เฉลย การวิจัยเบื้องต้น 30000 1302

เอกสารประกอบการสอน วชิ าวทิ ยาศาสตร์เพอื่ งานเคร่ืองกลและการผลติ (Science for Mechanical Works) รหัสวชิ า 3000-1302 หลกั สูตรประกาศนียบตั รวชิ าชีพช้ันสูง พทุ ธศักราช 2557 นางอรทยั ซาเสน ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะชานาญการ แผนกวชิ าสามญั สัมพนั ธ์ วทิ ยาลยั เทคนิคอุบลราชธานี สานักงานคระกรรมการการอาชีวศึกษา กระทรวงศึกษาธิการ

คานา เอกสารประกอบการสอนวชิ าวทิ ยาศาสตร์เพ่ืองานเครื่องกลและการผลิต รหสั วิชา 3000-1302 เล่มน้ี จดั ทาข้ึนตรงตามจุดประสงค์รายวชิ า สมรรถนะรายวชิ าและคาอธิบายรายวิชา หลกั สูตรประกาศนียบตั ร วชิ าชีพช้นั สูง พุทธศกั ราช 2557 ของสานกั งานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา เน้ือหาในเอกสารประกอบการสอน แบ่งออกเป็ น 9 หน่วย ประกอบดว้ ยเวกเตอร์ แรงและสมดุล ของแรง การเคลื่อนที่ โมเมนตแ์ ละทอร์ก โมเมนตมั ปริมาณสารสัมพนั ธ์ สมบตั ิของของแขง็ ของเหลว และแก๊ส ความร้อนและการถ่ายโอนความร้อน และปิ โตรเลียมและผลิตภณั ฑ์ เมื่อศึกษาเอกสารประกอบ การสอนน้ีแลว้ จะสามารถเขา้ ใจหลกั การพ้ืนฐานทางวิทยาศาสตร์ ทาให้เกิดภูมิรู้พ้ืนฐานเพียงพอที่จะ นาไปใชป้ ระโยชน์ต่อการศึกษารายวชิ าชีพอื่นๆ ต่อไป นอกจากน้ียงั มีการบูรณาการความรู้ดา้ นคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยมและลกั ษณะอนั พึงประสงคไ์ วใ้ นกิจกรรมการเรียนการสอนดว้ ย เพ่ือให้ผเู้ รียนประสบ ความสาเร็จเป็นคนเก่ง คนดีและเรียนอยา่ งมีความสุข ในการจดั ทาเอกสารประกอบการสอนน้ีได้รับความอนุเคราะห์จากคณาจารย์ ผูท้ รงคุณวุฒิ และ ครูผสู้ อน จากสถาบนั ต่างๆ ช่วยตรวจสอบขอ้ มูลและให้คาแนะนาในการจดั ทาเอกสารประกอบการสอน ดงั กล่าวน้ี ผจู้ ดั ทาหวงั เป็ นอยา่ งยิ่งว่าเอกสารประกอบการสอนวชิ าวิทยาศาสตร์เพ่ืองานเครื่องกลและการ ผลิตเล่มน้ีจะเป็ นประโยชน์แก่ผเู้ รียนและผทู้ ี่นาไปประยกุ ตใ์ ชเ้ ป็ นอยา่ งดี ความดีของเอกสารประกอบการ สอนเล่มน้ีสาเร็จข้ึนไดข้ อมอบแก่บิดามารดา ครูอาจารย์และผูม้ ีพระคุณทุกท่าน หากเกิดขอ้ ผิดพลาด ประการใดหรือมีขอ้ เสนอแนะ ผจู้ ดั ทายนิ ดีนอ้ มรับ ดว้ ยความขอบพระคุณเป็นอยา่ งยง่ิ อรทยั ซาเสน

สารบญั หน้า เรื่อง ก ข คานา ค สารบัญ ง สารบัญภาพ จ หลกั สูตรรายวชิ า ฉ คาชี้แจงการใช้เอกสารประกอบการสอน ช ตารางวเิ คราะห์หน่วยการเรียนรู้ ฎ ตารางวเิ คราะห์เนือ้ หาทส่ี อดคล้องกบั จุดประสงค์รายวชิ าและมาตรฐานรายวชิ า 1 โครงการสอน 3 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เวกเตอร์ 6 8 แบบทดสอบก่อนเรียนหน่วยท่ี 1 22 1.1 ปริมาณทางฟิ สิกส์ 23 1.2 องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 33 1.3 การบวกเวกเตอร์ 34 1.4 การคูณเวกเตอร์ 36 แบบฝึกหดั ที่ 1.1 39 แบบฝึกหดั ท่ี 1.2 40 แบบทดสอบหลงั เรียนหน่วยที่ 1 42 เฉลยแบบฝึกหดั ท่ี 1.1 43 เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 1.2 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียนหน่วยท่ี 1 เอกสารอา้ งอิง

สารบัญภาพ หน้า ภาพที่ 6 7 1.1 เวกเตอร์ 1 เวกเตอร์ และเวกเตอร์ลบ 7 1.2 แสดงลูกศรแทนเวกเตอร์ 8 1.3 แสดงลูกศรแทนเวกเตอร์ตรงขา้ ม 9 1.4 ส่วนประกอบของเวกเตอร์ 10 1. 5 การบวกเวกเตอร์ดว้ ยส่วนประกอบของเวกเตอร์ 24 1.6 ส่วนประกอบของเวกเตอร์ V ตามแนวแกน x, y และ z 26 1.7 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 1.8 ผลคูณเชิงเวกเตอร์

วชิ า วทิ ยาศาสตร์เพอ่ื งานเคร่ืองกลและการผลติ รหัสวชิ า 3000-1302 (2-2-3) หลกั สูตรประกาศนียบตั รวชิ าชีพช้ันสูง ประเภทวชิ าเทคนิคเคร่ืองกล และเทคนิคการผลติ พทุ ธศักราช 2557 สาขาวชิ าเทคนิคยานยนต์ และเคร่ืองมอื กล จุดประสงค์รายวชิ า 1. มีความรู้ความเขา้ ใจเก่ียวกบั เวกเตอร์ การรวมและการคูณเวกเตอร์ แรงและสมดุลของแรง การเคลื่อนที่ โมเมนต์และทอร์ก โมเมนตมั สมบตั ิของแข็ง ของเหลวและแก๊ส ปริมาณสารสัมพนั ธ์ ความร้อนและการถ่ายโอนความร้อน ปิ โตรเลียมและผลิตภณั ฑ์ 2. มีทกั ษะการคานวณ การทดลอง การวเิ คราะห์และสามารถนาไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นงานอาชีพ 3. มีเจตคติท่ีดีตอ่ วทิ ยาศาสตร์และกิจนิสยั ท่ีดีในการทางาน สมรรถนะรายวชิ า 1. แสดงความรู้เกี่ยวกบั เวกเตอร์ แรง โมเมนตแ์ ละสมดุลของแรง การเคลื่อนที่ โมเมนตมั ของแข็ง ของเหลวและแกส๊ ปริมาณสารสัมพนั ธ์ ความร้อนและการถ่ายโอนความร้อน 2. คานวณขอ้ มูลเกี่ยวกบั เวกเตอร์ แรง การเคลื่อนท่ี โมเมนตมั ตามหลกั การ 3. สารวจตรวจสอบเกี่ยวกบั สมบตั ิของแขง็ ของเหลว และแก๊ส ปริมาณสารสัมพนั ธ์ ความร้อนและ การถ่ายโอนความร้อน ปิ โตรเลียมและผลิตภณั ฑต์ ามกระบวนการทางวทิ ยาศาสตร์ 4. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้จากการศึกษาวทิ ยาศาสตร์งานเคร่ืองกลและการผลิตในงานอาชีพ คาอธิบายรายวชิ า ศึกษาและปฏิบตั ิเก่ียวกบั เวกเตอร์ การรวมและการคูณเวกเตอร์ แรงและสมดุลของแรง การเคลื่อนที่ โมเมนต์และทอร์ก โมเมนตมั สมบตั ิของแข็ง ของเหลว และแก๊ส ปริมาณสารสัมพนั ธ์ ความร้อนและ การถ่ายโอนความร้อน ปิ โตรเลียมและผลิตภณั ฑ์

คาชี้แจงการใช้เอกสารประกอบการสอน วชิ าวทิ ยาศาสตร์เพอื่ งานเครื่องกลและการผลติ รหสั วชิ า 3000-1302 หลกั สูตรประกาศนียบัตรวชิ าชีพช้ันสูง พทุ ธศักราช 2557 ประเภทวชิ าเทคนิคเคร่ืองกลและเทคนิคการผลติ สาขาวชิ าเทคนิคยานยนต์และเคร่ืองมอื กล …………………………………………………. เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าวทิ ยาศาสตร์เพ่ืองานเครื่องกลและการผลิตเล่มน้ี แบ่งหน่วยการ เรียนออกเป็น 9 หน่วยการเรียน โดยมีคาช้ีแจงในการใชเ้ อกสารประกอบการเรียนการสอน ดงั น้ี 1. ครูผสู้ อนควรศึกษาเน้ือหาในเอกสารประกอบการเรียนการสอนใหเ้ ขา้ ใจอยา่ งละเอียด 2. ครูผสู้ อนควรจดั เตรียมเอกสารใหค้ รบกบั จานวนผเู้ รียน และจดั เตรียมส่ือการเรียนการสอนและวสั ดุ อุปกรณ์ต่าง ๆ ใหพ้ ร้อมก่อนทาการสอนทุกคร้ัง 3. ขณะที่ผเู้ รียนศึกษาเอกสารประกอบการเรียนการสอน ครูควรคอยดูแลอยา่ งใกลช้ ิดและคอยให้ คาปรึกษาแก่ผเู้ รียนเมื่อเกิดปัญหา 4. หลงั จากผูเ้ รียนศึกษาเน้ือหาในแต่ละหน่วยการเรียนจนเขา้ ใจชดั เจนดีแลว้ ให้ผูเ้ รียนทาแบบ ประเมินผลการเรียนรู้หลงั เรียน แล้วนาผลคะแนนที่ได้ไปเปรียบเทียบคะแนนก่อนเรียน เพื่อวดั ความกา้ วหนา้ ของผเู้ รียนแตล่ ะคน 5. หลงั จากน้นั ใหน้ กั ศึกษาทุกคน ศึกษาเน้ือหาในหน่วยการเรียนตอ่ ไป จนครบทุกหน่วยการเรียน

ตารางวเิ คราะห์หน่วยการเรียนรู้ วชิ าวทิ ยาศาสตร์เพอ่ื งานเครื่องกลและการผลติ (Science for Mechanical Works) รหัสวชิ า 3000-1302 (2-2-3) จานวน 4 ช่ัวโมง/สัปดาห์ หน่วยที่ ชื่อหน่วยการสอน จานวนชั่วโมง 1 เวกเตอร์ 8 2 แรงและสมดุลของแรง 12 3 การเคลื่อนท่ี 8 4 โมเมนตแ์ ละทอร์ก 8 5 โมเมนตมั 8 6 ปริมาณสารสมั พนั ธ์ 4 7 สมบตั ิของของแขง็ ของเหลว และแก๊ส 12 8 ความร้อนและการถ่ายโอนความร้อน 8 9 ปิ โตรเลียมและผลิตภณั ฑ์ 4 รวม 72

ตารางวเิ คราะห์เนือ้ หาทส่ี อดคล้องกบั จุดประสงค์รายวชิ าและมาตรฐานรายวชิ า วชิ าวทิ ยาศาสตร์เพอ่ื งานเคร่ืองกลและการผลติ (Science for Mechanical Works) รหัสวชิ า 3000-1302 (2-2-3) จานวน 4 ชั่วโมง/สัปดาห์ สมรรถนะ ช่ือหน่วย จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม แสดงความรู้เก่ียวกบั 1. เวกเตอร์ เวกเตอร์ 1.1 ปริมาณทางฟิ สิกส์ 1. บอกความหมายปริมาณสเกลาร์ไดถ้ ูกตอ้ ง 1.2 องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 2. บอกความหมายปริมาณเวกเตอร์ไดถ้ ูกตอ้ ง แสดงความรู้เก่ียวกบั แรง 1.3 การบวกเวกเตอร์ 3. คานวณองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ และสมดุลของแรง 1.4 การคูณเวกเตอร์ ในระบบพกิ ดั ฉาก 2 มิติ และ 3 มิติไดถ้ ูกตอ้ ง 4. คานวณผลลพั ธ์ของการบวกเวกเตอร์ 2. แรงและสมดุลของแรง ในระบบพิกดั ฉาก 2 มิติ 3 มิติไดถ้ ูกตอ้ ง 2.1 แรงชนิดตา่ ง ๆ 5. คานวณผลลพั ธ์ของผลคูณเชิงสเกลาร์ 2.2 การแยกแรงในแนวแกนสมมุติ ไดถ้ ูกตอ้ ง 2.3 จุดศนู ยถ์ ่วงและจุดเซนทรอยด์ 6. คานวณผลลพั ธ์ของผลคูณเชิงเวกเตอร์ 2.4 จุดศนู ยก์ ลางมวล ไดถ้ ูกตอ้ ง 2.5 สมดุลของแรง 1. บอกแรงชนิดตา่ งๆไดถ้ ูกตอ้ ง 2. คานวณองคป์ ระกอบของแรงในแนวแกน สมมุติไดถ้ ูกตอ้ ง 3. คานวณจุดศูนยถ์ ่วงของวตั ถุรูปทรงตา่ งๆ ไดถ้ ูกตอ้ ง 4. คานวณจุดเซนทรอยดข์ องวตั ถุรูปทรง เรขาคณิตไดถ้ ูกตอ้ ง 5. คานวณจุดศูนยก์ ลางมวลของวตั ถุรูปทรง เรขาคณิตไดถ้ ูกตอ้ ง 6. คานวณสมดุลของแรงไดถ้ ูกตอ้ ง

สมรรถนะ ช่ือหน่วย จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม แสดงความรู้เก่ียวกบั การ เคลื่อนท่ี 3. การเคลอ่ื นที่ 1. บอกปริมาณที่เก่ียวขอ้ งกบั การเคลื่อนที่ 3.1 ปริมาณท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั การ ไดถ้ ูกตอ้ ง เคลื่อนท่ี 2. คานวณปริมาณตา่ ง ๆ ของการเคล่ือนที่ 3.2 การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ ไดถ้ ูกตอ้ ง 3.3 การเคลื่อนที่แบบวงกลม 3. อธิบายการเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 3.4 การเคล่ือนที่แบบซิมเปิ ลฮาร์ ไดถ้ ูกตอ้ ง มอนิก 4. คานวณการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ไดถ้ ูกตอ้ ง แสดงความรู้เกี่ยวกบั 4. โมเมนต์และทอร์ก 5. อธิบายการเคลื่อนท่ีแบบวงกลมไดถ้ ูกตอ้ ง โมเมนตแ์ ละทอร์ก 4.1 ทอร์กและโมเมนต์ 6. คานวณการเคลื่อนที่แบบวงกลมไดถ้ ูกตอ้ ง 4.2 โมเมนตค์ วามเฉ่ือย 7. อธิบายการเคลื่อนท่ีแบบซิมเปิ ลฮาร์มอนิก 4.3 การหมุนของวตั ถุแขง็ เกร็ง ไดถ้ ูกตอ้ ง 8. คานวณการเคล่ือนท่ีแบบซิมเปิ ลฮาร์มอนิก ไดถ้ ูกตอ้ ง 1. บอกความหมายของทอร์กและโมเมนต์ ไดถ้ ูกตอ้ ง 2. คานวณทอร์กและโมเมนตไ์ ดถ้ ูกตอ้ ง 3. บอกความหมายโมเมนตค์ วามเฉื่อย ไดถ้ ูกตอ้ ง 4. คานวณโมเมนตค์ วามเฉื่อยไดถ้ ูกตอ้ ง 5. คานวณปริมาณท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั การหมุน ของวตั ถุแขง็ เกร็งไดถ้ ูกตอ้ ง

สมรรถนะ ช่ือหน่วย จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม แสดงความรู้เกี่ยวกบั โมเมนตมั 5. โมเมนตัม 1. บอกความหมายโมเมนตมั ไดถ้ ูกตอ้ ง 5.1 โมเมนตมั 2. คานวณโมเมนตมั ไดถ้ ูกตอ้ ง 5.2 การดล 3. อธิบายการดลของวตั ถุไดถ้ ูกตอ้ ง 5.3 กฎการอนุรักษโ์ มเมนตมั 4. คานวณโดยใชก้ ฎการอนุรักษข์ องโมเมนตมั 5.4 การชนแบบยดื หยนุ่ และไม่ ไดถ้ ูกตอ้ ง ยดื หยนุ่ 5. คานวณการชนแบบยดื หยุน่ และไมย่ ดื หยนุ่ ไดถ้ ูกตอ้ ง สารวจตรวจสอบ 6. ปริมาณสารสัมพนั ธ์ เกี่ยวกบั ปริมาณสาร 6.1 มวลเชิงอะตอม 1. บอกความหมายมวลเชิงอะตอมไดถ้ ูกตอ้ ง สัมพนั ธ์ 6.2 มวลเชิงโมเลกุล 2. คานวณมวลเชิงอะตอมไดถ้ ูกตอ้ ง 6.3 โมล 3. บอกความหมายมวลเชิงโมเลกลุ ไดถ้ ูกตอ้ ง 6.4 สูตรเคมี 4. คานวณมวลเชิงโมเลกลุ ไดถ้ ูกตอ้ ง 6.5 สมการเคมี 5. บอกความหมายจานวนโมลไดถ้ ูกตอ้ ง 6. คานวณจานวนโมลไดถ้ ูกตอ้ ง สารวจตรวจสอบ 7. สมบตั ิของของแข็ง ของเหลว และ 7. เขียนสูตรเคมีไดถ้ ูกตอ้ ง เก่ียวกบั สมบตั ิของ แก๊ส 8. ดุลสมการเคมีไดถ้ ูกตอ้ ง ของแขง็ ของเหลว และ 7.1 สมบตั ิของของแขง็ 1. อธิบายสมบตั ิของของแขง็ ไดถ้ ูกตอ้ ง แกส๊ 7.1.1 สมบตั ิและลกั ษณะทวั่ ไปของ 2. อธิบายเกี่ยวกบั การจดั เรียงอนุภาคในผลึก ไดถ้ ูกตอ้ ง ของแขง็ 3. อธิบายการเปลี่ยนแปลงสถานะของของแขง็ 7.1.2 การจดั เรียงอนุภาคในผลึก ไดถ้ ูกตอ้ ง 7.1.3 การเปล่ียนแปลงสถานะของ 4. อธิบายสมบตั ิทว่ั ไปของของเหลวไดถ้ ูกตอ้ ง ของแขง็ 5. บอกความสัมพนั ธ์ระหวา่ งจุดเดือดกบั 7.2 สมบตั ิของของเหลว ความดนั ไอของของเหลวไดถ้ ูกตอ้ ง 7.2.1 ลกั ษณะและสมบตั ิทว่ั ไปของ 6. บอกความสมั พนั ธ์ระหวา่ งค่าความร้อน ของเหลว ของการกลายเป็นไอกบั จุดเดือดไดถ้ ูกตอ้ ง 7.2.2 จุดเดือดของของเหลว 7. อธิบายสมบตั ิของแกส๊ ไดถ้ ูกตอ้ ง 7.2.3 ความร้อนของการกลายเป็นไอ 8. อธิบายความสัมพนั ธ์ระหวา่ งปริมาตร ความดนั และอุณหภมู ิของแกส๊ ไดถ้ ูกตอ้ ง

สมรรถนะ ชื่อหน่วย จุดประสงค์เชิงพฤตกิ รรม 9. คานวณหาปริมาณต่าง ๆ โดยใชค้ วามสมั พนั ธ์ สารวจตรวจสอบ 7.3 สมบตั ิของแกส๊ ระหวา่ งปริมาณตามกฎของแกส๊ อุดมคติ ไดถ้ ูกตอ้ ง เก่ียวกบั สมบตั ิของ 7.3.1 สมบตั ิของแก๊ส 1. บอกความหมายของปริมาณความร้อน ของแขง็ ของเหลว และ 7.3.2 ความสมั พนั ธ์ของปริมาตร ไดถ้ ูกตอ้ ง 2. อธิบายการถ่ายโอนพลงั งานความร้อน แกส๊ ความดนั และอุณหภมู ิของแกส๊ ไดถ้ ูกตอ้ ง 3. อธิบายการเปลี่ยนรูปพลงั งานความร้อน 7.3.3 กฏของแก๊สในอุดมคติ ไดถ้ ูกตอ้ ง 4. อธิบายการนา การพา และการแผร่ ังสีของ สารวจตรวจสอบ 8. ความร้อนและการถ่ายโอน ความร้อน ไดถ้ ูกตอ้ ง 5. นาความรู้เรื่องความร้อนและการถ่ายโอน เก่ียวกบั ความร้อนและ ความร้อน ความร้อน ไปประยกุ ตใ์ ชป้ ระโยชน์ใน ชีวติ ประจาวนั ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม การถ่ายโอนความร้อน 8.1 ปริมาณความร้อน 1. อธิบายความหมายของปิ โตรเลียมไดถ้ ูกตอ้ ง 8.2 การถ่ายโอนความร้อน 2. อธิบายการกาเนิดปิ โตรเลียมไดถ้ ูกตอ้ ง 3. บอกวธิ ีการสารวจแหล่งปิ โตรเลียม 8.3 การเปล่ียนรูปพลงั งานความร้อน ไดถ้ ูกตอ้ ง 4. อธิบายกระบวนการกลน่ั น้ามนั ดิบไดถ้ ูกตอ้ ง 8.4 การนา การพา และการแผร่ ังสี 5. บอกผลิตภณั ฑท์ ี่ไดจ้ ากปิ โตรเลียมไดถ้ ูกตอ้ ง 6. นาความรู้เรื่องปิ โตรเลียมและผลิตภณั ฑ์ไป ของความร้อน ประยกุ ตใ์ ชป้ ระโยชนใ์ นชีวิตประจาวนั ไดอ้ ยา่ ง เหมาะสม สารวจตรวจสอบ 9. ปิ โตรเลยี มและผลติ ภัณฑ์ เก่ียวกบั ปิ โตรเลียมและ 9.1 กาเนิดปิ โตรเลียม ผลิตภณั ฑ์ 9.2 การสารวจแหล่งปิ โตรเลียม 9.3 กระบวนการกลนั่ น้ามนั ดิบ 9.4 ผลิตภณั ฑท์ ่ีไดจ้ ากปิ โตรเลียม

โครงการสอน วชิ าวทิ ยาศาสตร์เพอ่ื งานเครื่องกลและการผลติ (Science for Mechanical Works) รหสั วชิ า 3000-1302 (2-2-3) จานวน 4 ชั่วโมง/สัปดาห์ สัปดาห์ที่ หน่วยการเรียน เวลาเรียน (ชั่วโมง) 1-2 หน่วยท่ี 1 เวกเตอร์ 8 แบบทดสอบก่อนเรียน 1.1 ปริมาณทางฟิ สิกส์ 1.2 องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 1.3 การบวกเวกเตอร์ 1.4 การคูณเวกเตอร์ แบบฝึกหดั ที่ 1.1 แบบฝึกหดั ที่ 1.2 แบบทดสอบหลงั เรียน 3-5 หน่วยที่ 2 แรงและสมดุลของแรง 12 แบบทดสอบก่อนเรียน 2.1 แรงชนิดตา่ ง ๆ 2.2 การแยกแรงในแนวแกนสมมุติ 2.3 จุดศนู ยถ์ ่วงและจุดเซนทรอยด์ 2.4 จุดศูนยก์ ลางมวล 2.5 สมดุลของแรง แบบฝึกหดั ท่ี 2.1 แบบฝึกหดั ท่ี 2.2 แบบฝึกหดั ที่ 2.3 แบบทดสอบหลงั เรียน 6-7 หน่วยที่ 3 การเคลอ่ื นท่ี 8 แบบทดสอบก่อนเรียน 3.1 ปริมาณที่เก่ียวขอ้ งกบั การเคล่ือนท่ี 3.2 การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ 3.3 การเคลื่อนที่แบบวงกลม 3.4 การเคล่ือนท่ีแบบซิมเปิ ลฮาร์มอนิก แบบฝึกหดั ท่ี 3.1

สัปดาห์ท่ี หน่วยการเรียน เวลาเรียน (ช่ัวโมง) 8-9 แบบฝึกหดั ที่ 3.2 8 แบบทดสอบหลงั เรียน 10-11 8 หน่วยท่ี 4 โมเมนต์และทอร์ก 12 แบบทดสอบก่อนเรียน 4 4.1 ทอร์กและโมเมนต์ 4.2 โมเมนตค์ วามเฉื่อย 4.3 การหมุนของวตั ถุแขง็ เกร็ง แบบฝึกหดั ที่ 4.1 แบบฝึกหดั ที่ 4.2 แบบทดสอบหลงั เรียน หน่วยท่ี 5 โมเมนตมั แบบทดสอบก่อนเรียน 5.1 โมเมนตมั 5.2 การดล 5.3 กฎการอนุรักษโ์ มเมนตมั 5.4 การชนแบบยดื หยนุ่ และไมย่ ดื หยนุ่ แบบฝึกหดั ท่ี 5.1 แบบฝึกหดั ที่ 5.2 แบบทดสอบหลงั เรียน หน่วยที่ 6 ปริมาณสารสัมพันธ์ แบบทดสอบก่อนเรียน 6.1 มวลเชิงอะตอม 6.2 มวลเชิงโมเลกลุ 6.3 โมล 6.4 สูตรเคมี 6.5 สมการเคมี แบบฝึกหดั ท่ี 6.1 แบบฝึกหดั ที่ 6.2 แบบทดสอบหลงั เรียน

สัปดาห์ท่ี หน่วยการเรียน เวลาเรียน (ช่ัวโมง) 13-15 12 หน่วยท่ี 7 สมบัติของของแข็ง ของเหลว และแก๊ส 16-17 แบบทดสอบก่อนเรียน 8 7.1 สมบตั ิของของแขง็ 7.1.1 สมบตั ิและลกั ษณะทวั่ ไปของของแขง็ 7.1.2 การจดั เรียงอนุภาคในผลึก 7.1.3 การเปลี่ยนแปลงสถานะของของแขง็ 7.2 สมบตั ิของของเหลว 7.2.1 ลกั ษณะและสมบตั ิทว่ั ไปของของเหลว 7.2.2 จุดเดือดของของเหลว 7.2.3 ความร้อนของการกลายเป็ นไอ 7.3 สมบตั ิของแกส๊ 7.3.1 สมบตั ิของแกส๊ 7.3.2 ความสมั พนั ธ์ของปริมาตร ความดนั และอุณหภูมิของแก๊ส 7.3.3 กฏของแกส๊ ในอุดมคติ แบบฝึกหดั ที่ 7.1 แบบฝึกหดั ท่ี 7.2 แบบฝึกหดั ที่ 7.3 แบบทดสอบหลงั เรียน หน่วยที่ 8 ความร้อนและการถ่ายโอนความร้อน แบบทดสอบก่อนเรียน 8.1 ปริมาณความร้อน 8.2 การถ่ายโอนความร้อน 8.3 การเปล่ียนรูปพลงั งานความร้อน 8.4 การนา การพา และการแผร่ ังสีของความร้อน แบบฝึกหดั ที่ 8.1 แบบฝึกหดั ที่ 8.2 แบบทดสอบหลงั เรียน

สัปดาห์ท่ี หน่วยการเรียน เวลาเรียน (ช่ัวโมง) 18 4 หน่วยท่ี 9 ปิ โตรเลียมและผลติ ภณั ฑ์ แบบทดสอบก่อนเรียน 72 9.1 กาเนิดปิ โตรเลียม 9.2 การสารวจแหล่งปิ โตรเลียม 9.3 กระบวนการกลนั่ น้ามนั ดิบ 9.4 ผลิตภณั ฑท์ ี่ไดจ้ ากปิ โตรเลียม แบบฝึกหดั ท่ี 9.1 แบบฝึกหดั ที่ 9.2 แบบทดสอบหลงั เรียน รวม วธิ ีสอนและกจิ กรรมการเรียนการจัดการเรียนรู้ 1. วธิ ีสอนแบบบรรยาย โดยการเสนอขอ้ มลู และปัญหาทางวทิ ยาศาสตร์ท่ีเป็นปัจจุบนั เพอื่ นาเขา้ สู่ การบรรยาย มีการต้งั คาถามระหวา่ งการจดั การเรียนรู้ 2. วธิ ีสอนแบบอภิปราย แบ่งผเู้ รียนออกเป็นกลุ่มแบง่ หวั ขอ้ ใหแ้ ตล่ ะกลุ่มไปศึกษาอภิปรายแลว้ นา ผลมานาเสนอ ผสู้ อนเป็ นผคู้ วบคุมการอภิปรายและสรุป 3. วธิ ีการสาธิต ผสู้ อนแสดงข้นั ตอนการปฏิบตั ิใหผ้ เู้ รียนดูแลว้ ใหผ้ เู้ รียนปฏิบตั ิตาม หลงั จากน้นั ใหท้ ากิจกรรมที่กาหนด ภายใตก้ ารควบคุม ช้ีแนะของครูผสู้ อน 4. ทาแบบฝึกหดั ตามกิจกรรมการเรียนการสอนทา้ ยบทเรียน 5. ทารายงานสรุปผลการศึกษาคน้ ควา้ และอภิปราย 6. วดั และประเมินผล จากแบบฝึกหดั แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนหลงั เรียน ส่ือการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าวทิ ยาศาสตร์เพ่ืองานเคร่ืองกลและการผลิต รหสั วชิ า 3000-1302 2. แผน่ วดิ ิทศั น์ 3. เคร่ืองคอมพวิ เตอร์และโปรเจคเตอร์ 4. เพาเวอร์พอยต์ (Power point) 5. สื่อ อุปกรณ์ประกอบการทดลอง

