ทอร์ก กับ โมเมนต์ความเฉื่อยมีความสัมพันธ์กันอย่างไร

บทที่ 11 การกลิ้ง  ทอร์ค  และโมเมนต์ตัมเชิงมุม

          เมื่อวัตถุหมุน  สามารถอธิบายได้ในเทอมของทอร์คและพลังงานจลน์ในการหมุน  แต่ทอร์คสามรถเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้  เมื่อแรงมีผลต่อการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงเส้น  ทอร์คก็ย่อมมีผลต่อการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมด้วยเช่นกัน  อาศัยความคล้ายกันโดยใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นเราจะได้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

11.1   ทอร์คในรูปของเวกเตอร์

11.2   โมเมนตัมเชิงมุมและทอร์ค

11.3   กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

11.4   ไจโรสโคป

คำถาม เมื่อแตะฟุตบอลให้หมุน  ทำไมฟุตบอลจึงไม่รักษาทิศทางการเคลื่อนที่

11.1ทอร์คในรูปของเวกเตอร์

จากบทที่แล้ว  ขนาดของทอร์คคือผลคูณของแรงที่ลากไปตั้งฉาก 

  กับแขนหมุน 

  หรือผลคูณของแขนหมุนที่ลากไปตั้งฉาก 

  กับแนวแรง 

  ดังรูปที่ 11.1

  สมการที่ได้จะคล้ายกับผลคูรแบบครอส  สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

รูปที่ 11.1

                               หมายความว่าตามรูปที่  11.1  ทิศของทอร์คจะมีทิศพุ่งออกจากระนาบของหน้ากระดาษ (ตามแกน 

)  ตามรูปที่ 11.2  เพื่อไม่ให้ยุ่งยากในการคิดจึงนำมากล่าวในบทนี้  เนื่องจากทิศของทอร์คจะขึ้นอยู่กับระนาบที่วัตถุหมุน  ในกรณีนี้เมื่อวัตถุหมุนในระนาบ 

 ปัญหาที่น่าสนใจคือทอร์คเป็นเวกเตอร์และมีค่าคงที่  จะมีทิศเพียงทิศเดียวเท่านั้นที่ตั้งฉากกับระนาบ 

  นั่นคือแกน 

แต่เนื่องจากทิศที่ตั้งฉากกับระนาบ 

      กับ 

รูปที่ 11.2

กฎมือขวา

-     ให้นิ้วทั้งสี่ชี้ตามทิศของ 

-     กำนิ้วทั้งสี่เข้าหาแรง 

-     นิ้วหัวแม่มือจะแสดงทิศของทอร์ค 

รูปที่  1.3  กฎมือขวา

ตัวอย่างที่  11.1  ไม้เมตรมวล 

                   =      

          =      

รูปที่  11.4               จากกฎมือขวาทอร์คจะมีทิศตามทิศตะวันตก  (แกน

11.2 โมเมนตัมเชิงมุมและทอร์ค

อาศัยกฎการเคลื่อนที่ข้อสองของนิวตันและนิยามของความเร่งจะได้นิยามของโมเมนตัมเชิงเส้น

                                         =      

                                         =      

                                         =      

ในทำนองเดียวกันอาศัยกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุนและนิยามของความเร่งเชิงมุม  จะได้สมการโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง

                                         =      

                                         =      

                                         =      

กฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน

โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง

ตัวอย่างที่  11.2  หินลับมีดมวล 

        ข.  ทอร์คสุทธิ์

วิธีทำ  ก. โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง

          เมื่อแผ่นหินลับมีดคล้ายแผ่นจานจะได้โมเมนต์ความเฉื่อยคือ

รูปที่  11.5                                  =       

                                      =      

ความเร็วเชิงมุมสุดท้ายคือ

=      

                             =      

                             =      

                             =      

          จากกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน

=      

                             =      

                             =      

          ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุม  เป็นพื้นฐานสำหรับนิยามนิยามของโมเมนตัมเชิงมุม  ความสัมพันธ์นี้มาจากการเปรียบเทียบนิยามของทอร์คและกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน

       =      

 

                                      =      

          เทอม

                                      =      

                                      =      

          นิยามโมเมนตัมเชิงมุม

=      

ตัวอย่างที่ 11.3  จงหาโมเมนตัมเชิงมุมของดวงจันทร์เมื่อโคจรรอบโลกดังรูป

  ข้อมูลสามารถค้นหาได้จากหนังสือฟิสิกส์ทั่ว ๆ ไป เมื่อ 

 

;

จากนิยามความเร็วและโมเมนตัม

=      

          =      

           รูปที่ 11.6                                =      

          จากนิยามของโมเมนตัมเชิงมุม และอาศัยความจริงที่ว่ารัศมีโคจรกับความเร็วตั้งฉากกันจะได้

=      

                                      =      

                                      =      

          อาศัยกฎมือขวา  โมเมนตัมเชิงมุมจะมีทิศพุ่งออกจากระนาบของกระดาษ

ตัวอย่างที่ 11.4  จงหาค่าโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งโดยการประยุกต์ใช้นิยามของโมเมนตัมเชิงมุม

วิธีทำ  จากรูปที่ 11.7  พิจารณามวลก้อนเล็ก ๆ

                  

