สมการกําลังสองตัวแปรเดียว ตัวอย่าง

ท่านผู้อ่านคงเคยทราบมาแล้วว่าพหุนาม เช่น 4x2, x2, x2 - 5, 3x2 + x และ x2 - 4x + 1เป็นพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียวคือ x พหุนามดังกล่าวมีรูปทั่วไปเป็น เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัว และ a≠0 เราจะได้เห็นการนำมาใช้ในสมการกำลังสองตัวแปรเดียวดังนี้

สมการซึ่งมี x เป็นตัวแปรและมีรูปทั่วไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัว และ a≠0 เรียกว่า สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ตัวอย่างของสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

ในบางครั้งเราอาจพบสมการกำลังสองตัวแปรเดียวที่ไม่ได้เขียนอยู่ในรูปทั่วไป แต่เราสามารถเขียนสมการเหล่านั้นให้อยู่ในรูปทั่วไปได้โดยใช้สมบัติของการเท่ากัน ดังตัวอย่าง

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าสมการ x2 - 1 = 3x, 2x(x + 5) = 7 และ x2 + 6 = -2x2 - 5 สามารถเขียนเป็นสมการ x2 - 3x - 1 = 0, 2x2 + 10x – 7 = 0 และ 3x2 + 11 = 0 ได้ตามลำดับ ดังนั้นแต่ละสมการดังกล่าวจึงเป็นสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

คำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียว คือ จำนวนจริงซึ่งเมื่อแทนตัวแปรในสมการแล้ว ทำให้สมการเป็นจริง

ท่านผู้อ่าน เคยทราบมาแล้วว่า การแก้สมการเป็นการหาคำตอบของสมการ วิธีหนึ่งที่ทำให้ได้คำตอบของสมการ คือ การลองแทนค่าตัวแปรในสมการ ซึ่งในทางคณิตศาสตร์สมการกำลังสองตัวแปรเดียวมีคำตอบได้ไม่เกินสองคำตอบ

แต่วิธีหาคำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียวโดยวิธีลองแทนค่าตัวแปรในสมการที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวและ a ≠ 0 อาจไม่สะดวกและอาจต้องใช้เวลามาก ในกรณีที่เราสามารถแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนาม แล้วจึงแทนค่าตัวแปรในสมการที่ได้ จะทำให้หาคำตอบได้สะดวกและรวดเร็วขึ้น เช่น

การหาคำตอบของสมการ x2 - 5x - 14 = 0

เนื่องจาก x2 - 5x - 14 = (x + 2)(x - 7)

จะได้ (x + 2)(x - 7) = 0

จะเห็นว่าเมื่อแทน x ด้วย -2 จะได้ (-2 + 2)(-2 - 7) = 0 เป็นสมการที่เป็นจริง

เมื่อแทน x ด้วย 7 จะได้ (7 + 2)(7 - 7) = 0 เป็นสมการที่เป็นจริง

นั่นคือ -2 และ 7 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 5x - 14 = 0

ถึงแม้ว่าการแยกตัวประกอบจะช่วยให้การหาจำนวนมาลองแทนค่าตัวแปรในสมการได้ง่ายขึ้นก็ตาม แต่สำหรับบางสมการ เช่น 6x2 + 11x + 4 = 0 จะเห็นว่าเมื่อเขียนให้อยู่ในรูป (3x + 4)(2x + 1) = 0 ก่อนแล้ว การหาจำนวนมาลองแทนค่า x เพื่อให้สมการเป็นจริง ก็ยังไม่ง่ายนัก ดังนั้นวิธีลองแทนค่าตัวแปรในสมการบางครั้งจึงไม่สะดวก ที่จริงแล้วยังมีอีกวิธีหนึ่งซึ่งเราสามารถใช้แก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวดังกล่าวได้ โดยใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบและใช้สมบัติของจำนวนจริงที่กล่าวว่า ถ้ามีจำนวนจริงสองจำนวนคูณกันเท่ากับศูนย์ แล้วอย่างน้อยหนึ่งจำนวนต้องเท่ากับศูนย์

สมบัติข้างต้นอาจกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า

ให้ a, b เป็นจำนวนจริงและ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ให้พิจารณาการแก้สมการ 6x2 + 11x + 4 = 0 ดังต่อไปนี้

6x2 + 11x + 4 = 0

(3x + 4)(2x + 1) = 0

จากสมบัติของจำนวนจริงข้างต้น จะได้

3x + 4 = 0 หรือ 2x + 1 = 0

เมื่อใช้ความรู้เรื่องการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะได้

3x = -4 หรือ 2x = -1

หรือ
นำค่า x ที่ได้ไปแทน x ในสมการ 6x2 + 11x + 4 = 0 เพื่อตรวจสอบว่าเป็นคำตอบของสมการหรือไม่ ดังนี้

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวในรูป x2 + bx + c = 0 หรือ -x2 + bx + c = 0 เมื่อ b และ c เป็นค่าคงตัว

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ x2 - 10x + 25 = 0