การวดั ผลและประเมินผล การวดั ผล อตั ราส่วนคะแนนเก็บ : คะแนนคุณธรรม = 80 : 20 มีรายละเอียดดงั น้ี คะแนนเก็บ 80 คะแนน ประกอบดว้ ย - รายงานโครงงานวทิ ยาศาสตร์ จานวนคะแนน 10 - ประเมินผลระหวา่ งเรียน จานวนคะแนน 20 - ประเมินผลกลางภาคเรียน จานวนคะแนน 20 - ประเมินผลปลายภาคเรียน จานวนคะแนน 30 คะแนนคุณธรรม จริยธรรม 20 คะแนน ประกอบดว้ ย - การมีมนุษยสัมพนั ธ์ จานวนคะแนน 4 - ความมีวนิ ยั จานวนคะแนน 4 - ความรับผดิ ชอบ จานวนคะแนน 4 - ความเช่ือมน่ั ในตนเอง จานวนคะแนน 4 - ความสนใจใฝ่ รู้ จานวนคะแนน 4 รวม 100 คะแนน การประเมินผล ตดั สินผลการเรียนแบบอิงเกณฑ์ แบ่งเป็น 8 ระดบั ดงั น้ี ช่วงคะแนนดิบ 80 – 100 คะแนน ไดร้ ะดบั ผลการเรียน 4 (ดีเยยี่ ม) ช่วงคะแนนดิบ 75 - 79 คะแนน ไดร้ ะดบั ผลการเรียน 3.5 (ดีมาก) ช่วงคะแนนดิบ 70 - 74 คะแนน ไดร้ ะดบั ผลการเรียน 3 (ดี) ช่วงคะแนนดิบ 65 - 69 คะแนน ไดร้ ะดบั ผลการเรียน 2.5 (ปานกลาง) ช่วงคะแนนดิบ 60 - 64 คะแนน ไดร้ ะดบั ผลการเรียน 2 (พอใช)้ ช่วงคะแนนดิบ 55 - 59 คะแนน ไดร้ ะดบั ผลการเรียน 1.5 (คอ่ นขา้ งอ่อน) ช่วงคะแนนดิบ 50 - 54 คะแนน ไดร้ ะดบั ผลการเรียน 1 (อ่อน) ช่วงคะแนนดิบ 0 - 49 คะแนน ไดร้ ะดบั ผลการเรียน 0 (อ่อนมาก)

หน่วยที่ 1 เวกเตอร์ สาระสาคญั ในทางฟิ สิกส์และวศิ วกรรม การทราบจานวนและหน่วยของปริมาณใดปริมาณหน่ึงจะไมเ่ พียงพอ สาหรับอธิบายปริมาณน้นั ๆ ใหส้ มบูรณ์ได้ การเดินไปทางทิศเหนือ 2 กิโลเมตร ยอ่ มมีตาแหน่งแตกต่าง จากการเดินไปทางทิศตะวนั ออก 2 กิโลเมตร การกล่าวเพยี งส้ัน ๆ วา่ เราไดเ้ ดินทางไปแลว้ 2 กิโลเมตร จะไมส่ ามารถบอกตาแหน่งสุดทา้ ยไดถ้ า้ ไมท่ ราบทิศทางของการเดิน เรียกตาแหน่งท่ีเปล่ียนไปของวตั ถุวา่ “การกระจดั ” และเรียกปริมาณท่ีมีท้งั ขนาด และทิศทาง วา่ “ปริมาณเวกเตอร์” ดงั น้นั จึงจาเป็นที่จะตอ้ ง ทาความเขา้ ใจในการหาองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ สาระการเรียนรู้ 1. ปริมาณทางฟิ สิกส์ 2. องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 3. การบวกเวกเตอร์ 4. การคูณเวกเตอร์ สมรรถนะประจาหน่วย 1. แสดงความรู้เก่ียวกบั เวกเตอร์

จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. บอกความหมายปริมาณสเกลาร์ไดถ้ ูกตอ้ ง 2. บอกความหมายปริมาณเวกเตอร์ไดถ้ ูกตอ้ ง 3. คานวณองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก 2 มิติ และ 3 มิติไดถ้ ูกตอ้ ง 4. คานวณผลลพั ธ์ของการบวกเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก 2 มิติ 3 มิติไดถ้ ูกตอ้ ง 5. คานวณผลลพั ธ์ของผลคูณเชิงสเกลาร์ไดถ้ ูกตอ้ ง 6. คานวณผลลพั ธ์ของผลคูณเชิงเวกเตอร์ไดถ้ ูกตอ้ ง

แบบทดสอบก่อนเรียน ข. ขอ้ 4 หน่วยที่ 1 ง. ขอ้ 2 เวกเตอร์ ข. ขอ้ 4 คาสั่ง จงเลือกคาตอบท่ีถูกตอ้ งท่ีสุดเพยี งคาตอบเดียว ง. ขอ้ 2 จงใชค้ วามหมายต่อไปน้ี ตอบถามขอ้ 1 – 2 ข. ความดนั 1. ปริมาณท่ีบอกเฉพาะขนาดเพียงอยา่ งเดียว ง. อตั ราเร็ว 2. ปริมาณท่ีบอกท้งั ขนาดและบางคร้ังตอ้ งบอกทิศทาง 3. ปริมาณที่ไม่มีขนาด แต่มีทิศทาง 4. ปริมาณที่ตอ้ งบอกท้งั ขนาดและทิศทาง 5. ปริมาณที่ไมม่ ีท้งั ขนาดและทิศทาง 1. ขอ้ ใดคือความหมายของปริมาณสเกลาร์ ก. ขอ้ 5 ค. ขอ้ 3 จ. ขอ้ 1 2. ขอ้ ใดคือความหมายของปริมาณเวกเตอร์ ก. ขอ้ 5 ค. ขอ้ 3 จ. ขอ้ 1 3. ขอ้ ใดเป็นปริมาณเวกเตอร์ ก. มวล ค. อุณหภมู ิ จ. ความเร่ง

4. เวกเตอร์ A มีขนาด 4 หน่วย ขอ้ ใดคือความหมายของเวกเตอร์ - 2 A ก. เวกเตอร์ที่มีขนาด 8 หน่วย และมีทิศเดียวกบั เวกเตอร์ A ข. เวกเตอร์ท่ีมีขนาด – 8 หน่วย และมีทิศเดียวกบั เวกเตอร์ A ค. เวกเตอร์ที่มีขนาด 8 หน่วย และมีทิศตรงขา้ มกบั เวกเตอร์ A ง. เวกเตอร์ท่ีมีขนาด 8 หน่วย และมีทิศตรงขา้ มกบั เวกเตอร์ A จ. เวกเตอร์ท่ีมีขนาด – 8 หน่วย และมีทิศตรงขา้ มกบั เวกเตอร์ A กาหนดใหเ้ วกเตอร์ A และเวกเตอร์ B มีขนาดและทิศทางดงั รูป จงใชต้ อบคาถาม 5 – 6 B B 10 m 5m 60o 5. เวกเตอร์ลพั ธ์ A + B มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ไร ข. 10 เมตร ง. 13.23 เมตร ก. 8 เมตร ค. 12.23 เมตร ข. 25 เมตร จ. 22.26 เมตร ง. 45 เมตร 6. A  B มีค่าเทา่ กบั เทา่ ไร ก. 15 เมตร ค. 35 เมตร จ. 55 เมตร

กาหนดให้ A =8i - 5j+ 4k และ B = -4i + 2 j- 6k จงใชต้ อบคาถามขอ้ 7 – 10 7. A + B มีค่าเทา่ กบั เท่าไร ข. 4 i + 2 j + 2 k ก. 4 i - 2 j - 2 k ค. -4 i - 2 j + 2 k ง. 4 i - 2 j + 2 k จ. -4 i + 2 j - 2 k 8. A - B มีค่าเท่ากบั เทา่ ไร ข. -12i - 7 j -10 k ก. 12i + 7 j+10 k ค. 12i + 7j-10k ง. 12i - 7j+10k จ. -12i + 7j-10k 9. A  B มีคา่ เทา่ กบั เท่าไร ข. -56 ก. 56 ง. 66 ค. -66 จ. 76 ข. -22i - 32 j - 4 k 10. A B มีค่าเท่ากบั เทา่ ไร ก. 22i + 32 j + 4 k ค. 22i - 32 j + 4 k ง. -22i - 32 j + 4 k จ. 22i + 32 j - 4 k

1.1 ปริมาณทางฟิ สิกส์ ปริมาณท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั วชิ าฟิ สิกส์ แบง่ ออกเป็น 2 อยา่ ง คือ 1.1.1 ปริมาณสเกลาร์ (Scalar Quantities) คือปริมาณท่ีบอกขนาดเพียงอยา่ งเดียวก็สามารถบอก ความหมายไดส้ มบูรณ์ โดยการบอกปริมาณเหล่าน้ีจะบอกขนาดพร้อมหน่วยเท่าน้นั ไดแ้ ก่ ปริมาณความ ร้อน อุณหภมู ิ ปริมาตร มวล พลงั งาน ความหนาแน่น เป็นตน้ 1.1.2 ปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantities) คือปริมาณท่ีตอ้ งบอกขนาดและทิศทางจึงจะให้ ความหมายท่ีสมบูรณ์ ไดแ้ ก่ แรง ความเร็ว ความเร่ง สนามไฟฟ้ า เป็นตน้ ปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมาณท่ีประกอบดว้ ยขนาดและทิศทาง ในการเขียนเวกเตอร์ 1 เวกเตอร์จึงใช้ ส่วนของเส้นตรงแทนเวกเตอร์ดงั ภาพท่ี 1.1 (ก) จากภาพ ทิศของเวกเตอร์ V จะแสดงตามทิศของลูกศรและ ใชค้ วามยาวของส่วนของเส้นตรงแสดงขนาดของเวกเตอร์ โดยขนาดของเวกเตอร์กบั ขนาดของส่วนของ เส้นตรงจะเป็ นอตั ราส่วนกนั สาหรับเวกเตอร์ V ในกรณีน้ีมีขนาด 3 หน่วย เมื่อตอ้ งการแสดงขนาดของ เวกเตอร์เพียงอยา่ งเดียวใหแ้ ทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ V หรืออาจใชอ้ กั ษร V ก็ได้ เช่น V = V =3 หน่วย ส่วน ทิศของเวกเตอร์ V ใหว้ ดั เทียบกบั แนวอา้ งอิงท่ีกาหนดดว้ ยมุม  นอกจากน้ี ยงั มีเวกเตอร์ -V ซ่ึงหมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดเทา่ กบั เวกเตอร์ V แต่มีทิศตรงกนั ขา้ ม ดงั ภาพที่ 1.1 (ข) V V  () () ภาพท่ี 1.1 เวกเตอร์ 1 เวกเตอร์ และเวกเตอร์ลบ เวกเตอร์ศูนย์ (Zero Vector ) คือ เวกเตอร์ท่ีมีจุดเริ่มตน้ และจุดสุดทา้ ยอยทู่ ่ีตาแหน่งเดียวกนั เขียน แทนดว้ ย O เวกเตอร์ศนู ยไ์ ม่มีขนาดแตม่ ีทิศทาง