       =      

 

          ให้จุดหมุนคงที่  รัศมีจะตั้งฉากกับความเร็ว  โมเมนตัมเชิงมุมจะมีทิศพุ่งเข้าตั้งฉากกับระนาบของกระดาษทิศเดียวกับความเร็วเชิงมุม  อาศัยความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของความเร็วกับความเร็วเชิงมุม

          รูปที่ 11.7                

    =      

        =      

                                                =      

เมื่อคิดทั้งก้อน

=      

     

11.3  กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

          จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น  และการประยุกต์ใช้กฎข้อสองสำหรับระบบอนุภาคเมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ

=      

    

           กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น “ในระบบโดดเดี่ยวผลรวมของโมเมนตัมเชิงเส้นจะมีค่าคงที่”

          ในทำนองเดียวกันอาศัยกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมและการประยุกต์ใช้กฎข้อสองของการหมุนเมื่อไม่มีทอร์คภายนอกมากระทำ

=      

             

          กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม “ในระบบโดเดี่ยวผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมจะคงที่” ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือโต๊ะหมุนและกาแตะฟุตบอล

          โต๊ะหมุน  เมื่อยืนบนโต๊ะหมุนถ้ามีทอร์คภายนอกมากระทำโมเมนตัมเชิงมุมจะมีการเปลี่ยนแปลง

          ฟุตบอล ถ้าไม่มีทอร์คกระทำบนลูกฟุตบอล  ฟุตบอลจะเคลื่อนที่ในทิศทางเดียวกับโมเมนตัมเชิงมุม

          โต๊ะหมุน  เมื่อยืนบนโต๊ะหมุนถ้ามีการเปลี่ยนแปลงโมเมนความเฉื่อย  ความเร็วเชิงมุมก็จะเปลี่ยนแปลงด้วยเพื่อให้โมเมนตัมเชิงมุมคงที่

ตัวอย่างที่ 11.5  นักศึกษาคนหนึ่งยืนบนโต๊ะหมุนและกางแขนทั้งสองข้างออก  จากนั้นหดแขนเข้าแสดงดังรูปที่ 11.8  ทำให้ความเร็วเปลี่ยนจาก 

=      

โมเมนตัมเชิงมุมภายหลังการเปลี่ยนแปลง

=        

          รูปที่ 11.8                

 เมื่อไม่มีทอร์คภายนอกมากระทำจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

=      

                                      =      

          จากคำตอบที่ได้แสดงว่าเมื่อความเร็วเชิงมุมเพิ่ม  โมเมนต์ความเฉื่อยจะลดลงเพื่อให้โมเมนตัมเชิงมุมคงที่ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

ตัวอย่างที่ 11.6  แป้นหมุนของช่างปั้นหม้อมีโมเมนต์ความเฉื่อย 

                                                วิธีทำ   จากโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งจะได

=      

          โมเมนตัมเชิงมุมสุดท้าย (ประกอบด้วยแป้น       หมุนและดินน้ำมัน)

                   รูปที่ 11.9

=      

          แต่ดินน้ำเหนียวเป็นรูปทรงกระบอกมีโมเมนต์ความเฉื่อยเป็น

=      

          เมื่อไม่มีทอร์คภายนอกมากระทำ จะได้ว่าโมเมนตัมเชิงมุมไม่มีการเปลี่ยนแปลง  อาศัยการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

=      

                                      =      

                                      =      

11.4  ไจโรสโคป

          ไจโรสโคป  ประกอบด้วยล้อหมุนซึ่งติดตั้งไว้บนแกนในลักษณะซึ่งแกนจะหมุนเปลี่ยนทิศทางได้อย่างอิสระดังรูปที่ 11.10

รูปที่ 11.10

=      

        พิจารณารูปที่ 11.11  เมื่อมองจากด้านข้าง

=      

                             =      

(เพราะว่า

          จากกฎมือขวาทอร์คมีทิศพุ่งเข้าระนาบของกระดาษเนื่องจากทอร์ค

          รูปที่ 11.11                            เปรียบเทียบความคล้ายกันระหว่างแรงที่กระทำตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงเส้น  ซึ่งจะทำให้เกิดการหมุนเป็นวงกลม  ซึ่งเราคาดว่าคงจะมีผลเช่นเดียวกันกับเมื่อทอร์คกระทำตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงมุม

          ทอร์คลัพธ์จะเกิดจาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม  ถ้าให้ทอร์คมีทิศตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงมุมเริ่มต้น

             รูปที่ 11.12                     

                                                เมื่อพิจารณาโดยใช้เวกเตอร์ซึ่งแสดงดังรูปที่ 11.13

             รูปที่ 11.13

          แต่ไจโรสโคปคือวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนที่หมุนรอบแกนของความเร็วเชิงมุม  ดังนั้นขนาดโมเมนตัมเชิงมุมของไจโรสโคปคือ

=      

          การเคลื่อนที่ของแกนรอบแนวดิ่งนี้เรียกว่า  การหมุนควง (precession) แทนด้วยอักษรกรีก

      =      

สรุป

กฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน :   

โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง        :        

นิยามของโมเมนตัมเชิงมุม :

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม :