p ∧ q) ก็คอื ~p ∨ ~ q ก็คอื p → ~ q ดังนัน้ เมื่อรวมกับเหตุ 3 คือ p ก็จะได้ผลสรุป ~ q ข้อ ข. จึงสมเหตุสมผล ตอบ ข้อ 3. 2 (5) จาก 2x + x − 1 < 0 → (2x − 1)(x + 1) < 0 จะได้ −1 < x < 1/2 และจาก (x − 2)2 < 3 → | x − 2| < 3 → −3 < x − 2 < 3 จะได้ −1 < x < 5 นํามาอินเตอร์เซคชันกัน (เพราะเชื่อมด้วย “และ”) จะได้วา่ โจทย์กลายเป็น ∃x [−1 < x < 1/2] ดังนัน้ ตอบ ข้อ 4. (เพราะมี x = −1 ที่ใช้ได้) (6) ก. h(x) = arcsin(cos x) โดเมนเป็นจํานวนจริงใดๆ ถูก เพราะไม่ว่า x เป็นเท่าใดก็หา cos x ได้เสมอ และไม่ ว่า cos x จะมีคา่ เท่าใด ก็ยังหา arcsin ได้เสมอ.. ต่อมาพิจารณา g (π − h(x)) = cos (π − h(x)) 2 2 = sin[h(x)] = sin(arcsin(cos x)) = cos x = g(x) → ก็ถูกเช่นกัน ข. h เป็นฟังก์ชนั หนึ่งต่อหนึ่ง ผิด เพราะ x ที่ตา่ งกันสามารถให้คา่ h(x) ที่เหมือนกันได้ เช่น x = 0 h(x) = arcsin(cos 0) = arcsin 1 = π/2 ดังนัน้ A = Dgof = [1/2, 1) ∪ (1, ∞) และจะได้ A ∪ B ' = (−1, 1) ∪ (1, ∞) ตอบ (2) A; −4 < x − 2 < 4 → −2 < x < 6 B; นํา x2 คูณสองข้าง (โดยที่ x ≠ 0 ) จะได้ 15 − 8x + x2 > 0 → (x − 3)(x − 5) > 0 สรุปว่า ก. ถูก ข. ผิด ตอบ ข้อ 2. (7) 5 − 3 sin 3A มากที่สดุ แสดงว่า sin 3A จะต้องน้อยที่สดุ นั่นคือ sin 3A = −1 พิจารณาในช่วง 0 < 3A < 4π จะได้ว่า → x < 3, x > 5, x ≠ 0 ∴ A ∩ B = (−2, 0) ∪ (0, 3) ∪ (5, 6) ตอบ x = 2π 3A = h(x) = arcsin(cos 2π) = arcsin 1 = 3π 7π , 2 2 → A = ∴ cos A = 0, − 3 /2 π , 7π 2 6 ตอบ ข้อ 2. (8) จัดรูปพาราโบลา; (3) จาก 40 = 23 × 5 (x2 − 12x + 36) = −4y − 52 + 36 ห.ร.ม. ของ x กับ 40 เท่ากับ 5 แสดงว่า → (x − 6)2 = 4(−1)(y + 4) → c = −1 ใน x ต้องมี 5 อยู่ และต้องไม่มี 2 อยู่ เป็นพาราโบลาคว่ํา, จุดยอดอยูท่ ี่ (6, −4) สรุปว่า x เป็นเลขคี่ ที่หาร 5 ลงตัว นั่นเอง ได้แก่ 5, 15, 25, 35, ..., 395 รวม 40 จํานวน ตอบ จุดโฟกัสอยู่ที่ (6, −5) → จัดรูปวงกลม; (4) ก. จากเหตุ 1 คือ p → (q → ~r) (x2 + 4x + 4) + (y2 − 6y + 9) = −11 + 4 + 9 จัดรูปใหม่ได้ว่า q → (p → ~r) → (x + 2)2 + (y − 3)2 = 2 นําไปรวมกับเหตุ 2 คือ q จะได้เป็น p → ~r ∴ จุดศูนย์กลาง (−2, 3) , รัศมี 2 หน่วย จากนั้นนําผลที่ได้ไปรวมกับเหตุ 3 คือ r อีก Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) π /2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET → ระยะ A F(6,-5) AF = CF − CA = = 8 2 − 2 = 7 2 (9) กําไร = 15 บาท (5,5) (5, 5) กําไร = 125 บาท 5 (6,4) (6, 4) กําไร = 120 บาท (8, 0) กําไร = 80 บาท 8 10 O ดังนัน้ ตอบ 125 บาท (13) จาก |u + v | = 37 จะได้ จุด C(-2,3) 82 + 82 − 2 หน่วย ตอบ θ α O β C ˆ = 1 tan α = 1 → tan ABC ˆ = 1 tan β = 2 → tan OBC 2 ˆ − OBC) ˆ ดังนัน้ tan θ = tan (ABC 1 − 1/2 1 = 1 + (1)(1/2) 3 หรือ คิดจากสูตร tan θ = m1 − m2 2−1 1 = = 1 + m1m2 1+2 3 1 10 +1= 9 9 6 (10) ให้ A = log3 x จะได้ A + = 5 A → A2 − 5A + 6 = 0 → A = 2, 3 โจทย์ถาม sec2 θ = tan2 θ + 1 = → x = 9, 27 2 = −8 det(I − A) กรณี x = 1 2 ก่อน ⎡1/2 5 −1 ⎤ → A = ⎢ 0 4 −2 ⎥ ⎢⎣ 0 0 −1/2⎥⎦ ⎡1/2 −5 1 ⎤ 9 → I − A = ⎢ 0 −3 2 ⎥ → det(I − A) = − 4 ⎢⎣ 0 0 3/2⎥⎦ ⎡3/2 −5 1 ⎤ กรณี x = − 1 → I − A = ⎢ 0 −3 2 ⎥ 2 ⎢⎣ 0 0 1/2⎥⎦ 9 → det(I − A) = − เช่นกัน 4 ดังนัน้ คําตอบคือ = −8 (− 9) = 18 ตอบ 4 (12) กําไร = 10x + 15y จากบริเวณที่แรเงาในกราฟ จะได้ว่า ˜ O θ B D หาได้จาก ˜ OB ⋅ ˜ OA = |˜ OB ||˜ OA | cos θ จะได้ (5)(3) + (−2)(4) = 29 |˜ OA | cos θ ∴ a = 9, b = 27 det(I − A) ˜ | OD | = |OA |cos θ → 2 det(2(I − A)A t) = 23 det(I − A) det(A) ดังนัน้ ต้องหาค่า นั่นคือ |u|2 + |v |2 + |u||v | = 37 .....(1) และจาก |u − v | = 13 จะได้ |u|2 + |v |2 − |u||v | = 13 .....(2) สมการ (1)+(2) หาร 2; |u|2 + |v |2 = 25 สมการ (1)-(2); 2 |u||v | = 24 บวกกันได้ |u|2 + 2|u||v | + | v |2 = 25 + 24 = 49 → (|u| + |v |)2 = 49 → |u| + |v | = 7 ตอบ (เป็นค่าบวกเสมอ เพราะเป็นขนาดเวกเตอร์) (14) A ตอบ หาจํานวนในช่วง [9, 27] ทีห่ าร 3 ลงตัว ได้แก่ 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ตอบ 7 จํานวน (11) det A = −1 = −4x2 ∴ x = 1 หรือ − 1 โจทย์ถาม (0, 5) |u|2 + |v |2 + 2|u|| v | cos 60D = 37 B A ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 433 ˜ ˜ OD คือเวกเตอร์ขนาด 7/ 29 หน่วย ในทิศ ˜ OB ˜ ˜ ทํา OB ให้เหลือ 1 หน่วยได้เป็น OB 5 i − 2 j = 29 |˜ OB | ⎛ ⎞ 7 5i − 2j 7 ตอบ ∴˜ OD = (5 i − 2 j) ⎜ ⎟ = ∴ | OA | cos θ = 7/ 29 29 ⎜⎝ 29 2π (15) z = 4∠ → 3 34π → ซึ่ง = 10π + 3 (16) ก. จัดรูปสมการ ⎟ ⎠ 29 z17 = 417 ∠ 4π 3 ∴ 34π 3 อยู่ใน Q3 ตอบ (1 + i) x [x2 − 1] + (1 + 2i)[x2 − 1] = 0 → [(1 + i) x + (1 + 2i)] ⎡⎣x2 − 1⎤⎦ แต่ x ∈ R เท่านัน้ ดังนั้น x ข. |z6 | = |z|6 = 1 i = 1 8 1 = → |z| = |z| = 6 8 = 0 = 1, −1 ถูก 8 1 2 ถูก ดังนัน้ ตอบ ข้อ 1. (17) พจน์ที่ m → m − 2 = 38 ∴ m = 40 สังเกตดี ๆ เป็นอนุกรมเลขคณิต (เพราะ n กําลัง 1) ใช้สูตร Sn = n (a1 + an) 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ∴ S40 = 40 ⎛ 1 − a 1 + 38 a ⎞ + ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1− a 1− a ⎠ ⎛ 2 + 37 a ⎞ 40 + 740 a = 20 ⎜ ⎟ = 1 a 1− a − ⎝ ⎠ (24) ดัชนีปี 40 เทียบ 38 ตอบ 2 (18) f(x) = (x − 4)(x2 − 1) = −x + 1 4−x เมื่อ x ≠ ±2 ถ้าจะให้เป็นฟังก์ชันต่อเนือ่ ง จะต้องให้ f(2) = lim f(x) = −2 + 1 = −1 และ x →2 f(−2) = lim f(x) = −(−2) + 1 = 3 ตอบ ข้อ 4. x → −2 (19) f(x) = ∫ (3x2 − 12x + 9) dx = x3 − 6x2 + 9x + C → ผ่าน (0, 2) ∴ C = 2 → หาค่าสูงสุด f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 0 ดังนัน้ x = 1, 3 ซึ่ง f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6 , และ f(3) = 27 − 54 + 27 + 2 = 2 ∴ ตอบ 6 (20) คําว่า “มี” คิดยาก เพราะมีได้หลายกรณี (กี่ คนก็ได้) จึงควรใช้วิธีลบออก คือวิธีทงั้ หมด – วิธีที่ “ไม่มี” (แปลว่าถนัดขวาล้วนๆ) ⎛8⎞ ⎜5⎟ 8!5! 7! 92 = 1− ⎝ ⎠ = 1− = 5 ! 3 ! 12 ! 99 ⎛ 12 ⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ ตอบ ถ้า x (23) = 4 จะได้ ˆ = 1.55(4) + 5 = 11.2 Y คะแนน 1 – 20 21 – 40 41 – 60 61 – 80 81 – 100 ก. เกิน 40 คะแนนมี ข. หา X = a + I D ความถี่ 20% 40% 24% 10% 6% ตอบ d -2 -1 0 1 2 สัมประสิทธิ์การแปรผัน = s = X 481.44 38.9 15,000 12,000 × 100 = 120 dx ดังนัน้ (fog)(x) = 15x2 + 2 ′ จากกฎลูกโซ่ (fog)′ (x) = f′(g(x)) ⋅ g(x) → 30x = f′(g(x)) ⋅ (3x2 + 2) เราต้องการ f′(5) จึงต้องให้ g(x) = 5 พบว่าควร แทน x ด้วย 1 (ใช้วิธีเดาเอาเพราะแก้ยาก) ได้เป็น 30 ⋅ 1 = f′(5) ⋅ (3 + 2) ∴ f′(5) = 30/5 = 6 ตอบ −1 −1 (26) (g of)(5) = g (f(5)) แทน x = 5 เลยยังไม่ได้ เพราะนิยามแค่ −3 < x < 3 จึงต้องใช้วิธล ี ดค่า ตามสมการ f(x + 6) = f(x) → พบว่า f(−1) = f(5) 6π π ∴ g−1(f(5)) = g−1(f(−1)) = g−1( ) = g−1( ) 24 4 จาก g(x) = A + arcsin x คือ หาค่า x ที่ทาํ ให้ จะหา A + arcsin x = π g−1( ) 4 π 4 π π π ⎛ ⎞ → x = sin ⎜ − A ⎟ = sin cos A − cos sin A 4 4 ⎝4 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜ ตอบ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ = 10 ⎝ 2⎠⎝ 5⎠ ⎝ 2⎠⎝ 5⎠ (27) สองชั้นบนไม่ใช่แดงและเหลือง แสดงว่าต้อง เป็นเขียวและขาว สลับกันได้ 2! แบบ สองชัน้ ล่างก็จะเป็นแดงและเหลือง สลับได้ 2! แบบ ความน่าจะเป็น = 2 ! 2 ! = 1 ตอบ 24 6 (หมายเหตุ วิธที งั้ หมด 24 แบบ ก็คือ 4! นั่นเอง) (28) ก. คิดที่เกณฑ์ 54 คะแนน 54 − 60 = −1.2 → A = 0.3849 ซ้าย → z = 5 24 + 10 + 6 = 40% −40 − 40 + 10 + 12 ⎞ = 50.5 + (20) ⎛⎜ ⎟ = 38.9 100 ⎝ ⎠ = ดัชนีปี 41 สูงขึน้ 5% ดังนัน้ ดัชนีปี 41 เทียบ 38 = 120 × 105 = 126 100 ตอบ 26% ตอนที่ 3 (25) F(x) = d (5x3 + 2x + c) = 15x2 + 2 → (21) n(A ∪ B) = 4 , n(A × B) = 3 × 2 = 6 ตอบ 6 × 5 × 4 × 3 = 360 (22) จาก ∑ y = m ∑ x + c N จะได้ 4a + 13 = 1.55(0) + 5c .....(1) และจาก ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x จะได้ 3a + 22 = 1.55(20) + c(0) .....(2) แก้ระบบสมการได้ a = 3, c = 5 ˆ = 1.55X + 5 ∴Y ขอสอบเขาฯ ต.ค.42 434 คิดเป็น P11.51 ดังนั้น ข้อ ก. ถูก เพราะมีขาวคนเดียว ที่ได้ไม่ถึง P11.51 ข. คิดนายดํา P33 → A = 0.17 ซ้าย → z = −0.44 = xดํา − 60 5 คะแนน จะได้ x = 57.8 คะแนน ดังนั้น ข้อ ข. ถูก ดํา ตอบ ข้ อ 1. = 0.56 ดังนัน้ ก. ผิด และ ข. ผิด ตอบ ข้อ 4. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.43 435 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa ÁÕ.¤.43 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. ให้ A = {0, ±1, ±2, ..., ±20} และ B = { x ∈ A | |x| เป็นจํานวนเต็ม } จํานวนสมาชิกของเซต { C ⊂ B | 0 ∈ C และ 2. ถ้า x 3. ถ้า ⎡ 5 4 6⎤ A = ⎢ −2 0 7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 2 0⎥⎦ เป็นรากของสมการ และ 1∉ C } เท่ากับเท่าใด 2 3x − 1⋅ 6 x ⋅ 25 5x − 1 = 75 x ⎡C (A) C23(A)⎤ B = ⎢ 13 2 ⎥⎦ ⎣ 3 (f) แล้ว แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าใด det (B−1) มีค่าเท่ากับเท่าใด 4. ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสอง ลูกจะเป็นเลขที่หารด้วย 4 ไม่ลงตัว มีค่าเท่ากับเท่าใด 5. ถ้าให้สมการที่ใช้แทนความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ใช้สําหรับการประมาณจํานวนห้องพักที่มีแขกมา พักจริง (แทนด้วย y ) จากจํานวนห้องพักที่มีการจองล่วงหน้า (แทนด้วย x ) คือ y = a + 0.75x โดยที่ x = 40 และ y = 60 ถ้า x = 60 แล้ว จํานวนห้องพักที่มีแขกมาพักจริง โดยประมาณเท่ากับเท่าใด 6. กําหนดดัชนีราคาผู้บริโภคของปีต่างๆ โดยมีปี 2535 เป็นปีฐาน ดังนี้ ปี ดัชนี 2535 100 2536 90 2537 108 ถ้ารายได้ที่เป็นตัวเงินของชายผู้หนึ่งในปี 2536 เท่ากับ 900 บาท และรายได้ที่แท้จริงของเขาในปี 2537 เท่ากับรายได้ที่แท้จริงของเขาในปี 2536 เมื่อเทียบกับรายได้ในปี 2535 แล้ว รายได้ที่เป็นตัว เงินที่เขาควรจะได้รับในปี 2537 เท่ากับเท่าใด ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ x2 < 8x + 20 ถ้า A = { x ∈ S | x เป็นจํานวนเฉพาะบวก } และ B = { x ∈ S | x เป็นจํานวนเต็มคี่ } แล้ว (A × B) − (B × A) มีจํานวนสมาชิกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 15 3. 21 4. 23 1. 11 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.43 436 2. ให้ S = {0, 1, 2, ..., 7} และ นิยาม a ∗ b = เศษเหลือจากการหารผลคูณ ab ด้วย 6 ทุก a, b ∈ S พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. x ∗ 1 = x ทุก x ∈ S ข. {4 ∗ x | x ∈ S} = {0, 2, 4} ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 3. นิเสธของข้อความ ∃x [P (x) ∧ ~ Q (x)] คือข้อความในข้อใดต่อไปนี้ 2. ∃x [~ P (x) → Q (x)] 1. ∀x [P (x) → ~ Q (x)] 4. ∃x [Q (x) → P (x)] 3. ∀x [P (x) → Q (x)] 1) ~ p → ~ q 2) p → (r ∨ s) ผลในข้อใดต่อไปนี้ทําให้การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล 2. 1. s → r 4. 3. r → ~ s 4. กําหนดให้ 5. กําหนดให้ เหตุ 9 − x2 } r = {(x, y) | y = พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. Dr ∩ Rs = ∅ ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก ข. −1 f (x) = ax3 + x2 + x + b g(x) = f′′(x) แล้ว 1. −16 q∨ t ~t s →~r ~r →s s = {(x, y) | y = 1 2 x −9 Rr ∪ Ds−1 = (0, ∞) เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริง และ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −4 3. 4 f (1) = 3 , f′(1) = 0 4. 7. ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC = 45° , มุม ACB = 60° และด้าน พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 300 2 ตารางหน่วย 2. 300 3 ตารางหน่วย 3+1 3. 8. 200 2 3+1 2 AC ยาว ถ้า 16 20 นิ้ว แล้ว 3+1 ตารางหน่วย 4. 200 3 3+1 ตารางหน่วย 3 3 ⎞ 4 4 ⎞ ⎛1 ⎛1 sec ⎜ (arcsin + arccos )⎟ + tan ⎜ (arcsin + arccos )⎟ 5 5 ⎠ 5 5 ⎠ ⎝2 ⎝2 1. } 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 6. กําหนดให้ (g D f)(−1) และ 3) 4) 2. 3 3. Math E-Book Release 2.2 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1+ 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4. 2+ 3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.43 437 9. กําหนดให้เส้นตรง 3x − 4y − 5 = 0 ขนานกับเส้นตรง x + ky + 5 = 0 เมื่อ k เป็นจํานวนจริง ถ้าวงกลมซึ่งมีเส้นตรงทั้งสองนี้เป็นเส้นสัมผัส มีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน y และผ่านจุด (a, 1/4) แล้ว a เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 7 /2 3. 2 4. 3 1. 6/2 10. ให้ C เป็นวงกลม x2 + y2 − 2x − 4y − 20 = 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และมีรัศมี r สมการพาราโบลาซึ่งมี (h, k) เป็นจุดยอด และ x = r เป็นสมการไดเรกตริกซ์ คือข้อใดต่อไปนี้ 1. y2 − 4y + 20x − 16 = 0 2. y2 + 4y − 16x − 12 = 0 4. y2 − 4y + 16x − 14 = 0 3. y2 − 4y + 16x − 12 = 0 11. log3 3 + 3 ( 3 +5 1. 3. 27 3 + 6) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3 − log3(3 1/ 4 + 2) 4 3 1 − log3 19 4 4 12. กําหนดให้ 2. 4. ⎡ cos 2x − sin x cos x ⎤ A = ⎢ cos 3x ⎥⎦ ⎣2 sin 3x 1 − log3(3 1/ 2 + 2) 4 1 1 − log3 19 4 4 และ S = { x ∈ [0, π] | 2 det (A2) − 3 3 det (A) + det ( 3 I) = 9 2×2} ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ 2. 3π 1. 2π 6 6 S เมื่อ I คือเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 4π 4. 5π 6 6 13. แม่ค้าคนหนึ่งทําขนมขายส่งสองชนิด โดยขายขนมชนิดแรกราคาชิ้นละ 12 บาท ชนิดทีส่ องราคา ชิ้นละ 10 บาท ถ้าแม่ค้าทําขนมชนิดแรก x ชิ้น และชนิดที่สอง y ชิ้น โดยมีอสมการข้อจํากัดดังนี้ x > 0, y > 0 5x + 6y < 15000 และ 3x + 2y < 6000 แล้ว แม่ค้าจะขายขนมได้เงินสูงสุดเมื่อขายขนมทั้งสองชนิดรวมกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2575 ชิ้น 2. 2625 ชิ้น 3. 2875 ชิ้น 4. 3205 ชิ้น 14. ให้ u = i + 3 j , v = 2 i + j ถ้า θ เป็นมุมระหว่าง (u + v) และ 1. 1 2. 5 (u − v) แล้ว cos θ 2 5 15. กําหนดให้ u − v = 3 และ u ⋅ v = ก. u + v เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 1 4. 5 −2 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข. u 2 + v 2 = 3 Math E-Book Release 2.2 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด (คณิต มงคลพิทักษสุข) 2 5 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 16. ถ้า แล้ว z1 = cos 12° + i sin 12° ⎛ z1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ z2 ⎠ 15 1. 17. ให้ ขอสอบเขาฯ มี.ค.43 438 และ z2 = − cos 16° − i sin 16° เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ −1 + 3 i 2 2. 1+ 3 i 2 3. เป็นรากของสมการ z4 + z2 + 2 = 0 z4 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 4 3. − 3 +i 2 4. − 3 −i 2 2 5/ 2 4. 2 9/ 4 z1, z2 , z3 , z4 z1 + z2 + z3 + 1. 2 18. ถ้าลําดับเลขคณิต a1, a2 , a3 , ... มีพจน์ที่ 10 และพจน์ที่ 20 ตามลําดับ แล้ว ∑ (a i + 2 i) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 15 เป็น −19 −34 และ i=1 1. −30 2. −15 19. กําหนดให้ f (x) = x3+ cx2− 9x เมื่อ f เป็นฟังก์ชันลดในเซตใดต่อไปนี้ 1. (−3, 1) 3. (−1, 4) 3. c 10 4. เป็นจํานวนจริง ถ้าค่าวิกฤตค่าหนึ่งของ 2. 4. คือ 1 แล้ว (−∞, −1) ∪ (4, ∞) −1 21. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ g(x) = (x + 1) f (x) ถ้า ∫ g (x) dx = x2− x + c แล้ว f′ (1) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 5 3. 3 1. 3 4 f (−∞, −3) ∪ (1, ∞) 20. ให้ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f โดยที่ f (x) = 3x2− 6x + 3 ถ้า F (0) = สัมบูรณ์ในช่วง [0, 2] ที่จุด x = c แล้ว F (c) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 0 3. 1 1. −1 4 20 2 และ 4. 2 4. 5 2 F มีค่าสูงสุด 22. ในโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีนักกีฬาฟุตบอลและนักกีฬาบาสเกตบอลรวมกัน 30 คน เป็นนักกีฬา ฟุตบอล 17 คน และนักกีฬาบาสเกตบอล 18 คน ถ้าจะเลือกประธานกีฬาของโรงเรียน 1 คน และ รองประธานกีฬา 1 คน จากนักกีฬากลุ่มนี้ โดยที่ประธานต้องเป็นทั้งนักกีฬาฟุตบอลและนักกีฬา บาสเกตบอล แล้วจํานวนวิธีการเลือกดังกล่าวมีทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 125 2. 130 3. 145 4. 150 23. ถ้าต้องการเขียนจํานวนที่มี 7 หลัก โดยใช้ตัวเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และให้มีเลขโดด 3, 4, 5 อยู่ติดกันตรงกลางระหว่างเลขโดดคู่และเลขโดดคี่ โดยแต่ละจํานวนไม่มีเลขซ้ํา แล้วจะเขียนได้ ทั้งหมดเป็นจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 8 2. 16 3. 24 4. 48 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.43 439 24. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้น ม.6 จํานวน 300 คน สมชาย สมศักดิ์และสมศรี เป็นนักเรียน ชั้น ม.6 ของโรงเรียนนี้ โดยที่ เกรดเฉลี่ยของสมชายอยู่ในตําแหน่งเดไซล์ที่ 8.15 เกรดเฉลี่ยของสมศักดิ์คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1 นักเรียนชัน้ ม.6 ที่ได้เกรดเฉลี่ยมากกว่าสมศรีมีจํานวน 50 คน ถ้าสมมติว่าเกรดเฉลี่ยของนักเรียนชั้น ม.6 มีการแจกแจงปกติ ข้อใดต่อไปนี้เป็นรายชื่อนักเรียน เรียงลําดับจากคนที่ได้เกรดเฉลี่ยมากที่สุดไปน้อยที่สุด (กําหนดพื้นที่ใต้โค้งปกติ z=0 ถึง z=1 มีค่าเท่ากับ 0.3413) 1. สมชาย สมศักดิ์ สมศรี 2. สมศักดิ์ สมศรี สมชาย 3. สมศรี สมศักดิ์ สมชาย 4. สมศักดิ์ สมชาย สมศรี ตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน 25. ให้ f, g : R > R กําหนดโดย f (x) = x x +1 และ g(x) = จํานวนเต็มซึ่งน้อยที่สุด ที่มากกว่าหรือเท่ากับ x (เช่น g(1.01) = 2 , g(−6) = −6 , g(−7.99) = −7 เป็นต้น) ถ้า F (x) = (f D g)(x) และ G(x) = (g D f)(x) แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นเท็จ 2. RF = (0, 1) 1. DF = (−∞, ∞) 4. G(x) = 0 เมื่อ 3. G(x) = 1 เมื่อ x > 0 26. ถ้า แล้ว x < 0 ⎧ x2 , x > 1 ⎪ f (x) = ⎨x − 1 , 0 < x < 1 ⎪0 , x < 0 ⎩ lim x → 0− 1. ⎡ f (x − 1)⎤ f (x2) + lim+ ⎢ ⎥ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ x→1 ⎣ x+2 ⎦ 4 2. −1 3. 0 − 3 4. 1 3 27. กล่องใบหนึ่งมีลูกหินสีขาว 5 ลูก สีเขียว 3 ลูก สีน้ําเงิน 2 ลูก ถ้าหยิบลูกหินอย่างสุ่มครั้งละ 1 ลูก โดยไม่ใส่คืน 3 ครั้ง แล้วความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกหินสีเดียวกันอย่างน้อย 2 ลูก มีค่าเท่ากับ ข้อใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 23 3. 1 4. 3 24 24 Math E-Book Release 2.2 4 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.43 440 28. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x1, x2 , x3 , ..., x20 โดยมีสมบัติดังนี้ 20 20 ∑ (xi − 5)2 = 500 , ∑ |xi − a| มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ a = 5 i=1 i=1 20 2 และ ∑ (xi − b) มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ b = 8 i=1 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่าค่ามัธยฐาน 2. ผลรวมของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมดเท่ากับ 100 3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 5 4. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 50% เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 ตอนที่ 2 (10) 3 (20) 3 ตอนที่ 3 (1) 128 (2) 0.25 (3) 0.1 (4) 0.75 (5) 75 (6) 1080 (1) 2 (2) 3 (3) 3 (4) 4 (5) 2 (6) 1 (7) 4 (8) 3 (9) 4 (11) 1 (12) 4 (13) 2 (14) 1 (15) 2 (16) 1 (17) 4 (18) 3 (19) 1 (21) 1 (22) 3 (23) 4 (24) 2 (25) 2 (26) 1 (27) 4 (28) 4 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) B = {0, ±1, ±4, ±9, ±16} → n(B) = 9 จํานวนแบบของ C ⊂ B โดย 0 ∈ C และ 1 ∉ C มีตัวอิสระให้เลือก 7 ตัว ตอบ 27 = 128 x x (2) 23x − 1 ⋅ 255x − 1 = ⎛⎜ 75 ⎞⎟ = ⎛⎜ 25 ⎞⎟ ⎝ 6 ⎠ 4x − 1 →2 4x − 1 ⋅ 25 → 4x − 1 = 0 (3) → (50) → x = 0.25 = 1 C23 det(B−1) = ตอบ 1 1 = = 0.1 −8 + 18 det(B) ตอบ (4) นับจํานวนวิธีที่ผลรวมหารด้วย 4 ลงตัวก่อน คือ ผลรวมเป็น 4, 8, หรือ 12 ได้แก่ (1, 3) (3, 1) (2, 2) (2, 6) (6, 2) (3, 5) (5, 3) (4, 4) (6, 6) มีอยู่ 9 วิธี ตอบ 1 − 9 = 0.75 6×6 ถ้า x = 60 จะได้ ˆ = 30 + 0.75(60) = 75 ห้อง ตอบ Y (6) ปี 2536 ได้ 900 บาท คิดเป็นรายได้แท้จริง 900 × 100 = 1,000 บาท 90 อย่าลืมใส่ลบ) −4 −6 ∴ B = ⎡⎢ 3 2 ⎤⎥ ⎣ ⎦ ˆ = 30 + 0.75 X → ∴Y ปี 2537 มีรายได้แท้จริง 1,000 บาทด้วย คิดเป็นตัวเงิน 1,000 × 108 = 1,080 บาท ตอบ 100 ตอนที่ 2 (1) S ; x2 − 8x − 20 < 0 → (x − 10)(x + 2) < 0 นั่นคือ S = [−2, 10] ∴ 54 −2 0 C13(A) = 1 2 = −4, C23(A) = − 1 2 = −6 (ตําแหน่ง และ = 1 ⎝ 2 ⎠ 4x − 1 Y = a + 0.75X ด้วย → 60 = a + 0.75(40) → a = 30 (5) A = {2, 3, 5, 7} B = {−1, 1, 3, 5, 7, 9} ∴ n(A × B) = 4 × 6 = 24 จากนั้นหาว่า (A × B) กับ (B × A) มีตัวซ้ํากันกีต่ ัว เนื่องจาก A ∩ B = {3, 5, 7} ดังนัน้ ใน A × B กับ B × A จะมีตว ั ซ้าํ กัน 3 × 3 = 9 ตัว [ได้แก่ (3, 3) (3, 5) (3, 7) (5, 3) (5, 5) (5, 7) (7, 3) (7, 5) และ (7, 7) ] ตอบ 24 − 9 = 15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (2) ก. ผิด เพราะว่า 6 ∗ 1 = 0, 7 ∗ 1 = 1 ข. ถูก เพราะ 4 ∗ 0 = 0, 4 ∗ 1 = 4, 4 ∗ 2 = 2 4 ∗ 3 = 0, 4 ∗ 4 = 4, 4 ∗ 5 = 2 4 ∗ 6 = 0, 4 ∗ 7 = 4 ตอบ ก. ผิด ข. ถูก (3) ~ ∃x [P(x) ∧ ~ Q(x)] ≡ ∀x [~ P(x) ∨ Q(x)] ≡ ∀x [P(x) → Q(x)] ตอบ (4) จากเหตุ 3 คือ q ∨ t กับเหตุ 4 คือ ~ t สรุป ได้ว่า q ...จากนัน้ นําไปรวมกับเหตุ 1 คือ ~ p → ~ q ได้เป็น p ...สุดท้ายไปรวมกับเหตุ 2 คือ p → (r ∨ s) ได้ผลเป็น r ∨ s ≡ ~ r → s ตอบ (5) ดู r ก่อน; Dr คิดจาก 9 − x2 > 0 → x2 − 9 < 0 ดังนัน้ Dr = [−3, 3] ส่วน Rr คิดจาก x2 > 0 เสมอ → 9 − x2 < 9 ∴ 0 < 9 − x2 < 3 ดังนัน้ Rr = [0, 3] ต่อมา ดู S บ้าง; RS คือ DS คิดจาก x2 − 9 > 0 (ห้ามเป็น 0) ดังนัน้ RS = (−∞, −3) ∪ (3, ∞) DS คือ RS คิดจาก x2 − 9 > 0 −1 −1 −1 x2 − 9 > 0 → → 1 2 x −9 > 0 ดังนัน้ DS = (0, ∞) ∴ ก. Dr ∩ RS = ∅ ข. Rr ∪ DS = [0, ∞) ตอบ ข้อ ก. ถูก ข. ผิด (6) f(1) = 3 → a + 1 + 1 + b = 3 −1 −1 −1 f′(1) = 0 → 3a + 2 + 1 = 0 ดังนัน้ a = −1 และ b = 2 ∴ f(x) = −x3 + x2 + x + 2 f′(x) = −3x2 + 2x + 1 และ g(x) = f′′(x) = −6x + 2 → (gof)(−1) = g(f(−1)) = g(3) = −16 (7) 20 นิ้ว C ตอบ A 45° AB ฉะนั้นกฎของไซน์จะเป็นดังนี้ sin 60° sin 75° = AB 20 → AB = AB = พื้นที่ Δ 1 (AB)(AC)(sin A) 2 = 1 2 = 20 ( 3 /2) ⎛ 3 + 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 2 ⎠ 20 6 3 +1 จัดรูปได้ ⎛ 20 6 ⎞ 200 3 ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ (20) ⎜ ⎟ = 3 1 2 3 +1 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ตอบ (8) จากการสังเกต จะพบว่า arcsin , + arccos , = 90° เสมอ เมือ่ เช่น arcsin 3 + arccos 3 = 90°, 5 5 4 4 = 90° ดังรูป arcsin + arccos 5 5 0 0 ถูก เพราะ f(x) = ถูกปัดขึน้ เป็น 1 จริง +1 4. (gof)(x) = 0 เมื่อ x < 0 ถูก ถูกปัดขึน้ เป็น 0 จริง เพราะ f(x) = − +1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) = s X ตอบ ข้อ 4. คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 444 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.43 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A, B, C เป็นเซต โดยที่ A ∩ B ⊂ B ∩ C ถ้า n (A) = 25, n (C) = 23, n (B ∩ C) = 7, n (A ∩ C) = 10 และ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 14 3. 15 1. 11 2. กําหนดให้ A = {x | x −4 B = {x | ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. A ∪ B 3. B − A x+3− n (A ∪ B ∪ C) = 49 4. (g ) แล้ว n (B) 18 > 5} x < 1} = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) = [1, 9) 3. ให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ ถ้าประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ 1. (p ∧ r) ↔ (s ∧ t) 3. (p ∧ s) ∨ (r ∧ t) 2. 4. (A ∩ B) ' = (9, ∞) A − B = (−∞, −1) (p ∧ q) → (r ∨ s) 2. 4. มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้ว (p ∧ s) → (q ∨ t) (r → p) ∧ (s → t) 4. กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ U = { 2n | n ∈ I+ } เมื่อ I+ เป็นเซตของจํานวนเต็มบวก พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ∃x [2 2x + 3 − 18 (2 x) + 4 = 0] มีค่าความจริงเป็นจริง ข. ∃x [log 2(x + 2) + log 2(x − 1) = 2] มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด f (x) = (x + 1)2 และ g(x) = x + 1 Dfog ∩ R 'gof คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. [0, 1) 2. [0, 2) 3. [1, ∞) 4. [2, ∞) 6. ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b} และให้ S = { f | f : A > B เป็นฟังก์ชันทั่วถึง } จํานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 22 2. 25 3. 27 4. 30 5. ให้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 7. ถ้า (f g)(x) = 3x − 14 (g−1 f)(x) 1. ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 445 และ 1 f ( x + 2) = x − 2 3 แล้ว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3x − 4 2. 3x − 6 3. 3x − 8 4. 3x − 10 3. − 2 3 4. −1 3. −13 5 17 4. −16 5 17 4. 7 16 3 และ tan x = − 3 แล้ว 5 4 ⎛ ⎡cosec x sec x ⎤ ⎞ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ det ⎜ 2 ⎢ 1 cos x ⎥⎦ ⎟⎠ ⎝ ⎣ 8. ถ้า sin x = 1. 9. ถ้า − 1 6 2. arctan x = arctan sin(180° + arctan x) 1. 13 5 17 − 1 3 1 1 − 2 arctan 4 2 แล้ว มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 16 5 17 10. กําหนดให้ P เป็นพาราโบลา y = x2 และ L เป็นเส้นตรง x − y − 2 ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่าง P และ L มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 7 2 หน่วย 2. 7 หน่วย 3. 7 2 หน่วย 8 = 0 16 8 หน่วย 11. กําหนดวงกลม C มีจุดศูนย์กลางที่ (−1, 2) และสัมผัสแกน x ที่จดุ P เส้นตรง L ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม C และมีความชันเป็น 1 ถ้า Q เป็นจุดตัดของ C และ L ที่อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 แล้ว กําลังสองของระยะ PQ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 6 − 4 2 หน่วย 2. 7 − 4 2 หน่วย 4. 9 − 4 2 หน่วย 3. 8 − 4 2 หน่วย 12. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของสมการ x log และ B เป็นเซตคําตอบของสมการ log 3 x x = x 3 x3 = 9x 3 ถ้า C = { ab | a ∈ A 1. 3. {3 − 1/ 3 {3 4/ 3 และ 2 ,3 } , 3 2} b ∈ B} แล้วเซตในข้อใดต่อไปนี้เป็นสับเซตของ 2. { 3 − 1/ 3 , 3 4/ 3} 4. { 3 − 1/ 3 , 3 2/ 3} C 13. กําหนดให้เส้นโค้ง y = 2 2x − 2 x +2 − 45 ตัดแกน x ที่จุด A ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด B (0, b) ขนานกับเส้นตรง y = (log 3 2) x − 4 แล้ว b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1 3. −1 4. −2 1. 2 และ C เป็นเมตริกซ์มิติ 3 × 3 ถ้า t det (2C − B ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −1 1. −3 14. ให้ A, B det (A) = −3 Math E-Book Release 2.2 3. และ 1 (คณิต มงคลพิทักษสุข) A และจุด A tB − 2A tCt = −3A −1 4. 3 แล้ว คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 446 15. บริษัทแห่งหนึ่งผลิตเก้าอี้โยกมีกําไร 50 บาท/ตัว และผลิตเก้าอี้นั่งธรรมดามีกําไร 30 บาท/ตัว ถ้าบริษัทผลิตเก้าอี้โยก x ตัว/วัน และเก้าอี้นั่งธรรมดา y ตัว/วัน แล้วจะมีเงื่อนไขการผลิตดังนี้ 6x + 3y < 900 และ 3x + 4y < 600 แล้ว บริษัทจะมีกําไรมากที่สุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 4, 500 บาท/วัน 2. 7, 500 บาท/วัน 3. 7, 800 บาท/วัน 4. 9, 500 บาท/วัน 16. ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ และ θ เป็นมุมระหว่าง u และ v ถ้า u + v ตั้งฉากกับ u − 2v และ u + 2v ตั้งฉากกับ 2u − v และ u = 2 แล้ว cos θ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ −1 10 1. 2. −1 6 3. −1 4 17. กําหนดให้ z1 และ z2 เป็นจํานวนเชิงซ้อนที่ 2z1z2 = 1 + z2 และ z1 = (cos π + i sin π )6 ข้อใดต่อไปนี้คือ อินเวอร์สการคูณของ 18 1. 1 − 2 18 3i 2 2. 1 + 2 3i 2 18. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อน ซึ่ง z = 3 − 4i และ z − 1 = 30 แล้ว ส่วนจินตภาพของ z อยู่ในเซตใดต่อไปนี้ 2. {− 21, 21} 3. {−3, 3} 1. {−4, 4} 19. ให้ แล้ว f (x) = x3 − x2 + g (x) ⎛ g ⎞′ (2) ⎜ ⎟ ⎝f⎠ 1. 20. ให้ และ 2. 1/2 3. 0 5, x, 20, ... เป็นลําดับเลขคณิตที่มีผลบวกของ 12 พจน์แรกเป็น เป็นลําดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 6 เป็น b โดยที่ y < 0 แล้ว 2. 395 3. 435 1. 205 10 10 21. ถ้า ∑ xi = −8 , ∑ yi i=1 i=1 ต่อไปนี้ 1. −60 g(x) − 3i 4. {− 24, 24} 4. 2 f′(2) = f (2) = 2 5, y, 20, ... ถ้า 4. มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ −2 22. กําหนดให้ −1 2 z2 3i 3. 4. 10 = 4 และ ∑ (5 − xi)(yi + 2) = i=1 2. 3 2 f (x) = ax − 4x + 1 มีลิมิตที่ 1. 0 1 แล้ว a −30 เมื่อ 3. a 3. Math E-Book Release 2.2 และ a+b มีค่าเท่าใด 4. 845 10 แล้ว ∑ (xiyi) มีค่าเท่ากับข้อใด i=1 30 เป็นค่าคงตัว และ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 5 2 76 a 4. 60 ⎧f (x) , x > 1 ⎪ g(x) = ⎨f′(x) , x < 1 ⎪0 , x = 1 ⎩ 8 3 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4. 3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 447 23. ถ้าเส้นโค้ง y = f (x) ผ่านจุด (0, 1) และ (4, c) เมื่อ c เป็นจํานวนจริง และความชันของเส้น โค้งนี้ที่จุด (x, y) ใดๆ มีค่าเท่ากับ x − 1 แล้ว c มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 7 3. 8 4. 9 1. 4 3 3 24. ในการจัดคน 6 คน ซึ่งมีนาย ก และนาย ข รวมอยู่ด้วย เข้าพักในห้อง 3 ห้อง โดยที่หอ้ งที่หนึ่ง พักได้ 3 คน ห้องที่สองพักได้ 2 คน และห้องที่สามพักได้ 1 คน ความน่าจะเป็นที่นาย ก และนาย ข จะได้พักห้องเดียวกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 3 3. 4 4. 5 15 15 15 15 25. กล่องใบหนึ่งมีบัตรอยู่ 5 ใบ หมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 หยิบบัตร 2 ใบโดยหยิบทีละใบแบบไม่คืนที่ ให้ x เป็นหมายเลขบัตรใบแรกที่หยิบได้ และ y เป็นหมายเลขบัตรใบที่สองที่หยิบได้ ความน่าจะ เป็นที่จะได้ x < y และ 4 < xy < 12 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 2 3. 3 4. 4 1. 1 5 5 5 5 26. ค่าแรงงานต่อวันของคนงานกลุ่มหนึ่งจํานวน 8 คน เป็น 150, 152, 158, 168, 170, 177, 180, 185 บาท ถ้าสุม่ เลือกคนงานจากกลุ่มนี้มา 2 คนแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้คนงานอย่างน้อยหนึ่งคน ที่มีค่าแรงงานต่อวันต่ํากว่าค่าแรงงานเฉลี่ยของคนงานกลุ่มนี้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 3 2. 5 3. 9 4. 11 14 14 14 14 27. ถ้า y = mx + c เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเพื่อการทํานายรายจ่ายหมวดบริการลูกค้า ( y ) จากจํานวนพนักงานของโรงแรม ( x ) ในจังหวัดหนึ่ง และจํานวนข้อมูลทั้งหมดที่นํามาสร้าง ความสัมพันธ์เท่ากับ 5 โดยมีสมการปกติดังนี้ 28 = 5c + 10m ___(1) และ 67 = 10c + 30m ___(2) พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า x = 5 ค่าประมาณของ y = 8.9 ข. x = 5.6 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 28. กําหนดข้อมูลสองชุดดังนี้ ชุดที่หนึ่ง คือ 5, 8, 6, 7, 9 ชุดที่สอง คือ x1, x2, x3, x4, x5 ถ้าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดที่หนึ่งเป็น 2 เท่าของข้อมูลชุดที่สอง และความแปรปรวน ของข้อมูลชุดที่สองเท่ากับ 9 แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่สองเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 21 2 2. 42 2 3. 18 4. 16 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 448 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. ถ้า A = {∅, 0, 1, {0, 1}} และ B = {∅, {∅}, {0, {0, 1}}, {0, {1}}} แล้ว เซต P (A) − B มีจํานวนสมาชิกเท่าใด 2. ให้ x, y, z เป็นจํานวนเต็มบวกที่มีค่าเรียงติดกันจากน้อยไปมาก ถ้า y เป็นจํานวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทําให้ 3 x + y + z เป็นจํานวนเต็มบวก แล้ว y มีค่าเท่าใด 3. ถ้า ⎡ 3 2⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣2 2⎦ แล้ว det (4 (A −1)) + det (4 (A −1)2) + det (4 (A −1)3) + ... + det (4 (A −1)6) มีค่า เท่าใด 4. กําหนดจุด ที่จุด C และ A (3, −2), B (9, 4) D และ O (0, 0) ถ้าแบ่งส่วนของเส้นตรง ˜ ˜ แล้ว OC ⋅ OD มีค่าเท่าใด 5. ให้ f (x) = x2 − c โดยที่ c เป็นค่าคงตัว ซึ่ง c > 4 ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = f (x) จาก x = −2 ถึง แล้ว c มีค่าเท่าใด x = 1 AB เท่ากับ เป็น 24 3 ส่วนเท่าๆ กัน ตารางหน่วย 6. จํานวนเลขสามหลักซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว และตัวเลขหลักสิบแตกต่างจากตัวเลขหลักร้อย มีจํานวน ทั้งหมดเท่าใด 7. อายุของคนงานกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น x และความแปรปรวน เป็น s2 สมหวังมีอายุ x − 0.51 s ปี จํานวนคนในกลุ่มนี้ที่มีอายุน้อยกว่าสมหวังมีจํานวนเป็นร้อยละ เท่าใด (พื้นที่ใต้โค้งปกติระหว่าง z=0 และ z=0.51 เท่ากับ 0.195) 8. ราคาและปริมาณสินค้า 3 ชนิดที่ร้านค้าแห่งหนึ่งจําหน่ายในปี พ.ศ. 2541 และปี พ.ศ. 2542 เป็นดังตาราง ชนิดสินค้า หม้อหุงข้าว กระติกน้ําร้อน พัดลม ปริมาณ (หน่วย) 2541 2542 15 20 10 8 80 100 ราคาต่อหน่วย 2541 500 300 400 (บาท) 2542 500 450 x ถ้าดัชนีราคาถ่วงน้ําหนักแบบใช้ราคารวมโดยวิธีของพาเช่อ ของปี พ.ศ. 2542 เมื่อใช้ปี พ.ศ. 2541 เป็นปีฐาน เท่ากับ 126 แล้ว ราคาของพัดลมในปี พ.ศ. 2542 เป็นเท่าใด (บาท) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 449 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 4 (2) 4 (3) 3 (4) 3 (5) 1 (6) 4 (7) 2 (8) 2 (9) 1 (10) 1 (11) 3 (12) 2 (13) 4 (14) 4 (15) 3 (16) 1 (17) 4 (18) 2 (19) 1 (20) 2 (21) 4 (22) 2 (23) 2 (24) 3 (25) 1 (26) 3 (27) 2 (28) 1 ตอนที่ 2 (1) 13 (2) 9 (3) 15.75 (4) 35 (5) 9 (6) 162 (7) 30.5 (8) 524.24 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) วาดแผนภาพ โดยให้ A ∩ B ⊂ B ∩ C แสดงว่าส่วนที่แรเงา นั้นไม่มีสมาชิก แทนค่าตามสูตรของเซต ข. B A x C 49 = 25 + n(B) + 23 − x − 7 − 10 + x ∴ n(B) = 18 ตอบ (2) A; x − 4 > 5 หรือ x − 4 < −5 → x > 9 หรือ x < −1 B; x + 3 < 1 + x ยกกําลังสอง → x + 3< 1+2 x + x > 2 → 2 x → x 1 → x 1 (ตรวจสอบเงือ่ นไขของรู้ท พบว่าใช้ได้หมด) ดังนัน้ 1. A ∪ B = (−∞, −1) ∪ [1, ∞) → ผิด 2. (A ∩ B)' = (−∞, 9] → ผิด 3. B − A = [1, 9] → ผิด 4. A − B = (−∞, −1) → ข้อ 4. ถูก ตอบ (3) (p ∧ q) → (r ∨ s) เป็นเท็จ แสดงว่า p กับ q เป็นจริง, r กับ s เป็นเท็จ 1. (p ∧ r) ↔ (s ∧ t) ≡ (T ∧ F) ↔ (F ∧ t) ≡ F ↔ F ≡ T 2. 3. 4. (p ∧ s) → (q ∨ t) ≡ F → (q ∨ t) ≡ T (p ∧ s) ∨ (r ∧ t) ≡ F ∨ (F ∧ t) ≡ F ∨ F ≡ F (r → p) ∧ (s → t) ≡ (F → T) ∧ (F → t) ≡ T ∧T ≡ T ตอบ ข้อ 3. (4) U = {2, 4, 6, 8, 10, …} ก. ให้ A = 2x จะได้ 8A2 − 18A + 4 = 0 → 2 (4A − 1)(A − 2) = 0 → 2x = 1 ,2 4 → A = 1 ,2 4 → x = −2, 1 แต่ -2 กับ 1 ไม่อยู่ใน U เลย ∴ ก. ผิด log2((x + 2)(x − 1)) = 2 → (x + 2)(x − 1) = 4 → x2 + x − 6 = 0 → x = −3, 2 [ซึ่ง x = −3 ไม่ได้ เพราะทําให้ใน log เป็นลบ] ∴ x = 2 → อยู่ใน U ∴ ข. ถูก ตอบ ข้อ 3. (5) หา Dfog → พิจารณา f(x) = (x + 1)2 พบว่า x เป็นอะไรก็ได้ (โดเมนของ f) ∴ (fog)(x) = (g(x) + 1)2 → g(x) เป็นอะไรก็ได้ → Dfog จึงเท่ากับ Dg → x > 0 ∴ Dfog = [0, ∞) หา Rgof → พิจารณา f(x) พบว่า f(x) > 0 เสมอ (เรนจ์ของ f) ∴ (gof)(x) = f(x) + 1 > 1 ∴ Rgof = [1, ∞) และจะได้ Dfog ∩ R 'gof = [0, 1) (6) วิธที ั้งหมด – วิธที ี่ไม่ทั่วถึง (วิธีที่ไม่ทวั่ ถึง มี 2 แบบ คือเรนจ์เป็น a ล้วน หรือ เป็น b ล้วน) จะได้ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 − 2 = 30 ตอบ (7) f( 1 x + 2) = x − 2 → ให้ A = 1 x + 2 นั่นคือ 3 x = 3(A − 2) → f(A) = 3(A − 2) − 2 = 3A − 8 จาก 3 ∴ f(x) = 3x − 8 (fog)(x) = 3x − 14 ∴ 3x − 14 = 3(g(x)) − 8 แต่ f(g(x)) = 3(g(x)) − 8 จะได้ g(x) = x − 2 → g−1(x) = x + 2 ตอบ (g−1of)(x) = (3x − 8) + 2 = 3x − 6 sec x ⎤ ⎞ (8) det ⎛⎜ 2 ⎡⎢csc1 x cos x⎥ ⎟ ⎦⎠ ⎝ ⎣ = 22 ⋅ (csc x cos x − sec x) = 4(cot x − sec x) โจทย์ให้ sin x = 3 , tan x = − 3 5 4 4 5 ∴ cot x = − , sec x = − 3 4 5 3 4 5 1 ตอบ 4(− + ) = − -4 3 4 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ 1 (9) 2 arctan = arctan ⎝ 2 ⎠ 1 ⎝ 21⎠ 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞ 1− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 4 1 4 = arctan ∴ arctan x = arctan − arctan 3 4 3 1 4 − ⎛ 13 ⎞ 4 3 = arctan = arctan ⎜ − ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎛4⎞ ⎝ 16 ⎠ 1+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝ 3⎠ 16 sin(180° + arctan x) 13 = − sin(arctan x) = ตอบ 5 17 โจทย์ถาม 5 17 (10) พิจารณากราฟ ระยะทางทีส่ นั้ ทีส่ ุด จากเส้นตรง L1 ถึง พาราโบลา คือระยะ L2 ไปยังเส้นสัมผัส ( L2 ) นั่นเอง.. dy → ความชันโค้งพาราโบลา dx = (7/ 4) 2 = 7 2 8 = → PQ = → x (log x − → x = 0 x log 3 3 1 log 3) = 0 3 x = 31/ 3 หรือ [ซึ่ง 0 ใช้ไม่ได้] − 1/ 3 log3 2 = แทนค่า t A = −3 ∴ B − 2Ct = −3 t และ = −3A (−3)3 A A t = A = −3 ด้วย → 2Ct − B = (−1)3(−3) = 3 (120, 60) → P = 7,800 150 ตอบ 7,800 บาท หน่วย ตอบ C(-1,2) L O (16) ตั้งฉากกันแสดงว่าดอทกันได้ 0 2 (u + v) ⋅ (u − 2v) = u − u ⋅ v − 2 v (120,60) 150 2 2 = 0 (u + 2v) ⋅ (2u − v) = 2 u + 3u ⋅ v − 2 v 2 แทนค่า P ได้ u = 2 u⋅v = − 1 , 2 และจาก − v = 5 2 u ⋅ v = u v cos θ .....(1) = 0 ...(2) จะได้ ⎛ 5⎞ 1 = ( 2) ⎜ ⎟ cos θ → cos θ = − 2 ⎝ 2 ⎠ → (3 log3 x + 2)(log3 x − 1) = 0 → x = 3−2 / 3 , 3 Math E-Book Release 2.2 2 แล้วแก้ระบบสมการ → 3(log3 x)2 − (log3 x) − 2 = 0 2 ,1 3 ตอบ ดึงตัวร่วม แล้วใส่ (150, 0) → P = 7,500 2 + 2 − 2(2)(2) cos 45° → log3 x = − −1 B − 2C t = (0, 150) → P = 4,500 → log3 x3 ⋅ log3 x = log3 9 + log3 x b − log2 9 และเนือ่ งจากใส่ทรานสโพสแล้ว det ไม่เปลีย่ น ดังนัน้ 2C − Bt = 3 ตอบ (15) P = 50x + 30y 2 12 + 12 โจทย์ถาม PQ 2 = 8 − 4 2 ตอบ (12) A; ใส่ log3 ทัง้ สองข้าง 4 → b = −(log3 2)(log2 9) = − log3 9 = −2 (14) จาก A B − 2A C det ทั้งสองข้าง → A t = 2x 2 1 ดังนั้น ตอบ {3 3 , 33 } (13) หาจุดตัดแกน x โดยให้ y = 0 ∴x = 3 t L1 2 เราทราบว่า mL = 1 Q ˆ = 45° ดังนัน้ QCP หาระยะ PQ จากกฎของ cos 2 → xx = 33 → x log x = “ขนานกัน” แสดงว่า x-y-2=0 1 1 ( , ) 2 4 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟−2 ⎝2⎠ ⎝ 4⎠ นํา 3 ยกกําลังทั้งสองข้าง − log2 9 A = CQ = CP x x → 3 เท่านัน้ (ติดลบไม่ได้) → x = log2 9 จะได้จดุ A (log2 9, 0) , ความชันเส้นตรง = log3 2 และความชัน AB คือ b y=x2 (11) ข้อนี้คดิ จากรูปง่ายกว่า วงกลมมีรัศมี = 2 หน่วย log3 xx = → 2x = 9 ความชันเส้นตรง L1 = 1 และเท่ากับ L2 ด้วย ดังนัน้ ทีจ่ ุด A มีความชัน 2x = 1 → x = 1 ระยะทางทีต่ อ้ งการ B; จาก → 22x − 4 ⋅ 2x − 45 = 0 → (2x − 9)(2x + 5) = 0 -13 [หมายเหตุ ดูจาก Δ ในรูป] แสดงว่าจุด A มีพิกัด ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 450 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1 10 ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET z1 = (1 ∠ (17) = 1 3 + i 2 2 จาก π )6 = 16 ∠ 6π = 1 ∠ π 18 18 3 2 z1 z2 = 1 + z2 ⎛1 3 z2−1 = 2z1 − 1 = 2 ⎜⎜ − 2 ⎝2 2 a +b z−1 = ... กลับเศษส่วน 2 (a − 1) + b = ⎞ i ⎟⎟ − 1 = − 3 i ⎠ .....(1) 30 .....(2) → −2a + 1 + 25 = 30 → a = −2 (19) → b2 = ± 21 (26) g(2) = f(2) − 8 + 4 = 2 − 8 + 4 = −2 ได้วา่ ⎛ g ⎞′ (2) = (2)(−6) − (−2)(2) = −2 ⎜ ⎟ 4 ⎝f⎠ (20) ลําดับเลขคณิต; d = 20 − 5 = 7.5 2 12 → a = S12 = (5 + 5 + (11)(7.5)) = 555 2 ลําดับเรขาคณิต; r2 = 20 → r = −2 5 ดังนัน้ (เพราะ y < 0 ) → b = a6 = 5(−2)5 ดังนัน้ ตอบ 555 − 160 = 395 (21) จาก Σ (5 − x)(y + 2) = 76 ตอบ = −160 → 3a(1) − 8(1) = a(1)3 − 4(1)2 + 1 → a = ⎛5⎞ ⎜2⎟ 9 = 1− ⎝ ⎠ = 14 ⎛8⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ตอบ Σy = mΣ x + c N พบว่า และ N = 5 ก. แก้ระบบสมการได้ m = 1.1, c = 3.4 ดังนัน้ Yˆ = (1.1)(5) + 3.4 = 8.9 ถูก ข. X = Σx = 10 = 2 → ผิด ตอบ ข้อ 2. (28) s1 = ตอบ มีลิมติ ที่ 1 แสดงว่า x→1 2 (2, 5) N 5 5+8+6+7+9 = 7 X1 = 5 22 + 12 + 12 + 02 + 22 = 5 โจทย์บอกว่า lim g(x) = lim+ g(x) → f′(1) = f(1) x → 1− ตอบ → Σy = 28, Σx = 10, Σxy = 67, Σx2 = 30 5(4) − 2(−8) − Σxy + (10)(10) = 76 g(x) 7 3 20 5 150 + 152 + 158 + … + 185 X = 8 Σxy = mΣx2 + cΣx ∴ Σxy = 60 (22) = 3 ! 1! 12 + 4 4 = 60 15 (27) เทียบกับ → 5 Σy − 2 Σx − Σxy + Σ10 = 76 แทนค่า 16 −3 3 = 167.5 บาท ซึ่งมีคนน้อยกว่าอยู่ 3 คน (และเกิน อยู่ 5 คน) ข้อนีค้ ิดจาก วิธีทงั้ หมด – วิธีที่ไม่มีใครน้อยกว่าเลย และจากการหาอนุพนั ธ์ x = 2 = (25) วิธที ั้งหมด 5 × 4 = 20 วิธี วิธีทสี่ นใจ ได้แก่ → (1, 5) (2, 3) (2, 4) มีอยู่ 4 วิธี ดังนั้น ตอบ 4 = 1 โจทย์บอกว่า f′(2) = f(2) = 2 แล้ว ′ ดังนี้ หาค่า g(2) และ g(2) → g(x) = f(x) − x3 + x2 แทน x = 2 ได้วา่ แทน 2 3/2 (4) − 4 + 1 3 ตอบ ′ − g(2)f′(2) ⎛ g ⎞′ (2) = f(2)g(2) ⎜ ⎟ [f(2)]2 ⎝f⎠ ′ g(x) = f′(x) − 3x2 + 2x ′ = 2 − 12 + 4 = −6 g(2) = 2 !(1!) 2 ! a2 − 2a + 1 + b2 = 30 ดังนัน้ 4 + b2 = 25 ตอบ {− 21, 21} 2 3/2 − x + C1 x 3 (คูณ 2 เพราะ กข เลือกอยูห่ ้อง 1 คนได้ 2 แบบ) และแบ่ง 4 เป็น 3, 1 (กข อยู่หอ้ ง 2 คน) จะได้ = 4 ! = 4 วิธี แก้ระบบสมการดังนี้ a2 + b2 = 25, x − 1 → f(x) = (24) ใช้กฎการแบ่งกลุ่ม 6! ตอบ วิธีทงั้ หมด = 3 ! 2 ! 1! = 60 วิธีทสี่ นใจ (ก, ข อยูห่ ้องเดียวกัน) มี 2 กรณี คือ แบ่ง 4 เป็น 2, 1, 1+กข จะได้ = 4 !2 × 2 = 12 วิธี = 3 − 4i = 5 2 f′(x) = ผ่านจุด (0, 1) แสดงว่า C1 = 1 โจทย์ถาม (4, c) แสดงว่า c = f(4) z = a + bi 2 z = (23) → 2 z1 z2 − z2 = 1 1 1 → z2 = → z2 = 2z1 − 1 2z1 − 1 (18) สมมติ ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 451 5 2 ตอบ ⎛ s1 ⎞ ⎛ s2 ⎞ ⎜ ⎟ = 2⎜ ⎟ X ⎝ 1⎠ ⎝ X2 ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 3 ⎞ → ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ⎜ ⎟ ⎝ X2 ⎠ ⎝ 7 ⎠ Math E-Book Release 2.2 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) → X2 = 42 = 21 2 2 ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.43 452 ตอนที่ 2 (5) y = x2 − c (1) P(A) มีจาํ นวนสมาชิก 24 = 16 ตัว, ถ้า c > 4 แสดงว่า -2 1 ซ้ํากับ B อยู่ 3 ตัว คือ φ, {φ}, {0, {0, 1}} ตัดแกน x ที่ ±c ดังนัน้ P(A) − B มีสมาชิกอยู่ 16 − 3 = 13 ตัว ตอบ เกิน ±2 ดังภาพ 1 (2) ให้ x, y, z เป็น y-1, y, y+1 ดังนัน้ −2 ∫ (x2 − c) dx = −24 ∴ 3 x + y + z = 3 (y − 1) + y + (y + 1) = 3 3y (ใส่ติดลบ เพราะพื้นที่อยู่ใต้แกนทัง้ ช่วงเลย) 1 หาค่า y ที่นอ้ ยทีส่ ุดที่ 3 3y เป็นจํานวนเต็มบวก ⎛ x3 ⎞ ลองแทนค่าดู y = 1 → 3 3 ไม่ได้, y = 2 → 3 6 → ⎜⎝ 3 − cx ⎟⎠ −2 = −24 ไม่ได้, y = 3 ...ไปเรือ่ ยๆ จนถึง y = 9 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 8 → ⎜ − c ⎟ − ⎜ − + 2c ⎟ = −24 → c = 9 ตอบ ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ → 3 27 = 3 ใช้ได้ ดังนัน ้ ตอบ 9 2 2 2 ⎞ (6) 9 × 9 × 2 = 162 จํานวน ตอบ ⎛ 2 (3) จาก ⎜⎜ 4 + 4 2 + 4 3 + … + 4 6 ⎟⎟ 63 ⎛ 63 ⎞ = 16 ⎜ = 15.75 ตอบ ⎟ = 4 ⎝ 64 ⎠ (4) จาก OA = ⎡⎢−32⎤⎥ และ OB = ⎡⎢94⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ˜ 1-9 (7) ห้ามซ้ํา 0,5(ซ้ําได้) (X − 0.51s) − X z = = −0.51 s → A = 0.195 ทางซ้าย คิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ 50 − 19.5 = 30.5 ตอบ (8) 1.26 = 500(20) + 450(8) + x(100) 500(20) + 300(8) + 400(100) ˜ O → x = 524.24 บาท ตอบ A C D ใช้สูตร (ถ่วงน้าํ หนัก) จะได้วา่ 2˜ OA + 1 ˜ OB ˜ OC = 3 B = 2⎡3⎤ 1 9 5 + ⎡ ⎤ = ⎡⎢0⎤⎥ ⎣ ⎦ 3 ⎢⎣ −2⎥⎦ 3 ⎢⎣4⎥⎦ 1˜ OA + 2 ˜ OB 1 3 2 9 ˜ OD = = ⎢⎡ −2⎥⎤ + ⎡⎢4⎤⎥ 3 3⎣ ⎦ 3⎣ ⎦ ∴˜ OC ⋅ ˜ OD = 35 ตอบ 0.195 A A A ⎠ ⎝A 1 1 1 ⎞ ⎛1 = 16 ⎜ + + +…+ ⎟ เป็นอนุกรมเรขาฯ 64 ⎠ ⎝2 4 8 ⎛1 ⎞ (1 − (1/2)6) ⎟ 1 ⎞ ⎛ = 16 ⎜ 2 = 16 ⎜ 1 − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 64 ⎝ ⎠ ⎝ 1 − (1/2) ⎠ 7 = ⎡⎢2⎤⎥ ⎣ ⎦ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 453 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa ÁÕ.¤.44 (h) ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ log4 log3 log2(x2 + 2x) < 0 จํานวนเต็มที่เป็นสมาชิกของ A มีทั้งหมดกี่จํานวน 2. กําหนดให้ ⎡ x −1 6⎤ A = ⎢2 5 7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣4 2y 9⎦ a 23 และโคแฟกเตอร์ของ 3. กําหนดให้ a, b, c a, b + 3, c +2 เป็น 4. 3 x2 + 3 − 2 lim x−1 x→1 5. กําหนดให้ คือพจน์ที่ n ถ้าไมเนอร์ของ เท่ากับ −44 แล้ว a 32 x+y เท่ากับ มีค่าเท่ากับเท่าใด เป็น 3 พจน์เรียงติดกันในลําดับเรขาคณิต และมีผลคูณเป็น 27 ถ้า พจน์เรียงติดกันในลําดับเลขคณิตแล้ว a + b + c มีค่าเท่ากับเท่าใด มีค่าเท่ากับเท่าใด เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่งทําให้พจน์ที่ไม่มี 9 23 สัมประสิทธิ์ของ 6. ในการสร้างเมตริกซ์ในรูป x 15 ⎡ x2 x − 4⎤ ⎢ −x x − 1 ⎥ ⎣ ⎦ x ในการกระจาย ⎛ 2 1 ⎞ ⎜x + ⎟ 2x ⎠ ⎝ n ในการกระจายนี้เท่ากับเท่าใด แบบสุ่ม โดยที่ x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ความน่าจะเป็นที่จะได้เมตริกซ์เอกฐานเท่ากับเท่าใด 5 y = (x − 1)2(2x − ) 4 2 θ sin มีค่าเท่ากับเท่าใด 2 7. ถ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 0 < θ < π แล้ว 2 ที่จุด 1 1 ( ,− ) 2 16 ทํามุม θ กับแกน x โดยที่ 8. กําหนดให้ x1, x2 , ..., x10 มีค่าเป็น 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลําดับ ถ้า พิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 12 โดยที่ a < 15 10 b เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ ∑ (xi − b)2 มีค่าน้อยที่สุด i=1 และ c 10 เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ ∑ i=1 xi − c มีค่าน้อยที่สุด แล้ว Math E-Book Release 2.2 a + b + c (คณิต มงคลพิทักษสุข) มีค่าเท่าใด คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 454 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน A, B, C 1. กําหนดให้ เป็นเซต ถ้า n(B) = 42 , n(C) = 28 , n(A ∩ C) = 8 , n(A ∩ B ∩ C) = 3 , n(A ∩ B ∩ C ') = 2 , n(A ∩ B '∩ C ') = 20 n(A '∩ B ∩ C) 1. 2. ให้ 5 A, B เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. และ F 7 และ n(A ∪ B ∪ C) = 80 3. 10 4. 13 3. 100 4. 120 แล้ว เป็นเซตซึ่งกําหนดดังนี้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} F = {f : B > A | f (x) ∉ x จํานวนสมาชิกของ 1. 24 F ทุกเซต x ∈ B } เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 60 3. กําหนดให้ x + 1 และ x − 1 เป็นตัวประกอบของพหุนาม p (x) = 3x3 + x2 − ax + b เมื่อ เป็นค่าคงตัว เศษเหลือที่ได้จากการหาร p (x) ด้วย x − a − b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 17 3. 19 4. 21 1. 15 4. กําหนดให้ A ∩B A = { x | x −1 < 2 คือช่วงในข้อใดต่อไปนี้ 1. (−1, 0) 2. และ 1 1 > } x +1 2 [−1, 0) และ 3. 5. กําหนดให้ p, q, r เป็นประพจน์ ถ้าประพจน์ p → (q ∧ r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ ก. (p ↔ q) ↔ ~ r ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. จริง และ ข. จริง 3. ก. เท็จ และ ข. จริง ข. B = { x | x2 + 2x < 0 } (0, 1) (p ∨ q) ↔ r a, b 4. (0, 1] มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว p ↔ (q ∨ ~ r) 2. ก. จริง และ ข. เท็จ 4. ก. เท็จ และ ข. เท็จ 6. เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดที่ทําให้ข้อความ (∀x [x2 < 2x + 3]) ∧ ( ∃y [y2 − 4 > 0]) มีค่าความจริงเป็น จริง 2. [−1.5, 1.5] 3. [−1, 2] 4. [−0.5, 2.5] 1. [−3, 0] 7. กําหนดความสัมพันธ์ ก. r = {(x, y) | y = Dr = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 1 } x2 − 1 ข. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ r − 1 = {(x, y) | y = ± 1+ x } x 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 8. กําหนดให้ f (x) = ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 455 x , x≠−1 1+ x ข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. (f g)− 1(x) = x 3. (f −1 g)(x) = g(x) = และ x , x≠1 1− x ,x ≠1 x ,x ≠1 1 + 2x 9. กําหนดให้ เซต f (x) = 2 sin (R f ∩ Dg) − R gof 1. 3. x 2 และ g(x) = 2. 4. (f −1 g−1)(x) = x ,x≠ −1 x −1 (g f)(x) = ,x ≠ −1 1 + 2x 2. 4. {−2, 2} x2 − 1 คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ {−1, 1} [2, − 3] ∪ [1, 2] [−2, −1] ∪ ( 3, 2] 10. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ตามลําดับ ถ้า cos B = 1/4 และ (a+b + c)(a−b + c) = 30 แล้ว ac มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 20 3. 20/3 4. 40/3 1. 12 11. กําหนดให้ A และ B เป็นจุดโฟกัสของวงรี x2 + 2y2 + 4x − 4y + 2 = 0 และวงรีนี้ตัดแกน จุด C และ D โดยทําให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ข. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับ 4 2 ตารางหน่วย ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด x ที่ 12. กําหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 4) และมีความชันเท่ากับ 3/4 ถ้าเส้นตรง L สัมผัส วงกลม C ซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่จุด (1, 2) แล้ว จุดใดต่อไปนี้เป็นจุดบนวงกลม C 1. (1, 2) 2. (1, 16) 3. (− 13 , 2) 4. (3 , 2) 5 5 13. เซตคําตอบของอสมการ 1. (1, ∞) 14. กําหนดให้ A = [aij ]3× 3 ⎛ adj (A t) ⎞ det ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎝ det (A) ⎠ 1. −16 2(x − 3) 2x 2. โดยที่ 5 2 ( − x) 3 < 8 (−2, 100) 5 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 3. (−10, 10) 4. (−∞, 2) i−1 ,i = j ⎪⎧2 aij = ⎨ 2 ,i ≠ j ⎪⎩ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −4 3. 4 4. 16 15. กําหนดให้ P = a x + 2 y และมีเงื่อนไขข้อจํากัดดังนี้ 2x + y < 50 , x + 2y < 70 , y > 0 ถ้าค่าสูงสุดของ P เท่ากับ 100 แล้ว a เท่ากับค่าในข้อใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 4 4. 6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) x > 0, คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 456 16. ให้ u = a i + b j โดยที่ a > 0 และ b > 0 และ u ⋅ (5 i − 2 j) = 14 ถ้า u ทํามุม เวกเตอร์ i และ cos θ = 3/5 แล้ว a + b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 14 3. 18 4. 21 1. 7 θ กับ 21. กําหนดให้ f (x) = ax3 + bx เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริง และ f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์เท่ากับ ที่จุด x = 1 ถ้า g(x) = x3 + f′(x) แล้ว g เป็นฟังก์ชันลดในช่วงใดต่อไปนี้ 1. (0, 2) 2. (−3, −1) 3. (−1, 1) 4. (−2, 0) −2 OA = 3 i − 2 j และ 17. ให้ A, B, C เป็นจุดในระนาบ และ O เป็นจุดกําเนิด โดยที่ ˜ 2 ˜ ˜ OB = 2 i + 5 j ถ้า ˜ AC = ˜ AB แล้ว |OC|2 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 18. ถ้า แล้ว 3 113 9 2. 2 z3 = 1 + 3 i และ a+b 3. z 18 = a + bi i − z 27 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1. −1 19. กําหนดให้ z 1. 1 + i 98 9 2. a, b เมื่อ 0 3. = i 9 + i 10 + ... + i 126 เมื่อ 193 9 i 2 = −1 1− i 4. 153 9 4. 2 เป็นจํานวนจริง 1 แล้ว 2 z − 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. −1 + i 4. −1 − i เป็นจํานวนเต็มบวกที่ทําให้ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 2 n + 2 n + 1 + ... + 2 2n 7 + 15 + 23 + ... มีค่าเท่ากับ 217 แล้ว มีค่าข้อใดต่อไปนี้ 8 20. กําหนดให้ 1. n 127 2. 2 128 3. 127.5 4. 128.5 22. กําหนดให้ f (x) = ax3 + bx2 + 2x − 2 เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริง ถ้า f′ (1) = 5 และ f′′ (0) = −12 แล้ว ∫ (f′(x) + f′′(x)) dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 5x3 + 9x2 + 10x + c 1. 5x3 + 9x2 − 10x + c 4. 5x3 − 9x2 − 10x + c 3. 5x3 − 9x2 + 10x + c 23. ให้ ถ้า f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งอนุพันธ์ของ f (1) = f′(1) = 1 1. 5 − 2 และ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด f (0) = f′(0) = −2 2. 1 − 2 แล้ว [0, 1] g(x) = และ 1 0 ∫ g′′(x) dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. Math E-Book Release 2.2 3 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4. 7 2 f (x) x4 + 1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 457 24. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. จํานวนวิธีในการจัดเด็ก 5 คน และผู้ใหญ่ 5 คน ถ่ายรูปหมู่ โดยให้เด็กยืนแถวหน้าและ ผู้ใหญ่ยืนแถวหลัง เท่ากับ 5 ! 5 ! ข. จํานวนวิธีในการจัดชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งโต๊ะกลม 2 โต๊ะที่ต่างกัน ซึ่งมีโต๊ะละ 6 ที่ นั่ง โดยที่ชายและหญิงนั่งแยกโต๊ะกัน เท่ากับ 5 ! 5 ! ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 25. ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนหนึ่งสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 2/5 และสอบผ่านวิชา ภาษาอังกฤษเท่ากับ 1/3 ถ้าความน่าจะเป็นในการสอบผ่านอย่างมากหนึ่งวิชา เท่ากับ 13/15 แล้ว ความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชาเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 7 2. 4 3. 3 4. 1 15 15 5 5 26. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน เป็น 55 และ 10 ตามลําดับ โดยที่นาย ก ได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.3 และเมื่อรวมคะแนนเก็บระหว่างภาคการศึกษา ซึ่งนักเรียนทุกคนได้คนละ 5 คะแนนแล้ว นาย ข ได้ คะแนนรวมน้อยกว่าคะแนนรวมของนาย ก 8 คะแนน ข้อใดต่อไปนี้เป็นคะแนนรวม และค่า มาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข ตามลําดับ 2. 60 , 1 1. 60 , 0.5 3. 65 , 0.5 4. 65 , 1 27. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติดังนี้ z A 0.97 0.334 1.58 0.443 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นายคณิตและนายวิทยาเป็น นักเรียนห้องนี้ ถ้าปรากฏว่ามีนักเรียน 5.7 เปอร์เซ็นต์ที่สอบได้คะแนนมากกว่านายคณิต และมี นักเรียน 16.6 เปอร์เซ็นต์ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่านายวิทยา และนายคณิตได้คะแนนมากกว่านาย วิทยาอยู่ 51 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการสอบครั้งนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 12 2. 15 3. 18 4. 20 28. ถ้าราคาเฉลี่ยของเมล็ดถั่วเหลืองต่อกิโลกรัม ในแต่ละเดือนของปี พ.ศ. 2542 ที่จังหวัดหนึ่งเป็น ดังนี้ เดือน มกราคม ราคา 13 บาท เดือน กุมภาพันธ์ ราคา 11 บาท เดือน มีนาคม ราคา 12 บาท แล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ดัชนีราคาเมล็ดถั่วเหลืองของเดือนกุมภาพันธ์ เทียบกับของเดือนมกราคม เท่ากับ 84.62 เปอร์เซ็นต์ ข. ดัชนีราคาเมล็ดถั่วเหลืองของเดือนมีนาคม เทียบกับของเดือนกุมภาพันธ์ เพิ่มขึ้น 10.09 เปอร์เซ็นต์ ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 458 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 ตอนที่ 2 (10) 1 (20) 3 (1) 4 (1) 2 (11) 2 (21) 4 (2) 9 (2) 4 (12) 1 (22) 1 (3) 13 (4) 0.5 (5) 27.5 (6) 0.4 (7) 0.1 (8) 19 (3) 4 (4) 1 (5) 2 (6) 4 (7) 2 (8) 3 (9) 4 (13) 4 (14) 1 (15) 3 (16) 2 (17) 1 (18) 2 (19) 4 (23) 3 (24) 2 (25) 3 (26) 3 (27) 4 (28) 2 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) log4 log3 log2(x2 (5) พจน์ที่ 9 มีค่า (8n ) (x ) + 2x) < 0 2 n −8 → log3 log2(x2 + 2x) < 40 ⇒ 1 → log2(x2 + 2x) < 31 → x2 + 2x < 23 2 → x + 2x − 8 < 0 ได้เป็น −4 < x < 2 อย่าลืมเงือ่ นไขของ log คือ x2 + 2x > 0 (แยกตัวประกอบได้ช่วง x < −2 , x > 0 ) ดังนัน้ เซต A คือ [−4, −2) ∪ (0, 2] ∴ จํานวนเต็มใน A ได้แก่ -4, -3, 1, 2 รวม 4 จํานวน ตอบ (2) M32 = 2x 67 = 7x − 12 = 23 → x = 5 8 () 8 n ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ 2n − 16 − 8 ⎜ ⎟ = 8 ⎜ ⎟ ⋅x ⎝ 2x ⎠ ⎝2⎠ “พจน์นี้ไม่มี x” แสดงว่า กําลังของ x คือ 2n − 16 − 8 = 0 หาพจน์ที่มี x15 จากพจน์ทวั่ ไป → 24 − 2r − r = 15 12 ! = 27.5 9! 3!⋅ 8 det = 0 (12r ) ⎛⎜⎝ 21 ⎞⎟⎠ ⋅ x r 24 − 2r − r → r = 3 ดังนัน้ สัมประสิทธิ์ของพจน์นี้ = → n = 12 12 ⎛ 1 ⎞ = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ 3 ตอบ → x2(x − 1) + x(x − 4) = 0 x −1 C23 = − 4 2y = −2xy − 4 = −44 → y = 4 (6) ดังนัน้ x + y = 9 ตอบ (3) ลําดับเรขาคณิต b = c .....(1) นํา x มาจาก {0, 1, 2, 3, 4} ...มีเลข 0 กับ 2 ที่ใช้ได้ ดังนัน้ ความน่าจะเป็น = 2 = 0.4 ตอบ ผลคูณ abc = 27 .....(2) ลําดับเลขคณิต b + 3 − a = c + 2 − b − 3 .....(3) แก้ระบบสมการ (1),(2) ได้ b = 3, ac = 9 → ใส่ค่า b ใน (3) ได้ a + c = 10 บังเอิญโจทย์ถาม a + b + c จึงได้ 10 + 3 = 13 ตอบ [ไม่ต้องแก้ a, c ต่อ แต่สมมติถ้าแก้สมการต่อ จะ ได้ผลเป็น a = 1, c = 9 หรือ a = 9, c = 1 ก็ได้] (7) a (4) b ⎛ x2 + 3 − 2 ⎞ ⎛ x2 + 3 + 2 ⎞ ⎟⎜ ⎟ lim ⎜ x→1 ⎝ ⎠ ⎜⎝ x2 + 3 + 2 ⎟⎠ x−1 = lim (x2 − 1) (x − 1)( x2 + 3 + 2) (x + 1) 2 = lim = = 0.5 2 x→1 4 ( x + 3 + 2) x→1 → x3 − 4x2 = 0 → x = 0, 2, −2 5 5 y′ = ความชัน = 2 (x − 1)(2x − ) + (x − 1)2(2) 4 1 3 แทน x = จะได้ความชัน = 2 4 3 4 θ ∴ tan θ = → cos θ = = 1 − 2 sin2 ⎛⎜ ⎞⎟ 4 5 ⎝2⎠ จะได้ sin2 ⎛⎜ θ ⎞⎟ = 1 = 0.1 ตอบ 10 ⎝2⎠ และ a < 15 → ดังนัน้ a = 3 ∑ (xi − b) น้อยสุด → ดังนั้น b = X = 8 ∑ xi − c น้อยสุด → ดังนั้น c = Medx = 8 (จากสมบัติของ X และ Med) ตอบ 3 + 8 + 8 = 19 = 12 (8) พิสยั 2 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 459 ตอนที่ 2 (1) คิดจากแผนภาพ B A n(A ∩ B ∩ C) = จ = 3 ก ข ค n(A ∩ B ' ∩ C ') = ก = 20 ง จ ฉ โจทย์ถาม ช n(A ' ∩ B ∩ C) = ฉ C ถ้ามองแค่ B กับ C สองเซต จะได้สตู รว่า = + - (6) แสดงว่าต้องจริงทั้ง 2 อย่าง 80 − 20 = 42 + 28 − ◊ → ◊ = 10 แต่ จ = 3 ตอบ 7 (2) โดเมนคือ {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} แต่เรนจ์ห้ามอยู่ในโดเมน (f(x) ∉ x) ∴ {1} จับเรนจ์ได้ 5 วิธี (2ถึง6) {1, 2} จับได้ 4 วิธี (3ถึง6) {1, 2, 3} ได้ 3 วิธี (4ถึง6) และ {1, 2, 3, 4} ได้ 2 วิธี (5,6) ตอบ 5 × 4 × 3 × 2 = 120 (3) “เป็นตัวประกอบ” แสดงว่า p(−1) = 0 และ p(1) = 0 ได้สมการดังนี้ −3 + 1 + a + b = 0 .....(1) 3 + 1 − a + b = 0 .....(2) ∴ a = 3, b = −1 หาร p(x) = 3x3 + x2 − 3x − 1 x −a−b = x−2 (4) A; ได้เศษ ด้วย = p(2) = 21 ตอบ x − 1 < 2 → −2 < x − 1 < 2 → −1 < x < 3 และ 1 > 1 x+1 2 → 2 > x+1 (ย้ายข้างคูณไขว้ได้เพราะมากกว่า 0 เสมอ) ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 x2 < 2x + 3 → −1 < x < 3 y2 − 4 > 0 → y < −2 y > 2 ดังนัน้ ∀x [−1 < x < 3] ∧ ∃y [y < − 2 หรือ y > 2] ตอบ ข้อที่ถูกคือข้อ 4. เพราะทุกๆ x อยู่ใน [−1, 3] และมีบาง x อยู่ใน (−∞, −2) ∪ (2, ∞) (7) ก. หา Dr; 2 1 > 0 เพราะอีกฝั่งเป็นค่า สัมบูรณ์ x −1 1 >0 → (x − 1)(x + 1) Dr = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ข. หา r −1; → y2 = x = 1 +1 x ซึ่งไม่เหมือนกับ ข้อ ก. ถูก ∴ 1 y2 − 1 → y = ± ± 1+ x x 1 x → y2 − 1 = 1+ x x ∴ ข้อ ข. ผิด [เพราะ x มีทั้งค่าบวกและลบ เช่น ถ้า x = −0.5 สองแบบนีจ้ ะได้คา่ ไม่เท่ากัน] ตอบ ข้อ 2. (8) หา f −1(x) กับ g−1(x) ก่อน y 1+ y → f −1(x); x = → xy − y = −x ∴ f −1(x) = x 1− x → x + xy = y → y = −x x = x−1 1− x (x ≠ 1) ซึ่งเหมือน แสดงว่า g−1(x) = f(x) ด้วย 1. (fog)−1(x) = (g−1of −1)(x) = g−1(g(x)) = 2. (f −1og−1)(x) = f −1(f(x)) = x ถูก −1 3. (f og)(x) = = x = 1− x − x 4. (g−1of)(x) = = x = 1+ x + x → −2 < x + 1 < 2 → −3 < x < 1 แต่อย่าลืม x ≠ −1 ด้วย B; x (x + 2) < 0 → −2 < x < 0 ดังนัน้ A ∩ B = (−1, 0) ตอบ (5) p → (q ∧ r) ≡ F แสดงว่า p เป็นจริง, q กับ r มีเป็นเท็จอย่างน้อย 1 ตัว (p ∨ q) ↔ r ≡ T ↔ r ≡ T แสดงว่า r เป็นจริง ∴ q เป็นเท็จ ก. (p ↔ q) ↔ ~ r ≡ F ↔ F ≡ จริง ข. p ↔ (q ∨ ~ r) ≡ T ↔ F ≡ เท็จ ตอบ หรือ x ถูก ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ x ⎞ ⎛ ⎝1 − x⎠ f ⎜ ⎟ = x ⎞ ⎝1 − x⎠ 1 − ⎜⎛ ⎟ ⎝1 − x⎠ x → ข้อ 3. ผิด 1 − 2x ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ x ⎞ ⎝1 + x⎠ −1 ⎛ g ⎜ ⎟ = x ⎞ ⎝1 + x⎠ 1 + ⎜⎛ ⎟ ⎝1 + x⎠ x ถูก 1 + 2x −1 ดังนัน้ ตอบ ข้อ 3. [หมายเหตุ ทีจ่ ริงข้อ 4. ต้องเพิ่มว่า Math E-Book Release 2.2 g(x) (คณิต มงคลพิทักษสุข) x ≠ − 1 2 ด้วย] คณิตศาสตร O-NET / A-NET (9) Rf = [−2, 2] (แอมพลิจดู เป็น 2) คิดจาก ดังนัน้ −2 < f(x) < 2 → 0 < [f(x)]2 < 4 [f(x)]2 − 1 < → 0< 3 → (Rf ∩ Dg) − Rgof = [−2, −1] ∪ ( 3, 2] ตอบ .....(1) b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ac → b2 = a2 + c2 − .....(2) 2 สมการ (1)-(2); 5 ac = 30 → ∴ ac = 12 2 จากกฎของ cos; ตอบ (11) จัดรูปวงรี; (x2 + 4x + 4) + 2(y2 − 2y + 1) = −2 + 4 + 2 → (x + 2)2 + 2(y − 1)2 = 4 (x + 2)2 (y − 1)2 → + = 1→ 4 2 วงรีตามแกน x 1 “มากกว่า 0 เสมอ” ดังนัน้ (x − 2) < 0 → x < 2 ตอบ ข้อ 4. [หมายเหตุ อันที่จริงหากพหุนามกําลังสองใด แยกตัวประกอบไม่ได้ (รู้ทติดลบ) พหุนามนัน้ จะมีค่า มากกว่า 0 เสมอ ไม่จาํ เป็นต้องจัดรูปก็ได้] ⎡20 2 2 ⎤ A = ⎢ 2 21 2 ⎥ → det(A) = −4 ⎢ 2⎥ ⎢⎣ 2 2 2 ⎥⎦ (14) พิสูจน์ จาก adj(A) = A ⋅ A −1 → adjA = A ⋅ A ∴ −1 = A n−1 3 ⎛ 4 ⎞ 4 ⋅ adj(A t) = ⎜⎜ ⎟⎟ adj(A) A ⎝A⎠ โจทย์ถาม = (−1)3 ⋅ (−4)3 − 1 = −16 ตอบ (15) (10,30) 35 O 25 (10, 30) เป็นจุดที่ทาํ ให้เกิด 5 (0, 35) → P = 70 5 2. 3. (1,2) 1. Pmax แสดงว่า Pmax = 100 เกิดทีจ่ ุด (10, 30) จริงๆ ∴ ตอบ a = 4 [หมายเหตุ ถ้าจุดอืน่ ให้ P สูงกว่า ก็ต้องคิดใหม่โดย ให้จุดทีส่ ูงกว่านั้นเป็นจุดทีเ่ กิด Pmax จริง แล้วหาค่า a] (16) (a i + b j) ⋅ (5 i − 2 j) = 5a − 2b = 14 .....(1) u กับ i ทํามุมกัน (a,b) 3 ดังรูป arccos 5 ดูในตัวเลือก มี x = 1 กับ y = 2 จะสังเกตว่าไม่ตอ้ งสร้างสมการวงกลมก็คดิ ได้ 1. (1, 2 − 8) = (1, 2) ถูก 4. ตอบ ข้อ 1. 2 1⎞ 3 ⎛ ⎜x − ⎟ + 2 4 ⎝ ⎠ แต่จดั รูปเป็น (25, 0) → P = 100, 3 (x − 1) → 4y − 3x − 13 = 0 4 4 +3 3. แยกตัวประกอบไม่ได้ ตรวจสอบคําตอบโดยลองแทนจุดอืน่ ดู สัมผัสวงกลม C ที่มีศูนย์กลางที่ (1, 2) แสดงว่ารัศมี r = 4(2) −23(1) −2 13 = 8 2. x2 − x + 1 ∴ 100 = a(10) + 2(30) → a = 4 D 2 2 C เป็น ผืนผ้า, พื้นที่ = 2 2 ตร.หน่วย ตอบ ก. ถูก ข. ผิด (12) สมการ L; 5 5 8 18 (1, 2 + ) = (1, ) 5 5 8 3 (1 − , 2) = (− , 2) 5 5 8 13 (1 + , 2) = ( , 2) 5 5 ซึ่ง สมมติ ABCD y −4 = ⎛2 ⎞ → x2(x − 3) < 3 ⎜ − x ⎟ ⎝3 ⎠ n จุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ (−2, 1) ระยะโฟกัส c = 4 − 2 = 2 ดังนัน้ จุดโฟกัสได้แก่ A(−2 − 2, 1) , B(−2 + 2, 1) ต่อไปหาจุดตัดแกน x; แทน y = 0 จะได้ (x + 2)2 + 2 = 4 → x = −2 ± 2 แสดงว่าจุดตัดแกน x ได้แก่ C(−2 + 2, 0) D(−2 − 2, 0) ดังรูป B A ∴ < 2 → (x − 2)(x2 − x + 1) < 0 (a + b + c)(a − b + c) = 30 → a2 + 2ac + c2 − b2 = 30 ⎛2 ⎞ 3 ⎜ − x⎟ ⎝3 ⎠ (x − 3) → x3 − 3x2 + 3x − 2 < 0 → Rgof = [0, 3] Rf ∩ Dg = [−2, −1] ∪ [1, 2] (10) จาก 2 2x (13) Dg; x2 − 1 > 0 → ( −∞, −1] ∪ [1, ∞ ) Rgof; ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 460 4 θ 4. แสดงว่า a 3 = → 4a = 3b b 4 แก้ระบบสมการได้ Math E-Book Release 2.2 3 .....(2) a = 6, b = 8 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ตอบ 14 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 1 (17) ใช้สูตรการแบ่งเวกเตอร์ O ˜ ˜ B (23) ∫ g′′(x) dx 1 ˜ 2 OB + 1 OA OC = 3 2 1 = (2 i + 5 j) + (3 i − 2 j) 3 3 7 8 = i + j 3 3 2 ˜ z3 = C หาค่า ′ ) g(1 ′ g(0) กับ 2 A ⎛ 1∠ π ⎞ ⎜ ⎟ z 1∠2π 3⎠ โจทย์ถาม = ⎝ = 27 9 i − 1∠3π 1− z π i − ⎛⎜ 1∠ ⎞⎟ 3⎠ ⎝ 1 1 1−i 1 1 = = = ∴ ตอบ − = 0 i − (−1) i + 1 2 2 2 6 18 n n → 217 = (7 + 7 + (n − 1)(8)) = (8n + 6) 2 2 31 → 4n2 + 3n − 217 = 0 → n = 7, − 4 (26) คิด ก. ก่อน → 1.3 = xก − 55 10 ก ∴ ข ข ค ง 13 2 = 15 15 = 1− 1 2 3 − = 3 15 5 ตอบ → xก = 68 คะแนน ข. น้อยกว่า ก. อยู่ 8, แต่บวกไปคนละ 5 ด้วย ดังนัน้ xรวม, ข = 68 − 8 + 5 = 65 คิดเป็นค่ามาตรฐาน → zรวม, ข = 65 − 60 = 0.5 3a + b = 0 16.6% วิทยา → f(x) = x3 − 3x → g(x) = x3 + (3x2 − 3) ∴ b = −6, a = 5 นั่นคือ f(x) = 5x3 − 6x2 + 2x − 2 หาค่า ∫ [f′(x) + f′′(x)] dx จะได้ผลคล้ายๆ กับ f(x) + f′(x) แต่ติดค่า C1, C2 ดังนี้ (5x3 − 6x2 + 2x + C1) + (15x2 − 12x + C2) = 5x3 + 9x2 − 10x + C ตอบ 10 เปลี่ยน] 5.7% คณิต zค = 1.58 และ zว = −0.97 xค − X x −X , − 0.97 = ว s s xค − x ว นําสองสมการมาลบกัน ได้เป็น 2.55 = s ซึ่งโจทย์บอกว่า xค − x ว = 51 จากสูตรจะได้ −12 X จะได้วา่ 0.4430 ตอบ [อย่าลืมว่าทุกคนได้บวก 5 ทําให้ ตอบ 65, 0.5 (27) 0.3340 ⎡ 27(1 − 28)⎤ 27(28 − 1) 28 − 1 8 = ⎢ = ⎥ ÷2 = 2 28 ⎣ 1−2 ⎦ ′ = 3x2 + 6x < 0 หาช่วงทีเ่ ป็นฟังก์ชันลด g(x) ตอบ (−2, 0) (22) f′(1) = 5 และ f′′(0) = −12 ทําให้ได้สมการว่า 3a + 2b + 2 = 5, 0 + 2b = จาก (24) ก. 5 ! 5 ! ถูกแล้ว ข. โต๊ะวางติดกัน จึงเหมือนมีตาํ แหน่งเกิดขึ้นภายใน โต๊ะแล้ว จัดแต่ละโต๊ะได้เป็น 6!6! โต๊ะต่างกันจึงคูณ 2! ข้อนีจ้ ึงต้องเป็น 6 ! 6 ! 2 ! ตอบ ก. ถูก ข. ผิด (25) ก + ข = 2 5 แต่ n ∈ I+ ∴ n = 7 เท่านัน้ โจทย์ถาม (27 + 28 + 29 + … + 214) ÷ 28 (21) f(1) = −2 และ f′(1) = 0 ทําให้ได้สมการว่า a + b = −2 และ แก้ระบบสมการได้ a = 1, b = −3 ′ ) − g(0) ′ = g(1 (x + 1)(f′(x)) − (f(x))(4x3) ′ g(x) = (x4 + 1)2 (2)(1) − (1)(4) 1 ′ )= และ → g(1 = − 4 2 (1)(−2) − (−2)(0) ′ = = −2 g(0) 1 ตอบ − 1 − (−2) = 3 2 2 (19) i9 + i10 + i11 + i12 = 0, i13 + i14 + i15 + i16 = 0 5 1 ไปเรื่อยๆ ดังนัน้ z = i125 + i126 = i1 + i2 = i − 1 ข+ค = 2 2(−1 − i) 3 ตอบ → 2z−1 = = = −1 − i i−1 2 ก + ค + ง = 13 15 n (20) Sn = (a1 + an) 2 ก+ข+ค =2+ = 127.5 1 0 4 2 1 3 π + i = 1∠ 2 2 3 ′ = [g(x)] 0 113 ⎛8⎞ ⎛7⎞ → | OC |2 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 3 3 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (18) ขอสอบเขาฯ มี.ค.44 461 1.58 = 51 = 20 คะแนน ตอบ 2.55 (28) ก. 11 × 100 = 84.62% ถูก 13 ข. เพิ่มขึ้น 12 − 11 × 100 = 9.09% 11 ∴s = Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ผิด ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 462 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.44 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ S = { f : A > A | f (x) < จํานวนฟังก์ชันทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ S เท่ากับเท่าใด ⎡ 1 0 −1 ⎤ A = ⎢3 −1 −2⎥ ⎢ ⎥ ⎣2 5 a ⎦ 4. ให้ z = −1 − 5. ถ้า c 3i และ แล้ว z6 + z 6 เป็นจํานวนจริง ซึ่ง 6. ถ้าเส้นตรง x a 3 มีค่าเท่าใด = a C11(A) = 2 lim n→∞ แล้ว ทุก x ∈ A} log (3x + 4) > log (x − 1) + 1 2. ให้ช่วงเปิด (a, b) เป็นเซตคําตอบของอสมการ แล้ว a + b มีค่าเท่ากับเท่าใด 3. ถ้า x+1 (i ) det (−3A −1) มีค่าเท่ากับเท่าใด เท่ากับเท่าใด 3cn3 − n2 + cn (2n + 1)3 = (−2)n − 1 n −2 n=1 3 ∞ ∑ แบ่งครึ่งพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 7. กําหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, B และ P (A) = 0.5 , P (B) = 0.3 และ P (A ∩ B) = 0.1 แล้ว แล้ว c 2x จาก y = A ∩B มีค่าเท่าใด x = 0 ถึง x = 8 แล้ว ดังนี้ P (A ' ∪ B') มีค่าเท่ากับเท่าใด 8. ร้านค้าแห่งหนึ่งขายพัดลม 3 ขนาด ในการหาดัชนีราคาพัดลมทั้ง 3 ขนาด ถ้าดัชนีราคาอย่างง่าย แบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2543 โดยใช้ พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2541 เป็นปีฐาน เท่ากับ 80 และ 120 ตามลําดับแล้ว ราคาเฉลี่ยของพัดลมทั้ง 3 ขนาด ใน พ.ศ. 2542 เมื่อหาโดยใช้ดัชนีราคาอย่าง ง่ายแบบใช้ราคารวม เพิ่มขึ้นจากราคาเฉลี่ยของพัดลมทั้ง 3 ขนาดในพ.ศ. 2541 ร้อยละเท่าใด ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน เป็นเซตที่มีสมาชิก เซตละ 2 ตัว และ a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C โดยที่ A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d} ถ้า (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ แล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข. B = C ก. d ∈ A ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 1. ให้ A, B, C Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 2. ถ้า −2 < x < 2 1. ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 463 และ 8 < y < 13 1 2. แล้ว ค่ามากที่สุดของ 1/2 3. (1/2)x + 1 y+2 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1/3 4. 1/8 3. กําหนดให้ P (x) = x3 + ax2 + bx + 2 โดยที่ a และ b เป็นจํานวนจริง ถ้า x − 1 และ ต่างก็หาร P (x) แล้วเหลือเศษ 5 ดังนั้น a + 2b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −1 3. 1 4. 9 1. −11 4. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจํานวนจริง ข. ∀x [sin4 x + cos4 x = ก. ∃x [cot 2x − cot x = 0 ] 1− x+3 1 sin2 2x ] 2 ค่าความจริงของข้อความ ก. และข้อความ ข. เป็นไปตามข้อใดต่อไปนี้ 1. ก. เป็นจริง และ ข. เป็นจริง 2. ก. เป็นจริง และ ข. เป็นเท็จ 3. ก. เป็นเท็จ และ ข. เป็นจริง 4. ก. เป็นเท็จ และ ข. เป็นเท็จ 5. กําหนดให้ p, q, r เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ และเท็จ ตามลําดับ ประพจน์ใน ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเหมือนกับประพจน์ (p → ~ q) ∨ (r ∧ ~ p) 2. (q ∧ ~ r) ↔ (~ p → ~ q) 1. (~ r → p) ∧ (q ∨ r) 4. (p → q) ∨ (~ r ↔ q) 3. (~ p ∨ r) → (q ∧ ~ r) 6. ถ้า r = {(x, y) ∈ R × R | 2x3 + 3xy2 − x2 + y2 = 0 } 1. 3. 1 1 (− , ] 3 2 1 1 (−∞, − ) ∪ (− , ∞) 3 3 7. กําหนดให้ f (x) = 4 − x2 และ จํานวนในข้อใดต่อไปนี้เป็นสมาชิกของ 1. 1 2 2. g(x) = แล้ว เรนจ์ของ 2. 1 1 [− , ) 2 3 4. (−∞, ∞) เท่ากับข้อใด 1 9 − x2 Rgof 1 4 8. กําหนดให้ f (x + 1) = 3x + 2 + f (x) และ แล้ว g−1(f (2)) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 0 1. −1 r −1 1 8 3. g(3x − 1) = 2x + 8 3. ถ้า 1 9. ถ้า sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แล้ว (x + y)2 − 2xy เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 2 cos2 20° 3. 4 cos2 40° 1. 4 cos2 20° Math E-Book Release 2.2 1 14 4. (คณิต มงคลพิทักษสุข) f (0) = 1 4. 2 4. 2 cos2 40° คณิตศาสตร O-NET / A-NET 10. ถ้า 0 −2 4. แล้ว 5 3 P = 2x + 3y มีค่าสูงสุดตามเงื่อนไขข้อจํากัดที่กําหนดให้ต่อไปนี้ และ y > 0 สอดคล้องกับข้อใดต่อไปนี้ 2. x + y = 4 3. x + y = 39 4. x + y = 33 x + y > 4 , 3x + 2y < 10 , 2x − y < 1 , x > 0 1. x + y =5 16. กําหนดให้ แล้ว θ u = 2 2 , อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ 1. (0, π) 6 17. กําหนดจุด θ 8 u + v = 5, u −v = 4 2. (π , π) 5 10 เป็นมุมระหว่าง 4 3 และ คือมุมระหว่าง ˜ CA และ ˜ DC แล้ว cos 1. −2 2. −2 θ 3. (π , π) 6 4 A (1, 1), B (4, 10), C (7, 9) ถ้า 8 θ D เป็นจุดที่อยู่บนด้าน AB คือค่าในข้อใดต่อไปนี้ 3. 2 Math E-Book Release 2.2 5 (คณิต มงคลพิทักษสุข) u และ v 4. (π , π) 3 2 ˜ AD| โดยที่ |˜ = |AB| 4. 2 10 2 3 ถ้า คณิตศาสตร O-NET / A-NET 18. ถ้า 3 + 4 39 4 i เป็นคําตอบหนึ่งของสมการ ax2 − 3x + c = 0 จริงแล้ว เศษที่เหลือจากการหาร ax2 − 3x + c ด้วย 2. 12 1. 8 ⎧ 1 ⎪ f (x) = ⎨ x − 1 ⎪ 2 ⎩ 19. กําหนดให้ ถ้า ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 465 ,x ≠ 1 ,x = 1 และ x +2 3. โดยที่ a และ c เป็นจํานวน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 16 4. 20 g(x) = x3 + x − 2 h (x) = f (x) g(x) 1. h 2. h 3. h 4. h แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูก ต่อเนื่องที่จดุ x = 1 และ xlim h (x) = 0 →1 ต่อเนื่องที่จุด x = 1 และ xlim h (x) = 4 →1 h (x) = 0 ไม่ต่อเนื่องที่จุด x = 1 และ xlim →1 ไม่ต่อเนื่องที่จุด x = 1 และ xlim h (x) = 4 →1 ′ 20. กําหนดให้ g เป็นฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์ที่ทุกจุด x > 0 และ g(3) = 3 n 3 2 จํานวนเต็มบวก n ที่ทาํ ให้ g(x + 2x) = 4x + 6x + 31 คือจํานวนในข้อใดต่อไปนี้ 2. 6 3. 7 4. 1. 5 8 21. ให้ f เป็นฟังก์ชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับสามเท่าของค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ และ f (0) = 2 ถ้า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = − 1 และมีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 แล้ว f (4) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −24 3. 24 4. 28 1. −28 22. กําหนดให้เส้นโค้ง y = f (x) ผ่านจุด (1, 0) และมีความชันที่จุด (x, y) ใดๆ เป็น 2 3x2 − 4x + 2 ถ้า (a, b) เป็นจุดตัดระหว่างเส้นโค้งนี้กับเส้นตรง x − 2 = 0 แล้ว a + b มีค่า x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 3 2 2. 2 3. 7 2 4. 4 23. คนกลุ่มหนึ่งเป็นชายและหญิงจํานวนเท่ากัน โดยที่อัตราส่วนของจํานวนวิธีที่ชายและหญิงยืนสลับ ที่กันเป็นแถวตรง กับจํานวนวิธที ี่ชายและหญิงยืนสลับที่กันเป็นวงกลม เท่ากับ 10 : 1 จํานวนวิธีที่จะ เลือกตัวแทน 2 คนจากคนกลุ่มนี้ โดยมีชายอย่างน้อย 1 คน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 35 3. 40 4. 45 1. 30 24. ห้างสรรพสินค้าแห่งหนึ่งจัดรายการสมนาคุณแก่ลูกค้า โดยจะให้ลูกค้าทุกคนสุ่มหยิบคูปอง ส่วนลดได้ 2 ใบ จากกล่องซึ่งมีคูปองทั้งหมด 12 ใบ ซึ่งมีคูปองมูลค่า 50 บาท 5 ใบ คูปองมูลค่า 100 บาท 3 ใบ คูปองมูลค่า 200 บาท 3 ใบ และคูปองมูลค่า 500 บาท 1 ใบ ความน่าจะเป็นที่ ลูกค้าคนหนึ่งจะสุ่มหยิบคูปอง 2 ใบ และได้คูปองที่มีมูลค่าส่วนลดรวมมากกว่า 300 บาท มีค่า เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 11 2. 14 3. 20 4. 23 66 66 Math E-Book Release 2.2 66 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 66 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 466 25. นักเรียนอนุบาล 4 คน มีอายุเป็น x1, x2 , x3 , x4 ปี โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเป็น 5.5 4 ปี และ ∑ x2i = 141 ถ้ามีนักเรียนที่มีอายุ 3 ปี มาเพิ่มอีก 1 คน แล้ว สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน i=1 ของอายุนักเรียนทั้ง 1. 5 5 5 คนนี้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1 3. 2 5 5 4. 5 26. ถ้าตารางแจกแจงความถี่ของข้อมูลชุดหนึ่ง ซึ่งมีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากัน เป็น ดังต่อไปนี้ ชั้นที่ 1 2 3 4 5 ให้ x จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น ... ... ... 25 30 ความถี่สะสม 8 16 36 40 50 เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ med เป็นมัธยฐานของข้อมูล ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. x = 19 และ med = 19.75 2. x = 19 และ med = 17.5 3. x = 20 และ med = 19.75 4. x = 20 และ med = 17.5 27. ถ้าจากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจํานวนชั่วโมงต่อสัปดาห์ที่ใช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ (แทน ด้วย X ) และผลการเรียนเฉลี่ย หรือ GPA (แทนด้วย Y ) ได้สมการที่ใช้ประมาณผลการเรียน เฉลี่ย จากจํานวนชั่วโมงต่อสัปดาห์ที่ใช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ เป็นสมการเส้นตรงที่มีความชัน เท่ากับ 0.02 และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 2.7 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้าจํานวนชั่วโมงที่ใช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ เพิ่มขึ้น 10 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ ผลการเรียน เฉลี่ยเพิ่มขึ้น 0.2 ข. ถ้าผลการเรียนเฉลี่ยเท่ากับ 3 ทํานายว่าจํานวนชั่วโมงที่ใช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ เท่ากับ 15 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 28. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = −1.2 ถึง z = 0 เท่ากับ 0.3849 คะแนนสอบของนักเรียน กลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 50 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลําดับ ถ้านายคํานวณสอบได้ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เท่ากับ 88.49 แล้ว นายคํานวณสอบได้คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 60 คะแนน 3. 62 คะแนน 4. 65 คะแนน 1. 58 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 467 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 96 (2) 3 (3) 1.8 (4) 128 (5) 4.8 (6) 128 (7) 0.9 (8) 50 ตอนที่ 2 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 3 (5) 3 (6) 1 (7) 3 (8) 1 (9) 1 (10) 4 (11) 3 (12) 4 (13) 3 (14) 4 (15) 1 (16) 2 (17) 1 (18) 4 (19) 4 (20) 2 (21) 4 (22) 4 (23) 2 (24) 2 (25) 1 (26) 3 (27) 2 (28) 3 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) ตัวหน้า (1, _) (2, _) (3, _) (4, _) และตัวหลัง y < x + 1 จะได้วา่ (1, _) เลือกตัวหลังได้ 1,2 รวม 2 แบบ (2, _) เลือกตัวหลังได้ 1,2,3 รวม 3 แบบ (3, _) เลือกตัวหลังได้ 1,2,3,4 รวม 4 แบบ (4, _) เลือกตัวหลังได้ 1,2,3,4 รวม 4 แบบ รวม 2 × 3 × 4 × 4 = 96 แบบ ตอบ (2) log(3x + 4) > log(x − 1) + log 10 (6) แต่อย่าลืมเงื่อนไขของ log คือ 3x + 4 > 0 และ 4 x − 1 > 0 จะได้ x > − และ x > 1 → 4a3 = 83 → a3 = → 3x + 4 > 10(x − 1) → 14 > 7x 3 → x < 2 a 8 0 a จะได้วา่ ∫ y dx = ∫ y dx 0 a 8 a 2⎤ ⎡ → ⎢ 2x3 / 2 ⋅ ⎥ 3⎦ ⎣ 2 2⋅ 3 ตัดสัมประสิทธิ์ 3 0 2⎤ ⎡ = ⎢ 2x3 / 2 ⋅ ⎥ 3⎦ ⎣ 3 3 a ทั้งสองข้างของสมการ 3 3 → a 2 − 0 2 = 82 − a 2 (7) 8 3 → 2a2 = 82 83 = 128 4 ตอบ P(A ' ∪ B ' ) = 1 − P(A ∩ B) ดังนัน้ ได้ช่วงคําตอบ (1, 2) ตอบ 3 = 1 − 0.1 = 0.9 ตอบ −1 −1 (3) C11(A) = 2 → 5 a = 2 → −a + 10 = 2 (8) I43 = 80, I42 = 120 เพิ่มขึน้ 120 − 80 × 100 = ร้อยละ 50 ตอบ → a = 8 80 ∴ A = −8 + 0 − 15 − 2 + 0 + 10 = −15 ตอนที่ 2 (−3)3 −27 (1) A = {a, _} B = {b, _} C = {c, _} → −3A −1 = = = 1.8 ตอบ A −15 ซึ่งถ้า (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ (4) z = 2∠ 4π , z = 2∠(− 4π) แสดงว่า A ∩ B = ∅ และ A ∩ C = ∅ 3 3 ฉะนั ้น b และ c ต้องไม่อยู่ใน A 24π 24π → z6 + z6 = 26 ∠ + 26 ∠(− ) จึงสรุปว่า A = {a, d} ก. ถูก 3 3 6 6 = 2 ∠0 + 2 ∠0 = 64 + 64 = 128 ตอบ และ a กับ d ต้องไม่อยู่ใน B, C เลย 3 2 ∴ B = {b, c} C = {c, b} ข. ถูก ตอบ 3cn − n + cn (5) nlim 1 →∞ 8n3 + … + 1 (2) −2 < x < 2 → < 2x < 4 1 c + 2 3c n n = lim = 1 n→∞ 8 8+…+ 3 n 3c − n−1 และ ∑ (−2)n − 2 = 3 − 2 + 4 − 8 + … 3 9 n=1 3 3 9 = = 2 1 − (− ) 5 3 3c 9 ∴ = → c = 4.8 ตอบ 8 5 ∞ 4 x 5 1 < ⎛⎜ ⎞⎟ + 1 < 5 → 4 ⎝2⎠ x 1 1 < ⎛⎜ ⎞⎟ < 4 → 4 ⎝2⎠ และ 8 < y < 13 → 10 < y + 2 < 15 ดังนัน้ เมื่อนํามาหารกันทีละคู่ ผลที่ได้ เป็น 5 = 1 , 5 = 1 , 5 = 1 , 40 ค่ามากทีส่ ุด Math E-Book Release 2.2 8 = 1 2 60 12 ตอบ (คณิต มงคลพิทักษสุข) 10 2 5 1 = 15 3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET P(1) = 5 → 1 + a + b + 2 = 5 (3) .....(1) P(−3) = 5 → −27 + 9a − 3b + 2 = 5 .....(2) แก้ระบบสมการได้ a = 3 และ b = −1 ∴ ตอบ 1 (4) ก. cot 2x − cot x = 0 cos 2x cos x − = 0 sin 2x sin x sin x cos 2x − cos x sin 2x → = 0 sin 2x sin x sin(−x) −1 → = 0 → = 0 sin 2x sin x sin 2x เป็นไปไม่ได้ ∴ ก. เท็จ → ข. 2 2 จาก f(0) โดยไล่ไปทีละตัว f(1) = 3(0) + 2 + f(0) → f(1) = 2 + 1 = 3 ∴ f(2) = 3(1) + 2 + f(1) = 3 + 2 + 3 = 8 โจทย์ถาม g−1(8) จาก g−1(2x + 8) = 3x − 1 ให้ 2x + 8 = 8 พบว่าต้องใส่ x = 0 ดังนั้น g−1(8) = −1 ตอบ (9) (x + y)2 − 2xy = x2 + y2 + cos2 15° + 2 cos 15° cos 55° + cos2 55° 2 = (sin x + cos x) − 2 sin x cos x 2 (2 sin x cos x) 1 = 1 − = 1 − sin2 2x ∴ 2 2 2 f(2) = sin2 15° + 2 sin 15° sin 55° + sin2 55° = [sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x] − 2 sin2 x cos2 x 2 (8) หา = (sin 15° + sin 55°)2 + (cos 15° + cos 55°)2 sin4 x + cos4 x 2 ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 468 = 2 + 2 sin 15° sin 55° + 2 cos 15° cos 55° = 2 − (cos 70° − cos 40°) + (cos 70° + cos 40°) = 2 + 2 cos 40° = 2 + 2 (2 cos2 20° − 1) = 4 cos2 20° ข. จริง (10) ตอบ log0.5(sin x sin 2x) < log0.5(cos x cos 2x) → sin x sin 2x > cos x cos 2x ตอบ ข้อ 3. (5) โจทย์ (p → ~ q) ∨ (r ∧ ~ p) (อย่าลืมกลับเครือ่ งหมาย เพราะฐานเป็น 0.5) ≡ (T → T) ∨ (F ∧ F) ≡ T ∨ F ≡ T → 0 > cos 3x → 0 > cos x cos 2x − sin x sin 2x ข้อที่ถูกคือ ข้อ 3. (F ∨ F) → … ≡ T ส่วนอีก 3 ข้อเป็นเท็จ ดังนี้ 1. … ∧ (F ∨ F) ≡ F 2. (F ∧ …) ↔ (F → …) ≡ F ↔ T ≡ F 4. (T → F) ∨ (T ↔ F) ≡ F ∨ F ≡ F ตอบ ข้อ 3. (6) เรนจ์ของ r −1 ก็คือโดเมนของ r; จาก 2x3 + 3xy2 − x2 + y2 = 0 → y2 = ดังนัน้ และ 3x + 1 ≠ 0 → x ≠ − 1 3 ขยายช่วง 0 < x < π เป็น 4 เพื่อหาช่วงคําตอบ จากรูป ถ้า cos 3x < 0 จะได้ π < 3x < 3π → x2 − 2x3 3x + 1 ดังนัน้ ตอบ (7) หา Rgof < x < π 4 4 (อย่าลืมเช็คเงือ่ นไข log ว่า sin x > 0, sin 2x > 0, π π cos x > 0, cos 2x > 0 จริงๆ ด้วย) ตอบ ⎛⎜ , ⎞⎟ ⎝6 4⎠ (x2 + 4x + 4) + 2(y2 − 2y + 1) = −2 + 4 + 2 → (−1/ 3, 0] ∪ [0, 1/2] ⎛ 1 1⎤ ⎜− , ⎥ ⎝ 3 2⎦ เริ่มคิดจาก f; x2 > 0 → 4 − x2 < 4 → 0 < 6 2 3π 4 (11) จัดรูปวงรี; x2 − 2x3 x2(2x − 1) >0 → −2 → 3x2 + x − 2 < 0 (−6)(4) + (−8)(2) = (10) ⋅ ( 20) ⋅ cos θ → (3x − 2)(x + 1) < 0 ได้ช่วง [−1, 2/ 3] ย้ายข้าง → cos θ = − 2 ตอบ 5 2 5 ∴ a − b = −1 − = ตอบ 3 39 3 3 (18) แสดงว่ามี − i เป็นคําตอบด้วย 4 4 แก้อสมการ (15) ⎛ 3 39 ⎜⎜ x − − 4 4 ⎝ 3 9 39 = x2 − x + + = 0 2 16 16 (0, 5) → P = 15 5 7 31 ≈ 10.33 ( , )→P = 3 3 3 (0, 4) → P = 12 12 17 75 ≈ 10.7 ( , )→P = 7 7 7 ดังนัน้ พหุนามคือ ตอบ x + y = 5 (16) จาก u + v (19) = 5 จะได้ u + v + 2 u v cos θ = 25 u−v = 4 และจาก 2 2 .....(1) จะได้ u + v − 2 u v cos θ = 16 .....(2) (1) + (2) ได้ u 2 + v 2 = 41 2 2 (1) − (2) ได้ u v cos θ = 9 และสมการ 4 4 สมการ ⎞ i ⎟⎟ ⎠ → 2x2 − 3x + 6 = 0 จะได้ เศษเหลือคือ 2 39 4 นํา 2 คูณ เพือ่ ปรับให้ตรงตามโจทย์ ∴ Pmax เกิดทีจ ่ ุด (0, 5) 2 ⎞⎛ 3 i ⎟⎟ ⎜⎜ x − + 4 ⎠⎝ 2 (−2)2 − 3 (−2) + 6 = 20 ตอบ 3 ⎛ x + x − 2⎞ lim h(x) = lim ⎜ ⎟ x→1 ⎝ x −1 ⎠ x→1 = lim (x2 + x + 2) = 4 x→1 และ h(1) = 2 ⋅ (13 + 1 − 2) = 0 ไม่เท่ากัน ดังนั้น ไม่ต่อเนื่องที่ x = 1 ตอบ ข้อ 4. ′ (20) กฎลูกโซ่ g(f(x)) ⋅ f′(x) = (gof)′ (x) n n−1 ′ จะได้ g(x + 2x) ⋅ (nx + 2) = 12x2 + 12x ′ n + 2x) = → g(x 12x2 + 12x nxn − 1 + 2 ′ g(3) จะสังเกตได้วา่ ควรแทน x = 1 12 + 12 ′ → g(3) = = 3 →n = 6 ตอบ n+2 ต้องการคิดที่ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (21) ให้ f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D (25) f(0) = 2 → ได้ D = 2 f′(−1) = 0 → 3A − 2B + C = 0 f′(−1) = 0 → 3A + 2B + C = 0 แก้สองสมการนี้ได้ B = 0 และ อีกคําใบ้คือ f(−1) = 3 ⋅ f(1) 2 Σxเก่ = 141 → Σx2ใหม่ า 3A + C = 0 .....(1) แทน B = 0, D = 2 ได้เป็น A + C แก้ระบบสมการ (1) กับ (2) อีกครั้ง สรุปว่า A = 1 , C = − 3 = −1 .....(2) 2 2 1 3 f(4) = (64) + 0 − (4) + 2 = 28 2 2 f′(x) = 3x2 − 4x + 2x −2 (22) ดังนัน้ f(x) = x3 − 2x2 − 2x−1 + C โดยผ่าน (1, 0) จะได้วา่ 1 − 2 − 2 + C = 0 นั่นคือ C = 3 → f(x) = x3 − 2x2 − 2 + 3 x ตัดกับ x = 2 แสดงว่าค่า y คือ f(2) f(2) = 8 − 8 − 1 + 3 = 2 ตอบ 4 (23) สมมติมีชาย n คน, หญิง n คน → เส้นตรง = n ! n ! × 2 วงกลม = n ! × (n − 1)! วิธีเลือกให้มีชายอย่างน้อย 1 คน คิดจากวิธที ั้งหมด – วิธที ี่ได้หญิงล้วน 5 10 = ⎛⎜ 2 ⎞⎟ − ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 35 ตอบ ⎠ ⎝ ⎠ (24) กรณี 500, → จํานวนวิธี 1 × 11 = 11 กรณี 200, 200 → จํานวนวิธี ⎛⎜ 23 ⎞⎟ = 3 ดังนัน้ ความน่าจะเป็น ⎝ ⎠ 11 + 3 14 = = 66 ⎛ 12 ⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ s ใหม่ = 150 − 52 = 5 5 สัมประสิทธิ์การแปรผัน = s 5 = 5 X ตอบ (26) หาขอบระหว่างชั้นที่ 4 กับ 5 จากการเฉลี่ย 25 + 30 = 27.5 2 ความกว้างชั้นคิดจาก 30 − 25 = 5 ตอบ ดังนัน้ ขอบแต่ละชั้น คือ 27.5, 22.5, 17.5, … ดังตาราง x 8 - 12 13 - 17 18 - 22 23 - 27 28 - 32 CF 8 16 36 40 50 f 8 8 20 4 10 d -2 -1 0 1 2 ⎛ N/2 − ΣfL ⎞ ⎛ 25 − 16 ⎞ Med = L + I ⎜ ⎟ = 17.5 + (5) ⎜ ⎟ fMed ⎝ 20 ⎠ ⎝ ⎠ n!n! × 2 = 10 → 2n = 10 → n = 5 n !(n − 1)! ⎝ 25 = 5 5 = 141 + 32 = 150 ⎛ −16 − 8 + 4 + 20 ⎞ X = a + I D = 20 + (5) ⎜ ⎟ = 20 50 ⎝ ⎠ → (a, b) = (2, 2) ∴ Σxเก่า = (4)(5.5) = 22 → Σx ใหม่ = 22 + 3 = 25 → X ใหม่ = → −A + B − C + D = 3(A + B + C + D) ดังนัน้ ขอสอบเขาฯ ต.ค.44 470 = 19.75 ตอบ (27) m = 0.02, c = 2.7 → Yˆ = 0.02 X + 2.7 ก. Δx = 10 → ΔYˆ = mΔx = (0.02)(10) = 0.2 ข. รู้ y ทํานาย Xˆ ไม่ได้ (ข้อมูลไม่เพียงพอ) ตอบ ก. ถูก ข. ผิด (28) P88.49 → A = 0.3849 ทางขวา → z = 1.2 ∴ x = 62 → 1.2 = x − 50 10 คะแนน ตอบ ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 471 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa ÁÕ.¤.45 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ S = { n ∈ I+ | n < 1000 และ ห.ร.ม.ของ จํานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับเท่าใด n 2. − sin2 1° + sin2 2° − sin2 3° + ... − sin2 89° + sin2 90° 3. x และ 100 เท่ากับ 1} มีค่าเท่ากับเท่าใด log 2x + log3(x − 12) = log 3 [ x ( x +5 − log 3 ที่สอดคล้องกับสมการ (j) x −5)] มีค่าเท่ากับเท่าใด 4. กําหนดให้ Sn = จํานวนเต็มบวก n k−1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ k = 1 ⎝ 10 ⎠ n ∑⎜ ที่ทําให้ และ S − Sn = S = k−1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ k = 1 ⎝ 10 ⎠ ∞ ∑⎜ 1 (10−5) 9 เท่ากับเท่าใด 5. ถ้า a คือจํานวนจริงที่ทําให้พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยโค้ง มีค่าน้อยที่สุด แล้วพื้นที่ที่ได้เท่ากับเท่าใด y = a2x2 + 4ax + 10 จาก x=0 ถึง x=1 6. กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากสีแดงซึ่งเขียนหมายเลข 1, 2, 3 ไว้สลากละหนึ่งหมายเลข รวมกับสลากสี เขียวซึ่งเขียนหมายเลข 1, 2, 3 ไว้สลากละหนึ่งหมายเลขเช่นเดียวกัน ถ้าจับสลากสองใบจากกล่อง โดยจับทีละใบแบบไม่ใส่กลับคืน ความน่าจะเป็นที่จะได้สลากสีเหมือนกัน หรือหมายเลขเดียวกัน เท่ากับเท่าใด 7. จากข้อมูลความสูงของพ่อ และลูก (ซึ่งมีอายุ 10 ปี) กลุ่มหนึ่ง ปรากฏความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน เป็น y = 0.9 x + 54.8 เมื่อ y แทนความสูงของพ่อ และ x แทนความสูงของลูก ปรากฏว่าความ สูงเฉลี่ยของเด็กในกลุ่มนี้เท่ากับ 120 เซนติเมตร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของเด็ก เท่ากับ 8 เซนติเมตร ถ้าเด็กคนหนึ่งในกลุ่มนี้มีค่ามาตรฐานของความสูงเท่ากับ −1.8 แล้ว เรา ประมาณความสูงของพ่อได้เท่ากับกี่เซนติเมตร 8. ตัวแทนจําหน่ายกระติกน้ําร้อนยี่ห้อหนึ่ง ขายกระติกน้ําร้อน 3 ขนาด ในปี 2543 และ 2544 ด้วยราคาดังต่อไปนี้ ขนาดของกระติกน้ําร้อน เล็ก กลาง ใหญ่ ราคา (บาท) 2543 2544 600 660 800 1,000 1,000 a Math E-Book Release 2.2 ราคาสัมพัทธ์ (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1.10 1.25 b คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 472 ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2544 เมื่อเทียบกับ พ.ศ. 2543 เท่ากับ 120 แล้ว ราคาเฉลี่ยของกระติกน้ําร้อนทั้ง 3 ขนาดใน พ.ศ. 2544 เมื่อหาโดยใช้ดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ ค่าเฉลี่ยราคาสัมพัทธ์ เพิ่มขึ้นจากราคาเฉลี่ยของกระติกน้ําร้อนทั้ง 3 ขนาดนี้ใน พ.ศ. 2543 ร้อยละ เท่าใด ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซต U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A, B, C เป็นเซตซึ่งมีเงื่อนไขว่า n(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) = 2 ถ้า A ∪ B ∪ C = U แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ผิด 2. n(A ∪ (B ∩ C)) = 3 1. n(A ∪ B) = 4 4. n(A ∩ B ∩ C) = 1 3. n(A ∩ (B ∪ C)) = 2 2. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3 − x เซต A ∩ B เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้ 1. (−5, −3) 2. (−3, −1) 3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือเซต ประพจน์ ∀x [(x − 1)2 < 1 หรือ 2 4 12 + x − x2 < 0 < 1 3. (1, 3) 4. (3, 5) U = (0, 1) ∪ (2, ∞) (x − 1)2 > 1 ] ข. ถ้า p, q, r เป็นประพจน์ แล้ว ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก แล้ว มีค่าความจริงเป็นจริง p → (q ∧ r) สมมูลกับ (p → q) ∨ (p → r) 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 4. ให้ p, q, r, s เป็นประพจน์ ถ้า [p → (q → r)] ↔ (s ∧ r) มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~ p ∨ s มี ค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก 2. q → r มีค่าความจริงเป็นจริง 1. p → q มีค่าความจริงเป็นจริง 4. s → p มีค่าความจริงเป็นเท็จ 3. r → s มีค่าความจริงเป็นเท็จ 5. กําหนดให้ r1 = {(x, y) | e x + y < 1 } และ r2 = {(x, y) | ln (x −3y +5) > 0 } พื้นที่ของบริเวณที่เป็นกราฟของ r1 ∩ r2 ซึ่งอยู่เหนือแกน x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 2 ตารางหน่วย 1. 1.5 ตารางหน่วย 3. 2.5 ตารางหน่วย 4. 3 ตารางหน่วย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 473 6. กําหนดให้ f, g เป็นเซตของจํานวนเต็ม และให้ ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 เป็นฟังก์ชันจาก I ไป I ⎧x/2 , x เป็นจํานวนคู่ ซึ่งกําหนดโดย f (x) = 2x และ g(x) = ⎪⎨ , x เป็นจํานวนคี่ ⎪⎩x แล้ว g f − f เป็นฟังก์ชันจาก I ไป I ที่มีสมบัติตามข้อใดต่อไปนี้ 1. หนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง 2. หนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึง 3. ทั่วถึงแต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง 4. ไม่หนึ่งต่อหนึ่งและไม่ทั่วถึง I 7. กําหนดให้ f (x) = ถ้า Dfog = [a, b] แล้ว 1. 15 5 − g (x) 4 (a + b) โดยที่ g(x) = 5 + 2x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 20 3. 25 4. 8. กําหนดให้ f, g เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติว่า f −1(g(x)) = x + 2 ทุก x ∈ R พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. f (2x) = g (2 (x −1)) ทุก x ∈ R ข. g−1(f (x)) เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 9. กําหนดให้ 0 < θ < 2π 2 เซตคําตอบของอสมการ cos θ − cos 1. (0, sin θ − 1/2 π) θ < 0 R เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 3 3. (0, π) ∪ (5π , π) 4 30 6 2. (π , 5π) 3 6 4. (π , π) ∪ (3π , 3π) 6 2 4 2 10. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง (h, k) อยู่บนเส้นตรง 2x + 3y = 6 โดยที่ h, k เป็นจํานวนเต็ม ถ้าวงกลมวงนี้มีเส้นตรง 2x − y = 1 และเส้นตรง 2x + y = −3 เป็นเส้นสัมผัสแล้ว ความยาวรัศมีของ วงกลมนี้อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ 1. [2, 4] 2. [4, 5] 3. [5, 6] 4. [6, 7] 11. กําหนดให้ F1 และ F1 เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา x2 + 6x − y2 − 14y − 41 = 0 ถ้า P1 (0, y1) และ P2 (0, y2) เป็นจุดสองจุดที่ทําให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม PFF 1 1 2 และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม 2 2 P2FF มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1 2 ต่างก็เท่ากับ 2 2 ตารางหน่วยแล้ว y 1 − y2 2. 56 3. 84 4. 120 1. 28 12. กําหนดให้ a > 0 เป็นคําตอบของสมการ 4 a − 9 ⋅ 2 a − 1 + 2 = 0 เซตคําตอบของอสมการ 2 loga(x +2) − loga(x −1) < 4 เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้ 2. (−2, 7) 3. (0, 8) 4. (1, 10) 1. (−3, 3) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 13. กําหนดให้ A −1 ⎡(tan 30°)x −1⎤ A = ⎢ ⎥ x ⎢⎣(cot 60°) 2 ⎥⎦ det (A) = 9 และ คือเมตริกซ์ในข้อใดต่อไปนี้ −1/3⎤ 1. ⎡⎢2/9 1/9 1/3 ⎥ ⎣ 3. ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 474 2. ⎦ ⎡1/3 −1/3⎤ ⎢1/9 2/9 ⎥ ⎣ ⎦ 4. ⎡ 2/9 ⎢ −1/9 ⎣ ⎡ 2/9 ⎢ −1/3 ⎣ 1/3⎤ 1/3⎥⎦ 1/9⎤ 1/3⎥⎦ 14. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า x ∈ R ข. กําหนดให้ ⎛ ⎡x x x ⎤ ⎞ det ⎜ ⎢ 1 x x ⎥ ⎟ = −4 แล้ว x < 2 ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎝ ⎣ 1 1 x⎦ ⎠ ⎡ a 2⎤ a, b ∈ R และ A = ⎢ ถ้า A = b adj A ⎥ ⎣2 b 3⎦ และ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก แล้ว a +b > 2 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 15. น้ํามันดีเซล 100 ลิตร ราคาต้นทุนลิตรละ 12 บาท และน้ํามันปาล์ม 120 ลิตร ราคาต้นทุนลิตร ละ 8 บาท ถ้าจะผสมน้ํามันสองชนิดนี้รวมกันให้มีจํานวนไม่น้อยกว่า 150 ลิตร และขายน้ํามันผสมนี้ ในราคาลิตรละ 11 บาท ให้ได้กาํ ไรมากที่สุดแล้ว กําไรที่ได้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 230 บาท 2. 260 บาท 3. 330 บาท 4. 460 บาท 16. กําหนดจุด P (−1, 2) , R (3, 3) , O (0, 0) และ Q เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง PR โดยที่ 1 ˜ OA ตั้งฉากกับ ˜ OQ และ |˜ |PR | ถ้า A (x, y) เป็นจุดในควอดรันต์ที่ 2 ที่ทําให้ ˜ PQ| = 3 |˜ OA| = 5 หน่วยแล้ว x + y เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. −6 10 2. −6 2 3. 6 10 4. 17. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีสมบัติว่า 5|˜ AB| = |˜ BC | + |˜ CA| ถ้า จุดแบ่งครึ่งด้าน BC และ AC ตามลําดับแล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ˜−˜ ˜ = 1 (BC AM ⋅ ˜ BN = 0 ก. MN ข. ˜ AC) 6 2 M และ 2 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 18. กําหนดให้ ω = cos θ + i cos θ เมื่อ ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนมีสมบัติว่า ωz 2 z +z+1 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1. −3 + 2 i และ 2 cos2 θ และอาร์กิวเมนต์ของ cos θ < 0 = 2 −3 − 2 i 3. Math E-Book Release 2.2 = 1 z ω เท่ากับ π แล้ว 3 +2i (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 4. 3−2i N เป็น คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 475 19. กําหนดให้ จํานวนเชิงซ้อน z1, z2 , z3 เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง ถ้า z3 − z1 π + i sin π , z z = 1 + i , z z = 2 + 2 i , z z = 3 + 4 i แล้ว = cos 1 2 2 3 3 1 z2 − z1 3 3 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. z3 − z2 = cos π z1 − z2 3 + i sin π ข. 3 z21 + z22 + z23 = 6 + 7 i ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 20. ถ้า 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด ⎧(x − 4)( x + 2) a ,x > 4 ⎪ x −2 ให้ f (x) = ⎪⎨ โดยที่ a, b เป็นจํานวนจริง 1 ,x = 4 ⎪ ⎪ x2 − b ,x < 4 ⎩ b ⎞ f ต่อเนื่องที่จุด x = 4 แล้ว f ⎛⎜ a + ⎟ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 16 ⎠ ⎝ 1. −16 2. 21. กําหนดให้ f (x) = 3x + 1 ถ้า ′ f′(1) + g(1) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 41 2. 12 22. กําหนดให้ ต่อไปนี้ 1. 0 g(x) = x2 f (x) −14 3. g (f g)(x) = x2 + 1 35 12 ถ้า 2. เป็นฟังก์ชันซึ่ง f′(x) = 2x + 3 11 3. และ 3. 14 4. ทุก 33 4 g′′(1) = 0 13 x ∈ R 4. แล้ว 16 f (4) 4. แล้ว 39 4 มีค่าเท่ากับข้อใด 28 23. กําหนดให้กราฟของ y = f (x) เป็นเส้นโค้งที่อยู่เหนือแกน x และมีความชันของเส้นสัมผัสเส้น โค้งที่จุด (x, y) ใดๆ เท่ากับ 6x + 2 b เมื่อ b เป็นจํานวนจริง ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งนี้จาก x = 0 ถึง x = 2 เท่ากับสองเท่าของพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งนี้จาก x = 0 ถึง x = 1 แล้ว f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ที่จุด x ในข้อใดต่อไปนี้ 2. x = 1 3. x = 0 4. x = −1 1. x = 2 24. กําหนดจุด 10 จุดบนแผ่นกระดาษ มี 4 จุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน นอกนั้นไม่มี 3 จุดใดอยู่บน เส้นตรงเดียวกัน จํานวนรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการลากเส้นตรงเชื่อมจุดที่กําหนดให้ เท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ 1. 80 2. 106 3. 116 4. 120 25. ในการใส่จดหมาย 5 ฉบับที่เขียนถึงคน 5 คน คนละ 1 ฉบับ ลงในซองที่จ่าหน้าไว้แล้ว 5 ซอง ซองละหนึ่งฉบับ ความน่าจะเป็นที่ใส่จดหมายลงในซองได้ตรงกับชื่อหน้าซองไม่เกิน 3 ซอง และไม่ น้อยกว่า 1 ซอง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 75 2. 85 3. 90 4. 96 120 120 Math E-Book Release 2.2 120 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 120 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 476 26. ถ้าตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนวิชาหนึ่งของนักเรียน คะแนน จํานวนนักเรียน 31 – 39 2 40 – 48 3 49 – 57 5 20 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นดังนี้ 58 – 66 4 67 – 75 3 76 – 84 2 85 – 93 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มากกว่าฐานนิยม ข. ค่าการกระจายของคะแนน ที่วัดโดยส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ เท่ากับ 10.5 คะแนน ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 27. ในการชั่งน้ําหนักกระเป๋าเดินทาง 4 ใบ ปรากฏว่าได้น้ําหนักเป็น 15.5, 14.8, 14.5 และ 15.2 กิโลกรัม ถ้าชั่งน้ําหนักของกระเป๋าเดินทาง 4 ใบนี้รวมกับกระเป๋าเดินทางอีกใบหนึ่งได้ค่าเฉลี่ยเลข คณิตของน้ําหนักของกระเป๋า 5 ใบนี้เป็น 16 กิโลกรัม แล้ว ค่ามัธยฐาน และความแปรปรวนของ น้ําหนักของกระเป๋าเดินทางทั้งห้าใบนี้ตามลําดับเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 15 , 4.58 2. 15.2 , 4.58 3. 15 , 4.116 4. 15.2 , 4.116 28. ถ้าความสูงของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีมัธยฐานเท่ากับ 160 เซนติเมตร และมี นักเรียนที่สูงน้อยกว่า 158 เซนติเมตรอยู่ 34.46% สัมประสิทธิ์การแปรผันของความสูงของ นักเรียนห้องนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ z A 1. 1.563% 2. 0.3 0.1179 2.432% 0.4 0.1554 3. 0.5 0.1915 3.125% 4. 4.346% เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 400 (2) 0.5 (3) 13 (4) 6 (5) 7 (6) 0.6 (7) 149.84 (8) 19 ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 1 (3) 2 (4) 1 (5) 2 (6) 1 (7) (ตอบ 180) (8) 1 (9) 4 (10) 3 (11) 2 (12) 4 (13) 4 (14) 1 (15) 3 (16) 2 (17) 2 (18) 2 (19) 4 (20) 2 (21) 1 (22) 3 (23) 2 (24) 3 (25) 1 (26) 1 (27) 4 (28) 3 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) หาจํานวนนับ n < 1,000 ซึ่งหาร 2 ไม่ลงตัว และหาร 5 ไม่ลงตัว ว่ามีเท่าใด หาร 2 ลงตัว มี 500 จํานวน, หาร 5 ลงตัว มี 200 จํานวน, หารทั้ง 2 และ 5 ลงตัว คือหาร 10 ลงตัว มี 100 จํานวน 400 100 100 หาร2 ∴ จะได้ n ที่ตอ ้ งการ = 1,000 − (500 + 200 − 100) = 400 Math E-Book Release 2.2 จํานวน ตอบ (คณิต มงคลพิทักษสุข) หาร5 n คณิตศาสตร O-NET / A-NET (2) − sin2 1° + sin2 2° − … + sin2 44° − sin2 45° 2 ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 477 2 2 2 + sin 46° − … + sin 88° − sin 89° + sin 90° (6) จับทีละใบไม่ใส่คืน วิธที ั้งหมด = 6 × 5 ต้องการวิธที สี่ ีเหมือนหรือเลขเหมือน คิดจาก วิธที ั้งหมด – วิธสี ีตา่ งและเลขต่าง ตอบ 1 − 6 × 2 = 0.6 เปลี่ยน sin 46° เป็น cos 44° เปลี่ยน sin 47° เป็น cos 43° ฯลฯ 6×5 ไปจนถึงเปลี่ยน sin 89° เป็น cos 1° x − 120 2 2 และเนือ่ งจาก sin 1° + cos 1° = 1 (7) zลูก = −1.8 = ลูก 8 และ − sin2 2° − cos2 2° = −1 ก็จะรวมกันเป็นศูนย์ → xลูก = 105.6 ซม. ซึ่งคู่ของ 3° กับ 4° ก็รวมกันได้ศูนย์ พ่อสูง 0.9(105.6) + 54.8 = 149.84 ซม. ตอบ ไปเรื่อยๆ จนถึงคู่ของ 43° กับ 44° ก็เช่นกัน.. 2 2 ดังนัน้ เหลือเพียง − sin 45° + sin 90° (8) 1.20 = 660 + 1,000 + a 600 + 800 + 1,000 1 ตอบ = − + 1 = 0.5 1,200 2 → a = 1,220 บาท → b = = 1.22 1,000 (3) log 2x + log (x − 12) = 2 log [ x( x + 5 − x − 5)] ดัชนี ISR = ⎛⎜ 1.10 + 1.25 + 1.22 ⎞⎟ × 100 = 119 3 3 3 → 2x(x − 12) = [ x( x + 5 − x − 5)]2 → 2x(x − 12) = x(x + 5 − 2 x2 − 25 + x − 5) → 2x(x − 12) = x(2x − 2 x2 − 25) แต่ x ห้ามเป็น 0 เพราะอยู่ใน log จึงสามารถ นํา 2x หารสองข้างได้ กลายเป็น x2 − 25 → x = 13 10 100 1(1 − 0.1n) 10 ∴ Sn = = (1 − 0.1n) 1 − 0.1 9 และ S = S∞ = 1 = 10 1 − 0.1 9 S − Sn = → (x − 4)(x + 3) > 0 B; ∴n = 6 0 3 3 ⎛a x ⎞ = ⎜ + 2ax2 + 10x ⎟ 3 ⎝ ⎠ 1 = 0 a2 + 2a + 10 3 ต้องการค่า a ทีท่ ําให้พนื้ ทีส่ ูงสุด ∴ หาอนุพน ั ธ์ dA = 2a + 2 = 0 3 = 3 − 6 + 10 = 7 B C → A = (−∞, 3) ∪ (4, ∞) −1 < 3 − x < 1 → 2 < x < 4 B = (−4, −2) ∪ (2, 4) ตอบ (5) กราฟนี้ไม่ตดั แกน x (เพราะเมื่อให้ y=0 แล้ว พบว่าไม่มีคาํ ตอบ; B2 − 4AC < 0 ) 1 → พืน ้ ที่เท่ากับ ∫ (a2x2 + 4ax + 10) dx da ข้อที่ผิดจึงเป็น ข้อ 4. ตอบ (2) A; x2 − x − 12 > 0 0 1 2 0 0 1 → (x − 1)(x) < 0 10 10−5 (0.1)n = 9 9 −6 1 → 10(0.1)n = 10−5 → พื้นที่ A A ดังนัน้ A ∩ B = (−4, −3) ตอบ ข้อ 1. (3) ก. จาก (x − 1)2 − 1 < 0 10 ⎛ 10 10 10−5 ⎞ (0.1)n ⎟ = −⎜ − 9 9 9 ⎝9 ⎠ → (0.1) = 10 → 5 = 3 + 3 + 3 − 2 − 2 − 2 + n(A ∩ B ∩ C) ∴ n(A ∩ B ∩ C) = 2 10−5 9 → n แสดงว่า เพิ่มขึ้นร้อยละ 19 ตอบ ตอนที่ 2 (1) n(A ∪ B ∪ C) = n(U) = 5 ตอบ ( x > 0 เสมอ เพราะอยู่ใน log) (4) S = 1 + 1 + 1 + … อนุกรมเรขาคณิต โจทย์บอกว่า ⎠ x2 − 25 x − 12 = x − → 12 = 3 ⎝ → a = −3 ตร.หน่วย ตอบ 2 4 1 1 1 1 → (x − − )(x − + ) < 0 2 2 2 2 และ ได้เป็นช่วง (0, 1) 2 (x − 1) − 1 > 0 → (x − 1 − 1)(x − 1 + 1) > 0 → (x − 2)(x) > 0 ได้เป็นช่วง (−∞, 0) ∪ (2, ∞) ดังนัน้ ∀x [0 < x < 1 หรือ x < 0 หรือ x > 2] ซึ่งพบว่าทุกๆ ค่าใน U ทําให้เป็นจริง ∴ ก. ถูก ข. p → (q ∧ r) ≡ ~ p ∨ (q ∧ r) ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) ข. ผิด ตอบ ข้อ 2. (4) ~ p ∨ s ≡ p → s เป็นเท็จ แสดงว่า p จริง, s เท็จ และจะได้ [T → (q → r)] ↔ (F ∧ r) เป็นจริง แสดงว่า q → r เป็นเท็จ ∴ q จริง, r เท็จ ดังนัน้ ตอบ ข้อ 1. p → q ≡ T → T ≡ T Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (5) r1 ; ex + y < 1 → ex + y < e0 กรณีที่สอง บน > 0 และล่าง < 0 → x+y ln 1 → x − 3y + 5 > 1 1/2 ⎝2 2 เนื่องจากพบว่าแต่ละค่าของ x ให้ผลออกมาแบบเดียว → ไม่ซ้ํากัน และครอบคลุมจํานวนเต็มทั้งหมด ดังนั้น → เป็นฟังก์ชนั หนึ่งต่อหนึง่ และทั่วถึง ตอบ (7) g(x) = 5 + 2x ถ้า 2 ⎠ ⎛ 6 − 2h ⎞ (h, k) = ⎜ h, ⎟ 3 ⎠ ⎝ ⎛ 6 − 2h ⎞ 2h − ⎜ ⎟−1 ⎝ 3 ⎠ = 5 ⎛ 6 − 2h ⎞ 2h + ⎜ ⎟+3 ⎝ 3 ⎠ 5 4 8 h+5 h−3 = 3 3 8 4 h−3 = h+5 → h = 6 3 3 8 และถ้า h − 3 = − 4 h − 5 → h = − 1 3 3 2 5 − 5 + 2x ดังนัน้ (fog)(x) = 5 − 5 + 2 5 + 2x หา Dfog; 5 + 2x > 0 → x > − 5 h ∈ I) 8 (6) − 3 13 169 3 = = = = 5 5 5 (ใช้ไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่า 2 และ 5 + 2 5 + 2x > 0 → จริงเสมอ (เมื่อ 5 + 2x > 0 ) และ 5 − 5 + 2 5 + 2x > 0 ∴ รัศมี 33.8 ตอบ ข้อ 3. (11) จัดรูป 5 + 2 5 + 2x < 5 (x2 + 6x + 9) − (y2 + 14y + 49) = 41 + 9 − 49 → 5 + 2 5 + 2x < 25 5 + 2x < 10 ⎝ 6 (เพราะอยู่บนเส้นตรง 2x + 3y = 6 ) ระยะทางจากจุดนี้ไปยังเส้นตรงทัง้ สอง เท่ากัน 2 ∴ [(gof) − f](x) = x − 2x = −x → 6⎠ ตอบ เป็นสับเซตของข้อ 4. (10) สมมติจุดศูนย์กลางเป็น (6) (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x) ซึ่ง 2x ย่อมเป็นจํานวนคู่เสมอ จึงได้ (2x) (gof)(x) = = x เมื่อ x ∈ I → 1 3π/2 ดังนัน้ ช่วงคําตอบคือ ⎛⎜ π , π ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 5π , 3π ⎞⎟ เขียนกราฟได้ดังนี้ (-1,1) แก้สมการหาจุดตัด ได้ (−1, 1) 0 -4 1 ดังนัน้ พื้นที่ Δ = (4)(1) = 2 ตร.หน่วย ตอบ 5 − g(x) = 5π/6 cos θ 0 sin θ → x − 3y > −4 f(x) = ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 478 → (x + 3)2 − (y + 7)2 = 1 → 5 + 2x < 100 เป็นไฮเพอร์โบลาอ้อมแกน x มีจดุ ศูนย์กลางที่ (−3, −7) และระยะโฟกัส = 1 + 1 = 2 ∴ จุดโฟกัสคือ (−3 ± 2, −7) ทําให้ 4(a + b) = 4 ⎛⎜ 90 ⎞⎟ = 180 (ไม่มีข้อถูก) ตอบ แสดงว่าฐาน Δ ⎝ 2 ⎠ ยาว 2c = 2 2 หน่วย −1 P1(0,-5) (8) จาก f (g(x)) = x + 2 → f(x + 2) = g(x) Δ จะได้ ส ว ่ นสู ง ของ F2 F1 → f(x) = g(x − 2) 1 -7 จาก ⋅ h ⋅ 2 2 = 2 2 ก. f(2x) = g(2x − 2) 2 P2(0,-9) ข. g−1(f(x)) = x − 2 เป็นฟังก์ชนั เพิ่มใน R → h = 2 ตอบ ถูกทั้งสองข้อ y1 กับ y2 คือ −7 ± 2 นัน ่ เอง ดังรูป (cos θ)(cos θ − 1) ตอบ 81 − 25 = 56 (9) แยกตัวประกอบได้ < 0 → x < 95 2 ดังนั้น ⎡ 5 95 ⎤ Dfog = ⎢ − , ⎣ 2 2 ⎥⎦ sin θ − 1/2 กรณีแรก บน < 0 และล่าง > 0 เขียนเส้นจํานวนแล้วหาช่วงในวงกลม cos θ 0 1 π/2 π/6 sin θ 1/2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 22a − (12) 9 a ⋅2 +2 = 0 2 มอง 2a = A 9A + 2 = 0 → 2A2 − 9A + 4 = 0 2 1 หรือ 4 → (2A − 1)(A − 4) = 0 → A = 2 งเวกเตอร์ จะได้ว่า (16) สูตรแบ่ ˜ ˜ 2 OP ˜ OQ = + 1 OR 3 2 ⎡ −1⎤ 1 3 1/ 3 = + ⎡ ⎤ = ⎡⎢7/ 3⎤⎥ ⎣ ⎦ 3 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 3 ⎢⎣3⎥⎦ A2 − ∴ a = −1 หรือ a > 0 ดังนัน ้ a = 2 เท่านั้น 2 log2(x + 2) − log2(x − 1) < log2 16 โจทย์ให้ (x + 2)2 (x2 + 4x + 4) − 16x + 16 → < 16 → < 0 x−1 x−1 x2 − 12x + 20 (x − 10)(x − 2) → < 0 → < 0 x −1 x−1 ได้ช่วง (−∞, 1) ∪ (2, 10) แต่มีเงื่อนไข log ว่า x > −2 และ x > 1 ดังนัน้ x ∈ (2, 10) ตอบ ข้อ 4. (13) A = 9 = 2(tan 30°)x + (cot 60°)x x ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = 2⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 3⎜ ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ (14) ก. ) ( ) ⎤ −2 ⎥ ⎦⎥ → x3 − 2x2 + x + 4 = 0 → (x + 1)(x2 − 3x + 4) = 0 ข. เท่านัน้ 3 −2 adj A = ⎡⎢ −2b a ⎤⎥ ⎣ ⎦ → A = b adj A ∴ จะได้ว่า → b = −1, a = −3 ก. ถูก ⎡ a 2 ⎤ = ⎡ 3b −2b ⎤ ⎢ −2b2 ab ⎥ ⎢⎣2b 3⎥⎦ ⎣ ⎦ ข. ถูก ตอบ ข้อ 1. (15) น้ํามันดีเซล x ลิตร, น้ํามันปาล์ม y ลิตร จะได้สมการจุดประสงค์ P (กําไร) = 11(x + y) − 12x − 8y = 3y − x เงื่อนไขคือ 0 < x < 100, 0 < y < 120 และ x + y > 150 วาดกราฟแล้วพบว่า (100, 120) → P = 260 (100,120) (30,120) (100, 0) → P = 50 ตอบ Pmax = 330 บาท O − 6 2 C ˜ 1 1 N = BC + CA M 2 2 1 = (BC − AC) ถูก B 2 1 ข. AM ⋅ BN = (AC + AB) ⋅ 1 (BA + BC) 2 2 ˜ ˜ ˜ ˜ A ˜ ˜ 1 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ [(AC ⋅ BA) + (AC ⋅ BC) + (AB ⋅ BA) + (AB ⋅ BC)] 4 1 4 2 [bc cos(180°− A) + ab cos C − c + ac cos(180°−B)] 1 [−bc cos A + ab cos C − c2 − ac cos B] 4 a2 +b2 − c2 b2 − a2 − c2 1 a2 −b2 − c2 = [ + − c2 + ] 4 2 2 2 1 = [a2 + b2 − 5c2 ] ≠ 0 ผิด ตอบ ข้อ 2. 8 (18) 2 cos2 θ = 1 → cos θ = − 1 2 1 1 5π → ω = − − i = 1∠ 4 2 2 จาก ωz = ω ⋅ และจาก ∠ z = ∴ (30, 120) → P = 330 ˜ ตอบ = det = −x2 − x2 − x2 + x3 + x2 + x = −4 → x = −1 MN = ˜ MC + ˜ CN (17) ก. จาก ˜ = x ( ⎣ ⎦ 7 1 + j) i + j = − 50 2 2 = x 2 1 1 ⎡ d −b ⎤ 1 ⎡ −2 = ⎢ 1/ 3 A ⎣⎢ −c a ⎦⎥ 9 ⎢⎣ − 1/ 3 1 ⎡ 2 1⎤ 2/9 1/9 ตอบ = = ⎡⎢ −1/ 3 1/ 3⎤⎥ 9 ⎢⎣ −3 3⎥⎦ ⎣ ⎦ O (−7 i ˜ OA = 5 ˜ ˜ ⎛ 1 ⎞ → 9 = 3⎜ ⎟ → x = −2 ⎝ 3⎠ A −1 = R 1 Q 2 A P มีความชัน = 7 แสดงว่าความชัน OA คือ -1/7 −7 ∴˜ OA มีทิศเดียวกับ ⎡ 1 ⎤ แต่ยาว 5 หน่วย ⎢ ⎥ 2 x ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 479 (100,50) ω → ∠z = จะได้ z2 (19) ก. 3π 2 z = 2 → 1⋅ z = 2 → z = 2 ∠z − ∠ω = ดังนั้น π 4 z = 2∠ → ∠z − 3π = −2i 2 + z + 1 = −4 − 2i + 1 = −3 − 2i z3 − z2 = 1− z1 − z2 5π π = 4 4 ตอบ ⎛ z3 − z1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ z2 − z1 ⎠ ⎛1 3 ⎞ 1 3 ้ ก. ผิด = 1 − ⎜⎜ + i⎟ = − i ดังนัน 2 ⎟⎠ 2 2 ⎝2 ข. z21 = z1z2 ⋅ z3z1 = (i + 1)(3 + 4i) = 3 + 2i z2z3 2 + 2i 2 z22 = z23 = z1z2 ⋅ z2z3 (i + 1)(2 + 2i) 16 12 = = + i z1z3 3 + 4i 25 25 z2z3 ⋅ z3z1 (2 + 2i)(3 + 4i) = = 6 + 8i z1z2 1+i จะได้ z21 + z22 + z23 = 407 + 262 i 50 25 ดังนัน้ ข. ผิด ตอบ ข้อ 4. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET lim f(x) = 42 − b = 16 − b และ x → 4− lim+ f(x) = lim+ x→4 x→4 และ f(4) = 1 ( x − 2)( x + 2)2 a = 16a ( x − 2) (26) ก. ลองร่างโค้งความถี่ พบว่าเป็นโค้งเบ้ขวา ∴ X > Mode ก. ถูก หรือ จะคํานวณเอาก็ได้ x = 4 แปลว่าสามค่านีเ้ ท่ากัน 1 ∴ b = 15, a = 16 15 ⎞ ⎛ 1 จะได้ f ⎜ + ⎟ = f(1) = −14 ตอบ ⎝ 16 16 ⎠ ฟังก์ชนั นีต้ ่อเนือ่ งที่ (fog)(x) = (21) x 31 - 39 40 - 48 49 - 57 58 - 66 67 - 75 76 - 84 85 - 93 3(g(x)) + 1 = x2 + 1 (x2 + 1)2 − 1 3 1 3 f′(x) = ⋅ 3 → f′(1) = 4 2 3x + 1 → g(x) = ดังนัน้ และ ตอบ 2(x2 + 1) 4 8 ′ ) = (2) = ⋅ (2x) → g(1 3 3 3 3 8 41 + = 4 3 12 + 3x + C → g′′(x) = 12x + 18x + 2C → g′′(1) = 0 ∴ 12 + 18 + 2C = 0 → C = −15 f(4) = 16 + 12 − 15 = 13 ตอบ f′(x) = 6x + 2b → f(x) = 3x2 + 2bx + C 0 0 X > Mode 4 4 2 1 คะแนน แต่ Mo อยู่ในชัน้ 49-57 ..ดังนัน้ ข. หา Q1 กับ Q3 Q1 อยูต ่ ําแหน่งที่ 1 × 20 = 5 คะแนน (สุดท้ายของชัน้ พอดี) 3 × 20 = 15 Q3 อยู่ตาํ แหน่งที่ ′ → g(x) = 4x3 + 9x2 + 2Cx 2 พื้นที่ ∫ = 2 ∫ ⎛ 15 − 14 ⎞ ∴ Q3 = 66.5 + 9 ⎜ ⎟ = 69.5 คะแนน ⎝ 3 ⎠ จะได้ QD = 69.5 − 48.5 = 10.5 ข. ถูก 2 ตอบ ข้อ 1. (27) 15.5 + 14.8 + 14.5 + 15.2 + x 5 → (x3 + bx2 + Cx) 2 0 = 2 (x3 + bx2 + Cx) → 8 + 4b + 2C = 2(1 + b + C) 1 0 → b = −3 → f(x) = 3x2 − 6x + C f′(x) = 6x − 6 = 0 เมื่อ จึงได้ว่า เป็นจุดต่าํ สุด x = 1 สัมพัทธ์ ตอบ (24) รูปทัง้ หมด - รูปที่ไม่ใช่ Δ 4 10 = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ − ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 120 − 4 = 116 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.5)2 + (1.2)2 + (0.8)2 + (0.5)2 + 42 5 2 = 4.116 กก. ตอบ s2 = รูป ⎝ ⎠ วิธี กรณีทสี่ อง ตรง 2 ซอง เลือกว่าใครตรง ⎛ 5 ⎞ = 10 วิธี และอีก 3 ซองสลับให้ไม่ตรงได้ 2 วิธี ⎜2⎟ ⎝ ⎠ (ไล่เขียนเพื่อนับ) กรณีที่สาม ตรง 1 ซอง เลือกว่า ใครตรง ⎛⎜ 51 ⎞⎟ = 5 วิธี และอีก 4 ซองสลับให้ไม่ตรง 158 − 160 s → z = −0.4 ∴ −0.4 = → s = 5 → s 5 = = 3.125% 160 X ⎝ ⎠ ได้ 9 วิธี (ไล่เขียนเพือ่ นับ) 10 × 1 + 10 × 2 + 5 × 9 ∴ ตอบ = = 16 → x = 20 กก. เรียงข้อมูล; 14.5, 14.8, 15.2, 15.5, 20 → Med = 15.2 กก. ความแปรปรวน (28) Med = X = 160 ที่ x = 158 ซม. จะได้ (25) กรณีแรก ตรง 3 ซอง เลือกว่าใครจะได้ตรง พื้นที่ = 0.5 − 0.3446 5 0.3446 = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 10 วิธี และอีก 2 ซองสลับให้ไม่ตรงได้ 1 = 0.1554 ทางซ้าย 5! CF 2 5 10 14 17 19 20 = 62 − 3.15 = 58.85 ∴ Q1 = 48.5 g(x) = x4 + 3x3 + Cx2 จะได้ (23) d -3 -2 -1 0 1 2 3 ⎛ −6 − 6 − 5 + 3 + 4 + 3 ⎞ X = a + I D = 62 + (9) ⎜ ⎟ 20 ⎝ ⎠ ′ g(x) = (22) f(x) = ∫ (2x + 3) dx = x2 หาค่า C จาก g(x) = x2 ⋅ f(x) f 2 3 5 4 3 2 1 0.1554 (20) ขอสอบเขาฯ มี.ค.45 480 75 120 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ตอบ แน่ๆ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 481 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.45 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ f (x) = 1 3 (k) 36− 4x2 ถ้า A = { x | x ∈ [−3, 3] และ f (x) ∈ {0, 1, 2, 3}} แล้ว จํานวนสมาชิกของเซต A เท่ากับเท่าใด 2. ถ้า a และ b เป็นคําตอบของสมการ sin (2 arcsin และ a ≠ b แล้ว sin arctan(ab) เท่ากับเท่าใด x = 4(2 n ) x) = x 3. กําหนดให้ log8(log4(log2 x)) = 2 4. กําหนดให้ ⎡ 1 0⎤ ⎡4 −2⎤ A = ⎢ ⎥ , I = ⎢0 1 ⎥ 1 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ และ c ⎡ 1 c c⎤ B = ⎢c 1 c ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c c 1⎦ แล้ว 1 det ( B) 2 det (A − c I) = 0 5. ให้ ถ้า b เป็นจํานวนจริง และกําหนดให้ b −2 ถ้า ถ้า ∫ f (x) dx = 12 แล้ว b แล้ว n โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0 มีค่าเท่ากับเท่าใด เป็นจํานวนจริงที่น้อยที่สุดที่ทําให้ เท่ากับเท่าใด 2 ⎪⎧3x + 1 , 0 < x < b f (x) = ⎨ ,x < 0 ⎪⎩ 1 มีค่าเท่ากับเท่าใด 6. ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวเลขทั้ง 7 ตัวในเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} จํานวนวิธีที่เรียงได้เลข 7 หลัก ซึ่งผลบวกของเลขโดดในหลักหน่วยและหลักสิบมีค่าน้อยกว่า 7 เท่ากับเท่าใด 7. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลําดับจากน้อยไปมากคือ a 4 5 6 b ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วน เบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 6 และ 3 ตามลําดับ สัมประสิทธิ์ของพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด 8. ตัวแทนจําหน่ายโทรทัศน์สียี่ห้อหนึ่ง ขายโทรทัศน์สี 3 ขนาด ในรอบปี 2542, 2543 และ 2544 ด้วยราคาดังต่อไปนี้ ขนาดของ โทรทัศน์สี 20 นิว้ 29 นิว้ 34 นิ้ว ราคา (บาท) 2544 2542 9,639 9,000 21,218 20,000 38,885 35,000 ราคาสัมพัทธ์ในการหาดัชนีราคา ปี 2543 เมื่อใช้ปี 2542 เป็นปีฐาน 1.02 1.03 1.10 ดัชนีราคาโทรทัศน์สีทั้ง 3 ขนาด อย่างง่ายแบบใช้ค่าเฉลี่ยราคาสัมพัทธ์ของ พ.ศ. 2544 เมื่อใช้ พ.ศ. 2543 เป็นปีฐานเท่ากับเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 482 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. สําหรับเซต X ใดๆ ให้ P (X) แทนเพาเวอร์เซตของ X และ n(X) แทนจํานวนสมาชิกของ ถ้า A และ B เป็นเซตซึ่ง n(P (A ∩B)) = 4 และ n((A ∩B) × (A ∪B)) = 12 แล้ว n(P (A ∪B) − P ((A −B) ∪ (B− A))) เท่ากับข้อใด 2. 32 3. 48 4. 56 1. 16 2. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ ก. S = (−1, 0] ∪ (1, ∞) ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 3x − 2 > 2 x −1 ข. X พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ∃x [x ∈ S ∧ (x + 2) ∉ S] 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 3. กําหนดให้ a , b เป็นจํานวนเต็ม ซึ่ง a เป็น ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให้ q1 , q2 เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ 216 = b q1 + 106 , b = 106 q2 + 4 ถ้า f (x) = x3 + ax2 + bx − 36 แล้ว เมื่อหาร f (x) ด้วย x − a ได้เศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 200 3. 236 4. 272 1. 192 4. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า p , q เป็นประพจน์ โดยที่ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~ q → (~ p ∨ q) เป็นสัจนิรันดร์ แล้ว q มีค่าความจริงเป็นจริง ข. นิเสธของข้อความ ∃x [(~ P (x)) ∧ Q (x) ∧ (~ R (x))] คือข้อความ ∀x [Q (x) → (P (x) ∨ R (x))] ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 5. กําหนดให้ P (x) และ Q (x) เป็นประโยคเปิด โดยที่ ∀x [P (x)] → ∃x [~ Q (x)] มีค่าความจริง เป็นเท็จ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจํานวนจริง ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง 1. ∃x [P (x) ∧ ~ Q (x)] 2. ∃x [~ P (x) ∨ ~ Q (x)] 4. ∀x [P (x) → Q (x)] 3. ∀x [P (x) → ~ Q (x)] 6. กําหนดให้ k เป็นค่าคงตัว และ r = {(x, y) ∈ R+ × R+ | x + k x = y + k y } พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า k = 1 แล้ว r เป็นฟังก์ชัน ข. ถ้า k = −1 แล้ว r เป็นฟังก์ชัน ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 7. กําหนดให้ ถ้า k , x < −1 ⎧ 2 ⎪ 2 f (x) = ⎨(x − 1) , −1 < x < 2 ⎪ ⎩ x+1 ,x > 2 เป็นจํานวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ทําให้ 2. 6 1. 5 8. กําหนดให้ f (x) = ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 483 x เมื่อ x > 0 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. g D f −1 เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก และ g(k) > 5 และ g(x) = f (x) + 2 แล้ว (g D f)(k) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 7 4. 8 ,0 < x < 1 ⎧ x g(x) = ⎨ + x 1 , 1< x ⎩ Rf ข. f D g−1 เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน Rg 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 9. นายดํายืนอยู่บนสนามแห่งหนึ่ง มองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 60° แต่เมื่อเขาเดินตรงเข้าไปหา เสาธงอีก 20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 75° ในขณะที่เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุม เงย 60° นั้น เขายืนอยู่ห่างจากเสาธงเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 10 (2 + 3 3) เมตร 2. 10 (2 + 1 3) เมตร 2 3. 10 (2 + 2 2 3) เมตร 4. 10 (2 + 10. ถ้าไฮเพอร์โบลา H มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงรี ยอดอยู่ที่จุดโฟกัสทั้งสองจุดของวงรีนี้ และผ่านจุด (5, 5) แล้ว จุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา H คือจุดในข้อใดต่อไปนี้ 1. (1 − 7 , 2) และ (1 + 7 , 2) 2. (1 − 3. 11 9 (1 − , 2) 11 11. กําหนดให้ f1(x) = − และ x 3 + 2 2 11 9 (1 + , 2) 11 เมื่อ x < 1 4. และ 3) เมตร 4x2 + 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0 8 , 2) 11 10 (1 − , 2) 11 f2(x) = 3x − 2 เมื่อ ถ้า P (a, b) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว 7/ 5 หน่วย และสัมผัสกราฟของ f1 และ f2 แล้ว a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 2 2 3. 6− 2 1. −2 2 และ และ 8 , 2) 11 10 (1 + , 2) 11 (1 + x > 1 4. 6+ 2 12. ให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ log16 x + log4 x + log2 x < 7 และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3 4x − 3 − 26 (3 2x − 3) > 1 แล้ว A − B คือช่วงในข้อใดต่อไปนี้ 1. (0, 3) 2. [ 3 , 16) 3. (0, 3] 4. [3, 16) 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) จุด คณิตศาสตร O-NET / A-NET 13. ถ้า และ A เป็นเมตริกซ์ซึ่ง det (2 adj A) = 1/18 1. ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 484 ⎡1 2 0⎤ A −1 = ⎢ 3 1 −1 ⎥ , x > 0 ⎢ ⎥ ⎣ x 0 −2⎦ แล้ว x 0 อสมการข้อจํากัดคือ 2x + y < 1000 , x + 3y < 900 , x > 0 และ ถ้าค่าสูงสุดของ P คือ 33, 000 แล้ว a เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้ 1. 10 < a < 20 2. 20 < a < 30 3. 30 < a < 40 4. x > 13 4. 40 < a < 50 4. 5 2 2 y > 0 ˜ BC | = 1 , |CA| = 2 15. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ |˜ ˜ ˜ + 2˜ ถ้า u = 1 (CA CB) , θ เป็นมุมระหว่าง u และ CB 3 และ l = 1 cos BCA 4 1. แล้ว cos θ 5 4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 5 2 3. 5 4 2 ˜ ˜ AB| = c , |BC | = a , |CA| = b 16. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ |˜ AB ⋅ ˜ BC + ˜ BC ⋅ ˜ CA + ˜ CA ⋅ ˜ AB เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ ถ้า a2 + b2 + c2 = 13 แล้ว ˜ 1. 13 2 2. − 13 2 3. 13 3 เป็นจํานวนเชิงซ้อน ซึ่งมีสมบัติว่า z1 = z2 = z1 + z2 + z3 = 0 และให้ Re (z) แทนส่วนจริงของจํานวนเชิงซ้อน z พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. Re (z1z2) = 1 ข. z1 − z2 = 3 17. กําหนดให้ − 13 3 z3 = 1 และ 4. z1 , z2 , z3 2 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 18. กําหนดให้ z เป็นจํานวนเชิงซ้อน ถ้า คือจํานวนในข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 2(− 3 − i), 2 2( 3 + i) 3. 2 2(− 3 + i), 2 2( 3 − i) 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด −1 + 3 i เป็นรากที่ 2. 4. Math E-Book Release 2.2 5 ของ z แล้ว รากที่ 2 2(−1− 3 i), 2 2(1+ 3 i) 2 2(−1+ 3 i), 2 2(1− 3 i) (คณิต มงคลพิทักษสุข) 2 ของ z คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 485 19. กําหนดให้ log x , log (x +2) , log (x + 16) เป็นสามพจน์แรกที่เรียงกันของลําดับเลขคณิต ถ้า a10 เป็นพจน์ที่ 10 และ S10 เป็นผลบวก 10 พจน์แรกของลําดับนี้แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. a10 = 9 log 5 − 8 log 3 , S10 = 5 [9 log 5 − 7 log 3] 2. a10 = 9 log 5 − 8 log 3 , S10 = 5 [9 log 7 − 2 log 3] 3. a10 = 9 log 7 − log 3 , S10 = 5 [9 log 5 − 7 log 3] 4. a10 = 9 log 7 − log 3 , S10 = 5 [9 log 7 − 2 log 3] a > 0, 20. กําหนดให้ ถ้า lim (f D g)( x) − x→a+ 1. ⎧ x ⎪⎪ x +2 f (x) = ⎨ ⎪ x+1 ⎪⎩ x ,x < a ,x > a lim (g D f)(x) = x→a− 2. 1 และ 11 a (a + 2) 3 g(x) = x2 a แล้ว 3. มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 5 4. 21. กําหนดให้ f (x) = x2 − 6x + c โดยที่ c เป็นจํานวนจริง ถ้า a และ f (x) = 0 และ 3a + 2b = 20 แล้ว f′(c) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −26 3. 26 1. −38 f (x) = x2 − 2 x 22. กําหนดให้ (g D f)′ (−3) + (f D g)′ (3) 1. −132 f′′(x) = ax 23. กําหนดให้ f ที่จุด (1, 4) 1. และ g(x) = เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −84 และ 22 4 เมื่อ f (0) = 8 a แล้ว 2. b 9 เป็นรากของสมการ 4. 38 4. 132 x2 + 1 3. 84 เป็นค่าคงตัว ถ้าเส้นตรง 2x + y − 6 = 0 สัมผัสกับกราฟของ 1 0 ∫ f (x) dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 23 4 3. 42 4 4. 43 4 24. ถุงใบหนึ่งมีลูกกวาดขนาดเดียวกัน เป็นสีแดง 24 เม็ด ที่เหลือเป็นลูกกวาดสีขาวและลูกกวาดสี เขียว ถ้าสุ่มหยิบลูกกวาดขึ้นมา 1 เม็ด ความน่าจะเป็นที่ได้ลูกกวาดสีขาวหรือสีเขียวเท่ากับ 5/6 และความน่าจะเป็นที่ได้ลูกกวาดสีเขียวหรือสีแดงเท่ากับ 3/4 แล้ว จํานวนลูกกวาดสีเขียวเท่ากับข้อ ใดต่อไปนี้ 1. 36 2. 60 3. 72 4. 84 25. ชมรมกีฬาของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 80 คน สมาชิกทุกคนต้องเล่นกีฬาอย่างน้อย หนึ่งอย่าง และมีสมาชิกเป็นนักฟุตบอล 49 คน นักบาสเกตบอล 40 คน นักเทนนิส 33 คน นักกีฬาทั้งสามอย่าง 5 คน นักเทนนิสอย่างเดียว 10 คน นักบาสเกตบอลอย่างเดียว 13 คน นัก บาสเกตบอลและนักเทนนิส 13 คน ความน่าจะเป็นในการเลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ ของชมรมตําแหน่งละ 1 คน จากสมาชิกทั้งหมด โดยที่ประธานต้องเป็นนักกีฬาทั้งสามอย่าง และรอง ประธานจะต้องเป็นนักกีฬาอย่างน้อย 2 อย่าง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 11 3. 15 4. 23 1. 9 316 316 Math E-Book Release 2.2 632 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 632 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 486 26. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างต้นทุนการผลิตสินค้าต่อหน่วย ( y ) (หน่วยเป็นบาท) กับ จํานวนสินค้าที่ผลิตได้ในแต่ละวัน ( x ) (หน่วยเป็นชิ้น) ของโรงงานแห่งหนึ่งที่ได้จากการเก็บข้อมูล ตั้งแต่วันที่ 1 – 30 กันยายน 2545 อยู่ในรูปสมการ y = 8 − 0.5 x ถ้าจํานวนสินค้าที่โรงงานแห่งนี้ผลิตได้ในวันที่ 1 – 4 ตุลาคม 2545 เป็น 4, 2, 8, 10 ชิ้น ตามลําดับ แล้ว ความแปรปรวนของต้นทุนการผลิตสินค้าต่อหน่วยที่ทํานายได้ในช่วงเวลาดังกล่าว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2.5 2. 10 3. 17.5 4. 22.5 27. ถ้าน้ําหนักของนักเรียนชั้นอนุบาลในโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่ามัธยฐานเป็น สามเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ 55.57 เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนกลุ่มนี้มีน้ําหนักน้อยกว่า 15.7 กิโลกรัม แล้ว เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนกลุ่มนี้ที่มีน้ําหนักอยู่ระหว่าง 13 กิโลกรัม ถึง 18 กิโลกรัม เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง z z พื้นที่ 1. 30.51% 0.13 0.0517 0.14 0.0557 2. 33.73% 0.2 0.0793 0.4 0.1554 3. 0.6 0.2258 38.12% 0.7 0.2580 4. 41.34% 28. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งมีคะแนนเต็ม 70 คะแนน มีสัมประสิทธิ์ ของการแปรผันของคะแนนเท่ากับ 2/7 ถ้านายบัณฑิตสอบได้ 65 คะแนน ซึ่งคิดเป็นคะแนน มาตรฐานเท่ากับ 3 และนางสาวบังอรสอบได้คะแนนซึ่งคิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.9 แล้ว นางสาวบังอรสอบได้คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 52 คะแนน 3. 54 คะแนน 4. 56 คะแนน 1. 50 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 487 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 5 (2) 0.6 (3) 127 (4) 0.625 102.14 ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 2 (3) 2 (4) 1 (5) 4 (10) 4 (11) 3 (12) 1 (13) 3 (14) 2 (15) 4 (20) 2 (21) 1 (22) 3 (23) 2 (24) 4 (5) 2 (6) 1440 (7) 0.8 (8) (6) 2 (7) 3 (8) 1 (9) 4 4 (16) 2 (17) 3 (18) 4 (19) (25) 1 (26) 1 (27) 3 (28) 3 เฉลยวิธีคิด 4 − c −2 A − cI = ⎡⎢ 1 1− c ⎤⎥ ⎣ ⎦ → A − cI = (4 − c)(1 − c) + 2 = 0 ตอนที่ 1 (1) y = (4) 1 36 − 4x2 → 3y = 36 − 4x2 3 → 9y2 = 36 − 4x2 → 4x2 + 9y2 = 36 → 2 2 x y + = 1 9 4 จะได้ → (c − 3)(c − 2) = 0 → c 2 1 0 โดยที่ y > 0 -3 3 (เป็นรูปครึ่งวงรี) จากกราฟพบว่า ถ้า y ∈ {0, 1, 2, 3} จะมี x อยู่ 5 ตัว ตอบ (2) ให้ A = arcsin x จะได้วา่ sin A = x, 1 − x2 cos A = ดังนัน้ จากโจทย์ → sin(2A) = x → 2x 1 − x2 = x → 2 sin A cos A = x → x (2 1 − x2 − 1) = 0 จะได้ x = 0 หรือ 1 − x2 = 2 1− x ว่าคําตอบไม่ใช่ 0 ดังนั้น 1 − x2 = 1 4 → x2 = 1 → 2 3 4 หา 122 1 ⎛ 1⎞ B = ⎜ ⎟ 2 12 2 ⎝2⎠ 2 2 1 3 5 ⎛ 1⎞ = ⎜ ⎟ (−4 − 4 − 4 + 1 + 8 + 8) = = 0.625 8 ⎝2⎠ ตอบ [หมายเหตุ ข้อนีค้ ําตอบเป็นทศนิยมเกิน 2 ตําแหน่ง, จะตอบ 0.62 หรือ 0.63 ก็ได้ เนื่องจากในการ ตรวจข้อสอบ ยินยอมให้ทศนิยมตําแหน่งที่สอง คลาดเคลื่อนได้ ±1 อยู่แล้ว] (5) 1 -2 3 2 พื้นที่ขวา (ตัวหนึ่งเป็น a และอีกตัวเป็น b คูณกันได้ -3/4) ให้หาค่า sin ⎛⎜ arctan ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ ⎞⎟ ที่นอ้ ยที่สดุ คือ 2 3 แต่โจทย์บอก 1 = 2 → x = ± 4 − 5c + c2 + 2 = 0 พื้นที่ซา้ ย 0 = b 2 + 1) dx = (x3 + x) b 0 ⎝ ∴ b3 + b + 2 = 12 → b3 + b = 10 4 ⎠⎠ 128 =2 = b3 + b → b = 2 ตอบ (6) เลือกเลขหลักหน่วยและสิบ ได้ดังนี้ ถ้า ย่อมได้ว่า sin = 3 = 0.6 ตอบ 1, 4 1, 5 2, 3 2, 4 รวม 6 กรณี 5 แต่ละกรณีสลับได้ 5 ! × 2 ! แบบ (3) log4(log2 x) = 82 = 64 ตอบ 6 × 5 ! × 2 ! = 1,440 วิธี → log2 x = 464 = 2128 → x = 2(2 ) = 4(2 ) (7) X = 6 = a + 4 + 5 + 6 + b ∴ n = 127 ตอบ ⎝ 3 tan = − 4 , b ∫ (3x 0 = 1, 2 1, 3 127 5 → a + b = 15 .....(1) (6 − a) + 2 + 1 + 0 + (b − 6) MD = 3 = 5 → b − a = 12 .....(2) สัมประสิทธิ์ของพิสัย = b − a b+a Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) = 12 = 0.8 15 ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 488 ส่วนค่า b ได้จากการพิจารณาสมการที่ (1) คือ bq1 = 216 − 106 = 110 โดย q1 เป็นจํานวน 9,000 นับ และ b > 106 (ตัวหารต้องมากกว่าเศษ) y = 1.03 → y = 20,600 บาท ∴ b = 110 เท่านัน ้ (q1 = 1) 20,000 (ไม่สามารถเป็น 55 × 2 ได้ เพราะ 55 < 106 ) z = 1.10 → z = 38,500 บาท 35,000 ∴ f(x) = x3 + 2x2 + 110x − 36 หารด้วย x − 2 ∴ ISR ปี 2544 เทียบ 2543 ได้เศษ = f(2) = 8 + 8 + 220 − 36 = 200 ตอบ 9,639 21,218 38,885 100 ⎛ ⎞ (4) ก. p เป็นจริง และ ~ q → (F ∨ q) เป็นจริง = ⎜ + + ⎟× 3 ⎝ 9,180 20,600 38,500 ⎠ แสดงว่า ~ q → q เป็นจริง 100 = (1.05 + 1.03 + 1.01) × = 103 ตอบ ∴ q เป็นจริงเท่านัน ้ ก. ถูก 3 ข. นิเสธคือ ∀x ⎡⎣P(x) ∨ ~ Q(x) ∨ R(x)⎤⎦ ตอนที่ 2 2 (1) n(P(A ∩ B)) = 4 = 2 แสดงว่า ≡ ∀x ⎡⎣Q(x) → (P(x) ∨ R(x))⎤⎦ ข. ถูก ตอบ ข้อ 1. n(A ∩ B) = 2 (5) ∀x [P(x)] → ∃x [~ Q(x)] เป็นเท็จ จาก n((A ∩ B) × (A ∪ B)) = 12 = 2 × 6 แสดงว่า ∀x [P(x)] เป็นจริง แสดงว่า n(A ∪ B) = 6 และ ∃x [~ Q(x)] เป็นเท็จ (คือ ∀x [Q(x)] จริงด้วย) ดังนัน้ n[(A − B) ∪ (B − A)] พิจารณาว่าตัวเลือกในข้อใดเป็นจริง = 6−2 = 4 โดยยึดในใจว่า ∀x [P(x)] จริง, ∀x [Q(x)] จริง โจทย์ถาม n[P(A ∪ B) − P((A − B) ∪ (B − A))] 1. มีบาง x ซึ่ง P จริง และ Q เท็จ ...ไม่ใช่ เนื่องจาก (A − B) ∪ (B − A) เป็นสับเซตของ 2. มีบาง x ซึ่ง P เท็จ หรือ Q เท็จ ...ก็ไม่ใช่ A ∪ B เพาเวอร์เซตจึงเป็นสับเซตของกันด้วย 3. ทุกๆ x ถ้า P จริง แล้ว Q เท็จ ...ไม่ใช่ สามารถลบจํานวนได้เลยดังนี้ 26 − 24 = 48 ตอบ 4. ทุกๆ x ถ้า P จริง แล้ว Q จริง ...ใช่ ตอบ ข้อ 4. (2) แยกช่วงย่อยคิด (6) ก. x + x = y + y กรณีแรก ถ้า x < 0 จะได้สมการกลายเป็น → y + y − (x + x) = 0 (8) หาราคา ปี 2543 โดยใช้ข้อมูลช่องขวาที่ให้มา x = 1.02 → x = 9,180 บาท 3x − 2 3x − 2 >2 → 0 x−1 x−1 → x >0 x−1 นั่นคือ (−∞, 0] ∪ (1, ∞) → y = −1 ± 1 + 4(x + 2 x) 4x + 4 x + 1 2 −1 ± (2 x + 1) = = x หรือ −1 − 2 ∴ แต่ y = −1 ± y = −1 − ∴ y = x x ไม่ได้ เพราะติดลบ เท่านัน้ จึงเป็นฟังก์ชนั x− x = y− y → y− y − (x − x) = 0 ข. x 1 ± 1 + 4(x − x) อินเตอร์เซคกับเงือ่ นไข เหลือแค่ {0} ∪ (1, ∞) → y = 2 ดังนัน้ ก. S = ( −1, 0] ∪ (1, ∞) ถูก ข. มีบาง x ซึ่ง x ∈ S และ (x + 2) ∉ S ไม่จริง ∴ y = 1 ± 4x −2 4 x + 1 เพราะ S ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้นไม่ว่า x เป็นจํานวน 1 ± (2 x − 1) = x หรือ 1 − x เท่าใด (x + 2) ย่อม ∈ S เสมอ ผิด ตอบ ข้อ 2. = 2 (3) การหา ห.ร.ม. ด้วยวิธขี องยุคลิด ซึ่งเป็นไปได้ทั้ง 2 อย่าง จึงไม่เป็นฟังก์ชัน จาก 216 = b q1 + 106 .....(1) (เช่น ถ้า x=1 จะได้ y=1 ก็ได้, y=0 ก็ได้) ตอบ ข้อ 2. และ b = 106 q2 + 4 .....(2) ทําต่อไป 106 = 4(26) + 2 และ 4 = 2 (2) ดังนัน้ ห.ร.ม. a = 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (7) จาก และ g(k) > 5 → f(k) + 2 > 5 → f(k) > 3 , k < −1 ⎧⎪ 2 f(k) = ⎨ (k − 1)2 , −1 < k < 2 ⎪⎩ k + 1 , k > 2 ⎧ x2 ; 0 < x2 < 1 ∴ gof −1(x) = ⎨ 2 2 ⎩ x + 1; x > 1 เป็นฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง [0, ∞ ) จริง ข. g−1(x) = ⎧⎨ x x− 1;; 0 xx 2< 1 (เงื่อนไขมาจาก Rg ) ⎩ 2 ⎧ x ;0< x < 1 ∴ fog−1(x) = ⎨ 2 ⎩(x − 1) ; x > 2 เป็นฟังก์ชนั เพิ่มในช่วง [0, 1) ∪ [2, ∞ ) จริง ∴ ตอบ ก. ถูก และ ข. ถูก (9) h = a tan 75° .....(1) h = (20 + a) tan 60° .....(2) 60° 20 หาค่า tan 75° จาก ∴a = 75° h a 3 +1 = 2+ 3 −1 3 = 10 (2 + 3) (x − 1)2 (y − 2)2 + = 1 9 4 จุดศูนย์กลาง (1, 2) รีตามแกน x ระยะโฟกัส c = 9 − 4 = 5 จุดโฟกัสคือ 5 → 10 ⎛ ⎞ , 2⎟ ⎜1 ± 11 ⎠ ⎝ ตอบ (11) ระยะทางจากจุดศูนย์กลาง เส้นตรงทั้งสอง = 7 P(a, b) ไปยัง 5 P จากการวาดกราฟคร่าวๆ f2 f 1 พบว่าวิธหี าจุด (a, b) อย่างง่ายคือ ขยับเส้นตรง f1 และ f2 ขึน ้ ไปจากเดิม 1 7 หน่วย แล้วจึงแก้ระบบสมการเพือ่ หาจุดตัดกัน 5 x 3 + → 2y + x − 3 = 0 2 2 −3 − C ใหม่ 7 ∴ = → C ใหม่ = −10 5 5 f1; y = − f1 ใหม่ คือ 2y + x − 10 = 0 ∴ 2 − C ใหม่ 7 = → C ใหม่ = 2 − 7 2 5 10 ดังนัน้ f2 ใหม่ คือ y − 3x + 2 − 7 2 = 0 แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้ x = 2 − 2 2, y = 4 + 2 → ตอบ 6 − 2 (12) A; 1 log2 x + 1 log2 x + log2 x < log2 (27) 4 3 2 7 → log2 x < log2 (27) 4 1 → x4 < 2 7 → x 4 < 27 → x < 16 แต่มีเงื่อนไข log จึงได้เพียง 0 < B; นํา 33 = 27 คูณทั้งสองข้าง เมตร 4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 − 4y + 4) = −4 + 4 + 36 → a = 2 f2; y = 3x − 2 → y − 3x + 2 = 0 20( 3) = 10 3 (2 + 3) − 3 ตอบ 20 + 10 (10) วงรี; อ้อมแกน x (x − 1) (y − 2)2 − = 1 5 b2 ผ่านจุด (5, 5) จะได้วา่ 16 − 92 = 1 5 b 45 45 10 2 b = = → ดังนั้น c = 5 + 11 11 11 ดังนัน้ 20 tan 60° a = tan 75° − tan 60° 1 1+ 3 = tan(45° + 30°) = 1 1− 3 ∴ ไฮเพอร์โบลามีจด ุ ศูนย์กลาง (1, 2) และค่า ลองแทนค่าจํานวนเต็ม k ไล่ไปเรือ่ ยๆ กรณีบน f(k)=2 เสมอ ไม่มากกว่า 3 อยู่แล้ว กรณีกลาง ถ้า k = 0 ได้ f(0) = 1 , ถ้า k = 1 ได้ f(1) = 0 แสดงว่าไม่มี k ที่ใช้ได้เลย กรณีล่าง ถ้า k = 2 ได้ f(2) = 3 , ถ้า k = 3 ได้ f(3) = 4 ∴ จํานวนเต็ม k ที่นอ ้ ยทีส่ ุดทีท่ ําให้ f(k)>3 คือ 3 (gof)(3) = g(4) = f(4) + 2 = 7 ตอบ (8) ก. f −1(x) = x2 เมื่อ x > 0 แก้ระบบสมการ จะได้ ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 489 x < 16 เท่านั้น → 34x − 26 ⋅ 32x > 27 [มอง 2 32x = A ] จะได้วา่ A − 26A − 27 > 0 → (A − 27)(A + 1) > 0 นั่นคือ A < −1 หรือ A > 27 แต่ 32x < −1 ไม่ได้ ∴ 32x > 27 → 2x > 3 x > 3/2 ตอบ A − B = (0, 3) Math E-Book Release 2.2 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 490 (13) [พิสูจน์ จาก adjA = A ⋅ A−1 จะได้ adjA = A n ⋅ A −1 = A n − 1 ] ดังนัน้ 2adjA = 23 adjA = 8 A 2 หา A จากในโจทย์ก่อน โจทย์ถาม ˜ AB ⋅ ˜ BC + ˜ BC ⋅ ˜ CA + ˜ CA ⋅ ˜ AB = ca cos(180°− B) + ab cos(180°− C) + bc cos(180°− A) = −ca cos B − ab cos C − bc cos A จาก a2 จะได้วา่ A −1 = 12 − 2 − 2x = 10 − 2x 1 ∴ A = → 10 − 2x 8 1 → = 18 (10 − 2x)2 → x = 11 จะได้ว่า 8 A 2 สมมติวา่ จุด แทนค่า → (10 − 2x)2 = 144 ทําให้เกิด ได้ P = 23,913 (0, 300) ได้ P = 21,519 แสดงว่าจุดที่เลือก เกิด Pmax จริงๆ ∴ ตอบ ข้อ 2. A (15) นํา u มาดอท กับ ˜ CB จะได้มุม θ B u จาก 2 arccos 1/4 C ˜ ˜ ˜ |˜ CB | = 1 (16) ˜ ˜ ˜ B A C b ดังนัน้ z1 − z2 1 2 เสมอ = ⎣⎡cos θ − cos(θ+ 120°)⎦⎤ − i ⎣⎡sin θ − sin(θ+ 120°)⎦⎤ 3 3 3 3 = ( cos θ + sin θ) + i ( sin θ − cos θ) 2 2 2 2 3 ⎡( 3 cos θ + sin θ) + i ( 3 sin θ − cos θ)⎤⎦ = 2 ⎣ ∴ z1 − z2 = 3 2 3 cos2 θ + sin2 θ + 3 sin2 θ + cos2 θ (พจน์กลางคือ 3 2 2 3 sin θ cos θ 4 cos2 θ + 4 sin2 θ หักล้างกันแล้ว) 3 = ตอบ ข้อ ก. ผิด, ข.ถูก หมายเหตุ ข้อ ข. อาจพิสจู น์แบบเวกเตอร์ z1 − z2 = 12 + 12 − 2(1)(1) cos(120°) = z = (−1 + (18) 5 3 5 3 i) = (2∠120°) = 32∠600° = 32∠240° รากที่สองของ z ได้แก่ 32∠120° กับ 32∠(120°+ 180°) a c 13 2 − ∴ Re(z1z2) = 1 cos(−120°) = u = ลงไป จะได้ = (cos θ + i sin θ) − (cos(θ+ 120°) + i sin(θ+ 120°)) 1 | CA + 2 CB | 3 1 10 = 22 + 22 + 2(2)(2) ( 1/ 4 ) = 3 3 5 10 5 ตอบ ∴ cos θ = ÷ = 6 3 2 2 หาขนาด 13 13 z1z2 = 1∠(θ + (−θ− 120°)) = 1∠(−120°) ข. 1 ˜˜ 6 a +b +c = = cos 120° = − 1 u ⋅ CB = [CA ⋅ CB + 2| CB |2 ] 3 1 1 u | CB | cos θ = [| CA || CB | ( ) + 2| CB |2 ] 3 4 CA | = 2, แทนค่า |˜ จะได้ u cos θ = 5 2 z2 = 1∠(−θ− 120°) ก. ลองแทนค่าจุดอื่นหา P ดูก่อน ˜ 2 z2 = 1∠(θ+ 120°), z3 = 1∠(θ− 120°) Pmax (500, 0) ˜ Δ (17) เนื่องจากขนาด z1 , z2 , z3 เป็น 1 และรวมกันเป็น 0 แสดงว่า z1 , z2 , z3 อยู่บน วงกลมหนึง่ หน่วย และห่างเป็นระยะเท่าๆ กัน คือห่างกัน 120° ดังนัน้ ถ้าให้ z1 = 1∠θ จะได้ 500 a ≈ 23.91 2 ดังนัน้ ตอบ ∴ 33,000 = 2a (420) + 3a (180) ได้ ใช้กฎของ cos ใน −2 bc cos A − 2 ac cos B − 2 bc cos A = − 13 (420,180) (420, 180) 13 + (a2 + b2 − 2ab cos C) = ตอบ ข้อ 3. O + b2 + c2 = (b2 + c2 − 2bc cos A) + (a2 + c2 − 2ac cos B) 1 = 18 (14) 300 ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 นั่นคือ ตอบ 32 (− 2 2(−1 + Math E-Book Release 2.2 1 3 + i) 2 2 3i) และ กับ 1 3 32 ( − i) 2 2 2 2(1 − (คณิต มงคลพิทักษสุข) 3i) ก็ได้ คณิตศาสตร O-NET / A-NET (19) → log(x + 2) − log x = log(x + 16) − log(x + 2) x +2 x + 16 = x x +2 → x = → x2 + 4x + 4 = x2 + 16x 1 3 1 7 1 ∴ a1 = log( ) และ d = log( ) − log( ) = log(7) 3 3 3 1 → a10 = log( ) + 9 log(7) = 9 log 7 − log 3 3 และ S10 = 10 (log( 1) + (9 log 7 − log 3)) 2 3 = 5 (9 log 7 − 2 log 3) ตอบ ข้อ 4. a+1 (fog)( x) = lim+ f(x) = (20) xlim → a+ x→a a 2 x ⎞ = ⎛ a ⎞ lim−(gof)(x) = lim− g ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x→a x→a ⎝ x + 2⎠ ⎝a + 2⎠ a+1 a 11 จะได้ − = a a+2 a(a + 2) → (a + 1)(a + 2) − a2 = 11 → 3a + 2 = 11 → a = 3 (21) x − 6x + c = (x − a)(x − b) แสดงว่า a + b = 6 .....(1) จากโจทย์บอกเพิม่ ว่า 3a + 2b = 20 .....(2) แก้ระบบสมการได้ a = 8 , b = −2 ∴ f(x) = (x − 8)(x + 2) = x2 − 6x − 16 → c = −16 โจทย์ถาม f′(−16) = 2(−16) − 6 = −38 ตอบ (22) ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกก่อนจึงดิฟได้ ก. ที่ x = −3 → (gof)(x) = g(x2 + 2x) = (x2 + 2x)2 + 1 → (gof)′ (x) = 2(x2 + 2x)(2x + 2) → (gof)′ (−3) = 2(9 − 6)(−4) = −24 x = 3 ได้ g(3) = 10 2 ดังนัน้ → (fog)(x) = f(x + 1) = (x + 1)2 − 2(x2 + 1) 2 → (fog)′ (x) = 2(x2 + 1)(2x) − 4x → (fog)′ (3) = 2(10)(6) − 12 = 108 ตอบ 84 (23) เส้นตรง 2x + y − 6 = 0 สัมผัสกราฟที่จดุ (1, 4) แสดงว่า f(1) = 4 และความชัน f′(1) = −2 จาก จะได้ จาก จะได้ f′′(x) = ax → f′(x) = f′(1) = 1 1 0 0 ดังนัน้ ∫ f(x) dx = ∫ (x3 − 5x + 8) dx 4 ⎛x ⎞ 5 = ⎜ − x2 + 8x ⎟ 2 ⎝ 4 ⎠ 1 = 0 23 4 ตอบ (24) แดง 24 เม็ด, ขาว x เม็ด, เขียว y เม็ด 5 x+y ∴ = และ 3 = 24 + y 6 24 + x + y 4 24 + x + y แก้ระบบสมการ จาก (1) ได้ 5 (24 + x + y) = x + y → x + y = 120 6 แทนใน (2) 3 = 24 + y ได้ y = 84 เม็ด 4 144 a + b = −2 2 ax2 +b 2 .....(1) ax3 + bx + c 6 a +b+c = 4 f(1) = 6 10 และ f(0) = c = 8 แก้ระบบสมการ ได้ .....(2) T 4 + 2 + 8 + 10 =6 4 22 + 42 + 22 + 42 ∴ s2x = = 10 4 (26) หา จาก → s2x ; X = Y = 8 − 0.5 X s2Y = (0.5)2 s2x จะได้ sY = 0.5sx 2 = (0.5) ⋅ 10 = 2.5 ตอบ (27) Med = X = 3s .....(1) และ x = 15.7 → พืน้ ที่ A = 0.557 ทางขวา 15.7 − X → z = 0.14 = .....(2) s แก้ระบบสมการได้ s = 5, X = 15 ดังนัน้ z13 = 13 − 15 = −0.4 และ z18 5 18 − 15 = = 0.6 5 0.2258 0.1554 -0.4 0.6 z ตอบ 15.54 + 22.58 = 38.12% (28) s = 2 , 3 = 65 − X X f(x) = ตอบ (25) จํานวนคน = 80 คน, เป็นนักกีฬาครบทุกอย่าง = 5 คน เป็นนักกีฬาสองอย่างขึ้นไป B F (คิดจากรูป) = 37 คน 20 14 13 ตอบ 5 × 36 × 78 = 9 10 5 8 80 × 79 × 78 316 ตอบ 2 ข. ที่ ขอสอบเขาฯ ต.ค.45 491 7 s แก้ระบบสมการได้ s = 10 และ ดังนัน้ 1.9 = xบังอร − 35 → xบังอร = 54 10 คะแนน ตอบ a = 6, b = −5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) X = 35 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 492 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa ÁÕ.¤.46 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ และ ถ้า B A เป็นเซตคําตอบของอสมการ เป็นเซตคําตอบของอสมการ A −B คือช่วง (a, b) แล้ว x > (l) x−1 x −5 > 0 (x + 1)(x + 3) a + b มีค่าเท่ากับเท่าใด 2. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า A = 30° ด้าน เซนติเมตร แล้ว 4 sin 3B มีคา่ เท่ากับเท่าใด BC ยาว 2 เซนติเมตร และด้าน AC ยาว 3 3. ถ้า log9 3 , log9(3x − 2) , log9(3x + 16) เป็นสามพจน์แรกที่เรียงกันในอนุกรมเลขคณิต และ เป็นผลบวกของสี่พจน์แรกของอนุกรมนี้ แล้ว 3 S มีค่าเท่ากับเท่าใด 4. กําหนดให้ ถ้า A และ ⎡5 4 ⎤ A + 2B = ⎢ ⎥ ⎣8 16⎦ B เป็นเมตริกซ์ขนาด 2×2 ⎡2 1 ⎤ A −B = ⎢ ⎥ ⎣ −1 −5⎦ และ แล้ว det (2A −1B) มีค่าเท่ากับเท่าใด 5. กําหนดสมการจุดประสงค์คือ P = 3x + 2y โดยมีอสมการข้อจํากัดคือ 6 < x + y < 7 แล้ว ค่าสูงสุดของ P เท่ากับเท่าใด 6. ถ้า u = 4i + 3j , v = u และ S u+v = 8 แล้ว u ⋅v 0 < x < 4 และ มีค่าเท่าใด 7. สลาก 11 ใบ มีหมายเลข 1 ถึง 11 กํากับอยูใ่ บละ 1 หมายเลข สุ่มหยิบสลากมา 4 ใบ ความ น่าจะเป็นที่สลากที่หยิบมา มีผลคูณของหมายเลขเป็นจํานวนคู่ แต่ผลบวกของหมายเลขเป็นจํานวนคี่ มีค่าเท่าใด (ตอบทศนิยม 2 ตําแหน่ง) 8. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งดังนี้ คะแนน 16 – 18 19 – 21 22 – 24 25 – 27 28 – 30 ถ้าควอร์ไทล์ที่หนึ่ง ( Q1 ) เท่ากับ นักเรียนห้องนี้เท่ากับเท่าใด 18.5 ความถี่ a 2 3 6 4 คะแนน แล้ว มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 493 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A = { 1, 2 } , B = { 1, 2, 3, ..., 10 } เซต { f | f : A 1−1 > B และมี x ∈ A ซึ่ง f (x) = 2. 17 1. 16 x} มีจํานวนสมาชิกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 18 4. 19 2. ให้ p , q และ r เป็นประพจน์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า [(p ∧ ~ r) ∧ q] → ~ (p ∧ q) เป็นเท็จ แล้ว (p ∨ q) → r เป็นจริง ข. ถ้า q ∨ ~ r เป็นเท็จ แล้ว [p ∨ (q → r)] → ~ q เป็นเท็จ ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 3. กําหนดให้ p , q , r และ s เป็นประพจน์ ในการอ้างเหตุผล ถ้า “เหตุ” คือ 1. (p ∨ q) → (r ∧ s) 2. r → ~ s แล้ว ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็น “ผล” ที่ทําให้การอ้างเหตุผลมีความสมเหตุสมผล 2. q 3. ~ p ∧ ~ q 4. ~ p ∧ q 1. p และ C เป็นเซตซึ่ง n (A ∪B) = 16 , n (A) = 8 , n (B) = 14 , n (C) = 5 และ n (A ∩B∩C) = 2 ค่าสูงสุดของ n [(A ∩B) × (C − A)] ที่เป็นไปได้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 12 3. 18 4. 24 1. 6 4. ให้ A, B 5. กําหนดให้ I คือเซตของจํานวนเต็ม และ สมาชิกของเซต S ∩ I เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 13 2. 14 x −1 − 1 ⋅ S = {x | 3. x − 1 + 1 < 50 } 15 4. 16 6. กําหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง f (x) < 0 ทุก x ถ้า (g f)(x) = 2 [f (x)]2 + 2 f (x) − 4 และ g−1(x) = x + 1 แล้ว 3 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. g f เป็นฟังก์ชันคงตัว ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก Math E-Book Release 2.2 ข. f (100) + g(100) = 300 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด (คณิต มงคลพิทักษสุข) จํานวน คณิตศาสตร O-NET / A-NET 494 7. กําหนดให้ f (x) = − (x −1)2 ทุก x < 1 และ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. f −1(x) = 1 − x ทุก x < 0 g(x) = 9. ถ้า arccos x − arcsin x = 1. π ทุก x < 1 1 3 (g−1 f −1)(− ) = 4 4 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด x, 0 < y < 5 x2 − y2 − 2x + 6y < 8 } และ 0 < c ข. ถ้า และ (3, c) ∈ r แล้ว c = 5 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด π แล้ว 6 arccos x − arctan 2x 2. 5π 12 1− x ข. ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 8. กําหนดให้ r = {(x, y) | 0 < พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. Dr = [0, 3] ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 7π 12 12 4. 11π 12 10. ให้ E เป็นวงรีซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรี E ไปยังจุด (−3, 2) และ (5, 2) เท่ากับ 12 หน่วย ถ้า A และ B เป็นจุดยอดของวงรี E และวงรี E ตัดแกน y ที่จุด C และ D แล้ว พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 10 5 ตารางหน่วย 2. 20 5 ตารางหน่วย 3. 10 7 ตารางหน่วย 4. 20 7 ตารางหน่วย 11. กําหนดให้ a เป็นจํานวนจริง และ A (a, 1) , B (−5, −4) , C (1, −2) , D (2, 3) เป็นจุดยอดของรูป สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ถ้า L เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ AC และผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน AC แล้ว สมการของเส้นตรง L คือสมการในข้อใดต่อไปนี้ 1. 5x − 3y + 6 = 0 2. 5x − 3y − 6 = 0 4. 5x + 3y − 9 = 0 3. 5x + 3y + 9 = 0 12. เซตคําตอบของอสมการ 1. (−2, 1/2) 13. กําหนดให้ ถ้า x 3. 2. ⎡x +2 x x + 1⎤ A = ⎢ 0 x x + 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x + 1 −1 x ⎦ เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ 1. (4x − 2) log(1 − x2) > 0 ⎡3 ⎢ −2 ⎣ ⎡3 ⎢ −4 ⎣ (−1/2, 2) และ det (A) = 0 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 3. (0, 10) 4. (1/2, 20) ⎡ x x + 1⎤ B = ⎢ ⎥ ⎣2x 3 ⎦ แล้ว adj B คือเมตริกซ์ในข้อใดต่อไปนี้ −2⎤ 1 ⎥⎦ 2. −3⎤ 2 ⎥⎦ 4. Math E-Book Release 2.2 ⎡3 0 ⎤ ⎢2 −1⎥ ⎣ ⎦ ⎡3 1 ⎤ ⎢4 −2⎥ ⎣ ⎦ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 495 14. ให้ A , B เป็นจุดสองจุดบนเส้นตรง y = 2x ถ้าจุด C (−2, 1) ทําให้ ˜ CA ⋅ ˜ CB ˜ ˜ |CA| = |CB| แล้ว รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 10 ตารางหน่วย 1. 2 5 ตารางหน่วย 3. 5 ตารางหน่วย 4. 10 ตารางหน่วย 15. กําหนดให้ z1 , z2 , z3 เป็นรากของสมการ (1−i) z 3 = 2 โดยที่ ควอดรันต์ที่ 1 , 2 , 3 ตามลําดับ z1z3 + z22 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 2 i 3. −2 1. −2 i z1 , z2 , z3 4. = 0 และ อยู่ใน 2 16. กําหนดให้ a , b เป็นจํานวนจริง และ f (x) = x4 − 6x3 + 15x2 + ax + b ถ้าจํานวนเชิงซ้อน 1 + i และ 2 + i เป็นรากของ f (x) แล้ว a + b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −8 3. 8 4. 10 1. −10 17. lim x→0 1 ⎡ 1+ x − x3 ⎣ 1. 1− x − (1+ x)(1− x2) + (1− x)(1− x2)⎤⎦ 0 18. กําหนดให้ 2. f และ g ⎧ ⎛ x −4 ⎞ ⎪ f (x) ⎜ x −2 ⎟ g(x) = ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ 2 4 − kx ⎩ f ,x ≠ 4 โดยที่ k 1 2 x = 4 4. 1 และ เป็นค่าคงตัว ,x = 4 y = x+1 2. เป็นฟังก์ชันซึ่ง แล้ว ค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ของ 1. −1 3. เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จดุ ถ้ากราฟของ f ตัดเส้นตรง 1. (−3, − 1) 19. กําหนดให้ 1 4 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ f ที่จุดซึ่ง x = 4 (−2, 0) f′′(x) = 2x + 1 แล้ว k อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ 3. (−1, 1) 4. (0, 2) ถ้าค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. − 1 3 3. 0 f เท่ากับ 4. 1 2 ที่ x = −1 1 3 20. ในการจัดไปทัศนศึกษาครั้งหนึ่ง ผู้จัดคิดค่าบริการเป็นเงื่อนไขดังนี้ ถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 50 คน ผู้จดั จะคิดค่าบริการอัตราหนึ่ง ถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 51 คน ค่าบริการจะลดลงคนละ 2 บาท ถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 52 คน ค่าบริการจะลดลงคนละ 4 บาท ถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 53 คน ค่าบริการจะลดลงคนละ 6 บาท เป็นเช่นนี้เรื่อยไป ปรากฏว่า ถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 90 คน แล้วจะเก็บค่าบริการได้มากที่สุด ถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 100 คน จะเก็บค่าบริการได้ทั้งหมดเป็นเงินเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 16,000 บาท 2. 16,200 บาท 3. 16,400 บาท 4. 16,600 บาท Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 496 21. ถ้าความชันของเส้นโค้ง y = f (x) ที่จุด (x, y) ใดๆ เท่ากับ x2 − 3x + 2 และ แล้ว จุด (x, y) ในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนเส้นโค้ง y = f (x) 2. (0, − 4) 3. (1, 13) 4. 1. (0, 4) 3 3 4 2 0 ∫ f (x) dx = 4 (1, − 13 ) 4 22. กําหนดให้ A เป็นบริเวณในระนาบ xy ซึ่งปิดล้อมด้วยพาราโบลา y = x2 − 7 และแกน x จาก x = 0 ถึง x = a เมื่อ a เป็นค่าคงตัว ถ้าพื้นที่ของบริเวณ A ส่วนที่อยู่เหนือแกน x มากกว่าพื้นที่ของบริเวณ A ส่วนที่อยู่ใต้แกน x เท่ากับ 2a ตารางหน่วย แล้ว a คือจํานวนในข้อ ใดต่อไปนี้ 2. 3 3 3. 5 4. 7 1. 2 3 23. มีคนงานหญิง 6 คน และคนงานชาย 8 คน ซึ่งมีนายดํารวมอยู่ด้วย ถ้าจะเลือกคนงาน 4 คน ไปทํางานที่ต่างกัน 4 ประเภท โดยให้เป็นหญิง 2 คน เป็นชาย 2 คน และให้มีนายดําอยู่ใน 4 คนนี้ ด้วย จํานวนวิธีการเลือกคนงานดังกล่าวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 1920 วิธี 2. 2400 วิธี 3. 2520 วิธี 4. 2880 วิธี 24. นายกวีและนายขจรได้รับเชิญไปงานเลี้ยง ซึ่งมีผู้ได้รับเชิญทั้งหมด 20 คน เจ้าภาพจัด (โดยสุ่ม) ให้ผู้ร่วมงานนั่งโต๊ะกลม 2 โต๊ะ ๆ ละ 10 ที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่นายกวีและนายขจรจะได้นั่งติดกัน ในโต๊ะตัวเดียวกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 2 3. 2 4. 4 1. 1 19 19 9 9 25. จากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างยอดขาย ( y ) (หน่วยเป็นหมื่นบาท) ของพนักงานขาย ประกันในบริษัทประกันภัยแห่งหนึ่งกับประสบการณ์การขาย ( x ) (หน่วยเป็นปี) ของพนักงานขาย โดยเก็บข้อมูลจากพนักงานขายประกัน 8 คน ได้ข้อมูลดังนี้ 8 8 8 8 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ∑ xi = 48 , ∑ yi = 41 , ∑ xiyi = 286 , ∑ x2i = 348 i=1 i=1 i=1 i=1 ก. ถ้าพนักงานขายประกันคนหนึ่งมีประสบการณ์การขาย 6 ปี ยอดขายโดยประมาณของ พนักงานคนนี้เท่ากับ 51, 250 บาท ข. ประสบการณ์การขายเพิ่มขึ้น 1 ปี ทําให้ยอดขายประกันเพิ่มขึ้น 11, 250 บาท ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 26. ในการสอบครั้งหนึ่ง มีผู้เข้าสอบจํานวนหนึ่งซึ่งมีนายคณิตและนายวิทยารวมอยู่ด้วย โดยที่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการสอบเท่ากับ 60 คะแนน และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.25 นายคณิตสอบได้มากกว่านายวิทยา 9 คะแนน และผลบวกของค่ามาตรฐานของคะแนนของคนทั้ง สองเท่ากับ 1.5 ถ้าให้ A = ค่ามาตรฐานของคะแนนของนายคณิต และ B = คะแนนของนายวิทยา แล้ว A และ B เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้ 1. A = 0.45 , B = 65.75 คะแนน 2. A = 0.45 , B = 66 คะแนน 4. A = 1.05 , B = 68 คะแนน 3. A = 1.05 , B = 66.75 คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 497 27. การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติ ถ้านักเรียนที่มีความสูงมากกว่า 149.4 เซนติเมตร มีอยู่ 3% และนักเรียนที่มีความสูงน้อยกว่าฐานนิยมแต่มากกว่า 136.5 เซนติเมตร มีอยู่ 25.8% แล้ว ข้อใดต่อไปนี้คือฐานนิยม และความแปรปรวนของความสูงของ นักเรียนกลุ่มนี้ตามลําดับ (หน่วยเป็นเซนติเมตร) กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง z z พื้นที่ 1. 144.4 , 5 0.3 0.1179 2. 0.7 0.2580 144.4 , 25 1.49 0.4139 1.88 0.4700 140 , 5 3. 4. 140 , 25 28. ร้านสุขสวัสดิ์จําหน่ายเสื้อนักเรียนยี่ห้อหนึ่ง โดยที่ราคาของเสื้อนักเรียนในปี 2544 และ 2545 เป็นดังนี้ ราคา (บาท) 2544 2545 100 105 115 125 125 130 ขนาดเสื้อนักเรียน เล็ก กลาง ใหญ่ ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2544 เทียบกับ พ.ศ. 2543 เท่ากับ 1.19 แล้ว ดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2545 เทียบกับ พ.ศ. 2543 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 1.06 2. 1.12 3. 1.16 4. 1.26 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 5.5 (2) 2.25 (3) 243 (4) 8 24.5 ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 3 (5) 3 (10) 4 (11) 1 (12) 1 (13) 4 (14) 3 (15) 4 (20) 1 (21) 1 (22) 2 (23) 3 (24) 2 (5) 18 (6) 7 (7) 0.48 (8) (6) 2 (7) 1 (8) 4 (9) 1 1 (16) 2 (17) 3 (18) 2 (19) (25) 2 (26) 3 (27) 4 (28) 4 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 (1) A; เนือ่ งจากเป็นบวกแน่นอนทั้งสองข้าง จึงยก กําลังสองได้ เป็น x2 > (x − 1)2 แล้วย้ายมาลบกัน x2 − (x − 1)2 > 0 → (x − x + 1)(x + x − 1) > 0 1 ∴ A = ( , ∞) 2 → 2x − 1 > 0 B; เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น (−3, −1) ∪ [5, ∞) ดังนัน้ A − B = ( 1 , 5) → 1 + 5 = 5.5 ตอบ 2 (2) กฎของ sine; พิสูจน์ 2 sin B sin 30° 3 = → sin B = 3 2 4 sin 3B = sin(2B + B) = sin 2B cos B + cos 2B sin B = (2 sin B cos B)(cos B) + (1 − 2 sin2 B)(sin B) = 2 sin B(1 − sin2 B) + (1 − 2 sin2 B)(sin B) = 3 sin B − 4 sin3 B ดังนัน ้ ในข้อนีถ้ าม 4 sin 3B 3 3⎤ 9 ⎡ 3 = 4 ⎢3 ( ) − 4 ( ) ⎥ = = 2.25 ตอบ 4 ⎦ 4 ⎣ 4 (3) อนุกรมเลขคณิต; log9(3x − 2) − log9 3 = log9(3x + 16) − log9(3x − 2) → 3x − 2 3x + 16 = x → 3 3 −2 จะได้ ให้ 3x = A (A − 2)2 = 3(A + 16) → A2 − 7A − 44 = 0 → (A − 11)(A + 4) = 0 → 3x = 11 ดังนัน้ อนุกรมนีค้ ือ log9 3 + log9 9 + log9 27 = 0.5 + 1 + 1.5 + … → ผลบวก 4 พจน์แรก ตอบ 35 = 243 S = 0.5 + 1 + 1.5 + 2 = 5 → Math E-Book Release 2.2 เท่านัน้ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 498 (4) นําสองสมการมาลบกัน จะได้ (2) ก. 1 1 → B = ⎢⎡3 7 ⎥⎤ ⎣ ⎦ 3 3 3B = ⎢⎡9 21⎥⎤ ⎣ ⎦ → B = 7−3 = 4 2 1 A − B = ⎡⎢ −1 −5⎤⎥ ⎣ ⎦ 1 1 32 2 1 → A = ⎡⎢ −1 −5⎤⎥ + ⎡⎢3 7 ⎤⎥ = ⎡⎢2 2⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ → A = 6−4 = 2 จาก ตอบ (5) 22 ⋅ A −1 ⋅ B = 4⋅ 1 ⋅4 = 8 2 7 (0, 6) → P = 12 (4, 2) → P = 16 6 (0, 7) → P = 14 (4, 3) → P = 18 ∴ Pmax = 18 (6) (p ∧ ~ r) ∧ q เป็นจริง, (p ∧ q) เป็นจริง ดังนั้น p จริง, r เท็จ, q จริง จะได้ (p ∨ q) → r ≡ T → F ≡ เท็จ ∴ ก. ผิด ข. q ∨ ~ r เท็จ แสดงว่า q เท็จ, r จริง จะได้ […] → T ≡ T เสมอ ข. ผิด ตอบ ข้อ 4. (3) 1. (~ p ∧ ~ q) ∨ (r ∧ s) 2. r → ~ s ให้เหตุเป็นจริงทุกข้อ จะได้ p, q, r, s เป็นเท็จ ∴ ผลซึ่งสมเหตุสมผล คือ ข้อ 3. ( ~ p ∧ ~ q เป็นจริง) ตอบ (4) 16 = 8 + 14 − ◊ ∴ ◊ = 6 ดังนัน้ ได้ A ∩ B ∩ C ' = 4 ดังรูป A 4 O ตอบ u = 4i + 3j (4,3) (4,2) ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 2 42 + 32 = 5 → u = ∴ v = 5 ดังนัน้ u + v = 52 + 52 − 2u ⋅ v = 8 จะได้ u ⋅ v = 7 ตอบ (7) การที่ผลคูณเป็นจํานวนคู่ แสดงว่า ต้องมีเลขคู่ อย่างน้อย 1 ใบ ... การที่ผลบวกเป็นจํานวนคี่ แสดง ว่า ต้องมีเลขคี่ 1 หรือ 3 ใบ เพราะฉะนั้นมี 2 กรณีคอื คู่ 3 คี่ 1 และ คู่ 1 คี่ 3 ⎞ จะได้ความน่าจะเป็น ⎡⎢⎛⎜ 53 ⎞⎟ ⎛⎜ 61 ⎞⎟ + ⎛⎜ 51 ⎞⎟ ⎛⎜ 63 ⎞⎟⎤⎥ ÷ ⎛⎜ 11 4⎟ 60 + 100 = 330 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≈ 0.48 ⎝ ⎠ ตอบ 20 = 10 2 51 → −6 กว่า < x < 8 กว่า S มีจํานวนเต็มคือ -6, -5, -4,…, 6, 7, 8 รวม 15 จํานวน ตอบ (6) จาก g−1(x) = x + 1 → g(x) = 3x − 1 ∴ เป็นขอบพอดี f(1)=1 9 + 9 − 1 = 17 ต้องการ n(A ∩ B) × n(C − A) มากทีส่ ุด แต่ n(A ∩ B) = 6 เท่านัน้ (เปลี่ยนไม่ได้) แสดงว่าต้องพยายามจัดให้ n(C − A) มากที่สดุ ดังนัน้ ถ้า n(C) = 5 ก็เอา 3 ไว้ในส่วนที่แรเงา n(A) = 8 ก็เอา 2 ไว้นอกสุด ดังรูป จะได้ n(C − A) = 3 และ ตอบ 18 (5) x − 1 2 − 1 < 50 → −50 < x − 1 2 − 1 < 50 → 1 − 51 < x < 1 + 51 เช่นกัน ∴ Med = 24.5 คะแนน ตอบ ตอนที่ 2 (1) คําว่า “มี” x ซึ่ง f(x) = x แสดงว่ามี f(1) = 1 หรือ f(2) = 2 ก็ได้ นําจํานวนแบบมาบวกกันเลยทันทีไม่ได้ เพราะจะมี บางแบบที่นับซ้าํ เราต้องใช้วิธเี หมือนเรือ่ งเซต คิด f(1) = 1 ; มีอยู่ 1 × 9 = 9 แบบ คิด f(2) = 2 ; มีอยู่ 1 × 9 = 9 แบบ คิด f(1) = 1 และ f(2) = 2 ; มีอยู่ 1 × 1 = 1 แบบ 8 1 8 ตอบ C 2 → 3a = 2 + 3 + 6 + 4 → a = 5 ∴ B → −49 < x − 1 < 51 → − 51 < x − 1 < (8) Q1 = 18.5 = ขอบของชัน้ แสดงว่า a : (2 + 3 + 6 + 4) = 1 : 3 มัธยฐานอยู่ตาํ แหน่งที่ 4 0 2 3 3 → (gof)(x) = 3f(x) − 1 แต่โจทย์บอกว่า 2 (gof)(x) = 2[(f(x)] + 2f(x) − 4 2[(f(x)]2 + 2f(x) − 4 = 3f(x) − 1 3 → (2f(x) − 3)(f(x) + 1) = 0 → f(x) = , −1 2 ดังนัน้ แต่ให้ f(x) < 0 ดังนัน้ f(x) = −1 เท่านั้น ก. (gof)(x) = g(−1) = −4 เป็นฟังก์ชนั คงตัว ถูก ข. f(100) + g(100) = (−1) + (300 − 1) = 298 ผิด ตอบ ข้อ 2. f(2)=2 แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (7) ก. จาก y = −(x − 1)2 เมื่อ จะได้อนิ เวอร์สเป็น x = −(y − 1)2 x < 1→ y 2 4x < 2 1 x < 2 1 2 ตอบ B C log(1 − x2) > 0 1 − x2 > 1 x2 < 0 ซึ่ง x2 < 0 นั้นเป็นไปไม่ได้ กรณีนี้ไม่มคี ําตอบ กรณีที่สอง 4x − 2 < 0 และ log(1 − x2) < 0 เท่านั้น ถึงจะถูก 1 π−π= π − arctan 1 = 2 3 4 12 หาจุดตัดแกน (x − 1)2 (y − 2)2 − 2 = 1 62 6 − 42 y; แทน x = 0 A → (x − 2x + 1) − (y2 − 6y + 9) < 8 + 1 − 9 5 4 2 สมการวงรีคือ 1 (y − 2)2 175 − = 1 → (y − 2)2 = 36 20 9 5 7 D → y = 2± 3 − 2x + 6y < 8 วาดกราฟแรเงาได้ดังภาพ ∴ Dr = [0, 4] ก. ผิด (10) แสดงว่าจุดโฟกัสคือ (−3, 2) กับ (5, 2) จุดศูนย์กลาง (h, k) = (1, 2) ระยะโฟกัส c = 4 , วงรีตามแกน x ...คําว่า 12 หน่วย แสดงว่า a = 6 ∴ จุดยอด A(−5, 2) B(7, 2) → 2 → ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 499 1 − x2 < 1 x2 > 0 จะได้คาํ ตอบกรณีนี้เป็นช่วง (−∞, 1/2) − {0} แต่อย่าลืมเงื่อนไข ภายใน log ต้องมากกว่าศูนย์ → 1 − x2 > 0 ∴ −1 < x < 1 ตอบ Math E-Book Release 2.2 1 (−1, ) − {0} 2 คือข้อ 1. (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (13) 2 2 2 A = x (x +2)+ x(x + 1) − x(x + 1) +(x +2)(x + 1) = 0 → x2(x + 2) + (x + 2)(x + 1) = 0 → (x + 2)(x2 + x + 1) = 0 → x = −2 เท่านัน้ −2 −1 ∴ B = ⎡⎢ −4 3 ⎤⎥ ⎣ ⎦ 1 , mL = 2) 2 → | CO |= 4 + 1 = 5 (mCO = − A C ˜ O 2 1 ( 5)(2 5) = 5 ตร.หน่วย ตอบ 2 (15) z3 = 2 = 2∠0 = 1∠(−315°) 1−i 2∠315° = z = 1∠(−105°) ← Q3 ∴ z1z3 + ← Q1 z22 และ 1∠135° ← Q2 = 1∠(−90°) + 1∠270° = − i − i = −2 i (16) แสดงว่า f(x) = (x − 1 − i)(x − 1 + i)(x − 2 − i)(x − 2 + i) = (x2 − 2x + 2)(x2 − 4x + 5) 4 3 1 2 → k = −1 1 2 f′(−1) = 0 → f′(x) = x2 + x + C1 แทนค่า -1 จะได้ f(−1) = 0 = 1 − 1 + C1 3 = x − 6x + 15x − 18x + 10 1− x = B 1 lim (A − B − AAB + BBA) x → 0 x3 1 = lim 3 [A (1 − AB) − B (1 − AB)] x →0 x 1 = lim 3 (A − B)(1 − AB) x →0 x 1 ⎛ A2 − B2 ⎞ ⎛ 1 − A2B2 ⎞ = lim 3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ x →0 x ⎝ A + B ⎠ ⎝ 1 + AB ⎠ 1 ⎛ 2x ⎞ ⎛ x2 ⎞ = lim 3 ⎜ ⎟ ⎟⎜ x → 0 x ⎝ A + B ⎠ 1 + AB ⎝ ⎠ 2 2 1 = lim = = x → 0 (A + B)(1 + AB) (2)(2) 2 จะได้ ตอบ ข้อ 2. x = −1 ที่ → C1 = 0 2 x x + + C2 แทนค่า -1 3 2 จะได้ 1 = − 1 + 1 + C2 → C2 = 1 2 3 2 3 หาค่าต่ําสุด; f′(x) = 0 → x (x + 1) = 0 → x = 0, − 1 แต่ที่ -1 เป็นจุดสูงสุดไปแล้ว ∴ จุดต่าํ สุดเกิดที่ x = 0 และค่าต่าํ สุดเท่ากับ 1 ตอบ f(0) = C2 = 3 (20) สมมติเมือ่ มี 50 คน คิดคนละ a บาท และให้ y = ค่าบริการที่ได้ เมื่อมีคน 50 + x คน จะได้วา่ y = (50 + x)(a − 2x) ค่าสูงสุดของ y เกิดที่ 90 คน (x = 40) → y′ = (50 + x)(−2) + (a − 2x)(1) = 0 → −100 − 4x + a = 0 → แทน x ด้วย 40 จะได้ บาท โจทย์ถามค่าบริการสําหรับ 100 คน = 100 (260 − 2 (50)) = 16,000 บาท ตอบ a = 260 → f(x) = x2 − 3x + 2 x3 3x2 − + 2x + C 3 2 ⎛ x4 ⎞ x3 → ∫ f(x) dx = ⎜ − + x2 + Cx ⎟ 12 2 0 ⎝ ⎠ 4 4 = − 4 + 4 + 2C = 4 → C = 3 3 4 ∴ f(0) = ตอบ ข้อ 1. 3 2 2 ตอบ −18 + 10 = −8 (17) มอง 1 + x = A, แสดงว่า และ แสดงว่า คือ y (21) f′(x) = ตอบ x = 4 x→4 → f′′(x) = CA ⋅ ˜ CB = 0 โจทย์บอกว่า ˜ B ˜ CB แสดงว่า CA ตั้งฉากกับ ˜ CA | = |˜ CB | แสดงว่า OAC และโจทย์บอกว่า |˜ กับ OBC เป็น Δ หน้าจั่ว มุม 45° , 45° , 90° ˜ | = |˜ OB | = 5 ดังนัน้ |OA จะได้ พื้นที่ Δ ABC = 1 |˜ CO ||˜ AB | 1∠15° = 4 ที่ lim g(x) = g(4) → f(4) ⋅ ( 4 + 2) = 4 − k(4)2 (19) ค่าสูงสุดคือ ตอบ (14) ข้อนี้วาดรูปแล้วคิดจากตรีโกณมิตจิ ะง่าย เริ่มจากวาดเส้นตรง L; y = 2x y=2x พบว่า CO ตั้งฉากกับ L พอดี ดังนัน้ y = x+1 (18) f ตัดเส้นตรง แสดงว่า f(4) = 5 ่ งที่ x → g ต่อเนือ → 5(4) = 4 − 16k 3 1 d −b → adj B = ⎡ −c a ⎤ = ⎡⎢4 −2⎤⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ และ ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 500 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 2 0 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 501 ขอสอบเขาฯ มี.ค.46 (22) (26) xค − x ว = 9 0 ⎞ ⎟⎟ = 2a ⎠ a ⎛ x3 ⎞ → ⎜ − 7x ⎟ ⎝ 3 ⎠ 7 ⎛ x3 ⎞ +⎜ − 7x ⎟ ⎝ 3 ⎠ 7 xค − 60 x ว − 60 + = 1.5 15 15 → xค + x ว = 142.5 .....(2) a zค + zว = 7 = 2a 0 ⎡ ⎛ a3 ⎤ ⎞ ⎤ ⎡⎛ 7 7 ⎞ ⎞ ⎛7 7 − 7 7 ⎟ ⎥ + ⎢⎜ − 7 7 ⎟ − (0)⎥ ⎢⎜ − 7a ⎟ − ⎜ 3 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎦ a3 − 9a = 0 → a = 3 3 ตอบ 3 (23) เลือก ⎛⎜ 62 ⎞⎟ ⎛⎜ 71 ⎞⎟ ⎛⎜ 11⎞⎟ และสลับได้ 4! ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ = 2a → ∴ คูณกันได้ 2,520 วิธี ตอบ (24) วิธที ั้งหมดเท่ากับ 20 ! (สาเหตุที่เป็น 20 ! เนื่องจากโต๊ะอยู่ใกล้กนั จึง เปรียบเหมือนมีตาํ แหน่งที่นั่งเกิดขึน้ แล้ว จะไม่ใช่ วงกลมอีกต่อไป) ⎞ × 18 ! วิธีทตี่ อ้ งการ ⎛⎜ 20 1 ⎟×2 ⎝ ⎠ 2 คนเลือกที่นั่ง 18 คนที่เหลือ นํามาหารกันได้คาํ ตอบเป็น (25) แก้ตามสูตร 2 19 ตอบ Σy = mΣx + cN → 41 = 48m + 8c และ Σxy = mΣx2 + cΣx → 286 = จะได้ m = 2 และ c = 9 ∴ Yˆ 3 8 348m + 48c 2 9 = X+ 3 8 ˆ = 2 (6) + 9 = 5.125 x = 6 → Y 3 8 → 51,250 บาท ข. Δx = 1 → ΔYˆ = 2 (1) = 6.667 3 → 6,667 บาท ตอบ ก. ถูก ข. ผิด ก. แก้ระบบสมการได้ xว = คะแนน จึงตอบ ข้อ 3. (ถ้าอยากคิด zค จะได้ xค = 75.75 → zค = (27) 142.5 − 9 = 66.75 2 75.75 − 60 = 1.05 ) 15 136.5 Mo ที่ x 136.5 − X s .....(1) 149.4 − X s .....(2) 149.4 → A = 0.47 ทางขวา → z = 1.88 = แก้ระบบสมการได้ s = 5, ∴ ตอบ ฐานนิยม (Mo) = และ s2 = 25 ซม.2 (28) ปี 44 เทียบ 43; 1.19 = X = 140 X = 140 ซม. ซม. 100 + 115 + 125 2,000 → ΣP43 = ΣP43 7 ปี 45 เทียบ 43; Math E-Book Release 2.2 149.4 136.5 → A = 0.258 ทางซ้าย → z = −0.7 = ที่ 0.03 7 ⎛ 7 − ⎜− ∫ ⎜ ⎝ 0 0.47 ∫ → s = 15 .....(1) 0.258 a s = 0.25 X X = 60, 105 + 125 + 130 = 1.26 (2,000/ 7) (คณิต มงคลพิทักษสุข) บาท ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 502 ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅa µ.¤.46 ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน 1. กําหนดให้ A, B เป็นเซต ซึ่ง n(A) = a, n(B) = b ถ้า n [(A −B) ∪ (B−A)] = 7 และ แล้ว n({C | C ⊆ A ∪B และ n (C) < 2}) เท่ากับเท่าใด n (A × B) = 40 2. กําหนดให้ ถ้า a > 0 (f −1 g)(4) = 2 และ f (x) = ax2 , x > 0 f −1(64) g−1(64) แล้ว และ 1 + cos ( g(x) = x3 มีค่าเท่ากับเท่าใด 3. กําหนดให้ f (x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมื่อ k และ ถ้า x − 2 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ f (x) และเมื่อนํา สัมบูรณ์ของ k + m เท่ากับเท่าใด 4. (n) m เป็นค่าคงตัว x + 1 ไปหาร f (x) ได้เศษเหลือ 3 แล้ว ค่า π + (arccos 4 − arctan 4)) เท่ากับเท่าใด 2 5 3 5. กําหนดเวกเตอร์ a, b, c ดังนี้ a = 4 i − 2 j , a + b = 6 i + 4 j และ c = c1 i + c2 j โดยที่ c1 > 0 , c2 > 0 และ c = 2 17 ถ้า c ตั้งฉากกับ (a − b) แล้ว c1 + c2 มีค่าเท่ากับเท่าใด 6. กําหนดให้เส้นตรง 3 2 f (x) = ax + bx − 3 y = −6x − 5 เมื่อ a, b สัมผัสเส้นโค้ง y = f (x) ที่จุด x = −1 ถ้า เป็นจํานวนจริงแล้ว ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับเท่าใด 7. ในการศึกษาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของปริมาณนมโดยเฉลี่ย (ลิตร) ที่เด็กแต่ละคนในตําบลหนึ่ง บริโภคต่อปี ( y ) ระหว่างปี พ.ศ. 2538 – 2545 พบว่า เมื่อเปลี่ยนช่วงเวลาให้อยู่ในรูปของค่า x ดังนี้ พ.ศ. x 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 จะได้สมการแสดงความสัมพันธ์ (ทศนิยม 2 ตําแหน่ง) เป็น y = 0.54 x + 38.85 ถ้าใช้ความสัมพันธ์นี้ทํานายปริมาณนมโดยเฉลี่ยที่เด็กแต่ละคนในตําบลนี้บริโภคใน พ.ศ. 2547 แล้ว จะได้ว่าปริมาณนมโดยเฉลี่ยที่เด็กแต่ละคนบริโภคโดยประมาณ เท่ากับเท่าใด 8. ข้อสอบชุดหนึ่งมี 2 ตอน ตอนละ 4 ข้อ มีคําสั่งให้ผู้สอบทําข้อสอบตอนที่หนึ่งอย่างน้อย 1 ข้อ และทําข้อสอบตอนที่สอง 2 ข้อ จํานวนวิธีที่ผู้สอบจะทําข้อสอบชุดนี้ เท่ากับเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 503 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนเต็มซึ่ง ข. ถ้า A ={x∈ R | 2 x −2x +2 < 1} x −2 a | (2b − c) และ และ a2 | (b + c) แล้ว B = { x ∈ R | x3−2x2 < 0 } ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก a | 3c แล้ว A =B 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 2. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1) p ∧ q ข. เหตุ 1) P (x) → ~ Q (x) 2) Q (x) ∨ R (x) 2) (q ∨ r) → (s ∧ p) P (x) → R (x) ผล 3) p → ~ r s ∧ ~r ผล ข้อความใดต่อไปนี้ถูก 1. ก และ ข สมเหตุสมผลทั้งคู่ 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล 3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผลทั้งคู่ 3. ให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจํานวนจริง ถ้า P (x) แทนข้อความ x2 − 3x < 0 และ Q (x) แทนข้อความ −2 < log 1/ 3 x < ประโยคในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง 1. ∀x [P (x) → Q (x)] 2. ∀x [Q (x) → P (x)] 4. ∀x [P (x) → ~ Q (x)] 3. ∀x [~ P (x) → Q (x)] −1 4. กําหนดให้ f, g เป็นฟังก์ชันซึ่ง Df = [0, ∞) โดยที่ f −1(x) = x2 , x > 0 และ g−1(x) = (f (x))2 + 1 , x > 0 ถ้า a > 0 และ f (a) + g(a) = 19 แล้ว f −1(a) + g−1(a) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 274 1. 273 3. 513 4. 514 5. กําหนดให้ ถ้า a > 0 Rg = (−2.5, ∞) ก. และ ⎧⎪ −a (10 x) , x < 1 g(x) = ⎨ 3 ,x > 1 ⎪⎩ x − 1 แล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้ g−1(a − 1) = log 2 ข. ⎧⎪ log(4|x|) , x < 0 g−1(x) = ⎨ ,x > 0 ⎪⎩ 3 x + 1 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก Math E-Book Release 2.2 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด (คณิต มงคลพิทักษสุข) แล้ว คณิตศาสตร O-NET / A-NET 6. ให้ ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 504 r = {(x, y) | y = x2 − 4 } x −2 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. 4 ∈ Rr ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก ข. Rr −1 = [0, 4) ∪ (4, ∞) 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 7. ให้ H เป็นไฮเพอร์โบลา 12y2 − 4x2 + 72y + 16x + 44 = 0 ซึ่งมีจุดโฟกัสคือ F1 และ F2 ให้ E เป็นวงรีซึ่งมีจุดศูนย์กลางร่วมกับ H โดยมี F1 และ F2 เป็นจุดยอด และสัมผัสแกน y ถ้า E ตัดแกน x ที่จุด A และ B แล้ว AB ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 8 หน่วย 2. 7 หน่วย 3. 6 หน่วย 4. 5 หน่วย 8. กําหนดให้วงกลม C มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดโฟกัสของพาราโบลา y = 1 − 8(x − 2)2 ถ้าเส้นตรง 3x − 4y + 5 = 0 เป็นเส้นสัมผัสวงกลม C แล้ว จุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนวงกลม C 2. (1−2 2, 0) 1. (0, 1+ 5) 4. (2, − 2) 3. (−1, − 1) 9. ถ้า sin A 2 = sin B 3 1. และ cos A = cos B 4 2. 1 2 แล้ว tan 2 B 32 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 1 4. 23 10. ถ้า a, b เป็นคําตอบของสมการ 6 x − 3 x + 1 − 2 x + 2 + 12 = 0 แล้ว คําตอบของสมการ (ab)2x + 1 = (ab+ 3)x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ log 3 log 4 1. 2. log 2 − log 3 3. 11. กําหนดให้ S 4. เป็นเซตคําตอบของอสมการ T = { log 3 x | x ∈ S } 1. [0, 2] 12. กําหนดให้ ถ้า a M11(A) = 18 1. log 7 − log 16 1 log 3 8 − 2 −57 แล้ว T x + 3⎞ log x ⎛⎜ ⎟ > 1 ⎝ x − 1⎠ และ เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้ 2. [1, 3] 3. [1/2, 5/2] เป็นจํานวนจริง และ และ 1 log 2 5 − 2 M22(A) = −12 2. 4. [1/3, 7/3] ⎡ a 1 2a + 6 ⎤ A = ⎢6 a 3 ⎥⎥ ⎢ a ⎥⎦ ⎢⎣ a 2 แล้ว −33 C31(A) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. −15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4. −3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET a เป็นจํานวนจริง และ ⎡ 1 0 2⎤ A = ⎢0 3 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣4 0 a⎦ และ det (adj A) = 225 แล้ว 13. กําหนดให้ ถ้า a > 10 1. ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 505 11 2. 12 a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 13 4. 14 14. กําหนดสมการจุดประสงค์คือ P (x, y) = (a2− 1) x + a y โดยที่ a เป็นจํานวนจริงบวก ซึ่ง a2− a − 2 > 0 และมีอสมการข้อจํากัดคือ 2 < x < 4 , y > 1 และ x + y < 7 ถ้าค่าสูงสุดของ P (x, y) เท่ากับ 41 แล้ว a มีค่าอยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ 2. [2.5, 3) 3. [3, 3.5) 4. [3.5, 4) 1. [2, 2.5) 15. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และ ˜ |˜ BD|:|BC | = 1 : 3 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ AD ก. 3 ˜ ˜ D เป็นจุดบนด้าน ˜ ข. ˜ AD ⋅ BC = 2˜ AB + BC ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก = − BC ซึ่งทําให้ 1 ˜2 |BC | 6 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 16. กําหนดจํานวนเชิงซ้อน z1 = a , z2 = b (cos θ + i sin θ) โดยที่ a > 0 , b > 0 < θ < π 2 ถ้า 2 i|z1z2|sin θ = c z1z2 + d z1z2 โดยที่ c, d เป็นจํานวนจริง แล้ว 5c + 2d มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 3 3. 2 4. 1 1. 4 17. ให้ แล้ว z = a + bi ซึ่ง b > 0 ถ้า z z2 + 4z − 32 = 1 z2 − 64 สอดคล้องกับ และ 3. 11 4. 12 4. 1 3 4. 1 4 18. กําหนดให้ f (x) = | x2 + 4x | และ g(x) = | x2 − 16 | ถ้า a, b เป็นคําตอบทั้งสองของสมการ f (x) = g (x) f (x) f (x) แล้ว xlim + lim เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ →a x →b g (x) 1. 19. ให้ x 3 2 g (x) 2. เป็นจํานวนจริง ซึ่ง 5 6 3. |x| < 1 ถ้าอนุกรม 1 1 1 1 + (1+ x)( ) + (1+ x + x2)( )2 + (1+ x + x2+ x3)( )3 + ... 2 2 2 แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1. − 1 3 − 1 2 1 4 Math E-Book Release 2.2 มีผลบวกเท่ากับ 3. 1 3 (คณิต มงคลพิทักษสุข) และ z z = 61 a + b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 9 2. 10 0 16 7 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 20. กําหนดให้ แล้ว g d ⎡ f (x) ⎤ ⎢ ⎥ dx ⎣ g(x + 1)⎦ 1. ก. เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ ที่จุด f (x) = x2 − 1 ∫ f (x) dx = f (x) = x g (x) −2 3. 1 0 y = f (x) 1. 9 f (1) และ f (0) = 0 4. 4 จาก x = −1 ถึง x = 1 เท่ากับ 4 3 ตารางหน่วย 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด เป็นจํานวนจริง และ แล้ว ∫ f (x) dx = 55 12 2 4 3 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก a, b f′ (x) = 4x3 + 9x2 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข. พื้นที่ทปี่ ิดล้อมด้วยโค้ง 22. กําหนดให้ ถ้า มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1 −1 x = −2 −4 21. กําหนดให้ ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 506 f (x) = x3 + ax2 + bx + 1 ถ้า f′ (1) = 15 และ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 10 3. 11 4. 12 23. กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 3 สี เป็นสีขาว 4 ลูก สีแดงและสีเขียวมีจํานวนเท่ากัน เมื่อ สุ่มหยิบลูกแก้วมา 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีขาวทั้ง 2 ลูกเท่ากับ 2/15 ถ้าสุ่มหยิบ ลูกแก้วมา 4 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วเป็นสีเขียว 1 ลูก และสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก เท่ากับ ข้อใดต่อไปนี้ 2. 31 3. 29 4. 33 1. 30 70 70 35 35 24. ในการยืนเรียงเป็นแถวตรงของนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ถ้าความน่าจะเป็นที่ ไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดยืนติดกันเลย เท่ากับ a และความน่าจะเป็นที่นักเรียนหญิงทั้งหมดต้อง ยืนติดกันเท่ากับ b แล้ว a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 0.20 2. 0.25 3. 0.30 4. 0.35 25. ในการสํารวจน้ําหนักตัวของนักเรียน 200 คน มีการแจกแจงความถี่ดังนี้ น้ําหนักตัว (ก.ก.) 19 – 22 23 – 26 27 – 30 31 – 34 35 – 38 ความถี่ 20 60 30 40 50 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. น้าํ หนักตัวของนักเรียน 200 คนนี้ มีฐานนิยมมากกว่ามัธยฐาน ข. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของน้ําหนักตัวนักเรียน 200 คนนี้เท่ากับ ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 0.15 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 507 26. โรงงานแห่งหนึ่งคัดเลือกคนงานจากผู้สมัครเข้าทํางานทั้งหมด โดยมีเงื่อนไขว่าผู้ที่จะได้รับการ พิจารณาคัดเลือกเข้าทํางานต้องมีค่ามาตรฐานของอายุไม่น้อยกว่า 1.5 และไม่เกิน 3.5 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของอายุของผู้สมัครทั้งหมดเป็น 23 ปี และ a ปี2 ตามลําดับ และถ้านําค่ามาตรฐานของอายุของผู้สมัครทั้งหมดมาหาความแปรปรวนได้ความแปรปรวน เท่ากับ a/4 แล้ว ผู้สมัครที่อยู่ในข่ายที่จะได้รับการคัดเลือกเข้าทํางานจะต้องมีอายุตามข้อใดต่อไปนี้ 2. ไม่น้อยกว่า 29 ปี และไม่เกิน 37 ปี 1. ไม่น้อยกว่า 26 ปี และไม่เกิน 37 ปี 3. ไม่น้อยกว่า 26 ปี และไม่เกิน 30 ปี 4. ไม่น้อยกว่า 29 ปี และไม่เกิน 30 ปี 27. ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียนสอบสองห้อง เป็นห้อง ก และห้อง ข พบว่าคะแนนสอบของทั้งสอง ห้องมีการแจกแจงปกติ โดยมีมัธยฐานเท่ากันและเท่ากับ a สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนน ของนักเรียนห้อง ก และห้อง ข เท่ากับ c และ c + 5 a ตามลําดับ ถ้าในการสอบครั้งนี้เด็กหญิง สดซึ่งอยู่ห้อง ก และเด็กหญิงใสซึ่งอยู่ห้อง ข ทําคะแนนได้ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 78.81 ทั้งคู่ แล้วเด็กหญิงใสได้คะแนนมากกว่าเด็กหญิงสดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้ z A 1. 5 2. 0.70 0.2580 0.80 0.2881 3. 4 0.90 0.3159 3.5 4. 2 28. ให้ปี พ.ศ. 2539 เป็นปีฐานในการหาดัชนีราคาผู้บริโภคตัง้ แต่ พ.ศ. 2540 เป็นต้นไป สมมติว่า ดัชนีราคาผู้บริโภคใน พ.ศ. 2540 เท่ากับ 104 และค่าครองชีพใน พ.ศ. 2543 สูงกว่าค่าครองชีพใน พ.ศ. 2540 เท่ากับ 25 เปอร์เซ็นต์ ถ้านายสุจริตมีรายได้ต่อเดือนที่แท้จริงใน พ.ศ. 2543 เท่ากับ 20,000 บาท แล้ว เขามีรายได้ต่อเดือนเป็นตัวเงินเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 23,000 บาท 2. 24,000 บาท 3. 25,000 บาท 4. 26,000 บาท เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 ตอนที่ 2 2 (10) (19) 4 (28) 4 (1) 56 (1) 2 4 (11) (20) 1 (2) 0.5 (3) 4 (4) 1.28 (5) 10 (6) 5 (7) 44.79 (8) 90 (2) 1 (3) 4 (4) 1 (5) 4 (6) 3 (7) 2 (8) ไม่มีข้อถูก (9) 1 (12) 2 (13) 3 (14) 3 (15) 3 (16) 2 (17) 3 (18) 1 (21) 3 (22) 2 (23) 2 (24) 1 (25) 4 (26) 3 (27) 2 เฉลยวิธีคิด a+b ตอนที่ 1 (1) n(A × B) = 40 แสดงว่า ab = 40 .....(1) n [(A − B) ∪ (B − A)] = 7 m ∴ a, ต้องเป็นจํานวนคี่เท่านัน้ b = 5 กับ 8 ... จะได้ m = (13 − 7) / 2 = 3 n(A ∪ B) = 5 + 8 − 3 = 10 แสดงว่า (a − m) + (b − m) = 7 → a + b = 2 m + 7 ดังนัน้ จํานวนสับเซตของ A ∪ B ซึ่งหยิบสมาชิกมา ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 10 ⎞ .....(2) < 2 ตัว คือ = ⎛⎜ 10 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = 56 ตอบ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ โดยที่ a, b, m เป็นจํานวนนับ และ m < a, b [หมายเหตุ a, b เป็น 1, 40 ไม่ได้ จากสมการแรกพบว่ามี a, b หลายคู่ คือ 1, 40 เพราะจะทําให้ m = (41 − 7) / 2 = 17 มากกว่า a ] 2, 20 4, 10 5, 8 แต่จากสมการที่สองจะทราบว่า Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (2) g(4) = 43 = 64 ตอนที่ 2 (1) ก. สัญลักษณ์ แสดงว่า −1 2 f (64) = 2 → f(2) = 64 → a(2 ) = 64 ∴ a = 16 โจทย์ถาม ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 508 f −1(64) 2 = = 0.5 g−1(64) 4 (หมายถึง ตอบ b = a a b แปลว่า a ไปหาร b ลงตัว จํานวนเต็ม) สิ่งทีค่ วรทราบคือ (เมื่อ a, b, c, n เป็นจํานวนนับ) (3) f(2) = 0 → 8 + 4k + 2m + 4 = 0 .....(1) (i) ถ้า a b และ a c แล้ว a (b ± c) (ii) ถ้า a b แล้ว a bc f(−1) = 3 → −1 + k − m + 4 = 3 .....(2) (iii) ถ้า an b แล้ว a b ได้ k = −2, m = −2 ตอบ 4 2 (4) cos ⎛⎜ π + θ ⎞⎟ = − sin θ ดังนั้น จากโจทย์จะได้ จาก a (2b − c) .....(1) และ a (b + c) .....(2) ⎝2 ⎠ ประโยค (2) แสดงว่า a (b + c) ∴ a (2b + 2c) 4 4⎞ ⎛ 1 − sin ⎜ arccos − arctan ⎟ นําไปลบกับ (1) เพื่อกําจัด b ทิ้งไป จะได้ว่า 5 3⎠ ⎝ a [(2b + 2c) − (2b − c)] → a 3c ก. ถูก ใช้สูตร sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B ได้เป็น ⎛3 3 4 4⎞ 1 − ⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ = 1.28 ⎝5 5 5 5⎠ ∴ f(x) = 2x3 + 6x2 − 3 → f′(x) = 6x2 + 12x = 0 → x = 0, −2 f(0) = −3 , f(−2) = 5 ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ = 5 ตอบ (7) ปี 2547; เทียบเป็นค่า x = 11 ซึ่ง −1 ˆ = 0.54(11) + 38.85 = 44.79 ∴Y ลิตร ตอบ (8) ตอนที่ 1 เลือกทํากีข่ ้อก็ได้ ยกเว้นไม่ทําเลย 4 4 4 4 → ⎛⎜ 1 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ 4 ⎞⎟ = 24 − 1 = 15 วิธี ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ตอนที่ 2 เลือกสองข้อเท่านั้น ตอบ 15 × 6 = 90 วิธี 4 → ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 6 ⎝ ⎠ 1 (เพราะ x2 − 3x + 4 แยกไม่ได้) ∴ A = (−∞, 2) B; x2(x − 2) < 0 → เขียนเส้นจํานวนโดยให้มีเลข 0 สองครั้งด้วย จะได้ B = (−∞, 2) − {0} ข. ผิด ตอบ ข้อ 2. (2) ก. ให้เหตุเป็นจริงทุกข้อ จะได้วา่ p จริง, q จริง, r เท็จ, s จริง พบว่าผลจะเป็นจริงเสมอ ดังนัน้ ก. สมเหตุสมผล ข. เหตุ 2 คือ Q(x) ∨ R(x) เปลี่ยนรูปเป็น ~ Q(x) → R(x) แล้วนําไปรวมกับเหตุ 1 คือ P(x) → ~ Q(x) ได้ผลเป็น P(x) → R(x) ดังนัน้ ข. สมเหตุสมผล ตอบ ข้อ 1. (3) P(x); x (x − 3) < 0 → 0 < x < 3 แสดงว่า P(x) แทนข้อความ “ x ∈ (0, 3) ” ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Q(x); ⎜ ⎟ < x < ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ∴ ∴ ข. A; a = 4i − 2j .....(1) a + b = 6 i + 4 j .....(2) นําสมการ (2) ลบด้วยสมการ (1) ได้ b = 2 i + 6 j ∴ (a − b) = 2 i − 8 j เวกเตอร์ c มีขนาด 2 17 → c21 + c22 = 2 17 และตั้งฉากกับ 2 i − 8 j (ดอทกันได้ 0) → 2c1 − 8c2 = 0 แก้ระบบสมการ จะได้ c1 = 8, c2 = 2 ตอบ 10 (6) y สัมผัสกับ L; y = −6x − 5 ที่จดุ x = −1 แสดงว่า f(−1) = −6(−1) − 5 = 1 → −a + b − 3 = และความชัน f′(−1) = −6 → 3a − 2b = −6 แก้ระบบสมการได้ a = 2 และ b = 6 (5) x2 − 2x + 2 − x + 2 < 0 x −2 x2 − 3x + 4 → < 0 → x −2 < 0 x−2 ตอบ วิธี −2 → 3 < x < 9 แสดงว่า Q(x) แทนข้อความ “ x ∈ (3, 9) ” ∴ ข้อที่ถูกคือ ข้อ 4. ตอบ [สําหรับทุกๆ x, ถ้า x ∈ (0, 3) แล้ว x ∉ (3, 9) ] (4) f −1(x) = x2 → f(x) = x g−1(x) = ( x)2 + 1 = x + 1 → g(x) = x − 1 f(a) + g(a) = ดังนัน้ → a+ จะได้ a + a − 1 = 19 a − 20 = 0 → ( a − 4)( a + 5) = 0 a = 16 เท่านัน้ ∴ f −1(16) + g−1(16) = 162 + 16 + 1 = 273 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET 509 (5) พิจารณา Rg ทีละช่วง กรณีแรก ถ้า x < 1 ดังนัน้ ดังนัน้ Rg ช่วงแรกคือ กรณีที่สอง ถ้า x > 1 y = 1 − 8(x − 2)2 → y − 1 = −8(x − 2)2 → (x − 2)2 = 4 (− 1 )(y − 1) 32 → 0 < 10x < 10 → x3 > 1 ดังนัน้ Rg → −10a < −a(10x) < 0 (−10a, 0) → x3 − 1 > 0 อีกช่วงคือ [0, ∞ ) ∴ −10 a = −2.5 → a = 1 4 → x = log 3 ก. ผิด ข. g (x) ที่โจทย์ให้มานั้นผิดตรงเงือ่ นไข คือ เราพบว่า Rg = (−2.5, 0) ∪ [0, ∞ ) ดังนัน้ g−1(x) ต้องเป็น ข. ผิด ตอบ ข้อ 4. (6) ก. พิจารณาว่า 4 ∈ Rr หรือไม่ ทําได้โดยให้ y = 4 ดูวา่ มีค่า x หรือไม่ → 4 = x2 − 4 x −2 7 2 และระยะ AB คือ 7 หน่วย ตอบ (8) จัดรูปพาราโบลา; ดังนัน้ จุดโฟกัสคือ (1, 63 ) 32 (1, 2) , คว่าํ , c = 1 32 หารัศมีวงกลมจากระยะ 63 ) ไปถึงเส้นตรง 32 3(1) − 4(63 / 32) + 5 1/ 8 1 = = r = 5 40 32 + 42 ระหว่างจุด (1, สมการวงกลม (x − 1)2 + (y − 63)2 = ( 1 )2 32 40 ในตัวเลือกที่ให้มา ไม่มีขอ้ ถูกเลย ตอบ (9) sin A = 2 sin B .....(1) −1 ⎧ log ( 4 x ) , − 2.5 < x < 0 g−1(x) = ⎨ 3 x>0 ⎩ x+1 , x = 2± เป็นพาราโบลาทีม่ ีจุดยอด ก. g−1(a − 1) = g−1(3) พบว่า − 3 ∈ (−2.5, 0) 4 4 1 3 x จึงคิดจาก − (10 ) = − 4 4 ∴ 10x = 3 ขอสอบเขาฯ ต.ค.46 → 4 x − 8 = x2 − 4 → x2 − 4 x + 4 = 0 → cos A = 3 1 cos B 2 .....(2) sin2 A + cos2 A = 1 จะได้ 2 1 ( sin B)2 + ( cos B)2 = 1 3 2 4 1 → sin2 B + cos2 B = 1 3 2 4 1 → sin2 B + (1 − sin2 B) = 1 3 2 5 1 3 → sin2 B = → sin2 B = 6 2 5 3 2 3 ∴ cos2 B = 1 − = → tan2 B = 5 5 2 แต่ มอง x = A จะได้ A − 4A + 4 = 0 ซึ่งถ้าลองแยกตัวประกอบ (จํานวนจริง) จะแยกไม่ได้ ∴ ก. ผิด ข. Rr = Dr; x − 2 ≠ 0 และ x > 0 (ในรู้ท) ∴ x ≠ 2 → x ≠ 4 จะได้ [0, 4) ∪ (4, ∞) ข. ถูก (10) ให้ 3x = A, 2x = B ตอบ ข้อ 3. → AB − 3A − 4B + 12 = 0 (7) จัดรูป; → A (B − 3) − 4 (B − 3) = 0 4 −1 12(y2 + 6y + 9) − 4(x2 − 4x + 4) = − 44 + 108 − 16 (y + 3)2 (x − 2)2 → − = 1 4 12 เป็นไฮเพอร์โบลา เปิดบนล่าง, จุดศูนย์กลาง (2, −3) และระยะโฟกัส c = 4 + 12 = 4 ดังนัน้ วงรีทตี่ ้องการ มีจุดศูนย์กลางที่ (2, −3) จุดยอด a = 4 A B “สัมผัสแกน y” แปลว่า ค่า b = 2 ดังรูป 2 (2,-3) (y + 3)2 (x − 2)2 จะได้ − = 1 4 16 4 หาจุดตัดแกน x โดยแทน y = 0 9 (x − 2)2 7 → − = 1 → (x − 2)2 = 16 4 4 → (A − 4)(B − 3) = 0 → 3x = 4 หรือ ตอบ 2x = 3 → x = log3 4 หรือ x = log2 3 ดังนัน้ ab = log2 4 = 2 โจทย์ถาม (ab)2x + 1 = (ab + 3)x → 22x + 1 = 5x ใส่ log ฐานสอง ทั้งสองข้าง (2x + 1) = x log2 5 −1 1 ตอบ → x = = 2 − log2 5 log2 5 − 2 (11) จากเงือ่ นไขของ log จะได้ คือ (−∞, −3) ∪ (1, ∞) ∴x > 1 → Math E-Book Release 2.2 x+3 > 0 x−1 เสมอ แต่ x ต้องเป็นฐานด้วย เท่านัน้ (แสดงว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่ม) x+3 > x1 x−1 → (คณิต มงคลพิทักษสุข) x + 3 − x2 + x >0 x−1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET → x2 − 2x − 3 0 ดังนัน้ P(2, 5) ย่อมมากกว่า P(2, 1) และ P(4, 3) ย่อมมากกว่า P(4, 1) ตัด (2, 1) กับ (4, 1) ทิ้งไป ต่อมาพิจารณาว่าจุด (2, 5) หรือ (4, 3) ที่เกิด เนื่องจากความชันของ P คือ − zz = 61 → a2 + b2 = 61 จาก → b2 = 61 − 36 Pmax 2 a −1 a ∴ b = ±5 แต่โจทย์ว่า b > 0 ดังนั้น b = 5 ตอบ 6 + 5 = 11 (18) จากสมการ x2 + 4x = x2 − 16 กรณีแรก x2 + 4x = x2 − 16 → 4x = −16 → x = −4 โจทย์บอกว่า a2 − a − 2 > 0 → a2 − 1 > a + 1 กรณีที่สอง x2 + 4x = −x2 + 16 แสดงว่า a2 − 1 > a แน่นอน ดังนัน้ ความชัน P จึง → x2 + 2x − 8 = 0 → x = 2, −4 ติดลบมากกว่า 1 ∴ แสดงว่าโจทย์ถาม lim + lim x →2 x → −4 m 0 และทุกๆ ค่าของ X 3. จํานวนตรรกยะ เป็นจํานวนเต็ม ค่าเฉลี่ย 4. จํานวนอตรรกยะ 7. จากการขนส่งสินค้าทางบกจากกรุงเทพไปยังจังหวัดอุดรธานี พบว่ามีการขนส่งด้วยรถไฟและ รถบรรทุกอยู่ร้อยละ 20 มีการขนส่งด้วยรถไฟร้อยละ 30 ถามว่ามีการขนส่งสินค้าด้วยรถบรรทุก อยู่ร้อยละเท่าใด มีนาคม 2542 8. โรงงานผลิตถ้วยแก้วแห่งหนึ่งมีการควบคุมคุณภาพแบบสุ่มตรวจ ระดับคุณภาพของโรงงานอยู่ที่ ความผิดพลาดหรือข้อบกพร่องของผลิตภัณฑ์ (เช่น บิ่น เบี้ยว ผิดขนาด ฯลฯ) ไม่เกินร้อยละ 5 ดังนั้นในการผลิตถ้วยแก้ว 1,500 ใบ จะต้องสุ่มตรวจกี่ใบที่เมื่อไม่พบข้อบกพร่องเลยจะสามารถ ยอมรับได้ตามเกณฑ์ระดับคุณภาพดังกล่าว 1. 75 ใบ 2. 74 ใบ 3. 19 ใบ 4. 20 ใบ 9. เมือง A N A และ อยู่ห่างกัน 20 กม. ดําออกเดินทางจากเมือง A ในแนวทิศะวันออกเฉียง เหนือ แดงออกเดินทางจากเมือง B ในแนวทิศตะวันตกเฉียงเหนือ เมือง C อยู่ ระหว่างทางในแนวทางเดินของดํากับแดง เมือง C อยู่ห่างจากเมือง A เท่าไร 1. 10.00 กม. 2. 10 2 กม. 3. 10 3 กม. 4. 20.00 กม. B 20 กม. B 10. แผนกซ่อมบํารุงของโรงงานแห่งหนึ่งมีพนักงานประจํา 9 นาย เป็นช่างกลโรงงาน 5 นาย และ ช่างไฟฟ้า 4 นาย ในการจัดทีมซ่อมบํารุงแต่ละครั้งจะใช้ช่างกลโรงงาน 3 นาย และช่างไฟฟ้า 2 นาย ในฐานะหัวหน้าแผนกซ่อมบํารุง ท่านมีวิธีจัดทีมงานได้กี่วิธี มีนาคม 2543 11. แก้วบรรจุน้ําเต็มปริ่มใบหนึ่ง หมุนรอบแกนกลางของแก้วด้วยความเร็วคงที่ แรงหนีศูนย์กลางที่ เกิดขึ้นทําให้น้ําที่อยู่ในแก้วส่วนหนึ่งล้นออกจากแก้ว เมื่อมองจากภาพตัดขวาง น้ําที่เหลืออยู่ในแก้ว ขณะนั้นอยู่ในรูปพาราโบลา ซึ่งก้นรูปพาราโบลาแตะก้นแก้ว และขอบพาราโบลาแตะขอบแก้วด้านบน พอดี สามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ในแนว x และ y ของรูปพาราโบลาได้เป็น y = x 2 ดังรูป น้ําที่เหลืออยู่ในแก้วมีปริมาตรเท่าใด y = x2 1. มากกว่า 1/3 ของแก้ว 2. 1/3 ของแก้ว 4. ข้อมูลไม่เพียงพอที่จะบอกได้ 3. น้อยกว่า 1/3 ของแก้ว 12. ในการคํานวณค่าความสามารถของกระบวนการผลิต ดัชนีชี้วัดประกอบด้วย CPU = USL − X 3 ⋅ SD CPL = LSL − X 3 ⋅ SD และ CPK = ค่าทีต่ ่ํากว่าระหว่าง CPU กับ CPL โดยที่ USL คือค่าควบคุมขั้นสูง LSL คือค่าควบคุมขั้นต่ํา X คือค่าปัจจัยเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ SD คือค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานของปัจจัย เมื่อค่า CPK = 1 ผลิตภัณฑ์ที่เสียหายซึ่งเกิดขึ้นเมื่อปัจจัยสูง z 0.00 3.00 หรือต่ํากว่าค่าควบคุมจะมีจํานวนร้อยละเท่าไร (ทศนิยม 2 A 0.0000 0.4987 ตําแหน่ง) ใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่กําหนดให้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 575 ตุลาคม 2543 13. ผลสอบวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรมของนักเรียนจํานวน 100 คน มีตารางแจกแจงความถี่ดังนี้ ช่วงคะแนน 0–9 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 ความถี่ 15 10 20 30 10 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. มัธยฐานมีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต 3. ฐานนิยมมีค่ามากกว่ามัธยฐาน ช่วงคะแนน 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 ความถี่ 5 5 3 1 1 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่ามากกว่าฐานนิยม 4. มัธยฐานมีค่ามากกว่าฐานนิยม 14. ในการวัดการเปลี่ยนแปลงของการทดลองทางวิศวกรรม บ่อยครั้งที่ค่าที่วดั ได้จะอยู่ในรูปของลําดับ ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้องเกี่ยวกับลําดับ 1. โดเมนของลําดับเป็นจํานวนเต็มบวก 2. ลําดับเรขาคณิตคือลําดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n คงที่ 3. ค่าลิมิตของลําดับคือค่าเพียงจํานวนเดียว ที่พจน์ที่ n ของลําดับมีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นอย่างอนันต์ 4. ลําดับไดเวอร์เจนต์คือลําดับอนันต์ที่มีค่าลิมิตของลําดับเป็นจํานวนจริง 15. นาย ก ยืนอยู่บนดาดฟ้าของตึก A ซึ่งสูง 10 เมตร ต้องการส่งสัญญาณให้นาย ข โดยใช้ กระจกสะท้อนแสงอาทิตย์ โดยนาย ข ยืนรออยู่บนดาดฟ้าของตึก B ซึ่งสูง 50 เมตร และอยู่ห่าง จากตึก A 30 เมตร ขณะนั้นเป็นเวลาเที่ยงตรง นาย ก จะต้องวางกระจกสะท้อนแสงทํามุมกับพื้น ราบเป็นมุมเท่าใด 1. tan−1 4 เรเดียน 2. tan−1 5 เรเดียน 3. π 3 4 − tan 2 3 −1 เรเดียน 3 1 4 − tan−1 4 2 3 4. π เรเดียน 16. เลขจํานวนเชิงซ้อนใช้อย่างแพร่หลายในงานคํานวณด้านวิศวกรรม ข้อใดต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติที่ ไม่ถูกต้องของจํานวนเชิงซ้อน (กําหนดให้ z , z1 และ z2 เป็นจํานวนเชิงซ้อน) 2. z−1 = z − 1 1. (z)−1 = (z−1) 4. z1 ⋅ z2 < z1 z2 3. z1 + z2 < z1 + z2 17. การเก็บข้อมูลแสดงความเสียหายของเครื่องจักร A พบว่าชั่วโมงการทํางานเฉลี่ยของเครื่องจักร ก่อนเสียหายคือ 2000 ชั่วโมงทํางาน และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 100 ชั่วโมงทํางาน ดังนั้น ในฐานะที่ท่านเป็นวิศวกรฝ่ายบํารุงรักษาเครื่องจักร ท่านจะวางกําหนดเวลาการเข้าบํารุงรักษา เครื่องจักร A ไว้ที่กี่ชั่วโมงทํางาน เพื่อให้เครื่องจักรมีโอกาสทํางานได้ 97% ให้ถือว่าอัตราการ เสียหายเป็นการแจกแจงแบบปกติ z 0.00 1.88 ใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่กําหนดให้ต่อไปนี้ A Math E-Book Release 2.2 0.0000 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 0.4700 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 576 มีนาคม 2544 18. โรงงานอุตสาหกรรมขนาดเล็กแห่งหนึ่งผลิตผลิตภัณฑ์และบรรจุใส่กล่อง กล่องละ 1 โหล เพื่อ จําหน่ายทั้งกล่อง ก่อนส่งออกจําหน่ายเจ้าหน้าที่ตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์จะสุ่มผลิตภัณฑ์ในกล่อง อย่างไม่ใส่คืนทุกกล่อง กล่องละ 3 ชิ้น เพื่อตรวจสอบคุณภาพ ถ้าสุ่มพบผลิตภัณฑ์ชํารุดแม้แต่ชิ้น เดียว จะส่งผลิตภัณฑ์ทั้งกล่องกลับไปยังโรงงาน และถ้าไม่พบผลิตภัณฑ์ชํารุดเลยจะส่งผลิตภัณฑ์ กล่องนั้นออกจําหน่าย จงหาความน่าจะเป็นที่กล่องที่มีผลิตภัณฑ์ชํารุด 3 ชิ้น จะถูกส่งออกไป จําหน่าย 1. 12/55 2. 27/55 3. 7/55 4. 21/55 19. ฟังก์ชัน f เป็นสับเซตจาก R ไป R นิยามว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) ถ้ามีคุณสมบัติต่อไปนี้ (i) f (x + y) = f (x) + f (y) (ii) α f (x) = f (αx) โดยที่ α เป็นค่าคงที่จํานวนจริงใดๆ ข้อใดต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น 1. 2. 3. f(x) f(x) f(x) x x 4. x f(x) x 20. เครื่องบรรจุนมกล่องกึ่งอัตโนมัติจะบรรจุนมใส่กล่องกระดาษ โดยปริมาตรบรรจุมีการแจกแจง ปกติและมีค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 ลบ.ซม. ในการจําหน่ายจะบรรจุนมกล่องในลังกระดาษ ขนาดบรรจุ 2 โหลเพื่อจําหน่าย ถ้าความน่าจะเป็นที่นมในกล่องจะมีปริมาตรเกินกว่า 250 ลบ.ซม. เป็นร้อยละ 50 จงหาปริมาตรเฉลี่ยของนมกล่องทั้งลัง เป็น ลบ.ซม. ตุลาคม 2544 21. ผลิตภัณฑ์ ก ประกอบด้วยชิ้นส่วน ข จํานวน 2 ชิ้นนํามาประกอบเข้าด้วยกัน ถ้าชิ้นส่วน ข ชํารุดจะใช้เวลาในการปรับแต่งก่อนประกอบ 9 นาที และใช้เวลาในการประกอบ 1 นาที ถ้าชิ้นส่วน ข ไม่ชํารุดจะไม่ต้องปรับแต่ง และใช้เวลาในการประกอบ 1 นาทีเช่นเดียวกัน ถ้าสุ่มชิ้นส่วน ข มา จากกล่องชิ้นส่วน ข จํานวน 10 ชิ้น ซึ่งมีชิ้นส่วน ข ที่ชํารุดอยู่ 3 ชิ้น และชิน้ ส่วน ข ที่ไม่ชํารุด 7 ชิ้น จงหาเวลาเฉลี่ยในการประกอบผลิตภัณฑ์ ก จํานวน 1 ชิน้ 1. 7.2 นาที 2. 7.4 นาที 3. 8.4 นาที 4. 8.6 นาที 22. ระบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์หนึ่งๆ จะประกอบด้วยคอมพิวเตอร์หลายเครื่อง เครื่องคอมพิวเตอร์ แต่ละเครื่องมีหน้าที่รับและส่งข้อมูล ถ้าสมมติว่าคอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งมีข้อมูลเข้ามาจากเครื่องอื่น ด้วยอัตราคงที่ 20 หน่วย/วินาที และจะส่งข้อมูลทั้งหมดที่เข้ามาออกไปยังเครื่องอื่นที่อัตราคงที่ 10 หน่วย/วินาทีด้วยความน่าจะเป็น 1/2 และจะส่งข้อมูลกลับไปรวมกับข้อมูลที่เข้ามาจากเครื่องอื่นที่ อัตราคงที่ 10 หน่วย/วินาทีด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ถ้าเครื่องคอมพิวเตอร์เครื่องนี้สามารถเก็บข้อมูล ในเครื่องได้มากที่สุด 300 หน่วย จงหาว่านานเท่าไรเครื่องคอมพิวเตอร์เครื่องนี้จะสูญเสียข้อมูลจาก การที่ไม่สามารถเก็บข้อมูลส่วนเกินได้ กําหนดให้เครื่องนี้จะส่งข้อมูลออกทันทีที่มีข้อมูลเก็บอยู่ในเครื่อง 1. 12 วินาที 2. 15 วินาที 3. 20 วินาที 4. 30 วินาที Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 577 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 23. บนเกาะแห่งหนึ่งมีคนอยู่ 2 ประเภท ประเภทแรกเป็นคนที่พูดความจริงเสมอ ส่วนประเภทสอง เป็นคนที่พูดโกหกเสมอ เมื่อท่านขึ้นไปบนเกาะได้ยินคนบนเกาะ 2 คน คือ A และ B พูด ดังนี้ A พูดว่า “B เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ” B พูดว่า “ฉันและ A เป็นคนคนละประเภทกัน” ท่านคิดว่า A และ B เป็นคนประเภทไหน 1. A และ B เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ 2. A และ B เป็นคนที่พูดโกหกเสมอ 3. A เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ ส่วน B เป็นคนที่พูดโกหกเสมอ 4. A เป็นคนที่พูดโกหกเสมอ ส่วน B เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ 24. ประเทศ 3 ประเทศ ได้แก่ประเทศ X, ประเทศ Y, และประเทศ Z เป็นประเทศเพื่อนบ้าน มี ชายแดนติดกันดังแสดงในภาพ นาย x เป็นพลเมืองประเทศ X ทํางานที่ด่านตรวจคนเข้าเมือง ของประเทศ X มีนิสัย “พูดจริง” เสมอ นาย y เป็นพลเมือง ประเทศ X ประเทศ Y ประเทศ Y ทํางานที่ด่านตรวจคนเข้าเมืองของประเทศ Y มี นิสัย “พูดเท็จ” เสมอ เนื่องจากงานค่อนข้างน่าเบื่อ นาย x ด่าน X ด่าน Y และนาย y จึงชอบเปลี่ยนด่านที่ทํางาน บางวันนาย x จะย้าย ไปทํางานที่ด่านของประเทศ Y ส่วนนาย y จะย้ายไปทํางาน ประเทศ Z แทนที่ประเทศ X แต่บางวันทั้งคู่ก็อยู่ประจําด่านของประเทศ ตนเอง ขึ้นอยู่กับอารมณ์และสถานการณ์ในแต่ละวัน หากนาย z ซึ่งเป็นพลเมืองประเทศ Z ต้องการเดินทางเข้าประเทศ X และได้ศึกษาจาก คู่มือท่องเที่ยวซึ่งได้กล่าวถึงพฤติกรรมของนาย x และนาย y ไว้อย่างชัดเจน ดังนั้นเมื่อนาย z ไปถึง ด่านตรวจคนเข้าเมือง คําถามใดที่นาย z ควรใช้ เพื่อตัดสินใจว่าด่านใดคือด่านเข้าประเทศ X ที่เท้ จริง (โดยนาย z มีโอกาสถามได้เพียง 1 ครั้งเท่านั้น) 1. “ท่านเป็นเพศชาย ใช่ไหม” 2. “ท่านเป็นพลเมืองของประเทศนี้ ใช่ไหม” 3. “ท่านพูดความจริงเสมอ ใช่ไหม” 4. การถามเพียง 1 คําถาม ไม่เพียงพอต่อการหาข้อสรุป 25. ในการสํารวจการสวมใส่อุปกรณ์ป้องกันภัยส่วนบุคคล 3 ชนิด ของพนักงานในหน่วยงานหนึ่ง จํานวน 100 คน พบว่าพนักงานส่วนใหญ่ละเลยในการสวมใส่อุปกรณ์ป้องกันภัย ทําให้มีโอกาสเกิด อันตรายได้ค่อนข้างสูง จากมาตรฐานความปลอดภัยในการทํางานได้ระบุว่าต้องสวมใส่อุปกรณ์อย่าง น้อย 2 ชนิด คือหูเสียบป้องกันเสียงดังและแว่นตานิรภัย ผลการสํารวจพบว่ามีพนักงานส่วนน้อย 3 คน ที่ไม่ยอมใส่อุปกรณ์อะไรเลย และ 1) มีผู้สวมใส่หูเสียบป้องกันเสียงดัง 50 คน 2) มีผู้สวมใส่แว่นตานิรภัย 70 คน 3) มีผู้สวมใส่ผ้าปิดจมูกอย่างเดียว 20 คน 4) มีผู้สวมใส่แว่นตานิรภัยอย่างเดียว 15 คน 5) มีผู้สวมใส่ผ้าปิดจมูกและหูเสียบป้องกันเสียงดัง 20 คน 6) มีผู้สวมใส่แว่นตานิรภัยและผ้าปิดจมูก 28 คน อยากทราบว่า มีโอกาสเท่าใดที่พนักงานจะสวมใส่อุปกรณ์ได้ถูกต้องตามมาตรฐานความปลอดภัย 1. 0.27 2. 0.35 3. 0.43 4. ผิดทุกข้อ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 578 26. จงหาจํานวนทางเดินทั้งหมดจากจุด a ไปยังจุด b โดย จะต้องเดินไปทางขวาหรือลงล่างเท่านั้น จากรูปเป็นตัวอย่าง ทางเดินแบบหนึ่งจากจุด a ไปจุด b 1. 70 2. 16 3. 256 4. ผิดทุกข้อ a b 27. ในการบริหารความปลอดภัยในโรงงานมีหลักการง่ายๆ ว่า “เมื่อลงทุนจัดทําระบบความปลอดภัย ยิ่งสูง ก็จะทําให้อุบัติเหตุน้อยลง” จากการศึกษาพฤติกรรมของค่าใช้จ่ายทั้งสองพบว่าสามารถแสดงได้ ดังกราฟต่อไปนี้ จํานวนเงิน (ล้านบาท) f = 0.01 x − 0.01 g = 1 x−1 อยากทราบว่า จะต้องใช้เงินลงทุนในระบบ ความปลอดภัยเท่าใด ถึงจะได้ผลตอบแทนที่ คุ้มค่าที่สุด (หน่วย : 1000 บาท) มีนาคม 2545 28. บริษัทแห่งหนึ่งผลิตสินค้าชิ้นหนึ่ง มีฟังก์ชันต้นทุนรวม ดังสมการ C (x) = x 3 + x บาท โดย คือจํานวนหน่วยของสินค้าที่ผลิตซึ่งจะสัมพันธ์กับเวลา ( t ) หน่วยเป็นเดือน ดังสมการต่อไปนี้ x t = x 2 − 2x + 7 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนต่อเวลา ในเดือนที่ 4 ของการผลิต 2. 7 บาท/เดือน 1. 8 1 บาท/เดือน 6 3. 112 บาท/เดือน 4. ไม่มีข้อถูก 29. ห้องเรียน A และห้องเรียน B มีนักเรียนรวมกันทั้งสิ้นเท่ากับ 55 คน เมื่อทําการจัดห้องเรียน พบว่าห้องเรียน A สามารถจัดให้นักเรียนนั่งได้แถวละ 5 คนพอดี ส่วนห้องเรียน B ก็สามารถจัดให้ นักเรียนนั่งได้แถวละ 6 คนพอดี ข้อใดสรุปได้ถูกต้อง เกี่ยวกับจํานวนแถวของห้องเรียน A และห้องเรียน B 1. จํานวนแถวของห้องเรียน A < จํานวนแถวของห้องเรียน B 2. จํานวนแถวของห้องเรียน A = จํานวนแถวของห้องเรียน B 3. จํานวนแถวของห้องเรียน A > จํานวนแถวของห้องเรียน B 4. สรุปไม่ได้ 30. บริษัทแห่งหนึ่งมีจํานวนโทรศัพท์ที่โทรเข้าในช่วงเวลา t ชั่วโมง โดยมีความน่าจะเป็นดังนี้ tn −t P [N(t) = n] = 2 ซึ่ง N(t) คือจํานวนที่โทรเข้าในช่วงเวลา t ชั่วโมง n! จงหาความน่าจะเป็นซึ่งช่วงเวลาระหว่างการโทรเข้าแต่ละครั้งน้อยกว่า 1. 0 2. 1/4 3. 1/2 31. กระดาษรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉาก ยาว 3 และ 4 cm สามารถตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ใหญ่ ที่สุดได้กี่ตาราง cm Math E-Book Release 2.2 2 ชั่วโมง 4. 3 4 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 3/4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 579 32. ในการรับสมัครนักศึกษาด้วยการสอบเข้าของคณะวิศวกรรมศาสตร์ ณ มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง มี เกณฑ์ว่าผู้มีสิทธิ์เข้าสอบสัมภาษณ์จะต้องมีค่ามาตรฐานของคะแนนสอบตั้งแต่ 1.5 ขึ้นไป ถ้า ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบของผู้เข้าสอบทั้งหมดเป็น 50 และค่าความแปรปรวนของคะแนนสอบเป็น 4 จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ผู้เข้าสอบจะมีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์ต่อเมื่อทําข้อสอบได้ร้อยละเท่าไร ขึ้นไป ตุลาคม 2545 33. อุปกรณ์ป้องกัน (Circuit Breaker) ในระบบส่งจ่ายกําลังไฟฟ้าของการไฟฟ้าฝ่ายผลิตของ ประเทศไทย ดังแสดงข้อมูลในตารางข้างล่าง อุปกรณ์ปอ้ งกัน (Circuit Breaker) A B C D ราคา/หน่วย 750,000 650,000 550,000 450,000 Probability ที่จะชํารุด ในเวลา 5 ปี 0.18 0.2 0.25 0.3 พนักงานออกแบบและวางแผนของการไฟฟ้าฯ ควรจะเลือกอุปกรณ์ป้องกัน (Circuit Breaker) ประเภทใดมาใช้งานเพื่อให้เกิดความคุ้มทุนมากที่สุด 1. D 2. C 3. B 4. A 34. จากรูปแสดงการเปรียบเทียบเส้นโค้งความถี่ของค่าระดับความเข้มแสง (Intensity value) แต่ละ จุดภาพของรูปภาพต้นไม้และรูปภาพเครื่องบิน ซึ่งแต่ละรูปภาพมีขนาด 128 x 128 จุดภาพ วิศวกร ท่านหนึ่งได้คํานวณค่ามัธยฐานของค่าระดับความเข้มแสงของรูปภาพทั้งสอง พบว่ามีค่าเท่ากันคือ 128 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. การกระจายของค่าระดับความเข้มแสงของรูปภาพต้นไม้และรูปภาพเครื่องบิน มีค่าเท่ากัน ข. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าระดับความเข้มแสงของรูปภาพต้นไม้และเครื่องบิน มีค่าเท่ากัน ค. ฐานนิยมของค่าระดับความเข้มแสงของรูปภาพต้นไม้มีค่าน้อยกว่า 128 จํานวนจุดภาพ ภาพต้นไม้ 6,000 ภาพเครื่องบิน O 255 อยากทราบว่าจํานวนข้อที่ถูกมีทั้งหมดกี่ข้อ 1. 1 ข้อ 2. 2 ข้อ ระดับความเข้มแสง 3. 3 ข้อ 4. ผิดหมดทุกข้อ 35. ถ้าในประเทศไทยมีรหัสที่รับนักศึกษาต่อในคณะวิศวกรรมศาสตร์ จํานวน 100 รหัส แล้ว ใน การสอบคัดเลือกบุคคลเข้าศึกษาในสถาบันอุดมศึกษาของทบวงมหาวิทยาลัยคราวนี้ ผู้สมัครจะมี โอกาสเข้าศึกษาต่อได้กี่รหัส 1. ไม่เกิน 4 รหัส 2. 100P4 รหัส 3. 100 C4 รหัส 4. 100 รหัส Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 580 36. ในการตัดแผ่นเหล็กรูปสี่เหลี่ยม ABCD ด้วยเครื่องตัดพลาสมา จากเหล็กแผ่นรูปวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง 8 เมตร โดยรูปสี่เหลี่ยม ABCD นี้สามารถวางลงใน Quadrant ที่ 2 ของแผ่นโลหะได้พอดีดังรูป จงหาระยะ BD 1. 8 เมตร 2. 4 เมตร 3. 4 3 เมตร 4. ข้อมูลไม่เพียงพอที่จะตอบ A B D C มีนาคม 2546 37. รูปเหลี่ยมด้านเท่าต้องมีความยาวแต่ละด้านไม่มากกว่าเท่าใด เพื่อที่วงกลมรัศมี r สามารถ สัมผัสกับทุกด้านได้ 1. 4 r 2. 2 3 r 3. 2 r 4. 2 r/ 3 38. บริษัทผลิตรถยนต์แห่งหนึ่งทําการผลิตรถยนต์ 3 รุ่น โดยแต่ละรุ่นใช้วัสดุตามตาราง รุ่น A B C เหล็ก (kg) 200 250 200 อะลูมิเนียม (kg) 300 300 250 พลาสติก (kg) 400 400 300 ปรากฏว่าในวันนี้มีวัสดุในโกดังดังนี้ เหล็ก 1,000 kg อะลูมิเนียม 1,500 kg พลาสติก 1,600 kg เพื่อให้วันนี้ผลิตรถยนต์ให้ได้จํานวนมากที่สุด วิศวกรโรงงานควรเลือกปฏิบัติตามข้อใด ก. ไม่ผลิตรถยนต์รุ่น A และ B เลย เพราะว่าใช้วัสดุมาก ข. ตัดสินใจโดยพิจารณาปริมาณการใช้เหล็กและพลาสติกเป็นหลัก ค. ผลิตรถยนต์รุ่น C รุ่นเดียว เพราะว่าสามารถได้จํานวนมากถึง 5 คัน 1. ก และ ข 2. ก ข และ ค 3. ข และ ค 4. ก และ ค 39. ร้านเบเกอรี่แห่งหนึ่งต้องใช้แป้งสาลีและน้ําตาลเป็นวัตถุดิบหลักในการทําขนมเค้กและขนมพาย ถ้าในการทําขนมเค้ก 1 ชิ้น จะต้องใช้แป้งสาลี 400 กรัม และน้ําตาล 200 กรัม ส่วนขนมพาย 1 ชิ้นจะต้องใช้แป้งสาลี 200 กรัม และน้ําตาล 400 กรัม ทางร้านจะได้กําไรจากขนมเค้กชิ้นละ 80 บาท และขนมพายชิ้นละ 100 บาท ถ้าในแต่ละวันทางร้านต้องสั่งแป้งสาลี 10 กิโลกรัม และน้ําตาล 14 กิโลกรัม ทางร้านจะต้องผลิตขนมเค้กและขนมพายอย่างละกี่ชิ้นต่อวันเพื่อให้มีกําไรสูงสุด และจะ ได้กําไรเป็นเท่าใด ถ้าหากขนมที่ผลิตออกมาขายได้หมด 1. ขนมเค้ก 20 ชิ้น ขนมพาย 20 ชิ้น กําไร 3,600 บาท 2. ขนมเค้ก 10 ชิ้น ขนมพาย 20 ชิ้น กําไร 2,800 บาท 3. ขนมเค้ก 10 ชิ้น ขนมพาย 30 ชิ้น กําไร 3,800 บาท 4. ขนมเค้ก 20 ชิ้น ขนมพาย 10 ชิ้น กําไร 2,600 บาท 40. ระบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์ระบบหนึ่งประกอบด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ที่เหมือนกันจํานวน 3 เครื่อง ในระบบนี้จะอนุญาตให้คอมพิวเตอร์ส่งข้อมูลได้ทีละเครื่อง ไม่เช่นนั้นจะทําให้ระบบหยุด ทํางาน โดยที่คอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งจะมีความน่าจะเป็นที่จะส่งข้อมูลเท่ากับ 1/2 จงหาความน่าจะ เป็นที่ระบบเครือข่ายนี้จะทํางานอยู่ได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 581 ตุลาคม 2546 41. โรงงานแห่งหนึ่งมีความต้องการไฟฟ้าเฉลี่ย 1,000 kW ซึ่งปัจจุบนั โรงงานซื้อไฟฟ้าจากการ ไฟฟ้าฯ ในราคา 2 บาท/kWh แต่ในขณะนี้บริษัทกําลังคิดจะเปลี่ยนจากการซื้อไฟฟ้ามาเป็นการผลิต ไฟฟ้าใช้เองโดยใช้เครื่องยนต์ดีเซล หากการทําเช่นนี้มีค่าใช้จ่ายต่อปีเป็น 50,000 + 1,975 n บาท เมื่อ n เป็นจํานวนชั่วโมงทํางาน จงหาว่าโรงงานนี้ควรจะทํางานอย่างน้อยกี่ชั่วโมงต่อปี จึงจะคุม้ ค่า กับการเปลี่ยนมาผลิตไฟฟ้าใช้เอง 1. 1,500 ชั่วโมง 2. 1,750 ชั่วโมง 3. 2,000 ชั่วโมง 4. 2,250 ชั่วโมง 42. บริษัทก่อสร้างแห่งหนึ่งมีทีมวิศวกรชาย 3 คน และหญิง 3 คน โดยบริษัทมีโครงการที่จะส่ง พนักงาน 3 คนไปฝึกอบรมต่างประเทศ อยากทราบว่าความน่าจะเป็นที่พนักงานที่บริษัทสุ่มเลือกมา จะเป็นวิศวกรชาย 2 คน และวิศวกรหญิง 1 คน เป็นเท่าใด 1. 2/9 2. 3/9 3. 3/20 4. 9/20 43. บริษัทผู้ผลิตหลอดฟลูออเรสเซนต์จากต่างประเทศ ต้องการจ้างโรงงานในประเทศไทยเป็น ตัวแทนผลิต โดยมีทางเลือกอยู่ 2 โรงงาน คือโรงงาน A และโรงงาน B ให้ทดลองผลิตหลอดไฟเพื่อที่จะเลือกตัวแทนผลิตเพียงรายเดียว B ผลปรากฏว่าอายุการใช้งานของหลอดไฟที่ผลิตจากโรงงาน A และ B มีการแจกแจงปกติดังรูป A จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ x ก. อายุการใช้งานเฉลี่ยของหลอดไฟจากโรงงาน A เท่ากับโรงงาน B ข. บริษัทจะเลือกโรงงาน A หรือโรงงาน B เป็นตัวแทนผลิตก็ได้ เพราะให้คุณภาพเท่ากัน ค. บริษัทควรจะเลือกโรงงาน A เป็นตัวแทนผลิต ข้อความใดถูกต้องจากผลการทดลองในครั้งนี้ 1. ก 2. ก และ ข 3. ค 4. ก และ ค มีนาคม 2547 44. กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 6 ลูก เป็นลูกสีแดง 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก สีเหลือง 1 ลูก เด็กคนหนึ่งหยิบลูกแก้วออกจากกล่องนี้มา 1 ลูกโดยวิธีสุ่ม เมื่อดูสีของลูกแก้วแล้วก็โยนกลับลงใน กล่อง แล้วทําการหยิบครั้งที่ 2 โอกาสที่เด็กคนนี้จะหยิบได้ลกู แก้วสีแดงและสีเหลืองอย่างละลูก เท่ากับข้อใด 1. 1/3 2. 1/6 3. 2/3 4. 1/12 45. ถ้าเชิญแขกมารับประทานอาหาร 6 คน โดยเป็นผู้ชาย 3 คน ผู้หญิง 3 คน โดยเชิญให้แขกนั่ง รอบโต๊ะกลมซึ่งมี 6 ที่นั่ง อยากทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะจัดแขกให้นั่งสลับชาย-หญิง เป็นเท่าใด 1. 1/2 2. 1/5 3. 1/10 4. 1/60 46. จงหาตัวเลขในตําแหน่งที่ขาดหายไปของลําดับต่อไปนี้ 125, 726, ......, 40328, 362889 1. 5027 2. 5037 3. 5047 4. 5067 47. บริษัทผลิตกระเป๋าแห่งหนึ่ง ถ้าขายใบละ 40 บาท จะขายได้ 4000 ใบ ถ้าขายใบละ 30 บาท จะขายได้ 8000 ใบ จงสร้างฟังก์ชันเชิงเส้น f (x) เมื่อ f (x) เป็นจํานวนกระเป๋าที่ขายได้ และ x เป็นราคาขายต่อใบ 1. f (x) = 400 x − 12000 2. f (x) = 200 x − 4000 4. f (x) = −200 x + 12000 3. f (x) = −400 x + 20000 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 582 48. จงคํานวณหาพื้นที่แรเงาของรูปต่อไปนี้ โดยวงกลมมีรัศมี เท่ากับ 1 และสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวทั้งสองด้านเท่ากันคือ 2 1. 2 − π 2. 2 − π/2 4. 2 − π/12 3. 2 − π/8 2 1 2 49. ผู้จัดการโรงงานแห่งหนึ่งวางแผนที่จะนําเงินรายได้ในแต่ละปีไปฝากธนาคาร เพื่อจะใช้เป็น 300,000 เงินลงทุนในอีก 4 ปีข้างหน้า โดยจะเริ่มฝากเงินในปีหน้า เป็นปีแรก 100,000 200,000 และ 300,000 บาท ตาม 200,000 ลําดับ (ดังแผนภูมิกระแสเงินสด) อยากทราบว่าในปีที่ 4 ถ้า 100,000 อัตราดอกเบี้ยเงินฝากคงที่ 10% ต่อปี ผู้จัดการคนนี้จะมีเงิน ปีที่ เก็บรวมเป็นเท่าใด (คิดเป็นหน่วยพันบาท) 0 1 2 3 4 ตุลาคม 2547 0.9 0.8 50. แผงวงจรอิเล็กทรอนิกส์ ประกอบ 0.8 0.9 ด้วยชิ้นส่วนต่างๆดังรูป โดยแต่ละชิ้นส่วน 0.9 จะมีค่าความน่าจะเป็นในการทํางานตามตัวเลขที่ระบุไว้ อยากทราบว่าความน่าจะเป็นรวมของวงจรนี้ที่จะทํางานได้ เป็นเท่าใด (พิจารณาทศนิยม 2 ตําแหน่ง) 1. 0.52 2. 0.65 3. 0.70 4. 0.72 51. ในการวางแผนการผลิตของชิ้นส่วนรถยนต์ พบว่าเกิดความล่าช้าเนื่องจากการรองาน วิศวกรฝ่าย วางแผนจึงสนใจทําการเก็บข้อมูลเวลาที่ล่าช้า 100 ตัวอย่าง ซึ่งได้ข้อมูลคือ ล่าช้า 0.5 นาที 40%, ล่าช้า 0.8 นาที 25% และล่าช้า 1 นาที 35% จากข้อมูลดังกล่าววิศวกรผู้นี้ควรจะเผื่อเวลา สําหรับความล่าช้าโดยเฉลี่ยประมาณกี่นาที มีนาคม 2548 52. องค์การขนส่งมวลชนกรุงเทพ (ขสมก.) สนใจที่จะเปิดเส้นทางเดินรถโดยสารสายใหม่บนถนน สายหนึ่ง จึงจ้างวิศวกรเข้าไปสํารวจข้อมูลจํานวนรถรับจ้างที่วิ่งผ่านถนนเส้นนั้นในระยะเวลาหนึ่ง ชั่วโมง จากการสํารวจทําให้ได้ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้ จํานวนรถรับจ้างที่ผ่านในหนึ่งชั่วโมง (คัน) ความน่าจะเป็น 0 0.5 1 0.25 2 0.2 ขสมก. อยากทราบว่าเวลาเฉลี่ยที่รถรับจ้างแต่ละคันจะผ่านถนนสายนี้เป็นเท่าใด 1. 45 นาที 2. 60 นาที 3. 75 นาที 4. 3 0.05 120 นาที 53. จากรูปป้ายทะเบียนรถยนต์ อยากทราบว่าจะมีวิธีการจัดเรียงป้าย ทะเบียนดังกล่าวได้กี่แบบ ถ้ากําหนดให้การจัดเรียงตัวอักษรจะใช้ กก 1234 กรุงเทพมหานคร พยัญชนะไทยเพียง 40 ตัว และเมื่อนํามาเรียงแล้วจะใช้ไม่ได้ 500 คู่ ส่วนการจัดเรียงตัวเลขจะห้ามนําเลขศูนย์ขึ้นหน้าที่หลักแรก 1. 9.54 ล้านแบบ 2. 12.34 ล้านแบบ 3. 14.40 ล้านแบบ 4. 16.00 ล้านแบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 583 54. นักศึกษาคณะวิศวกรรมศาสตร์ระดับปริญญาโทคนหนึ่ง ต้องการซื้อเลเซอร์พรินเตอร์สําหรับการ พิมพ์วิทยานิพนธ์ โดยเลเซอร์พรินเตอร์เครื่องนี้มีราคา 15,000 บาท และตลับหมึกมีราคาตลับละ 2,000 บาท (หนึ่งตลับสามารถพิมพ์เอกสารได้ 1,000 หน้า) แต่ถ้าไม่ซื้อเครื่องพรินเตอร์จะต้องไป จ้างร้านพิมพ์เอกสารในราคาหน้าละ 8 บาท ถ้าหากนักศึกษาคนนี้ซื้อเครื่องพรินเตอร์ดังกล่าวแล้ว เขาควรจะพิมพ์เอกสารกี่หน้าจึงจะคุ้มค่า กว่าไปจ้างร้านพิมพ์เอกสาร เฉลยคําตอบ (1) 2 (2) 3 (3) 3 (4) 1 (5) 3 (6) 3 (7) 90 (8) 3 (9) 2 (10) 60 (11) 1 (12) 0.13 (13) 3 (14) 4 (15) 4 (16) 4 (17) 1,812 (18) 4 (19) 3 (20) 6,000 (21) 2 (22) 4 (23) 2 (24) 2 (25) 3 (26) 1 (27) 100 (28) 4 (29) 2 (30) 2 (31) 3 (32) 53 (33) 3 (34) 2 (35) คําถามไม่ชัดเจน (36) 2 (37) 2 (38) 3 (39) 3 (40) 0.5 (41) 3 (42) 4 (43) 1 (44) 2 (45) 3 (46) 3 (47) 3 (48) 3 (49) 705.1 (50) 3 (51) 0.75 (52) 3 (53) ไม่มีขอ้ ถูก (ตอบ 9.90 ล้านแบบ) (54) 2,625 เฉลยวิธีคิด (1) จาก Δ เล็ก มุม B = 45° แสดงว่าระยะทางจาก B ถึงตึก เท่ากับ h ด้วย 30° พิจารณา h (5 !) 2 ! 0 (4) f(t) dt = พืน ้ ที่ Δ = 1 × 5 × 2 = 5 2 รถ α รถ2 = รถ1 ประชากร ประชากร2 = ประชากร1 จะได้ว่า 16 4 = 9 3 4a a/2 a2 a2 a + = 4 4 2 4a จะได้เส้นรอบรูปชั้นทีส่ อง = 2 ดังนัน้ เส้นรอบรูปรวม = 4a + 4a + 4a 2 + … 2 ( 2) ความยาวด้านถัดไป (2) จากกฎการแบ่งกลุ่ม 10 เป็น 5, 5 จะได้ 102! = 126 วิธี ตอบ (3) ∫ a/2 = a 45° h Δ ใหญ่ A 200 B h tan 30° = → 200 + h = 3h 200 + h 200 → h = ≈ 273 เมตร ตอบ 3 −1 2 (5) ความยาวด้านนอกสุด จะได้เส้นรอบรูปนอกสุด = ตอบ = 4a 1 1−( ) 2 = = 4 2a 2 −1 ตอบ (ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตอนันต์) ตอบ (6) X = ∑x จํานวนเต็ม = N จํานวนเต็ม จะออกมาเป็นจํานวนตรรกยะเสมอ ตอบ (จํานวนตรรกยะคือเศษส่วนและจํานวนเต็ม) (7) โจทย์ข้อนี้ควรระบุด้วยว่า นอกจากสองทางนีแ้ ล้ว ไม่มีการขนส่งทางอื่นอีก จึงจะคํานวณได้ดงั นี้ จาก n(A ∪ B) = 100% → 100 = 30 + n(B) − 20 → n(B) = 90% ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 584 (8) เนื่องจาก 5% ของ 20 เท่ากับ 1 ใบ ดังนัน้ ถ้าสุ่มมา 20 ใบ จะบกพร่องได้ 1 ใบ (เพราะโจทย์ใช้คาํ ว่า “ไม่เกิน 5%”) และถ้าพบว่า 19 ใบแรกไม่บกพร่องเลย ใบที่ 20 ก็ ไม่จําเป็นต้องตรวจ ตอบ 19 ใบ (9) ทิศการเดินของ A C กับ B ตั้งฉากกัน และมุม A กับ B เป็น 45° A B ดังนัน้ จาก ΔABC ; 20 AC = 20 sin 45° = 10 2 กม. ตอบ (10) ⎛⎜ 53 ⎞⎟ ⎛⎜ 24 ⎞⎟ = 10 × 6 = 60 วิธี ตอบ (14) ตอบ ข้อทีผ่ ิดคือ ข้อ 4. เพราะลําดับไดเวอร์เจนต์ คือลําดับที่ไม่มีลิมิต หรือหา ค่าไม่ได้ (ถ้าได้เป็นจํานวนจริงเรียกว่าคอนเวอร์เจนต์) (15) B (11) ถ้าเปลี่ยนตัวเลือกทั้งหมด เป็น 2/3 ของแก้ว จะตอบได้ทนั ทีว่า น้อยกว่า 2/3 ของแก้ว เพราะ พาราโบลาลูกถ้วยย่อมกินปริมาตรมากกว่ากรวยกลม ตรง (โดยที่ถ้าเป็นกรวยจะกินปริมาตร 1/3 แก้ว → เหลือ 2/3 แก้วพอดี... ตามสูตรปริมาตรกรวย = 1/3 ของทรงกระบอก) แต่ขอ้ นีต้ ัวเลือกเป็น 1/3 ของแก้ว ไม่สามารถกะได้ ต้องคํานวณละเอียดโดยการอินทิเกรต “แบบเปลือก ทรงกระบอก” เพื่อหาปริมาตร ดังนี้ a y ปริมาตร = ∫ (2πrh)dx 2 มุมที่กระจกทํากับพื้นคือ ⎝ ⎠⎝ ⎠ a = ∫ (2πx ⋅ x )dx 2 0 x2 O 0 a x x a 2πx4 =( ) 4 a = 0 πa4 2 แต่ปริมาตรเต็มแก้ว = πr h = πa (a ) = πa ดังนัน้ น้ําเหลืออยู่ 1 ของแก้ว ตอบ ข้อ 1. 2 2 2 4 2 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) B S ββ A tan θ = θ ˆ −θ SAC β = = 2 และ α = π π 2 A C 10 30 40 4 = 30 3 θ 50 40 θ = tan−1 ดังนั้น 2 C 4 3 หาได้จาก α π /2 − θ α = π 4 − θ 2 −β−θ π θ π−θ − ⎛⎜ − ⎞⎟ − θ = 2 ⎝ 4 2⎠ 4 2 π 1 4 = − tan−1 ตอบ 4 2 3 ∴α = (16) ตอบ ข้อ 4. เพราะว่า z1z2 = z1 z2 เสมอ (17) ชั่วโมงการทํางานเฉลี่ย = 2,000 ชม. แสดงว่า ถ้าไปตรวจบํารุงรักษาเมือ่ 2,000 ชม. เครื่องจักรมีโอกาสทํางานอยู่ 50% หรือไปถึงก็พบว่า เสียหายแล้วอยู่ 50% เท่าๆ กัน หากต้องการให้เครื่องจักร มีโอกาสทํางานถึง 97% 0.47 0.5 ก็ต้องเข้าไปบํารุงรักษา ก่อนจะถึง 2,000 ชม. x 2,000 เสียหาย 3% ทํางานได้ 97% ดังรูป พื้นที่ = 0.47 ซ้าย → z = −1.88 = x − 2,000 (12) ย้าย 3 มาคูณ จะได้ 3 CPU = z, 3 CPL = z 100 ดังนัน้ ถ้า CPK = 1 แสดงว่า z = 3 หรือ −3 จะได้ x = 1,812 ชั ว ่ โมง ตอบ ได้พนื้ ที่ A = 0.4987 (18) n(S) = ชํารุด 3 ชิ้น ตรวจพบกี่ชนิ้ ก็ได้, และพืน้ ทีส่ ่วนนอก A = 0.0013 n(E) = ชํารุด 3 ชิ้น ตรวจไม่พบเลย (ซ้ายของ -3 หรือ ขวาของ 3 ก็ได้) ⎞ ⎛ 12 ⎞ และ n(E) = ⎛ 12 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ∴ ผลิตภัณฑ์เสียหายคิดเป็นร้อยละ 0.13 ตอบ นั่นคือ n(S) = ⎛⎜ 12 ⎟⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝3⎠⎝3⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (13) คํานวณ X โดยเลือกชั้น 30-39 ให้ d = 0 X = 44.5 + (10)( = 41.8 −45 − 20 − 20 + 10 + 10 + 15 + 12 + 5 + 6 ) 100 Med อยู่ชั้น 30-39 ดังนัน้ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3⎟ 21 P(E) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 55 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎜3⎟⎜3⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 50 − 45 Med = 29.5 + (10)( ) = 31.16 30 Mo อยู่ชนั้ 30-39 10 Mo = 29.5 + (10)( ) = 32.83 10 + 20 ตอบ ข้อ 3. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) ตอบ คณิตศาสตร O-NET / A-NET ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 585 x = 0, y = 0 (24) ข้อ 1. ไม่ใช่ เพราะการถามว่า “ท่านเป็นเพศ จะได้ว่า f(0) = f(0) + f(0) ⇒ 2f(0) ∴ f(0) = 0 เท่านัน ้ ชายใช่ไหม” นั้นจะทําให้ทราบเพียงว่า นายคนนี้ชอื่ นาย x (พูดจริงเสมอ) หรือ นาย y (พูดเท็จเสมอ) จึงมีขอ้ 1. กับ 3. ที่เป็นไปได้ แต่ จะไม่ได้ข้อมูลเกี่ยวกับด่านเข้าประเทศเลย (ถาม ต่อมาพิจารณาจากข้อ (ii) f(αx) = αf(x) ได้คําถามเดียว) → f(2) = 2f(1), f(3) = 3f(1), f(4) = 4f(1), ... ข้อ 3. ยิ่งไม่ได้ขอ้ มูลเลย เพราะหากถามว่า “ท่านพูด พบว่า f(3) − f(2) = f(1), f(4) − f(3) = f(1), ... ความจริงเสมอใช่ไหม” นั้น ไม่ว่านาย x หรือ นาย y แสดงว่า ความชันเท่าเดิมตลอดทุกค่า x ก็จะตอบว่า “ใช่” เหมือนกันทั้งสองคน คือเป็นกราฟเส้นตรง ตอบ ข้อ 3. ส่วนข้อ 2. เป็นข้อที่ถูก ... สมมติเราไปถูกด่านแล้ว (20) ความน่าจะเป็นทีน่ ม คือด่าน X ไม่ว่าจะเจอนาย x หรือนาย y ก็จะได้รับ 1 กล่องมีปริมาตรเกิน 250 cm3 คําตอบว่า “ใช่” เสมอ แต่ถา้ ไปผิดด่าน (คือไปด่าน เป็น 50% พอดี Y) นาย x กับนาย y จะตอบว่า “ไม่ใช่” ทัง้ คู่ 250 แสดงว่า 250 cm3 = X วิธีนจี้ ะทําให้ทราบว่าด่านนี้ถูกหรือผิด ∴ ตอบ ข้อ 2. (25) จาก ตา=70 จะได้ โจทย์ถามปริมาตรเฉลี่ยทั้งลัง (24 กล่อง) ตา หู ข+ง+จ = 70 − 15 = 55 จะได้ 24 × 250 = 6,000 cm3 ตอบ ก ข 15 แต่ ง+จ = 28 ดังนั้น (21) ชิ้นส่วน ข มีโอกาสชํารุด 3 ใน 10 ค ง จ กรณีที่ 1; ไม่ชํารุดเลย ใช้เวลา 2 นาที ข = 55 − 28 = 27 คน (19) จากข้อ (i) ถ้า ⎛7⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ = 7 15 ⎛ 10 ⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 3 20 จมูก จาก หู=50 จะได้ จ = 100 − 3 − 20 − 15 − 50 = 12 กรณีที่ 2; ชํารุดทั้งสองชิน้ ใช้เวลา 9+9+2=20 นาที และ ง = 28 − 12 = 16 โจทย์ถาม ข+ง = 27 + 16 = 43 ตอบ 0.43 ⎛ 3⎞ ⎜2⎟ 1 (26) ขวา 4 ครั้ง, ลง 4 ครั้ง ⎝ ⎠ มีโอกาสเกิดขึ้น 10 = 15 ⎛ ⎞ เหมื อ นการสลั บลําดับอักษร ขขขขลลลล ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 8! = = 70 เส้นทาง ตอบ กรณีที่ 3; ชํารุดชิ้นเดียว ใช้เวลา 9+2=11 นาที 4!4! (27) จุดที่คุ้มค่าก็คือ มีโอกาสเกิดขึ้น 1 − 7 − 1 = 7 15 15 15 ค่าระบบความปลอดภัย เท่ากับค่าอุบัติเหตุพอดี ดังนัน้ เวลาเฉลีย่ (ถ่วงน้ําหนักด้วยความน่าจะเป็น) 1 ∴ 0.01x − 0.01 = 7 1 7 x−1 = (2) + (20) + (11) = 7.4 นาที ตอบ มีโอกาสเกิดขึ้น 15 15 15 100 2 [หมายเหตุ การหาค่าเฉลี่ยโดยถ่วงน้าํ หนักด้วยความ → x − 1 = x − 1 → (x − 1) = 100 น่าจะเป็น ในวิชาสถิติจะเรียกว่า การหาค่าคาดหมาย จะได้ x − 1 = 10 เท่านัน้ (ติดลบไม่ได้) → x = 11 ซึ่งจะได้ศึกษาเพิม่ เติมในระดับมหาวิทยาลัยครับ..] ดังนัน้ f = g = 0.1 ล้านบาท (22) ที่เวลา t วินาทีมีขอ้ มูลเข้า 20t หน่วย คิดเป็นหน่วยพันบาท ก็คือ 100 พันบาท ตอบ ส่งข้อมูลออก 10t( 1) + 10t( 1) = 10t หน่วย 2 2 (28) โจทย์ถาม dC dt t = 4 ดังนัน้ มีข้อมูลค้างในเครือ่ ง 20t − 10t = 10t หน่วย แต่ ใ ห้ ฟ ง ั ก์ ช น ั C กั บ t มาในรูปของ x → 10t = 300 → t = 30 วินาที ทีเ่ ครือ ่ งจะทํางาน จึงต้องใช้กฎลูกโซ่ ได้โดยไม่สญ ู เสียข้อมูล ตอบ 2 (23) พิจารณาที่ A; ถ้า A พูดจริง แสดงว่า B เป็น dC = dC ⋅ dx = dC ÷ dt = 3x + 1 dt dx dt dx dx 2x − 2 คนพูดจริงด้วย แต่ B พูดว่า B กับ A เป็นคนละ ต้ อ งการคิ ด ที ่ t = 4 หาค่า x ทีท ่ า ํ ให้ t = 4 ดังนี้ ประเภท → ขัดแย้งกัน ดังนั้น กรณีนจี้ ึงไม่ใช่... 2 → 4 = x − 2x + 7 → พบว่า x ไม่ใช่จํานวนจริง แต่ถ้า A พูดโกหก แสดงว่า B เป็นคนพูดโกหก ดั งนัน้ t = 4 เป็นไปไม่ได้ ... ตอบ ข้อ 4. เหมือนกัน และ B พูดว่า B กับ A เป็นคนละ [หมายเหตุ t = x2 − 2x + 7 โดย x > 0 ประเภท ก็คือ B โกหก ...ลงตัวพอดี ตอบ ข้อ 2. จะได้วา่ t > 6 เสมอ] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 586 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) (29) สมมติห้อง A มี a แถว แถวละ 5 คน, ห้อง B มี b แถว แถวละ 6 คน ∴ 5a + 6b = 55 โดย a, b เป็นจํานวนนับ จะได้วา่ a = 55 − 6b → a = 11 − 6b (36) วงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 8 เมตร แสดงว่า AC = 4 เมตร (เพราะจุด A อยู่ที่ศูนย์กลางพอดี) สี่เหลี่ยมมุมฉากมีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน ดังนั้น BD = 4 เมตรด้วย ตอบ 5 5 (37) จากการสังเกต ∴ 6b ต้องหาร 5 ลงตัว พบว่า b = 5 เท่านั้น พบว่า จํานวนด้านยิ่งน้อย (ถ้า b = 10 จะได้หอ้ ง B มี 60 คน.. ซึง่ เกิน 55) ด้านจะยิง่ ยาวขึ้น ดังนั้น สรุปว่า a = 5, b = 5 ตอบ ข้อ 2. ด้านที่ยาวที่สดุ คือ (30) [ข้อนี้คล้ายการแจกแจงแบบปัวส์ซองซึ่งเกิน ด้านของรูปสามเหลี่ยม หลักสูตร แต่ก็ไม่เหมือนทัง้ หมดนะครับ ยังพอ x/2 คํานวณได้] x เราต้องการความน่าจะเป็นที่ในระยะเวลา 2 ชั่วโมง พิจารณา Δ ด้านเท่า (t=2) มีการโทรมากกว่า 1 ครัง้ (n>1) ก็คือกี่ครั้งก็ ยาวด้านละ x หน่วย r ได้ตั้งแต่ 2 ครัง้ , 3 ครั้ง, 4 ครั้ง, เป็นต้นไป.. มีวงกลมรัศมี r แนบใน 2r ซึ่งควรจะคํานวณด้วยวิธีลบออก = ความน่าจะเป็นรวม - ความน่าจะเป็นที่มีการโทร สมบัติของเส้นมัธยฐานทําให้ทราบว่า เข้า 0 ครั้ง - ความน่าจะเป็นที่มีการโทรเข้า 1 ครั้ง เส้นมัธยฐานยาว r + 2r = 3r = 1 − P[N(2) = 0] − P[N(2) = 1] x ∴ ( )2 + (3r)2 = x2 (ทฤษฎีบทปีทาโกรัส) 0 1 2 2 −2 2 −2 1 1 1 = 1− = 1− − = ตอบ 2 − 2 2 0! 1! 4 2 4 จะได้ 9r2 = 3x → x = 12 r = 2 3 r ตอบ 4 (31) จากการพิสูจน์ที่แสดงในเรือ่ ง “อนุพนั ธ์” (38) มองโดยรวมพบว่ า รุ่น C ใช้วัสดุนอ้ ยทีส่ ุดทัง้ 3 จะได้คาํ ตอบเป็น 1.5 × 2 = 3 ตร.ซม. ตอบ อย่ า ง ถ้ า ผลิ ต รุ น ่ C รุ น ่ เดียว จะได้จาํ นวน 5 คัน 2 (32) s = 4 → s = 2 (เหล็ ก หมดก่ อ น) ถ้ า ผลิ ตรุน่ A หรือ B รุน่ เดียวจะ x − 50 → x = 53 คะแนน z = 1.5 = ได้เพียง 4 คัน (พลาสติกหมดก่อน) ดังนั้น ค. ถูก 2 เนื่องจากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ดังนั้น ตอบ 53 แต่หากมองต่อไปถึงการผลิต 2 รุ่นร่วมกัน จะพบว่า หากผลิตรุ่น C 4 คัน รุน่ A 1 คัน ก็ยังได้จํานวน 5 (33) ต้องการราคาถูก และโอกาสทีจ่ ะชํารุดน้อย คันเช่นเดิม (เหล็กหมด และพลาสติกหมดพอดี) → คิดง่ายๆ โดยนําราคากับโอกาสชํารุดมาคูณกัน ดังนัน้ ก. ผิด, ข. ถูก ตอบ ข้อ 3. ประเภทใดได้ค่าต่ําสุดก็ตอบอันนัน้ A; 75 × 0.18 = 13.5 B; 65 × 0.2 = 13 (39) สมการจุดประสงค์ P = 80x + 100y C; 55 × 0.25 = 13.75 D; 45 × 0.3 = 13.5 โดยที่ x = จํานวนเค้ก และ y = จํานวนพาย ดังนัน้ ควรเลือกยีห่ ้อ B ตอบ มีเงื่อนไขดังนี้ 0.4x + 0.2y < 10 y (34) ก. ถูก การกระจายเท่ากัน รูปกราฟเพียงแค่ 0.2x + 0.4y < 14 พลิกด้านกันเท่านั้น และ x > 0, y > 0 ข. ผิด โค้งเบ้ซา้ ย X < Med ได้จุดยอดมุมเป็น 50 (10,30) แต่โค้งเบ้ขวา X > Med (0, 50), (25, 0) ค. ถูก โค้งภาพต้นไม้ และ (10, 30) x O 25 เป็นโค้งเบ้ขวา Mo < Med ตอบ ข้อ 3. ได้ทันที ตอบ มีขอ้ ถูก 2 ข้อ Mo Med (40) [ข้อนี้เกินหลักสูตร เพราะคิดแบบความน่าจะ (35) ข้อนี้คาํ ถามไม่ชัดเจน เป็นคูณกัน เป็นการแจกแจงแบบทวินาม แต่ก็ยงั พอ ถ้าถามในแง่ว่าเลือกได้กรี่ หัส ก็ตอ้ งตอบข้อ 1. ไม่เกิน คํานวณได้จากพืน้ ฐานความรู้ดังนี]้ 4 รหัส แน่นอน ... หรือว่า มีโอกาสเลือกกี่รหัส แบบ โอกาสทีร่ ะบบจะทํางานได้ นี้ตอบข้อ 4. คือ 100 รหัส = มีเครือ่ งเดียวส่งข้อมูล + ไม่มีเครื่องใดส่งข้อมูลเลย ส่วนข้อ 2. กับ 3. เป็นไปไม่ได้แน่ เพราะถามเป็น 1 1 1 3 1 ⎛ 3⎞ 1 1 1 หน่วย “รหัส” ไม่ใช่จํานวน “แบบ” ในการเลือก (ซึ่ง = ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⋅ (2)(2)(2) + (2)(2)(2) = 8 + 8 = 0.5 คํานวณออกมาได้ค่าหลายล้านแบบ) (3 เลือก 1 คือจํานวนกรณี ที่มีเครื่องเดียวส่งข้อมูล) ตอบ 0.5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 587 (41) ปริมาณไฟฟ้าที่ใช้ในเวลา n ชั่วโมง = 1,000 n kWh ... คิดเป็นราคา 2 ⋅ 1,000 n บาท ค่าใช้จา่ ยในการผลิตไฟฟ้า 50,000 + 1,975 n บาท จะคุ้มทุนที่ 2,000 n = 50,000 + 1,975 n → n = 2,000 ชม. ตอบ (หมายความว่า เกิน บาท 2000n 2,000 ชม. ไปแล้ว จึงไม่ขาดทุน 50000+1975n ดังกราฟ) (48) สามเหลี่ยมยาวด้านละ 2, 2 แสดงว่ามุมแหลม มีขนาด 45° → วงกลมถูกตัด 1 ใน 8 ดังนัน้ พื้นที่แรเงา = Δ − 1 Ο O (42) n 2,000 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ÷ ⎛6⎞ = 9 ⎜2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 20 ตอบ (43) ก. ถูก ( X เท่ากัน) ข. ผิด โรงงาน B คุณภาพดีกว่า (เพราะการกระจายน้อยกว่า) ดังนัน้ ค. ผิดด้วย ตอบ ข้อ 1. (44) แดงเหลือง + เหลืองแดง 3 × 1 + 1× 3 1 ตอบ = = 6×6 (45) 6 3!2! ÷ 5! = 1 10 12 4032 1 1 = (2)(2) − 2 8 8 π (1) 2 = 2− π ตอบ (49) คิดเป็นหน่วยพันบาท จะได้ว่า ปีที่ 1 ฝาก 100 พอถึงปีที่ 2 (บวกดอกเบี้ย) เป็น 1.1 × 100 = 110 ฝากเพิ่มอีก 200 เป็น 310 ถึงปีที่ 3 เป็น 1.1 × 310 = 341 ฝากเพิ่มอีก 300 เป็น 641 ถึงปีที่ 4 เป็น 1.1 × 641 = 705.1 พันบาท ตอบ (50) พิจารณาเฉพาะเส้นคูข่ นาน (3 ชิ้นส่วน) ก่อน ความน่าจะเป็นทีท่ ํางานได้ (คิดแบบยูเนียนของ เหตุการณ์) คือ P{เส้นบนทํางาน} + P{เส้นล่าง ทํางาน} – P{ทํางานทั้ง2เส้น} 8 = (0.9 × 0.8) + (0.9) − (0.9 × 0.8 × 0.9) = 0.972 ดังนัน้ ความน่าจะเป็นรวมของวงจร = 0.8 × 0.972 × 0.9 ≈ 0.70 ตอบ (51) ให้ x = เวลาล่าช้า จะได้ X = (0.4)(0.5) + (0.25)(0.8) + (0.35)(1) = 0.75 นาที ตอบ (52) จํานวนรถเฉลี่ยใน 1 ชม. (ถ่วงน้าํ หนักด้วย ความน่าจะเป็น) ตอบ (46) พิจารณาหลักหน่วย พบว่าเลขเรียง 5 → 6 → ? → 8 → 9 แสดงว่า ต้องเป็นเลข เท่านั้น (ซึ่งก็มีในทุกตัวเลือก) หลักที่เหลือ 12 → 72 → ? → 4032 → 36288 ถ้าลองหารดูจะพบว่า 72 = 6, 36288 = 9 ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม) 7 = (0)(0.5) + (1)(0.25) + (2)(0.2) + (3)(0.05) = 0.8 คัน เทียบสัดส่วน.. 0.8 คัน ใช้เวลา 1 ชม. 1 ∴ 1 คันใช้เวลา = 1.25 ชม. = 75 นาที ตอบ 0.8 (53) จํานวนแบบของอักษร (40 × 40) − 500 และ 4032 = 56 = 7 × 8 ดังนัน้ ส่วนทีห่ ายไป จํานวนแบบของตัวเลข 9 × 10 × 10 × 10 72 ดังนัน้ คูณกันทั้งหมดได้ 9.9 ล้านแบบ ตอบ คือ 72 × 7 = 504 ตอบ 5,047 (54) สมมติพิมพ์ a หน้า [หมายเหตุ เขียนรูปทั่วไปได้วา่ (n + 4)! an = 12 10 + (n + 4) = (n + 4)! + (n + 4) ] จะได้วา่ พิมพ์เองเสียเงิน 15,000 + 2a บาท 5! ควรน้อยกว่าหรือเท่ากับ จ้างพิมพ์ 8a บาท จาก 15,000 + 2a < 8a ได้ a > 2,500 หน้า (47) ความชัน m = 8000 − 4000 = −400 30 − 40 แต่ถ้าพิมพ์ 2,500 หน้า จะต้องใช้หมึกถึง 3 ตลับ ตอบ ข้อ 3. ได้ทันที และเสียเงิน 21,000 บาท (โดยมีหมึกเหลืออยู่) 21,000 ∴ ควรพิมพ์มากกว่า = 2,625 หน้า ตอบ 8 (หมายถึงพิมพ์ในช่วง 2,626 ถึง 3,000 หน้า) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 588 o¨·Â·´Êoº ªu´·Õè (กุมภาพันธ์ 2547) ข้อสอบมี 2 ส่วน กําหนดเวลาส่วนละ 2 ชั่วโมง 1 ส่วนทีห่ นึ่งประกอบด้วย เซต ระบบจํานวนจริง ตรรกศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน กําหนดการเชิงเส้น ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม เมตริกซ์ ลําดับและอนุกรม ลิมิตและความต่อเนื่อง • ส่วนทีส ่ องประกอบด้วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เวกเตอร์ จํานวนเชิงซ้อน อนุพันธ์และการอินทิเกรต ความน่าจะเป็น สถิติ • ส่วนที่หนึ่ง ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A = {−1, 0, 1, 2} จํานวนฟังก์ชัน f : A −> A โดย “มี x ∈ A ซึ่งถ้า x > 0 แล้ว f (x) < 0 ” เท่ากับกี่แบบ 2. กําหนดให้ p (x) เป็นพหุนามดีกรีสอง ถ้า x + 1 หาร p (x) เหลือเศษเท่ากับ 1 x หาร p (x) เหลือเศษเท่ากับ 3 และ x − 1 หาร p (x) เหลือเศษเท่ากับ 9 แล้ว x − 2 หาร p (x) เหลือเศษเท่ากับเท่าใด 3. ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ 4. กําหนดให้ AB = BA = I และ log 2(4x + 8) − log 2 12 x − 1 = 1 มีค่าเท่ากับเท่าใด ⎡ y − x −4 ⎤ A = ⎢ −1 −y 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 4 x x ⎦⎥ โดยที่โคแฟกเตอร์ของ a 31 = 5 และโคแฟกเตอร์ของ แล้ว det (5 At B2) มีค่าเท่ากับเท่าใด a 12 = 13 5. วงรีและไฮเพอร์โบลามีจุดโฟกัสอยู่ที่ตําแหน่งเดียวกัน คือ (0, 2) และ (0, −2) ถ้าอัตราส่วนของ ระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดโฟกัส ต่อระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอด ( c : a ) ของ วงรีและไฮเพอร์โบลา เป็น 1/2 และ 2 ตามลําดับ และ (m, n) เป็นจุดที่โค้งทั้งสองนี้ตัดกัน แล้วค่า ของ m 2 + n เท่ากับเท่าใด 6. กําหนด ถ้า k ⎧⎪ x2k ,x < 2 f (x) = ⎨ k ⎪⎩( 8 − 1) x + 8 ,x > 2 เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x =2 Math E-Book Release 2.2 แล้วค่าของ f (2) (คณิต มงคลพิทักษสุข) เท่ากับเท่าใด คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 589 7. ให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกซึ่ง ห.ร.ม. ของ n และ 32 เท่ากับ 2 n = 4 r0 + r1 ; 0 < r1 < r0 และ ถ้า 32 = n q 0 + r0 ; 0 < r0 < n โดยที่ q 0 , r0 , r1 เป็นจํานวนเต็มบวก แล้ว ค.ร.น. ของ n และ 32 มีค่าเท่ากับเท่าใด 8. ถ้า loga(ax) + 2 loga(a2x) + 3 loga(a3x) + ... + 10 loga(a10x) = เมื่อ a = 5 2 แล้ว จะได้ว่า x มีค่าเท่ากับเท่าใด 9. สําหรับจํานวนเต็มบวก และ Bn = n ใดๆ ให้ เมตริกซ์ผูกพันของ An r0 = 3 r1 110 ⎡ n2+ n 3⎤ ⎥ An = ⎢ ⎢ n2− 1 3⎥ ⎣ ⎦ bn = det (B n) แล้วลิมิตของลําดับ มีค่าเท่ากับเท่าใด 10. ถ้า A เป็นจุดบนแกน y ซึ่งอยู่ห่างจากจุด (2, 2) และ (1, −1) เป็นระยะทางเท่ากัน และ P คือพาราโบลาที่มีจุดยอดที่พิกัด (1, 3) ซึ่งมีจุด A เป็นจุดปลายของเลตัสเรคตัม แล้วจุด B บน เส้นโค้ง P ซึ่งอยู่ห่างจากจุดโฟกัส 6 หน่วย จะอยู่ห่างจากแกน y เป็นระยะทางกี่หน่วย ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ A = {∅, 0, 1, {0}} และ B = {1, {0}, {0, 1}} ถ้า P (X) แทนเพาเวอร์เซตของ X แล้ว n (P (A) − B) + n (P (B) − A) มีค่าเท่ากับเท่าใด 2. 20 3. 21 4. 22 1. 17 2. กําหนด A ⊂ B และ C = {A, B} ถ้า พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. A ∪ B ∈ C และ A ∩ B ∈ C ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก P (C) แทนเพาเวอร์เซตของ ข. A ∈ P (C) และ C B ∈ P (C) 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 3. จํานวนสมาชิกของเซต { f : (B − A) 1− 1 > (A −B) | n(A) = 8 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 6 4. ให้ และ B A และ เป็นเซตคําตอบของสมการ แล้วข้อใดเป็นสับเซตของ 1. (1.5, 2.5) และ 15 2. เป็นเซตคําตอบของอสมการ n (B) = 6 3. n (A ∪ B) = 11 } 60 4. 125 4. (4.5, 5.5) x−4 + x−3 = 1 4 > x −2 2 x+1 B−A 2. (2.5, 3.5) Math E-Book Release 2.2 3. (3.5, 4.5) (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 5. กําหนดให้ c เป็นเซตคําตอบของอสมการ (3 + x)(2 − x) , g(x) = f (x) = และ A โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 590 x−1 > 2 x +2 1 x+3 เป็นขอบเขตบนค่าน้อยทีส่ ุดของ 2. −2 1. −3 A ∩ Df ⋅ g แล้ว c มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 1 4. 2 6. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า (p → q) ∧ (r ∨ s) เป็นจริง และ q ∨ s เป็นเท็จ แล้ว (q ∨ p) → (r ∧ s) เป็นจริง ข. นิเสธของ ∀x [ x 0) ∧ ∃x (x ≠ 1) ∀x (x2 > 0 ∨ x = 0) ∀x (x2 > 0) ∨ ∀x (x = 0) 9. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก. เหตุ 1) p → ~ q ข. เหตุ 1) P (x) ∧ Q (x) 2) Q (x) → R (x) 2) q ∨ r 3) ~ R (x) ∨ S (x) 3) ~ r p ผล S (x) ผล ข้อความใดต่อไปนี้ถูก 1. ก และ ข สมเหตุสมผลทั้งคู่ 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล 3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผลทั้งคู่ 10. ให้ r = {(x, y) | 9x2 + 4y2 − 18x + 16y − 11 = 0 } แล้ว Dr ∩ Rr เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้ 2. [−1, 1] 3. 1. [−5, −1] −1 −1 Math E-Book Release 2.2 [1, 3] (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4. [3, 5] คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 591 11. กําหนดให้ r1 = {(x, y) ∈ R × R | y < x2 − 3 } และ r2 = {(x, y) ∈ R × R | 2y + 3 (x + 1) > 4x } แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. (−1, −2) เป็นจุดสูงสุดในเซต r '1∩ r2 2. (3/2, −3/4) เป็นจุดต่ําสุดในเซต r '1∩ r2 3. (−1, −2) เป็นจุดสูงสุดในเซต r '1 − r2 4. (3/2, −3/4) เป็นจุดสูงสุดในเซต r '1 − r2 12. กําหนดให้ f (x) = x + 1 และ g(x) = (x − 1)2 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข. Dgof = Rgof และ Dfog ≠ ก. Dgof = Dfog และ Rgof ≠ Rfog ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Rfog 13. กําหนดช่วงเปิด A = (0, ∞) และให้ f, g เป็นฟังก์ชันภายในเซตของจํานวนจริง R 1 แล้วจํานวนเต็มในเซต Dgof − A มีกี่จํานวน โดย f (x) = 2 + x และ g(x) = 2− 1. 5 f (x) 2. 4 14. กําหนดให้ f (x) = x2 − x − 1 และ g(x) = แล้ว ค่าของ (f D g−1)(1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. −1 2. −5 3. 3 4. 2 x3 − x2 − x − 1 3. 5 4. 1 15. กําหนดให้ f (x) = x2 − 1 และ g(x) = 3 x − 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. f + g−1 เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [0, ∞) ข. f D g−1 เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [0, ∞) ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 16. ถ้า O เป็นจุดกําเนิด และ C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม x2 + y2 + 4x − 8y + 11 = 0 แล้ว สมการของเส้นตรง OC และสมการของวงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง ตรงกับ สมการในข้อใดต่อไปนี้ 1. y = −2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 0 2. y = −2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 15 3. y = 2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 0 4. y = 2x และ x2 + y2 + 2x − 4y = 15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 592 17. กําหนดให้ E เป็นวงรีซึ่งมีสมการเป็น 6x2 + 5y2 + 12x − 20y − 4 = 0 และ H เป็นไฮเพอร์โบลา ซึ่งมีจุดศูนย์กลางร่วมกับ E , มีจุดยอดทับจุดโฟกัสของ E และมีความยาวแกนสังยุคเท่ากับความ ยาวแกนโทของ E ข้อใดต่อไปนี้เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา H 1. x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 2. x2 − 5y2 − 2x − 20y + 14 = 0 4. x2 − 5y2 − 2x − 20y + 18 = 0 3. x2 − 5y2 + 2x + 20y − 18 = 0 18. จํานวนจริงบวก 1. x ที่ทําให้เมตริกซ์ 0 19. กําหนดให้ ⎡ 1 0 −x2 ⎤ ⎢2 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ x 3 5 ⎦⎥ 1 3. เมื่อ det (3 I − A) = 8 2. ⎡a 0 2 ⎤ A = ⎢0 2 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ a 0 −2⎦ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน มีทั้งหมดกี่จํานวน 2 4. 3 และการดําเนินการตามแถว ⎡⎣ A I ⎤⎦ ~ ⎡⎣ I B ⎤⎦ โดยที่ I คือเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ 3 × 3 แล้ว det (B adj A) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −8 3. 8 4. 40 1. −40 20. ถ้า เซต B 2 9 A = { x ∈ R | ( )x (1− x) > } 3 4 แล้ว เป็นช่วงในข้อใดต่อไปนี้ที่ทําให้ B ∩ A ' 2. (−1, 0) 1. (−2, −1) 21. ถ้าจํานวนจริง x = ∅ 3. (0, 1) 4. (1, 2) 4. 5 3 4. {1, 3, 27} ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ (log 3(x − 3) − log 2 (x − 3) + log 34 (x − 3) − log 8 (x − 3) + ...) < 1 3 คือช่วง (a, b) 1. 22. ให้ และ B แล้ว 3 a+b แล้วค่าของ 2 3 A = {x∈R | 3 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 3 3 3. 4 3 (x + 1)2 − 5(2x − 3) + 2 3 x − 4 + 1 = 0 } = { x ∈ R | log 3x 9 + (log 3 x)2 = 2 } C = { log 3 1. a | a∈A b {0, 1, 3} และ b ∈B } 2. เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ {0, 1, 9} 3. {1, 3, 1/9} 23. กําหนดสมการจุดประสงค์ C (x, y) = 5x + 2y โดยมีเงื่อนไขดังนี้ x + 2y > 5 , 3x − 8y < 8 , x > 0 และ y > 0 จะได้ว่าค่าต่ําสุดของ C เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 17 3. 20 4. 1. 15 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 3x + y > 10 , 21 คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 593 24. กําหนดสมการจุดประสงค์คือ P (x, y) = (a/2) x + 25 y โดยที่ a เป็นจํานวนจริงบวก และมี อสมการข้อจํากัดคือ x > 0 , y > 0 , x + y < 5 และ x + 2y < 8 ถ้าค่าสูงสุดของ P (x, y) เท่ากับ 150 แล้ว a มีค่าอยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ 2. [50, 60) 3. [60, 70) 4. [70, 80) 1. [40, 50) 25. ให้ ⎧ x −2 , x < 2 ⎪ ⎪ 2−x f (x) = ⎨ ⎪ 2−x , x > 2 ⎪ 2 − x ⎩ ข้อใดต่อไปนี้ถูก f (x) และ lim f (x) หาค่าไม่ได้ 1. xlim →2 x →2 2. xlim f (x) > 0 และ lim f (x) < 0 →2 x →2 3. xlim f (x) + lim f (x) = 2 2 →2 x →2 4. xlim f (x) + lim f (x) = −2 2 →2 x →2 − + − + − + − + ส่วนที่สอง ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ arctan x = arctan(1/3) + arctan(1/2) และ arcsin y = arcsin(1/ 10) + arcsin(1/ 5) แล้ว (x − y)(x + y) มีค่าเท่ากับเท่าใด AB ⋅ ˜ AD 2. กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีพื้นที่ 24 ตารางหน่วย และ ˜ ˜ ˜ ถ้า θ คือมุมระหว่าง AB กับ AD แล้ว tan θ มีค่าเท่ากับเท่าใด 3. ถ้าจํานวนเชิงซ้อน 1 3 z = + i 2 2 = 3 2 แล้ว ค่าสัมบูรณ์ของ ⎛ z −z ⎞ ⎜⎜ 17 18 ⎟⎟ ⎝ i +z ⎠ เท่ากับเท่าใด 4. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 7 ลูก และสีขาว 3 ลูก สุ่มลูกบอลจากกล่องจํานวน 3 ลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว 2 ลูก หรือสีแดง 2 ลูก มีค่าเท่ากับเท่าใด 5. ในจํานวนเด็ก 4 คน มีสองคนที่น้ําหนักเท่ากัน และน้ําหนักน้อยกว่าอีกสองคนที่เหลือ ถ้าฐาน นิยม มัธยฐาน และพิสัยของน้ําหนักของเด็กทั้ง 4 คนนี้ได้แก่ 40, 41 และ 6 กิโลกรัม ตามลําดับ แล้วค่าความแปรปรวนของน้ําหนักของเด็ก 4 คนนี้เท่ากับเท่าใด 6. กําหนดให้ 4 sin2 x + 11 cos x − 1 = 0 แล้ว cot2(x + π) + sec (x − 3π) มีค่าเท่าใด 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 594 7. สําหรับแต่ละจํานวนเต็มบวก n ถ้า zn เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่งกําหนดโดย zn = 1 − 2 − n − 3 i แล้วลิมิตของลําดับ an = zn zn มีค่าเท่ากับเท่าใด 8. ถ้า g(x) = 2x 3 + 3x 2 + 1 และ ∫ (f D g)(x) dx = x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − c แล้ว อนุพันธ์ของ f (x) ที่จุดซึ่ง x = 6 มีค่าเท่ากับเท่าใด 9. ในการแบ่งนักเรียนซึ่งมีผู้ชาย 3 คนและผู้หญิง 5 คน ออกเป็นกลุ่ม A และ B กลุ่มละ 4 คน ความน่าจะเป็นที่ในแต่ละกลุ่มนั้นมีผู้ชายอยู่ด้วยเป็นเท่าใด (ตอบทศนิยม 2 ตําแหน่ง) 10. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งคะแนนเต็มเท่ากับ 100 คะแนน ของนักเรียนห้องหนึ่งเป็น ดังตาราง คณิตและวิทยาเป็นนักเรียนในห้อง คะแนน จํานวนนักเรียน ดั งกล่าว ถ้าคณิตได้คะแนนในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 90 – 99 10 3 และวิทยาได้คะแนนในตําแหน่งมัธยฐาน ดังนั้น 80 – 89 25 คณิตได้คะแนนมากกว่าวิทยาอยู่กี่คะแนน 70 – 79 30 60 50 40 30 – – – – 69 59 49 39 20 10 4 1 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ แล้ว ⎡ cos θ cos 4θ ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣ − sin 2θ sin 3θ ⎦ เมื่อ θ = π 12 det (2A t) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 2 1. 3 3. 3 4. 2+ 4. 5 3 2. ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ถ้า cos x = −1/ 5 แล้ว tan x = −2 2. ถ้า tan x = 2 แล้ว cos x = 1/ 5 3. tan(arccos (−1/ 5)) = −2 4. arccos (−1/ 5) = arctan(−2) 3. เซตคําตอบของอสมการ 2 sin 2 θ − sin θ > 0 2 cos θ − 1 มีสมาชิกที่เป็นจํานวนนับทั้งหมดกี่จํานวน 1. 2 2. 3 4. ถ้า เมื่อ 3. 0 < θ < 2π 4 แล้วมุมระหว่าง u กับ v ที่ทําให้ u + v = 2 u − v อยู่ในช่วงในข้อใดต่อไปนี้ 2. [ π , π) 3. [ π , 3π) 4. [ 3π , π) 1. [0, π) u = v 4 4 2 Math E-Book Release 2.2 2 4 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4 คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 595 AB เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกับ u โดยจุด A อยู่ที่ (1, −2) และจุด 5. ให้ u = 2 i + 4 j และ ˜ AB|: u มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ อยู่บนเส้นตรง y = 3x − 2 ดังนั้น |˜ 2. 2 3. 2.25 4. 4 1. 1.5 6. ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่มีสมบัติดังนี้ ข้อใดต่อไปนี้เป็นขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ 2. 30° 1. 15° 7. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง z ≠ 0 และ แล้ว Re (z ⋅ z) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 2. 2 B และ u ⋅ v = 3 กับแกน x ที่เป็นไปได้หาก v = i + j 3. 45° 4. 60° u = v u (5 − 12 i) z3(−3 + 4 i) = 130 z 8. ถ้า z1, z2 , z3 เป็นรากของสมการ z3 + 5 = แล้ว z21 + z22 + z23 คือค่าในข้อใดต่อไปนี้ 2. 3 3 1. 3 3. 1 2 4. 1 2 4. 9 3 2i 3. 9 9. กําหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ F (x) = (f(x))2 + 2x + 1 ถ้า f (2) > 0 , F (2) = 3 และ f′(2) = 4 แล้ว F′(2) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 3 3. 5 4. 1. 1 7 10. กําหนดให้ g(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ f (x) = (x − 1)2 g(x) ถ้า x − 2 หาร f (x) และ f′(x) เหลือเศษ 3 และ 4 ตามลําดับ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ แล้ว ค่าของ dg dx 1. x =2 4 2. 1 3. −2 4. −3 11. กําหนด f (x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกําลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และสัมประสิทธิ์ของ x3 เท่ากับ 1 ถ้า f (x) มี x − 1 เป็นตัวประกอบหนึ่ง, x − 2 หาร f′(x) และ f′′(x) เหลือเศษ 2 เท่ากัน แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นสมการเส้นสัมผัสโค้ง y = f (x) ณ จุดซึ่ง x = 2 2. y = 2x − 4 1. y = 2x − 2 4. y = 2x 3. y = 2x + 2 12. กําหนดให้ f (x) = 10 − log (x − 4) + ถ้าความชันของเส้นสัมผัสโค้ง แล้วจํานวนจริง 1. 0 a x 25 y = f (x) ที่จุด (a, f (a)) ที่เป็นไปได้ มีทั้งหมดกี่จํานวน 2. 1 Math E-Book Release 2.2 เท่ากับ 3. − 24 25 2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 4. 3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 13. ค่าของ 1. 1 ∫ 2 1 ⎛ x4 + 1 ⎞ 2 ⎜ 2 ⎟ dx + (4 − x) dx 0 ⎝ x ⎠ ∫ 10 2. 15. ถ้าเส้นโค้งเส้นหนึ่งมีสมการเป็น a เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ −a ∫ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 14 14. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ 3 ก. −1∫ (x3−4x) dx = 4 ข. ขนาดพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยโค้ง เท่ากับ 12 ตารางหน่วย ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก และ โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 596 y = x3− 4x กับแกน 20 x 4. ในช่วง x = −1 24 ถึง 3 4. − 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด f (x) = a2 x4 − x 4 f′′(x) dx = − ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ ณ จุดซึ่ง 2. − 1 1. 1 2 2 x=a 1 4 แล้ว มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3. 3 2 3 2 16. จํานวนวิธีจดั พนักงาน 6 คนเป็น 3 กลุ่ม เพื่อทํางาน 3 อย่างที่แตกต่างกัน โดยแบ่งกลุ่มละกี่คน ก็ได้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 90 2. 180 3. 540 4. 1080 17. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. จํานวนวิธีร้อยมาลัยวงกลมด้วยดอกไม้ 5 ชนิด โดยดอกมะลิและดอกดาวเรืองต้องอยู่ติดกัน เท่ากับ 12 วิธี ข. จํานวนวิธีจัดนักเรียน 5 คนเป็นวงกลม โดยเด็กหญิงมะลิและเด็กหญิงดาวเรืองต้องอยู่ ติดกัน เท่ากับ 12 วิธี ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 18. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลข 1 ถึง 10 กํากับ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบสลากพร้อมกัน 3 ใบ โดยให้มีแต้มรวมกันเป็น 10 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 60 40 30 20 19. ในการลากเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอด 2 จุดใดๆ ของรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าที่แนบในวงกลม โดยที่ เส้นนั้นไม่ใช่ด้านของรูปสิบเหลี่ยม ความน่าจะเป็นที่เส้นที่ลากขึ้นนี้ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 6 3. 5 4. 5 1. 6 7 9 Math E-Book Release 2.2 7 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 9 คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 597 20. สมการแสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ทีใ่ ช้ประมาณค่าของกําไร ( Y : พันบาท) จากจํานวน สินค้าที่ผลิต ( X : สิบชิ้น) คือ Y = 2X + 5 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้าจะผลิตสินค้าเพิ่ม 20 ชิ้น คาดว่ากําไรจะเพิ่ม 9, 000 บาท ข. ถ้ากําไรเป็น 7, 000 บาท คาดว่าจะผลิตสินค้าได้ 10 ชิ้น ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 21. จากตารางต่อไปนี้ ซึ่งข้อมูลชุด x และ y มีความสัมพันธ์กันในรูปแบบฟังก์ชันเส้นตรง x y -2 -2 -1 1 1 3 2 4 ถ้าการทํานายค่า x และ y ใช้ระเบียบวิธีกําลังสองน้อยที่สุด พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้า y = 3 ทํานายได้ว่า x = 1 ข. ถ้า x = 1 ทํานายได้ว่า y = 3 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 22. ในการสอบย่อยครั้งหนึ่งคะแนนเต็มคือ 100 คะแนน มีนักเรียนเข้าสอบ 9 คนในวิชา คณิตศาสตร์และเคมี ได้คะแนนดังนี้ คณิตศาสตร์ : 70 70 70 78 79 80 90 91 92 เคมี : 50 60 72 78 80 85 90 92 95 ปรากฏว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ เท่ากับ 8.6 คะแนน และส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาเคมีเท่ากับ 14.2 คะแนน ถ้านายปัญญาสอบวิชาคณิตศาสตร์ และเคมีได้ 90 คะแนนเท่ากันทั้งสองวิชา แล้วข้อสรุปข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. เขาเรียนวิชาคณิตศาสตร์ได้ดีกว่าเคมี 2. เขาเรียนวิชาเคมีได้ดีกว่าคณิตศาสตร์ 3. เขาเรียนทั้งสองวิชาได้ดีเท่ากัน เพราะคะแนนเท่ากัน 4. เขาเรียนทั้งสองวิชาได้ดีเท่ากัน เพราะได้ตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เดียวกัน 23. การจ่ายโบนัสให้กับพนักงานของบริษัทหนึ่งเท่ากับ 1,000 บาทบวกกับ 2 เท่าของเงินเดือน พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของโบนัส เป็น 2 เท่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือน ข. ความแปรปรวนของโบนัส เป็น 2 เท่าของความแปรปรวนของเงินเดือน ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 598 24. ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ โดยที่ค่าสูงสุดของข้อมูลอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5 และค่าต่ําสุดของข้อมูลอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล เป็น 20 คะแนน แล้วพิสัยของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ดังนี้ z A 1. 28.0 0.170 0.0675 2. 0.440 0.1700 30.4 0.475 0.1826 1.960 0.4750 39.2 3. 4. 48.0 25. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 40 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 10 คะแนน และมีนักเรียนที่สอบได้คะแนนที่คิดเป็น ค่ามาตรฐานระหว่าง -1 และ 1 อยู่ 75% ของนักเรียนทั้งหมด ถ้านาย ก สอบได้ 50 คะแนนแล้ว ข้อใดต่อไปนี้เป็นตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของนาย ก 1. 37.5 2. 50.0 3. 75.0 4. 87.5 เฉลยคําตอบ ส่วนที่หนึ่ง ตอนที่ 1 (1) 224 (2) 19 (3) 2 (4) 5 (5) 11 (6) 8 (7) 416 (8) 0.5 (9) 1.5 (10) 4 ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 2 (6) 2 (7) 3 (8) 4 (9) 3 (10) 2 (11) 4 (12) 3 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 1 (17) 1 (18) 3 (19) 2 (20) 1 (21) 4 (22) 1 (23) 2 (24) 3 (25) 4 ส่วนที่สอง ตอนที่ 1 (1) 0.5 (2) 8 (3) 1.5 (4) 0.7 (5) 6 (6) 19 (7) 10 (8) 1 (9) 0.86 (10) 9 ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 3 (3) 2 (4) 2 (5) 1 (6) 1 (7) 2 (8) 3 (9) 2 (10) 3 (11) 1 (12) 2 (13) 2 (14) 1 (15) 4 (16) 3 (17) 3 (18) 3 (19) 1 (20) 4 (21) 2 (22) 1 (23) 4 (24) 4 (25) 4 เฉลยวิธีคิด ส่วนที่หนึ่ง ตอนที่ 1 (1) คิดจากจํานวนแบบทั้งหมด ลบด้วย จํานวนแบบ ที่ “ไม่มี” ...ซึ่งจํานวนแบบทั้งหมด = 4 × 4 × 4 × 4 และจํานวนแบบที่ “ไม่มี” (ตามเงื่อนไขในโจทย์) นั้น หมายความว่า ถ้าหาก x > 0 แล้ว f(x) > 0 นั่นคือ 4 × 2 × 2 × 2 แบบ ตอบ (4 × 4 × 4 × 4) − (4 × 2 × 2 × 2) = 224 แบบ (2) พหุนามดีกรีสอง p(x) = Ax2 + Bx + C ใช้ทฤษฎีเศษ.. p(−1) = 1 , p(0) = 3 , และ p(1) = 9 จะได้ A − B + C = 1 .....(1) C = 3 .....(2) และ A + B + C = 9 .....(3) แก้ระบบสมการได้ A=2, B=4, C=3 ดังนัน้ p(x) = 2x2 + 4x + 3 และหารด้วย x − 2 เหลือเศษ = p(2) = 2(2)2 + 4(2) + 3 = 19 ตอบ (3) จากโจทย์จะได้ log 2(4x + 8) − log 2 12 = x − 1 นั่นคือ ให้ ⎛ 4x + 8 ⎞ log 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = x − 1 ⎝ 12 ⎠ 2x = A จะได้ → A2 + 8 1 = A⋅ 12 2 A2 − 6A + 8 = 0 4x + 8 = 2x −1 12 A = 4 หรือ 2 ดังนัน้ x=2 หรือ 1 ... แต่ในโจทย์มี x – 1 เป็นส่วน ทําให้ x เป็น 1 ไม่ได้ ตอบ ผลบวกคําตอบคือ 2 → Math E-Book Release 2.2 → (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (4) −x −4 C31 = −y 3 = −3x − 4y = 5 และ −1 3 C12 = − 4 x = x + 12 = 13 .....(1) ⎡ −2 −1 −4⎤ A = ⎢ −1 2 3 ⎥ ⎢⎣ 4 1 1 ⎥⎦ จึงได้ และ det(B) = det(A −1) = 1/25 ตอบ det(5A t B2) = 53 ⋅ 25 ⋅ ⎛ n2− 1) ⎜ ⎜ ⎝ = 3 lim ( n2+ n − n→∞ .....(2) ⎛ = 3 lim ⎜ n→∞ ⎜ ⎝ แก้ระบบสมการได้ x=1 และ y=–2 ดังนัน้ โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 599 det(A) = 25 ส่วน จะได้ n+1 2 ⎛ = 3 lim ⎜ n→∞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 ⎞ = 3⎜ ⎟ = 1.5 ⎝ 1 + 1⎠ 1 = 5 252 n2+ n + ⎞ ⎟ n − 1 ⎟⎠ 2 n +n + n2+ n + n2− 1 ⎞ ⎟ n2− 1 ⎟⎠ นํา n หารทัง้ เศษและ ⎞ ⎟ 1 − 1/n2 ⎟⎠ 1 + 1/n 1 + 1/n + ตอบ (10) ให้จดุ A มีพิกัดเป็น (0,y) จะได้ว่า (5) จากจุดโฟกัสจึงทราบว่า c=2 และจุดศูนย์กลาง 22 + (y − 2)2 = 12 + (y + 1)2 อยู่ที่ (h,k)=(0,0) จากนั้นอัตราส่วน c:a จะทําให้ 2 2 ทราบว่า วงรีมคี ่า a=4 และไฮเพอร์โบลามีคา่ a=1 ดังนัน้ 4 + y − 4y + 4 = 1 + y + 2y + 1 → y = 1 นัน่ คือจุด A อยูท่ ี่ (0,1) ... และโจทย์บอกว่าจุดยอด สร้างสมการได้ดงั นี้.. 2 2 อยูท่ ี่ (1,3) จึงลองวาดรูปดูได้ดังนี้ วงรี y + x = 1 → 3y2 + 4x2 = 48 12 ไฮเพอร์โบลา y2 x2 − = 1 → 3y2 − x2 = 3 1 3 V(1,3) แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้ (±3, ±2) ตอบ m 2 + n = 9 + 2 = 11 (6) ต่อเนือ่ งที่ x=2 แปลว่าลิมิตซ้ายเท่ากับลิมติ ขวา นั่นคือ 22k = ( 8 − 1)2k + 8 ... ให้ 2k = A จะได้ A2 + (1 − 8) A − 8 = 0 แยกตัวประกอบ ได้ (A + 1)(A − 8) = 0 → A = −1 หรือ 8 แต่ 2k = −1 ไม่ได้.. ดังนั้น 2k = 8 → k = 3/2 ตอบ f(2) = 2 2(3 / 2) = 23 = 8 (7) เป็นการหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีของยุคลิด ซึ่งผลหาร สุดท้ายจะเป็น ห.ร.ม. ดังนั้น r1 = 2 และจะได้ r0 = 6 , n = 26 ตามลําดับ ตอบ ค.ร.น. ของ n กับ 32 คือ 26 × 32 = 416 2 (8) พจน์ซา้ ยมือในโจทย์สามารถจัดรูปได้ดงั นี้ A(0,1) F 9 3 100 10 = loga(ax ⋅ a x ⋅ a x ⋅ ... ⋅ a 1 + 4 + 9 + ... + 100 = loga(a 385 = loga(a x → a x ) 55 x ) 55 ดังนัน้ สมการกลายเป็น 385 x ) 1 + 2 + 3 + ... + 10 110 = a loga(a385 x55) = 110 → x55 = a−275 ∴ x = a−275/ 55 = a−5 = (5 2)−5 = 2−1 = 0.5 (9) ⎡ 3 Bn = adj (An) = ⎢ 2 ⎣− n − 1 −3 ⎤ n2+ n ⎥⎦ จะได้ bn = det (Bn) = 3 ( n2+ n − แสดงว่า nlim bn = lim 3 ( n2+ n − →∞ n→ ∞ n2− 1) n2− 1) A(0,1) แต่อตั ราส่วนพาราโบลาที่แท้จริงนัน้ VF:AF ต้องเป็น 1:2 (ตามหลักทีว่ ่า เลตัสเรคตัมจะยาว 4c เสมอ) ดังนัน้ พาราโบลาในข้อนี้ เป็นแบบรูปขวามือเท่านัน้ .. หาคําตอบได้โดยอาศัย รูปกราฟ (ไม่ต้องแก้ สมการ) เนือ่ งจากเรา ทราบว่า FB=6 หน่วย จะเท่ากับระยะทางจาก จุด B ไปถึง directrix B 6
2 6 F A V ดังนัน้ B ห่างจากแกน y อยู่ 6–2=4 หน่วย ตอบ ส่วนที่หนึ่ง ตอนที่ 2 (1) เซต P(A) และ B มีสมาชิกซ้ํากัน 2 ตัว ได้แก่ {0} กับ {0,1} ดังนัน้ n(P(A) − B) = 24 − 2 = 14 เซต P(B) และ A มีสมาชิกซ้าํ กัน 1 ตัว ได้แก่ ∅ ดังนัน้ n(P(B) − A) = 23 − 1 = 7 ตอบ 21 (2) ก. เนื่องจาก A ⊂ B ดังนัน้ A ∪ B = B และ A ∩ B = A ซึ่งทั้งสองเซตนี้เป็นสมาชิกของ C ..ถูก ตอบ ข. ผิด ทีจ่ ริงใน P(C) จะมี {A} และ {B} ต่างหาก (3) n (A ∩ B) = 8 + 6 − 11 = 3 ดังนัน้ n (B − A) = 6 − 3 = 3 และ n (A − B) = 8 − 3 = 5 จํานวนฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก B–A ไป A–B จะมี ทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 แบบ ตอบ loga(ax) + loga(a2x)2 + loga(a3x)3 + ... + loga(a10x)10 4 2 V(1,3) F directrix 16 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 600 (6) ก. q ∨ s เป็นเท็จ แสดงว่า q กับ s เป็นเท็จทั้ง ก. คู่ ... (p → q) ∧ (r ∨ s) เป็นจริง แสดงว่า p → q ข. เป็นจริง (นัน่ คือ p เป็นเท็จ) และ r ∨ s เป็นจริง 3 4 ก. เมื่อ x < 3 จะได้ (นั่นคือ r เป็นจริง) −x + 4 − x + 3 = 1 → −2x = − 6 → x = 3 → ∅ สรุป (q ∨ p) → (r ∧ s) ≡ F → F ≡ T ข้อ ก. ถูก ข. เมื่อ 3 < x < 4 จะได้ ข. นิเสธของ ∀x [ P → Q ] คือ ∃x [ P ∧ ~ Q ] −x + 4 + x − 3 = 1 → 1 = 1 → [3, 4) ดังนัน้ จากโจทย์ ควรเป็น ∃x [ x 0 ] ค. เมื่อ x > 4 จะได้ x − 4 + x − 3 = 1 → 2x = 8 → x = 4 → {4} นั่นคือ ∃x [ x >0 → − 2 2 ทํ า เป็ น เท็ จ ได้ (กําหนดให้ q เป็น T หรือ F ก็ได้) x +1 x+1 (x − 2) (x − 2) แสดงว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 4x + 4 − x2 + 4x − 4 >0 → ข. เชื่อมด้วย “ก็ต่อเมือ่ ” จึงใช้วิธตี รวจสอบสมมูล 2 (x − 2) (x + 1) ซ้ ายมืออยู่ในรูป X → Y และขวามือเป็น ~Y → ~X −x2 + 8x x(x − 8) > < 0 0 → → ซึ่งสมมูลกันพอดี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์ ตอบ ข้อ 3. (x − 2)2(x + 1) (x − 2)2(x + 1) (8) 1. มี x บางตัวซึง่ ทําให้ “ __ และ __ “ - + - + - + ..มีจริงๆ คือ x=0 -1 0 2 2 8 2. x ทุกๆ ตัว “ __ หรือ __ ” ..ก็จริง แต่จากโจทย์มี x + 1 3. มี x บางตัวซึง่ ทําให้ “__” ..มีจริง จึงต้องเพิ่มเงือ่ นไขว่า x + 1 > 0 → x > −1 และมี x บางตัวซึ่งทําให้ “__” ..อันนี้ก็มีจริง และนอกจากนั้น 4 > 0 ด้วย คือ x > 2 4. x ทุกๆ ตัว “__” ..ไม่จริง! x−2 หรือ x ทุกๆ ตัว “__” ..ก็ไม่จริง! ตอบ ข้อ 4. รวมแล้วจึงได้ว่า B = (2, 8] (9) ก. จาก (3) และ (2) จะสรุปได้เป็น q สรุป.. B − A = (2, 3) ∪ (4, 8] ตอบ ข้อ 4. จากนั้นนําไปพิจารณาร่วมกับ (1) จะได้ผลเป็น ~p (5) เซต A; x − 1 − 2 > 0 ซึ่งตรงข้ามกับผลที่ให้มา แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล x+2 ข. จาก (1) เชื่อมกันด้วย “และ” แสดงว่า P(x) เป็น x − 1 − 2x − 4 −x − 5 → > 0 → > 0 จริ ง และ Q(x) ก็เป็นจริง (คือเขียนแยกข้อกันได้).. x+2 x+2 ยกเฉพาะ Q(x) มาพิจารณาร่วมกับ (2) จะได้เป็น นั่นคือ x + 5 < 0 แสดงว่า A = (−5, −2) R(x) แล้วพิจารณากับข้อ (3) ก็จะได้ผลเป็น S(x) x+2 สมเหตุสมผล ตอบ ข้อ 3. โดเมนของ f; (3 + x)(2 − x) > 0 (10) ความสัมพันธ์ที่โจทย์ให้มามีกราฟเป็นรูปวงรี → (3 + x)(x − 2) < 0 นั่นคือ Df = [−3, 2] จึงจัดรูปสมการดังนี้.. 9 (x2 − 2x) + 4 (y2 + 4y) = 11 โดเมนของ g; x + 3 > 0 → x > −3 → 9 (x2 − 2x + 1) + 4 (y2 + 4y + 4) = 11 + 9 + 16 นั่นคือ Dg = (−3, ∞) → 9 (x − 1)2 + 4 (y2 + 2)2 = 36 สรุป.. A ∩ Df ⋅ g = A ∩ Df ∩ Dg = (−3, −2) (x − 1)2 (y2 + 2)2 → + = 1 4 9 มีขอบเขตบนค่าน้อยที่สดุ เท่ากับ –2 ตอบ [หมายเหตุ การหาโดเมนของ f ⋅ g จะต้องคิดโดเมน เป็นวงรีในแนวตัง้ จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (1,-2) ทีละฟังก์ชนั แล้วอินเตอร์เซคเข้าด้วยกัน ห้ามนํา f กับ ขึ้นลงด้านละ 3 หน่วย และซ้ายขวาด้านละ 2 หน่วย g มาคูณกันก่อน เพราะอาจทําให้บางเงื่อนไขหายไป] จึงได้ Dr = [−1, 3] และ Rr = [−5, 1] ดังนัน้ Dr−1 ∩ Rr−1 = Rr ∩ Dr = [−1, 1] ตอบ ข้อ 2. (4) เซต A; แบ่งช่วงย่อยในการคํานวณดังนี้ ค. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 601 (11) r1 มีขอบเขตเป็นพาราโบลา y + 3 < x 2 จึงทําให้ r '1 มีขอบเขตเป็นพาราโบลา y + 3 > x 2 คือพาราโบลาหงาย จุดยอด (0,–3) แรเงาด้านใน.. ส่วน r2 มีขอบเขตเป็นเส้นตรง 2y > x − 3 คือเส้นประเฉียงขึ้น ผ่านจุด (0,–3/2) แรเงาด้านบน.. (15) f (x) = x2 − 1 และ g−1(x) = x3 − 1 ก. f + g−1 = x3 + x2 ข. fog−1 = (x3 + 1)2 − 1 = x6 + 2x3 ทั้งสองข้อเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [0, ∞) จริง (เพราะถ้า x เพิม่ ขึ้น y ย่อมเพิ่มด้วย) ตอบ ข้อ 1. (16) สมการวงกลมมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่ C(-2,4) ดังนัน้ mOC = −2 และสมการ OC คือ y = −2x ความยาว OC เท่ากับ 22 + 42 = 20 = 2 5 ดังนัน้ วงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จะต้อง มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1,2) และรัศมียาว 5 หน่วย.. สร้างสมการได้ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 5 กระจายเป็น x2 + y2 + 2x − 4y = 0 ตอบ ข้อ 1. (17) 6 (x2 + 2x + 1) + 5 (y2 − 4y + 4) = 4 + 6 + 20 ข้อ 1. กับ 2. r '1∩ r2 ไม่มีจุดสูงสุด (สูงขึ้นได้เรื่อยๆ) และไม่มีจุดต่ําสุด (เพราะขอบเขตเป็นเส้นประ) ข้อ 3. กับ 4. r '1 − r2 = r '1∩ r '2 จุดสูงสุดคือ (3/2,–3/4) (หาโดยแก้ระบบสมการ) และจุดต่าํ สุดคือ (0,–3) ดังรูป ตอบ ข้อ 4. (12) จาก gof = (f − 1)2 หาโดเมน; เนื่องจาก (f − 1)2 นั้น f เป็นอะไรก็ได้ ดังนัน้ x + 1 เป็นอะไรก็ได้.. นั่นคือ x > 0 สรุป Dgof = [0, ∞) หาเรนจ์; เนื่องจาก x > 0 → x + 1 > 1 ดังนัน้ f > 1 ..ทําให้ f − 1 > 0 → (f − 1)2 > 0 สรุป Rgof = [0, ∞) จาก fog = g + 1 หาโดเมน; เนื่องจาก g + 1 นั้น g > 0 เท่านัน้ จึงได้วา่ (x − 1)2 > 0 ซึง่ เป็นจริงเสมออยู่แล้ว สรุป Dfog = R หาเรนจ์; เนื่องจาก (x − 1)2 > 0 → g > 0 จึงทําให้ g > 0 → g + 1 > 1 สรุป Rfog = [1, ∞) ตอบ ข้อ 3. (ก. ผิด, ข. ถูก) 1 2− 2+x 1 gof = 2− 4+ x (13) จาก จะได้ g = หาโดเมน; 2 − 4 + x ≠ 0 → x ≠ 0 และ 4 + x > 0 → x > −4 ดังนัน้ Dgof = [−4, 0) ∪ (0, ∞) และ Dgof − A = [−4, 0) มีจํานวนเต็ม 4 จํานวน ตอบ (14) หา g−1(1) โดยให้ x3 − x2 − x − 1 = 1 แล้วหา ค่า x โดยหารสังเคราะห์ ( x3 − x2 − x − 2 = 0 ) ได้ x=2 หมายความว่า g (2) = 1 ดังนั้น g−1(1) = 2 ตอบ (fog−1)(1) = f (2) = 4 − 2 − 1 = 1 → โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 (x + 1)2 (y − 2)2 + = 1 5 6 เป็นวงรีแนวตั้ง มีจุดศูนย์กลางที่ (-1,2), a = 6, b = 5, c = 1 ดังนัน้ V(−1, 2± 6), F(−1, 2± 1) หาสมการไฮเพอร์โบลาที่ C(−1, 2), V(−1, 2± 1), แกนสังยุคยาวเท่าแกนโทของวงรี (คือ b = 5 ) 2 2 จะได้ (y − 2) − (x + 1) = 1 1 5 นั่นคือ 5 (y − 2)2 − (x + 1)2 = 5 กระจายได้ 5y2 − x2 − 20y − 2x + 14 = 0 หรือใช้เป็น x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 ตอบ 1 0 −x2 2 1 0 = x3 − 6x2 + 5 = 0 x 3 5 (18) → (x − 1)(x2 − 5x − 5) = 0 → x = 1, 5±3 5 2 แต่ 5 − 3 5 มีค่าติดลบ.. จึงมีจํานวนจริงบวกที่เป็น 2 คําตอบเพียง 2 จํานวน ตอบ ⎡3− a 0 −2⎤ 3I − A = ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢⎣ −a 0 5 ⎥⎦ det (3 I − A) = 15 − 5a − 2a = 8 → a = 1 (19) ดังนัน้ ⎡1 0 2 ⎤ A = ⎢0 2 0 ⎥ ⎢⎣ 1 0 −2⎥⎦ I ⎤⎦ ~ ⎡⎣ I B ⎤⎦ แปลว่า B = A −1 det(adjA) = (det(A))n − 2 det (B adj A) = det(A) ประโยค จาก และ det(A) = –4–4 = –8 ⎡⎣ A ตอบ (−8)3 − 2 = −8 [หมายเหตุ วิธพี สิ ูจน์ det(adjA) = (det(A))n − 1 อยู่ ในแบบฝึกหัดเรื่องเมตริกซ์ ข้อ 67] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 602 (20) จากโจทย์จะได้ (2)x (1− x) > (2)−2 ฐานเท่ากัน (24) เขียนกราฟของเงือ่ นไขได้ดังรูป 3 3 y สมมติวา่ P สูงสุดเกิดที่ ตัดทิ้งได้ (แต่เป็นฟังก์ชันลด ต้องพลิกเครือ่ งหมาย) (2,3) จะได้ว่า จะได้ x (1 − x) < −2 → x − x2 + 2 < 0 150 = (a/2)(2)+25(3) แยกตัวประกอบได้ (x − 2)(x + 1) > 0 นัน่ คือ a = 75 4 (2,3) ดังนัน้ A = (−∞, −1) ∪ (2, ∞) และ A ' = [−1, 2] x ตรวจสอบความถูกต้อง เซต B ที่ตรงตามที่โจทย์ตอ้ งการคือข้อ 1. ตอบ O 5 โดยแทนค่า (0,4) (21) จากโจทย์ จัดรูปฝั่งซ้ายของอสมการได้ดังนี้ และ (5,0) ลงไป พบว่า P(5,0)=187.5 ซึ่งมากกว่า 1 1 log 3(x − 3) − log 3(x − 3) + log 3(x − 3) − ... 150 แสดงว่าทีจ่ ริงแล้ว P สูงสุดเกิดทีจ่ ุด (5,0) 2 4 1 1 1 ดั งนัน้ 150 = (a/2)(5)+25(0) ... ได้ a = 60 = (1 − + − + ...)(log 3(x − 3)) 2 4 8 ตอบ ข้อ 3. 