เวกเตอร์ที่เทา่ กนั คือ เวกเตอร์ท่ีมีขนาดเทา่ กนั และทิศทางเดียวกนั จากรูป M = N นน่ั คือ M และ N เป็ นเวกเตอร์ท่ีเท่ากนั โดยขนาดของ M เท่ากบั ขนาดของ N และมีทิศไปทางเดียวกนั (แนวการวางตวั ขนานกนั , หวั ลูกศรไปทางเดียวกนั ) ภาพที่ 1.2 แสดงลูกศรแทนเวกเตอร์ เวกเตอร์ตรงขา้ ม ท่ีเท่ากนั R = -R นนั่ คือ R คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากนั แต่ทิศทางตรงกนั ขา้ มจากรูป และ -R เป็นเวกเตอร์ตรงขา้ ม โดยขนาดของ R เทา่ กบั ขนาดของ -R แตม่ ีทิศทางตรงขา้ ม (แนวการวางตวั ขนานกนั , หวั ลูกศรมีทิศตรงกนั ขา้ ม) - ภาพท่ี 1.3 แสดงลูกศรแทนเวกเตอร์ตรงขา้ ม

1.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ 1.2.1 เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก 2 มิติ 2Y V2 V Vy V1 V () 1  X () Vx ภาพท่ี 1.4 ส่วนประกอบของเวกเตอร์ ส่วนประกอบของเวกเตอร์ V ที่อยใู่ นแนวต้งั ฉากซ่ึงกนั และกนั ดงั ภาพท่ี 1.4 สะดวกต่อการคานวณ มากกวา่ ในที่น้ีจึงกาหนดให้ส่วนประกอบของเวกเตอร์ V อยูใ่ นแนวแกน X และ Y ซ่ึงแสดงได้ดว้ ย เวกเตอร์ Vx และ Vy ตามลาดบั โดยความสมั พนั ธ์ระหวา่ งเวกเตอร์ V , Vx และ Vy มีดงั ตอ่ ไปน้ี V = Vx + Vy โดยที่ Vx แทน ขนาดของ Vx = V cos  Vy แทน ขนาดของ Vy = V sin  ในกรณีที่ทราบ Vx และ Vy จะคานวณขนาดและทิศของเวกเตอร์ V ไดด้ งั น้ี V = Vx2 +Vy2  = tan-1  Vy   Vx  เมื่อ  แทนมุมของเวกเตอร์ V ที่วดั เทียบกบั แกน x เม่ือไดท้ ราบวิธีแยกเวกเตอร์ V ออกเป็ นเวกเตอร์ส่วนประกอบ Vx และ Vy รวมไปถึงทราบวิธี ที่ จะรวมเวกเตอร์ส่วนประกอบ Vx และ Vy เป็ นเวกเตอร์ V ตามสมการแลว้ สามารถนาวิธีท้งั สองน้ีไป

ใชค้ านวณผลรวมของเวกเตอร์หลาย ๆ เวกเตอร์ได้ ในที่น้ีจะนาการคานวณผลลพั ธ์ของ A + B+ C มาเป็ น ตวั อยา่ งดงั แสดงในภาพท่ี 1.5 ข้นั แรกให้แยกเวกเตอร์ A, B และ C ออกเป็ นเวกเตอร์ส่วนประกอบตามแนวแกน x และ ดงั ภาพที่ 1.5 (ก) จากน้นั นาเวกเตอร์ส่วนประกอบของเวกเตอร์ A, B และ C ที่ไดม้ าเขียนรวมกนั บนระบบ พิกดั ฉาก x-y ดงั ภาพที่ 1.5 (ข) และใหค้ านวณผลรวมของเวกเตอร์ท้งั หมดท่ีอยบู่ นแนวแกน x และ y แต่ เน่ืองจากเวกเตอร์ท้งั หมดอยบู่ นแนวแกน x หรืออยบู่ นแนวแกน y ต่างอยบู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั ดงั น้นั การคานวณผลรวมของเวกเตอร์ส่วนประกอบบนแต่ละแกนจึงใชก้ ารคานวณแบบพีชคณิต ซ่ึงเม่ือกาหนดให้ Ry แทนผลรวมของเวกเตอร์ส่วนประกอบตามแนวแกน x และ y แลว้ จะไดว้ า่ Ry = 4+3cos 45° - 2 cos 30° = 4.39 หน่วย Ry = 3 sin 45° + 2 sin 30° = 3.12 หน่วย y y y A 4 3 sin 45° B x C 2 sin 30° x x 30° 45° 2 cos 30° 3 cos 45° () y y 3 sin 45° 2 sin 30° Ry = 3.12 R 2 cos 30° 3 cos 45° 4 x x Rx = 4.39 () () ภาพท่ี 1.5 การบวกเวกเตอร์ดว้ ยส่วนประกอบของเวกเตอร์

ผลการคานวณ Rx และ Ry แสดงไดด้ งั ภาพ 1.5 (ค) ซ่ึงไม่สามารถนาไปคานวณผลรวม ของ Rx และ Ry โดยกาหนดใหแ้ ทนดว้ ยเวกเตอร์ R (เวกเตอร์ R คือ ผลลพั ธ์ A+B+C ) ไดด้ งั น้ี R= R 2 +R 2y = 4.392 + 3.122 = 5.39 หน่วย x  = tan-1  3.12  = 35.4° 4.39 จากท่ีไดอ้ ธิบายมาขา้ งตน้ สรุปไดว้ า่ การคานวณผลรวมของเวกเตอร์หลาย ๆ เวกเตอร์ทาได้ โดยการแยกแตล่ ะเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์ส่วนประกอบตามแนวแกน x และ y จากน้นั คานวณผลรวมของ เวกเตอร์ส่วนประกอบท้งั หมดท่ีอยบู่ นแนวแกน x และ y และสุดทา้ ยใหผ้ ลรวมของเวกเตอร์ส่วนประกอบ ตามแนวแกน x และ y เป็นหน่ึงเวกเตอร์ โดยผลลพั ธ์ท่ีไดค้ ือผลรวมของเวกเตอร์ที่ตอ้ งการ 1.2.2 เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก 3 มติ ิ z Vz z V x y Vy y Vx x ภาพท่ี 1.6 ส่วนประกอบของเวกเตอร์ V ตามแนวแกน x, y และ z การเขียนเวกเตอร์ในรูปเวกเตอร์หน่ึงหน่วยบนระบบพิกดั ฉาก x – y – z จะช่วยใหเ้ ขียน เวกเตอร์ไดง้ ่ายข้ึน วธิ ีการคือใหแ้ ยกเวกเตอร์ V ออกเป็ นส่วนประกอบของเวกเตอร์ตามแนวแกน x, y และ z เขียนแทนดว้ ย Vx,Vy และ Vz ตามลาดบั ดงั ภาพที่ 1.6 จากน้นั กาหนดหน่ึงหน่วย ˆi,ˆj และ kˆ เมื่อใช้

เวกเตอร์หน่ึงหน่วยท่ีกาหนดข้ึนกบั ขนาดของเวกเตอร์ส่วนประกอบ Vx,Vy และ Vz แล้วเวกเตอร์ V ในภาพท่ี 1.6 จะสามารถเขียนในรูปเวกเตอร์หน่ึงหน่วยไดด้ งั น้ี V = Vx i + Vy j + Vzk หากกาหนดให้ x,y และ z เป็ นมุมที่เวกเตอร์ V กระทากบั แกน x, y และ z ดงั ภาพ ที่1.6 ขนาดของส่วนประกอบของเวกเตอร์ V ในทิศ x, y และ z สามารถคานวณไดโ้ ดยการแยก เวกเตอร์ V ตามแนวแกน x, y และ z ดงั น้ี Vx = V cos x, Vy = V cos y และ Vz = V cos z เนื่องจากเวกเตอร์ส่วนประกอบข้ึนเป็ นเวกเตอร์ระบบพิกดั ฉาก ดงั น้นั ขนาดของเวกเตอร์ ส่วนประกอบและขนาดของเวกเตอร์ V จึงมีความสมั พนั ธ์ตามทฤษฎีบทพที าโกรัส (Pythagoras’ Theorem) ดงั น้ี Vx = Vx2 + Vy2 + Vz2 จะได้ Vx = Vx2 + Vy2 + Vz2 หากแทน Vx, Vy และ Vz ลงในสมการแลว้ จะไดค้ วามสมั พนั ธ์ของโคโซนข์ องมุม x, y และ z ดงั น้ี V2 = cos2x V2 + cos2 y V2 + cos2 z V2 นา V2 หารตลอดจะได้ 1 = cos2x + cos2 y + cos2 z การเขียนเวกเตอร์ในรูปเวกเตอร์หน่ึงหน่วยช่วยใหก้ ารคานวณผลบวกและผลตา่ งของ เวกเตอร์ทาไดง้ ่ายข้ึน โดยหากกาหนดใหเ้ วกเตอร์ V1 และ V2 เขียนไดใ้ นรูปเวกเตอร์หน่ึงหน่วย V1 = Vx1ˆi + Vy1ˆj+ Vz1kˆ และ V2 = Vx2ˆi + Vy2ˆj+ Vz2 kˆ แลว้ V1 + V2 และ V1 - V2 จะคานวณไดด้ งั น้ี V1 + V2 = (Vx1ˆi+Vy1ˆj+Vz1kˆ)+(Vx2ˆi+Vy2ˆj+Vz2 kˆ) = (Vx1 +Vy1 )ˆi+ (Vy1 + Vy2 )ˆj+(Vz1 +Vz2 )kˆ

และ V1 - V2 = V1 +(-V2) = (Vx1ˆi+Vy1ˆj+Vz1kˆ)+ -(Vx2 ˆi + Vy2ˆj+Vz2 kˆ) = (Vx1 -Vx2 )ˆi+(Vy1 -Vy2 )ˆj+(Vz1 +Vz2 )kˆ การบวกปริมาณเวกเตอร์จะตอ้ งบวกท้งั ขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ยอ่ ยท่ีนามาบวกกนั โดยมีวธิ ีการหา เวกเตอร์ลพั ธ์อยู่ 2 วธิ ี คือ การหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยใชแ้ ผนภาพ และการหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยการคานวณ 1.2.3 การหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยใช้แผนภาพ การหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยใชแ้ ผนภาพมีวธิ ีการหาคาตอบ 2 วธิ ี คือ การหาเวกเตอร์ ลพั ธ์โดยวธิ ีหางตอ่ หวั และการหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยวธิ ีหวั ตอ่ หาง 1. การหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยวิธีหางต่อหวั มีข้นั ตอนดงั น้ี (1) กาหนดขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B (2) ใหเ้ วกเตอร์ A เป็นตวั ต้งั โดยเขียนขนาดและทิศทางใหถ้ ูกตอ้ ง (3) นาเอาหางของเวกเตอร์ B มาต่อกบั หวั ขอเวกเตอร์ (4) เวกเตอร์ลพั ธ์ท่ีจะมีจุดเร่ิมตน้ ที่หางของเวกเตอร์ A และมีจุดสิ้นสุดที่หวั ของเวกเตอร์ B (5) ในกรณีที่มีเวกเตอร์มากกกวา่ 2 เวกเตอร์ จะสามารถหาเวกเตอร์ลพั ธ์ไดโ้ ดย นาเวกเตอร์ตวั ตอ่ ไปมาตอ่ ที่หวั ของเวกเตอร์ B และทาแบบน้ีไปเรื่อย ๆ โดยเวกเตอร์ลพั ธ์ คือ เวกเตอร์ที่ลาก จากหางของเวกเตอร์ A ไปจนถึงหวั ของเวกเตอร์ตวั สุดทา้ ย ตวั อย่างที่ 1.1 จงหาเวกเตอร์ลพั ธ์ของเวกเตอร์ต่อไปน้ี B=3 A4

วธิ ีทา 1. ลากเส้นแกน X, Y ต้งั ฉากกนั ดงั ภาพ Y X 2. นาหางของเวกเตอร์ A มาวางตรงจุดตดั ของแกน X, Y (Origin) โดยใหม้ ีท้งั ขนาดและ ทิศทางตามที่โจทยก์ าหนด ดงั ภาพ Y 0 A=4 X 3. นาหางของเวกเตอร์ B มาต่อท่ีหวั ของเวกเตอร์ A โดยใหม้ ีขนาดและทิศทางตามท่ีโจทย์ กาหนด ดงั ภาพ Y B =3 0 A =4 X 4. เวกเตอร์ลพั ธ์ ( R ) คือ เส้นตรงท่ีลากจากหากของเวกเตอร์ A ไปสิ้นสุดที่หวั ของเวกเตอร์ B ดงั ภาพ R B=3 37o A=4

ดงั น้นั จากการวดั ขนาดโดยใชไ้ มบ้ รรทดั จะไดข้ นาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ ( R ) = 5 หน่วย และมีทิศทามุม 37 กบั A ตอบ ตัวอย่าง 1.2 จงหาเวกเตอร์ลพั ธ์ของเวกเตอร์ต่อไปน้ี BC D 45o A D วธิ ีทา C R B 0 45o A ดงั น้นั จากรูปจะได้ R = A + B + C+ D 2. การหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยวธิ ีหัวต่อหาง มีข้นั ตอนในการทา ดงั ต่อไปน้ี (1) กาหนดขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B (2) ใหเ้ วกเตอร์ A เป็นตวั ต้งั โดยเขียนขนาดและทิศทางใหถ้ ูกตอ้ ง (3) นาหางของเวกเตอร์ B มาต่อกบั หวั ของเวกเตอร์ A (4) สร้างรูปส่ีเหล่ียมดา้ นขนาน (5) เวกเตอร์ลพั ธ์ คือ เส้นทแยงมุมของรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาดที่สร้างข้ึน

ตวั อย่างที่ 1.3 จงหาเวกเตอร์ลพั ธ์ของเวกเตอร์ต่อไปน้ี B=3 A =4 วธิ ีทา 1. ลากเส้นแกน X, Y ต้งั ฉากกนั ดงั ภาพ Y X 2. นาหางของเวกเตอร์ A มาวางตรงจุดตดั ของแกน X, Y (Origin) โดยใหม้ ีท้งั ขนาดและทิศทาง ตามท่ีโจทยก์ าหนด ดงั ภาพ Y 0 A=4 X 3. นาหางของเวกเตอร์ B มาตอ่ ท่ีหางของเวกเตอร์ A โดยใหม้ ีขนาดและทิศทางตามท่ีโจทย์ กาหนด ดงั ภาพ B=3 A=4 0

4. สร้างส่ีเหล่ียมดา้ นขนาน ดงั ภาพ Y B=3 A =4 0X 5. เวกเตอร์ลพั ธ์ ( R ) คือ เส้นทแยงมุมของรูปส่ีเหล่ียมดา้ นขนาด ดงั ภาพ Y B=3 A=4 X 0 37o ดงั น้นั จากการวดั ขนาดโดยใชไ้ มบ้ รรทดั จะไดข้ นาดเวกเตอร์ลพั ธ์ ( R ) = 5 หน่วย และมีทิศทามุม 37 กบั A ตอบ หมายเหตุ มีเวกเตอร์อีก 2 แบบท่ีควรจะตอ้ งทราบ คือ 1. เวกเตอร์ศูนย์ คือ เวกเตอร์ท่ีมีขนาดเป็นศูนยแ์ ละมีทิศทางไมแ่ น่นนอน 2. เวกเตอร์ตรงขา้ ม คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเทา่ กนั แตม่ ีทิศทางตรงกนั ขา้ ม เช่น A=3 -A = 3

1.2.4 การหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยการคานวณ การหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยการคานวณ จะสามารถขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ไดจ้ าก “กฎของ Cosine” และทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์จาก “กฎของ Sine” ab  Y b 0 a X เม่ือสร้างรูปส่ีเหล่ียมดา้ นขนาดและลากเส้นทแยงมุมแลว้ จะไดด้ งั ภาพ Y b R 0  a  X สามารถหาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ไดจ้ าก กฎของ Cosine R = a2 + b2 + 2ab cos

และสามารถหาทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ไดจ้ าก กฎของ Sine กฎของ Sine = Sine R = a = b sin  sin  sin  หมายเหตุ ถา้ วาดแผนภาพของเวกเตอร์ A เวกเตอร์ B และเวกเตอร์ลพั ธ์ R ดว้ ยวธิ ีหางต่อหวั กฎของ Cosine จะตอ้ งเปลี่ยนเครื่องหมาย จาก + เป็น – ดงั ภาพ b R a  สามารถหาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ไดจ้ าก กฎของ Cosine R = a2 + b2 + 2ab cos

ตวั อย่างที่ 1.4 รถยนตค์ นั หน่ึงแล่นไปทางทิศเหนือ 10 กิโลเมตร จากน้นั ไดเ้ คลื่อนที่ต่อไปทางทิศ ตะวนั ออกเฉียงเหนือ 30° อีก 15 กิโลเมตร จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ของการเคล่ือนท่ีของ รถยนตค์ นั น้ี N WE S วธิ ีทา 15 km  R 10 km  0 หาขนาดของ R ไดจ้ าก กฎของ Cosine R = A2 + B2 2ABcos  R = 102 +152 2(10)(15)Cos120 ; (=90o +30o =120o) R = 100225150 R = 175 R = 13.23 กิโลเมตร และสามารถหาทิศทางของ R ไดจ้ าก กฎของ Sine 10 = 15 = 13.23 sin  sin  sin120°

10 = 13.23 sin  sin120° sin  = 10 sin120° = 0.6545 13.23  = sin-10.6545 = 40.88° ดงั น้นั ระยะการกระจดั ลพั ธ์ของรถยนตค์ นั น้ีเทา่ กบั 13.23 กิโลเมตร และมีทิศไปทางทิศ ตะวนั ออกเฉียงเหนือ 40.88° ตอบ 1.2.5 การลบปริมาณเวกเตอร์ การลบปริมาณเวกเตอร์สามารถเวกเตอร์ลพั ธ์ไดโ้ ดยวธิ ี ดงั ตอ่ ไปน้ี การหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยวธิ ีหางต่อหวั มีข้นั ตอน คือ 1. กาหนดขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ B 2. ใหเ้ วกเตอร์ A เป็นตวั ต้งั โดยเขียนขนาดและทิศทางใหถ้ ูกตอ้ ง 3. แปลงเวกเตอร์ B ใหเ้ ป็นเวกเตอร์ - B (เวกเตอร์ที่มีขนาดเทา่ กนั แต่มีทิศทางตรงขา้ ม) แลว้ นาเอา หางของเวกเตอร์ - B มาต่อเขา้ กบั หวั ของเวกเตอร์ A เพอ่ื ใหเ้ ขา้ รูป A-B= A +(-B) 4. เวกเตอร์ลพั ธ์ท่ีไดจ้ ะมีจุดเร่ิมตน้ ที่หางของเวกเตอร์ A และมีจุดสิ้นสุดที่หวั ของเวกเตอร์ - B ตวั อย่างที่ 1.5 จงหาเวกเตอร์ลพั ธ์ของเวกเตอร์ต่อไปน้ี A = 25 30o B = 15 วธิ ีทา 30o - B = 15