1 2 x −2 x−2 =( )(log 3(x − 3)) = (log 3(x − 3)) (25) xlim f(x) = lim = lim 1 + 1/2 3 →2 x →2 x →2 2−x −(2 − x) = lim− = lim− − 2 − x = 0 x →2 x →2 2−x 2−x −(2 − x) และ xlim f(x) = lim+ = lim+ → 2+ x →2 x →2 2 − x 2 − x − ดังนัน้ จากโจทย์จะได้ 2 (log 3(x − 3)) < 1 3 3 → (log 3(x − 3)) < → x− 3 < 3 3 2 → x < 4 3 แต่ตอ้ งคํานึงถึงเงื่อนไขของสิง่ ทีอ่ ยู่ใน log ด้วย คือ x − 3 > 0 → x > 3 ตอบ 5 3 สรุป.. ช่วง (a,b) คือ ( 3, 4 3) 3 2 3 (22) เซต A; x − 8x + 16 + 2 x − 4 + 1 = 0 ให้ 3 x − 4 = a จะได้ a2 + 2a + 1 = 0 นั่นคือ a = −1 → 3 x − 4 = −1 → x = 3 ดังนัน้ เซต A = {3} log 3 9 เซต B; + (log 3 x)2 = 2 log 3 3x นั่นคือ 2 + (log 3 x)2 = 2 log 3 3 + log 3 x log 3 x = a จะได้ → a (a + 2)(a − 1) = 0 → a = 0, −2, 1 ดังนัน้ x = 30 , 3−2 , 31 = 1, 1/9, 3 เซต C; มีสมาชิกเป็น log 3 a ได้แก่ b 3 3 3 = 3 , log 3 log 3 = 1 , log 3 = 0 1 1/9 3 ตอบ {0,1,3} (23) เขียนกราฟของ เงื่อนไข ได้ดังรูป ค่าต่าํ สุดของ C เกิดที่ (3,1) ตอบ Cmin = 17 x →2 = lim+ − ( 2 + x →2 x) ดังนัน้ ตอบ ข้อ 4. ส่วนที่สอง ตอนที่ 1 (1) จาก x = tan (arctan (1/ 3) + arctan (1/2)) ใช้สูตร tan(A+B) จะได้เป็น x = 1/3 + 1/2 = 1 1 − (1/3)(1/2) และจาก y = sin (arcsin (1/ ใช้สูตร sin(A+B) จะได้เป็น 10) + arcsin (1/ 5)) 1 2 3 1 )( ) + ( )( ) = 5 5 10 10 5 = 50 1 2 (หาค่า cos ได้จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก) ตอบ (x − y)(x + y) = x2 − y2 = 1 − 1 = 0.5 2 AB | ⋅ |˜ AD | sin θ = 24 (2) พื้นที่สี่เหลีย่ ม = |˜ ˜ ˜ ˜ ˜ และจาก AB ⋅ AD = | AB | ⋅ | AD | cos θ = 3 นําสองสมการมาหารกัน จะได้ tan θ = 8 ตอบ (3) จาก z − z = ( 1 − 3 i) − ( 1 + 3 i) = − 2 2 2 2 และ i17 = i1 = i และ ดังนัน้ (0,10) z−z i 17 + z 18 = − 3i = i+1 3i 3 2 2 ตอบ ค่าสัมบูรณ์ของ O x) − z18 = (1∠(π / 3))18 = 118 ∠(18π / 3)) = 1∠6π = 1 y (3,1) 2−x x)( 2 + 2 − x = −2 2 y =( 2 + a2 = 2 1+ a → 2 + a2(1 + a) = 2 (1 + a) → a3 + a2 − 2a = 0 ให้ −( 2 − = lim+ − (4,1/2) ⎛ z−z ⎞ ⎜⎜ 17 18 ⎟⎟ ⎝ i +z ⎠ x Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คือ ( 32 ) = 1.5 2 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (4) ⎛ 3⎞ ⎛ 7 ⎞ + ⎛ 7 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 21 + 63 = 0.7 120 ⎛ 10 ⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ ตอบ (5) ให้ขอ้ มูลทั้งสี่ได้แก่ a, b, c, d มีสองคนหนักเท่ากันและน้อยกว่าอีกสองคนที่เหลือ แสดงว่า a, b เท่ากันและเป็นฐานนิยมด้วย = 40 มัธยฐาน = 41 แสดงว่า c = 42 พิสัย = 6 แสดงว่า d = 46 ดังนัน้ ข้อมูลทั้งสีค่ ือ 40, 40, 42, 46 กก. คํานวณค่าเฉลีย่ เลขคณิต ได้เท่ากับ 42 กก. 2 2 2 2 ตอบ s2 = 2 + 2 + 0 + 4 = 24 = 6 4 4 4 sin2 x + 11 cos x − 1 = 0 (6) จาก โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 603 จะได้ 2 4 (1 − cos x) + 11 cos x − 1 = 0 (10) ตารางที่ให้มา เรียงข้อมูลจากมาก ไปน้อย จึงควรกลับ ด้านก่อน และเขียน ความถีส่ ะสมได้ดังนี้ คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 จํานวน CF 1 1 4 5 10 15 20 35 65 30 25 90 100 10 มัธยฐานอยู่ตาํ แหน่ง ที่ 100/2 = 50 ซึ่งพบว่าอยู่กึ่งกลางชั้น 70-79 พอดี ดังนัน้ มัธยฐาน เท่ากับจุดกึง่ กลาง คือ 74.5 คะแนน ควอร์ไทล์ที่ 3 อยู่ตําแหน่งที่ (3/4)(100) = 75 ดังนัน้ Q3 = 79.5 + 10 (75 − 65) = 83.5 คะแนน 25 ตอบ ต่างกันอยู่ 9 คะแนน → 4c2 − 11c − 3 = 0 → (4c + 1)(c − 3) = 0 แต่ cos x = 3 ไม่ได้ ดังนั้น cos x = –1/4 เท่านัน้ ส่วนที่สอง ตอนที่t 2 2 (1) จาก det (2A ) = 2 det(A) 1 โจทย์ถาม cot2(x + π) + = 4 (sin 3θ cos θ + cos 4θ sin 2θ) 2 1 = tan x + − cos x 2 cos (x − 3π) = (± 15)2 + 4 = 19 ตอบ (หาค่า tan x มาจากรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก) (7) จาก an = zn zn = (1 − 2 − n − 3 i)(1 − 2 − n + 3 i) = 2 (sin 4θ + sin 2θ + sin 6θ − sin 2θ) = 2 (sin π / 3 + sin π /2) = 2 ( 3 +2 3 + 1) 2 ตอบ (2) ข้อ 1. กับ 2. ผิด เพราะค่าที่ได้อาจเป็นบวกหรือ ติดลบก็ได้ ขึ้นอยู่กับควอดรันต์ ข้ อ 4. ผิด เพราะ arccos ติดลบ กับ arctan ติดลบ n→ ∞ 5 4 3 2 นั (8) จาก ∫ (fog)(x) dx = x − x + x − x + x − c ้นอยู่คนละควอดรันต์กนั (ไม่มีทางเท่ากันได้) แต่ถึงแม้วา่ ข้อ 4. จะผิด ข้อ 3. ก็ยังถูก เพราะค่า แสดงว่า (fog)(x) = 5x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1 tan ของมุมๆ นัน้ เท่ากับ -2 จริงๆ (เพียงแต่เขียนเป็น ′ จากนั้นใช้กฎลูกโซ่ คือ (fog)′ (x) = f′(g(x)) ⋅ g(x) คําว่า arctan(-2) ไม่ได้!) ตอบ ข้อ 3. ต้องการหาค่า f′(6) จึงพยายามแทนค่า g(x) เป็น 6 (sin θ)( 2 sin θ − 1) >0 ซึ่งจากโจทย์พบว่า g(1) = 6 เราจึงแทน x ด้วย 1 (3) แยกตัวประกอบได้ 2 cos θ − 1 ′ ) ตลอดสมการ ได้เป็น (fog)′ (1) = f′(6) ⋅ g(1 กรณีแรก บน > 0 และล่าง > 0 3 2 (fog)′ (1) 20(1) − 12(1) + 6(1) − 2 เขียนเส้นจํานวนแล้วหาคําตอบในวงกลม = ดังนัน้ f′(6) = = 2 2 = (1 − 2 ) + 3 = 1 − n + 2n + 9 2 2 ดังนัน้ lim an = 1 − 0 + 0 + 9 = 10 ตอบ −n 2 12 = = 1 12 2 ′ ) g(1 sin θ 6(1)2 + 6(1) 0 1/ 2 ตอบ cos θ (9) วิธที ั้งหมด ลบด้วย วิธที ี่ผู้ชายทุกคนอยู่ด้วยกัน 1/2 * วิธที ี่ผู้ชายอยู่ดว้ ยกันคือ แบ่งผูห้ ญิงเป็น 4 กับ 1 พบว่าในเซตคําตอบมีจํานวนนับ 1 และ 6 คน ได้ 5 ! = 5 วิธี แต่ต้องตั้งชือ่ กลุ่มเป็น A, B (คิดโดยประมาณค่า π ≈ 3.14 ) 4 ! 1! กรณีที่สอง บน < 0 และล่าง < 0 ด้วย จึงคูณอีก 2! ได้เป็น 10 วิธี 3π/4 sin θ * วิธที ั้งหมดคือแบ่งคน 8 คนออกเป็น 4 กับ 4 คน 8! 0 1/ 2 ได้ = 35 วิธี แต่ต้องตั้งชื่อกลุ่มเป็น A, B π 4! 4!2! เช่นกัน จึงคูณอีก 2! ได้เป็น 70 วิธี ตอบ 1 − 10 = 6 ≈ 0.86 70 7 cos θ 1/2 พบว่าในเซตคําตอบมีจํานวนนับคือ 3 ตอบ มีจาํ นวนนับรวม 3 จํานวน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) π/3 π/4 0 2π 5π/3 คณิตศาสตร O-NET / A-NET (4) ให้ u = v = a โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 604 จะได้วา่ a2 + a2 + 2a2 cos θ = 2 a2 + a2 − 2a2 cos θ ยกกําลังสองทั้งสองข้าง และดึงตัวร่วมได้เป็น 2a2(1 + cos θ) = 4 (2a2)(1 − cos θ) ∴ cos θ = 0.6 ตอบ ข้อ 2. (เพราะ cos 45° ≈ 0.707 และ cos 90° (5) สมมติจุด B มีพิกดั เป็น (x, 3x-2) ดังนัน้ ความชันของเวกเตอร์ ˜ AB เท่ากับ = 0) (10) x-2 หาร f(x) และ f’(x) เหลือเศษ 3 และ 4 หมายความว่า f(2)=3 และ f’(2)=4 (ทฤษฎีเศษ) ดังนัน้ จาก g(x) = f(x) 2 จะได้ (x − 1) (x − 1)2 f′(x) − f(x) 2 (x − 1) dg ′ = g(x) = dx (x − 1)4 แทนค่า ′ g(2) = (1)2 (4) − (3)2 (1) = −2 (1)4 ตอบ (11) f(x) = x3 + Ax2 + Bx + C (3x − 2) − (−2) * x-1 เป็นตัวประกอบ แปลว่า f(1)=0 (x) − (1) * x-2 หาร f’(x) และ f’’(x) เหลือเศษ 2 เท่ากัน แต่ความชันของเวกเตอร์ u เท่ากับ 4/2 = 2 แปลว่า f’(2)=2 และ f’’(2)=2 (ทฤษฎีเศษ) เวกเตอร์สองอันนี้ความชันเท่ากัน แก้สมการได้ x=-2 * เนือ่ งจาก f′(x) = 3x2 + 2Ax + B และ AB = −3 i − 6 j แสดงว่าจุด B คือ (-2,-8) และ ˜ f′′(x) = 6x + 2A ˜ ตอบ |AB|: u = 3 : 2 = 1.5 จึงได้วา่ f′′(2) = 6(2) + 2A = 2 → A = −5 (6) จาก v = i + j แสดงว่า v = 2 f′(2) = 3(2)2 − 10(2) + B = 2 → B = 10 และ v ทํามุม 45° กับแกน x f(1) = (1)3 − 5(1)2 + 10(1) + C = 0 → C = −6 3 * หาสมการเส้นสัมผัสโค้งนี้ ณ จุดซึง่ x=2 u ⋅ v = 3 = ( 2)( 2)(cos θ) → cos θ = 2 ความชัน = f’(2) = 2 (โจทย์ให้มาแล้ว) นั่นคือมุมระหว่าง u กับ v เป็น 30° ดังนั้น จุดที่สัมผัส.. f(2) = (2)3 − 5(2)2 + 10(2) − 6 = 2 u ทํามุมกับแกน x เท่ากับ 15° หรือ 75° ก็ได้ ดังนัน้ สมการเส้นตรงคือ y = 2x − 2 ตอบ ตอบ ข้อ 1. (12) f (x) = log1(x − 4) + x = 1 + x (7) z ⋅ z = (a − bi)(a + bi) = a2 + b2 25 x − 4 25 10 ดังนัน้ Re(z ⋅ z) = a2 + b2 ด้วย 1 1 แทนค่า a ตามในโจทย์ได้ f′(x) = − + 25 (x − 4)2 และเนือ่ งจาก |z| = a2 + b2 24 1 1 เราจึงหา Re(z ⋅ z) ได้โดย |z|2 = − + → (a − 4)2 = 1 f′(a) = − 25 25 (a − 4)2 จากโจทย์ ใส่คา่ สัมบูรณ์ได้ (13)|z|3 (5) = (130)|z| ดังนัน้ a = 3 หรือ 5 ... แต่ในโจทย์มี log จึงมี (เพราะ | z | = |z| เสมอ) ... เงื่อนไขทําให้ x > 4 เท่านั้น ตอบ 1 จํานวน 2 2 4 จากนั้นย้ายข้างได้ |z|2 = 2 ตอบ (13) 1∫ x 2+ 1 dx = 1∫ (x2 + x−2) dx 3 x (8) จากสมการในโจทย์ z = −5 + 2 i 2 3 3 ⎡x 1⎤ 1⎞ ⎛ 1 5 ⎛8 ⎞ ดังนัน้ |z| = | − 5 + 2 i| = 27 = ⎢ − ⎥ = ⎜ − ⎟ − ⎜ − 1⎟ = 2 x⎦ 1 6 ⎣3 ⎝ 3 2⎠ ⎝ 3 ⎠ แสดงว่าทุกๆ คําตอบย่อมมีขนาดเป็น |z| = 3 1 1 และ 0 ∫ (4 − x)2 dx = 0 ∫ (16 − 8 x + x) dx ตอบ z21 + z22 + z23 = 3 + 3 + 3 = 9 1 (9) จาก F(2) = 3 จะได้ ⎡ 16 3 / 2 x2 ⎤ 16 1 ⎞ ⎛ 3 = (f(2))2 + 2(2) + 1 = ⎢16x − x + = ⎜ 16 − + ⎟ ⎥ 3 2⎦ 0 3 2⎠ ⎣ ⎝ 1 ดังนัน้ ตอบ 14 = 11 6 → f(2) = 2 (โจทย์บอกว่า f(2) > 0 เท่านั้น) และจาก F′(x) = ( 1) 2 f(x) 2f′(x) + 2 2 จะได้ (f(x)) + 2x + 1 1 2 (2)(4) + 2 F′(2) = ( ) = 3 2 3 (14) ก. ตอบ −1 ∫ 3 ⎛ x4 ⎞ − 2x2 ⎟ (x3 − 4x) dx = ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎛ 81 ⎞ ⎛1 ⎞ = ⎜ − 18 ⎟ − ⎜ − 2 ⎟ = 4 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 3 −1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 4 = -1 0 2 3 2 3 0 −1 ∫ f (x) dx − ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx 0 2 7 25 = − (−4) + = 12 ตารางหน่วย ตอบ ข้อ 4 4 4 (15) จาก f(x) = x − x จะได้ f′(x) = x3 − 1 4 ดังนัน้ จึงได้ −a ∫ a2 ( ) f′′(x) dx = x3 − 1 a6 + a3 = − 1 4 a2 −a → 4a6 + 4a3 + 1 = 0 → (2a3 + 1)2 = 0 → a3 = − f′(a) ความชัน ณ x=a คือ = a3 − 1 = − = a6 + a3 1 3 −1 = − 2 2 (16) แบ่งเป็น 4,1,1 จะได้ 1 2 ตอบ 6! × 3 ! = 90 4 !(1!)2 2 ! 6! × 3 ! = 360 3 ! 2 ! 1! 6! × 3 ! = 90 (2 !)3 3 ! แบ่งเป็น 3,2,1 จะได้ แบ่งเป็น 2,2,2 จะได้ รวม 90+360+90 = 540 วิธี ตอบ (17) ก. 2 ! 3 ! = 6 วิธี 2 (หาร 2 เพราะเป็นการจัดวงกลมแบบพลิกด้านได้) ข. 2 ! 3 ! = 12 วิธี ตอบ ข้อ 3. (18) หยิบพร้อมกันให้ได้แต้มรวมเป็น 10 มีดังนี้.. 1,2,7 1,3,6 1,4,5 2,3,5 รวม 4 กรณี 4 4 1 ตอบ 10 = = ⎛ ⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ 120 30 (19) เส้นทีล่ ากขึ้นระหว่างจุดยอด 2 จุดในรูปสิบ ⎞ เหลี่ยม จะมีทั้งหมด ⎛⎜ 10 2 ⎟ = 45 เส้น ⎝ ⎠ แต่ในจํานวนนี้เป็นด้าน (เส้นรอบรูป) อยู่ 10 เส้น ดังนัน้ มีเส้นที่ไม่ใช่ด้าน อยู่ 45–10=35 เส้น ให้หาความน่าจะเป็นทีเ่ ส้นนี้ไม่ผา่ นจุดศูนย์กลาง ซึ่งเราพบว่า มีเส้นที่ผา่ นจุดศูนย์กลางอยู่ 5 เส้น ตอบ 35 − 5 = 6 35 7 (20) ก. Δy = 2 Δx = 2 (2) = 4 แสดงว่ากําไรเพิม่ 4,000 บาทเท่านั้น (การคิด X, Y ทีเ่ ปลี่ยนแปลงไป จะไม่ขึ้นกับค่า c) ข. ทราบค่า Y แล้วจะทํานายค่า X แบบนี้ ทําไม่ได้! ตอบ ข้อ 4. (21) ก. ∑ x = m ∑ y + cN → 0 = 6m + 4c ∑ xy = m ∑ y2 + c ∑ y → 14 = 30m + 6c ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 14 = 10m + 0c 1. แก้ระบบสมการได้ m=2/3 และ c=-1 ดังนัน้ ที่ y=1 จะได้ Xˆ = (2/3)(3) − 1 = 1 ข. ∑ y = m ∑ x + cN → 6 = 0m + 4c จะได้ m=1.4 และ c=1.5 ดังนัน้ ที่ x=1 จะได้ Yˆ = 1.4 (1) + 1.5 = 2.9 ตอบ ข้อ 2. (22) การเปรียบเทียบข้อมูลสองกลุ่ม ต้องเทียบด้วย ค่ามาตรฐาน (z) เท่านัน้ .. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตวิชา คณิตศาสตร์ได้ 80 คะแนน และเคมี 78 คะแนน.. คณิตศาสตร์; z = 90 − 80 = 10 ≈ 1 กว่าๆ เคมี; 8.6 8.6 90 − 78 12 = ≈ ไม่ถึง z = 14.2 14.2 1 ตอบ เขาเรียนวิชาคณิตศาสตร์ได้ดีกว่าเคมี (23) ถ้าให้ Y=โบนัส และ X=เงินเดือน จะได้ Y = 1000 + 2X ... ดังนัน ้ จากสมบัติของค่ากลาง และค่าการกระจาย จะได้ ก. Y = 1000 + 2X ข. sY = 2 sX → s2Y = 4 s2X ตอบ ข้อ 4. (24) จาก P97.5 → A = 0.475 ทางขวา จะได้ z = 1.960 = และจาก จะได้ xmax − X 20 P33 → A = 0.17 z = −0.440 = .....(1) ทางซ้าย xmin − X 20 .....(2) (1)-(2); xmax − xmin = 39.2 + 8.8 = 48.0 ดังนัน้ พิสยั เท่ากับ 48.0 คะแนน ตอบ (25) นักเรียนทีไ่ ด้ค่ามาตรฐาน ระหว่าง -1 และ 1 มีอยู่ 75% แสดงว่าพื้นที่แรเงาในรูป มีฝั่งละ 37.5% 0.375 -2 พื้นที่แรเงา 25/4 7/4 0.375 ข. y = x3 − 4x มีจุดตัดแกน x ที่ 0, 2, –2 ดังรูป โจทยทดสอบ ชุดที่ 1 605 -1 คะแนนของนาย ก คิดเป็นค่า 0 1 50 − 40 z = = 1 10 z จึงคิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50+37.5 = 87.5 ตอบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 606 o¨·Â·´Êoº ªu´·Õè 2 (กุมภาพันธ์ 2548) ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน P 1. กําหนดให้ เป็นจุดๆ หนึ่งบนวงรี (x − 1)2 (y − 2)2 + = 1 9 16 ถ้าระยะห่างระหว่างจุด P และจุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีคือ ˜1 ⋅ ˜ ˆ (PF PF2) sec (FP 1 F2) มีค่าเท่ากับเท่าใด 2. ผลคูณของทุกคําตอบของสมการ 2 x 2 (log x) = 10 x3 2 ซึ่งมี F1 , F2 เป็นจุดโฟกัส หน่วย แล้ว มีค่าเท่ากับเท่าใด 3. กําหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้าน BC ยาว 5 หน่วย ด้าน ถ้ามุม B = arccos (12/13) − arcsin(−3/5) แล้วค่าของ 7 cosec A AC ยาว 8 หน่วย เท่ากับเท่าใด cos B 4. ถ้าสมการจุดประสงค์คือ P = 14x − 7y และอสมการข้อจํากัดคือ x + y < 12 , 2x + 5y > 30 , 5x + 2y > 30 แล้ว ผลรวมของค่าสูงสุดและค่าต่ําสุดของ P เท่ากับเท่าใด 5. ให้เมตริกซ์ แล้ว ค่าของ ⎡ a11 a12 a13 ⎤ A = ⎢a21 a22 a23 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a31 a32 a33 ⎦ det (2 A2adj A) ถ้า ⎡ 1 0 −1 ⎢0 1 1 ⎢ ⎣⎢ 1 −1 0 1 0 0⎤ 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1 ⎦⎥ ⎡1 0 0 a11 a12 a13 ⎤ ⎢ ⎣⎢0 0 1 ⎥ a31 a32 a33 ⎦ ~ ⎢0 1 0 a21 a22 a23 ⎥ เท่ากับเท่าใด 2 6. ถ้า z = 2 − 3i แล้ว ค่าสัมบูรณ์ของ ⎛ z 2+ 7 i ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ z− 1 − i ⎠ เท่ากับเท่าใด 7. ถ้าจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่หาร 105 เหลือเศษ 3 และหาร 601 เหลือเศษ 6 นั้นหาร 353 เหลือเศษเท่ากับ a , และให้พหุนาม x 2+ bx + c หาร x 3− 2x 2− x − 2 เหลือเศษ 4 เมื่อ b, c เป็น จํานวนจริง ดังนั้น a + b + c มีค่าเท่ากับเท่าใด 8. รหัสสินค้าจํานวน 6 หลักของบริษัทแห่งหนึ่งประกอบขึ้นจากเลข 0 ถึง 9 โดยสองหลักแรกระบุปี ที่ผลิต (เช่น 48 แทน พ.ศ. 2548) และหลักสุดท้ายเป็นตัวเลขตรวจสอบความถูกต้อง ซึ่งได้มาจาก หลักหน่วยของผลบวกของเลขในห้าหลักแรก บริษัทนี้จะสามารถตั้งรหัสสินค้าที่ผลิตในปี พ.ศ. 2548 ให้มีเลข 0 ไม่เกิน 2 หลัก ได้มากที่สุดกี่รหัส 9. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์ และผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินามของทุกพจน์ ในการ กระจาย (3a − 2b)7 มีค่าต่างกันอยู่เท่าใด 10. ถ้า B = {−2, −1, 1, 3, 4, 7} และ S = แล้ว จํานวนสมาชิกของ S เท่ากับเท่าใด {A | A ⊂ B และ Math E-Book Release 2.2 ( 1∉ A หรือ (คณิต มงคลพิทักษสุข) n (A) ∉ A ) } คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 607 ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน 1. กําหนดให้ P (x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนใดๆ และ a, b เป็นจํานวนจริง ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ถ้า P (a + b i) = 0 แสดงว่า x − a + b i เป็นตัวประกอบหนึ่งของ P (x) 2. หากสมการ P (x) = 0 มี a + b i เป็นคําตอบหนึ่งแล้ว a − b i จะเป็น คําตอบของสมการนี้ด้วย 3. เมื่อ n เป็นจํานวนนับ สมการพหุนามกําลัง n ย่อมมี n คําตอบต่างๆ กัน 4. เมื่อ n เป็นจํานวนนับ รากที่ n ของจํานวน a + b i ย่อมมี n คําตอบต่างๆ กัน 2. ข้อความในข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. ถ้า a, b, c เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a| b และ a|c แล้ว จะได้ว่า a หารผลรวมเชิงเส้นของ b และ c ลงตัวด้วย 2. ถ้า a, b, c เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a| b หรือ a|c แล้ว จะได้ว่า a หารผลคูณ bc ลงตัวด้วย 3. ถ้า a, b, n เป็นจํานวนเต็มบวก และ a| b n แล้ว จะได้ว่า 4. ถ้า a, b, n เป็นจํานวนเต็มบวก และ a n | b แล้ว จะได้ว่า a| b a| b 3 3. ถ้า f (x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ โดย f (2x + 1) = {[g (x 2+ 2)]2+ 1} และเส้น สัมผัสโค้ง g (x) ที่ x = 3 มีสมการเป็น y = 3x − 8 แล้วอนุพันธ์ของ f (x) ที่ x = 3 อยู่ในเซตใด ต่อไปนี้ 1. {12, 18} 2. {24, 36} 3. {54, 72} 4. {84, 108} 4. ถ้า F1 และ F2 เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา x2 − 3y2 − 2x − 23 = 0 ระยะทางระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ทํามุม 60° กับแกน x และผ่าน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 4 2 3. 4 3 1. 4 5. ให้ A, B, C เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ˜| :|˜ BC | = 3 : 4 จุด D อยู่บนด้าน BC โดยที่ |BD พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ˜ AB = 4 ˜ AD − 3 AC ก. ˜ ˜ 3 ˜ แล้ว มุม A มีขนาดประมาณ ข. ถ้า |˜ AB | = | AC | = |AD| 2 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 5 และ F2 ตามลําดับ 4. 4 6 120° 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 6. จํานวนคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของอสมการ 1. F1 2. x+1 < 6 Math E-Book Release 2.2 3. x2 − 6 < 5 x 8 (คณิต มงคลพิทักษสุข) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 4. 12 คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 608 7. เส้นโค้งพาราโบลา x = ay 2+ 1 มีสมการเส้นสัมผัส ณ จุด (3, b) คือ a, b, c เป็นจํานวนจริง จะได้ว่า a + b + c มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −2 3. 2 1. −4 x + 4y + c = 0 4. เมื่อ 4 8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ถ้าประพจน์ [(p ∧ q) → r)] ↔ (p ∨ q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว (p → q) ∨ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข. นิเสธของข้อความ ∃y∀x [ Q (x, y) → P (x) ] คือ ∃x∀y [ Q (x, y) ∧ ~ P (x) ] ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 9. กําหนดเอกภพสัมพัทธ์คือช่วงเปิด (1, 4) พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ประพจน์ ∀x [ x 2− 5x + 4 < 0 ] มีค่าความจริงเป็นจริง ข. ประพจน์ ∃x [ 2x 3− 5x 2− 5x − 7 > 0 ] มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 10. กําหนดให้ f (x) = x 2− 5 x−3 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง ข้อใดต่อไปนี้จริง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 11. กําหนดให้ ∞ r = ln (1/3) 1. ∑ n=0 rn (1, 5) − {3} ข. อินเวอร์สของ f เป็นฟังก์ชัน 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 4. ก. ผิด และ ข. ผิด ผลบวกของอนุกรมในข้อใดต่อไปนี้เท่ากับ ∞ 2. ∑ n=0 (−1)n r n ∞ 3. ∑ n=0 r 1 1+ r 1 n+ 1 ∞ 4. ∑ n=0 (−1)n r n+ 1 12. ให้ f (x) = x3 + ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจํานวนจริง ถ้า x − 1 หาร f (x) แล้วเหลือเศษ 2 และ i − 2 เป็นรากหนึ่งของสมการ f′(x) = 0 แล้ว ค่าของ f (−1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −26 3. −10 4. −26/3 1. −30 13. กําหนดให้ f (x) = 9 − x 2 , g(x) = x2 + 5 ข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. (f g)(x) = 4 − x2 เมื่อ x ∈ [−2, 2] 2. (g f)(x) = 14 − x 2 เมื่อ x ∈ [− 14, 14] 3. Rfog = [0, 2] และ Rgof = [ 5, 14] 4. f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [−3, 3] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 609 14. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 1 − 11 e x > 9 + e 2x ถ้า a และ b เป็นสมาชิกของ S ที่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุด ตามลําดับ แล้ว a − b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. ln 10 3. 2 ln 3 1. ln 1 15. กําหนดให้ θ ∈ [0, 2π] ถ้า tan θ = 2 − sec θ แล้ว 1. 7 25 sin( 2. π 2 − + 2 θ) f (x) ⋅ g(x) = x 2 1. 3 2 แล้ว ค่าของ 2. ln 11 4. 7 , −1, 1 25 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 7 25 3. 7 , −1 25 16. กําหนดให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งมีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์เท่ากับ และมีเส้นตรง x + y + 3 = 0 เป็นเส้นสัมผัสกราฟที่จุด (a, −2) ถ้า 4. 4 ที่จุดซึ่ง x=1 1 −1 ∫ g′′(x) dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3 4 3. − 3 4 4. − 3 2 17. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียนห้องหนึ่งเป็นดังนี้ คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 จํานวนนักเรียน 5 10 a b 2 เมื่อสุ่มเลือกนักเรียนกลุ่มนี้มาหนึ่งคน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้ได้คะแนนน้อยกว่าและมากกว่า 49.5 คะแนน มีค่าเท่ากัน และคะแนน 59.5 คิดเป็นเดไซล์ที่ 8 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของ คะแนนชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 0.01 2. 7.92 3. 10.01 4. 49.92 18. ให้ x1, x2 , ..., x5 ดังนั้นหากมีข้อมูล 1. 5 2 5 และ ∑ (x i − 5)2 = i=1 เพิ่มอีกหนึ่งจํานวน ความแปรปรวนจะเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 10 3. 39 4. 52 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 8 75 19. ตารางแสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเส้นตรง ระหว่างผลการเรียนที่ได้กับจํานวนชั่วโมงที่ใช้ ทบทวนบทเรียนของนักเรียน 6 คนในห้องเรียนหนึ่ง เป็นดังนี้ จํานวนชั่วโมงที่ใช้ ผลการเรียนที่ได้ ถ้านักเรียนคนหนึ่งในห้องนั้นได้ผลการเรียน 1. 13.50 2. 14.50 3 1 4 1 4 7 2 8 2 10 3 10 3 จะทํานายได้ว่าใช้เวลาทบทวนบทเรียนกี่ชั่วโมง 3. 14.75 4. 15.25 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET M ij 20. กําหนดให้ ถ้า แล้ว โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 610 คือเมตริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ ⎡ −13 −14 a ⎤ adj A = ⎢ −5 b −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 17 11 −8⎦ ⎡ −1 −1⎤ M 22 = ⎢ ⎥ ⎣c 3⎦ j ของเมตริกซ์ A ออก ⎡ d −1⎤ M 31 = ⎢ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦ และ det ((2A)−1) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. −1/38 1. −1/152 3. 4. −2/19 21. กําหนดให้ S คือเซตของคู่อันดับดังนี้ {(x1, y1), (x2 , y2),(x3 , y3)} และ A = {0, 1, 2} ความน่าจะเป็นในการสุ่มหยิบ xi และ yi ทั้งหมดจากเซต A และได้ S เป็นฟังก์ชันจาก A ไป A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 2. 4 3. 2 4. 9 9 81 −8/19 4 81 22. กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากที่แต่ละใบเขียนหมายเลขกํากับไว้ เป็นจํานวนสามหลักซึ่งแต่ละหลักไม่ ซ้ํากันเลยครบทุกแบบที่เป็นไปได้ หากสุ่มหยิบสลากหนึ่งใบจากกล่อง ความน่าจะเป็นที่ได้จํานวนซึ่ง ประกอบด้วยเลขโดดคี่เรียงกันตามลําดับน้อยไปมากหรือมากไปน้อย เท่ากับเท่าใด 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 240 23. ค่าของ 1. 24. ถ้า และ B A 4 0 ∫( 216 x (8 − x) − x (4 − x) ) dx [0, 2) 2. [2, 6) 5 z z+1 เป็นเซตคําตอบของระบบสมการ vn = 3− A ∪B 3 1 i + j 2 n n 4. [12, 20) 4. 8 4. 1.995 0 = 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 6 เมื่อ 108 อยู่ในช่วงต่อไปนี้ 3. [6, 12) เป็นเซตคําตอบของสมการ ∑ z k = k =0 แล้ว จํานวนสมาชิกของ 1. 5 25. ถ้า 120 และ 3. z = 1 7 n = 1, 2, 3, ..., 100 99 แล้วค่าของ ∑ (vn + 1 − vn) ใกล้เคียงกับข้อใดต่อไปนี้มากที่สุด n=1 1. 1.414 2. 1.571 3. 1.732 เฉลยคําตอบ ตอนที่ 1 (1) 12 (2) 100 (10) 53 ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 3 (10) 2 (11) 4 (12) 1 (19) 1 (20) 1 (21) 1 (3) 6.6 (4) 84 (5) 0.5 (6) 10 (7) 16 (8) 996 (9) 127 (3) 3 (4) 4 (5) 1 (6) 2 (7) 3 (8) 4 (9) 1 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 3 (17) 2 (18) 2 (22) 4 (23) 3 (24) 1 (25) 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 611 เฉลยวิธีคิด ตอนที่ 1 ˜⋅˜ ˆF) PF ) sec (FP (1) โจทย์ถาม (PF ˜| cos Pˆ sec Pˆ = |˜ PF | ⋅ |PF = |˜ PF | ⋅ | ˜ PF | 1 1 2 1 2 2 1 2 (5) ⎡ 1 0 −1 ⎢0 1 1 ⎢⎣ 1 −1 0 แปลว่า ⎤ I ⎥ ⎥⎦ ⎡ ~⎢ I ⎢⎣ ⎤ A ⎥ ⎦⎥ ⎡ 1 0 −1⎤ ⎢0 1 1 ⎥ = A −1 ⎢⎣ 1 −1 0 ⎥⎦ ซึ่งสามารถใช้สมบัติที่วา่ ระยะทางจากจุดๆ หนึง่ ไปยัง จุดโฟกัสทั้งสอง บวกกันแล้วเป็นค่าคงที่ = 2a เสมอ โดยที่ 01 01 −11 = 2 → det(A) = 1 2 1 −1 0 วงรีที่โจทย์ให้มามีค่า a = 4 ดังนั้น 2a = 8 ถ้าระยะทางหนึง่ เป็น 2 หน่วย อีกระยะทางหนึง่ ย่อม โจทย์ถาม 2 n (det(A))2 (det(A))n − 1 เท่ากับ 8–2=6 หน่วย ตอบ 2 ⋅ 6 = 12 = 23 (1/2)2 (1/2)3 − 1 = 0.5 ตอบ 2 (log x)2 3 (2) จากโจทย์จะได้ log(x ) = log(10 x ) 2 (6) จาก z + 7 i = (4 − 12 i − 9) + 7 i = −5 − 5 i → 2 (log x)2 log(x) = log 10 + log(x3) z− 1 − i (2 + 3 i) − 1 − i 1 + 2i ให้ log(x) = A จะได้ 2 2 ⎛ 2 ⎞ → 2A3 = 1 + 3A → 2A3 − 3A − 1 = 0 จะได้ ⎜⎜ z + 7 i ⎟⎟ = ⎛⎜⎜ 5 2 ⎞⎟⎟ = 25 ⋅ 2 = 10 ตอบ ⎝ z− 1 − i⎠ → (A − 1)(2A2 − 2A − 1) = 0 ⎝ 5 ⎠ 5 (7) หาร 105 เหลือเศษ 3 แปลว่าหาร 102 ลงตัว หาร 601 เหลือเศษ 6 แปลว่าหาร 595 ลงตัว 1+ 3 1− 3 ซึ่ง 102 = 2 × 3 × 17 , 595 = 5 × 7 × 17 จะได้ x = 10 หรือ 10 2 หรือ 10 2 แสดงว่า จํานวนเต็มที่มากทีส่ ดุ นัน้ คือ 17 (ห.ร.ม.) ซึ่งผลคูณของทุกคําตอบ เท่ากับ 100 ตอบ และ 17 หาร 353 เหลือเศษ a = 13 (3) cos B = cos(arccos (12/ 13) − arcsin (−3/5)) ต่อมา พหุนามหาร x 3− 2x 2− x − 2 เหลือเศษ 4 33 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ก็ย่อมแปลว่าหาร x 3− 2x 2− x − 6 ลงตัว 65 ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ต่อมา หามุม A ได้จากกฎของไซน์ในรูปสามเหลี่ยม ซึ่ง x 3− 2x 2− x − 6 = (x − 3)(x2 + x + 2) แสดงว่า พหุนาม x 2+ bx + c นั้นคือ x2 + x + 2 (เพราะเป็น คือ BC = AC → 5 = 8 sin A sin B sin A sin B พหุนามกําลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง) จะได้ cosec A = 8 a+b+c = 13+1+2 = 16 ตอบ 5 sin B (8) ควรคิ ดโดยวิธีลบออก คือจํานวนรหัสทัง้ หมด ลบ ซึ่ง sin B = sin(arccos (12/ 13) − arcsin (−3/5)) ด้วย จํานวนรหัสที่มีเลข 0 เกิน 2 หลัก.. 56 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = สมมติวา่ รหัสอยู่ในรูป 4 8 A B C S 65 ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠ จํานวนรหัสทัง้ หมด 10 × 10 × 10 × 1 = 1000 แบบ ดังนัน้ cosec A = ⎛⎜ 8 ⎞⎟ ⎛⎜ 65 ⎞⎟ = 13 (หลัก S เป็น 1 แบบเพราะถูกสร้างจากหลักหน่วย 7 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 56 ⎠ ของผลบวก 4,8,A,B,C เท่านั้น เราเลือกเองไม่ได้) ตอบ 7 cosec A cos B = 7 ⎛⎜ 13 ⎞⎟ ⎛⎜ 33 ⎞⎟ = 6.6 จํ านวนรหัสที่มเี ลข 0 เกิน 2 หลัก ⎝ 7 ⎠ ⎝ 65 ⎠ กรณี แรก; A,B,C เป็น 0 ทุกหลัก (จะได้ S เป็น 2) (4) Pmax เกิดที่ (10,2) มีอยู่ 1 แบบ (คือ “0002”) Pmax = 126 กรณี ที่สอง; A,B,C เป็น 0 เพียง 2 หลัก จะต้อง (2,10) และ Pmin เกิดที่ (2,10) บั ง คั บ ให้ S เป็น 0 ด้วย เพือ่ ให้มีเลข 0 เกิน 2 หลัก (30/7,30/7) Pmin = −42 (10,2) (แสดงว่า A,B,C อีก 1 หลักที่เหลือ ต้องเป็นเลข 8) ตอบ ผลรวม = 84 มีอยู่ ⎜⎛ 23 ⎟⎞ = 3 แบบ (คือ “0080, 0800, 8000”) ดังนัน้ A = 1 หรือ 1± 3 2 ⎝ ⎠ ส่วนกรณีที่ A,B,C,S เป็น 0 ทุกหลัก เป็นไปไม่ได้ ตอบ 1000 − 4 = 996 รหัส Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET (9) เนื่องจาก () (3a − 2b)7 = () โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 612 () 7 7 7 7 0 6 1 0 7 (3a) (−2b) + (3a) (−2b) + ... + (3a) (−2b) 0 1 7 ผลบวกของสัมประสิทธิ์ คือ ⎛ 7 ⎞ (3)7(−2)0 + ⎛ 7 ⎞ (3)6(−2)1 + ... + ⎛ 7 ⎞ (3)0(−2)7 ⎜ 1⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4) (x2 − 2x + 1) − 3(y2) = 23 + 1 → (x − 1)2 − 3y2 = 24 → อ้อมแกน x, (x − 1)2 y2 − = 1 24 8 C(h, k) = (1, 0), c = ∴ F (1 ± 4 2, 0) 24 + 8 = 4 2 โจทย์ให้หาระยะระหว่างเส้นตรงที่ ซึ่งหาค่าได้โดยแทน a และ b ด้วย 1 ในสมการแรก ผ่านสองจุดนี้ โดยทํามุม 60° กับแกน x ดังรูป ได้ผลลัพธ์เป็น (3(1) − 2(1))7 = 17 = 1 8 2 ∴ d = (8 2) sin 60° ส่วนผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินาม เท่ากับ d = 4 6 หน่วย ตอบ ⎛ 7 ⎞ + ⎛ 7 ⎞ + ⎛ 7 ⎞ + ⎛ 7 ⎞ + ... + ⎛ 7 ⎞ = 27 = 128 ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5) ก. ใช้สตู รการแบ่งเวกเตอร์ C A (สามารถพิสูจน์ได้โดยแทนค่า 3a=1 และ -2b=1) 3˜ AC + 1 ˜ AB ˜ AD = 1 4 ตอบ 128–1 = 127 D AB = 4 ˜ AD − 3 ˜ AC (10) ในโจทย์มีคําว่า “หรือ” คิดโดยตรงยาก ควรใช้ ดังนัน้ ˜ 3 วิธีลบออก คือจํานวนสับเซตของ B ทุกแบบ ลบด้วย ข. ให้ |˜ AB | = | ˜ AC | = a แบบที่ไม่ต้องการ นั่นคือ “ 1 ∈ A และ n(A) ∈ A ” B ˜ 2 * จํานวนสับเซตของ B ทุกแบบ = 26 = 64 แบบ จะได้ | AD | = 3 a * จํานวนแบบที่ “ 1 ∈ A และ n(A) ∈ A ” AB + 3 ˜ AC = 4 ˜ AD จากข้อ ก. เราทราบว่า ˜ กรณี A มีสมาชิก 0 ตัว (คือเซตว่าง) เป็นไปไม่ได้ คิดเฉพาะขนาดได้ดังนี้.. 2 กรณี A มีสมาชิก 1 ตัว มี 1 แบบ คือ {1} a2 + (3a)2 + 2 (a)(3a) cos A = 4 ( a) 3 กรณี A มีสมาชิก 2 ตัว เป็นไปไม่ได้ 64 2 13 2 2 กรณี A มีสมาชิก 3 ตัว มี 4 แบบ คือ {1,3,?} → 10a + 6a cos A = a → cos A = − 9 27 กรณี A มีสมาชิก 4 ตัว มี 6 แบบ คือ {1,4,?,?} เนื่องจาก cos A มีค่าประมาณ -0.5 แสดงว่ามุม A กรณี A มีสมาชิก 5 หรือ 6 ตัว เป็นไปไม่ได้ มี ขนาดประมาณ 120° ตอบ ข้อ 1. ตอบ 64 − 1 − 4 − 6 = 53 x2 − 6 (6) ซีกซ้าย; x + 1 < x ตอนที่ 2 x2 − 6 x2 + x − x2 + 6 0 ] เท่านั้น จึงได้วา่ −3 < g < 3 นั่นคือ ซึ่งพจน์ (x 2+ x + 1) แยกตัวประกอบไม่ได้ และจะมี −3 < x2 + 5 < 3 → 0 < x2 + 5 < 9 ค่าเป็นบวกเสมอ จึงตัดทิ้งได้ ไม่มีผลต่ออสมการ → 0 < x2 < 4 → −2 < x < 2 ดังนั้น ก. ถูก ..กลายเป็น ∃x [ 2x − 7 > 0 ] นั่นคือ 2 2 2 ∃x [ x > 3.5 ] ซึ่งพบว่ามี x บางค่าตรงตามนีจ ้ ริง 2. gof = f + 5 = 9 − x + 5 = 14 − x หาโดเมน; เนื่องจาก f2 + 5 นั้น f เป็นอะไรก็ได้ ตอบ ข้อ 1. 2 ดังนัน้ 9 − x2 เป็นอะไรก็ได้ จึงได้ −3 < x < 3 (10) f′(x) = (x − 3)(2x) − (x2 − 5)(1) (x − 3) สรุป ข้อ 2. ผิด เพราะโดเมนต้องเป็น [-3,3] 2 x − 6x + 5 (x − 1)(x − 5) 3. fog; จาก x2 + 5 > 5 → g > 5 = = 2 2 (x − 3) (x − 3) จึงทําให้ g2 > 5 → 9 − g2 < 4 ค่าวิกฤตคือ x=1 และ 5 → 0 < 9 − g2 < 2 สรุป Rfog = [0, 2] โดยที่ x=3 นั้นความชัน gof; จาก x2 > 0 → 9 − x2 < 9 หาค่าไม่ได้.. (5,10) (1,2) จึงทําให้ 0 < f < 3 → 5 < f2 + 5 < 14 ลองแทน x ต่างๆ และ 3 → 5 < f2 + 5 < 14 สรุป Rgof = [ 5, 14] เขียนกราฟได้ดังรูป 4. ถูก เพราะช่วง [-3,3] ตลอดทัง้ ช่วงอยู่ในโดเมน ก. เป็นฟังก์ชันลดในช่วง (1, 3) ∪ (3, 5) ..ถูก ข. ผิด เพราะ f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 ตอบ ข้อ 2. ของ f กับ g และก็ไม่มีค่า x ใดที่ฟงั ก์ชันไม่นิยาม (เช่นทําให้มีสว่ นเป็น 0) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 614 (17) ประโยค “ความน่าจะเป็นทีน่ ักเรียนคนนี้ได้ (14) ให้ ex = A จะได้ |1 − 11 A | > 9 + A2 กรณีแรก ถ้า A > 1 จะทําให้ในค่าสัมบูรณ์ตดิ ลบ คะแนนน้อยกว่าและมากกว่า 49.5 คะแนน มีค่า 11 เท่ากัน” แปลว่า 49.5 คือมัธยฐานนัน่ เอง (มีจํานวน ซึ่งถอดค่าสัมบูรณ์ได้ 11 A − 1 > 9 + A2 คนที่ได้มากกว่าและน้อยกว่าอยู่เท่ากัน) ซึ่ง 49.5 นั้นเป็นขอบของชัน้ พอดี → A2 − 11A + 10 < 0 → (A − 11)(A − 1) < 0 x แสดงว่ า 5+10=a+b+2 นัน่ คือ a+b=13 .....(1) ดังนัน้ 1 < A < 11 → 1 < e < 11 ประโยค “คะแนน 59.5 คิดเป็นเดไซล์ที่ 8” และ → ln 1 < x < ln 11 ช่วงคําตอบคือ [ln1,ln11] 59.5 ก็เป็นขอบของชัน้ พอดี แสดงว่า กรณีที่สอง ถ้า 0 < A < 1 จะทําให้ในค่าสัมบูรณ์ 5+10+a = 4(b+2) นั่นคือ 4b-a=7 .....(2) 11 เป็นศูนย์หรือเป็นบวก ซึ่งถอดได้ 1 − 11 A > 9 + A2 แก้ระบบสมการได้ a=9 และ b=4 นักเรียนกลุ่มนี้มี 5+10+9+4+2=30 คน → A2 + 11A + 8 < 0 หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์.. ดังนัน้ −11 − 89 < A < −11 + 89 Q 3 อยู่ตาํ แหน่งที่ (3/4)(30) = 22.5 2 2 แต่ช่วงคําตอบที่ได้นี้ผดิ จากเงือ่ นไขแรก (เพราะได้ค่า Q3 = 49.5 + 10 ⎛⎜ 22.59− 15 ⎞⎟ = 57.83 ⎝ ⎠ A ติดลบตลอดทัง้ ช่วง) กรณีนจี้ ึงไม่มีคําตอบ Q1 อยู่ตาํ แหน่งที่ (1/4)(30) = 7.5 ตอบ a − b = ln 11 − ln 1 = ln 11 ⎛ 7.5 − 5 ⎞ Q3 = 39.5 + 10 ⎜ ⎟ = 42 (15) นํา cos x คูณสองข้างของสมการ จะได้ ⎝ 10 ⎠ sin x = 2 cos x − 1 ..... (1) ตอบ Q3 − Q1 = 57.83 − 42 = 7.92 2 2 แต่ sin2 x + cos2 x = 1 ..... (2) (18) X = 8 → ∑ x = 8 ⋅ 5 = 40 แทน sin x จาก (1) ลงใน (2) แก้สมการได้ cos x = 0 หรือ 4/5 และจาก ∑ (x − 5)2 = ∑ x2 − 10 ∑ x + ∑ 25 แต่ในโจทย์มีคาํ ว่า tan x กับ sec x ดังนัน้ จะได้ ∑ x2 − 10 (40) + 125 = 350 → ∑ x2 = 350 cos x = 0 ไม่ได้! ..ต้องเป็น cos x = 4/5 เท่านัน ้ ถ้ามีข้อมูล 2 มาเพิ่มอีกจํานวน จะได้; π 42 โจทย์ถาม sin ( + 2 θ) = cos 2 θ ∑ x = 40 + 2 = 42 → X = = 7 2 = 2 cos2 θ − 1 = 2 (16/25) − 1 = 7/25 ตอบ (16) ประโยค “ค่าต่าํ สุดสัมพัทธ์เท่ากับ 4 ที่จดุ ซึง่ x=1” แปลว่า f(1)=4 และ f’(1)=0 ประโยค “เส้นตรง x+y+3=0 เป็นเส้นสัมผัสกราฟที่ จุด (a,-2)” ทําให้หาค่า a ได้จาก a + (−2) + 3 = 0 ดังนัน้ a = −1 ..นั่นคือ f(-1)=-2 และเมื่อพิจารณาความชัน จะได้ f’(-1)=-1 2 โจทย์กาํ หนด f (x) ⋅ g (x) = x 2 → g (x) = x f (x) ′ → g(x) = f (x) ⋅ (2x) − x2 ⋅ f′(x) และโจทย์ให้หา แทนค่าได้ดังนี้ ′ −1) = g( ตอบ (f (x))2 1 −1 ∫ g′′(x) dx = g(1′ ) − g(′ −1) ′ )= g(1 f (1) ⋅ (2) − f′(1) 8 1 = = 16 2 (f (1))2 f (−1) ⋅ (−2) − f′(−1) 5 = 4 (f (−1))2 1 5 3 − = − 2 4 4 6 และ ∑ x2 = 350 + 22 = 354 2 ดังนัน้ s2 = ∑ x − X2 = 354 − (7)2 = 10 ตอบ N 6 (19) ให้จํานวนชั่วโมงเป็น Y และผลการเรียนเป็น X จะได้ ∑ y = m ∑ x + cN → 42 = 12m + 6c ∑ xy = m ∑ x2 + c ∑ x → 97 = 28m + 12c แก้ระบบสมการได้ m=3.25 และ c=0.5 ดังนัน้ ที่ x=4 จะได้ Yˆ = 3.25 (4) + 0.5 = 13.5 ตอบ ข้อ 1. (20) นํา M22 และ M31 มาประกอบกันได้เป็น ⎡ −1 d −1⎤ A = ⎢ • −1 2 ⎥ ⎢⎣ c • 3 ⎥⎦ จึงใช้สมบัติ ⎡ −13 adj A = ⎢ −5 ⎢⎣ 17 ⎡det(A) 0 (adj A) ⋅ A = ⎢ 0 det(A) 0 ⎣⎢ 0 และเรามี −14 a ⎤ b −1 ⎥ 11 −8⎥⎦ 0 ⎤ 0 ⎥ det(A)⎦⎥ หา det(A) ได้จากแถวที่ 3 ของ adjA คูณกับหลักที่ 3 ของ A นั่นคือ (17)(−1) + (11)(2) + (−8)(3) = −19 โจทย์ถาม det((2A)−1) = det( 1 A −1) 1 1 1 = ( )3 ( )= − 2 −19 152 Math E-Book Release 2.2 2 ตอบ (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET 615 (21) วิธที ั้งหมดคือ หยิบ xi กับ yi เป็น 0, 1, หรือ 2 ก็ได้ เป็นจํานวน 6 ครั้ง (ซ้ํากันอย่างไรก็ได้) ได้ทั้งหมด 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 แบบ วิธีทตี่ อ้ งการคือ หยิบ xi ได้เลข 0, 1, 2 อย่างละตัว พอดี (3! แบบ) และหยิบ yi เป็นเลขใดก็ได้ (ซ้ํากัน ได้) นั่นคือได้ทั้งหมด 3 ! ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 ⋅ 34 แบบ (24) A; จาก 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 = 0 6 จัดรูปอนุกรมเรขาคณิตได้เป็น z − 1 = 0 z−1 ดังนัน้ คําตอบของสมการคือค่า z ทีท่ ําให้ z6 = 1 เราหาคําตอบทัง้ 6 ได้ โดยอาศัยรูปเชิงขัว้ ได้เป็น z = −1 , ± 1 ± 3 i 2 2 (เหลือ 5 คําตอบเพราะ z ห้ามเป็น 1) B; จาก z = 1 → a2 + b2 = 1 และเนือ่ งจาก z = 1 นําไปแทนในสมการแรก จะ ได้ว่า z + 1 = 1 → (a + 1)2 + b2 = 1 ดังนัน้ ความน่าจะเป็น 2 ⋅ 34 2 = ตอบ 9 36 = 9 ⋅ 9 ⋅ 8 จํานวน = (22) จํานวนทัง้ หมด (ขึ้นต้นด้วยเลข 0 ไม่ได้ ขัน้ ตอนแรกจึงเป็น 9 วิธ)ี ส่วนจํานวนทีต่ อ้ งการ ได้แก่ 135, 357, 579 และ กลับด้าน (มากไปน้อย) ได้อีก รวม 6 จํานวน ตอบ ความน่าจะเป็น = 6 = 1 (23) พิจารณา y1 = y1 = 9⋅9⋅8 x (8 − x) −(x2 − 8x + 16) + 16 = 108 จะได้ −(x − 4)2 + 16 นั่นคือ y2 + (x − 4)2 = 16 ... เป็นสมการครึง่ วงกลม รัศมี 4 หน่วย จุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ (4,0) และในทํานองเดียวกัน y2 = x (4 − x) จะได้ y2 = −(x2 − 4x + 4) + 4 = −(x − 2)2 + 4 นั่นคือ y2 + (x − 2)2 = 4 ... เป็นสมการครึง่ วงกลม รัศมี 2 หน่วย จุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ (2,0) โจทย์ให้อินทิเกรตจาก 0 ถึง 4 แสดงว่าถาม พื้นที่แรเงาดังภาพ.. หาได้จากสูตรพืน้ ที่วงกลม = 1 4 π (4)2 − ตอบ ข้อ 3. 1 2 π (2)2 โจทยทดสอบ ชุดที่ 2 แก้ระบบสมการได้ a = − 1 2 b = ± 3 2 ดังนัน้ z = − 1 ± 3 i (ซึ่งสองค่านีก้ ็อยู่ใน A ด้วย) 2 2 สรุป.. A และ B มีสมาชิกรวม 5 ตัว ตอบ 99 (25) จากโจทย์ ∑ (vn + 1 − vn) n=1 = |(v2 − v1) + (v3 − v2) + ... + (v100 − v99)| = | v100 − v1 | = |( 3 − 0.0003 i + 0.01 j)− (0 i + 1 j)| ≈ | 3 i − 1 j| ≈ 2 ตอบ ข้อ 4. หมายเหตุ ในข้อนี้ถา้ คิดแบบแม่นยํา จะได้เป็น | 2.9997 i − 0.99 j | = 4 และ 8 = 2π ≈ 6.28 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 3.9798 = 1.995 คณิตศาสตร O-NET / A-NET 616 ฉบับเขมขน ÀÒ¤¼¹Ç¡ Math E-Book ©ºaºe¢Á¢¹ เซต 1. เซต คือ “กลุ่มของสิ่งต่างๆ” และเรียกสิ่งที่อยู่ภายในแต่ละเซตว่า “สมาชิก” นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยปีกกา { } 2. ในการเขียนแจกแจงสมาชิกของเซตนั้น - จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma) - สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน - สมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา - หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมาย “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ - จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยลูกน้ํา (จุลภาค) - สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน - สมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา - หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมาย “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ 3. เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเป็นเซตเดียวกัน (สมาชิกทุกตัวต้องเหมือนกัน) เท่านั้น 4. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 ∈ B , 3 ∈ C สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C 5. ภายในเซต จะมีเซตหรือคู่อันดับหรืออะไรก็ได้ทั้งนั้น และจะนับ 1 ก้อนเป็นสมาชิก 1 ตัว 6. เซตจํากัดคือเซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เซตอนันต์คือเซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ สัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n (A) เช่น n (A) = 7 , n (B) = 5 7. เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เรียกว่า เซตว่าง ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ ดังนั้นจะได้ว่า n(∅) = 0 8. เซตอนันต์บางเซตไม่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิก แต่เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข } อ่านว่า “เซตของ (สมาชิก) โดยที่ (เงื่อนไข)” 9. ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ หรือเซต U มีผลต่อเซตแบบบอกเงื่อนไข - สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก U - โดยทั่วไปถ้าไม่ได้ระบุเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่า U เป็นเซตที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ 10. สับเซต คือเซตย่อย ...B เป็นสับเซตของ A ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต B อยู่ใน A ด้วย หรือเมื่อ B เป็นเซตว่างก็ได้ (และ B ไม่เป็นสับเซตของ A หากมีสมาชิกบางตัวของ B ไม่อยู่ใน A) 11. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊂ A สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊄ A 12. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตต่างๆ กันทั้งสิ้น 2 n แบบ 13. เซตว่างเป็นสับเซต(ที่เล็กที่สุด)ของทุกเซต และเซตทุกเซตเป็นสับเซต(ที่ใหญ่ที่สุด)ของตัวเอง 14. เพาเวอร์เซต คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้ - เพาเวอร์เซตของ A ใช้สัญลักษณ์ว่า P(A) - ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก 2 n ตัว 15. ประโยค {a, b} ∈ P(A) แปลว่า {a, b} ⊂ A และประโยค {a, b} ⊂ A ก็แปลได้อีกทอดว่า “ a ∈ A และ b ∈ A ” Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 617 16. การแสดงเซตด้วยแผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ จะให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นกรอบสี่เหลี่ยม ซึ่ง ภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทนขอบเขตของเซตต่างๆ และแต่ละเซตมักมีการ ซ้อนทับกัน 17. การดําเนินการเกี่ยวกับเซต ทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม - ยูเนียน ... เซต A ∪ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมด - อินเตอร์เซกชัน ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ B - คอมพลีเมนต์ ... เซต A' คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน A (บางตําราใช้สัญลักษณ์ Ac , A ) - ผลต่าง ... เซต B − A คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... เขียนได้อีกแบบว่า B ∩ A' 18. โดยทั่วไปค่าของ n(B − A) ต้องคิดจาก n(B) − n(A ∩ B) เท่านั้น (ห้ามคิดจาก n(B)-n(A)) 19. การแจกแจง 20. คอมพลีเมนต์ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A ∪ B)' = A ' ∩ B' (A ∩ B)' = A ' ∪ B' 21. โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ - จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณชิ้นส่วนต่างๆ - ในข้อสอบมักตั้งใจให้ใช้สูตรในการหาจํานวนสมาชิกแต่ละชิ้นส่วนดังนี้ สองเซต ... n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) สามเซต ... n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) ระบบจํานวนจริง 1. จํานวนที่คิดขึ้นครั้งแรกใช้นับสิ่งของต่างๆ เรียกว่า จํานวนธรรมชาติ หรือ จํานวนนับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, ... สัญลักษณ์แทนเซตของจํานวนนับคือ เซต N 2. จํานวนนับ จํานวนศูนย์ และจํานวนเต็มลบ เรียกรวมกันว่า จํานวนเต็ม (เซต I ) 3. จํานวนเต็ม และเศษส่วนของจํานวนเต็ม เรียกรวมกันว่า จํานวนตรรกยะ (เซต Q ) - เศษส่วนของจํานวนเต็ม จะเขียนเป็นทศนิยมซ้ําได้เสมอ - จํานวนอื่นๆ จะเป็นทศนิยมไม่ซ้ํา เรียกว่า จํานวนอตรรกยะ ( Q' ) เช่น 2 , 3 , π , e 4. จํานวนทั้งหมดที่กล่าวมานี้ เรียกรวมกันว่าจํานวนจริง (เซต R ) - จํานวนซึ่งไม่ใช่จํานวนจริง ได้แก่ จํานวนซึ่งในรู้ทติดลบ เช่น −2 (เรียกว่าจํานวนจินตภาพ) และจํานวนซึ่งตัวส่วนเป็น 0 (จะถือว่าหาค่าไม่ได้และไม่ใช่จํานวนจริง) 5. คําศัพท์เพิ่มเติมเกี่ยวกับจํานวนเต็ม - จํานวนคู่ คือจํานวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว (ได้แก่ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, …) จํานวนเต็มอื่นๆ เรียกว่าจํานวนคี่ เป็นจํานวนเต็มที่หาร 2 ไม่ลงตัว (ได้แก่ 1, -1, 3, -3, …) - จํานวนเฉพาะ คือจํานวนเต็มที่ไม่ใช่ 0, 1, -1 และมีจํานวนเต็มที่หารลงตัวเพียง ±1 และ ± ตัว มันเอง เท่านั้น (จํานวนเฉพาะสามารถติดลบได้ด้วย เช่น -2, -3, -5, -7, …) - จํานวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่จํานวนเฉพาะและไม่ใช่ 0, 1, -1 จัดเป็นจํานวนประกอบ (คือจํานวนซึ่ง แยกตัวประกอบได้) 6. สมบัติปิด หมายความว่า เมื่อนําสมาชิกใดๆ ในเซตมาดําเนินการแล้ว ผลที่ได้ยังคงเป็นสมาชิก ของเซตนั้นอยู่ เช่น เซตจํานวนนับมีสมบัติปิดการบวกและคูณ แต่ไม่มีสมบัติปิดการลบ - สมบัติอื่นของจํานวนจริงได้แก่ การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การแจกแจง การมีเอกลักษณ์ และ การมีอินเวอร์ส 7. “เอกลักษณ์” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวน a ใดก็ตาม แล้วได้ผลลัพธ์ a เท่าเดิม - เอกลักษณ์การบวกของจํานวนจริง คือ 0 และเอกลักษณ์การคูณของจํานวนจริง คือ 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 618 8. “อินเวอร์สของ a” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวน a แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์ - เอกลักษณ์การบวกของ a คือ −a และเอกลักษณ์การคูณของ a คือ 1/a (หรือเขียนเป็น 9. ทบทวนการคํานวณเกี่ยวกับเศษส่วน −1 a d ac + bd ⎛a⎞ = b | a ⋅ d = ad | + = ⎜ ⎟ b c bc ab a = c bc b | c bc a ac = bc b | a−1 ) a ⎝b⎠ ab ad = cd bc 10. ทฤษฎีบทเศษเหลือ ช่วยในการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าสอง - พหุนาม p (x) คือพหุนามที่มี x เป็นตัวแปร และอยู่ในรูป anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 - ทฤษฎีบทเศษเหลือ ... ถ้าหาร p (x) ด้วย (x − c) แล้ว จะเหลือเศษเท่ากับ p (c) - ทฤษฎีบทตัวประกอบ ... หาก p (c) = 0 จะกล่าวว่า (x − c) เป็นตัวประกอบของ p (x) - อีกทฤษฎีทที่ ําให้หาค่า c ที่เป็นตัวประกอบได้เร็ว คือ ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ ซึ่ง กล่าวว่า ถ้า (x − (k m)) เป็นตัวประกอบของ p (x) แล้ว k ต้องเป็นตัวประกอบของ a0 และ m ต้องเป็นตัวประกอบของ an ... ( k m เป็นเศษส่วนอย่างต่ําเท่านั้น) (แต่หาก c ไม่ใช่จํานวนตรรกยะ เช่น x2 − 2 = (x − 2)(x + 2) จะใช้ทฤษฎีนี้ไม่ได้) 11. สมการ คือประโยคที่มีตัวแปรและกล่าวถึงการเท่ากัน - การแก้สมการ คือการหาค่าของตัวแปรที่ทําให้ประโยคนั้นเป็นจริง - อาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของสมการ” หรือการหา “รากของสมการ” ก็ได้ คําว่าจงหา “รากของสมการ” แปลว่าให้หาคําตอบของสมการ (ไม่เกี่ยวกับการถอดรู้ทอะไรใดๆ) 12. สมบัติเกี่ยวกับสมการ a = b → a±c = b±c a = b → ac = bc a = b → a/c = b/c เมื่อ c≠0 13. ข้อควรระวังในการแก้สมการใดๆ - การบวกหรือลบทั้งสองข้าง (ย้ายข้างบวกลบ) และการตัดออกสําหรับการบวกหรือลบ ทําได้เสมอ - การคูณทั้งสองข้าง (ย้ายข้างคูณ) ทําได้เสมอ การหารทั้งสองข้าง (ย้ายข้างไปหาร) ห้ามเป็น 0 - การตัดออกสําหรับการคูณ ทําได้เมื่อมั่นใจว่าเลขที่ตัดออกทั้งสองข้างไม่ใช่ 0 - การยกกําลังสองทั้งสองข้าง ทําได้เสมอ แต่การตัดกําลังสองออกจะมีผล 2 กรณี คือสองข้างเท่ากัน หรือสองข้างเป็นติดลบของกันและกัน 14. สมบัติที่สําคัญในการแก้สมการกําลังสองคือ หาก a b = 0 แล้วจะได้ว่า a = 0 หรือ b = 0 สมการกําลังสองมีรูปทั่วไปเป็น Ax2 + Bx + C = 0 ควรแยกตัวประกอบให้อยู่ในรูป (Dx + E)(Fx + G) = 0 ก่อน เพื่อจะได้ทราบว่า คําตอบของสมการกําลังสองได้แก่ x = − E หรือ x = − G D 15. ถ้าแยกตัวประกอบในใจไม่สําเร็จ ต้องใช้สูตรหาคําตอบคือ F x = −B ± B2 − 4AC 2A และถ้าพบว่าในรู้ทเป็นจํานวนติดลบจึงค่อยสรุปว่าแยกตัวประกอบไม่ได้ และสมการไม่มีคําตอบ 16. อสมการ คือประโยคที่มีตัวแปรและกล่าวถึงการไม่เท่ากัน (ได้แก่ > > < < หรือ ≠ ) - การแก้อสมการ คือการหาค่าของตัวแปรที่ทําให้ประโยคนั้นเป็นจริง - อาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของอสมการ” ก็ได้เช่นกัน 17. ช่วง คือเซตชนิดหนึ่งซึ่งมีสมาชิกเป็นค่าต่อเนื่องกัน อาจเป็นช่วงเปิด ช่วงปิด หรือช่วงครึ่งเปิด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 619 18. สมบัติเกี่ยวกับอสมการ a > b → a±c > b±c a > b → ac > bc เมื่อ c > 0 a > b → a c < b c เมื่อ c < 0 19. ข้อควรระวังในการแก้อสมการใดๆ - การบวกหรือลบทั้งสองข้าง (ย้ายข้างบวกลบ) และการตัดออกสําหรับการบวกหรือลบ ทําได้เสมอ - การคูณหรือหารทั้งสองข้าง (ย้ายข้างคูณหาร) จะต้องระวังเรื่องการเปลี่ยนเครื่องหมาย (ถ้าเลขที่ย้ายเป็นค่าติดลบ ต้องพลิกด้านเครื่องหมาย) - การยกกําลังสองทั้งสองข้าง ทําได้เมื่อมั่นใจว่าเป็นบวกทั้งสองข้าง หรือติดลบทั้งสองข้างเท่านั้น (โดยกรณีติดลบต้องพลิกด้านเครื่องหมายด้วย) 19. การแก้อสมการกําลังสอง (หรือหาคําตอบของอสมการ) ควรใช้เทคนิคดังนี้ - เครื่องหมายหน้า x2 ต้องไม่ติดลบ (ถ้าติดลบให้กลับเครื่องหมายทั้งหมดก่อน) - แยกตัวประกอบ แล้วกําหนดจุดเหล่านั้นลงบนเส้นจํานวน - ถ้าอสมการเป็น > 0 ให้ตอบช่วงซ้ายและขวา, ถ้าอสมการเป็น < 0 ให้ตอบช่วงกลาง - ถ้าอสมการมีเครื่องหมาย = ด้วย ให้ตอบจุดเหล่านั้นด้วย (ช่วงปิด) 20. ค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (a, b) และ (a, b] และ [a, b] คือ ค่า b ค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (a, ∞) และ [a, ∞) และ (−∞, ∞) หาไม่ได้ 21. “ค่าสัมบูรณ์ ของจํานวนจริง a ” ใช้สัญลักษณ์ a - ความหมายเชิงเรขาคณิต คือ a เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุด 0 - และ a − b เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุดที่แทน b 22. การถอดค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วๆ ไป ⎧⎪ a เมื่อ a > 0 a = ⎨ ⎪⎩ −a เมื่อ a < 0 23. ทฤษฎีเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ - ค่าสัมบูรณ์ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ - ค่าสัมบูรณ์ไม่คํานึงถึงเครื่องหมายลบ - ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการคูณ a > 0 a = −a a−b = b−a ab = a b an = a a b - ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการหาร - ยกกําลังด้วยเลขคู่ไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ - ค่าสัมบูรณ์กระจายไม่ได้ สําหรับการบวกลบ - นิยามการถอดรากที่ n ของกําลัง n เสมอ = a โดย b a2 = a 2 b ≠ 0 = a2 a+b < a + b n n ⎧⎪ a , an = ⎨ ⎪⎩ a , a−b > n = even n = odd 24. ทฤษฎีที่ช่วยแก้สมการและอสมการ ที่มีค่าสัมบูรณ์ - สมการ x = b และสมการ x = b มีความหมายเดียวกับสมการ x2 = b2 และสรุปได้ว่า “ x = b หรือ x = −b ” - อสมการ x < b คือ −b < x < b อสมการ x > b คือ “ x < −b หรือ x > b ” 25. บทนิยามของการหารจํานวนเต็มลงตัว - “m หารด้วย n ลงตัว” เขียนเป็นสัญลักษณ์ n m - สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า n m ก็ต่อเมื่อ m = n q และ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) a − b q∈ I คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 620 - สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c - ผลรวมเชิงเส้น ถ้า a b และ a c แล้ว a (bx ± cy) - เลขยกกําลัง ถ้า a b แล้ว a bn ... และถ้า a n b แล้ว a b 26. บทนิยามของการหารจํานวนเต็มใดๆ - สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า m = n q + r และ q ∈ I , 0 < r < มีจํานวนเต็ม q, r ชุดเดียวเท่านั้น เรียก q ว่าผลหาร ... และเศษคือ r 27. สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ห.ร.ม. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ (a, b) สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ค.ร.น. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ [a, b] - ห.ร.ม. คูณกับ ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ - ห.ร.ม. ของผลหาร ถ้า (a, b) = d แล้ว (a/d, b/d) = 1 - ถ้า (m, n) = 1 จะเรียก m และ n เป็นจํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ 28. ขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ a กับ b แบบยุคลิด เริ่มโดยเขียน a กับ b ในรูปการหาร แล้วนําเศษที่ได้ไปหารต่อๆ ไป คือ a = b q 1 + r1 ... b = r1q 2 + r2 ... r1 = r2q 3 + r3 ... r2 = r3q 4 + r4 ... ทําไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหารลงตัว (เศษเป็น 0) จะได้ว่า ห.ร.ม. เท่ากับ เศษตัวสุดท้าย ( rk ) n ตรรกศาสตร์ 1. ประโยคทุกประโยคที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง เรียกว่า ประพจน์ - ประโยคบอกเล่า ประโยคปฏิเสธ เป็นประพจน์ - ประโยคคําถาม คําสั่ง ขอร้อง แสดงความปรารถนา ประโยคอุทาน เหล่านี้ไม่ใช่ประพจน์ 2. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประพจน์ต่างๆ เป็นตัวอักษรเล็ก เช่น p, q, r - แต่ละประพจน์จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ 2 แบบ คือเป็น จริง (T) หรือเป็น เท็จ (F) - เครื่องหมาย ~ เรียกว่านิเสธ ใช้เพื่อกลับค่าความจริงให้เป็นตรงกันข้าม p q p และ q (p ∧ q ) p หรือ q (p ∨ q ) T T T T ถ้า p แล้ว q (p → q ) p ก็ต่อเมื่อ q (p ↔ q ) ไม่ p (~p ) T T F T F F T F F F F T F T F T F F F T F T T T 3. ตารางข้างบน เรียกว่า ตารางค่าความจริง ... เป็นตารางแสดงรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น ถ้ามี 1 ประพจน์จะเป็นไปได้ 2 แบบ, ถ้ามี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ, หรือ 2n นั่นเอง 4. หากรูปแบบของประพจน์ใดให้ค่าเป็นจริงเสมอทุกๆ กรณี จะเรียกรูปแบบนั้นว่า สัจนิรันดร์ - การตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สามารถใช้ “วิธีพยายามทําให้เป็นเท็จ” คือหากพยายามทําให้รูปแบบนั้นเป็นเท็จไม่ได้เลย รูปแบบนั้นก็จะเป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าทําเป็นเท็จได้แม้เพียงกรณีเดียว รูปแบบนั้นย่อมไม่ใช่สัจนิรันดร์ 5. รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ที่ให้ค่าความจริงตรงกันทุกๆ กรณี จะกล่าวว่า สมมูลกัน (แปลว่า สามารถใช้แทนกันได้) ... สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงการสมมูลกัน คือ ≡ แล้ว จะได้ว่า → เป็นสัจนิรันดร์ และ ↔ ก็เป็นสัจนิรันดร์ - ถ้า ≡ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 621 6. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน (ที่ควรทราบ) - การแจกแจง - การเติมนิเสธ p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ~ (p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ~ (p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ~ (p → q) ≡ p∧~q ~ (p ↔ q) ≡ ~p ↔ q - การเปลี่ยนตัวเชื่อม p→q ≡ ~p ∨ q p↔q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ ~q→~p ≡ p↔~q 7. ตัวเชื่อม และ มีสมบัติคล้ายอินเตอร์เซคชัน ... ตัวเชื่อม หรือ มีสมบัติคล้ายยูเนียน ... นอกจากนั้น นิเสธ ก็มีสมบัติคล้ายคอมพลีเมนต์ 8. ประโยคเปิด คือประโยคที่ยงั ติดค่าตัวแปร และเมื่อแทนค่าตัวแปรแล้วจึงกลายเป็นประพจน์ - สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยคเปิดใดๆ (ที่ติดค่าตัวแปร x) ได้แก่ P (x), Q (x), R (x) ฯลฯ 9. ตัวบ่งปริมาณ คือข้อความที่ใช้บ่งบอกความมากน้อยของค่าตัวแปร x - ตัวบ่งปริมาณมี 2 แบบ ได้แก่ “สําหรับ x ทุกตัว” ( ∀x ) และ “มี x บางตัว” ( ∃x ) - เมื่อใช้ตัวบ่งปริมาณร่วมกับเอกภพสัมพัทธ์ จะทําให้ประโยคเปิดมีค่าความจริง 10. สามารถแจกแจงตัวบ่งปริมาณได้เพียงสองรูปแบบนี้เท่านั้น ∀x [P (x) ∧ Q (x)] ≡ ∀x [P (x)] ∧ ∀x [Q (x)] ∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃x [Q (x)] 11. ประโยคเปิดที่มีสองตัวแปร (มีตัวบ่งปริมาณสองตัว) การอ่านต้องคํานึงถึงลําดับก่อนหลัง เช่น ∀x∃y [...] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกๆ ตัว จะใช้ y ได้บางตัว ...” แต่ ∃y∀x [...] แทนประโยค “มี y บางตัว ที่ใช้ x ได้ครบทุกตัว ...” 12. การหานิเสธ ต้องเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ จาก ∀ เป็น ∃ และจาก ∃ เป็น ∀ และใส่นิเสธที่ประโยคเปิด ภายในเครื่องหมายวงเล็บด้วย เช่น นิเสธของ ∀x∃y [P (x) → Q (x, y)] คือ ∃x∀y [P (x) ∧ ~ Q (x, y)] 13. การอ้างเหตุผล คือการกล่าวว่าถ้ามีเหตุเป็นข้อความ p1, p2 , p3 , ..., pn ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปผลเป็นข้อความ q อันหนึ่งได้ - การอ้างเหตุผลมีทั้งแบบที่สมเหตุสมผล และไม่สมเหตุสมผล 14. วิธีตรวจสอบความสมเหตุสมผล ของการอ้างเหตุผล - ตรวจสอบสัจนิรันดร์ ... จะสมเหตุสมผลก็เมื่อ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) → q เป็นสัจนิรันดร์ (หรือกล่าวว่าไม่สมเหตุสมผลเพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือเหตุเป็นจริงทั้งหมด แต่ผลเป็นเท็จ) - เทียบกับรูปแบบที่พบบ่อย การอ้างเหตุผลทุกรูปแบบต่อไปนี้ สมเหตุสมผล (4) เหตุ p → q r→s (1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → q (3) เหตุ p → q p ผล (5) เหตุ q p∨q ผล (6) เหตุ q p→q ~q→~p ~ p ผล ~ p ผล p∨r q→r ~ q ผล (7) เหตุ ผล p→r p∧q p ผล (8) เหตุ ผล q∨s p p∨q ~p ∨ q 15. การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการใช้ความจริงจากส่วนย่อยนําไปสรุปความจริงของส่วนรวม หรือกล่าวว่า เป็นการสรุปผลที่จะเกิดขึ้น ซึ่งมาจากการสังเกตหรือทดลองในกรณีย่อยๆ หลายครั้ง ข้อควรระวังคือ ข้อสรุปที่ได้ไม่จําเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นขยายผลออกไปจากสิ่งทีเ่ ห็น Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 622 16. สิ่งที่ควรคํานึงเพราะมีผลต่อความน่าเชื่อถือได้แก่ จํานวนข้อมูลที่มีเพียงพอหรือไม่, ข้อมูลที่ใช้นั้นเป็นตัวแทนที่ดีแล้วหรือไม่, และข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนเกินไปหรือไม่ 17. ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย - ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} สมาชิกตัวที่เหลือน่าจะเป็น 12, 14, 16, ... - ลําดับ 1, 3, 7, 15, 31, ... พจน์ถัดไปน่าจะเป็น 63 (ดูจากผลต่างของพจน์ตดิ กัน) - ถ้าผลบวกของเลขโดดเป็นจํานวนที่หารด้วย 3 ลงตัวแล้ว จํานวนนับนั้นจะหารด้วย 3 ลงตัว 18. การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการใช้ความจริงที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป เพื่อนําไปสู่ข้อสรุปย่อย ข้อควรระวังคือ ถ้าใช้ความรู้สึกเพียงผิวเผินอาจจะคิดว่าสมเหตุสมผล ทั้งที่จริงไม่ใช่ 19. การตรวจสอบความสมเหตุสมผล สามารถทําได้อย่างรอบคอบโดยใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออย เลอร์) ถ้าพบว่าแผนภาพเป็นไปตามที่สรุป ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น จะถือว่าสมเหตุสมผล แต่ถ้าเป็น แบบอื่นได้ด้วย จะถือว่าไม่สมเหตุสมผล 20. ข้อสรุปที่สมเหตุสมผล อาจจะขัดแย้งกับความจริงในโลกก็ได้ เพราะเรากล่าวในรูปแบบการอ้าง เหตุผล นั่นคือ การสมเหตุสมผลไม่ได้หมายความว่าผลจะเป็นจริงทันที แต่เมื่อใดเหตุทุกข้อเป็นจริง ผลจึงจะจริงด้วย 21. ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย (ที่สมเหตุสมผล) ผล สุดาต้องทําการบ้าน - เหตุ (1) นักเรียนทุกคนต้องทําการบ้าน ... (2) สุดาเป็นนักเรียน - เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) คนบินไม่ได้ ผล คนไม่ใช่นก - เหตุ (1) สัตว์ปีกทุกตัวบินได้ ... (2) แมวบางตัวเป็นสัตว์ปีก ผล แมวบางตัวบินได้ 22. ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย (ที่ไม่สมเหตุสมผล) - เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) ยุงบินได้ ผล ยุงเป็นนก - เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) คนไม่ใช่นก ผล คนบินไม่ได้ - เหตุ (1) นักเรียนบางคนเป็นนักกีฬา (2) นักกีฬาบางคนแข็งแรง ผล นักเรียนบางคนแข็งแรง เรขาคณิตวิเคราะห์ 1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยแกน 2 แกนที่ตั้งฉากกัน ณ จุดกําเนิด (จุด O) y เรียกชื่อแกนนอนและแกนตั้ง ว่าแกน x และแกน y ตามลําดับ Q2 Q1 - แกนทั้งสองนี้ตัดกัน แบ่งพื้นที่ในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วน (−, +) (+, +) เรียกแต่ละส่วนว่าจตุภาค (ควอดรันต์, Q) ดังภาพ 2. การอ้างถึงพิกัดในระบบพิกัดฉาก จะเขียนในรูปคู่อันดับ Q3 O Q4 สมาชิกตัวแรกแทนระยะในทิศ +x และตัวหลังแทนระยะในทิศ +y (−, −) (+, −) 3. การเขียนชื่อจุดนิยมใช้ตัวอักษรใหญ่ เช่น จุด P, จุด Q - อาจเขียนกํากับด้วยคู่อันดับเป็น P (x, y) เช่น Q (2, 4) ใช้แทนจุด Q และมีพิกัด (2,4) 4. ระยะห่างระหว่างจุด P กับ Q คือ PQ Q (x2,y2) PQ = (x2− x1) 2+ (y2− y1) 2 P (x1,y1) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) x คณิตศาสตร O-NET / A-NET 5. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด Q (x2,y2) R( ฉบับเขมขน 623 6. จุดที่แบ่งระยะทางเป็นอัตราส่วน m:n Q (x2,y2) m x1+ x2 y1+ y2 , ) 2 2 n P (x1,y1) P (x1,y1) 7. จุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม (เรียกว่าจุดเซนทรอยด์) R (x3,y3) x+x +x y+y +y C ( 1 2 3 , 1 2 3) 3 3 C P (x1,y1) mx + nx2 my1+ ny2 R( 1 , ) m+n m+n Q (x2,y2) - เส้นมัธยฐาน คือเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดจุดหนึ่ง กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม - จุดตัดของเส้นมัธยฐาน จะแบ่งเส้นมัธยฐานแต่ละเส้นออกเป็นอัตราส่วน 2 : 1 เสมอ 8. เราสามารถสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่กําหนดให้ เช่น จุด P กับ Q ใดๆ ได้เสมอ - เขียนแทน “ส่วนของเส้นตรง” ที่เชื่อมระหว่างจุด P กับ Q ด้วยสัญลักษณ์ PQ - นิยมตั้งชื่อ “เส้นตรง” ด้วยอักษร L เช่น เส้นตรง L1 , เส้นตรง L2 9. ความชัน (m) ของเส้นตรง ที่ทราบจุดผ่านสองจุด Q (x2,y2) y −y m = tan θ = 2 1 x2− x1 θ เส้นตรงสองเส้นขนานกัน ( ) ก็ต่อเมื่อ มีความชันเท่ากัน เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน ( ⊥ ) ก็ต่อเมื่อ ความชันคูณกันได้ -1 P (x1,y1) 10. สมการของเส้นตรง - เมื่อทราบจุดผ่านจุดหนึ่ง (x1, y1) และค่าความชัน m จะได้สมการ y − y1 = m (x − x1) - เมื่อทราบจุดผ่านสองจุด (x1, y1) , (x2 , y2) ให้คํานวณค่าความชันจากสองจุดนี้ก่อน แล้วเลือกใช้จุดใดก็ได้จุดเดียวมาสร้างสมการด้วยวิธีเดิม m P (x1,y1) Q (x2,y2) P (x1,y1) 11. สมการเส้นตรงที่นิยมใช้ประโยชน์มีอยู่ 3 รูปแบบ ได้แก่ - รูปแบบ y = m x + c เมื่อ m คือความชัน และ c คือระยะตัดแกน y y y m>0 m b หรือ 2 2 ⎛y⎞ + ⎛x⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ (รีตามแกน y) เสมอ ดังนั้นตัวเลขใดมีค่ามากกว่า ตัวนั้นก็จะเป็น a (เป็นแกนเอก) วงรี (นอน) (x −h)2 a V2 F2 c (y −k)2 b2 = 1 B1 (h,k+b) ⎫ ⎬b ⎭ C F1 V1 (h,k) (h+c,k) (h+a,k) จุดศูนย์กลาง C (h, k) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว ระยะโฟกัส c = a − b B2 รูปทั่วไป 2 2b 2 Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 วงรี (ตั้ง) V1 (h,k+a) (y −k)2 a F1 (h,k+c) b C (h,k) B (h+b,k) 1 ⎧ ⎪ ⎫ ⎪ c a ⎪⎨ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪⎩ F2 V2 B2 a + 2 2 + (x −h)2 b2 = 1 จุดศูนย์กลาง C (h, k) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว ระยะโฟกัส c = a2− b2 2b รูปทั่วไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 21. ไฮเพอร์โบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลต่างของระยะทางไปถึงจุดคงทีส่ องจุด มีค่าเท่ากัน”เรียก จุดคงที่สองจุดนั้นว่าจุดโฟกัส และผลต่างระยะทางเท่ากับความยาวแกนตามขวาง (2a) - สมการของไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่ C (0, 0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสังยุคยาว 2b คือ 2 2 ⎛x⎞ − ⎛y⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ (อ้อมแกน x) หรือ 2 2 ⎛y⎞ − ⎛x⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ (อ้อมแกน y) - สําหรับไฮเพอร์โบลา a ไม่จําเป็นต้องมากกว่า b (แกนใดเครื่องหมายบวก จะอ้อมแกนนั้น) - ถ้า a = b เส้นกํากับจะตั้งฉากกัน เรียกไฮเพอร์โบลานั้นว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 627 ไฮเพอร์โบลา (ตะแคง) (x −h)2 c F2 V2 a B1 (h,k+b) ⎫ ⎬b ⎭ C V1 (h,k)(h+a,k) a F1 (h+c,k) − 2 (y −k)2 b2 = 1 จุดศูนย์กลาง C (h, k) แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค ระยะโฟกัส c = a2+ b2 2b รูปทั่วไป B2 Asymptote a(y-k)=b(x-h) Asymptote Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 ไฮเพอร์โบลา (ตั้ง) Asymptote b(y-k)=a(x-h) F1 (h,k+c) V1 (h,k+a) B2 Asymptote b C (h,k) B1 (h+b,k) ⎧ ⎫ a c ⎪⎨ ⎬⎭ ⎪ V ⎩ 2 (y −k)2 a − 2 (x −h)2 b2 = 1 จุดศูนย์กลาง C (h, k) แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค ระยะโฟกัส c = a2+ b2 2b รูปทั่วไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 F2 - ไฮเพอร์โบลามุมฉากอีกรูปแบบหนึ่ง ได้แก่สมการในรูป xy = เมื่อ k เป็นค่าคงที่ ... (จะมีแกนตั้งและแกนนอนเป็นเส้นกํากับ) k ไฮเพอร์โบลามุมฉาก xy = k จุดยอด k > 0 F1 V1 ( k, k) V2 (− k, − k) จุดโฟกัส F1 ( 2k, 2k) V2 F2 (− 2k, − 2k) - ถ้า k < 0 V1 C (0,0) F2 ไฮเพอร์โบลานี้จะอยูใ่ นควอดรันต์ที่ 2 และ 4 ความสัมพันธ์/ฟังก์ชัน 1. ผลคูณคาร์ทีเซียน คือผลคูณของเซต ... เซต A × B คือเซตของคู่อันดับ ที่สมาชิกตัวหน้ามาจาก เซต A และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต B ครบทุกคู่ ... และจะได้ n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) เช่น A = {0, 1, 2} , B = {1, 3} จะได้ A × B = {(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 628 2. A × B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือมีเซตใดเซตหนึ่งเป็น ∅ 3. ความสัมพันธ์ (r) คือเซตของคู่อันดับใดๆ (สามารถเขียนกราฟได้) - “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” คือเซตของคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้ามาจาก A และตัวหลังมาจาก B แต่ไม่จําเป็นต้องครบทุกคู่ ... สัญลักษณ์ที่ใช้คือ r = {(x, y) ∈ A × B | .....} - ดังนั้น ความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็คือสับเซตของ A × B ... จะมีได้ทั้งหมด 2 n (A × B) แบบ - “ความสัมพันธ์ภายใน A” คือ r = {(x, y) ∈ A × A | .....} - ถ้าไม่ระบุว่าเป็นความสัมพันธ์จากเซตใดไปเซตใด จะหมายถึงเซตจํานวนจริง R × R 4. “โดเมน (A) ของความสัมพันธ์” คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ “เรนจ์ หรือพิสัย (R) ของความสัมพันธ์” คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ - ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว Dr ⊂ A และ Rr ⊂ B 5. การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ภายใน R ซึ่งบอกเป็นเงื่อนไข (สมการ) ให้พิจารณาสิ่งเหล่านี้คือ การหาร, การถอดราก, ค่าสัมบูรณ์, การยกกําลัง จะมีข้อจํากัดเกิดขึ้น - ถ้า a = b จะได้ว่า c ≠ 0 c - ถ้า a = n b โดยที่ n เป็นจํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0 และ b > 0 - ถ้า a = b n โดยที่ n เป็นจํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0 - ถ้า a = b จะได้ว่า a > 0 การหาโดเมน ควรพิจารณาในรูป y = ...(x)... และการหาเรนจ์ ควรจัดรูปให้กลายเป็น x = ...(y)... แล้วจึงค่อยพิจารณา (โดยปกติ การเขียนกราฟ จะช่วยให้เห็นโดเมนและเรนจ์ได้ชัดเจนกว่าการคํานวณ) 6. อินเวอร์สของ r ใช้สัญลักษณ์ r −1 โดยมีนิยามว่า r −1 = {(y, x) | (x, y) ∈ r } นั่นคือ r −1 คิดจาก การสลับที่สมาชิกตัวหน้าและหลังของคู่อันดับใน r หรือถ้าเป็นความสัมพันธ์แบบเงื่อนไข จะคิดจากการสลับตําแหน่งระหว่างตัวแปร x และ y 7. Dr = Rr และ Rr = Dr เสมอ 8. รูปแบบของกราฟที่ควรรู้จักคือ เส้นตรง ภาคตัดกรวย และมีเพิ่มเติมดังนี้ - กราฟค่าสัมบูรณ์ (ที่คล้ายพาราโบลา) y = a x หรือ x = a y y y x = a|y| a>0 y = a|x| a>0 x x y O O k −1 −1 - กราฟค่าสัมบูรณ์ (ที่คล้ายวงกลม) เมื่อ k คือค่าคงที่ที่มากกว่าศูนย์ x + y = k -k O k x -k 9. กราฟของความสัมพันธ์อาจเป็น “พื้นที่ (แรเงา)” ในระนาบ หากว่าความสัมพันธ์นั้นเป็น “อสมการ” โดยมีหลักในการเขียนกราฟคือ คิดว่าเป็นเครื่องหมายเท่ากับแล้วเขียนกราฟของสมการ ก่อน จากนั้นตรวจสอบว่าบริเวณใดของพื้นที่ตรงตามเงื่อนไขของอสมการ จึงแรเงา (เส้นกราฟทึบ แสดงว่าจุดบนเส้นนั้นอยู่ใน r, เส้นประแสดงว่าจุดบนเส้นนั้นไม่อยู่ใน r) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 629 10. กราฟของ r −1 สามารถคิดจากกราฟของ r ได้โดยการหมุนกราฟ ใช้เส้นตรง y = x เป็นแกน หมุน … (เท่ากับเป็นการสลับแกน x กับแกน y กัน) 11. หากความสัมพันธ์ใดมีลักษณะดังต่อไปนี้ด้วย จะเรียกว่าเป็น “ฟังก์ชัน” (f) “สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัว จะคู่กบั สมาชิกตัวหลังได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น” หรือกล่าวว่า สําหรับ x แต่ละตัว จะคู่กับ y ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น (ห้ามใช้สมาชิกตัวหน้าซ้ํา แต่ ใช้สมาชิกตัวหลังซ้ําได้) 12. ความสัมพันธ์ที่เขียนในรูป y = ...(x)... ได้ จะเป็นฟังก์ชันเสมอ และถ้า f เป็นฟังก์ชัน จะเขียนแทน y ด้วยคําว่า f (x) ... เช่น f (x) = x2 เพราะเรามอง x เป็นค่าตัวแปรต้น และมอง y เป็นค่าของฟังก์ชัน เช่น f(2) คือค่า y ที่ได้เมื่อ x=2 13. ลักษณะของฟังก์ชัน - “ฟังก์ชันจาก A ไป B” ( f : A > B ) ... คือฟังก์ชันซึ่ง Df = A และ Rf ⊂ B - “ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B” ( f : A onto > B ) ... คือฟังก์ชันซึ่ง Df = A และ Rf = B - “ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B” ( f : A 1− 1 > B ) คือฟังก์ชันที่ Df = A และ Rf ⊂ B และสําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วย 1− 1 >B) - “ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B” ( f : A onto คือฟังก์ชันที่ Df = A และ Rf = B และสําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วย 14. เมื่อเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะเห็นชัดว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ และหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ y y y r1 O ไม่เป็นฟังก์ชัน r3 r2 x O x เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1-1 O x เป็นฟังก์ชัน 1-1 15. ฟังก์ชันแบบเฉพาะต่างๆ ที่ควรรู้จัก ฟังก์ชันคงตัว มีสมการเป็น f (x) = a (กราฟเส้นตรงนอน) ฟังก์ชันเชิงเส้น มีสมการเป็น f (x) = ax + b (กราฟเส้นตรงเฉียง) - ค่า a คือความชัน ถ้าเป็นบวกกราฟเฉียงขึ้น ถ้าติดลบกราฟเฉียงลง - ค่า b คือระยะตัดแกน y - พบในความสัมพันธ์ระหว่างสองสิ่งที่เพิ่มลดเป็นสัดส่วนโดยตรงต่อกัน ฟังก์ชันกําลังสอง มีสมการเป็น f (x) = ax2 + bx + c (กราฟพาราโบลา) - ถ้าค่า a เป็นบวกพาราโบลาหงาย, ถ้าติดลบพาราโบลาจะคว่ํา - ค่ามากน้อยของ a เป็นตัวบอกการยืดหดของกราฟ ค่า a ยิ่งมากรูปพาราโบลาจะยิ่งแคบ - จุดยอดอยู่ที่ค่า x = -b/2a (ส่วนค่า y สามารถหาได้โดยแทนค่า x นี้ลงไปในฟังก์ชัน) ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล มีสมการเป็น f (x) = a bx (กราฟเอกซ์โพเนนเชียล จากบทที่ 4) - ถ้าฐาน b มากกว่า 1 กราฟเฉียงขึ้น, ถ้าฐาน b อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 กราฟเฉียงลง - พบในปริมาณสิ่งต่างๆ ที่เพิ่มหรือลดแบบทวีคูณ เช่น เงินฝาก จํานวนประชากร แบคทีเรีย ปริมาณรังสี ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ มีสมการเป็น f (x) = a x (กราฟรูปตัววี) - คล้ายพาราโบลาคือ ถ้าค่า a เป็นบวกกราฟจะหงาย, ถ้าติดลบกราฟจะคว่ํา - ค่ามากน้อยของ a เป็นตัวบอกการยืดหดของกราฟ ค่า a ยิ่งมากรูปตัววีจะยิ่งแคบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 630 16. ในโจทย์ปญ ั หาเกี่ยวกับการใช้งานฟังก์ชัน จะต้องรู้ว่าเป็นฟังก์ชันรูปแบบใด และใช้ข้อมูลในโจทย์หาค่าคงที่ a, b, หรือ c ของฟังก์ชันให้ครบก่อน เมื่อทราบรูปแบบสมการของฟังก์ชันนั้นแล้วจึงจะสามารถตอบคําถามได้ 17. ฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด ... สําหรับทุกๆ x1, x2 ∈ [a, b] ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ ถ้า x2 > x1 แล้ว f (x2) > f (x1) และ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ ถ้า x2 > x1 แล้ว f (x2) < f (x1) (การเขียนกราฟของพหุนาม และหาช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม, ลด จะคิดโดยการหาอนุพันธ์) 18. ฟังก์ชันคอมโพสิท ... ได้แก่ฟังก์ชัน g(f (x)) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (g f)(x) - ฟังก์ชัน (g f)(x) จะหาได้ก็เมื่อ มีสมาชิกบางส่วนของ Rf กับ Dg ร่วมกัน - การหาโดเมนและเรนจ์ ของ (g f)(x) ทําได้โดย เขียน g ในรูป f ก่อน (ยังไม่ตอ้ งใส่ x) จากนั้นถ้าหา Dgof ให้ใช้โดเมน g ไปบังคับหาโดเมน f ถ้าหา Rgof ให้ใช้เรนจ์ f ไปขยายเป็นเรนจ์ g 19. ฟังก์ชันอินเวอร์ส ... f − 1 จะเป็นฟังก์ชัน ก็เมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เท่านั้น - สมบัติของอินเวอร์ส (f g)−1 = g−1 f −1 และ (f −1)−1 = f 20. f − 1( ) = Δ มีความหมายเดียวกับ f (Δ) = ... ใช้ช่วยในการแก้ฟังก์ชัน 21. พีชคณิตของฟังก์ชัน (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g (x) ซึ่งคิดโดเมนได้จาก Df ∗ g = Df ∩ Dg เครื่องหมาย ∗ เป็นได้ทั้ง +, −, ×, ÷ (โดยกรณีหาร g(x) ≠ 0 ) กําหนดการเชิงเส้น 1. กําหนดการเชิงเส้น เป็นเทคนิคที่ใช้จัดสรรทรัพยากรให้ได้ประโยชน์สูงที่สุด เช่น การผลิตสินค้า ด้วยวัตถุดิบที่มีให้ได้กําไรสูงที่สุด การขนส่งให้สิ้นเปลืองน้อยที่สุด การหาปริมาณวัตถุผสมให้เสีย ค่าใช้จ่ายน้อยทีส่ ุด การมอบหมายงานเพื่อให้สําเร็จในเวลาน้อยที่สุด ฯลฯ 2. ขั้นตอนในการคิด คือ - เขียนสมการจุดประสงค์ (หรือฟังก์ชันจุดประสงค์) เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปร x และ y - เขียนเงื่อนไขที่มีอยู่ เรียกว่าอสมการข้อจํากัด (นอกจากข้อจํากัดที่โจทย์ให้มาแล้ว อาจจะต้องเพิ่มอสมการ x > 0 , y > 0 ) - เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจํากัด และแรเงาบริเวณที่ “ตรงตามเงื่อนไขทุกข้อ” - หาจุดยอดมุมทั้งหมดของบริเวณที่แรเงา (ถ้าเป็นจุดที่เกิดจากเส้นตรงตัดกัน ต้องใช้วิธีแก้ระบบ สมการหาจุดตัด) คู่อันดับ x และ y เหล่านี้เท่านั้นที่เป็นคําตอบได้ - นําคู่อันดับ x และ y ยอดมุมทุกจุด ไปหาค่าจุดประสงค์ที่มากหรือน้อยที่สุดตามต้องการ 3. ในบางสถานการณ์ - ค่า x หรือ y อาจจะต้องเป็นจํานวนเต็ม หากค่าที่เป็นคําตอบไม่ใช่จํานวนเต็มก็จําเป็นจะต้อง เลือกจุดข้างเคียง (ภายในบริเวณที่แรเงา) ที่เป็นจํานวนเต็ม และให้ผลใกล้เคียงที่สุด - อาณาบริเวณที่แรเงาอาจล้อมรอบด้วยเส้นประ (เช่น คําว่าระหว่าง, น้อยกว่า, หรือ มากกว่า) จุดยอดมุมที่เป็นคําตอบยังไม่สามารถใช้ได้ ก็ต้องใช้วิธีเลือกจุดข้างเคียงเช่นเดียวกัน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 631 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1. ตรีโกณมิติ เป็นวิชาที่เกี่ยวกับการวัดส่วนประกอบของสามเหลี่ยม เช่น ความยาวด้าน, ขนาดมุม, ขนาดพื้นที่ … มีฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอยู่ 6 ฟังก์ชัน ได้แก่ ฟังก์ชันไซน์ (sin) โคไซน์ (cos) แทนเจนต์ (tan) โคแทนเจนต์ (cot) ซีแคนต์ (sec) และโคซีแคนต์ (cosec หรือ csc) 2. หาก 0° < θ < 90° แล้ว ค่าฟังก์ชันที่ได้คอื “อัตราส่วนระหว่าง 2 ด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มุมหนึ่งมีขนาดเท่ากับ θ ” a c b cos θ = c sin θ a tan θ = = cos θ b sin θ = 1 c = sin θ a cosec θ = 1 c = cos θ b cos θ 1 b cot θ = = = tan θ sin θ a c sec θ = θ b 3. ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ควรทราบ θ sin θ cos θ tan θ 0° 0 1 0 a 30° 45° 1/2 1/ 2 3 /2 3 /2 1/ 2 1/2 1 3 1/ 3 60° 90° 1 0 หาค่าไม่ได้ 4. ถ้าให้แกน x เป็น cos θ และแกน y เป็น sin θ จะสามารถหาค่าฟังก์ชันของมุม θ ต่างๆ ได้ จากวงกลมหนึ่งหน่วย ( θ เป็นมุมที่ทํากับแกน x โดยเริ่มวัดเป็น 0° ในแนว +x และเพิ่มขึ้นในทิศ y ทวนเข็มนาฬิกา) 90° (0,1) 60° ( 1 , 3 ) 120° 5. จากกราฟนี้ทําให้ทราบว่า 2 2 3 /2 1 3 1 45 °( , 1 ) sin θ , cos θ มีค่าได้ 2 /2 (− , ) 2 2 2 2 3 1 ตั้งแต่ –1 ถึง 1 เท่านั้น 1/2 30° ( , ) 2 6. sin (−θ) = − sin θ cos (−θ) = cos θ tan (−θ) = − tan θ 180° θ O (-1,0) 225° (− 1 ,− 1 2 2 ) 0° (1,0) 300° ( 1 , − 270° (0,-1) (คณิต มงคลพิทักษสุข) x 1 2 3 2 2 2 2 7. เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติที่สําคัญ ได้แก่ - วงกลมหนึ่งหน่วย sin 2 θ + cos 2 θ = 1 นอกจากนี้ เมื่อนํา sin 2 θ หารทั้งสองข้างของสมการอีก จะได้ 1 + cot 2 θ = cosec 2 θ หรือถ้านํา cos 2 θ หารทั้งสองข้างของสมการ ก็จะได้ tan 2 θ + 1 = sec 2 θ - โค-ฟังก์ชัน sin θ = cos (90°−θ) นอกจากนี้ยังมีอีกสองคู่ คือ ta n θ = cot (90°−θ) … และ sec θ = cosec (90°−θ) Math E-Book Release 2.2 2 3 2 ) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 632 8. นอกจากการวัดมุมในระบบองศาแล้ว ยังมีอีกระบบซึ่งวัดจากความยาวเส้นรอบวง เรียกว่า เรเดียน (rad) นั่นคือ ... 180° คิดเป็น π เรเดียน y π/2 - หน่วยเรเดียนนี้ เป็นค่าจํานวนจริง ( π = 3.1416... ) 2π/3 π/3 - การวัดมุมเป็นเรเดียน มักละหน่วยไว้ π/4 3π/4 ไม่ต้องเขียนกํากับว่า rad ก็ได้ π/6 5π/6 π 0 9. หากขนาดของมุมที่จะหาค่าฟังก์ชัน x ตรีโกณมิตินั้น มี nπ หรือ nπ/2 ไปบวกลบ อยู่ เราสามารถกําจัดค่าคงที่เหล่านี้ทิ้งได้ 11π/6 7π/6 ให้เหลือเพียงมุม θ 5π/4 7π/4 5π/3 - เมื่อตัดมุม nπ ออก ฟังก์ชันยังคงเป็นชื่อเดิม 4π/3 3π/2 ไม่เปลี่ยน แต่ถ้าตัดมุม nπ/2 ออก ฟังก์ชันจะ เปลี่ยนชื่อเป็นโคฟังก์ชันเสมอ (นอกจากนี้ยังต้องดูเครื่องหมายบวกลบด้วยว่าเปลี่ยนหรือไม่) 10. การแก้สมการตรีโกณมิติ ควรเปลี่ยนทุกค่าให้เป็น sin กับ cos ล้วน... แล้วใช้เอกลักษณ์ sin 2 θ + cos 2 θ = 1 เป็นสมการช่วย 11. ข้อควรระวังในสมการตรีโกณมิติ - การทราบค่าฟังก์ชันค่าหนึ่ง จะยังไม่สามารถสรุปได้ทันทีว่า θ อยู่ตําแหน่งใด เพราะจะมีสอง คําตอบอยู่ในคนละควอดรันต์เสมอ เราต้องทราบเพิ่มเติมด้วยว่า ค่า θ นี้อยู่ในควอดรันต์ใด (โดยปกติเราสามารถทราบควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันอื่น) - แผนภาพต่อไปนี้เป็นการสรุปเครื่องหมาย เพื่อความสะดวกในการหาคําตอบ Q1 เป็นบวกทั้ง 6 ค่า sin + ALL + Q2 มีเฉพาะ sin และ cosec ที่เป็นบวก Q3 มีเฉพาะ tan และ cot ที่เป็นบวก tan + cos + Q4 มีเฉพาะ cos และ sec ที่เป็นบวก - สมมติว่าต้องการค่า θ ในช่วง 0 < θ < 2π แต่สมการที่ได้นั้นเป็นค่า 2θ จะต้องขยายช่วง คําตอบเป็น 0 < 2θ < 4π หากไม่ขยายช่วงแล้วคําตอบที่ได้จะไม่ครบ - คําตอบบางคําตอบ (โดยเฉพาะที่อยู่บนแกน x หรือแกน y) อาจใช้ไม่ได้ ในกรณีที่สมการมีคําว่า tan, cosec, sec, cot เพราะค่าเหล่านี้มาจากการหารกันของ sin, cos ต้องตรวจสอบด้วยว่ามี คําตอบใดหาค่าเหล่านี้ไม่ได้ (คือ ตัวส่วนเป็น 0) หรือไม่ 12. สูตรชุดที่หนึ่ง (สูตรเบื้องต้น) (1) cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β ⎧tan (α+β) = tan α + tan β (2) cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β ⎪⎪ 1 − tan α tan β ⎨ (3) sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ⎪tan (α−β) = tan α − tan β ⎪⎩ 1 + tan α tan β (4) sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β 13. สูตรชุดที่สอง (สูตรผลคูณ) ... จาก (1)+(2) (5) 2 cos α cos β = cos (α+β) + cos (α−β) ... จาก (1)-(2) (6) −2 sin α sin β = cos (α+β) − cos (α−β) ... จาก (3)+(4) (7) 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α−β) ... จาก (3)-(4) (8) 2 cos α sin β = sin (α+β) − sin (α−β) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 633 14. สูตรชุดที่สาม (สูตรผลบวก, ผลลบ) (9) cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A − B) ... จาก (5) (10) (11) (12) 2 2 A +B A −B cos A − cos B = −2 sin ( ) sin ( ) 2 2 A +B A −B sin A + sin B = 2 sin ( ) cos ( ) 2 2 A +B A −B sin A − sin B = 2 cos ( ) sin ( ) 2 2 ... จาก (6) ... จาก (7) ... จาก (8) 15. สูตรชุดที่สี่ (สูตรมุมสองเท่า และมุมครึ่ง) sin (2α) = 2 sin α cos α cos (2α) = cos2α − sin2α tan (2α) = หรือ cos (2α) = 1 − 2 sin2α = 2 cos2α − 1 2 tan α 1 − tan2α สูตรสําหรับมุมครึ่ง ได้จากการย้ายข้างสมการ cos (2α) = 1 − 2 sin2α โดยมองว่า α กลายเป็น α/2 … และ 2α กลายเป็น α 16. ฟังก์ชันอินเวอร์สของตรีโกณมิติจะใช้คําว่า arc นําหน้า (บางตําราใช้สัญลักษณ์ sin-1 x , cos-1 x , tan-1 x , … แทนคําว่า arc-) และมีการจํากัดช่วงดังภาพต่อไปนี้ Darcsin = [−1, 1] Darccos = [−1, 1] Rarcsin = [−π /2, π /2] π/2 0 0 = sin −π/2 Darctan = R Rarctan = (−π /2, π /2) Rarccos = [0, π] 1 = 2 cos2α − 1 = cos π/2 ∞ 1 -1 π 0 = tan 0 −π/2 −∞ -1 - ฟังก์ชัน arcsin (กับ arctan) จะอยู่ในช่วงที่ cos เป็นบวกเสมอ ส่วนฟังก์ชัน arccos จะอยู่ ในช่วงที่ sin เป็นบวกเสมอ 17. ความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์ในเรื่องอินเวอร์ส คือ arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − xy ใช้ได้เมื่อ arctan x + arctan y ยังอยู่ในช่วง (−π/2, π/2) 18. กฎของไซน์ “อัตราส่วนของค่าไซน์ของมุมๆ หนึ่ง ต่อความยาวด้านตรงข้าม จะเท่ากันทั้งสาม มุม” sin A = sin B = sin C ... พิสูจน์มาจาก พื้นที่สามเหลี่ยม ( 1 bc sin A ) a b c 2 19. กฎของโคไซน์ “เราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือ ได้จากความยาวด้านสองด้านและขนาดมุม ตรงกลาง” a 2 = b 2+ c 2− 2bc cos A (ถ้ามุมตรงกลางนั้นเป็น A = 90° กฎนี้จะกลายเป็นทฤษฎีบทปีทาโกรัส) 20. การวัดระยะทางหรือความสูงของสิ่งต่างๆ - อาศัยหลักว่า ในสามเหลี่ยมมุมฉากถ้ารู้ขนาดของมุม และรู้ความยาวด้าน 1 ด้านแล้ว จะ คํานวณหาความยาวด้านที่เหลืออีก 2 ด้านได้ โดยเลือกใช้ sin หรือ cos หรือ tan ให้เหมาะสม - ศัพท์ที่ใช้เรียกมุมที่เกิดจากการสังเกตได้แก่ มุมก้ม (มุมกด) คือมุมที่วัดลงไปจากแนวราบ (ระดับสายตา) และมุมเงย (มุมยก) คือมุมที่วัดขึ้นจากแนวราบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 634 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม 1. เลขยกกําลังจะอยู่ในรูป an , เรียก a ว่าฐาน และเรียก n ว่าเลขชี้กําลัง an คือ a คูณกันเป็นจํานวน n ตัว ... โดยนิยามให้ a0 = 1 และ a−n = 1 an 2. ทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับเลขยกกําลัง ⎧ ⎪ • ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ • ⎨ ⎪ ⎩ am ⋅ an = am + n n n n ⎪⎧ (ab) = a ⋅ b • ⎨ n n n ⎪⎩ (a/b) = a / b ⎧ n ab = n a ⋅ n b ⎪⎪ n a • ⎨ a = ⎪ n n b ⎪⎩ b m a = am − n an (am)n = amn n m am = a n โดย n เป็นจํานวนจริงใดๆ (ไม่จําเป็นต้องเป็นจํานวนเต็ม) และกรณีกรณฑ์ n ≠ 0 3. คําว่า “รากที่สองของ x” และสัญลักษณ์ “ x กับ x1/ 2 ” มีความหมายต่างกัน - รากที่สองของ 16 ได้แก่ 4 และ -4 - แต่สัญลักษณ์ 16 หรือ 16 1/ 2 จะมีค่าเท่ากับ 4 (เป็นบวก) เท่านั้น 4. การหารากที่สองของ M ± N ... เมื่อ M = a+b และ N = 4ab จะได้ว่า รากที่สองของ M + N คือ ±( a + b) และรากที่สองของ M − N คือ ±( a − b) 5. วิธีทําส่วนไม่ให้ติดกรณฑ์ (รู้ท) - รูปแบบ ABC ให้นํา D คูณทั้งเศษและส่วน กลายเป็น ABC D D D - รูปแบบ ABC D± E ให้นํา D∓ E คูณทั้งเศษและส่วน กลายเป็น ABC( D ∓ E) D −E 6. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชันเลขยกกําลัง กําหนดรูปทั่วไปเป็น f (x) = โดยค่าของฐาน a อยู่ในช่วง (0, 1) หรือ (1, ∞) เท่านั้น นํามาเขียนกราฟได้ดังนี้ y y (0,1) O y = a x, x a>1 (0,1) O y = a x, ax x 0 N เมื่อ a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) และ aM > aN ↔ M < N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) 9. ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นอินเวอร์สของเอกซ์โพเนนเชียล เขียนได้ในรูป f (x) = loga x ความสัมพันธ์ระหว่างเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมคือ x = ay ↔ y = loga x โดยค่าของฐาน a จะต้องอยู่ในช่วง (0, 1) หรือ (1, ∞) ซึ่งนํามาเขียนกราฟได้ดังนี้ y y O (1,0) y = loga x, (1,0) x O y = loga x, a>1 ฟังก์ชันเพิ่ม - Dlog = R+ , Rlog = R - กราฟผ่านจุด (1, 0) เสมอ แสดงว่า 10. กฎของลอการิทึมได้แก่ ⎧ loga 1 = 0 • ⎨ ⎩ loga a = 1 ⎧ loga(mn) = loga m + loga n ⎪ • ⎨ ⎛m⎞ ⎪ loga ⎜⎝ n ⎟⎠ = loga m − loga n ⎩ A, A2 x 0 N เมื่อ a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) และ loga M > l oga N ↔ M < N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 636 เมตริกซ์ 1. เมตริกซ์ เป็นกลุ่มของจํานวนที่เรียงตัวกันเป็นสี่เหลี่ยม ภายในเครื่องหมาย ( ) หรือ [ ] - เรียกจํานวนแต่ละจํานวนที่อยู่ในเมตริกซ์ว่า สมาชิก ของเมตริกซ์ - ขนาดของเมตริกซ์ เรียกว่า มิติ (คิดจาก จํานวนแถว คูณ หลัก) - เมตริกซ์สองเมตริกซ์ จะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ “มีมิติเดียวกัน” (แปลว่า ขนาดเท่ากัน) และสมาชิก ในตําแหน่งเดียวกันต้องเท่ากัน ทุกๆ ตําแหน่ง 2. การเรียกชื่อเมตริกซ์นิยมใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C โดยจะเรียกชื่อสมาชิกเป็นตัวพิมพ์เล็ก ที่ มีตัวห้อยบอกตําแหน่งแถวและหลัก ในรูป aij (แถวที่ i และหลักที่ j) 3. ทรานสโพสของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ At หรือ AT คือการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก - เมตริกซ์มิติ m × n เมื่อทําการทรานสโพส จะกลายเป็นมิติ n × m 4. เมตริกซ์ที่ควรรู้จัก - เมตริกซ์จัตุรัส คือเมตริกซ์ที่มีจํานวนแถว เท่ากับจํานวนหลัก ( n × n ) ... เรียกแนว 11, 22, 33, .. จนถึง nn ว่าเส้นทแยงมุมหลัก และที่เหลือเรียกว่าสามเหลี่ยมบนกับสามเหลี่ยมล่าง - เมตริกซ์ศูนย์ ( 0 ) คือเมตริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็นเลข 0 (จัตุรัสหรือไม่ ก็ได้) - เมตริกซ์หนึ่งหน่วย ( I ) คือเมตริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก เป็น 1 และ สมาชิกตัวอื่นที่เหลือทั้งหมดเป็น 0 5. การบวกเมตริกซ์คู่หนึ่ง จะทําได้ก็ต่อเมื่อ เมตริกซ์ทั้งสองมีมิติเดียวกัน ผลบวกที่ได้ จะมีมิติเดิม และสมาชิกของผลลัพธ์เกิดจากสมาชิกตําแหน่งเดียวกันนั้นบวกกัน (สําหรับการลบก็เช่นกัน; สมาชิกผลลัพธ์ เกิดจากสมาชิกตําแหน่งเดียวกันลบกัน) - เอกลักษณ์การบวกของเมตริกซ์ ก็คือ เมตริกซ์ 0 6. การคูณเมตริกซ์ด้วยสเกลาร์ ผลที่ได้จะเป็นการคูณสมาชิกทุกตัวด้วยสเกลาร์นั้น 7. การคูณเมตริกซ์คู่หนึ่ง จะทําได้เมื่อ จํานวนหลักของตัวตั้ง เท่ากับจํานวนแถวของตัวคูณ และผลคูณที่ได้จะมีจํานวนแถวเท่าตัวตั้ง จํานวนหลักเท่าตัวคูณ เขียนง่ายๆ ได้ว่า Am × n × Bn × r = Cm × r 8. วิธีการหาผลคูณเมตริกซ์ จะยึดแถวจากตัวตั้ง และยึดหลักจากตัวคูณ ดังตัวอย่าง ถ้า A = ⎡⎢−21 43⎤⎥ , B = ⎡⎢03 21⎤⎥ , C = ⎡⎢−11 03 −22⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2⋅0 + 3⋅3 2⋅1+ 3⋅2 ⎤ ⎡ 9 8⎤ จะได้ AB = ⎢−1⋅0+ 4 ⋅3 −1⋅1+ 4 ⋅2⎥ = ⎢12 7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⋅ −1) 0⋅3+ 1⋅0 0⋅2+ 1( ⋅ −2)⎤ ⎡ 0⋅1+ 1( ⎡ − 1 0 −2⎤ BC = ⎢ ⎥ = ⎢1 9 2⎥ ⎣3⋅1+2⋅(−1) 3⋅3+2⋅0 3⋅2+2⋅(−2)⎦ ⎣ ⎦ - เอกลักษณ์การคูณของเมตริกซ์ ก็คือ เมตริกซ์ I 9. สมบัติการบวกและการคูณ การบวกเมตริกซ์ • • A +B = B + A • (A + B) + C = A + (B + C) • • • A t + Bt = (A + B)t A + 0 = 0 + A = A A + (−A) = 0 การคูณด้วยเมตริกซ์ AB ไม่จําเป็นต้องเท่ากับ BA • (AB) C = A (BC) • A (B + C) = AB + AC • (A + B) C = AC + BC • (AB)t = BtA t • AI = IA = A Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 637 การคูณด้วยสเกลาร์ • (kA)t = k ⋅ A t • • k1(k2A) = k2(k1A) = (k1k2) A k(A + B) = kA + kB 10. ดีเทอร์มินันต์ ... เป็นคุณสมบัติของเมตริกซ์จัตุรัสเท่านั้น และดีเทอร์มินันต์มีค่าเป็นตัวเลข เครื่องหมายแสดง “ดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ A” คือ A หรือ det (A) เมตริกซ์ 1 × 1 เมตริกซ์ 2 × 2 ถ้า A = ⎡⎢ac bd⎤⎥ จะได้ว่า det (A) = ad − bc ถ้า A = ⎣⎡ a ⎦⎤ จะได้ว่า det (A) = a ⎣ เมตริกซ์ ถ้า ⎡a b c⎤ A = ⎢d e f ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢g h i ⎦⎥ 3×3 ⎦ ใช้หลักว่า คูณเฉียงขึ้นใส่ลบ คูณเฉียงลงเครื่องหมายเดิม แล้วรวมกัน จะได้ว่า det (A) = −gec − ahf − bdi + aei + gbf + hdc ส่วนเมตริกซ์ n × n ใดๆ จะใช้วิธีโคแฟกเตอร์ (ใช้ได้กับทุกขนาดตั้งแต่ 2 × 2 ขึ้นไป) det (A) = สมาชิก 1 แนว (แถวหรือหลักก็ได้) คูณกับโคแฟกเตอร์ของแนวนั้น ( ∑ aijCij ) 11. ไมเนอร์ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ว่า Mij (A) ... คือ ค่า det ของเมตริกซ์ย่อย (ตัดแถว ตัด หลัก) ที่ตําแหน่งนั้น ... โคแฟกเตอร์ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ว่า Cij (A) คือไมเนอร์ที่ถูกใส่ เครื่องหมายบวกหรือลบสลับกัน ตามรูปแบบ Cij = (−1)i + j ⋅ Mij (ตําแหน่งแรกสุดใส่บวก, แล้วเติม เครื่องหมายบวกลบสลับกันไป) 12. เมตริกซ์ที่ค่า det เป็นศูนย์ เรียกว่าเมตริกซ์เอกฐาน (ซิงกูลาร์) 13. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ • det (AB) = det (A) ⋅ det (B) • det (A t) = det (A) • • n • n det (A ) = (det (A)) n det (kA) = k ⋅ det (A) เมือ ่ n∈I • det (I) = 1 det (0) = 0 เมือ ่ n = ขนาดของ A 14. เมตริกซ์ไม่มีการหารกัน แต่จะใช้การคูณด้วยอินเวอร์สแทน อินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ A−1 ... โดยนิยามให้ A ⋅ A−1 = เมตริกซ์ 1 × 1 เมตริกซ์ 2 × 2 ถ้า A = ⎡⎢ac bd⎤⎥ จะได้ว่า A−1 = ถ้า A = ⎣⎡ a ⎦⎤ จะได้ว่า A −1 = ⎣⎡ 1/a ⎦⎤ ⎣ เมตริกซ์ สูตรคือ A −1 = n×n ใดๆ ตั้งแต่ t (Cof (A)) และเรียก det (A) ⎦ ขึ้นไป จะใช้วิธีโคแฟกเตอร์เช่นเดิม (Cof (A))t ว่า adj A ก็ได้ • (AB)−1 = B−1A −1 • 1 ⋅ A −1 k A −1 = A −1 = 1 ⎡ d −b ⎤ ⋅ det (A) ⎢⎣ −c a ⎥⎦ 2×2 15. เมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สการคูณได้ ต้องเป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน ( det 16. สมบัตขิ องอินเวอร์สการคูณ • (kA)−1 = A −1⋅ A = I ≠ 0) เท่านั้น • (A −1)n = (An)−1 = A −n 1 A • (A −1)−1 = A 17. ข้อควรระวังในสมการเมตริกซ์ - เมื่อทําการย้ายข้างตัวคูณ ไปเป็นอินเวอร์สอยู่อีกฝั่ง ต้องคํานึงถึงลําดับด้วย เพราะการคูณไม่มี สมบัติการสลับที่.. เช่น AB = C กลายเป็น B = A −1C ได้.. แต่เป็น B = CA −1 ไม่ได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 638 - ตรวจสอบเสมอว่า สมการยังเป็นเมตริกซ์ทั้งสองข้างหรือไม่ (หากย้ายข้างเมตริกซ์ ไปเป็นอิน เวอร์สจนหมด อย่าลืมเหลือเมตริกซ์ I ไว้ด้วย..) - สมการเมตริกซ์สามารถคูณเข้าทั้งสองข้างได้เสมอ แต่การตัดออกทั้งสองข้างบางครั้งใช้ไม่ได้ - ใส่เครื่องหมาย det ทั้งสองข้างได้เสมอ แต่การตัดออกทั้งสองข้างก็มักจะใช้ไม่ได้ - ถ้า AB = 0 แล้ว ไม่จําเป็นที่ A หรือ B ต้องเป็น 0 18. การคํานวณเกี่ยวกับ adj A ควรพิสูจน์จากสมการ A −1 = adj A ก่อน เพื่อให้สะดวก เช่น det (A) det (A) ⋅ I = A (adj A) , adj A −1 = A , det (adj A) = (det (A))n − 1 det (A) ฯลฯ 19. ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจํานวนตัวแปรเท่ากับจํานวนสมการ จะเขียนให้อยู่ในรูปสมการเมตริกซ์ ได้ เป็น AX = B (เรียก A ว่า เมตริกซ์สัมประสิทธิ์, X เป็นเมตริกซ์ตัวแปร, และ B เป็นเมตริกซ์ ค่าคงที่) สิ่งที่เราต้องการหาก็คอื เมตริกซ์ X เช่น ⎛ 4x + 2y − z = 0 ⎜ ⎜x − y = 3 ⎜ 5x − 3y + 2z + 1 = 0 ⎝ แปลงเป็นสมการเมตริกซ์ได้ว่า AX = B - แก้สมการโดยวิธีอินเวอร์ส det (Ai) - กฎของคราเมอร์ xi = ... เมื่อ det (A) → Ai ⎡4 2 − 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤ ⎢ 1 −1 0 ⎥ ⎢y ⎥ = ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣5 − 3 2 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ − 1⎥⎦ X = A −1B คือนํา B มาแทนหลักที่ i ของ A 20. การดําเนินการตามแถว ... สามารถกระทําได้ 3 ลักษณะ คือ a) นําค่าคงที่ k (ที่ไม่ใช่ 0) ไปคูณไว้แถวใดแถวหนึ่ง b) นําค่าคงที่ k ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง แล้วเอาไปบวกไว้ที่แถวอื่น c) สลับแถวกัน 1 ครั้ง - ใช้เครื่องหมาย ~ แทนการดําเนินการแต่ละขั้นตอน และเขียนวิธีกํากับไว้ 21. นําไปใช้ประโยชน์ในการหาอินเวอร์สการคูณ (A −1) และแก้ระบบสมการ AX = B ได้ ⎡⎣ A I ⎤⎦ ~ ⎡ I A −1 ⎤ - การหาอินเวอร์สการคูณ ⎣ ⎦ ⎡⎣ A B ⎤⎦ ~ ⎡⎣ I X ⎤⎦ - การแก้ระบบสมการ - เทคนิคการทําให้เป็น I โดยเร็วที่สุดคือ ทําให้เป็น 0 ทั้งหมดทีละสามเหลี่ยม (ล่าง หรือบน) 22. การดําเนินการตามแถวทั้งสามแบบ ส่งผลต่อค่า det ดังนี้ a) detnew = k ⋅ detold b) detnew = detold (det ไม่เปลี่ยน, ใช้ช่วยในการหา det ได้) c) detnew = − detold ทั้งนี้ การดําเนินการตามหลัก ก็ให้ผลเช่นเดียวกัน เนื่องจากสมบัติ det (At) = det (A) เวกเตอร์ 1. ปริมาณในโลกมีสองชนิด คือ ปริมาณสเกลาร์ (ระบุเฉพาะขนาด) และปริมาณเวกเตอร์ (ระบุ ทั้งขนาดและทิศทาง) ... การเขียนปริมาณเวกเตอร์จะใช้ลูกศร ให้ความยาวลูกศรแทนขนาด และหัว ลูกศรแทนทิศทาง ชื่อของเวกเตอร์ตั้งตามจุดเริ่มและจุดสิ้นสุดของลูกศร เช่น ˜ AB หรือจะใช้ตัวพิมพ์ เล็ก (ที่เติมขีดด้านบน) ก็ได้ เช่น u, v, w ... ส่วนขนาดของเวกเตอร์ u คือ u 2. เวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ มีขนาดเท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน (ไม่จําเป็นต้องมี ˜ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกัน เช่น ˜ AB = CD ก็ได้ ถ้ามีขนาดเท่ากันและทิศเดียวกัน) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 639 3. เวกเตอร์บวกกัน สามารถหาผลลัพธ์ได้สองวิธี คือ หัวต่อหาง และหางต่อหาง - การบวกเวกเตอร์มีสมบัติเหมือนการบวกจํานวนจริงทุกประการ ได้แก่ สมบัติปิด, สมบัติการสลับที่, สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม, การมีเอกลักษณ์, และการมีอินเวอร์ส - เอกลักษณ์การบวกของเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์ศูนย์ ( 0 ) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 0 หน่วย - อินเวอร์สการบวกของ u เขียนสัญลักษณ์ว่า −u หมายถึง เวกเตอร์ขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้าม AB = ˜ BA ) กับ u ... (หรือกล่าวว่า − ˜ 4. การลบเวกเตอร์ เป็นการบวกด้วยนิเสธ คือ u − v = u +(−v) สามารถหาได้จากวิธีหางต่อหางแบบใหม่ คือเขียนเวกเตอร์ตัวตั้งและตัวลบแบบหางชนกัน เวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะลากจากปลายลูกศรของตัวลบ มายังปลายลูกศรของตัวตั้ง 5. ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ หาได้จากกฎของโคไซน์ 2 2 2 2 u+v = u + v + 2 u v cos θ u −v = u + v − 2 u v cos θ เมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u กับ v และสามารถนําขนาดที่ได้ไปคํานวณหาทิศทางโดยกฎของไซน์ - มุม θ ระหว่าง u กับ v ต้องวัดระหว่างหางกับหางเสมอ และมีขนาดไม่เกิน 180 ° 6. ผลที่ได้จากการคูณเวกเตอร์ u ด้วยสเกลาร์ a เป็นดังนี้ - ถ้า a = 0 จะได้ au = 0 - ถ้า a > 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกันกับ u แต่มีขนาดเป็น a ⋅ u - ถ้า a < 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศตรงข้ามกับ u และมีขนาดเป็น a ⋅ u - การคูณด้วยสเกลาร์นี้มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง เช่นเดียวกับจํานวนจริง คือ a (bu) = (ab) u , (a +b) u = au + bu , และ a (u + v) = au + av 7. ความสัมพันธ์ของ “การคูณด้วยสเกลาร์” และ “การขนานกันของเวกเตอร์” เมื่อ u ≠ 0 และ v ≠ 0 จะได้ทฎษฎีว่า - u จะขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ มีค่า a ≠ 0 ที่ทําให้ u = av - ถ้า u ไม่ขนานกับ v , หาก au + bv = 0 แสดงว่า a = 0 และ b = 0 8. การแก้โจทย์ปัญหาประเภท “เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่น” - เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมของเวกเตอร์อื่นแบบใดก็ได้ ก่อน - พยายามเปลี่ยนเวกเตอร์ที่ไม่ต้องการ เป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่ต้องการ ไปทีละขั้นๆ - เมื่อเหลือเพียงเวกเตอร์ที่ต้องการ ก็จัดเป็นรูปอย่างง่ายแล้วตอบ A B 9. สูตรในการสร้างเวกเตอร์ภายในสามเหลี่ยม (ดูภาพประกอบ) n m˜ AB + n ˜ AC ถ้า BZ : ZC = n : m จะได้ว่า ˜ AZ = Z m + n B (x2,y2) 10. เวกเตอร์ในระบบแกน m พิกัดฉากสองมิติ C ⎡ Δx ⎤ ⎡ x −x ⎤ ˜ AB = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ Δ y y − y ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A (x1,y1) - ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้ว กับพิกัดฉาก Δx = r cos θ Δy = r sin θ 2 1 2 1 r = (Δx)2 + (Δy)2 tan θ = (Δy/ Δx) = ความชัน - เวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ Δx เท่ากัน และ Δy เท่ากัน - เวกเตอร์สองอันขนานกันก็ต่อเมื่อ ความชันเท่ากัน (มีทั้งทิศเดียวกันและตรงข้าม) และเวกเตอร์สองอันจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อ ความชันคูณกันได้ –1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 640 - การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ จะได้ผลเช่นเดียวกับเมตริกซ์ นั่นคือ ⎡ka ⎤ ⎡a⎤ k ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣b ⎦ ⎣kb ⎦ ⎡a⎤ ⎡c ⎤ ⎡a+c ⎤ ⎢b ⎥ + ⎢d⎥ = ⎢b + d⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 11. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น 1 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สําคัญในระบบพิกัดฉากสองมิติ มีอยู่ 2 ตัว ได้แก่ i กับ j โดย i แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง +x และ j แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง +y นั่นคือ i = ⎡⎢01 ⎤⎥ และ j = ⎡⎢01 ⎤⎥ ... จะได้ว่าเวกเตอร์ ⎡⎢ba⎤⎥ = a i + b j ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ˜ AB ใดๆ (ที่ไม่ใช่ 0 ) สามารถสร้างได้จากการนําขนาดของ 12. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางของ ˜ AB ˜ AB มาหาร (เพื่อทําให้ขนาดเหลือเพียง 1 หน่วย) เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า ˜ |AB| 13. การคูณเวกเตอร์คู่หนึ่ง จะเกิดผลลัพธ์ได้ 2 แบบ คือ การคูณแบบดอท ( u ⋅ v ) ให้ผลลัพธ์ เป็นสเกลาร์ (ตัวเลข) อาจเรียกว่าผลคูณเชิงสเกลาร์ และการคูณแบบครอส ( u × v ) ยังคงให้ ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ อาจเรียกว่าผลคูณเชิงเวกเตอร์ - ดอทในพิกัดฉาก ⎡⎢ba⎤⎥ ⋅ ⎡⎢dc⎤⎥ = (a i +b j) ⋅ (c i + d j) = ac+bd ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ - ดอทในเชิงขั้ว u ⋅ v = u v cos θ - ใช้สมการทั้งสองร่วมกันในการคํานวณเกี่ยวกับมุม θ ระหว่าง u กับ 14. การหาขนาดผลรวมเวกเตอร์ด้วยกฎของโคไซน์ อาจเขียนใหม่ได้ว่า 2 2 2 2 u+v = u + v + 2 (u ⋅ v) u −v = u + v − 2 (u ⋅ v) เมื่อ θ คือ มุมระหว่าง 15. สมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบดอท • • • u ⋅v = v ⋅u u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w a (u ⋅ v) = a u ⋅ v • u ⋅u = u • 0⋅u = 0 u ⋅ v = 0 • v u กับ v 2 ↔ u ⊥ v 16. ในความเป็นจริงจุดใดๆ ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันเสมอไป แต่อยู่ในปริภูมิสามมิติ เราจําเป็นต้อง ใช้พิกัดฉาก 3 มิติ ซึ่งประกอบด้วยแกน x, y, และ z ตั้งฉากกันที่จุดกําเนิด ระนาบ xy, yz, xz แบ่งปริภูมิออกเป็น 8 ส่วน เรียกแต่ละส่วนว่าอัฐภาค (มีลําดับเหมือนจตุภาคดังรูป) z z 3 O x 1 4 y 8 x z y x 2 6 y 5 z Q(2,0,1) 1 2 x Math E-Book Release 2.2 P(2,4,1) 4 y R(2,4,0) (คณิต มงคลพิทักษสุข) ระนาบ yz (x = 0) ระนาบ xz (y = 0) ระนาบ xy (z = 0) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 641 17. หลักในการตั้งลําดับแกนคือ กฎมือขวา ... เมื่อแบมือขวาขึ้นตรงๆ และแยกนิ้วโป้งให้ตั้งฉากกับ นิ้วชี้ จะได้ว่าปลายนิ้วทั้งสี่ชี้ไปในทิศ +x, ฝ่ามือหันไปในทิศ +y, และนิ้วโป้งชี้ไปในทิศ +z 18. ระบุตําแหน่งสิ่งต่างๆ ด้วย สามสิ่งอันดับ (Ordered Triple) B (x2,y2,z2) ที่สมาชิกแต่ละตัวแทนระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว ⎡ Δx ⎤ ⎡x2− x1 ⎤ ˜ +z ตามลําดับ เช่น สามสิ่งอันดับ (2, 4, 1) ⎢ ⎥ AB = Δy = ⎢y2− y1 ⎥ A (x1,y1,z1) 19. เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ เมื่อกําหนดเวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแต่ละแกนดังนี้ ก็จะเขียนเวกเตอร์ ⎡a⎤ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ c ⎦⎥ ได้เป็น ⎡ 1⎤ i = ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0⎦⎥ , ⎡0⎤ j = ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0⎦⎥ , และ ⎢ ⎥ ⎢⎣z2− z1 ⎥⎦ ⎡0⎤ k = ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ a i + bj + ck 20. ขนาดของเวกเตอร์ r = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 (เป็นสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด คล้ายทฤษฎีบทปีทาโกรัสใน 2 มิติ) ⎡ d⎤ ⎡ a + d⎤ ⎡a⎤ ⎢b ⎥ + ⎢e ⎥ = ⎢b + e ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦ ⎣⎢ f ⎦⎥ ⎣⎢ c + f ⎦⎥ 21. การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ การคูณแบบดอท ⎢ ⎥ ⎢⎣ Δz ⎥⎦ ⎡ka ⎤ ⎡a⎤ k ⋅ ⎢b ⎥ = ⎢kb ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦ ⎣kc ⎦ ⎡ a ⎤ ⎡ d⎤ ⎢b ⎥ ⋅ ⎢e ⎥ = (a i +b j + c k) ⋅ (d i + e j + f k) = ad + be + cf ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦ ⎣⎢ f ⎦⎥ และ u ⋅ v = u v cos θ (ใช้สมการทั้งสองร่วมกัน ในการคํานวณมุม θ ระหว่าง u กับ v ) 22. มุมที่เวกเตอร์กระทํากับแกนทั้งสาม เรียกว่ามุมกําหนดทิศทาง ได้แก่ มุม α , β และ γ ซึ่ง เป็นมุมที่เวกเตอร์ทํากับแกน +x , แกน +y และแกน +z ตามลําดับ ... หาได้โดยการดอท (นํา เวกเตอร์ดอทกับ i , j , k ทีละอัน) จะได้ cos α = a , cos β = b , และ cos γ = c u u u เรียกค่าทั้งสามนี้ว่า โคไซน์แสดงทิศทาง (มักกล่าวถึงค่าเหล่านี้แทนมุม) และมีสมบัติว่า cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 เสมอ 23. เวกเตอร์สองอันจะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ โคไซน์แสดงทิศทางของ u กับ v ทั้งชุดมีค่าตรงกัน หรือเป็นค่าติดลบของกัน ... และเวกเตอร์สองอันจะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ u ⋅ v = 0 เท่านั้น 24. การคูณเวกเตอร์แบบครอส ⎡ bf − ce ⎤ ⎡ a ⎤ ⎡ d⎤ ⎢b ⎥ × ⎢e ⎥ = ⎢ cd− af ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ c ⎦ ⎣⎢ f ⎦⎥ ⎣ae −bd⎦ = i j k a b c d e f u×v u ผลลัพธ์ที่ได้ จะตั้งฉากกับระนาบ uv ... หาทิศทางได้ด้วยกฎมือขวา โดยสี่นิ้วพุ่งไปทาง u กํามือเข้าหา v ผลลัพธ์มีทิศทางตามนิ้วโป้งที่ชูขึ้น ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ u × v = u v sin θ 25. สมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบครอส • • • • u × v = − (v × u) u × (v + w) = u × v + u × w a (u × v) = a u × v u ⋅ (v × w) = (u × v) ⋅ w • u× u = 0 • 0× u = 0 • u× v = 0 Math E-Book Release 2.2 ↔ u (คณิต มงคลพิทักษสุข) v v v×u คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 642 26. พื้นที่สามเหลี่ยม ที่มีด้านประชิดเป็น u กับ v และมุม ระหว่างเวกเตอร์เป็น θ คือ 1 u v sin θ → 1 u × v 2 2 พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ u v sin θ → u × v 27. ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนาน ที่มีด้านประชิดเป็นเวกเตอร์ u, v, w คือ u ⋅ (v × w) = u θ v u1 u2 u3 v 1 v2 v 3 w 1 w2 w 3 จํานวนเชิงซ้อน 1. ระบบจํานวนที่ใหญ่ที่สุดซึ่งประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ในรูป a + bi (โดย a, b ∈ R ) และนิยามให้ i = −1 เรียกว่าจํานวนเชิงซ้อน ( C ) มี a เป็นส่วนจริง และ b เป็น ส่วนจินตภาพ และมักแทนตัวแปรที่เป็นจํานวนเชิงซ้อนด้วย z - จาก z = a + bi บางทีเขียนว่า a = Re (z) และ b = Im (z) ก็ได้ - สามารถใช้คู่อันดับ (a, b) แทนจํานวนเชิงซ้อน z = a + bi ได้ และทําให้แผนภาพเปลี่ยนจาก เส้นจํานวนในแกนนอน 1 มิติ กลายเป็นระนาบเชิงซ้อน 2 มิติ (มีแกนจริงกับแกนจินตภาพ) 2. กําลังของ i มี 4 แบบหมุนเปลี่ยนกัน คือ i 1 = i ... i 2 = −1 ... i 3 = − i ... i 4 = 1 i 5 = i ... i 6 = −1 ... i 7 = − i ... i 8 = 1 ... 3. ในการคํานวณเราปฏิบัติเหมือนกับ i เป็นตัวแปรหนึ่ง (ซึ่ง i2= −1 ) เพียงเท่านั้น - การเท่ากัน a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d - การบวก (a + bi) + (c + di) = (a+ c) + (b+ d) i - การคูณ (a + bi) × (c + di) = (ac−bd) + (ad+bc)i 4. สมบัติของจํานวนเชิงซ้อน เหมือนกับสมบัติของจํานวนจริงทุกประการ นั่นคือ มีสมบัติปิด, การ สลับที่การบวกและคูณ, การเปลี่ยนกลุ่มการบวกและคูณ, การแจกแจง, และการมีเอกลักษณ์กับอิน เวอร์ส โดยเอกลักษณ์การบวกก็คือ 0 หรือ 0 + 0 i หรือ (0, 0) และเอกลักษณ์การคูณคือ 1 หรือ 1 + 0 i หรือ (1, 0) เช่นเดียวกับในระบบจํานวนจริง - อินเวอร์สการบวกของ z = a + bi ก็คือ −z = −a − bi - อินเวอร์สการคูณของ z = a + bi คือ z−1 = 1 = 1 ซึ่งสามารถทําให้อยู่ในรูปปกติได้โดย นํา a − bi คูณทั้งเศษและส่วน จะได้ z a + bi 1 a − bi ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ = 2 2 = ⎜ 2 2⎟ − ⎜ 2 2⎟i a + bi a +b ⎝ a +b ⎠ ⎝ a +b ⎠ และมีทฎษฎีบทว่า (z1z2)−1 = z1−1 z2−1 และ (zn)−1 = (z−1)n = z−n 5. ในเศษส่วนหนึ่งๆ เมื่อมีจํานวนเชิงซ้อน a + bi เป็นตัวส่วน จะนําสังยุคของ มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นเลขจํานวนจริง ( a2+b2 ) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสังยุคของ z = a + bi คือ z = a − bi - สมบัติของสังยุค • z = z ก็ต่อเมื่อ z เป็นจํานวนจริงเท่านั้น และ z = z เสมอ + n n −1 −1 • (z ) = (z) และ (z ) = (z) n∈ I • z1 ± z2 = z1 ± z2 • z1z2 = z1z2 และ z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) a + bi คือ a − bi คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 643 6. ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนใดๆ คือระยะห่างจากจุดนั้นไปถึงจุดกําเนิด ดังนั้น z = a + bi = a2+b2 - สมบัติของค่าสัมบูรณ์ 2 • z มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ และ z ⋅ z = z (0, 0) z = −z = z • และ zn = z n n ∈ I+ • z1z2 = z1 z2 และ z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 ...