เพือ่ ใหเ้ ขา้ รูป A - B = A-(-B)  A 30o 30o A = 25 หน่วย R  -B B = 15 หน่วย  = 30o หาขนาดของ R ไดจ้ าก กฎของ Cosine R = 252 +152 -2(25)(15)cos30o R = 625 + 225- 649.52 R = 200.48 R = 14.16 หน่วย และสามารถหาทิศทางของ R ไดจ้ าก กฎของ Sine sinR30o = 25 = 15 sin  sin  14.16 = 15 0.5297 sin 30o sin  31.98 sin  = 15sin 30° = 14.16  = sin-1 0.5297 = ดงั น้นั เวกเตอร์ลพั ธ์เท่ากบั 14.16 หน่วย มีทิศทามุม 31.98° กบั เวกเตอร์ A ตอบ

1.3 การบวกเวกเตอร์ 1.3.1 การคานวณหาเวกเตอร์ลพั ธ์โดยใช้ Cartesian Vector Form ถา้ A = Axˆi + Ayˆj + Azkˆ B = Bxˆi + Byˆj + Bzkˆ สาหรับการรวมเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากทาไดโ้ ดยนาสมการ Cartesian Vector Form มารวมกนั R = A + B = Axˆi + Ayˆj + Azkˆ+ Bxˆi + Byˆj + Bzkˆ  R = Axˆi + Bxˆi + Ayˆj + Byˆj+ Aykˆ + Bykˆ R = Ax + Bx ˆi + Ay + By ˆj + Az + Bz kˆ ในกรณีของการลบเวกเตอร์ ทาไดโ้ ดย R = A + (-B) R = Axˆi - Bxˆi + Ayˆj- Byˆj+ Aykˆ - Bykˆ R = Ax - B ˆi + Ay - By ˆj + Az - Bz kˆ ตัวอย่าง 1.6 แรง F , F , F กระทาต่อมวลกอ้ นหน่ึง จงหาแรงลพั ธ์ F = F + F + F เม่ือ วธิ ีทา F 12 3 1 2 3 = 4ˆi -3ˆj -3kˆ F1 = 3ˆi - 4ˆj + 4kˆ F2 = -2ˆi + 6ˆj + kˆ F3 = (4 + 3- 2)ˆi + (-3- 4 + 6)ˆj + (-3+ 4 +1)kˆ F = 5ˆi -ˆj + 2kˆ แรงลพั ธ์ แรง F1 , F2 , F3 ที่กระทาตอ่ มวลกอ้ นน้ี มีค่า เทา่ กบั 5ˆi -ˆj + 2ˆk ตอบ ตวั อย่างที่ 1.7 ถา้ เวกเตอร์ A = 3ˆi+ 4ˆj+5kˆ และเวกเตอร์ B = 2ˆi+3ˆj+6kˆ จงหา 1. A + B 2. ขนาดของ A + B วธิ ีทา 1. A + B = (3+2)ˆi+(4+3)ˆj+(5+6)kˆ

A + B = 5ˆi+7ˆj+11kˆ ตอบ 2. ขนาดของ A + B = A+B = 52 +72 +112 ตอบ = 25  49 121 ตอบ = 195 ตอบ = 13.96 หน่วย ตัวอย่างที่ 1.8 ถา้ เวกเตอร์ A = -4 ˆi+3ˆj+5kˆ และเวกเตอร์ B = 3 ˆi -6ˆj+ 2 kˆ จงหา 1. A - B 2. ขนาดของ A - B วธิ ีทา 1. A -B = (-4)-3) ˆi + 3-(-6) ˆj + 5-2 kˆ A -B = -7ˆi + 9ˆj + 3kˆ 2. ขนาดของ A - B = A- B = (-7)2 +92 +32 = 49  81 9 = 139 = 11.78 หน่วย 1.4 การคูณเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์สามารถแบง่ ออกไดเ้ ป็ น 2 ประเภท คือ 1.4.1 ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar Product) ผลการคูณเชิงสเกลาร์ระหว่างเวกเตอร์ A กบั B ในภาพท่ี 1.7 (ก) ให้แทนดว้ ย AB (อ่านว่า เวกเตอร์เอ ดอต เวกเตอร์บี) โดยสามารถคานวณไดจ้ ากผลคูณขนาดของเวกเตอร์ A และ B กบั ค่าโคโซน์ ของมุมระหวา่ งเวกเตอร์ A และ B ดงั น้ี AB = AB cos

ผลการคูณเชิงสเกลาร์ AB ในสมการข้างต้นอาจหมายถึงผลคูณระหว่างส่วนประกอบของ เวกเตอร์ A ท่ีอยใู่ นแนวเดียวกบั เวกเตอร์ B (หรือ A cos ) กบั ขนาดของเวกเตอร์ B ดงั ภาพท่ี 1.7 (ข) ที่อยใู่ นแนวเดียวกบั เวกเตอร์ A (หรือ B cos ) กบั ขนาดของเวกเตอร์ A หรืออาจหมายถึงผลคูณระหวา่ ง ส่วนประกอบของ B ท่ีอยใู่ นแนวเดียวกบั เวกเตอร์ A (หรือ B cosθ ) กบั ขนาดของเวกเตอร์ A ดงั ภาพ ที่ 1.7 (ค) ก็ได้ ตวั อยา่ งหน่ึงของผลคูณเชิง สเกลาร์ คือ การคานวณงานซ่ึงเป็ นผลคูณเชิงสเกลาร์ระหวา่ ง ท่ีกระทาบนวตั ถุกบั การกระจดั ที่วตั ถุเคลื่อนที่ได้ AB = AB cos AB = (Acos )B A B = A(Bcos ) A A B A B B cos  B  ()  Acos ( ) () ภาพที่ 1.7 ผลคูณเชิงสเกลาร์ จากนิยามของผลคูณเชิงสเกลาร์ หากเวกเตอร์ที่นามาคานวณเป็ นเวกเตอร์เดียวกนั ผลคูณเชิง สเกลาร์ที่ไดจ้ ะเท่ากบั ขนาดของเวกเตอร์น้นั ยกกาลงั สอง ดงั น้ี A×A = AA cos  = A2 cos 0° , (เวกเตอร์เดียวกนั มีมุม  = 0°) = A2, (cos 0° = 1) และในกรณีท่ีเป็ นเวกเตอร์หน่ึงหน่วย ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์หน่ึงหน่วยที่เป็ นเวกเตอร์ เดียวกนั ยอ่ มเทา่ กบั หน่ึงดว้ ย ดงั น้ี ˆi ˆi = ˆjˆj = kˆkˆ = 1(1) cos 0° = 1 ในกรณีท่ีเวกเตอร์ A และ B ต้ังฉากกับ มุม  ระหว่างเวกเตอร์ท้ังสองจะเท่ากับ 90° ซ่ึง cos 90° = 0 ดงั น้นั AB จึงเทา่ กบั ศูนย์ เมื่อนาผลดงั กล่าวน้ีมาคานวณผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ หน่ึงหน่วยที่อยใู่ นแนวต้งั ฉากกนั กจ็ ะไดผ้ ลคูณเป็นศนู ยด์ ว้ ย ดงั น้ี ˆi ˆj = ˆjˆi = ˆi kˆ = kˆ ˆi = ˆjkˆ = kˆ ˆj = 1(1) cos 0° = 1

หากกาหนดให้เวกเตอร์ A และ B สามารถเขียนในรูปเวกเตอร์หน่ึงหน่วย Axˆi + Ayˆj + Azkˆ และ Bxˆi + Byˆj + Bzkˆ ตามลาดบั แลว้ ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ A และ B สามารถคานวณไดโ้ ดยใช้ สมบตั ิของผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์หน่ึงหน่วย ดงั น้ี AB = (Axˆi + Ayˆj + Azkˆ)(Bxˆi + Byˆj + Bzkˆ) = AxBx(ˆi ˆi) + AxBy(iˆj) + AxBz(ˆi kˆ) + AyBy(ˆjˆj) + AyBz(ˆjkˆ) + AzBx(ˆkˆi) + AzBy(kˆˆj) + AzBz(kˆkˆ) = AxBx(1) + AxBy(0) + AxBz(0) + AyBy(0) + AyBz(1) + AzBx(0) + AzBy(0) + AzBz(1) ดงั น้นั AB = AxBx + AyBy + AzBz นอกจากน้ันแลว้ ผลคูณเชิงสเกลาร์ยงั ใช้คานวณมุม  ระหว่างเวกเตอร์ A กบั B ได้กล่าวคือ จาก AB = AB cos  ดงั น้ี cos  = AB AB แทน AB = AxBx + AyBy + AzBz จากสมการ จะได้ cos  = AxBx + AyBy + AzBz AB หรือ  = cos-1( AxBx + AyBy + AzBz ) AB สมบตั ิของผลคูณเชิงสเกลาร์ที่น่าสนใจนอกเหนือจากท่ีกล่าวไปแลว้ มีดงั ต่อไปน้ี AB = BA AB = (AB) + (AC) a(AB) = (aA)B = A(aB) เม่ือ a เป็นปริมาณสเกลาร์

1.4.2 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Vector Product) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์ A กบั B ในภาพ ที่ 1.8 (ก) ให้แทนด้วย A×B (อ่านว่า เวกเตอร์ ครอส เวกเตอร์) ผลคูณ A×B เป็ นปริมาณเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากบั AB sin  เม่ือ  เป็ นมุม ระหวา่ งเวกเตอร์ A กบั B ส่วนทิศทาง A×B เป็ นไปตามกฎมือขวาท่ีใชน้ ิ้วท้งั สี่โคง้ งอตามการหมุนของ เวกเตอร์ A ไปยงั เวกเตอร์ B โดยนิ้วโป้ งแสดงทิศของ A×B ดงั ภาพที่ 1.8 (ข) B A B AB B  A  A BA  (AB) () () () ภาพที่ 1.8 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ในกรณีของผลคูณเชิงสเกลาร์ ลาดับของการคูณไม่มีผลต่อผลลัพธ์ท่ีคานวณได้ กล่าวคือ AB = BA แต่ในกรณีของผลคูณเชิงเวกเตอร์ B×A ในภาพที่ 1.8 (ค) จะพบว่า B×A  A×B ท้งั น้ี เนื่องจาก B×A มีทิศตรงกนั ขา้ มกบั A×B (ถึงแมข้ นาดของ A×B จะเท่ากบั B×A ก็ตาม) ความสัมพนั ธ์ ระหวา่ ง A×B กบั B×A จึงอยใู่ นรูปตอ่ ไปน้ี A×B = -(B×A) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์เดียวกนั ตามวิธีท่ีกล่าวถึงขา้ งตน้ จะเท่ากบั ศูนย์ สาเหตุเนื่องจาก เวกเตอร์เดียวกนั มีมุม  เทา่ กบั 0° ซ่ึงทาให้ sin  = sin 0° = 0 และมีผลทาให้ AB sin  เป็นศนู ยด์ ว้ ย ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์หน่ึงหน่วย ˆi,ˆj และ kˆ สามารถคานวณไดด้ ว้ ยวิธีที่กล่าวถึงขา้ งตน้ ซ่ึงสามารถสรุปผลการคานวณด้งั น้ี ˆi×ˆj = kˆ, ˆj×kˆ = ˆi, kˆ ×ˆi = ˆj และ ˆi×ˆi = 0 ˆj×ˆj = 0 kˆ ×kˆ = 0