ที่สําคัญคือค่าสัมบูรณ์กระจายบวกลบไม่ได้ 7. การอ้างถึงพิกัด (a, b) ของจํานวนเชิงซ้อน อาจจะกล่าวได้อีกแบบเป็น (r, θ) โดยที่ r แทน “ระยะห่างจากจุดกําเนิด” และ θ แทน “ทิศทาง หรืออาร์กิวเมนต์” (มุมวัดทวนเข็มจากแกน +x ) เรียกรูปแบบนี้ว่ารูปเชิงขั้ว ซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างสองระบบนี้เป็นดังนี้ z−1 = z • −1 a2 + b2 = z a = r cos θ r = b = r sin θ tan θ = (b/a) เราอาจเขียนรูปทั่วไปของ z = a + bi ได้ใหม่ว่า z = (r cos θ) + (r sin θ)i หรือ z = r (cos θ + i sin θ) - จาก z = r (cos θ + i sin θ) บางทีเขียนว่า r = Abs (z) และ θ = Arg(z) - บางตําราใช้สัญลักษณ์ z = r ∠θ หรือ z = r cis θ เพื่อความสะดวกในการเขียน, คํานวณ 8. รูปเชิงขั้วสามารถนํามาใช้ประโยชน์ในการคูณ หาร ยกกําลัง และถอดรากของจํานวนเชิงซ้อนได้ สะดวก โดยมีทฤษฎีอยู่ดังนี้ ถ้า z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2) แล้ว - การคูณ z1z2 = r1r2 (cos (θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2)) - การหาร z1 /z2 = (r1 /r2)(cos (θ1−θ2) + i sin(θ1−θ2)) - การยกกําลัง zn = rn (cos (nθ) + i sin(nθ)) ... เรียกว่าทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ - รากที่ n ของ z มีอยู่ n คําตอบเสมอ เพราะมาจากสมการ ? n = z คําตอบแรก คือ n z = n r (cos (θ) + i sin(θ)) และคําตอบทีเ่ หลือจะมีขนาดเท่ากันแต่มุมต่างๆ n n กัน หาค่ามุมได้จากการแบ่งวงกลม 360° ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กันโดยมีมุม θ/n นี้เป็นจุดๆ หนึ่ง ในบรรดาคําตอบ 9. สมการพหุนามดีกรี n ในรูป anxn+ an − 1xn − 1+ an − 2xn − 2+ ... + a0 = 0 จะหาคําตอบได้ n จํานวน เสมอ ซึ่งใน n คําตอบนี้ อาจเป็นจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนปนกันอยู่ สามารถคํานวณโดยแยกคําตอบที่เป็นจํานวนจริงออกจนเหลือเพียงดีกรีสอง แล้วอาศัยสูตร x = −b ± b2− 4ac 2a - จากสูตร x = ช่วยในการหาคําตอบที่เป็นจํานวนเชิงซ้อน −b ± b2− 4ac 2a ทําให้เราพบว่า ในสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจํานวนจริง ถ้า A + Bi เป็นคําตอบหนึง่ ของสมการแล้ว จะมีสังยุค A − B i เป็นอีกคําตอบด้วยเสมอ - หากไม่ต้องการใช้สูตร อาจใช้วิธีจัดกําลังสองสมบูรณ์ก็ได้ เช่น x2 + 4x + 7 = 0 → (x2 + 4x + 4) + 3 = 0 → (x + 2)2 + 3 = 0 → x = −2 ± 3 i - ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎีตัวประกอบ (หารลงตัว) ของพหุนาม ที่เคยได้ศึกษาในเรื่องจํานวน จริง ยังคงใช้ได้กับจํานวนเชิงซ้อน ... และการหารสังเคราะห์ก็ยังใช้ได้เช่นกัน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 644 ทฤษฎีกราฟ 1. กราฟ ในที่นี้หมายถึง แผนภาพซึ่งประกอบด้วยจุดและเส้นที่เชื่อมจุด การเกิดเป็นกราฟได้จะต้อง มีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด แต่กราฟอาจไม่มีเส้นเลยสักเส้นก็ได้ เซตของจุดยอด เรียกว่า V (G) และเซตของเส้นเชื่อม เรียกว่า E(G) 2. ข้อตกลงในการเขียนแผนภาพของกราฟ คือ จะวางจุดยอดจุดใดไว้ตําแหน่งใดก็ได้ และจะลากเส้น เชื่อมเป็นเส้นตรงหรือโค้งก็ได้ (แต่หากเส้นเชื่อมสองเส้นที่ลากขึ้นนั้นตัดกัน จุดตัดที่เกิดขึ้นจะไม่ นับเป็นจุดยอดของกราฟ) 3. เส้นเชื่อมขนาน เป็นเส้นที่เชื่อมจุดปลายคู่เดียวกัน วงวน เป็นเส้นเชื่อมที่มีปลายทั้งสองเป็นจุดๆ เดียว 4. จุดยอดที่ประชิดกัน คือจุดที่มีเส้นเชื่อมระหว่างกัน เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด เมื่อจุดยอด A เป็นปลายหนึ่งของเส้นเชื่อมนั้น 5. ดีกรีของจุดยอด คือจํานวนครั้งที่มีเส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอดนั้น ใช้สัญลักษณ์ deg เช่น deg A - ผลรวมดีกรีของจุดยอดทั้งหมดในกราฟ จะเป็น 2 เท่าของจํานวนเส้นเชื่อม 6. จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจํานวนคู่ เรียกว่าจุดยอดคู่ และจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจํานวนคี่ เรียกว่าจุดยอดคี่ - จํานวนจุดยอดคี่ของกราฟใดๆ จะต้องเป็นจํานวนคู่เสมอ (ส่วนจุดยอดคู่จะมีกี่จุดก็ได้) 7. ลําดับที่ประกอบด้วยจุดสลับกับเส้น เช่น C, e7 , B, e5 , A, e3 , D หรือประกอบด้วยจุด เช่น C, B, A, D เรียกว่า แนวเดิน เช่นแนวเดิน C − D - หากทุกๆ จุดยอดมีแนวเดินถึงกัน จะเรียกว่าเป็น กราฟเชื่อมโยง 8. แนวเดินซึ่งเริ่มและจบที่จุดเดียวกัน โดยไม่ใช้เส้นเชื่อมซ้ํากันเลย เรียกว่า วงจร ถ้าวงจรนั้นผ่านจุดยอดและเส้นเชื่อมทั้งหมดที่มีในกราฟ เรียกว่า วงจรออยเลอร์ กราฟใดที่สามารถหาวงจรออยเลอร์ได้ จะถูกเรียกว่าเป็น กราฟออยเลอร์ 9. ปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก ถามว่าเป็นไปได้ไหมที่เราจะเริ่มต้นจากจุดหนึ่งบนแผ่นดิน แล้วเดิน ข้ามสะพานให้ครบทุกอันในภาพจนกลับมายังจุดเริ่มต้น โดยไม่ซ้ําสะพานเดิมเลย - ลักษณะของปัญหาเหมือนกับ “การลากเส้นวาดรูปโดยไม่ยกดินสอ” ซึ่งคําตอบจะได้จากการ พิจารณาว่าแผนภาพนั้น “เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่” 10. กราฟออยเลอร์จะต้องเป็นกราฟเชื่อมโยง และจุดยอดทุกจุดเป็นจุดยอดคู่ ดังนั้นคําตอบของปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก คือ “เป็นไปไม่ได้” 11. กราฟถ่วงน้ําหนัก คือกราฟที่เส้นเชื่อมทุกเส้นมีจํานวนจริงบวกเขียนกํากับไว้ เรียกจํานวนนี้ว่า ค่า น้ําหนัก ซึ่งอาจใช้แทนระยะทางระหว่างจุด, ระยะเวลาที่ใช้เดินทางระหว่างจุด, ค่าใช้จ่ายในการสร้าง เส้นทาง, หรืออื่นๆ เพื่อบ่งบอกให้ทราบความแตกต่างระหว่างแต่ละเส้น 12. เรานําทฤษฎีกราฟเบื้องต้นไปประยุกต์ใช้แก้ปัญหาบางอย่างได้ เช่น การหาเส้นทางมุ่งไปยัง จุดหมายให้สั้นที่สุด (วิถีที่สั้นที่สุด คือแนวเดินซึ่งไม่ซ้ําจุดยอดเดิม และมีผลรวมค่าน้ําหนักน้อยที่สุด) และการเลือกวางเส้นทางให้เชื่อมทุกจุดโดยประหยัดที่สุด (ต้นไม้แผ่ทั่ว คือกราฟเชื่อมโยงที่ไม่มีรูป ปิด และใช้จุดยอดครบทุกจุด ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟที่มีจุดยอด n จุด จะมีเส้นเชื่อม n − 1 เส้น เสมอ ... ต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด คือต้นไม้ที่มีค่าน้ําหนักรวมน้อยที่สุด) ลําดับและอนุกรม 1. ลําดับ คือค่าของฟังก์ชันที่นํามาเขียนเรียงกัน เมื่อโดเมนของฟังก์ชันเป็นเซตจํานวนนับ 1,2,3,... - เรียก a1 ว่า “พจน์ที่ 1” ของลําดับ, เรียก a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของลําดับ, ไปเรื่อยๆ - พจน์ที่ n ใดๆ เขียนแทนด้วย an จะเรียกว่าพจน์ทั่วไป และนิยมเขียนรูปแบบของลําดับด้วย an Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 645 2. ลําดับที่มีจํานวนพจน์ที่แน่นอน เช่น 8 พจน์, 15 พจน์, หรือ n พจน์ก็ได้ จะเรียกว่า ลําดับจํากัด ส่วนลําดับที่มีจํานวนพจน์มากจนนับไม่ได้ จะเรียกว่า ลําดับอนันต์ 3. ลําดับที่เราพบบ่อย มีสองประเภท คือลําดับเลขคณิต และลําดับเรขาคณิต - ลําดับเลขคณิต คือลําดับที่ “ผลต่างของพจน์ติดกันเป็นค่าคงตัว” เรียกค่านี้ว่า ผลต่างร่วม d พจน์ทั่วไปเป็น an = a1 + (n−1) d - ลําดับเรขาคณิต คือลําดับที่ “ผลหารของพจน์ติดกันเป็นค่าคงตัว” เรียกค่านี้ว่า อัตราส่วนร่วม r พจน์ทั่วไปเป็น an = a1 ⋅ r(n − 1) 4. ข้อสังเกตคือลําดับเลขคณิต จะเป็นฟังก์ชันเส้นตรง โดยมีความชัน = d ... เช่น an = 8 + 3n ส่วนลําดับเรขาคณิต จะเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล โดยมีฐาน = r ... เช่น an = 8 ⋅ 3 n 5. หากต้องการทราบว่า ในลําดับ (อนันต์) ลําดับหนึ่งนั้น ถ้า n ยิ่งมากขึ้นจนเข้าใกล้ ∞ ( n → ∞ ) แล้ว ค่าของ an จะเข้าใกล้ค่าใด ( an → ? ) เราเรียกว่าการหาลิมิตของลําดับ ... และ an ค่าที่ได้นี้เรียกว่า ลิมิต เขียนด้วยสัญลักษณ์ nlim →∞ (rn) เมื่อ r เป็นค่าคงที่ จะมีได้สี่กรณี คือ ไม่มีลิมิต เมื่อ r < − 1 , - ลําดับเรขาคณิต ... nlim →∞ เป็นศูนย์ เมื่อ | r | < 1 , เป็น 1 เมื่อ r = 1 , และหาค่าไม่ได้ เมื่อ r > 1 - ลําดับเลขคณิต ลิมิตหาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นกรณีที่ d=0) 6. ลําดับที่หาค่าลิมิตได้ เรียกว่า ลําดับลู่เข้า (คอนเวอร์เจนต์) และลําดับที่ไม่มีลิมิต หรือหาค่าลิมิตไม่ได้ จะเรียกว่า ลําดับลู่ออก (ไดเวอร์เจนต์) - การหาค่าลิมิต สามารถใช้สมบัติการกระจาย แจกแจงได้ทุกรูปแบบ ทั้งการบวก ลบ คูณ หาร ยกกําลัง หรือถอดราก P (n) เมื่อ P และ Q เป็นพหุนาม จะมีได้สามกรณี คือ เป็นศูนย์ เมื่อดีกรี P - รูปแบบ nlim →∞ Q (n) น้อยกว่า Q, เป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกหารกัน เมื่อดีกรีของ P และ Q เท่ากัน, และหาค่าไม่ได้ เมื่อ ดีกรี P มากกว่า Q n 7. อนุกรม คือผลบวกของแต่ละพจน์ในลําดับ ..ค่าของอนุกรมสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ ∑ ai ได้ i=1 ซึ่งผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม จะใช้สัญลักษณ์ Sn ∞ (ดังนั้น ค่าของอนุกรมอนันต์ก็คือ S∞ = ∑ ai = nlim Sn ) →∞ i=1 - อนุกรมที่หาค่า S∞ ได้ เรียกว่าอนุกรมลู่เข้า (คอนเวอร์เจนต์) และอนุกรมที่หาค่า S∞ ไม่ได้ เรียกว่าอนุกรมลู่ออก (ไดเวอร์เจนต์) 8. อนุกรมเลขคณิต n n • Sn = ∑ ⎡⎣a1 + (i− 1) d⎤⎦ = (a1+ an) หรืออาจเขียนเป็น Σ เพื่อใช้สูตรคํานวณค่า 2 i=1 • S∞ หาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นอนุกรม 0 + 0 + 0 + 0 +…) 9. อนุกรมเรขาคณิต • Sn = • S∞ a1(1 − rn) 1−r หาค่าได้ก็เมื่อ | r |< 1 เท่านั้น และค่าที่ได้คือ Math E-Book Release 2.2 S∞ = (คณิต มงคลพิทักษสุข) a1 1−r คณิตศาสตร O-NET / A-NET 646 10. สมบัติของ 11. สูตรซิกม่าที่ควรทราบ • • • n ∑k i=1 n Σ ฉบับเขมขน = n⋅k ∑ k ai i=1 n = k ⋅ ∑ (ai ±bi) = i=1 • n ∑ ai i=1 n ∑ ai i=1 • ± n ∑ bi • i=1 n(n+ 1) 2 i=1 n n(n+ 1)(2n+ 1) ∑ i2 = 6 i=1 n ∑i = ⎡ n(n+ 1)⎤ ∑ i3 = ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ i=1 n 2 ลิมิตและความต่อเนื่อง 1. การหาลิมิตของ f (x) สําหรับฟังก์ชัน y = f (x) ใดๆ คือการพิจารณาว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ค่า จํานวนจริงค่าใดค่าหนึ่ง (เช่น เข้าใกล้ a) แล้ว ค่าของ y หรือ f (x) จะเข้าใกล้ค่าใด y หรือ lim f (x) - ค่าลิมิตที่ได้จะเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า xlim →a x→a 2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต lim [f (x)] n = [ lim f (x)] n lim c = c x→a x→a lim x = a x→a n lim x→a n x→a n f (x) = n lim f (x) x→a lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) lim x = a x→a lim c f (x) = c lim f (x) x→a x→a x→a x→a x→a lim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x) x→a x→a x→a lim [f (x) ÷ g(x)] = lim f (x) ÷ lim g(x) x→a x→a x→a f (x) = L ก็ต่อเมื่อ lim f (x) = lim f (x) = L เท่านั้น 3. ฟังก์ชันใดๆ จะมีค่า xlim →a x→a x→a - คําว่า xlim f (x) คือลิมิตซ้าย หาได้จากกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้าย (หรือ x < a ) →a - คําว่า xlim f (x) คือลิมิตขวา หาได้จากกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา (หรือ x > a ) →a 4. รูปแบบไม่กําหนด คือรูปแบบที่ยังสรุปไม่ได้ว่าค่าลิมิตเป็นเท่าใด ได้แก่ รูปแบบ 0 , ∞ , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , ∞0 และ 1∞ ... ซึ่งรูปแบบที่พบบ่อยในบทนี้ คือ − + − + 0 - ถ้า lim f (x) x→a ∞ อยู่ในรูปแบบ 0 0 ... เทคนิคการคํานวณคือ พยายามแยกพจน์ x−a 0 0 ในเศษและ ส่วนมาตัดกัน เพื่อไม่ให้เหลือตัวประกอบในเศษและส่วนเป็นเลข 0 ... อาจใช้วิธีแยกตัวประกอบ การ นําสังยุคหรืออื่นๆ ที่เหมาะสมคูณทั้งเศษและส่วน หากเป็นรากที่สอง รากที่สาม 5. สาเหตุที่เราสามารถกําจัด x − a ทั้งเศษและส่วนได้ ก็เพราะการหาลิมิตนั้นไม่ได้คํานึงถึงตําแหน่ง ก็ยังหาได้ ที่ x = a อยู่แล้ว ... คือแม้ f (a) จะไม่นยิ าม (เพราะส่วนเป็นศูนย์) แต่ xlim →a 6. การพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ คือการบอกว่ากราฟของฟังก์ชันขาดตอนที่จุด นั้นหรือไม่ โดยสําหรับฟังก์ชัน f (x) ใดๆ จะต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ lim f (x) = f (a) = lim f (x) เท่านั้น (และต้องหาค่าได้ทั้งสามตัว) x→a x→a 7. นิยามของความต่อเนื่องบนช่วง - ฟังก์ชัน f (x) ต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) ก็ต่อเมื่อ f (x) ต่อเนื่องทุกๆ จุดในช่วง (a, b) - ฟังก์ชัน f (x) ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] ก็ต่อเมื่อ f (x) ต่อเนื่องบนช่วง (a, b) , ต่อเนื่องทางขวา f (x) ], และต่อเนื่องทางซ้ายของ b [คือ f (b) = lim f (x) ] ของ a [คือ f (a) = xlim →a x →b − + + − Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 647 อนุพันธ์และการอินทิเกรต 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x (ในช่วง x ถึง x+h ใดๆ) คือ f (x +h) − f (x) หรือ Δy Δx h และเมื่อบีบช่วง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุด x ที่กําหนด f (x + h) − f (x) Δy หรือ Δlim ฉะนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y (ที่จุด x ใดๆ) คือ hlim →0 x →0 Δx h 2. อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ ฉะนั้น อนุพันธ์ของ f (x) ก็คือ y = f (x) ที่จุด x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์ f (x + h) − f (x) lim h→0 h นอกจากนั้นยังเป็นค่าความชันของกราฟ y = f (x) ณ จุดนั้นๆ ด้วย - สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f (x) ได้แก่ f′ (x) หรือ dy หรือ d f (x) dx dx x=3 - สัญลักษณ์ที่ใช้เจาะจงตําแหน่ง เช่น อนุพันธ์ที่จุดซึ่ง 3. สูตรในการหาอนุพันธ์ • • • d n x = n xn−1 dx d c = 0 dx d d c f (x) = c f (x) dx dx • • • d dx d dx d dx 4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิท (กฎลูกโซ่) ... คือ [ f (x) ± จะใช้ f′ (3) หรือ หรือ dy dx y′ ก็ได้ x=3 g(x)] = f′ (x) ± g′ (x) [ f (x) ⋅ g (x)] = f (x) g′ (x) + g(x) f′ (x) g (x) f′ (x) − f (x) g′ (x) ⎡ f (x) ⎤ ⎢ g(x)⎥ = ⎣ ⎦ [g(x)] 2 d dg df g (f (x)) = ⋅ dx df dx - เขียนแบบฟังก์ชันได้เป็น (g f)′ (x) = g′ (f (x)) ⋅ f′ (x) - อาจจะเขียนยาวกี่ทอดก็ได้ เช่น dg = dg ⋅ dh ⋅ df ⋅ dx dt dh df dx dt 5. หากเราหาอนุพันธ์ของ f′ (x) ต่อไปอีก จะเรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสูง n - การเขียนสัญลักษณ์ อนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็น d yn หรือ f(n)(x) dx แต่อันดับที่หนึ่ง สอง และสาม นิยมใช้เครื่องหมายขีด เป็น f′ (x), f′′ (x), f′′′ (x) - อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง คือ f′ (x) นั้นคือ ความชัน (อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่า y) ส่วน อนุพันธ์อันดับที่สอง คือ f′′ (x) จะกลายเป็น “อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน” 6. ฟังก์ชันเพิ่มคือความชันเป็นบวก ฟังก์ชันลดคือความชันเป็นลบ ดังนั้น ช่วงที่ f′ (x) > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ f′ (x) < 0 เป็นฟังก์ชันลด - เนื่องจากตําแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด หรือจากลดไปเพิ่ม จะต้องมีการวกกลับของ กราฟและทําให้เกิดจุดยอด สามารถหาโดย f′ (x) = 0 ... ค่า x ณ จุดนั้นเรียกว่าค่าวิกฤต - ตําแหน่งที่ f′ (x) = 0 นั้น อาจไม่ใช่จดุ สูงสุดหรือต่ําสุดเสมอไป อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้า สามารถพิจารณาให้ละเอียดได้จากอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน หรือ f′′ (x) หาก f′′ (x) > 0 แสดงว่าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม เกิดจุดต่ําสุด หาก f′′ (x) < 0 แสดงว่าความชันเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด เกิดจุดสูงสุด หาก f′′ (x) = 0 เป็นเพียงจุดเปลี่ยนเว้า ไม่ใช่จุดสูงสุดต่ําสุด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 648 7. ฟังก์ชันหนึ่งๆ หากมีการวกกลับของกราฟ ณ จุดใด ก็จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์ (มีได้ หลายจุด) และหากจุดใดมีค่าฟังก์ชันมากที่สุดหรือน้อยที่สุดของกราฟแล้ว จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีด สัมบูรณ์ด้วย (สูงสุดกับต่ําสุด มีได้อย่างละ 1 จุด) 8. เราใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดต่ําสุดของฟังก์ชัน ในการคํานวณโจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์จริง เช่น มีฟังก์ชันกําไร P (x) แล้วหาค่า x ที่ทําให้ได้กําไรมากที่สุด ... หลักในการสร้างสมการคือ ต้องเป็น การคํานวณหาค่า x ที่ทําให้เกิด y สูงสุดหรือต่ําสุด แล้วเอาสมการนั้นมาคิด dy = 0 dx 9. การอินทิเกรต คือการกระทําที่ตรงข้ามกับกระบวนการหาอนุพันธ์ นั่นคือ ถ้า d F (x) = f (x) แล้ว จะได้ว่า ∫ f (x) dx = F (x) dx สัญลักษณ์ ∫ เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล และเรียก f (x) ว่าตัวถูกอินทิเกรต 10. สิ่งที่หาอนุพันธ์ได้ตรงตามค่าที่ต้องการ จะเรียกว่าปฏิยานุพันธ์ ทั้งหมด = x2 , F2(x) = x2+ 1 , F3(x) = x2+5 , F4(x) = x2− 7 ตัวอย่างเช่น F(x) 1 ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f (x) = 2x เนื่องจากล้วนทําให้ d F (x) = f (x) dx - รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ f (x) = 2x คือ x2+ c เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆ เรียกว่าอินทิกรัลไม่จํากัดเขต ของ f (x) และเขียนสัญลักษณ์เป็น ∫ f (x) dx - ปฏิยานุพันธ์มีได้หลากหลาย แต่อินทิกรัลไม่จํากัดเขตมีแบบเดียวเสมอ 11. สูตรในการหาอินทิกรัล n • ∫x dx = • ∫ [ f (x) ± xn+1 + c n+ 1 g (x)] dx = • • ∫ f (x) dx ± ∫ k dx = kx + c ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ∫ g (x) dx 12. อินทิกรัลจํากัดเขต จะมีการระบุช่วงของ x ที่เครื่องหมายอินทิกรัล ดังสัญลักษณ์ b a ∫ f (x) dx b โดยมีค่าเป็น a ∫ f (x) dx = F (x) ba = F (b) − F (a) - ค่าของอินทิกรัลจํากัดเขตที่คํานวณได้ ก็คือพื้นที่ระหว่างโค้ง f (x) กับแกน x ตั้งแต่ x = a จนถึง b โดยหากส่วนใดของโค้งนั้นอยู่ใต้แกนก็จะได้พื้นที่เป็นค่าลบ - หากเราต้องการหาพื้นที่ระหว่างโค้ง f (x) กับแกน x ที่แท้จริง จะต้องตรวจสอบว่ามีช่วงใดของ โค้งที่อยู่ใต้แกน x ก่อน เพื่อแยกชิ้นส่วนในการคํานวณ ไม่ให้พื้นที่บริเวณใดมีค่าติดลบ ความน่าจะเป็น 1. กฎพื้นฐานเกี่ยวกับการนับ - จากแผนภาพต้นไม้ ทําให้เราทราบว่า ในการทํางาน k ขั้นตอน โดยที่งานแต่ละขั้นตอนมี ทางเลือกทําได้ ni แบบ จะมีจํานวนวิธีเลือกทํางานจนเสร็จสิ้น เท่ากับ n1 × n2 × ... × nk วิธี (เอาจํานวนแบบมาคูณกัน) - ถ้าการนับจําเป็นต้องแยกคิดหลายกรณี จะต้องนําผลคูณที่ได้ในแต่ละกรณีมาบวกกัน 2. เครื่องหมาย ! เรียกว่าแฟคทอเรียล มีนิยามว่า n! = n ⋅ (n−1) ⋅ (n−2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 เมื่อ n เป็นจํานวนนับ ... และกําหนดให้ 0 ! = 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 649 3. จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง จะมี n! วิธี แต่ถ้าเอามาเรียงเพียงแค่ r สิ่ง จะมี n! วิธี (n−r)! - จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้งหมด n สิ่ง ซึ่งมีสิ่งของซ้ํากัน n! จะเรียงได้ วิธี k1 สิ่ง, k2 สิ่ง, ... k1 ! ⋅ k2 ! ⋅ ... 4. จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง เป็นรูปวงกลม ให้คิดว่าระบุตําแหน่งเจาะจงก่อน 1 สิ่ง แล้วที่เหลือจึงจัดแบบเส้นตรงปกติ นั่นคือ (n−1)! วิธี - หากการจัดนี้สามารถมองได้สองด้าน เช่น ร้อยมาลัย จํานวนวิธีจะลดลงเหลือ (n−1)! วิธี 2 5. วิธีจัดหมู่ ต่างจากเรียงสับเปลี่ยน ตรงที่จะไม่คํานึงถึงลําดับก่อนหลัง - จํานวนวิธีจดั หมู่สิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง โดยที่คัดออกมา r สิ่ง จะมี นิยมเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ⎛ n⎞ ⎜r ⎟ ⎝ ⎠ n! (n−r)! ⋅ r ! วิธี อ่านว่า “n เลือก r” 6. การแบ่งของออกเป็นกลุ่มย่อยๆ - จากการหยิบของ 5 ชิ้น ออกจากกองที่มี 12 ชิ้น ก็เหมือนการแบ่งแยกของออกเป็นสองกลุ่ม 5 แบ่งกลุ่มได้ 12 ! วิธี กลุ่มละ 5 และ 7 ชิ้น จึงได้สูตรว่า 12 5! ⋅ 7 ! 7 5 12 ดังนั้น ขยายผลออกไปถึงการแบ่งของ 12 ชิ้น เป็นสามกอง ดังนี้ 4 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 12 ! 3 2 ก็จะมีจํานวนวิธีเป็น วิธี (พิสูจน์ได้จาก ⎜ 5 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ) 5! ⋅ 4 ! ⋅ 3 ! ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 - ถ้ามีกองใดที่จํานวนเท่ากัน และถือว่าการสลับที่ไม่ทําให้แตกต่างกัน 2 จํานวนวิธีจะต้องลดลง โดยคิดเช่นเดียวกับการสับเปลี่ยน เช่น การแบ่ง 12 12 ! 1 วิธี จะได้ (2 !)3 ⋅ 3 ! ⋅ 1! ⋅ 5! 5 (3! ที่เพิ่มเข้ามา เนื่องจากมี 3 กองที่สลับกันเองไม่มีความหมาย จํานวนวิธีจึงต้องลดลง) 7. เทคนิคการนับ - บางครั้งถ้าพบว่าจํานวนกรณีมีมาก ควรลองคิดมุมกลับ คือใช้วิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดลบด้วยวิธีที่ไม่ ต้องการ แบบนีอ้ าจช่วยให้คํานวณง่ายขึ้น เช่น หยิบลูกบอล 4 ลูกให้ได้สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก พบว่า ต้องบวกกันหลายกรณีมาก แต่ถ้าใช้วิธีลบออกจะคิดเพียงแค่ วิธีทั้งหมด ลบด้วยวิธีที่ไม่ได้สีขาวเลย - ถ้าต้องนับเหตุการณ์ที่มีคําว่า “หรือ” ห้ามนําจํานวนวิธีแต่ละส่วนมาบวกกันแล้วตอบเลยทันที เพราะมักจะมีการนับซ้ําซ้อนเกิดขึ้น ควรใช้หลักการในเรื่องเซต คือ “เกิด A หรือ B” คิดจาก “เกิด A” บวกด้วย “เกิด B” และลบด้วย “เกิดทั้ง A และ B” แบบนี้จึงจะถูกต้อง - การนับเหตุการณ์ที่มีคําว่า “หรือ” สามารถคิดแบบลบออกได้ด้วย คือ “เกิด A หรือ B” คิดจาก วิธีทั้งหมด ลบด้วยสิ่งที่ตรงกันข้ามคือ “ไม่เกิดทั้ง A และ B” แบบนี้คิดง่ายขึ้นเพราะเป็นการเปลี่ยน คําว่า “หรือ” ให้กลายเป็น “และ” 1 8. ทฤษฎีบททวินาม (a + b)0 = 1 1 (a + b)1 = a + b 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Math E-Book Release 2.2 1 1 2 3 4 1 3 6 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 1 4 1 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 650 - ทฤษฎีบททวินาม คือ ทฤษฎีที่กล่าวถึงการกระจายทวินาม (a + b)n เมื่อ a และ b เป็นจํานวนจริง, n และ r เป็นจํานวนนับ โดย 0 < r < n n n n n จะได้ว่า (a + b)n = ⎛⎜ 0 ⎞⎟ anb0 + ⎛⎜ 1 ⎞⎟ an − 1b1 + ⎛⎜ 2 ⎞⎟ an − 2b2 + ... + ⎛⎜ n ⎞⎟ a0bn ⎝ ⎠ - ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ n⎞ พจน์ที่ r + 1 เป็นพจน์ทั่วไป Tr + 1 = ⎜ ⎟ an − rbr ⎝r ⎠ n จํานวนพจน์ทั้งหมดจะมี n+ 1 พจน์ คือเริ่มจาก ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎝ ⎠ เรียก ถึง ⎛ n⎞ ⎜r ⎟ ⎝ ⎠ ใดๆ ว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม ⎛n⎞ ⎜n⎟ ⎝ ⎠ กําลังของ a ค่อยๆ ลดลง ในขณะที่กําลังของ b เพิ่มขึ้น และนํากําลังมารวมกันจะได้ n เสมอ - สัมประสิทธิ์ทวินาม อาจไม่ใช่สัมประสิทธิ์ของพจน์นั้น (หากใน a หรือ b มีสัมประสิทธิ์อีก) n n n n - สูตร ⎜⎛ 0 ⎟⎞ + ⎜⎛ 1 ⎟⎞ + ⎜⎛ 2 ⎟⎞ + ... + ⎛⎜ n ⎞⎟ = 2n ดังเช่นเคยพบตอนที่หาจํานวนสับเซต ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9. การทดลองสุ่ม คือการกระทําที่เราไม่สามารถบอกได้ว่าแต่ละครั้งจะเกิดผลลัพธ์อะไร แต่สามารถ บอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้างที่เป็นไปได้ ... เซตของ “ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด” เรียกว่า ปริภูมิ ตัวอย่าง (S) และเซตของ “ผลลัพธ์ใดๆ ที่เราสนใจ” เรียกว่า เหตุการณ์ (E) 10. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หาได้เฉพาะเหตุการณ์ที่เป็นการทดลองสุ่มเท่านั้น - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ใช้สัญลักษณ์ P (A) ... คํานวณจาก P (A) = n(A) n(S) เมื่อ n(A) คือจํานวนผลลัพธ์ใน A และ n(S) คือจํานวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ 0 < P (A) < 1 11. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น P (∅) = 0 - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีผลลัพธ์เลย มีค่าเป็น 0 P (S) = 1 - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์ได้ทุกแบบ มีค่าเป็น 1 12. ความหมายของ A ∩ B คือเหตุการณ์ “A และ B” (เกิดขึ้นทั้งสองอย่าง) A ∪ B คือเหตุการณ์ “A หรือ B” (เกิดขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง) จะใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ช่วยคํานวณ ดังนี้ - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ รวมกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหลือ P (A) = 1 − P (A ') (ที่เราไม่สนใจ) จะได้ 1 เสมอ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) - ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ หาได้จาก สถิติ 1. สถิติศาสตร์ คือวิชาที่เกี่ยวกับการเก็บรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูล - การเก็บรวบรวมต้องเลือกวิธีให้เหมาะสม เช่น ลงทะเบียน, สัมภาษณ์, วัดค่า, ทดลอง - การวิเคราะห์มี 2 ระดับ ได้แก่ วิเคราะห์ขั้นต้น เรียกว่า สถิติเชิงพรรณนา (เช่น การหาค่ากลาง ค่าการกระจาย การจัดกลุ่มข้อมูลเป็นตาราง เป็นแผนภาพ กราฟ ฯลฯ) และวิเคราะห์ขั้นสูง เรียกว่า สถิติเชิงอนุมาน (เช่น การทํานายหรือประมาณค่า การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ฯลฯ) 2. ลักษณะข้อมูล มีข้อมูลเชิงคุณภาพ กับข้อมูลเชิงปริมาณ - ข้อมูลเชิงคุณภาพ เป็นค่าที่ไม่ได้บ่งบอกถึงความมากน้อย เปรียบเทียบกันไม่ได้ เช่น เลขที่ เพศ - ข้อมูลเชิงปริมาณ เป็นค่าที่บ่งบอกความมากน้อย เปรียบเทียบได้ เช่น อายุ ส่วนสูง คะแนน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 651 แจกแจง แล้ว ยังไม่ แจกแจง 3. ประเภทข้อมูลแบ่งตามแหล่งที่มา - ข้อมูลปฐมภูมิ ได้จากการรวบรวมเอง ซึ่งจะทําได้ 2 ระดับ คือระดับตัวอย่าง (เรียกว่าการสํารวจ ตัวอย่าง) และระดับประชากร (เรียกว่าการสํามะโน) - ข้อมูลทุติยภูมิ มีผู้รวบรวมไว้แล้ว เช่นข้อมูลในเอกสารราชการ รายงาน นิตยสารต่างๆ 4. การแจกแจงความถี่ของข้อมูล คือการจัดข้อมูลที่มีอยู่ ให้เป็นกลุ่มๆ เพื่อความสะดวกในการ วิเคราะห์ และจัดเก็บ โดยดําเนินการดังนี้ - แบ่งค่าข้อมูลที่เป็นไปได้ออกเป็นช่วงๆ ตามที่ต้องการ เรียกแต่ละช่วงว่าอันตรภาคชั้น - พิจารณาว่าข้อมูลที่มีนั้นมีค่าอยู่ในแต่ละช่วงเป็นปริมาณเท่าใด เรียกปริมาณข้อมูลแต่ละช่วงว่า ความถี่ 5. นิยมเขียนอันตรภาคชั้นและความถี่ของแต่ละชั้นในรูปตาราง โดยกําหนดความกว้างแต่ละชั้นเท่าๆ กัน (แต่อันตรภาคชั้นบนสุดหรือล่างสุดอาจเป็น อันตรภาคชัน้ เปิดก็ได้ เช่น “มากกว่า 80”) - ค่าขอบล่าง และขอบบน คือค่ากึ่งกลางระหว่างรอยต่ออันตรภาคชั้น - ความกว้างอันตรภาคชั้น หาได้จาก ผลต่างของขอบบนและขอบล่างของชั้นนั้น 6. ความถี่สะสม คือ “ผลรวมความถี่ชั้นนั้น กับความถี่ชั้นที่มีค่าข้อมูลต่ํากว่าทั้งหมด” - ความถี่สัมพัทธ์ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ คืออัตราส่วนความถี่หรือความถี่สะสม เทียบกับความถี่ รวม (N) ดังนั้นความถี่สัมพัทธ์รวมต้องได้ 1 เสมอ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ของชั้นสูงสุดก็ต้องเป็น 1 เช่นกัน - บางครั้งใช้เป็นหน่วยร้อยละ โดยแต่ละชั้นคูณด้วย 100 เพื่อปรับผลรวมความถี่จาก 1 เป็น 100 7. ฮิสโทแกรม คือแผนภูมิแท่งสี่เหลี่ยมวางเรียงติดกัน โดยให้แกนนอนแทนค่าข้อมูล x (เขียนกํากับ ด้วยขอบบนขอบล่างของชั้น หรือด้วยจุดกึ่งกลางชั้นก็ได้) และแกนตั้งแทนค่าความถี่ f ความสูงของ แท่งสี่เหลี่ยมจะแปรตามความถี่ของชั้นนั้นๆ - รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ คือรูปที่เกิดจากการลากเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางยอดแท่งสี่เหลี่ยม ของฮิสโทแกรมแต่ละแท่ง (โดยลากเส้นตรงไปบรรจบ 0 ที่กึ่งกลางชั้นก่อนหน้าและหลังสุดของที่มีอยู่ เพื่อให้กลายเป็นรูปปิดซึ่งมีพื้นที่เท่าฮิสโทแกรมเดิม) - เส้นโค้งของความถี่ คือรูปที่เกิดจากการปรับเส้นตรงในรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ ให้เป็นเส้นโค้ง (โดยพยายามให้มีพื้นที่ใกล้เคียงเดิมที่สุด) ลักษณะทั่วไปของเส้นโค้งมี 3 แบบ (อ่านรายละเอียดใน ตอนถัดไป) 8. แผนภาพต้น-ใบ ใช้จัดข้อมูลให้เป็นกลุ่มเพื่อเห็นลักษณะคร่าวๆ ได้ผลดีกว่าตารางและฮิสโทแกรม เพราะข้อมูลดิบแต่ละค่าไม่สูญหายไป ... วิธีเขียนคือตัดหลักข้อมูลออกเป็นสองกลุ่ม แล้วนํากลุ่มหน้า มาเรียงไว้เป็นลําต้นในแนวตั้ง จากนั้นจึงนําหลักที่เหลือเขียนต่อท้ายในบรรทัดเดียวกัน (เป็นใบ) - สิ่งที่วิเคราะห์ได้จากแผนภาพต้น-ใบ เช่น ช่วงใดมีความถี่มากที่สุด, ข้อมูลที่ต่ําที่สุด สูงที่สุด และ ตรงกลางเป็นเท่าใด, และใช้เปรียบเทียบระหว่างข้อมูล 2 ชุดได้ด้วย 9. ค่ากลางของข้อมูล เป็นตัวเลขที่ใช้แทนข้อมูล x1, x2 , x3 , ..., xN ทั้งหมด ช่วยให้วิเคราะห์ข้อมูลได้ คร่าวๆ ซึ่งค่ากลางที่นิยมใช้ มี 3 ชนิด ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม (ค่ากลางที่ได้จะมีหน่วยเดียวกับข้อมูล และมีค่าอยู่ระหว่างข้อมูลตัวที่น้อยที่สุดกับมากที่สุดเสมอ) - ลักษณะข้อมูล ข้อมูลเชิงคุณภาพ เกาะกลุ่มกันปกติ บางค่าต่างไปจนผิดปกติ ทุกชั้นกว้างเท่ากัน มีอันตรภาคชั้นเปิด บางชั้นกว้างไม่เท่ากัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ---ใช้ได้ดีมาก! ---ใช้ได้ดีมาก! ------- Math E-Book Release 2.2 มัธยฐาน ---พอไหว ใช้ได้ดีมาก! พอไหว ใช้ได้ดีมาก! ใช้ได้ดีมาก! (คณิต มงคลพิทักษสุข) ฐานนิยม ใช้ได้ดีมาก! พอไหว พอไหว พอไหว พอไหว ---- คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 652 10. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( X ) - เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับค่าของข้อมูลโดยตรง จึงเหมาะกับชุดข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกันทุก ค่า ไม่มีค่าใดสูงหรือต่ําผิดปกติไปจากค่าอื่นๆ (มิฉะนั้นค่าที่ได้จะไม่มีคุณภาพ) - ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ X = ∑ x ... คิดแบบถ่วงน้ําหนัก X = ∑ wx N ∑ fx ∑ fx X = = ∑f N - ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว (ใช้ความถี่เป็นน้ําหนัก) X = a + ID - สูตรลดทอน ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว เมื่อ D = (a คือกึ่งกลางของชั้นใดก็ได้ที่เลือก, I คือความกว้างชั้น (เท่ากันทุกชั้น), di เป็นจํานวนเต็ม โดยให้ชั้นที่มีค่า a นั้นเป็น d = 0 และชั้นที่มีข้อมูลน้อยลง ชั้นที่ข้อมูลสูงขึ้น d = 1, 2, ... ไม่ว่าจะเลือกชั้นใดก็คํานวณได้คําตอบเท่ากัน) - ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลหลายชุด Xรวม = ∑w ∑ fd N d = −1, −2, ... ส่วน (∑ x)รวม ∑ NX = Nรวม ∑N (อาจมองว่า เป็นการนําค่าเฉลี่ยของแต่ละชุดมาถ่วงน้ําหนักด้วยจํานวนข้อมูล) 11. มัธยฐาน (Med) - คือค่าที่มีตําแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด (เมื่อเรียงลําดับมากน้อยของข้อมูลแล้ว) - เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับลําดับข้อมูล (บอกว่ามีข้อมูลที่มีค่ามากกว่านี้และน้อยกว่านี้ อยู่ เป็นปริมาณเท่ากัน) จึงยังคงใช้ได้ดีกับข้อมูลชุดที่มีบางค่าสูงหรือต่ํากว่าค่าอื่นอย่างผิดปกติ - ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ Med คือข้อมูลในตําแหน่งที่ (N+1)/2 (ตําแหน่งกึ่งกลาง) (ข้อควรระวังคือ (N+1)/2 นั้นเป็นเพียงตําแหน่งของ Med ..ยังไม่ใช่ค่าของ Med) - ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว Med = L + I ⎛⎜ N/2f − ∑ fL ⎞⎟ ⎝ Med ⎠ (ใช้ N/2 เลยโดยไม่ต้องบวกหนึง่ ... L คือขอบล่างชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ (ตัวที่ N/2) ซึ่งชั้นนั้นมีความ กว้าง I และมีความถี่เป็น fMed ... ส่วน ∑ fL คือความถี่สะสมจนถึงขอบล่าง) 12. ฐานนิยม (Mo) - คือค่าข้อมูลตัวที่ปรากฏบ่อยครั้งที่สุด (มีความถี่สูงที่สุด) โดยทั่วไปจะมีได้ไม่เกิน 2 ค่า - เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับความถี่ของข้อมูล เหมาะกับข้อมูลเชิงคุณภาพ เช่น การเลือกตั้ง - ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว Mo = L + I ⎛⎜ d d+1 d ⎞⎟ ⎝ 1 2 ⎠ (L คือขอบล่างชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ (ชั้นที่ความถี่สูงสุด) ซึ่งทุกๆ ชั้นมีความกว้าง I d1 คือผลต่างความถี่ที่ขอบล่าง, d2 คือผลต่างความถี่ที่ขอบบน) 13. สามารถหาค่ามัธยฐานได้จากเส้นโค้งของความถี่สะสม และหาฐานนิยมได้จากฮิสโทแกรม cf (ความถีส่ ะสม) N f (ความถี)่ การหาค่ามัธยฐานจาก เส้นโค้งของความถี่สะสม การหาค่าฐานนิยมจากฮิสโทแกรม N/2 O Med 14. สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต x ∑ (x − K)2 O Mo จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ Math E-Book Release 2.2 K = X (คณิต มงคลพิทักษสุข) x คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 653 15. สมบัติของมัธยฐาน ∑ |x − K ] จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ K = Med 16. สมบัติของค่ากลางทั้ง 3 ชนิด ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆ ตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ Yi = m Xi + c จะได้ว่า (ค่ากลางของ Y ) = m ⋅ (ค่ากลางของ X ) + c ด้วย เช่น Y = m X + c 17. การวัดตําแหน่งของข้อมูล - มัธยฐาน เป็นค่าข้อมูลในตําแหน่งกึ่งกลางเมื่อถูกเรียงลําดับแล้ว บอกให้ทราบว่ามีข้อมูลที่ค่าสูง กว่านี้ และค่าต่ํากว่านี้ อยู่เป็นปริมาณเท่าๆ กัน (แบ่งข้อมูลเป็น 2 ส่วน) - ถ้าเราแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน จุดแบ่งทั้งสามจุดนั้นจะเรียกว่าควอร์ไทล์ที่ ( Q 1 ), ควอร์ไทล์ที่ 2 ( Q 2 ), และควอร์ไทล์ที่ 3 ( Q 3 ) ตามลําดับ ความหมายของควอร์ไทล์ที่ 1 คือมีข้อมูล ที่ต่ํากว่าค่านี้อยูเ่ ป็นปริมาณ 1/4 และมากกว่าค่านี้อยู่อีก 3/4 โดยประมาณ - เดไซล์ (D) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น 10 ส่วน และ เปอร์เซ็นไทล์ (P) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น 100 ส่วน ... การคํานวณหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ เป็นแบบเดียวกับการ คํานวณหามัธยฐาน นั่นคือ - ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ r r Qr คือข้อมูลในตําแหน่งที่ Dr คือข้อมูลในตําแหน่งที่ (N + 1) (N + 1) Pr คือข้อมูลในตําแหน่งที่ 10 4 r (N + 1) 100 - ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ⎛r N − ∑f ⎞ L ⎟ Qr = L + I ⎜ 4 ⎜ ⎟ fQr ⎝ ⎠ ⎛ r N − ∑f ⎞ L ⎟ Pr = L + I ⎜ 100 ⎜ ⎟ f Pr ⎝ ⎠ ⎛ r N − ∑f ⎞ L ⎟ Dr = L + I ⎜ 10 ⎜ ⎟ fDr ⎝ ⎠ (ใช้ r r r N, N, N 4 10 100 - สามารถหาค่าได้จากเส้นโค้งของความถี่สะสม ด้วยเช่นกัน ภาพด้านขวาเป็นตัวอย่างการหาค่า ควอร์ไทล์ที่ 1, 2, และ 3 จากกราฟ ได้เลยโดยไม่ต้องบวกหนึ่ง) cf (ความถีส่ ะสม) N 3N/4 2N/4 N/4 x (ข้อมูล) O Q1 Q2 Q3 18. ค่าการกระจายของข้อมูล - ค่ากลางของข้อมูลนั้นไม่สามารถบอกลักษณะข้อมูลได้อย่างสมบูรณ์ ควรใช้ค่าการกระจายควบคู่ กันด้วย ... ค่าการกระจายมาก แสดงว่าข้อมูลแตกต่างกัน ไม่เกาะกลุ่มกัน - การวัดการกระจายแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ การกระจายสัมบูรณ์ ซึ่งใช้สําหรับข้อมูลชุดนั้นเพียง ชุดเดียว และการกระจายสัมพัทธ์ ซึ่งใช้เปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลสองชุด - ค่าการกระจายจะต้องเป็นบวกหรือศูนย์เสมอ (เป็นศูนย์เมื่อข้อมูลทุกค่าเหมือนกันหมด) - การกระจายสัมบูรณ์ที่นิยมใช้ มี 4 แบบ คือ พิสัย, QD, MD, และ SD 19. พิสัย - เป็นค่าที่วัดได้รวดเร็ว แต่จะมีข้อผิดพลาดมากหากข้อมูลบางจํานวนมีค่าสูงเกินไป หรือต่ําเกินไป แบบผิดปกติ จึงเหมาะกับการวัดโดยคร่าวๆ ที่ไม่ต้องการความแม่นยํามากนัก - ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ ... พิสัย = Xmax − Xmin - ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ... พิสัย = Umax − Lmin Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 654 20. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (QD) ... บางครัง้ เรียกว่า กึ่งช่วงควอร์ไทล์ - การวัดที่ได้จะไม่ละเอียดนัก เพราะใช้เพียงข้อมูลที่ใกล้เคียงกับควอร์ไทล์ที่ 1 และ 3 เท่านั้น แต่ ก็มีส่วนดีเนื่องจากใช้ได้กับการแจกแจงความถี่ที่มี่อันตรภาคชั้นเปิด และใช้ได้กับข้อมูลชุดที่มีบาง จํานวนค่าสูงหรือต่ําเกินไปแบบผิดปกติ - ข้อมูลใดๆ ... QD = Q3 − Q1 2 21. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (MD) - เป็นค่าที่วัดได้ละเอียดกว่าสองแบบแรกเพราะคํานวณจากข้อมูลทุกตัว แต่มีข้อเสียที่การคํานวณ ยุ่งยากกว่า - ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ ... MD = ∑ |x − X| N 22. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( SD หรือ s ) - เป็นค่าที่นิยมใช้มากที่สุด เนื่องจากมีความละเอียด เชื่อถือได้ สามารถคํานวณได้ง่ายกว่าส่วน เบี่ยงเบนเฉลี่ย (โดยใช้สูตรที่จัดรูปแล้ว) และนําไปใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลขั้นสูงได้ - ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ ... ∑ (x − X)2 N s = ... จัดรูปได้ว่า s = ∑ x2 − X2 N - ค่า s2 เรียกว่าความแปรปรวน 23. สมบัติของค่าการกระจายสัมบูรณ์ - ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆ ตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ Yi = m Xi จะได้ว่าค่าการกระจายของข้อมูลชุด Y เป็น m เท่าของชุด X (ค่ากลาง ถูกกระทบทั้งการบวกและคูณ แต่ ค่าการกระจาย ถูกกระทบเฉพาะการคูณ) 24. สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน - ค่าของ M = ∑ (x − K)2 N นั้น จะน้อยที่สุดก็เมื่อ M = SD (เพราะ + c K = X) 25. การกระจายสัมพัทธ์ มี 4 แบบ คํานวณได้จากการกระจายสัมบูรณ์ โดยใช้คําว่า “สัมประสิทธิ์ ของ...” นําหน้า ได้แก่ - สัมประสิทธิ์ของพิสัย = Xmax − Xmin Xmax + Xmin - สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ - สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = = MD X - สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = Q3 − Q 1 Q3 + Q1 s X ... นิยมเรียกว่า สัมประสิทธิ์การแปรผัน 26. ค่ากลาง และค่าการกระจายสัมบูรณ์ มีหน่วยอย่างเดียวกับข้อมูล - ความแปรปรวน มีหน่วยเหมือนข้อมูลยกกําลังสอง - ค่าการกระจายสัมพัทธ์ ไม่มีหน่วย 27. แผนภาพกล่อง ช่วยให้มองการกระจายของข้อมูลในแต่ละส่วนย่อยๆ ได้ ... เขียนโดยอาศัย ข้อมูลต่ําสุด, ข้อมูลสูงสุด, และข้อมูลในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 1, 2, 3 ประกอบกันบนเส้นจํานวน ทํา ให้วิเคราะห์ได้ว่าข้อมูลในช่วงใด (ในบรรดา 4 ช่วง) ที่มีการกระจายมากกว่ากัน สมมติ xmin = 40 , Q1 = 43.5 , Q2 = 46 , Q3 = 50.5 , และ xmax = 52 จะได้แผนภาพดังรูป เรียกช่วง (Q 1 , Q2) และ (Q 2 , Q3) ว่า กล่อง เรียกช่วง (xmin , Q 1) และ (Q 3 , xmax) ว่า หนวด 40 42 44 46 48 50 52 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 655 28. ค่ามาตรฐาน (z) เป็นค่าที่ใช้เทียบข้อมูลที่ดึงมาจากต่างชุดกัน โดยปรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานให้เท่ากัน ... zi = xi − X (ไม่มีหน่วย) s - ค่า z ของข้อมูลที่ค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะเครื่องหมายบวก, น้อยกว่าค่าเฉลี่ยจะเป็นลบ, ตรงกับค่าเฉลี่ยพอดี จะเป็น 0 - อาจเขียนข้อมูลที่ตําแหน่ง z = c ในรูปแบบ x = X + c s ก็ได้ เช่น x − 2 s หมายถึงข้อมูลที่มีค่า z = −2 , หรือ X + 0.5 s หมายถึงข้อมูลที่มีค่า z = 0.5 29. สมบัติของค่ามาตรฐาน - ผลรวมของข้อมูลชุด z ใดๆ เป็น 0 เสมอ ∑ zi = 0 ... จึงได้ว่า z = 0 เสมอด้วย - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน sz = 1 เสมอ - The 95% Rule : “โดยทั่วไปข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z = −2 ถึง z = 2 จะมีปริมาณร้อยละ 95 ของ จํานวนข้อมูลทั้งหมด” ... หมายความว่าข้อมูลเกือบทุกค่าจะอยู่ในช่วง (x − 2 s, x + 2 s) และเราอาจ ประมาณ Range ≈ 4 s ก็ได้ (ใช้ประมาณค่า s จากพิสัย) 30. ลักษณะของเส้นโค้งของความถี่มี 3 แบบ (หรือกล่าวว่าลักษณะการแจกแจงมี 3 แบบ) คือ โค้ง ปกติ (โค้งรูประฆัง), โค้งเบ้ลาดทางซ้าย (หรือทางลบ), และโค้งเบ้ลาดทางขวา (หรือทางบวก) … ซึ่งโค้งแต่ละแบบ บอกความสัมพันธ์ระหว่าง X, Med, Mo ดังภาพ f f f โค้งปกติ โค้งเบ้ซ้าย โค้งเบ้ขวา x O x x O x < Med < Mo Mo < Med < x 31. เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งจะเท่ากับความถี่รวมพอดี (เป็นสิ่งที่ได้จากการสร้างฮิสโทแกรม) เราจึง สามารถคํานวณเกี่ยวกับการวัดตําแหน่งของข้อมูล (มัธยฐาน, ควอร์ไทล์, เดไซล์, เปอร์เซ็นไทล์) ได้ โดยจะศึกษาเฉพาะโค้งปกติ ซึง่ มีตารางในการหาค่าพื้นที่ใต้โค้ง 32. สิ่งสําคัญคือในตาราง พื้นที่ใต้โค้งรวมกันทั้งหมด (ความถี่รวม) จะถูกปรับให้เป็น 1.00 พอดี เพื่อให้การคํานวณง่ายขึ้น ... ค่าที่ระบุในตาราง แสดงพื้นที่ใต้โค้งที่วัดระหว่าง z=0 ไปถึง z ใดๆ โดย มองเพียงค่า z เป็นบวกเท่านั้น (ซีกขวาของโค้ง) เราสามารถหาพื้นที่ซีกซ้ายได้โดยอาศัยความ สมมาตรของรูปกราฟ A = 0.3 A = 0.15 - ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 65 มีค่า เท่าใด จากการเปิดตารางที่พื้นที่ 0.15 ซึ่งในตารางระบุว่า z=0.385 (จากนั้นนําไปคํานวณกลับเป็นค่าข้อมูล x ได้) x P20 P65 ในทํานองเดียวกัน เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 หาได้จากการเปิดตาราง z -0.841 0.385 ที่พื้นที่ 0.3 ได้ค่า z=0.841 แต่เนื่องจากเป็นพื้นที่ทางซีกซ้าย ค่า z ที่แท้จริงจึงเป็น -0.841 O x = Med = Mo x ใช้สูตร ←⎯⎯⎯ → z เปิดตาราง ←⎯⎯⎯ → A เทียบสัดส่วน ←⎯⎯⎯ → P, D, Q 33. หากเรามีคู่อันดับ (x, y) จํานวนหนึ่ง หลังจากสร้างแผนภาพการกระจายเพื่อดูลักษณะกราฟแล้ว เราจะหาความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ได้เป็นสมการในรูป y = f (x) เพื่อใช้ทํานายค่า y ณ จุด x ที่กําหนด - นิยมใช้ Y แทนค่าจริง และ Y แทนค่าที่ได้จากการประมาณด้วยฟังก์ชัน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ฉบับเขมขน 656 34. รูปแบบที่พบบ่อย คือฟังก์ชันเส้นตรง ... รูปทั่วไป Y = mX + c - หาค่าคงที่ m กับ c โดยสมการ Σy = mΣx + c N __________(1) Σxy = mΣx2 + cΣx ________(2) - การหาค่าพารามิเตอร์ด้วยสมการเหล่านี้ เรียกว่าระเบียบวิธีกําลังสองน้อยที่สุด ... เป็นวิธีที่ทําให้ ค่า y ที่ได้ มีความคลาดเคลื่อนกําลังสอง Σ (yi − Y)2 น้อยที่สุด - ถ้าลองนําสมการที่ (1) มาหารด้วย N จะพบว่าตรงตามสมบัติเดิม ... Y = mX + c 35. ถ้าโจทย์บอก ΔX และถาม ΔY ให้คิดจาก ΔY = m ⋅ ΔX ... (ไม่ขึ้นกับค่า c) เพราะในกราฟเส้นตรง อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y และ x จะดูที่ความชัน m เท่านั้น 36. ข้อควรระวังคือ สมการ y = f (x) ที่หาได้ไม่สามารถคํานวณค่า x เมื่อทราบ y ได้ ... ถ้า ต้องการประมาณค่า x จะต้องเปลี่ยนฟังก์ชันทั้งหมดเป็น x = f (y) (คือให้ y เป็นตัวแปรต้น) 37. หากข้อมูล X มีช่วงห่างเท่าๆ กัน เช่น ปี พ.ศ. แล้ว เราจะเรียกข้อมูล Y ว่าเป็นข้อมูลในรูป อนุกรมเวลา ซึ่งจะสามารถแทนค่า X ด้วยตัวเลขค่าน้อยๆ ได้เพื่อให้สะดวกในการคํานวณ - วิธีที่นิยมที่สุดคือ ให้ข้อมูลตรงกลางเป็นเลข 0 แล้วนับขึ้นลงเป็น ±1, ± 2 ... วิธีนจี้ ะทําให้ Σx = 0 จึงแก้ระบบสมการหา m, c ได้ง่าย - หากจํานวนข้อมูลเป็นจํานวนคู่ (ไม่มีจุดตรงกลาง) จะให้ปีระหว่างกลางนั้นเป็น ±1 และคู่ถัดไป เป็น ±3, ± 5 ไปเรื่อยๆ (รักษาระยะห่างให้เท่ากัน) แบบนี้จะช่วยให้ Σx = 0 เช่นเดิม ÃÒ¹ÒÁ¼ÙÁÕou»¡Òäu³ :] เหลียง ต้น | ปอน อั้ม บัว ปอง มดใหญ่ และน้องๆ 44 | จ๋า อิง๋ | ออม แนน พลอย โอ๊ต มด หนึ่ง กิฟ๊ | ตาล ปอบ รดี นิ้ง จอย ทราม เบนซ์ จิ๊ก | สุจนิ จิง วิว พิม เมย์ เบสท์ เข่ง มิมิ แพร นุ้ย เจน | เบสท์ อิม | ถาวร | แบงค์ | แอน เนย์ เภา ตูน หยุ่น ตั้ม ท้อป เต็ก อุย้ | เต๊าะ ยุ้ย | ภา มุก | คี้ บี๋ | แชมป์ | นาจา บาบูน บอย | ไอซ์ โน้ต พีม กร โอลีฟ ดล | พราว เต้ ต้า | เคน นัท บี | น้ํามนต์ กระต่าย อ้อ เก๋ แพรว นิว | น้าํ | อากิ ลิน ไพลิน แพนเค้ก | เมฆ | โอ๊ต | แนน ทิพ ปอนด์ เบลล์ จอย แอม ปอ เจี๊ยบ เหมี่ยว วัน แอม พลอย พี ปู ซี นก นุน่ ผึ้ง เจน ป๊อ แก้ว | ก้อง เพ้นท์ เป๊ะ ดิ๊บ | ไกด์ ปลา แน๊ต | บุ้งกี๋ พีจัง โอโอ้ พังก์ หญิง พี่ปิ เดียร์ | จูเนียร์ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) คณิตศาสตร O-NET / A-NET ดรรชนี 657 ´Ãê¹Õ กฎการแบ่งกลุ่ม กฎของคราเมอร์ กฎของโคไซน์ กฎของไซน์ กฎของโลปีตาล กฎมือขวา กฎลูกโซ่ ก็ต่อเมือ่ กรณฑ์ กราฟของความสัมพันธ์ กราฟของตรีโกณมิติ กราฟเชื่อมโยง กราฟถ่วงน้ําหนัก กราฟออยเลอร์ การกระจายสัมบูรณ์ การกระจายสัมพัทธ์ การแจกแจงความถี่ การแจกแจงปกติ การดําเนินการตามแถว การทดลองสุ่ม การให้เหตุผล การอ้างเหตุผล กําลังสองน้อยที่สดุ กําลังสองสมบูรณ์ กําหนดการเชิงเส้น กึ่งกลางชัน้ กึ่งกลางพิสยั กึ่งพิสัยควอร์ไทล์ แกนจริง/แกนจินตภาพ แกนตามขวาง แกนเอก/แกนโท แกนสังยุค ขนาน ขอบเขตบนน้อยสุด ขอบบน/ขอบล่าง ข้อมูลเชิงคุณภาพ/เชิงปริมาณ ข้อมูลปฐมภูม/ิ ทุติยภูมิ ขั้นตอนวิธกี ารหาร ขั้นตอนวิธขี องยุคลิด 337 216 172|229 172 306 238 310 60 188 124 165 272 274 272 378 381 384 384 215|216 345 69 65 389 95|98 147 361 370 378 252 102 100 102 86|233 42 361 359 360 48 49 ข่าวสาร (สารสนเทศ) ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย) ครอสโปรดัคท์ (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ควอดรันต์ (จตุภาค) ควอร์ไทล์ ความชัน ความต่อเนือ่ ง ความถี่ ความถีส่ ะสม/ความถี่สะสมสัมพัทธ์ ความถีส่ ัมพัทธ์ ความน่าจะเป็น ความแปรปรวน ความเยื้องศูนย์กลาง ความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์จาก A ไป B ความสัมพันธ์ภายใน A คอนเวอร์เจนต์ คอมพลีเมนต์ ค่ากลาง ค่าการกระจาย ค่าความจริง ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก คาบ ค่ามาตรฐาน ค่าวิกฤต ค่าสัมบูรณ์ คู่อันดับ แคแรกเทอริสติก แคลคูลัส โค้งความถี่ โค้งความถี่สะสม โค้งเบ้ โค้งปกติ/โค้งรูประฆัง โคไซน์แสดงทิศทาง โค-ฟังก์ชนั โคแฟกเตอร์ (ตัวประกอบร่วมเกีย่ ว) จตุภาค (ควอดรันต์) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 359 49 240 83 374 86|308 300 360 361 361 346 381 103 120 120|358 120|358 282|285 16 363 378 59 370 363 370 165 383 312 44|125|254 83|119 193 295|307 361 361|368 384 384 239 158 209 83 คณิตศาสตร O-NET / A-NET ดรรชนี 658 จริง/เท็จ จํานวนจริง จํานวนจินตภาพ จํานวนเฉพาะ จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ จํานวนเชิงซ้อน จํานวนตรรกยะ จํานวนเต็ม จํานวนนับ/จํานวนธรรมชาติ จํานวนประกอบ จํานวนอตรรกยะ จุดกําเนิด จุดเปลี่ยนความเว้า จุดยอด จุดยอดคี่/จุดยอดคู่ จุดยอดประชิด จุดศูนย์กลาง จุดสุดขีด จุดสูงสุด/จุดต่ําสุด ช่วง ช่วงครึง่ เปิด ช่วงเปิด/ช่วงปิด ซิกม่า ซิงกูลาร์เมตริกซ์ (เมตริกซ์เอกฐาน) เซต เซตจํากัด/เซตอนันต์ เซตว่าง แซมเปิลสเปซ (ปริภูมิตวั อย่าง) ฐานนิยม ดอทโปรดัคท์ (ผลคูณเชิงสเกลาร์) ดีกรี ดีเทอร์มินนั ต์ (ตัวกําหนด) เดไซล์ โดเมน ไดเรกตริกซ์ ไดเวอร์เจนต์ ต้นไม้แผ่ทั่ว ตรรกศาสตร์ ตรวจคําตอบ ตรีโกณมิติ ตั้งฉาก ตัวกําหนด (ดีเทอร์มินนั ต์) ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ตัวเชือ่ มประพจน์ ตัวบ่งปริมาณ 59 32 32|251 48 49 32|251 31 31 31 48 31 83 312 97|270 270 270 94|99|102 312 312 40 40 40 274 210 11 12 12 345 365 235 37|270 208 374 121|146 96 282|285 274 59 204 157 86|233 208 49 60 67 ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (โคแฟกเตอร์) ตัวผกผัน (อินเวอร์ส) ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ตัวอย่าง/ประชากร ตารางค่าความจริง ตารางแจกแจงความถี่ ต่ําสุดสัมพัทธ์/สัมบูรณ์ ตําแหน่งสัมพัทธ์ ถ่วงน้าํ หนัก ถ้า-แล้ว แถว ทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนาน ทรานสโพส ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจาํ นวน ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ ทฤษฎีบทตัวประกอบ ทฤษฎีบททวินาม ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทเศษเหลือ นิรนัย นิเสธ แนวเดิน ปฏิยานุพนั ธ์ ประชากร/ตัวอย่าง ประพจน์ ประโยคเปิด ปริพนั ธ์ (อินทิกรัล) ปริภูมิตวั อย่าง (แซมเปิลสเปซ) ปริภูมสิ ามมิติ ปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณสเกลาร์ เปลี่ยนตัวแปร เปอร์เซ็นไทล์ ผลคูณคาร์ทเี ซียน ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (ครอสโปรดัคท์) ผลคูณเชิงสเกลาร์ (ดอทโปรดัคท์) ผลต่างเซต ผลต่างร่วม ผลบวกย่อย ผลรวมเชิงเส้น ผลลัพธ์ แผนภาพกล่อง แผนภาพการกระจายตัว แผนภาพต้นไม้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 209 32|122 49 360 60 360 313 374 364 60 205 240 206 269 48 257 36 341 84 36 71 60|228 272 317 360 59 67 317 345 237 227 227 332 374 119 240 235 16 280 284 48|234 345 376 388 333 คณิตศาสตร O-NET / A-NET แผนภาพลําต้น-ใบ แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ พจน์/พจน์ทั่วไป พหุนามตัวแปรเดียว พาราโบลา พิกัดฉาก พิกัดเชิงขัว้ พิสัย (เรนจ์) พื้นที่ใต้โค้ง เพาเวอร์เซต โพรเจคชัน (ภาพฉาย) ฟังก์ชนั ฟังก์ชนั คอมโพสิท (ประกอบ) ฟังก์ชนั โคซีแคนต์ ฟังก์ชนั โคไซน์ ฟังก์ชนั โคแทนเจนต์ ฟังก์ชนั จาก A ไป B ฟังก์ชนั จาก A ไปทั่วถึง B ฟังก์ชนั จุดประสงค์ ฟังก์ชนั ซีแคนต์ ฟังก์ชนั ไซน์ ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ ฟังก์ชนั แทนเจนต์ ฟังก์ชนั ประกอบ (คอมโพสิท) ฟังก์ชนั ผกผัน (อินเวอร์ส) ฟังก์ชนั ผกผันของตรีโกณมิติ ฟังก์ชนั เพิ่ม/ฟังก์ชันลด ฟังก์ชนั ลอการิทมึ ฟังก์ชนั หนึ่งต่อหนึ่ง ฟังก์ชนั อาร์คฟังก์ชนั อินเวอร์ส (ผกผัน) ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล เฟสเซอร์ แฟคทอเรียล โฟกัส ภาคตัดกรวย ภาพฉาย (โพรเจคชัน) มัธยฐาน มิติ มุมก้ม/มุมเงย มุมกําหนดทิศทาง เมตริกซ์ เมตริกซ์จตั ุรัส เมตริกซ์แต่งเติม เมตริกซ์ผกผัน (อินเวอร์ส) ดรรชนี 659 362 15|346 279 36|259 96|125|388 83|233 233|256 121|146|378 319|385 13 89 127 131|146|310 157 157 157 128|358 128|358 148 157 157 157 157 131|146|310 133|146 169 129|312 192 128|358 169 133|146 189|389 268 335 96 92 89 84|365 205 173 239 205 206 215 211 เมตริกซ์ผูกพัน (แอดจอยท์) เมตริกซ์สามเหลีย่ ม เมตริกซ์เอกฐาน (ซิงกูลาร์เมตริกซ์) แมนทิสซา ไม่เกิดร่วมกัน ไม่ขึ้นต่อกัน (อิสระจากกัน) ไมเนอร์ ไม่มีลิมิต ยูเนียน ระนาบ ระนาบเชิงซ้อน ระบบสมการเชิงเส้น ระเบียบวิธีกาํ ลังสองน้อยทีส่ ุด ระยะตัดแกน รัศมี ราก (รู้ท) รากที่สอง รูปเชิงขัว้ รูปแบบยังไม่กําหนด รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ เรขาคณิตวิเคราะห์ เรเดียน เรนจ์ (พิสัย) ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐาน e) ลอการิทึมแบบเนเปียร์ ลอการิทึมสามัญ (ฐาน 10) ลําดับ ลําดับจํากัด/ลําดับอนันต์ ลําดับเลขคณิต/ลําดับเรขาคณิต ลิปดา ลิมิต ลิมิตซ้าย/ลิมิตขวา ลู่เข้า/ลูอ่ อก เลขชี้กาํ ลัง เลตัสเรคตัม เลื่อนแกน และ วงกลม วงกลมหนึง่ หน่วย วงจร/วงจรออยเลอร์ วงรี วงวน วัฏจักร วิถี/วิถีทสี่ ั้นที่สดุ วิธีจดั หมู่ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 212 210 210 193 346 346 209 282 16 83 252 216 389 86 94 188 58|188|257 256 298|306 361 83 160 121|146 193 193 193 279 280 280 158 282|295 295 282|285 187 97 93 60 94|125 158 272 99 270 274 274 337 คณิตศาสตร O-NET / A-NET วิธีเรียงสับเปลี่ยน เวกเตอร์ เวกเตอร์หนึง่ หน่วย เศษ (เศษเหลือ) สตาร์แอนด์บาร์ สถิติ สมการจุดประสงค์ สมการตรีโกณมิติ สมการปกติ สมการพหุนาม สมการลอการิทมึ สมการเส้นตรง สมการเอกซ์โพเนนเชียล สมบัติการแจกแจง สมบัติการตัดออก สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม สมบัติการสลับที่ สมบัติไตรวิภาค สมบัติปิด สมมูล สมเหตุสมผล สมาชิก ส่วนจริง/ส่วนจินตภาพ ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สังยุค สัจนิรันดร์ สับเซต สับเซตแท้ สัมประสิทธิ์การแปรผัน สัมประสิทธิ์ทวินาม สัมพัทธ์/สัมบูรณ์ สามสิ่งอันดับ สามเหลีย่ มบน/สามเหลี่ยมล่าง สามเหลีย่ มปาสคาล สารสนเทศ (ข่าวสาร) สํามะโน สูงสุดสัมพัทธ์/สัมบูรณ์ เส้นกํากับ เส้นโค้งของความถี่ เส้นจํานวน เส้นเชีอ่ ม/เส้นเชือ่ มขนาน เส้นตรง เส้นทแยงมุมหลัก ดรรชนี 660 335 227 233 36|48 340 359 148 162 389 36|259 195 86|280 191|280 33 33 33 32 39 31|32 60 65|71 11|119|205 251 378 379 379 254 63|65 12 13 381 341 313|378 238 206 341 359 360 313 102 361 40 270 86|125|388 206 เส้นสัมผัสวงกลม ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) หรือ หลัก หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ หาค่าไม่ได้ หารลงตัว หารสังเคราะห์ เหตุการณ์ องศา อนุกรม อนุกรมจํากัด/อนุกรมอนันต์ อนุกรมเลขคณิต/อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมเวลา อนุพันธ์ อนุพันธ์อนั ดับสูง อสมการ อสมการข้อจํากัด อัฐภาค อัตราการเปลี่ยนแปลง อัตราส่วนร่วม อันตรภาคชัน้ /อันตรภาคชั้นเปิด อาณาบริเวณทีห่ าคําตอบได้ อาร์คอินเตอร์เซกชัน อินทิกรัล (ปริพนั ธ์) อินทิกรัลจํากัดเขต อินทิกรัลไม่จาํ กัดเขต อินทิเกรต อินเวอร์ส อินเวอร์สของความสัมพันธ์ อินเวอร์สของฟังก์ชัน อินเวอร์สเมตริกซ์ (ผกผัน) อิสระจากกัน (ไม่ขึ้นต่อกัน) อุปนัย เอกภพสัมพัทธ์ เอกลักษณ์ เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ แอดจอยท์ (เมตริกซ์ผูกพัน) แอนติลอการิทึม แอมพลิจดู ฮิสโทแกรม ไฮเพอร์โบลา ไฮเพอร์โบลามุมฉาก Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข) 95 49 60 205 333 282 48|340 37 346 158|160 284 284 284 391 308 310 41 148 237 307 280 360 148 169 16 317 319 317 317 32|211|252 122|126 133 211 346 69 12 32|207|252 158|171 212 193 165 361|368 102 102|104|125 |
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4-6 pdf
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลิขสิทธิ์ © 2024 toptenid.com Inc.