ในกรณีท่ีเวกเตอร์ A และ B เขียนในรูปเวกเตอร์หน่ึงหน่วย A = Axˆi+Ayˆj+Azkˆ และ B = Bxˆi+Byˆj+Bzkˆ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ A×B สามารถคานวณไดโ้ ดยใชส้ มบตั ิของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ของเวกเตอร์หน่ึงหน่วย ˆi,ˆj และ kˆ ขา้ งตน้ ดงั น้ี A×B = (Axˆi+Ayˆj+Azkˆ)×(Bxˆi+Byˆj+Bzkˆ) = AxBx(ˆi×ˆi)+AxAy(ˆi×ˆj)+AxBz(ˆi×kˆ)+AyBx(ˆj×ˆi)+AyBy(ˆj×ˆj) +AyBz(ˆj×kˆ)+AzAx(kˆ ×ˆi)+AzBy(kˆ ×ˆj)+AzBz(kˆ ×kˆ) = AxBx(0)+AxAy(kˆ)+AxBz(-ˆj)+AyBx(-kˆ)+AyBy(0) +AyBz (ˆi) + AzAx (ˆj) + AzBy (-ˆi) + AzBz (0) A×B = (AyBz -AzBy)ˆi+(AzBx -AxBz)ˆj+(AxBy -AyBx)kˆ นอกเหนือจากการคานวณผลคูณเชิงเวกเตอร์ A×B ท่ีเวกเตอร์ A และ B อยใู่ นรูปเวกเตอร์หน่ึง หน่วย ˆi,ˆj และ kˆ ตามสมการแลว้ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ A×B ยงั สามารถคานวณไดจ้ ากการใช้ตวั กาหนด Determinant ดงั น้ี ˆi ˆj kˆ A×B = Ax Ay Az Bx By Bz ค่าของตวั กาหนดขา้ งตน้ สามารถคานวณไดโ้ ดยใชค้ วามรู้เร่ืองเมทริกซ์ ซ่ึงเมทริกซ์ขนาด 3×3 จะ ใชว้ ธิ ีเพม่ิ คอลมั น์ท่ี 1 และ 2 ต่อทา้ ยคอลมั นท์ ่ี 3 จากน้นั คานวณผลคูณในแนวทแยงลงและทแยงข้ึนโดยค่า ของตวั กาหนดเท่ากบั ผลรวมของการคูณทแยงลงลบดว้ ยผลรวมของการคูณทแยงข้ึน ดงั รายละเอียดตอ่ ไปน้ี เพิม่ คอลมั น์ท่ี 1 และ 2 ต่อทา้ ยคอลมั นท์ ่ี 3 ˆi ˆj kˆ ˆi ˆj Ax Ay Az Ax Ay Bx By Bz Bx By

คานวณผลคูณในแนวทแยงลงและทแยงข้ึน A z B y ˆi A x B z ˆj ˆj A y Bx kˆ ˆi ˆj kˆ ˆi Ax Ay Az Ax Ay Bx By Bz Bx By AyBxˆi AzBxˆj AxBykˆ ค่าของตวั กาหนดซ่ึงเท่ากบั A×B คานวณไดจ้ ากผลรวมของการคูณทแยงลบดว้ ยผลรวมของการ คูณทแยงข้ึน ดงั น้ี A×B = (AyBzˆi+AzBxˆj+AxBykˆ)-(AyBxkˆ +AzByˆi+AxBzˆj) = (AyBz -AzBx )ˆi-(AzBx -AxBz)ˆj+(AxBy -AyBx)kˆ ตัวอย่างที่ 1.9 A มีขนาด 8 หน่วย, B มีขนาด 12 หน่วย และทามุม 60o ซ่ึงกนั และกนั จงหาเวกเตอร์ ลพั ธ์ ต่อไปน้ี 2. A(-B) 1. AB 4. A×(-B) 3. A×B วธิ ีทา 1. จากสูตร AB = ABcos AB = (8)(12)cos60o AB = 48 ตอบ A×(-B) = AB cos  2. จากสูตร A×(-B) = ABcos120o ; (180o -60o =120o) A×(-B) = (8)(12) cos120o A×(-B) = -48 ตอบ

3. จากสูตร A×B = ABsin  ตอบ 4. จากสูตร A×B = (8)(12) sin60o ตอบ A×B = 83.14 A×(-B) = ABsin  A×(-B) = (8)(12) sin120o A×(-B) = 83.14 ตัวอย่างท่ี 1.10 กาหนดให้ A = 5ˆi+4 ˆj+3kˆ และ B = 2ˆi+5ˆj6kˆ จงหา 1. AB Ax Bx + Ay By + Az Bz 2. มุมระหวา่ ง A และ B (5)(-2) + (4)(5) + (3)(-6) วธิ ีทา 1. จากสูตร AB = AB = AB = 10  20  18 AB = -8 ตอบ 2. จากสูตร AB = ABcos AB = ABcos AB = ( 52 +42 +32 ) ( 22 +52 +62 cos -8 = ( 25+16+9) ( 4+25+36 cos -8 = ( 50) ( 65) cos -8 = (7.07) (8.06) cos cos  = 8  7.07  8.06  cos = 0.1404

 = cos-1 0.1404 ตอบ  = 81.93o ตอบ ตวั อย่างท่ี 1.11 กาหนดให้ A = 8ˆi  4 ˆj2 kˆ และ B = 5ˆi - 4 ˆj+ 7kˆ จงหา 1. A×B 2. A×B วธิ ีทา 1. ˆi ˆj kˆ ˆi ˆj kˆ A = -8 4 -2 4 4 B = 5 -4 7 5 -4  A×B = (Ax Bz -Az By )ˆi +(Az Bx - AxBz)ˆj+(AxBy - AyBx ) kˆ A×B = (4)(7)-(-2)(-4)ˆi+ (-2)(5)-(-8)(7)ˆj+(-8)(-4)-(4)(5) kˆ A×B = 28-8ˆi+(-10)+48ˆj+(-8)(-4)-(4)(5)kˆ A×B = 20ˆi 38ˆj12 kˆ 2. A×B = (20)2 +(38)2 +(12)2 A×B = (400)+(1,444)+(144) A×B = 1,988 A×B = 45.58 หน่วย

ตัวอย่างท่ี 1.12 กาหนดให้ A = ˆi - 4 ˆj -5kˆ และ B = -2ˆi + 3ˆj+ 4 kˆ จงหา ตอบ 1. AB ตอบ 2. ขนาดของ AB 3. AB 4. ขนาดของ AB วธิ ีทา 1. AB = (1)(-2)+(-4)(3)+(-5)(4) AB = -2+(-12)+(-20) AB = -34 2. ขนาดของ A.B = -34 3. AB ตอบ ˆi ˆj kˆ ˆi ˆj kˆ A = 1 -4 -5 1 -4 B = -2 3 4 -2 3  A×B = (Ax Bz -Az By)ˆi +(Az Bx - AxBz)ˆj+(AxBy - AyBx ) kˆ A×B = (-4)(4)-(-5)(3)ˆi+ (-5)(-2)-(1)(4)ˆj+(1)(3)-(-4)(-2) kˆ A×B = (-16)-(-15)ˆi+(10)-4ˆj+3(-8)kˆ A×B = -ˆi+6 j-5kˆ

4. ขนาดของ AB = (-1)2 +(6)2(-5)2 ตอบ AB = (1)+(36)+(25) AB = 62 AB = 7.87 สรุป ปริมาณเวกเตอร์ เป็ นปริมาณท่ีบอกท้งั ขนาดและทิศทางจึงจะให้ความหมายที่สมบูรณ์ การรวม ปริมาณเวกเตอร์จะตอ้ งรวมท้งั ขนาดและทิศทาง แบง่ ออกเป็น 2 วธิ ี คือ การรวมเวกเตอร์โดยวิธีการสร้างรูป และการรวมเวกเตอร์โดยวธิ ีการคานวณ สาหรับการคานวณผลคูณของเวกเตอร์มี 2 ประเภท ประเภทแรก ไดผ้ ลลพั ธ์เป็ นปริมาณสเกลาร์ เรียกวธิ ีน้ีวา่ ผลคูณเชิงสเกลลาร์ (Scalar Product) และประเภทที่สองได้ ผลลพั ธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกวธิ ีน้ีวา่ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Vector Product)

แบบฝึ กหัดท่ี 1.1 1. กาหนดให้ A =7ˆi+8ˆj-9kˆ และ B=9ˆi-9ˆj +8kˆ จงหาเวกเตอร์ลพั ธ์ตอ่ ไปน้ี 1.1 A+ B 1.2 A- B 1.3 AB 1.4 AB วธิ ีทา .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

แบบฝึ กหดั ที่ 1.2 คาส่ัง จงตอบคาถามต่อไปน้ีใหถ้ ูกตอ้ ง 1. จงบอกความหมายของคาวา่ ปริมาณสเกลาร์ .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. จงบอกความหมายของคาวา่ ปริมาณเวกเตอร์ .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3. กาหนดให้ A มีขนาด 4 m และ B มีขนาด 3 m ทามุม 60 ซ่ึงกนั และกนั จงหา 3.1 A+ B โดยวธิ ีหางต่อหวั .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3.2 A+ B โดยวธิ ีหวั ตอ่ หาง .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3.3 A+ B โดยวธิ ีคานวณตามทฤษฎีกฎของ Cosine .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3.4 A- Bโดยวธิ ีหางต่อหวั .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................